Motion (or rest) on Rough Inclined Surface Questions in Hindi

(B) $\theta$ कोण वाले नत समतल पर $m$ द्रव्यमान के पिंड पर विचार करें। पिंड पर कार्य करने वाले बल निम्नलिखित हैं:
$1$. नत समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक: $mg \sin \theta$.
$2$. समतल के लंबवत कार्य करने वाला अभिलंब बल: $N = mg \cos \theta$.
$3$. समतल के ऊपर की ओर कार्य करने वाला गतिज घर्षण बल: $f_k = \mu N = \mu mg \cos \theta$.
नत समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल बल $F_{\text{net}}$,गुरुत्वाकर्षण घटक और घर्षण बल का अंतर है:
$F_{\text{net}} = mg \sin \theta - f_k = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F_{\text{net}} = ma$ का उपयोग करते हुए:
$ma = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$.
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर,त्वरण $a$ प्राप्त होता है:
$a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.

(A) जब कोई पिंड नत समतल पर ऊपर की ओर गति करता है,तो गति के विपरीत कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का समतल के अनुदिश घटक $(mg \sin \theta)$ और घर्षण बल $(f = \mu N = \mu mg \cos \theta)$ होते हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $F_{net} = ma = -(mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta)$ होता है।
अतः,मंदन $a = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए मानों $\theta = 30^{\circ}$ और $\mu = 0.5$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$a = g(\sin 30^{\circ} + 0.5 \cos 30^{\circ})$
$a = g\left(\frac{1}{2} + 0.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$a = g\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
$a = g\left(\frac{2 + \sqrt{3}}{4}\right)$.

(A) ब्लॉक नत समतल पर तब रुकता है जब उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा घर्षण के विरुद्ध कार्य करने में और स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित होने में खर्च हो जाती है।
नत समतल का कोण $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए नत समतल पर तय की गई दूरी $(s)$ और ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $(h)$ के बीच संबंध है:
$\sin 45^{\circ} = \frac{h}{s} \implies s = \frac{h}{\sin 45^{\circ}} = h \sqrt{2}$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य और स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के योग के बराबर होती है:
$K.E. = W_{\text{friction}} + \Delta U$
$K.E. = (\mu mg \cos \theta) \cdot s + mgh$
$s = h \sqrt{2}$ और $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का मान रखने पर:
$100 = (0.5 \times 5 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \times (h \sqrt{2}) + (5 \times 10 \times h)$
$100 = (0.5 \times 5 \times 10 \times h) + 50h$
$100 = 25h + 50h$
$100 = 75h$
$h = \frac{100}{75} = \frac{4}{3} \text{ m}$.
अतः,तय की गई दूरी $s$ है:
$s = h \sqrt{2} = \frac{4}{3} \sqrt{2} \text{ m}$.

(A) $m$ द्रव्यमान वाले एक पिंड को $\theta$ कोण पर झुके हुए समतल पर विचार करें। पिंड पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ जो समतल के लंबवत कार्य करता है।
$3$. घर्षण बल $f$ जो समतल पर ऊपर की ओर कार्य करता है और गति का विरोध करता है।
गुरुत्वाकर्षण बल के घटक $mg \sin \theta$ (समतल के समानांतर) और $mg \cos \theta$ (समतल के लंबवत) हैं।
समतल के लंबवत संतुलन के लिए,$N = mg \cos \theta$ है।
घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$ है।
समतल की दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$mg \sin \theta - f = ma$
$mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta = ma$
$m$ से विभाजित करने पर,हमें त्वरण प्राप्त होता है:
$a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$

(A) जब $m$ द्रव्यमान का एक पिंड $a$ त्वरण के साथ नत समतल पर नीचे की ओर फिसलता है,तो पिंड पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin \theta$ है।
$2$. अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R$,$mg \cos \theta$ के बराबर है।
$3$. समतल के ऊपर की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu R = \mu mg \cos \theta$ है।
समतल के अनुदिश न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करने पर:
$ma = mg \sin \theta - f$
$ma = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर:
$a = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$
$a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$

(B) मान लीजिए कि कण ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर है। कण पर कार्य करने वाले बल उसका भार $mg$ नीचे की ओर,अभिलंब बल $N$ त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर,और घर्षण बल $f$ सतह के स्पर्शरेखीय है।
कण के स्थिर रहने के लिए,स्पर्शरेखा के अनुदिश भार का घटक सीमांत घर्षण द्वारा संतुलित होना चाहिए: $mg \sin \theta = f = \mu N$.
सतह के लंबवत भार का घटक अभिलंब बल द्वारा संतुलित होता है: $N = mg \cos \theta$.
$N$ का मान घर्षण समीकरण में रखने पर: $mg \sin \theta = \mu (mg \cos \theta) \implies \tan \theta = \mu = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\theta = 30^\circ$.
अर्धगोले के निचले बिंदु से कण की ऊँचाई $h = R - R \cos \theta = R(1 - \cos 30^\circ)$ है।
$h = R(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$.

(A) मान लीजिए नत समतल की कुल लंबाई $l$ है। ऊपरी आधे भाग की लंबाई $l/2$ है और यह चिकना है,जबकि निचले आधे भाग की लंबाई $l/2$ है और यह $\mu$ घर्षण गुणांक के साथ खुरदरा है।
ऊपरी आधे भाग के लिए (चिकना):
त्वरण $a_1 = g \sin \phi$ है। प्रारंभिक वेग $u = 0$ है। समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर,मध्य बिंदु पर वेग $v$:
$v^2 = 0 + 2(g \sin \phi)(l/2) = gl \sin \phi$.
निचले आधे भाग के लिए (खुरदरा):
प्रारंभिक वेग $v$ (मध्य बिंदु से) है,और अंतिम वेग $0$ (निचले सिरे पर) है। त्वरण $a_2 = g(\sin \phi - \mu \cos \phi)$ है। $v_f^2 = v_i^2 + 2a_2s$ का उपयोग करने पर:
$0 = v^2 + 2g(\sin \phi - \mu \cos \phi)(l/2)$.
$v^2 = gl \sin \phi$ प्रतिस्थापित करने पर:
$0 = gl \sin \phi + gl(\sin \phi - \mu \cos \phi)$.
$gl$ से विभाजित करने पर:
$0 = \sin \phi + \sin \phi - \mu \cos \phi$.
$2 \sin \phi = \mu \cos \phi$.
अतः,$\mu = 2 \tan \phi$.

(D) एक चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_s = g \sin \theta$ है। $s$ दूरी तय करने में लगा समय $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ है।
एक खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। लगा समय $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ है।
दिया गया है कि $t_r = n t_s$,जहाँ $n = 2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$।
इसे सरल करने पर $\sin \theta = n^2(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
$\mu$ के लिए हल करने पर: $\mu = \tan \theta \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$।
$\theta = 45^{\circ}$ और $n = 2$ का मान रखने पर: $\mu = \tan 45^{\circ} \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) = 1 \times (1 - 0.25) = 0.75$।

(C) जब किसी कण को नत समतल पर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण का घटक और घर्षण बल दोनों गति की विपरीत दिशा में कार्य करते हैं।
कण पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = -(mg \sin \theta + f_k)$ है,जहाँ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$ma = -(mg \sin \theta + \mu_k mg \cos \theta)$।
मंदन (deceleration) का परिमाण $a = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ और $\mu = 0.5$ दिया गया है,इसलिए:
$a = g(\sin 45^{\circ} + 0.5 \cos 45^{\circ})$
$a = g(\frac{1}{\sqrt{2}} + 0.5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})$
$a = g(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{2}}) = g(\frac{2+1}{2 \sqrt{2}})$
$a = \frac{3g}{2 \sqrt{2}}$।

(D) कन्वेयर बेल्ट पर व्यक्ति का अधिकतम संभव त्वरण ढलान के अनुदिश कुल बल को द्रव्यमान से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$a_{\max} = \frac{\mu m g \cos \theta - m g \sin \theta}{m} = g(\mu \cos \theta - \sin \theta)$
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$,$\mu = \frac{5}{3 \sqrt{3}}$,$\sin 30^{\circ} = 0.5$,और $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है:
$a_{\max} = g \left( \frac{5}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \right) = g \left( \frac{5}{6} - \frac{3}{6} \right) = \frac{g}{3}$
कन्वेयर बेल्ट की लंबाई $L$ और ऊँचाई $h$ के बीच संबंध $L = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = 2h$ है।
जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का प्रारंभिक वेग $u = \sqrt{\frac{g h}{6}}$ है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2} a t^2$ का उपयोग करने पर:
$2h = \left( \sqrt{\frac{g h}{6}} \right) t + \frac{1}{2} \left( \frac{g}{3} \right) t^2$
$2h = \frac{t \sqrt{gh}}{\sqrt{6}} + \frac{gt^2}{6}$
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर:
$12h = t \sqrt{6gh} + gt^2$
$gt^2 + t \sqrt{6gh} - 12h = 0$
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{-\sqrt{6gh} + \sqrt{6gh + 48gh}}{2g} = \frac{-\sqrt{6gh} + \sqrt{54gh}}{2g} = \frac{2\sqrt{6gh}}{2g} = \sqrt{\frac{6h}{g}}$

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \ kg$,त्वरण $a = 4 \ m/s^2$,कोण $\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 \ m/s^2$.
स्थिति $1$: पिंड नीचे की ओर फिसल रहा है।
समतल के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin \theta = 2 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 20 \times 0.5 = 10 \ N$ है।
माना $f$ ऊपर की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल है। गति का समीकरण है:
$mg \sin \theta - f = ma$
$10 - f = 2 \times 4$
$10 - f = 8$
$f = 2 \ N$.
स्थिति $2$: पिंड उसी त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रहा है।
माना $F$ ऊपर की ओर लगाया गया बाहरी बल है। घर्षण बल $f$ अब नीचे की ओर कार्य करेगा।
गति का समीकरण है:
$F - mg \sin \theta - f = ma$
$F - 10 - 2 = 2 \times 4$
$F - 12 = 8$
$F = 20 \ N$.

(C) जब नत समतल का कोण (जिसे विश्राम कोण भी कहा जाता है) घर्षण कोण के बराबर हो जाता है,तब कोई वस्तु नीचे की ओर फिसलना शुरू कर देती है। मान लीजिए $\theta$ वह कोण है जिस पर द्रव्यमान फिसलना शुरू करता है।
फिसलने की स्थिति में,स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ गुरुत्वाकर्षण के नीचे की ओर वाले घटक के बराबर होता है।
$f_s = mg \sin \theta$
चूंकि $f_s = \mu N$ और अभिलंब बल $N = mg \cos \theta$ है,इसलिए:
$\mu (mg \cos \theta) = mg \sin \theta$
$\mu = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$
$\theta = \tan^{-1} \mu$
अतः,विश्राम कोण $\theta$ केवल स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu$ पर निर्भर करता है और वस्तु के द्रव्यमान $m$ से स्वतंत्र है। इसलिए,तीनों द्रव्यमान एक ही समय पर समान झुकाव कोण पर फिसलना शुरू करेंगे।

(B) $1$. जब वस्तु समान वेग से नीचे फिसलती है,तो कुल बल शून्य होता है। इसका अर्थ है कि गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$,गतिज घर्षण $f_k = \mu_k mg \cos \theta$ द्वारा संतुलित होता है। अतः,$\mu_k = \tan \theta$.
$2$. जब वस्तु को $u$ वेग से ऊपर धकेला जाता है,तो उसे $a_{up} = g \sin \theta + \mu_k g \cos \theta$ का मंदन मिलता है। चूँकि $\mu_k = \tan \theta$,इसलिए $a_{up} = 2g \sin \theta$.
$3$. रुकने के बाद,वस्तु नीचे फिसलती है। ऊपर की यात्रा के दौरान घर्षण के कारण नष्ट हुई ऊर्जा $W_f = f_k \times d$ है। नीचे की यात्रा के दौरान भी उतनी ही ऊर्जा घर्षण में व्यय होती है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = K_i + W_{gravity} - W_{friction}$ होगी। घर्षण के कारण ऊर्जा के ह्रास के कारण,अंतिम वेग $u$ से कम होगा।

(D) मान लीजिए कि $R$ त्रिज्या वाले रेत के शंकु की ऊँचाई $h$ है। विश्राम कोण (angle of repose) $\alpha$ वह अधिकतम कोण है जिस पर रेत को बिना फिसले ढेर किया जा सकता है। यह कोण स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu$ से $\tan \alpha = \mu$ द्वारा संबंधित है।
शंकु में,कोण $\alpha$ तिरछी ऊँचाई और क्षैतिज जमीन के बीच बनता है। शंकु की ज्यामिति से,$\tan \alpha = \frac{h}{R}$ होता है।
$\tan \alpha$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{h}{R} = \mu$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h = \mu R$।
शंकु का आयतन $V$,$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन के सूत्र में $h = \mu R$ रखने पर,हमें $V_{\max} = \frac{1}{3} \pi R^2 (\mu R) = \frac{\mu \pi R^3}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $l$ आनत तल की कुल लंबाई है और $\theta$ झुकाव कोण है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,पिंड पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है और नीचे फिर से विरामावस्था में आ जाता है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = 0$ है।
पिंड पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण,घर्षण और अभिलंब बल हैं।
$1$. गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $(W_g)$: $W_g = mgh = mg(l \sin \theta)$.
$2$. घर्षण द्वारा किया गया कार्य $(W_f)$: घर्षण केवल $l(1 - 1/n)$ लंबाई के निचले हिस्से पर कार्य करता है। अतः,$W_f = -f_k \cdot d = -(\mu_k mg \cos \theta) \cdot l(1 - 1/n)$.
$3$. अभिलंब बल द्वारा किया गया कार्य $(W_N)$: चूंकि अभिलंब बल हमेशा विस्थापन के लंबवत होता है,इसलिए $W_N = 0$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर: $W_g + W_f + W_N = 0$.
$mg l \sin \theta - \mu_k mg \cos \theta \cdot l \left(\frac{n-1}{n}\right) = 0$.
$mg l \cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \mu_k \left(\frac{n-1}{n}\right)$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left[\left(\frac{n-1}{n}\right) \mu_k\right]$.

(B) जब ब्लॉक एक त्वरित वेज पर स्थिर रहता है,तो वेज के फ्रेम में ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल हैं: गुरुत्वाकर्षण ($mg$ नीचे की ओर),छद्म बल (pseudo force,$ma$ क्षैतिज रूप से बाहर की ओर),अभिलंब बल ($N$ सतह के लंबवत),और घर्षण ($f$ सतह के समानांतर)।
न्यूनतम त्वरण $(a_{\min})$ ज्ञात करने के लिए,ब्लॉक को नीचे फिसलने से रोकने के लिए घर्षण बल को ढलान पर ऊपर की ओर कार्य करना चाहिए।
ढलान के समानांतर और लंबवत बलों को वियोजित करने पर:
$N = mg \cos \theta + ma \sin \theta$
$f + ma \cos \theta = mg \sin \theta$
चूंकि $f = \mu N$,हमारे पास है: $\mu(mg \cos \theta + ma \sin \theta) = mg \sin \theta - ma \cos \theta$.
$a$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$ma(\mu \sin \theta + \cos \theta) = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$
$a = g \frac{\sin \theta - \mu \cos \theta}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$a_{\min} = g \frac{1 - \mu}{1 + \mu}$
$g = 10 \ m \ s^{-2}$ और $\mu = 0.4$ रखने पर:
$a_{\min} = 10 \times \frac{1 - 0.4}{1 + 0.4} = 10 \times \frac{0.6}{1.4} = \frac{60}{14} = \frac{30}{7} \ m \ s^{-2}$.

(B) दोनों ब्लॉकों पर कार्य करने वाला घर्षण बल गतिज प्रकृति का है।
$1 \ kg$ ब्लॉक के लिए:
$f_1 = \mu m_1 g \cos 45^{\circ} = 0.4 \times 1 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ N$
$2 \ kg$ ब्लॉक के लिए:
$f_2 = \mu m_2 g \cos 45^{\circ} = 0.4 \times 2 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \ N$
नत समतल के अनुदिश नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल बल त्वरण $a = \alpha \sqrt{2}$ प्रदान करता है:
$(m_1 + m_2)g \sin 45^{\circ} - (f_1 + f_2) = (m_1 + m_2)a$
$(1 + 2) \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} - (2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = (1 + 2) \times (\alpha \sqrt{2})$
$30 \times \frac{1}{\sqrt{2}} - 6\sqrt{2} = 3\alpha \sqrt{2}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$30 - 6 \times 2 = 3\alpha \times 2$
$30 - 12 = 6\alpha$
$18 = 6\alpha$
$\alpha = 3$

(B) ब्लॉक तब फिसलना शुरू करेगा जब उस बिंदु पर वक्र का ढाल विराम कोण के टेंजेंट $(\tan \theta = \mu_s)$ के बराबर होगा।
किसी भी बिंदु $x$ पर वक्र का ढाल अवकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$m = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{20} \right) = \frac{2x}{20} = \frac{x}{10}$.
ब्लॉक के बिना फिसले संतुलन में रहने के लिए,ढाल को निम्नलिखित शर्त को पूरा करना चाहिए:
$\frac{dy}{dx} \leq \mu_s$
फिसलने के बिंदु पर,$\frac{x}{10} = 0.5$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = 0.5 \times 10 = 5 \ m$.
अब,अधिकतम ऊँचाई $h$ ज्ञात करने के लिए परवलय के समीकरण में $x = 5 \ m$ रखने पर:
$h = y = \frac{x^2}{20} = \frac{5^2}{20} = \frac{25}{20} = 1.25 \ m$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \ kg$,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s = 0.5$,और घर्षण बल $f = 14.14 \ N = 10\sqrt{2} \ N$.
चूंकि ब्लॉक नत समतल पर स्थिर है,घर्षण बल नत समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक को संतुलित करता है।
$f = mg \sin \theta$
$10\sqrt{2} = 4 \times 10 \times \sin \theta$
$10\sqrt{2} = 40 \sin \theta$
$\sin \theta = \frac{10\sqrt{2}}{40} = \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0.3535$.
यदि हम यह मान लें कि दिया गया घर्षण बल सीमांत घर्षण $(f_L = \mu_s N)$ है:
अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N = mg \cos \theta = 40 \cos \theta$.
$f_L = \mu_s N = 0.5 \times 40 \cos \theta = 20 \cos \theta$.
$f_L = 10\sqrt{2}$ को बराबर करने पर:
$20 \cos \theta = 10\sqrt{2}$
$\cos \theta = \frac{10\sqrt{2}}{20} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\theta = 45^{\circ}$.

(A) ब्लॉक के स्थिर रहने के लिए अधिकतम कोण $\theta$ ज्ञात करने हेतु,$m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक पर कार्य करने वाले बलों पर विचार करें:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ झुकी हुई सतह के लंबवत कार्य करता है।
$3$. स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ गति की प्रवृत्ति का विरोध करने के लिए ढलान पर ऊपर की ओर कार्य करता है।
भार $mg$ के घटकों को वियोजित करने पर:
- ढलान के लंबवत घटक: $mg \cos \theta$
- ढलान के समानांतर घटक: $mg \sin \theta$
ढलान के लंबवत संतुलन के लिए:
$N = mg \cos \theta$
ब्लॉक के स्थिर रहने के लिए,प्रेरक बल सीमांत घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए:
$mg \sin \theta \leq f_{s, \text{max}}$
चूंकि $f_{s, \text{max}} = \mu N = \mu mg \cos \theta$,इसलिए:
$mg \sin \theta \leq \mu mg \cos \theta$
दोनों पक्षों को $mg \cos \theta$ से विभाजित करने पर ($\cos \theta \neq 0$ मानते हुए):
$\tan \theta \leq \mu$
अतः,$\theta$ का अधिकतम मान $\tan \theta = \mu$ द्वारा प्राप्त होता है।

(D) माना $a$ दोनों ब्लॉकों का सामान्य त्वरण है।
पहले ब्लॉक $(m_1)$ के लिए: आनत तल के अनुदिश कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $m_1 g \sin 60^{\circ}$ नीचे की ओर,घर्षण बल $f_1 = \mu_1 N_1 = 1.5 \mu m_1 g \cos 60^{\circ}$ ऊपर की ओर और दूसरे ब्लॉक से प्रतिक्रिया बल $R$ ऊपर की ओर है।
गति का समीकरण: $m_1 g \sin 60^{\circ} - 1.5 \mu m_1 g \cos 60^{\circ} + R = m_1 a$ --- $(i)$
दूसरे ब्लॉक $(m_2)$ के लिए: आनत तल के अनुदिश कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $m_2 g \sin 60^{\circ}$ नीचे की ओर,घर्षण बल $f_2 = \mu_2 N_2 = \mu m_2 g \cos 60^{\circ}$ ऊपर की ओर और पहले ब्लॉक से प्रतिक्रिया बल $R$ नीचे की ओर है।
गति का समीकरण: $m_2 g \sin 60^{\circ} - \mu m_2 g \cos 60^{\circ} - R = m_2 a$ --- $(ii)$
$(i)$ से,$a = g \sin 60^{\circ} - 1.5 \mu g \cos 60^{\circ} + \frac{R}{m_1}$.
$(ii)$ से,$a = g \sin 60^{\circ} - \mu g \cos 60^{\circ} - \frac{R}{m_2}$.
$a$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$g \sin 60^{\circ} - 1.5 \mu g \cos 60^{\circ} + \frac{R}{m_1} = g \sin 60^{\circ} - \mu g \cos 60^{\circ} - \frac{R}{m_2}$
$R \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) = 1.5 \mu g \cos 60^{\circ} - \mu g \cos 60^{\circ} = 0.5 \mu g \cos 60^{\circ}$
$R \left( \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \right) = 0.5 \mu g \left( \frac{1}{2} \right) = 0.25 \mu g = \frac{1}{4} \mu g$
$R = \frac{1}{4} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \mu g$.

(A) आनत तल पर नीचे की ओर फिसलते हुए ब्लॉक का त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \ kg$,कोण $\theta = 45^{\circ}$,गतिज घर्षण गुणांक $\mu = 0.3$,समय $t = 2 \ s$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$.
इन मानों को त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a = 10 \sin 45^{\circ} - 0.3 \times 10 \cos 45^{\circ}$
$a = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} - 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} \ m/s^2$
प्रारंभिक वेग $u = 0$ के साथ दूरी $s$ के लिए गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करने पर:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
$s = 0 \times 2 + \frac{1}{2} \times \left( \frac{7}{\sqrt{2}} \right) \times (2)^2$
$s = \frac{1}{2} \times \frac{7}{\sqrt{2}} \times 4 = \frac{14}{\sqrt{2}} = 7 \sqrt{2} \ m$
अतः,तय की गई दूरी $7 \sqrt{2} \ m$ है।

(A) दिया गया है,$\mu = C s^2$.
नत समतल पर ब्लॉक पर लगने वाला कुल बल:
$M g \sin \theta - f = M a$
$M g \sin \theta - \mu M g \cos \theta = M a$
$a = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$
$\mu = C s^2$ और $\theta = 45^{\circ}$ रखने पर:
$a = g \sin 45^{\circ} - C s^2 g \cos 45^{\circ} = \frac{g}{\sqrt{2}} (1 - C s^2)$
$a = v \frac{dv}{ds}$ संबंध का उपयोग करने पर:
$v \frac{dv}{ds} = \frac{g}{\sqrt{2}} (1 - C s^2)$
$v dv = \frac{g}{\sqrt{2}} (1 - C s^2) ds$
दोनों पक्षों का प्रारंभिक स्थिति $(s=0, v=0)$ से अंतिम स्थिति $(s=s_{max}, v=0)$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{0} v dv = \int_{0}^{s_{max}} \frac{g}{\sqrt{2}} (1 - C s^2) ds$
$0 = \frac{g}{\sqrt{2}} [s - \frac{C s^3}{3}]_{0}^{s_{max}}$
चूंकि $g \neq 0$,हमें प्राप्त होता है:
$s_{max} - \frac{C s_{max}^3}{3} = 0$
$s_{max} (1 - \frac{C s_{max}^2}{3}) = 0$
चूंकि $s_{max} \neq 0$,हमें मिलता है:
$1 = \frac{C s_{max}^2}{3}$
$s_{max}^2 = \frac{3}{C}$
$s_{max} = \sqrt{\frac{3}{C}}$

(D) बक्से को स्थिर संतुलन में रखने के लिए,आनत के अनुदिश नीचे की ओर लगने वाले बल $(mg \sin \theta)$ को अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $(f_{max})$ द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए।
बक्से पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N$,आनत के लंबवत भार के घटक और अनुप्रयुक्त बल $F$ का योग है:
$N = mg \cos \theta + F$
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल इस प्रकार दिया जाता है:
$f_{max} = \mu N = \mu(mg \cos \theta + F)$
संतुलन के लिए,$mg \sin \theta \leq f_{max}$,इसलिए आवश्यक न्यूनतम बल $F$ तब होता है जब $mg \sin \theta = \mu(mg \cos \theta + F)$ हो।
$F$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$F = \frac{mg \sin \theta}{\mu} - mg \cos \theta = mg \left( \frac{\sin \theta}{\mu} - \cos \theta \right)$
दिया है $m = 1 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$\theta = 30^{\circ}$,और $\mu = 0.2$:
$F = 1 \times 10 \left( \frac{\sin 30^{\circ}}{0.2} - \cos 30^{\circ} \right)$
$F = 10 \left( \frac{0.5}{0.2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 10 \left( 2.5 - 0.866 \right)$
$F = 10 \times 1.634 = 16.34 \ N$
अतः,$F$ का न्यूनतम परिमाण $\geq 16.3 \ N$ है।

(C) ऊपर की गति के लिए,आवश्यक बल $F_{\text{up}} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ है।
नीचे की गति के लिए,फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक बल $F_{\text{down}} = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$F_{\text{up}} = 2 F_{\text{down}}$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = 2mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
दोनों पक्षों को $mg$ से विभाजित करने पर,$\sin \theta + \mu \cos \theta = 2 \sin \theta - 2 \mu \cos \theta$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$3 \mu \cos \theta = \sin \theta$,जो $\mu = \frac{1}{3} \tan \theta$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है कि $\theta = 60^{\circ}$,इसलिए $\mu = \frac{1}{3} \tan 60^{\circ} = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_s = g \sin \theta$ है। $s$ दूरी तय करने में लगा समय $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ है।
खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। लगा समय $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}} = n t_s$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$.
इसे सरल करने पर $\sin \theta = n^2(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ प्राप्त होता है,जिससे $\mu \cos \theta = \sin \theta (1 - \frac{1}{n^2})$ मिलता है।
अतः,$\mu = \tan \theta (1 - \frac{1}{n^2})$।
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,$\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$ होगा।

(C) एक खुरदरे नत समतल पर वस्तु को ऊपर की ओर ले जाने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल $F_1 = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ है।
वस्तु को नीचे फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल $F_2 = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$F_1 = 3F_2$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = 3mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $mg$ से विभाजित करने पर,$\sin \theta + \mu \cos \theta = 3\sin \theta - 3\mu \cos \theta$ मिलता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$4\mu \cos \theta = 2\sin \theta$,जो सरल होकर $\tan \theta = 2\mu$ हो जाता है।
दिया गया है कि $\mu = \frac{1}{2\sqrt{3}}$,इसलिए $\tan \theta = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^{\circ}$।

(C) दिया गया है: घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$। कुल बल $F$ और अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ का अनुपात $\frac{F}{R} = \frac{1}{2}$ है।
समतल पर नीचे फिसलने वाले पिंड पर लगने वाला कुल बल $F = mg \sin \theta - f$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ घर्षण बल है।
घर्षण बल $f = \mu R$ है और अभिलंब प्रतिक्रिया $R = mg \cos \theta$ है।
इन मानों को $F$ के व्यंजक में रखने पर: $F = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$।
अब,दिए गए अनुपात $\frac{F}{R} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta}{mg \cos \theta} = \frac{1}{2}$
अंश को हर से विभाजित करने पर:
$\tan \theta - \mu = \frac{1}{2}$
$\tan \theta = \frac{1}{2} + \mu = 0.5 + 0.5 = 1.0$।
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$ है।

(B) ब्लॉक पर अभिलंब बल $N = mg \cos \theta$ है।
चूँकि घर्षण गुणांक $\mu = \frac{2}{3} x$ है,इसलिए गतिज घर्षण बल $f_k = \mu N = \left( \frac{2}{3} x \right) mg \cos \theta$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_g + W_f = \Delta K.E. = 0 - 0 = 0$.
ब्लॉक के $x$ दूरी नीचे फिसलने पर गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = mgx \sin \theta$ है।
परिवर्ती घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W_f = - \int_0^x f_k \, dx = - \int_0^x \left( \frac{2}{3} x mg \cos \theta \right) dx = - \frac{2}{3} mg \cos \theta \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^x = - \frac{1}{3} mgx^2 \cos \theta$ है।
इन मानों को कार्य-ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $mgx \sin \theta - \frac{1}{3} mgx^2 \cos \theta = 0$.
$mgx$ से भाग देने पर ($x \neq 0$ मानते हुए): $\sin \theta - \frac{1}{3} x \cos \theta = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = 3 \tan \theta$.
चूँकि $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है,$x = 3 \tan 30^{\circ} = 3 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ m}$।

(D) नत समतल पर ऊपर की ओर गति कर रहे पिंड पर कार्य करने वाला कुल मंदक बल $F_{net} = mg \sin \theta + f_k$ है,जहाँ $f_k = \mu R = \mu mg \cos \theta$ है।
अतः,$F_{net} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$।
मंदक त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{total} = \Delta KE = 0 - E = -E$।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = -mg \sin \theta \cdot s$ है और घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_f = f_k \cdot s = \mu mg \cos \theta \cdot s$ है।
$v^2 - u^2 = 2as$ से,हमें $0 - u^2 = -2as$ प्राप्त होता है,इसलिए $s = \frac{u^2}{2a} = \frac{2E/m}{2g(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{E}{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)}$।
घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_f = (\mu mg \cos \theta) \cdot s = (\mu mg \cos \theta) \cdot \frac{E}{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{\mu E \cos \theta}{\sin \theta + \mu \cos \theta}$ है।

(A) एक चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_s = g \sin \theta$ है। $d$ दूरी तय करने में लगा समय $t_s = \sqrt{2d / a_s} = \sqrt{2d / (g \sin \theta)}$ है।
एक खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। $d$ दूरी तय करने में लगा समय $t_r = \sqrt{2d / a_r} = \sqrt{2d / (g(\sin \theta - \mu \cos \theta))}$ है।
दिया गया है कि $t_r = t$ और $t_s = t/2$,इसलिए $t_r = 2t_s$ है।
अतः,$\sqrt{2d / (g(\sin \theta - \mu \cos \theta))} = 2 \sqrt{2d / (g \sin \theta)}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 / (\sin \theta - \mu \cos \theta) = 4 / \sin \theta$।
$\sin \theta = 4 \sin \theta - 4 \mu \cos \theta$।
$4 \mu \cos \theta = 3 \sin \theta$।
$\mu = (3/4) \tan \theta$।
$\theta = 45^{\circ}$ रखने पर,$\mu = (3/4) \tan 45^{\circ} = 3/4 \times 1 = 3/4$।

(B) ब्लॉक के बिना त्वरण के नीचे की ओर गति करने के लिए,नत समतल के अनुदिश कुल बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए $F$ नत समतल पर ऊपर की ओर लगाया गया बल है।
नत समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाला बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin 30^{\circ}$ है।
नत समतल पर ऊपर की ओर कार्य करने वाले बल आरोपित बल $F$ और गतिज घर्षण $f_k = \mu N = \mu mg \cos 30^{\circ}$ हैं।
बलों को बराबर करने पर: $mg \sin 30^{\circ} = F + \mu mg \cos 30^{\circ}$.
मान रखने पर: $5 \times 10 \times \frac{1}{2} = F + \frac{\sqrt{3}}{2} \times 5 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$25 = F + \frac{\sqrt{3}}{2} \times 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = F + \frac{3}{4} \times 50 = F + 37.5$.
$F = 25 - 37.5 = -12.5 \ N$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि स्थिर वेग बनाए रखने के लिए बल $F$ को विपरीत दिशा में (अर्थात,नत समतल पर नीचे की ओर) लगाया जाना चाहिए।
इसलिए,नत समतल पर नीचे की ओर $12.5 \ N$ का बल लगाया जाना चाहिए।

(C) माना कि ढलान की लंबाई $L$ है।
चिकने समतल के लिए,त्वरण $a_1 = g \sin\theta$ है। लगा समय $t_1 = \sqrt{2L/a_1}$ है।
खुरदरे समतल के लिए,त्वरण $a_2 = g(\sin\theta - \mu \cos\theta)$ है। लगा समय $t_2 = \sqrt{2L/a_2}$ है।
दिया गया है कि $t_2 = 1.5 t_1$,इसलिए $t_2^2 = 2.25 t_1^2$ है।
$t_1$ और $t_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2L}{a_2} = 2.25 \frac{2L}{a_1}$ प्राप्त होता है,जो $a_1 = 2.25 a_2$ में सरल हो जाता है।
$a_1$ और $a_2$ का मान रखने पर,$g \sin\theta = 2.25 g(\sin\theta - \mu \cos\theta)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\theta = 45^\circ$ है,इसलिए $\sin\theta = \cos\theta = 1/\sqrt{2}$ है।
$g \sin\theta$ से भाग देने पर,$1 = 2.25(1 - \mu)$ प्राप्त होता है।
अतः,$1 - \mu = 1/2.25 = 4/9$ है।
इसलिए,$\mu = 1 - 4/9 = 5/9$ है।

(A) मान लीजिए कि झुके हुए समतल की लंबाई $L$ है। खुरदरी सतह पर ब्लॉक का त्वरण $a_1 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है और चिकनी सतह पर $a_2 = g \sin \theta$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,हमें $L = \frac{1}{2} a_1 t^2$ और $L = \frac{1}{2} a_2 (t/2)^2$ प्राप्त होता है।
$L$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} a_1 t^2 = \frac{1}{2} a_2 \frac{t^2}{4}$,जिसे सरल करने पर $a_1 = \frac{a_2}{4}$ या $4a_1 = a_2$ प्राप्त होता है।
$\theta = 45^\circ$ (जहाँ $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$) रखने पर:
$4g(\frac{1}{\sqrt{2}} - \mu \frac{1}{\sqrt{2}}) = g(\frac{1}{\sqrt{2}})$.
दोनों पक्षों को $\frac{g}{\sqrt{2}}$ से विभाजित करने पर,हमें $4(1 - \mu) = 1$ प्राप्त होता है।
$4 - 4\mu = 1 \implies 4\mu = 3 \implies \mu = 0.75$.
चूँकि $\mu = \frac{\alpha}{100}$ है,इसलिए $\frac{\alpha}{100} = 0.75$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 75$।