Slope of line, Equation of line in different forms Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण $3x + 3y + 7 = 0$ है।
इसे अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ में बदलने के लिए,हम पूरे समीकरण को $\sqrt{A^2 + B^2}$ से विभाजित करते हैं,जहाँ $A=3$ और $B=3$ है।
$\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ है।
अचर पद को धनात्मक बनाने के लिए $-3\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$-\frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y = \frac{7}{3\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ से करने पर,$p = \frac{7}{3\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) रेखा $x = c$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाती है जो $y$-अक्ष के समानांतर है।
किसी ऊर्ध्वाधर रेखा के लंबवत रेखा हमेशा एक क्षैतिज रेखा होती है।
एक क्षैतिज रेखा का समीकरण $y = d$ होता है,जहाँ $d$ एक स्थिरांक है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दी गई रेखा $CD$ का समीकरण $3x + 4y + 6 = 0$ है।
इसे ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ में लिखने पर,$4y = -3x - 6$,जिसका अर्थ है $y = -\frac{3}{4}x - \frac{6}{4}$।
रेखा $CD$ की ढाल $m_1 = -\frac{3}{4}$ है।
चूंकि रेखा $AB$,रेखा $CD$ पर लंब है,इसलिए उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ होगा।
मान लीजिए रेखा $AB$ की ढाल $m_2$ है। तब $(-\frac{3}{4}) \times m_2 = -1$,जिससे $m_2 = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
रेखा $AB$ मूलबिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है। बिंदु-ढाल रूप $(y - y_1) = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर,$(y - 0) = \frac{4}{3}(x - 0)$।
इसे सरल करने पर $3y = 4x$,या $4x - 3y = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखा $y = x$ की ढाल $m_1 = 1$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा दी गई रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$m_2 = -1$।
रेखा के समीकरण के बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $(x_1, y_1) = (3, 2)$ और $m = -1$:
$y - 2 = -1(x - 3)$
$y - 2 = -x + 3$
$x + y = 5$.

(D) रेखा का ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ है।
चूंकि रेखा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $30^\circ$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $m = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
रेखा $y$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा से $2$ का अंतःखंड काटती है,इसलिए $c = -2$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - 2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से गुणा करने पर,$\sqrt{3}y = x - 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{3}y - x + 2\sqrt{3} = 0$।

(A) दी गई रेखा $\sqrt{3} \sin \theta + 2 \cos \theta = \frac{4}{r}$ है।
$A \sin \theta + B \cos \theta = \frac{C}{r}$ के लंबवत कोई भी रेखा $A \sin(\theta + \pi/2) + B \cos(\theta + \pi/2) = \frac{k}{r}$ के रूप में होती है,जो $A \cos \theta - B \sin \theta = \frac{k}{r}$ में सरल हो जाती है।
मान रखने पर,हमें $\sqrt{3} \cos \theta - 2 \sin \theta = \frac{k}{r}$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा $(-1, \pi/2)$ से गुजरती है,हम $r = -1$ और $\theta = \pi/2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\sqrt{3} \cos(\pi/2) - 2 \sin(\pi/2) = \frac{k}{-1}$.
$0 - 2(1) = -k \Rightarrow k = 2$.
अतः,रेखा का समीकरण $\sqrt{3} \cos \theta - 2 \sin \theta = \frac{2}{r}$ है,जिसे $2 = \sqrt{3} r \cos \theta - 2 r \sin \theta$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) दी गई रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा $(2, -3)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{2}{a} - \frac{3}{b} = 1$ --- $(1)$.
चूंकि रेखा $(4, -5)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{4}{a} - \frac{5}{b} = 1$ --- $(2)$.
मान लीजिए $X = \frac{1}{a}$ और $Y = \frac{1}{b}$।
समीकरण $2X - 3Y = 1$ और $4X - 5Y = 1$ बन जाते हैं।
पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,$4X - 6Y = 2$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण से इसे घटाने पर: $(4X - 5Y) - (4X - 6Y) = 1 - 2$,जिससे $Y = -1$ प्राप्त होता है।
$Y = -1$ को $2X - 3Y = 1$ में रखने पर: $2X - 3(-1) = 1 \implies 2X + 3 = 1 \implies 2X = -2 \implies X = -1$।
अतः,$\frac{1}{a} = -1 \implies a = -1$ और $\frac{1}{b} = -1 \implies b = -1$।
इसलिए,$(a, b) = (-1, -1)$।

(B) रेखा की ढाल $m = \frac{3}{4} = \tan \theta$ है। अतः,$\cos \theta = \frac{4}{5}$ और $\sin \theta = \frac{3}{5}$ है।
बिंदु $A(x_1, y_1) = (3, 2)$ से $r = 5$ की दूरी पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक $(x_1 \pm r \cos \theta, y_1 \pm r \sin \theta)$ द्वारा दिए जाते हैं।
धनात्मक दिशा के लिए: $(3 + 5 \times \frac{4}{5}, 2 + 5 \times \frac{3}{5}) = (3 + 4, 2 + 3) = (7, 5)$।
ऋणात्मक दिशा के लिए: $(3 - 5 \times \frac{4}{5}, 2 - 5 \times \frac{3}{5}) = (3 - 4, 2 - 3) = (-1, -1)$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(7, 5)$ और $(-1, -1)$ हैं।

(C) माना विकर्ण $BD$ रेखा $8x - 15y = 0$ पर है। $BD$ की ढाल $m_1 = \frac{8}{15}$ है।
माना शीर्ष $D(1, 2)$ है। $D$ से होकर गुजरने वाली भुजाएँ $AD$ और $CD$ हैं।
एक वर्ग में,विकर्ण भुजाओं के साथ $45^\circ$ का कोण बनाता है।
माना भुजाओं की ढाल $m$ है। तब,$\tan(45^\circ) = \left| \frac{m - \frac{8}{15}}{1 + m \cdot \frac{8}{15}} \right|$.
$1 = \left| \frac{15m - 8}{15 + 8m} \right|$.
यह दो स्थितियाँ देता है:
स्थिति $1$: $15m - 8 = 15 + 8m$ $\Rightarrow 7m = 23$ $\Rightarrow m = \frac{23}{7}$.
स्थिति $2$: $15m - 8 = -(15 + 8m)$ $\Rightarrow 15m - 8 = -15 - 8m$ $\Rightarrow 23m = -7$ $\Rightarrow m = -\frac{7}{23}$.
$(1, 2)$ से होकर गुजरने वाली भुजाओं के समीकरण हैं:
$y - 2 = \frac{23}{7}(x - 1)$ $\Rightarrow 7y - 14 = 23x - 23$ $\Rightarrow 23x - 7y - 9 = 0$.
$y - 2 = -\frac{7}{23}(x - 1)$ $\Rightarrow 23y - 46 = -7x + 7$ $\Rightarrow 7x + 23y - 53 = 0$.

(A) विकर्ण बिंदुओं $(1, 2)$ और $(3, 8)$ से होकर गुजरता है।
बिंदुओं $(x_1, y_1) = (1, 2)$ और $(x_2, y_2) = (3, 8)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ है:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$.
रेखा का समीकरण बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ में है।
मान रखने पर:
$y - 2 = 3(x - 1)$
$y - 2 = 3x - 3$
$3x - y - 1 = 0$.

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $C(2a, 0)$,$B(0, a)$ और $A(2a, k)$ हैं।
चूंकि त्रिभुज समद्विबाहु है,इसलिए $AB = AC$ है।
$AC = |k - 0| = |k|$.
$AB = \sqrt{(2a - 0)^2 + (k - a)^2} = \sqrt{4a^2 + (k - a)^2}$.
$AB^2 = AC^2$ रखने पर,$4a^2 + (k - a)^2 = k^2$.
$4a^2 + k^2 - 2ak + a^2 = k^2$.
$5a^2 = 2ak$.
अतः,$k = \frac{5a}{2}$.
इस प्रकार,शीर्ष $A$ का निर्देशांक $(2a, \frac{5a}{2})$ है।
दूसरी भुजा $B(0, a)$ और $A(2a, \frac{5a}{2})$ से गुजरती है।
ढाल $m = \frac{\frac{5a}{2} - a}{2a - 0} = \frac{3}{4}$.
रेखा का समीकरण $y - a = \frac{3}{4}(x - 0)$ अर्थात $3x - 4y + 4a = 0$ है।

(B) माना $p$ मूल बिंदु से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई है। रेखा का अभिलंब रूप में समीकरण $x \cos 30^\circ + y \sin 30^\circ = p$ है,जो $\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = p$ या $\sqrt{3}x + y = 2p$ के रूप में सरल होता है।
यह रेखा निर्देशांक अक्षों को $A\left(\frac{2p}{\sqrt{3}}, 0\right)$ और $B(0, 2p)$ बिंदुओं पर काटती है।
अक्षों के साथ बने त्रिभुज $\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |\text{आधार}| \times |\text{ऊंचाई}| = \frac{1}{2} \times \left|\frac{2p}{\sqrt{3}}\right| \times |2p| = \frac{2p^2}{\sqrt{3}}$ है।
दिया गया है कि क्षेत्रफल $\frac{50}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए $\frac{2p^2}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $p^2 = 25$,अर्थात $p = \pm 5$।
$p = \pm 5$ को $\sqrt{3}x + y = 2p$ में रखने पर,हमें $\sqrt{3}x + y = \pm 10$ प्राप्त होता है। अतः,रेखाएं $\sqrt{3}x + y \pm 10 = 0$ हैं।

(A) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जहाँ $a$ और $b$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |ab| = 6$ है,जिसका अर्थ है $|ab| = 12$ $(i)$.
कर्ण की लंबाई $\sqrt{a^2 + b^2} = 5$ है,जिसका अर्थ है $a^2 + b^2 = 25$ $(ii)$.
$(i)$ से,$b = \frac{12}{a}$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a^2 + (\frac{12}{a})^2 = 25$
$a^4 - 25a^2 + 144 = 0$
$(a^2 - 16)(a^2 - 9) = 0$
अतः,$a^2 = 16$ या $a^2 = 9$,जिससे $a = \pm 4$ या $a = \pm 3$ प्राप्त होता है।
यदि $a = \pm 4$,तो $b = \pm 3$। यदि $a = \pm 3$,तो $b = \pm 4$।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \pm 1$ है।

(B) माना रेखा $AB$ की ढाल $m_1 = 2$ है और रेखा $BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{1 - 2}{2 - 1} = -1$ है।
माना रेखा $AC$ की ढाल $m_2$ है।
$AB$ और $BC$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है: $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_{BC}}{1 + m_1 m_{BC}} \right| = \left| \frac{2 - (-1)}{1 + 2(-1)} \right| = 3$।
चूंकि $\triangle ABC$ समद्विबाहु है और $AB = AC$,इसलिए $AC$ और $BC$ के बीच का कोण भी $\theta$ होगा।
अतः,$\tan \theta = \left| \frac{m_{BC} - m_2}{1 + m_{BC} m_2} \right| = 3$।
$\left| \frac{-1 - m_2}{1 - m_2} \right| = 3$।
स्थिति $1$: $\frac{-(1 + m_2)}{1 - m_2} = 3 \implies m_2 = 2$ (यह रेखा $AB$ है)।
स्थिति $2$: $\frac{-(1 + m_2)}{1 - m_2} = -3 \implies m_2 = \frac{1}{2}$।
रेखा $AC$,बिंदु $C(2, 1)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $m_2 = \frac{1}{2}$ है,इसलिए इसका समीकरण $y - 1 = \frac{1}{2}(x - 2) \implies y = \frac{x}{2}$ होगा।

(A) वर्ग के शीर्ष दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$A(0, 0),$
$B(0, 1),$
$C(1, 1),$
$D(1, 0).$
विकर्ण सम्मुख शीर्षों को जोड़ने वाली रेखाएं हैं: $AC$ और $BD$.
$1$. विकर्ण $AC$ के लिए: ढाल $m = \frac{1-0}{1-0} = 1$. समीकरण $y - 0 = 1(x - 0) \Rightarrow y = x$ है।
$2$. विकर्ण $BD$ के लिए: ढाल $m = \frac{0-1}{1-0} = -1$. समीकरण $y - 1 = -1(x - 0)$ $\Rightarrow y - 1 = -x$ $\Rightarrow x + y = 1$ है।

(A) सरल रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
चूंकि रेखा हमेशा बिंदु $(1, -2)$ से होकर गुजरती है,हम समीकरण में $x = 1$ और $y = -2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$a(1) + b(-2) + c = 0$
$a - 2b + c = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a + c = 2b$
यह शर्त $a + c = 2b$ दर्शाती है कि $a, b,$ और $c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(A) दिया गया है कि $u = a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $v = a_2x + b_2y + c_2 = 0$ है।
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \lambda$ (जहाँ $\lambda$ एक स्थिरांक है),इसलिए $a_1 = \lambda a_2$,$b_1 = \lambda b_2$,और $c_1 = \lambda c_2$ है।
इन मानों को समीकरण $u + kv = 0$ में रखने पर:
$(a_1x + b_1y + c_1) + k(a_2x + b_2y + c_2) = 0$
$(\lambda a_2x + \lambda b_2y + \lambda c_2) + k(a_2x + b_2y + c_2) = 0$
$(\lambda + k)(a_2x + b_2y + c_2) = 0$
अतः,$u + kv = 0$ मूल रेखा $v$ (या $u$) का ही एक रूप है,जो वही सीधी रेखा प्रदर्शित करता है।

(D) रेखा $ax + by + 8 = 0$ को अंतःखंड रूप में $\frac{x}{-8/a} + \frac{y}{-8/b} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $2x - 3y + 6 = 0$ को $2x - 3y = -6$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो सरल होकर $\frac{x}{-3} + \frac{y}{2} = 1$ हो जाता है।
प्रश्न के अनुसार,पहली रेखा के अंतःखंड दूसरी रेखा के अंतःखंडों के बराबर लंबाई के लेकिन विपरीत चिह्न के हैं।
इसलिए,$-\frac{8}{a} = -(-3) = 3 \Rightarrow a = -\frac{8}{3}$।
और $-\frac{8}{b} = -(2) = -2 \Rightarrow b = 4$।

(C) ढाल-अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $y = mx + c$ होता है।
दिया गया है कि रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta = 135^\circ$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $m$:
$m = \tan(135^\circ) = -1$.
रेखा $y$-अक्ष को मूल बिंदु से $-5$ की दूरी पर काटती है,इसलिए $y$-अंतःखंड $c = -5$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$y = (-1)x + (-5)$
$y = -x - 5$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x + y + 5 = 0$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
दिया गया है कि रेखा अक्षों पर समान अंतःखंड बनाती है,इसलिए $a = b$ है।
अतः,समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ हो जाता है,जो सरल होकर $x + y = a$ .....$(i)$ बनता है।
चूंकि रेखा बिंदु $(2, 4)$ से गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2 + 4 = a \implies a = 6$।
$a = 6$ को समीकरण $(i)$ में वापस रखने पर,हमें $x + y = 6$ प्राप्त होता है,अर्थात $x + y - 6 = 0$।

(A) माना $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि $a + b = -1$,इसलिए $b = -1 - a$।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$b$ का मान रखने पर,$\frac{x}{a} + \frac{y}{-(1+a)} = 1$,अर्थात $\frac{x}{a} - \frac{y}{1+a} = 1$।
चूंकि रेखा $(4, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{4}{a} - \frac{3}{1+a} = 1$।
$a(1+a)$ से गुणा करने पर,$4(1+a) - 3a = a(1+a)$।
$4 + 4a - 3a = a + a^2$।
$4 + a = a + a^2$,जो सरल होकर $a^2 = 4$ देता है,इसलिए $a = 2$ या $a = -2$।
यदि $a = 2$,तो $b = -1 - 2 = -3$। समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} = 1$ या $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
यदि $a = -2$,तो $b = -1 - (-2) = 1$। समीकरण $\frac{x}{-2} + \frac{y}{1} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) माना $ABCD$ एक आयत है जिसके सम्मुख शीर्ष $A(1, 3)$ और $C(5, 1)$ हैं।
चूंकि आयत के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु $AC$ का मध्य बिंदु है।
$AC$ का मध्य बिंदु $= \left(\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (3, 2)$.
अन्य दो शीर्ष $B$ और $D$ रेखा $y = 2x + c$ पर स्थित हैं। चूंकि विकर्ण $BD$ विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए बिंदु $(3, 2)$ को रेखा $y = 2x + c$ पर स्थित होना चाहिए।
समीकरण में $x = 3$ और $y = 2$ रखने पर:
$2 = 2(3) + c$
$2 = 6 + c$
$c = 2 - 6 = -4$.
अतः,$c$ का मान $-4$ है।

(D) सबसे पहले,$(-1, 3)$ और $(4, -2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ ज्ञात करें:
$m = \frac{-2 - 3}{4 - (-1)} = \frac{-5}{5} = -1$
बिंदु-ढाल रूप $(y - y_1) = m(x - x_1)$ का उपयोग बिंदु $(-1, 3)$ के साथ करने पर:
$y - 3 = -1(x - (-1))$
$y - 3 = -1(x + 1)$
$y - 3 = -x - 1$
$x + y = 2$
यदि रेखा बिंदु $(p, q)$ से होकर गुजरती है,तो निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करेंगे:
$p + q = 2$

(A) बिंदुओं $(a, 0)$ और $(0, b)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण अंतःखंड रूप में है: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$।
यह जांचने के लिए कि कौन सा बिंदु रेखा पर स्थित है,हम प्रत्येक विकल्प के निर्देशांक $(x, y)$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
विकल्प $A$ के लिए: $(3a, -2b)$,हमें प्राप्त होता है $\frac{3a}{a} + \frac{-2b}{b} = 3 - 2 = 1$।
चूंकि समीकरण संतुष्ट होता है,इसलिए बिंदु $(3a, -2b)$ रेखा पर स्थित है।

(C) माना कि रेखा के $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $2a$ और $a$ हैं।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{2a} + \frac{y}{a} = 1$ है,जो सरल होकर $x + 2y = 2a$ हो जाता है.....$(i)$
यह रेखा $(3, -4)$ और $(5, 2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को समद्विभाजित करती है। इन बिंदुओं का मध्य-बिंदु $(\frac{3+5}{2}, \frac{-4+2}{2}) = (4, -1)$ है।
चूंकि रेखा $(4, -1)$ से होकर गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$4 + 2(-1) = 2a$
$4 - 2 = 2a$
$2 = 2a \Rightarrow a = 1$
$a = 1$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें $x + 2y = 2(1)$ प्राप्त होता है,जो कि $x + 2y = 2$ है।

(C) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$,$m = \tan \theta = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए निर्देशांक $(1, 0)$ और $(2, \sqrt{3})$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$m = \frac{\sqrt{3} - 0}{2 - 1} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.
चूंकि $\tan \theta = \sqrt{3}$,इसलिए $\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^o$.

(D) रेखा का सामान्य समीकरण $lx + my + n = 0$ है।
किसी रेखा के $x$-अक्ष के समांतर होने के लिए,उसकी ढाल (slope) $0$ होनी चाहिए।
रेखा $lx + my + n = 0$ की ढाल $m_{slope} = -\frac{l}{m}$ द्वारा दी जाती है।
ढाल को $0$ रखने पर,हमें $-\frac{l}{m} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $l = 0$ (जहाँ $m \neq 0$ है)।
अतः,समीकरण $my + n = 0$ या $y = -\frac{n}{m}$ हो जाता है,जो $x$-अक्ष के समांतर एक रेखा को दर्शाता है।

(C) $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदुओं $(1, 0)$ और $(-2, \sqrt{3})$ के लिए:
$m = \frac{\sqrt{3} - 0}{-2 - 1} = \frac{\sqrt{3}}{-3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूंकि $m = \tan(\theta)$,इसलिए $\tan(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूंकि ढाल ऋणात्मक है,इसलिए कोण $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में है।
$\theta = 180^o - 30^o = 150^o$.

(D) $(4, 3)$ और $(2, k)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{k - 3}{2 - 4} = \frac{k - 3}{-2}$ है।
दी गई रेखा $y = 2x + 3$ की ढाल $m_2 = 2$ है।
चूंकि दोनों रेखाएं परस्पर लंब हैं,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा,अर्थात $m_1 \times m_2 = -1$.
मान रखने पर: $\left( \frac{k - 3}{-2} \right) \times 2 = -1$.
इसे सरल करने पर: $-(k - 3) = -1$,जिसका अर्थ है $k - 3 = 1$.
अतः,$k = 4$.

(B) दोनों अक्षों पर समान रूप से झुकी हुई रेखा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ या $135^{\circ}$ का कोण बनाती है।
अतः,ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ या $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ है।
ऐसी रेखाओं के समीकरण $y = x$ और $y = -x$ हैं।
इस प्रकार,ऐसी $2$ सरल रेखाएँ हैं।

(C) माना कि रेखा $y - x + 2 = 0$ बिंदुओं $A(3, -1)$ और $B(8, 9)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{8\lambda + 3}{\lambda + 1}, \frac{9\lambda - 1}{\lambda + 1} \right)$ हैं।
चूंकि यह बिंदु रेखा $y - x + 2 = 0$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{9\lambda - 1}{\lambda + 1} - \frac{8\lambda + 3}{\lambda + 1} + 2 = 0$
$(\lambda + 1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(9\lambda - 1) - (8\lambda + 3) + 2(\lambda + 1) = 0$
$9\lambda - 1 - 8\lambda - 3 + 2\lambda + 2 = 0$
$3\lambda - 2 = 0$
$\lambda = \frac{2}{3}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $2 : 3$ है।

(A) माना रेखा के $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं।
अतः रेखा अक्षों को $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ बिंदुओं पर काटती है।
रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु $(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2}) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ है।
दिया गया है कि मध्य-बिंदु $(3, 2)$ है,इसलिए:
$\frac{a}{2} = 3 \Rightarrow a = 6$
$\frac{b}{2} = 2 \Rightarrow b = 4$
रेखा के अंतःखंड रूप का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ होता है।
$a=6$ और $b=4$ रखने पर,हमें $\frac{x}{6} + \frac{y}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
$12$ से गुणा करने पर,$2x + 3y = 12$ प्राप्त होता है।

(A) माना $A(-5, -4)$ से गुजरने वाली रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। रेखा का समीकरण $\frac{x + 5}{\cos \theta} = \frac{y + 4}{\sin \theta} = r$ है।
$x + 3y + 2 = 0$ पर स्थित बिंदु $B$ के लिए,$(r_1 \cos \theta - 5) + 3(r_1 \sin \theta - 4) + 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $r_1(\cos \theta + 3 \sin \theta) = 15$ मिलता है,अतः $\frac{15}{AB} = \cos \theta + 3 \sin \theta$.
$2x + y + 4 = 0$ पर स्थित बिंदु $C$ के लिए,$2(r_2 \cos \theta - 5) + (r_2 \sin \theta - 4) + 4 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $r_2(2 \cos \theta + \sin \theta) = 10$ मिलता है,अतः $\frac{10}{AC} = 2 \cos \theta + \sin \theta$.
$x - y - 5 = 0$ पर स्थित बिंदु $D$ के लिए,$(r_3 \cos \theta - 5) - (r_3 \sin \theta - 4) - 5 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $r_3(\cos \theta - \sin \theta) = 6$ मिलता है,अतः $\frac{6}{AD} = \cos \theta - \sin \theta$.
इन मानों को दिए गए संबंध में रखने पर,$(\cos \theta + 3 \sin \theta)^2 + (2 \cos \theta + \sin \theta)^2 = (\cos \theta - \sin \theta)^2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$(2 \cos \theta + 3 \sin \theta)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \theta = -\frac{2}{3}$.
रेखा का समीकरण $y + 4 = -\frac{2}{3}(x + 5)$ अर्थात $2x + 3y + 22 = 0$ है।

(D) माध्यिका $PS$,शीर्ष $P(2, 2)$ को भुजा $QR$ के मध्यबिंदु $S$ से जोड़ती है।
$S = \left( \frac{6 + 7}{2}, \frac{-1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{13}{2}, 1 \right)$.
$PS$ की ढाल $m = \frac{1 - 2}{\frac{13}{2} - 2} = \frac{-1}{\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $PS$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल भी $-\frac{2}{9}$ होगी।
$(1, -1)$ से गुजरने वाली और $-\frac{2}{9}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$
$9(y + 1) = -2(x - 1)$
$9y + 9 = -2x + 2$
$2x + 9y + 7 = 0$.

(B) माना कि रेखा $x$-अक्ष को $A(-a, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, b)$ पर काटती है।
अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = T$ है।
चूंकि $OA = |-a| = a$,इसलिए $\frac{1}{2} \times a \times |b| = T$,जिसका अर्थ है $|b| = \frac{2T}{a}$।
$b = \frac{2T}{a}$ लेने पर,रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{-a} + \frac{y}{2T/a} = 1$ है।
$2T$ से गुणा करने पर,$-\frac{2Tx}{a} + ay = 2T$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर $2Tx - a^2y + 2aT = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना $(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{\cos \theta} = \frac{y-2}{\sin \theta} = r$ है,जहाँ $r$ बिंदु $(1, 2)$ से दूरी है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(1 + r \cos \theta, 2 + r \sin \theta)$ है।
$r = \frac{\sqrt{6}}{3}$ दिया गया है,अतः बिंदु $(1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \cos \theta, 2 + \frac{\sqrt{6}}{3} \sin \theta)$ है।
चूंकि यह बिंदु $x + y = 4$ पर स्थित है,इसलिए $(1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \cos \theta) + (2 + \frac{\sqrt{6}}{3} \sin \theta) = 4$ होगा।
$\frac{\sqrt{6}}{3} (\cos \theta + \sin \theta) = 1 \implies \sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{2}$।
$\sqrt{2}$ से भाग देने पर,$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
$\sin(\theta + 45^\circ) = \sin 60^\circ$ या $\sin 120^\circ$।
$\theta = 15^\circ$ या $\theta = 75^\circ$।
अतः,सही उत्तर $75^\circ$ है।

(A) बिंदु $P(3, 4)$ से गुजरने वाली और $\theta = \frac{\pi}{6}$ का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण प्राचलिक रूप में है: $\frac{x - 3}{\cos(\pi/6)} = \frac{y - 4}{\sin(\pi/6)} = r$।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $Q$,$(3 + r\cos(30^\circ), 4 + r\sin(30^\circ)) = (3 + \frac{r\sqrt{3}}{2}, 4 + \frac{r}{2})$ है।
चूंकि $Q$ रेखा $12x + 5y + 10 = 0$ पर स्थित है,निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर:
$12(3 + \frac{r\sqrt{3}}{2}) + 5(4 + \frac{r}{2}) + 10 = 0$।
$36 + 6r\sqrt{3} + 20 + 2.5r + 10 = 0$।
$66 + r(6\sqrt{3} + 2.5) = 0$।
लंबाई $PQ$ के लिए,हम परिमाण लेते हैं: $r = |\frac{-66}{6\sqrt{3} + 2.5}| = \frac{66}{6\sqrt{3} + 2.5} = \frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$।

(B) $Y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ रखते हैं।
समीकरण $3x - 2y - 6 = 0$ में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(0) - 2y - 6 = 0$
$-2y = 6$
$y = -3$
अतः,$Y$-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक $(0, -3)$ हैं।

(D) $y$-अक्ष के लंबवत रेखा $x$-अक्ष के समांतर होती है और इसका रूप $y = k$ होता है।
चूंकि रेखा बिंदु $(1, -2)$ से गुजरती है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $-2$ होना चाहिए।
अतः,रेखा का समीकरण $y = -2$ होगा,जिसे $y + 2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) $ax + by + c = 0$ के समांतर रेखा का समीकरण $ax + by + k = 0$ के रूप का होता है ... $(1)$.
चूंकि रेखा बिंदु $(c, d)$ से गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$ac + bd + k = 0$,जिससे $k = -(ac + bd)$ प्राप्त होता है।
$k$ का मान समीकरण $(1)$ में वापस रखने पर:
$ax + by - (ac + bd) = 0$
$a(x - c) + b(y - d) = 0$.

(D) माना रेखा के $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं।
दिया है $a + b = -1$,अतः $b = -1 - a$.
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$b$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{x}{a} + \frac{y}{-1 - a} = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि रेखा $(4, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{4}{a} + \frac{3}{-1 - a} = 1$.
$\frac{4}{a} - \frac{3}{1 + a} = 1$.
$4(1 + a) - 3a = a(1 + a)$.
$4 + 4a - 3a = a + a^2$.
$4 + a = a + a^2$.
$a^2 = 4$,जिससे $a = 2$ या $a = -2$ प्राप्त होता है।
यदि $a = 2$,तो $b = -1 - 2 = -3$. समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} = 1$,अर्थात $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1$ है।
यदि $a = -2$,तो $b = -1 - (-2) = 1$. समीकरण $\frac{x}{-2} + \frac{y}{1} = 1$ है।

(A) माना कि $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड $a$ और $a$ हैं।
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ है।
यह समीकरण $x + y = a$ या $x + y - a = 0$ में बदल जाता है।
रेखा $Ax + By + C = 0$ की ढाल $m = -\frac{A}{B}$ होती है।
यहाँ,$A = 1$ और $B = 1$ है,इसलिए $m = -\frac{1}{1} = -1$ है।

(D) दी गई रेखा $3x + y = 3$ है,जिसे $y = -3x + 3$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = -3$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा दी गई रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना होगा।
अतः,$-3 \times m_2 = -1$,जिससे $m_2 = 1/3$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 2)$ से गुजरने वाली और $m_2 = 1/3$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ है।
मान रखने पर: $y - 2 = \frac{1}{3}(x - 2)$.
$3$ से गुणा करने पर: $3y - 6 = x - 2$,जो सरल होकर $x - 3y + 4 = 0$ बनता है।
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $0 - 3y + 4 = 0$,जिससे $3y = 4$ प्राप्त होता है,अतः $y = 4/3$.
इसलिए,$y$-अंतःखंड $4/3$ है।

(A) रेखा की ढाल $m = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ है।
$y$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में अंत:खंड $c = -5$ है।
रेखा के ढाल-अंत:खंड रूप $y = mx + c$ में मान रखने पर:
$y = \sqrt{3}x + (-5)$
$y = \sqrt{3}x - 5$.

(A) दी गई रेखा $x + y + 4 = 0$ है।
$ax + by + c = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $bx - ay + k = 0$ के रूप में होता है।
अतः,$x + y + 4 = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $x - y + k = 0$ होगा।
चूंकि यह रेखा बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $x = 1$ और $y = 2$ रखने पर:
$1 - 2 + k = 0$
$-1 + k = 0$
$k = 1$।
$k = 1$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें $x - y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) रेखा की ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
$(5, 3)$ और $(4, 4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु:
$M = \left( \frac{5+4}{2}, \frac{3+4}{2} \right) = \left( \frac{9}{2}, \frac{7}{2} \right)$.
$(x_1, y_1) = \left( \frac{9}{2}, \frac{7}{2} \right)$ से गुजरने वाली और $m = 1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - \frac{7}{2} = 1 \left( x - \frac{9}{2} \right)$
$y - \frac{7}{2} = x - \frac{9}{2}$
$x - y - 1 = 0$.

(A) यहाँ रेखा $y$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में $3$ इकाई का अंतःखंड काटती है,इसलिए $c = -3$.
झुकाव $\theta = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{5}} \right)$ है,जिसका अर्थ है कि ढाल $m = \tan \theta = \frac{3}{5}$.
रेखा का समीकरण $y = mx + c$ के रूप में:
$y = \frac{3}{5}x - 3$
$5$ से गुणा करने पर:
$5y = 3x - 15$
अतः,$3x - 5y - 15 = 0$.

(C) दी गई रेखा का समीकरण $x + \sqrt{3}y = 4$ है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ से विभाजित करने पर।
हमें $\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y = 2$ प्राप्त होता है।
इसे $x \cos(\pi/3) + y \sin(\pi/3) = 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) माना $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = K$ है $(1)$.
चूंकि यह रेखा $(a, b)$ से गुजरती है,इसलिए $x = a$ और $y = b$ को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a}{a} + \frac{b}{b} = K$
$1 + 1 = K$
$K = 2$.
अतः,अभीष्ट रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ है.

(A) माना रेखा का समीकरण अंतःखंड रूप में $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
रेखा अक्षों को $(a, 0)$ और $(0, b)$ बिंदुओं पर काटती है।
अक्षों के बीच कटे रेखाखंड का मध्य-बिंदु $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ है।
दिया गया है कि मध्य-बिंदु $(x_1, y_1)$ है,अतः $\frac{a}{2} = x_1 \implies a = 2x_1$ और $\frac{b}{2} = y_1 \implies b = 2y_1$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{2x_1} + \frac{y}{2y_1} = 1$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$\frac{x}{x_1} + \frac{y}{y_1} = 2$ प्राप्त होता है।