Motion (or rest) on Rough Inclined Surface Questions in Hindi

(D) चूँकि ब्लॉक विरामावस्था में है,इसलिए उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल उसका भार $(mg)$,सतह द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $(N)$,और सतह द्वारा लगाया गया स्थैतिक घर्षण बल $(f)$ हैं।
सतह द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया कुल बल,अभिलंब बल और घर्षण बल का सदिश योग है,जो $F_{surface} = \sqrt{N^2 + f^2}$ द्वारा दिया जाता है।
नत समतल पर विरामावस्था में स्थित ब्लॉक के लिए:
$N = mg \cos \theta$
$f = mg \sin \theta$
इसलिए,सतह द्वारा लगाया गया कुल बल:
$F_{surface} = \sqrt{(mg \cos \theta)^2 + (mg \sin \theta)^2}$
$F_{surface} = \sqrt{m^2g^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}$
$F_{surface} = mg$
यहाँ $m = 8\, kg$ और $g = 10\, m/s^2$ दिया गया है:
$F_{surface} = 8 \times 10 = 80\, N$।
अतः,सतह द्वारा ब्लॉक पर लगाए गए कुल बल का परिमाण $80\, N$ है।

(B) घर्षण युक्त नत समतल पर नीचे की ओर फिसलते हुए गुटके का त्वरण $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $g = 10\, ms^{-2}$,$\theta = 30^o$,$\mu = 0.2$,और $t = 5\, s$.
मान रखने पर:
$a = 10 \times (\sin 30^o - 0.2 \times \cos 30^o)$
$a = 10 \times (0.5 - 0.2 \times 0.866)$
$a = 10 \times (0.5 - 0.1732) = 10 \times 0.3268 = 3.268\, ms^{-2}$.
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है:
$v = 0 + 3.268 \times 5 = 16.34\, ms^{-1}$.

(C) नत समतल के समानांतर कार्य करने वाले ब्लॉक के भार का घटक $F = mg \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ब्लॉक का द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $\theta$ झुकाव का कोण है।
जैसे-जैसे नत समतल को क्षैतिज बनाया जाता है,कोण $\theta$ कम होता जाता है।
चूंकि साइन फलन $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ के लिए एक वर्धमान फलन है,इसलिए जैसे-जैसे $\theta$ घटता है,$\sin \theta$ भी घटता है।
अतः,समतल के समानांतर भार का घटक $mg \sin \theta$ घटता है।

(D) माना ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है। ब्लॉक को लंबवत उठाने के लिए आवश्यक बल $F_1 = mg$ है।
ब्लॉक को नत समतल पर ऊपर की ओर खींचने के लिए आवश्यक बल $F_2 = mg \sin \theta + f_k$ है,जहाँ $f_k = \mu N = \mu mg \cos \theta$ है।
अतः,$F_2 = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$ है।
प्रश्न के अनुसार,$F_2 < F_1$,इसलिए:
$mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta < mg$ है।
$mg$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sin \theta + \mu \cos \theta < 1$ है।
$\theta = 30^o$ रखने पर:
$\sin 30^o + \mu \cos 30^o < 1$ है।
$1/2 + \mu (\sqrt{3}/2) < 1$ है।
$\mu (\sqrt{3}/2) < 1 - 1/2$ है।
$\mu (\sqrt{3}/2) < 1/2$ है।
$\mu < 1/\sqrt{3}$ है।

(C) ढलान के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का घटक $a_g = g \sin \theta = 10 \sin 30^{\circ} = 5\, m/s^2$ है।
गति का विरोध करने वाले घर्षण के कारण त्वरण $a_f = \mu g \cos \theta = 0.5 \times 10 \times \cos 30^{\circ} = 5 \times 0.866 = 4.33\, m/s^2$ है।
ढलान पर नीचे की ओर कार का कुल त्वरण $a = a_g - a_f = 5 - 4.33 = 0.67\, m/s^2$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 6\, m/s$,$a = 0.67\, m/s^2$,और $s = 15\, m$ है:
$v^2 = (6)^2 + 2 \times 0.67 \times 15$
$v^2 = 36 + 20.1 = 56.1$
$v = \sqrt{56.1} \approx 7.49\, m/s$.

(A) माना नत समतल की लंबाई $s$ है।
चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_1 = g \sin \theta$ है। $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर $(u=0)$,हमें $v^2 = 2(g \sin \theta)s$ प्राप्त होता है --- $(1)$।
खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। अंतिम वेग $v' = v/n$ है। $v'^2 = 2a_2s$ का उपयोग करने पर,$(v/n)^2 = 2g(\sin \theta - \mu \cos \theta)s$ प्राप्त होता है --- $(2)$।
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है: $n^2 = \frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu \cos \theta}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $n^2(\sin \theta - \mu \cos \theta) = \sin \theta$।
$n^2 \sin \theta - n^2 \mu \cos \theta = \sin \theta$।
$n^2 \mu \cos \theta = n^2 \sin \theta - \sin \theta = \sin \theta (n^2 - 1)$।
$\mu = \frac{\sin \theta (n^2 - 1)}{n^2 \cos \theta} = \tan \theta \left( \frac{n^2 - 1}{n^2} \right) = \tan \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$।

(A) चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_2 = g \sin \theta$ है। लिया गया समय $t_2 = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ है।
खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_1 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। लिया गया समय $t_1 = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ है।
दिया गया है $t_1 = \frac{4}{3} t_2$,इसलिए $\frac{t_1}{t_2} = \frac{4}{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{t_1^2}{t_2^2} = \frac{16}{9} = \frac{a_2}{a_1} = \frac{g \sin \theta}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu \cos \theta}$.
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\frac{16}{9} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2} - \mu(1/\sqrt{2})} = \frac{1}{1 - \mu}$.
$16(1 - \mu) = 9 \implies 16 - 16\mu = 9 \implies 16\mu = 7 \implies \mu = \frac{7}{16}$.

(A) $m = 15\,kg$ द्रव्यमान के ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. भार $mg = 15 \times 10 = 150\,N$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. अभिलंब बल $N_1$ जो नत समतल के लंबवत कार्य करता है।
$3$. तनाव बल $T = 50\,N$ जो क्षैतिज दिशा में कार्य करता है।
$4$. घर्षण बल $f$ जो नत समतल पर ऊपर की ओर कार्य करता है।
नत समतल के लंबवत बलों के घटक लेने पर:
$N_1 = mg \cos(45^{\circ}) + T \sin(45^{\circ})$
$N_1 = 150 \times \frac{1}{\sqrt{2}} + 50 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}}\,N$
नत समतल के समानांतर बलों के घटक लेने पर:
$f + T \cos(45^{\circ}) = mg \sin(45^{\circ})$
$f = 150 \times \frac{1}{\sqrt{2}} - 50 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}}\,N$
संबंध $f = \mu N_1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{100}{\sqrt{2}} = \mu \times \frac{200}{\sqrt{2}}$
$\mu = \frac{100}{200} = \frac{1}{2}$

(C) मान लीजिए रस्सी की कुल लंबाई $L$ है और इसका कुल द्रव्यमान $M$ है। प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = M/L$ है।
लटकने वाले हिस्से की लंबाई $l = 0.25L = L/4$ है। लटकने वाले हिस्से का द्रव्यमान $m = \lambda l = M/4$ है।
मेज पर रखे हिस्से की लंबाई $L - l = 0.75L = 3L/4$ है। इस हिस्से का द्रव्यमान $M' = \lambda(3L/4) = 3M/4$ है।
रस्सी को नीचे खींचने वाला बल लटकने वाले हिस्से का भार है: $F_g = mg = (M/4)g$।
गति का विरोध करने वाला सीमांत घर्षण बल $f_s = \mu_s N = \mu_s M' g = \mu_s (3M/4)g$ है।
फिसलने की स्थिति में,नीचे खींचने वाला बल सीमांत घर्षण बल के बराबर होता है: $(M/4)g = \mu_s (3M/4)g$।
$\mu_s$ के लिए हल करने पर: $\mu_s = (M/4) / (3M/4) = 1/3 \approx 0.33$।

(A) कीड़े पर कार्य करने वाले बल हैं: गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है,अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ जो त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करता है,और घर्षण बल $f$ जो सतह के अनुदिश स्पर्शरेखीय रूप से ऊपर की ओर कार्य करता है।
गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ को दो घटकों में वियोजित करने पर:
$1$. $mg \cos \alpha$ जो त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर कार्य करता है ($N$ के विपरीत)।
$2$. $mg \sin \alpha$ जो सतह के अनुदिश स्पर्शरेखीय रूप से नीचे की ओर कार्य करता है।
चूंकि कीड़ा बहुत धीरे-धीरे रेंग रहा है,इसलिए यह संतुलन में है। अतः:
$N = mg \cos \alpha$
कीड़े को फिसलने से रोकने के लिए,घर्षण बल $f$ को गुरुत्वाकर्षण के स्पर्शरेखीय घटक को संतुलित करना चाहिए:
$f = mg \sin \alpha$
हम जानते हैं कि अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{max} = \mu N$ होता है।
अधिकतम कोण $\alpha$ पर,$f = f_{max} = \mu N$ होता है।
$f$ और $N$ के मान रखने पर:
$mg \sin \alpha = \mu (mg \cos \alpha)$
दोनों पक्षों को $mg \cos \alpha$ से विभाजित करने पर:
$\tan \alpha = \mu$
दिया गया है कि $\mu = 1/3$,अतः:
$\tan \alpha = 1/3$
इसलिए,$\cot \alpha = 1/\tan \alpha = 3$।

(B) मान लीजिए कि कीड़ा अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचने पर त्रिज्या ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
इस बिंदु पर,स्पर्शरेखा की दिशा में गुरुत्वाकर्षण का घटक सीमांत घर्षण के साथ संतुलित होता है।
कीड़े पर कार्य करने वाले बल हैं: नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण $(mg)$,सतह के लंबवत प्रतिक्रिया बल $(N)$,और स्पर्शरेखा के साथ ऊपर की ओर घर्षण $(f)$।
गुरुत्वाकर्षण के घटकों को हल करने पर: स्पर्शरेखा के साथ $mg \sin \theta$ और सतह के लंबवत $mg \cos \theta$।
अतः,$N = mg \cos \theta$।
सीमांत घर्षण $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$ है।
कीड़े के संतुलन में रहने के लिए,$f = mg \sin \theta$ होना चाहिए।
इसलिए,$\mu mg \cos \theta = mg \sin \theta$,जिससे $\tan \theta = \mu$ प्राप्त होता है।
कटोरे की ज्यामिति से,नीचे से ऊँचाई $h = r - r \cos \theta = r(1 - \cos \theta)$ है।
चूँकि $\tan \theta = \mu$,हमारे पास $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}$ है।
इस मान को $h$ के सूत्र में रखने पर,हमें $h = r\left[1 - \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}\right]$ प्राप्त होता है।

(A) नत समतल पर ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin 30^{\circ}$,डोरी में ऊपर की ओर तनाव $T$ और ऊपर की ओर घर्षण बल $f$ हैं।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu mg \cos 30^{\circ}$ है।
यहाँ $\mu = 0.8$,$m = 1 \text{ kg}$,$g = 9.8 \text{ m/s}^2$,और $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है।
$f_{max} = 0.8 \times 1 \times 9.8 \times \cos 30^{\circ} = 0.8 \times 9.8 \times 0.866 \approx 6.79 \text{ N}$ है।
नीचे की ओर लगने वाला बल $F_{down} = mg \sin 30^{\circ} = 1 \times 9.8 \times 0.5 = 4.9 \text{ N}$ है।
चूंकि नीचे की ओर लगने वाला बल $F_{down} = 4.9 \text{ N}$,अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} \approx 6.79 \text{ N}$ से कम है,इसलिए ब्लॉक में नीचे की ओर फिसलने की कोई प्रवृत्ति नहीं है।
अतः,केवल स्थैतिक घर्षण ही गुरुत्वाकर्षण के नीचे की ओर के घटक को संतुलित करने के लिए पर्याप्त है,और डोरी में तनाव $T = 0 \text{ N}$ होगा।

(B) मान लीजिए $\lambda$ जंजीर का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
मान लीजिए मेज के किनारे पर लटकने वाली जंजीर की लंबाई $l$ है।
मेज पर बची हुई जंजीर की लंबाई $(L - l)$ है।
जंजीर को नीचे खींचने वाला बल लटकते हुए भाग का भार है: $F_g = l \lambda g$.
मेज पर मौजूद जंजीर के भाग पर लगने वाला अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल है: $f_{max} = \mu N = \mu (L - l) \lambda g$.
जंजीर के सीमांत संतुलन में रहने के लिए,नीचे की ओर लगने वाला बल अधिकतम घर्षण बल के बराबर होना चाहिए:
$l \lambda g = \mu (L - l) \lambda g$
$l = \mu (L - l)$
$l = \mu L - \mu l$
$l(1 + \mu) = \mu L$
$\frac{l}{L} = \frac{\mu}{\mu + 1}$
अतः,जंजीर का अधिकतम अंश जो लटक सकता है,वह $\frac{\mu}{\mu + 1}$ है।

(A) नत समतल पर द्रव्यमान पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = mg \sin \theta - f_r = ma$ है।
चूंकि घर्षण बल $f_r = \mu N = \mu mg \cos \theta$ है,इसलिए $mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta = ma$ प्राप्त होता है।
$\mu = \mu_0 x$ प्रतिस्थापित करने पर,त्वरण $a = g(\sin \theta - \mu_0 x \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
संबंध $a = v \frac{dv}{dx}$ का उपयोग करके,गति के समीकरण का समाकलन करने पर: $\int_0^v v \, dv = \int_0^x g(\sin \theta - \mu_0 x \cos \theta) \, dx$।
जिस बिंदु पर द्रव्यमान रुकता है,वहां अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
अतः,$0 = g [x \sin \theta - \frac{\mu_0 x^2}{2} \cos \theta]$।
कोष्ठक के अंदर के पद को शून्य के बराबर रखने पर: $x \sin \theta = \frac{\mu_0 x^2}{2} \cos \theta$।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{2 \sin \theta}{\mu_0 \cos \theta} = \frac{2}{\mu_0} \tan \theta$ प्राप्त होता है।

(A) द्रव्यमान का त्वरण $a = g(\sin \theta - \mu_0 x \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए या $v dv = a dx$ का समाकलन करने पर,हमें मिलता है $\int_0^{v} v dv = \int_0^{x/2} g(\sin \theta - \mu_0 x \cos \theta) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{v^2}{2} = g[\sin \theta \cdot x' - \frac{\mu_0}{2} (x')^2 \cos \theta]$,जहाँ $x' = x/2$ है।
$x' = \frac{x}{2} = \frac{1}{\mu_0} \tan \theta$ रखने पर (चूंकि अधिकतम दूरी $x_{max} = \frac{2 \tan \theta}{\mu_0}$):
$\frac{v^2}{2} = g[\sin \theta (\frac{\tan \theta}{\mu_0}) - \frac{\mu_0}{2} (\frac{\tan \theta}{\mu_0})^2 \cos \theta]$.
$\frac{v^2}{2} = g[\frac{\sin \theta \tan \theta}{\mu_0} - \frac{\tan^2 \theta \cos \theta}{2 \mu_0}] = g[\frac{\sin \theta \tan \theta}{\mu_0} - \frac{\sin \theta \tan \theta}{2 \mu_0}] = \frac{g \sin \theta \tan \theta}{2 \mu_0}$.
अतः,$v^2 = \frac{g \sin \theta \tan \theta}{\mu_0}$,जिससे $v = \sqrt{\frac{g \tan \theta \sin \theta}{\mu_0}}$ प्राप्त होता है।

(D) नत समतल पर एक पिंड के संतुलन में रहने के लिए, समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक को स्थैतिक घर्षण बल द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए।
समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला बल $F_g = mg \sin \theta$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu_s N$ है, जहाँ $N = mg \cos \theta$ अभिलंब बल है।
संतुलन के लिए, शर्त $mg \sin \theta \leq \mu_s mg \cos \theta$ है।
इसे सरल करने पर $\mu_s \geq \tan \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि झुकाव $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है, इसलिए $\mu_s \geq \tan 45^{\circ}$ होगा।
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$, इसलिए शर्त $\mu_s \geq 1$ हो जाती है।

(A) घर्षण वाले नत समतल पर नीचे फिसलते हुए पिंड का त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$.
दिया गया है: $g = 9.8\, m/s^2$,$\theta = 45^{\circ}$,और $\mu = 0.5$.
मान रखने पर:
$a = 9.8 \sin 45^{\circ} - 0.5 \times 9.8 \cos 45^{\circ}$
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$a = 9.8 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - 0.5 \times 9.8 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$a = 9.8 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) (1 - 0.5)$
$a = 9.8 \times 0.5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$a = 4.9 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4.9}{\sqrt{2}}\, m/s^2$.

(B) जब ब्लॉक $A$ एक खुरदरे नत समतल पर नीचे फिसलता है,तो घर्षण बल के विरुद्ध कार्य किया जाता है,जो इसकी स्थितिज ऊर्जा के कुछ हिस्से को ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित कर देता है।
परिणामस्वरूप,नीचे पहुँचने पर ब्लॉक $A$ की गतिज ऊर्जा उसकी प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा से कम होती है।
इसके विपरीत,ब्लॉक $B$ गुरुत्वाकर्षण के अधीन स्वतंत्र रूप से गिरता है,जिसका अर्थ है कि उसकी स्थितिज ऊर्जा पूरी तरह से गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है (वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए)।
इसलिए,जमीन पर पहुँचने पर ब्लॉक $B$ का अंतिम वेग ब्लॉक $A$ से अधिक होगा।

(A) स्थिति $I$: चूंकि ब्लॉक नियत वेग से नीचे फिसल रहा है,इसलिए त्वरण शून्य है। इस स्थिति में,घर्षण बल $f$ समतल के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण के घटक को संतुलित करता है:
$f = mg \sin \theta$ और $f = \mu R = \mu mg \cos \theta$
अतः,$\mu mg \cos \theta = mg \sin \theta$,जिससे $\mu = \tan \theta$ प्राप्त होता है ... $(i)$
स्थिति $II$: ब्लॉक को $u$ प्रारंभिक वेग के साथ ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। यह समतल पर नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण और घर्षण दोनों के कारण $a$ त्वरण का अनुभव करता है:
$mg \sin \theta + f = ma$
$mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta = ma$
$(i)$ से $\mu = \tan \theta$ का मान रखने पर:
$mg \sin \theta + (\tan \theta) mg \cos \theta = ma$
$mg \sin \theta + mg \sin \theta = ma$
$2mg \sin \theta = ma \implies a = 2g \sin \theta$ ... $(ii)$
माना ब्लॉक विराम अवस्था में आने से पहले $x$ दूरी तय करता है। गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$0^2 - u^2 = 2(-a)x$
$-u^2 = -2(2g \sin \theta)x$
$x = \frac{u^2}{4g \sin \theta}$

(B) ब्लॉक नत समतल पर स्थिर है। इसका अर्थ है कि नत समतल के अनुदिश ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ है,जिसे दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. नत समतल के लंबवत घटक: $mg \cos \theta$.
$2$. नत समतल के समानांतर घटक: $mg \sin \theta$.
घटक $mg \sin \theta$ समतल पर नीचे की ओर कार्य करता है,जो ब्लॉक को नीचे सरकाने का प्रयास करता है। चूंकि ब्लॉक स्थिर है,इसलिए स्थैतिक घर्षण बल $f$ इस घटक को संतुलित करता है ताकि गति न हो।
अतः,घर्षण बल $f = mg \sin \theta$ है।

(A) ब्लॉक को नत समतल पर ऊपर की ओर ले जाने के लिए,लगाए गए बल $F_1$ को समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक और नीचे की ओर कार्य करने वाले अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल,दोनों को पार करना होगा।
$1$. नत समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin \theta$ है।
$2$. ब्लॉक पर कार्य करने वाला अभिलंब बल (normal force) $N = mg \cos \theta$ है।
$3$. समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$ है।
$4$. इसलिए,ब्लॉक को समतल पर ऊपर की ओर ले जाने के लिए आवश्यक कुल बल $F_1 = mg \sin \theta + f = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ है।

(C) मान लीजिए $L$ लंबाई की चेन का कुल द्रव्यमान $M$ है। प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = \frac{M}{L}$ है।
जब $l$ लंबाई मेज से लटकती है,तो लटकने वाले भाग का द्रव्यमान $m_1 = \lambda l = \frac{M}{L} l$ होता है।
मेज पर बचे हुए भाग का द्रव्यमान $m_2 = \lambda (L - l) = \frac{M}{L} (L - l)$ होता है।
चेन को संतुलन में रहने के लिए,लटकने वाले भाग के कारण नीचे की ओर लगने वाला बल मेज पर स्थित भाग पर लगने वाले अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
नीचे की ओर लगने वाला बल $F_g = m_1 g = \frac{M}{L} l g$ है।
अधिकतम घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu m_2 g = \mu \frac{M}{L} (L - l) g$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{M}{L} l g = \mu \frac{M}{L} (L - l) g$.
$\mu$ के लिए हल करने पर: $\mu = \frac{l}{L - l}$.

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गुटके पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि गुटका विरामावस्था से शुरू होता है और $S$ दूरी पर रुक जाता है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = 0 - 0 = 0$ है।
अतः,कुल कार्य $W = \int_{0}^{S} (mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta) dx = 0$ होगा।
$\mu = kx$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\int_{0}^{S} (mg \sin \theta - kx mg \cos \theta) dx = 0$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $[mg \sin \theta \cdot x - \frac{1}{2} k mg \cos \theta \cdot x^2]_0^S = 0$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $mg \sin \theta \cdot S = \frac{1}{2} k mg \cos \theta \cdot S^2$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों को $mg \cos \theta \cdot S$ से विभाजित करने पर ($S \neq 0$ मानते हुए),हमें $\tan \theta = \frac{1}{2} k S$ प्राप्त होता है।
$S$ के लिए हल करने पर,हमें $S = \frac{2 \tan \theta}{k}$ प्राप्त होता है।

(D) माना पिंड का द्रव्यमान $m$ है और झुकाव कोण $\theta$ है।
$1$. पिंड को नीचे फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक बल $(F_1)$:
समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण घटक $mg \sin \theta$ है। घर्षण बल फिसलने का विरोध करने के लिए ऊपर की ओर कार्य करता है,$f = \mu mg \cos \theta$.
अतः,$F_1 = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$.
$2$. पिंड को समतल पर ऊपर की ओर गति कराने के लिए आवश्यक बल $(F_2)$:
गुरुत्वाकर्षण घटक नीचे की ओर कार्य करता है और घर्षण बल भी गति का विरोध करने के लिए नीचे की ओर कार्य करता है,$f = \mu mg \cos \theta$.
अतः,$F_2 = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$.
$3$. दी गई शर्त के अनुसार: $F_2 = 2 F_1$.
$mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta = 2(mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta)$
$\sin \theta + \mu \cos \theta = 2 \sin \theta - 2 \mu \cos \theta$
$3 \mu \cos \theta = \sin \theta$
$\tan \theta = 3 \mu$
$\theta = \tan^{-1}(3 \mu)$.

(C) नत समतल पर पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = mg \sin \theta - f_k$ है,जहाँ $f_k = \mu N = \mu mg \cos \theta$ है।
चूँकि $\mu = 0.3x$,कुल बल $F_{net} = mg \sin \theta - (0.3x) mg \cos \theta$ है।
पिंड का त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = g \sin \theta - 0.3x g \cos \theta$ है।
पिंड की गति तब तक बढ़ती है जब तक त्वरण धनात्मक होता है। गति तब अधिकतम होती है जब त्वरण शून्य हो जाता है।
$a = 0$ रखने पर:
$g \sin 37^{\circ} - 0.3x g \cos 37^{\circ} = 0$
दिया गया है $\sin 37^{\circ} = 0.6$ और $\cos 37^{\circ} = 0.8$:
$10 \times 0.6 - 0.3 \times x \times 10 \times 0.8 = 0$
$6 - 2.4x = 0$
$2.4x = 6$
$x = \frac{6}{2.4} = 2.5 \, m$.

(A) किसी ब्लॉक के नत समतल पर फिसलना शुरू करने की स्थिति विराम कोण (angle of repose) $\theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\tan \theta = \mu_s$ (स्थैतिक घर्षण गुणांक) होता है।
स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s$ केवल संपर्क में आने वाली सतहों की प्रकृति पर निर्भर करता है और यह ब्लॉक के पृष्ठीय क्षेत्रफल से स्वतंत्र होता है।
चूंकि द्रव्यमान और सतहों की प्रकृति अपरिवर्तित रहती है,इसलिए स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s$ भी समान रहेगा।
अतः,वह झुकाव कोण जिस पर ब्लॉक फिसलना शुरू करता है,$30^{\circ}$ ही रहेगा।

(C) नत समतल पर ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ नीचे की ओर और गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$ ऊपर की ओर है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $F_{net} = ma$ है।
$mg \sin 30^o - \mu_k mg \cos 30^o = m \left( \frac{g}{4} \right)$.
दोनों पक्षों को $mg$ से विभाजित करने पर,हमें $\sin 30^o - \mu_k \cos 30^o = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर $\sin 30^o = \frac{1}{2}$ और $\cos 30^o = \frac{\sqrt{3}}{2}$,हमें मिलता है $\frac{1}{2} - \mu_k \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\mu_k \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
$\mu_k$ के लिए हल करने पर: $\mu_k = \frac{1}{4} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.

(B) विश्राम कोण $\theta$ नत समतल का वह कोण है जिस पर उस पर रखी गई वस्तु फिसलना शुरू कर देती है।
इस कोण पर,समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$mg \sin \theta = \mu_s mg \cos \theta$.
इसे सरल करने पर $\tan \theta = \mu_s$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\mu_s = \frac{3}{4}$ दिया गया है,इसलिए $\tan \theta = 0.75$ है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(0.75) = 37^o$ होगा।

(A) ब्लॉक और समतल के बीच संपर्क बल $F_c$,अभिलंब बल $N$ और घर्षण बल $f$ का परिणामी है।
$F_c = \sqrt{N^2 + f^2}$।
नत समतल पर रखे ब्लॉक के लिए,अभिलंब बल $N = mg \cos \theta$ होता है।
यदि ब्लॉक संतुलन में है,तो घर्षण बल $f$ समतल के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण के घटक को संतुलित करता है,इसलिए $f = mg \sin \theta$।
अतः,$F_c = \sqrt{(mg \cos \theta)^2 + (mg \sin \theta)^2} = \sqrt{m^2g^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = mg$।
चूंकि संपर्क बल $F_c = mg$ कोण $\theta$ से स्वतंत्र है,इसलिए जैसे-जैसे $\theta$ को $0^o$ से $90^o$ तक बढ़ाया जाता है,यह स्थिर रहता है।

(B) माना बोर्ड और जोड़े गए भार का कुल द्रव्यमान $M_{total} = (M + m)$ है।
जब बोर्ड क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर झुका होता है,तो द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $(M + m)g$ को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. बोर्ड के लंबवत घटक: $(M + m)g \cos \theta$,जो अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ द्वारा संतुलित होता है।
$2$. बोर्ड के समानांतर घटक: $(M + m)g \sin \theta$,जो बोर्ड को नीचे की ओर सरकाने की प्रवृत्ति रखता है।
बोर्ड के संतुलन में रहने के लिए,घर्षण बल $f$ को बोर्ड के समानांतर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक को संतुलित करना चाहिए।
अतः,$f = (M + m)g \sin \theta$.
चूंकि बोर्ड फिसलने की स्थिति में है,इसलिए घर्षण बल सीमांत घर्षण है,$f = \mu N$.
$N = (M + m)g \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f = \mu (M + m)g \cos \theta$.
$f$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$(M + m)g \sin \theta = \mu (M + m)g \cos \theta$
$\mu = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.
अतः,घर्षण गुणांक $\tan \theta$ है।

(A) खुरदरे नत समतल पर नीचे की ओर फिसलने वाले ब्लॉक का त्वरण $a$ इस प्रकार दिया जाता है:
$a = g \sin \theta - \mu g \cos \theta = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$
दिया गया है: $u = 0$,$s = 8 \ m$,$t = 2 \ s$,$\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 \ m/s^2$.
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$8 = 0 \times 2 + \frac{1}{2} \times a \times (2)^2$
$8 = 2a \implies a = 4 \ m/s^2$
अब,$a$ के लिए व्यंजक में मान रखने पर:
$4 = 10(\sin 30^{\circ} - \mu \cos 30^{\circ})$
$4 = 10(\frac{1}{2} - \mu \frac{\sqrt{3}}{2})$
$4 = 5 - 5\sqrt{3}\mu$
$5\sqrt{3}\mu = 5 - 4 = 1$
$\mu = \frac{1}{5\sqrt{3}}$

(B) चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_1 = g \sin \theta$ है। '$d$' दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \sqrt{\frac{2d}{g \sin \theta}}$ है।
खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_2 = g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta$ है। '$d$' दूरी तय करने में लगा समय $t_2 = \sqrt{\frac{2d}{g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta}}$ है।
दिया गया है कि $t_2 = n t_1$,इसलिए $n = \frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{g \sin \theta}{g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta}} = \sqrt{\frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu_k \cos \theta}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $n^2 = \frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu_k \cos \theta}$.
चूंकि $\theta = 45^\circ$,$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$n^2 = \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2} - \mu_k (1/\sqrt{2})} = \frac{1}{1 - \mu_k}$.
इसे हल करने पर $1 - \mu_k = \frac{1}{n^2}$,अतः $\mu_k = 1 - \frac{1}{n^2}$ प्राप्त होता है।

(A) स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान जहाँ तक वस्तु गति नहीं करती है, उसे सीमांत घर्षण कहते हैं。
विराम कोण $(\alpha)$ को क्षैतिज के साथ नत समतल के उस कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर उस पर रखी वस्तु बस फिसलना शुरू करती है。
सीमांत स्थिति में, बल संतुलित होते हैं:
$F = mg \sin \alpha$
$R = mg \cos \alpha$
इन समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{F}{R} = \tan \alpha$
चूंकि स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s = \frac{F}{R} = \tan \theta$ है, जहाँ $\theta$ घर्षण कोण है, हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta = \tan \alpha \implies \theta = \alpha$
अतः, विराम कोण, घर्षण कोण के बराबर होता है। कारण, सीमांत घर्षण की अवधारणा को सही ढंग से समझाता है जिसका उपयोग इस समानता को प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

(A) $Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं और $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या है। यदि पहाड़ी सड़कें सीधे ऊपर जातीं,तो झुकाव का कोण $\theta$ बहुत बड़ा होता। फिसलने से रोकने के लिए उपलब्ध घर्षण बल $f = \mu mg \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,$\cos \theta$ घटता है,जिससे घर्षण बल कम हो जाता है। इस कम घर्षण के कारण,वाहन के पहियों के फिसलने की संभावना बढ़ जाती है। इसके अलावा,खड़ी ढलान पर चढ़ने के लिए इंजन की बहुत अधिक शक्ति की आवश्यकता होती है,जो अधिकांश वाहनों के लिए व्यावहारिक नहीं है। इसलिए,प्रभावी ढलान को कम करने के लिए सड़कों को घुमावदार बनाया जाता है।

(C) गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^{2} = u^{2} - 2as$। उच्चतम बिंदु पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
इसलिए,$0 = u^{2} - 2as$,जिससे हमें $s = \frac{u^{2}}{2a}$ प्राप्त होता है।
एक चिकने नत समतल पर वस्तु के लिए,त्वरण $a = g \sin \theta$ होता है।
अतः,तय की गई दूरी $s = \frac{u^{2}}{2g \sin \theta}$ है।
चूंकि $u$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $s \propto \frac{1}{\sin \theta}$।
इसलिए,$\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{\sin \theta_{2}}{\sin \theta_{1}} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}$।
मान रखने पर,$\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,अनुपात $x_{1}: x_{2}$ का मान $1: \sqrt{3}$ है।

(B) बॉक्स को खिसकाने के लिए,लगाया गया बल $F$ सीमांत घर्षण बल के बराबर होना चाहिए:
$F = \mu mg \dots (1)$
बॉक्स के पलटने से बचने के लिए,सामने के किनारे पर टॉर्क शून्य या संतुलित होना चाहिए। बल $F$ आधार से $h = \frac{a}{2} + b$ की ऊंचाई पर लगाया जाता है। पलटने से रोकने के लिए अभिलंब बल $N$ सामने के किनारे पर स्थानांतरित हो जाता है। सामने के किनारे पर टॉर्क लेने पर:
$F \left( \frac{a}{2} + b \right) = mg \left( \frac{a}{2} \right) \dots (2)$
समीकरण $(1)$ से $F = \mu mg$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\mu mg \left( \frac{a}{2} + b \right) = mg \left( \frac{a}{2} \right)$
$\mu \left( \frac{a}{2} + b \right) = \frac{a}{2}$
दिया गया है $\mu = 0.4 = \frac{2}{5}$,अतः:
$\frac{2}{5} \left( \frac{a}{2} + b \right) = \frac{a}{2}$
$5$ से गुणा करने पर:
$2 \left( \frac{a}{2} + b \right) = 2.5a$
$a + 2b = 2.5a$
$2b = 1.5a$
$\frac{b}{a} = \frac{1.5}{2} = 0.75$
इसलिए,$100 \times \frac{b}{a} = 100 \times 0.75 = 75$.

(D) नत समतल पर स्थिर $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$(i)$ भार $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$(ii)$ तल द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल $N$।
$(iii)$ स्थैतिक घर्षण बल $f_{s}$ जो संभावित गति का विरोध करता है।
साम्यावस्था में,इन बलों का परिणामी शून्य होना चाहिए। भार $mg$ को दो दिशाओं में वियोजित करने पर:
$mg \sin \theta = f_{s}$
$mg \cos \theta = N$
जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,स्व-समायोजित घर्षण बल $f_{s}$ तब तक बढ़ता है जब तक कि $\theta = \theta_{\max}$ पर $f_{s}$ अपना अधिकतम मान प्राप्त न कर ले,$(f_{s})_{\max} = \mu_{s} N$।
अतः,$\tan \theta_{\max} = \mu_{s}$।
जब $\theta$ का मान $\theta_{\max}$ से थोड़ा अधिक हो जाता है,तो ब्लॉक फिसलना शुरू कर देता है।
$\theta_{\max} = 15^{\circ}$ के लिए,स्थैतिक घर्षण गुणांक है:
$\mu_{s} = \tan 15^{\circ} \approx 0.2679 \approx 0.27$.

(N/A) ढलान वाली सड़क पर वाहन के बिना फिसले पार्क होने के लिए,ढलान के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक ढलान के ऊपर की ओर कार्य करने वाले स्थैतिक घर्षण बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
मान लीजिए कि वाहन का द्रव्यमान $m$ है,बैंकिंग का कोण $\theta$ है,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g$ है।
ढलान के नीचे की ओर कार्य करने वाला भार का घटक $mg \sin \theta$ है।
अधिकतम उपलब्ध स्थैतिक घर्षण बल $f_{s, \max} = \mu_s N$ है,जहाँ $N$ अभिलंब बल है।
ढलान पर,अभिलंब बल $N = mg \cos \theta$ होता है।
वाहन के स्थिर रहने के लिए,शर्त $mg \sin \theta \leq \mu_s mg \cos \theta$ है।
दोनों पक्षों को $mg \cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें $\tan \theta \leq \mu_s$ प्राप्त होता है।
अतः,यदि $\mu_s \geq \tan \theta$ है,तो वाहन को ढलान पर बिना फिसले पार्क किया जा सकता है।

(D) चिकने नत समतल के लिए:
त्वरण $a = g \sin \theta$ है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $a = g \sin 45^{\circ} = \frac{g}{\sqrt{2}}$।
विरामावस्था से $T$ समय में तय की गई दूरी $d = \frac{1}{2} a T^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{g}{\sqrt{2}} \right) T^2 = \frac{g T^2}{2\sqrt{2}}$ है।
खुरदरे नत समतल के लिए:
परिणामी बल $F_{net} = mg \sin \theta - f_k = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है।
त्वरण $a' = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है।
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$ है,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $a' = g \left( \frac{1 - \mu}{\sqrt{2}} \right)$।
$pT$ समय में तय की गई दूरी $d = \frac{1}{2} a' (pT)^2 = \frac{1}{2} g \left( \frac{1 - \mu}{\sqrt{2}} \right) p^2 T^2$ है।
$d$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{g T^2}{2\sqrt{2}} = \frac{g p^2 T^2 (1 - \mu)}{2\sqrt{2}}$
$1 = p^2 (1 - \mu)$
$1 - \mu = \frac{1}{p^2}$
$\mu = 1 - \frac{1}{p^2} = \frac{p^2 - 1}{p^2}$।

(N/A) चित्र में दिखाए गए आरेख पर विचार करें।
$(a)$ बॉक्स के ढलान पर नीचे की ओर फिसलना शुरू करने के लिए:
$f = mg \sin \theta$
$N = mg \cos \theta$
चूंकि $\mu = \frac{f}{N}$,इसलिए $\mu = \frac{mg \sin \theta}{mg \cos \theta} = \tan \theta$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\mu)$.
$(b)$ जब झुकाव कोण को बढ़ाकर $\alpha > \theta$ कर दिया जाता है,तो समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाला परिणामी बल $F_1$ गुरुत्वाकर्षण के घटक और गतिज घर्षण का अंतर होता है:
$F_1 = mg \sin \alpha - f_k = mg \sin \alpha - \mu N = mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = mg(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)$.
$(c)$ बॉक्स को स्थिर रखने या एकसमान गति से ऊपर की ओर ले जाने के लिए,लगाया गया बल $F_2$ गुरुत्वाकर्षण के घटक और घर्षण बल (जो अब नीचे की दिशा में कार्य करता है) दोनों को संतुलित करना चाहिए:
$F_2 = mg \sin \alpha + f_k = mg \sin \alpha + \mu mg \cos \alpha = mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)$.
$(d)$ जब बॉक्स को $a$ त्वरण के साथ समतल पर ऊपर की ओर ले जाना हो,तो परिणामी बल $F_3$ में त्वरण को भी शामिल करना होगा:
$F_3 = mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha) + ma$.

(N/A) हाँ,गुटके पर एक स्थैतिक घर्षण बल $f$ कार्य कर रहा है।
चूंकि गुटका नत समतल के सापेक्ष स्थिर है,इसलिए घर्षण बल $f = Mg \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
किसी बल द्वारा किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ के रूप में परिभाषित होता है। चूंकि गुटका नत समतल के सापेक्ष गति में नहीं है (विस्थापन $d = 0$),इसलिए घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य शून्य है।
चूंकि किया गया कार्य शून्य है और सतहों के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं है,इसलिए ऊर्जा का कोई क्षय नहीं होता है।

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक पर सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि ब्लॉक $B$ पर विरामावस्था से शुरू होता है और $A$ पर स्थिर हो जाता है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = 0 - 0 = 0$ है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण और घर्षण हैं।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $(W_g)$ = $mg \sin \theta \times (BC + AC)$.
घर्षण द्वारा किया गया कार्य $(W_f)$ = $-\mu mg \cos \theta \times AC$ (क्योंकि घर्षण केवल खुरदरे खंड $CA$ पर कार्य करता है)।
कुल कार्य को शून्य के बराबर रखने पर: $W_g + W_f = 0$.
$mg \sin \theta (BC + AC) - \mu mg \cos \theta (AC) = 0$.
दिया गया है $BC = 2AC$,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$mg \sin \theta (2AC + AC) = \mu mg \cos \theta (AC)$.
$3mg \sin \theta (AC) = \mu mg \cos \theta (AC)$.
$3 \sin \theta = \mu \cos \theta$.
$\mu = 3 \tan \theta$.
इसकी तुलना $\mu = k \tan \theta$ से करने पर,हमें $k = 3$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि नत समतल पर तय की गई दूरी $s$ है। ऊपर की ओर गति करते समय त्वरण $a_{up} = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ है।
$v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए,ऊपर की यात्रा के लिए: $0 - v_{0}^2 = -2 a_{up} s \implies s = \frac{v_{0}^2}{2g(\sin \theta + \mu \cos \theta)}$.
नीचे की ओर गति करते समय त्वरण $a_{down} = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है।
नीचे की यात्रा के लिए: $(\frac{v_{0}}{2})^2 - 0 = 2 a_{down} s \implies s = \frac{v_{0}^2}{8g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}$.
$s$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{v_{0}^2}{2g(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{v_{0}^2}{8g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}$.
$4(\sin \theta - \mu \cos \theta) = \sin \theta + \mu \cos \theta \implies 3 \sin \theta = 5 \mu \cos \theta$.
$\mu = \frac{3}{5} \tan 30^{\circ} = \frac{3}{5} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{5} \approx 0.3464$.
दिया गया है कि $\mu = \frac{I}{1000}$,इसलिए $I = 346.4$। निकटतम पूर्णांक $346$ है।

(D) मान लीजिए कि जिस बिंदु पर कीट फिसलना शुरू करता है,वहाँ त्रिज्या ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है। इस बिंदु पर,स्पर्शरेखा की दिशा में गुरुत्वाकर्षण का घटक अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल को संतुलित करता है।
$mg \sin \theta = f_{max} = \mu N$
चूँकि अभिलंब बल $N = mg \cos \theta$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$mg \sin \theta = \mu mg \cos \theta$
$\tan \theta = \mu = 0.75 = \frac{3}{4}$
अर्धगोले की ज्यामिति से,तल से ऊँचाई $h$ इस प्रकार दी जाती है:
$h = R - R \cos \theta = R(1 - \cos \theta)$
यहाँ $\tan \theta = \frac{3}{4}$ है,इसलिए $\sin \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$ होगा।
मान रखने पर:
$h = 1 \times (1 - \frac{4}{5}) = 1 \times \frac{1}{5} = 0.2\, m$.

(C) दिया गया है,$\theta=45^{\circ}, s_{1}=s_{2}, u=0$.
खुरदरे नत समतल पर,त्वरण $a_{1}=g(\sin \theta-\mu \cos \theta)$ है।
घर्षण रहित नत समतल पर,त्वरण $a_{2}=g \sin \theta$ है।
मान लीजिए $t_{1}$ खुरदरे समतल पर लगा समय है और $t_{2}$ घर्षण रहित समतल पर लगा समय है। दिया गया है $t_{1}=2 t_{2}$।
गति के समीकरण $s=ut+\frac{1}{2}at^{2}$ का उपयोग करते हुए,$u=0$ के लिए:
$s_{1}=\frac{1}{2}g(\sin \theta-\mu \cos \theta)t_{1}^{2}$
$s_{2}=\frac{1}{2}g \sin \theta t_{2}^{2}$
चूंकि $s_{1}=s_{2}$,हमारे पास है:
$\frac{1}{2}g(\sin \theta-\mu \cos \theta)t_{1}^{2}=\frac{1}{2}g \sin \theta t_{2}^{2}$
$\frac{\sin \theta-\mu \cos \theta}{\sin \theta}=\frac{t_{2}^{2}}{t_{1}^{2}}$
$t_{1}=2t_{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1-\mu \cot \theta=\frac{t_{2}^{2}}{(2t_{2})^{2}}=\frac{1}{4}$
$\mu \cot \theta=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
$\mu=\frac{3}{4 \cot \theta}$। चूंकि $\theta=45^{\circ}$,$\cot 45^{\circ}=1$,इसलिए $\mu=\frac{3}{4}=0.75$।

(A) जब कोई वस्तु किसी नत समतल पर नियत वेग से नीचे फिसलती है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
इसका अर्थ है कि समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक,समतल के ऊपर की ओर कार्य करने वाले घर्षण बल द्वारा संतुलित होता है।
मान लीजिए $m$ द्रव्यमान है,$\theta$ झुकाव का कोण है,और $\mu$ घर्षण गुणांक है।
समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला बल $mg \sin \theta$ है।
घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$ है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है $mg \sin \theta = \mu mg \cos \theta$.
इसलिए,$\mu = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\mu = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(B) आनत तल पर ब्लॉक के स्थिर रहने की शर्त यह है कि झुकाव कोण $\theta$,विराम कोण $\alpha$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए,जहाँ $\tan \alpha = \mu$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,ब्लॉक फिसलने की स्थिति में होता है,इसलिए उस बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा का ढाल घर्षण गुणांक के बराबर होता है।
$\tan \theta = \frac{dy}{dx} = \mu$
दिया गया है $y = \frac{x^2}{4}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}$ है।
$\frac{x}{2} = \mu = 0.5$ रखने पर,हमें $x = 1 \ m$ प्राप्त होता है।
अब,$x = 1 \ m$ पर संबंधित ऊँचाई $y$ ज्ञात करें:
$y = \frac{x^2}{4} = \frac{(1)^2}{4} = 0.25 \ m$ है।
चूंकि $1 \ m = 100 \ cm$ होता है,इसलिए ऊँचाई $0.25 \times 100 = 25 \ cm$ होगी।

(A) चिकने आनत तल के लिए:
त्वरण $a_1 = g \sin 30^{\circ} = \frac{g}{2}$ है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 0$:
$S = \frac{1}{2} \left(\frac{g}{2}\right) T^2 = \frac{g T^2}{4} \quad \dots (i)$
खुरदरे आनत तल के लिए:
त्वरण $a_2 = g \sin 30^{\circ} - \mu g \cos 30^{\circ} = g(\sin 30^{\circ} - \mu \cos 30^{\circ}) = g\left(\frac{1}{2} - \mu \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{g}{2}(1 - \sqrt{3}\mu)$ है।
उसी दूरी $S$ और समय $\alpha T$ के लिए:
$S = \frac{1}{2} \left[\frac{g}{2}(1 - \sqrt{3}\mu)\right] (\alpha T)^2 = \frac{g}{4}(1 - \sqrt{3}\mu) \alpha^2 T^2 \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{g T^2}{4} = \frac{g}{4}(1 - \sqrt{3}\mu) \alpha^2 T^2$
$1 = (1 - \sqrt{3}\mu) \alpha^2$
$\frac{1}{\alpha^2} = 1 - \sqrt{3}\mu$
$\sqrt{3}\mu = 1 - \frac{1}{\alpha^2} = \frac{\alpha^2 - 1}{\alpha^2}$
$\mu = \frac{1}{\sqrt{3}} \left(\frac{\alpha^2 - 1}{\alpha^2}\right)$
दिए गए व्यंजक $\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\frac{\alpha^{2}-1}{\alpha^{2}}\right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(C) माना ऊपर जाने का समय $t_a$ है और नीचे आने का समय $t_d$ है। दिया गया है कि $t_a = \frac{1}{2} t_d$,जिसका अर्थ है $t_d = 2 t_a$.
चूंकि तय की गई दूरी $s$ समान है,$s = \frac{1}{2} a_a t_a^2 = \frac{1}{2} a_d t_d^2$.
$t_d = 2 t_a$ रखने पर,$a_a t_a^2 = a_d (2 t_a)^2$,अतः $a_a = 4 a_d$.
ऊपर जाते समय त्वरण $a_a = g \sin \theta + \mu g \cos \theta = g \sin 30^{\circ} + \mu g \cos 30^{\circ} = \frac{g}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mu g$.
नीचे आते समय त्वरण $a_d = g \sin \theta - \mu g \cos \theta = g \sin 30^{\circ} - \mu g \cos 30^{\circ} = \frac{g}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \mu g$.
$a_a = 4 a_d$ में इन मानों को रखने पर: $\frac{g}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mu g = 4 (\frac{g}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \mu g)$.
$g$ से भाग देने पर: $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mu = 2 - 2\sqrt{3} \mu$.
$\frac{5\sqrt{3}}{2} \mu = \frac{3}{2} \implies \mu = \frac{3}{5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{5}$.
$\mu = \frac{\sqrt{3}}{5}$ की तुलना $\frac{\sqrt{x}}{5}$ से करने पर,$x = 3$ प्राप्त होता है।

(A) चूंकि ब्लॉक नियत वेग से नीचे फिसल रहा है,इसलिए उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $(Mg)$,अभिलंब बल $(N)$ और गतिज घर्षण बल $(f)$ हैं।
गुरुत्वाकर्षण बल के घटकों को वियोजित करने पर:
$N = Mg \cos \theta$ (समतल के लंबवत)
$f = Mg \sin \theta$ (समतल के समानांतर)
संपर्क बल $(R)$,अभिलंब बल $(N)$ और घर्षण बल $(f)$ का परिणामी है:
$R = \sqrt{N^2 + f^2}$
$N$ और $f$ के मान रखने पर:
$R = \sqrt{(Mg \cos \theta)^2 + (Mg \sin \theta)^2}$
$R = \sqrt{M^2g^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$R = \sqrt{M^2g^2(1)}$
$R = Mg$