Points related to triangle Questions in Hindi

(A) शीर्ष $C$ से गुजरने वाली माध्यिका $C$ को सम्मुख भुजा $AB$ के मध्य-बिंदु से जोड़ती है।
माना $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। $M$ के निर्देशांक मध्य-बिंदु सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं: $M = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{4 + 0}{2} \right) = (2, 2)$.
माध्यिका की लंबाई $C(2, 1)$ और $M(2, 2)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$d = \sqrt{(2 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

(B) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर केंद्रक $(G) = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्ष $(a, b - c)$,$(b, c - a)$ और $(c, a - b)$ हैं।
केंद्रक का $x$-निर्देशांक $x = \frac{a + b + c}{3}$ है।
केंद्रक का $y$-निर्देशांक $y = \frac{(b - c) + (c - a) + (a - b)}{3} = \frac{0}{3} = 0$ है।
चूंकि $y$-निर्देशांक $0$ है,इसलिए केंद्रक $x$-अक्ष पर स्थित है।

(C) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर केंद्रक $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्ष $(a, 1), (b, 3)$ और $(4, c)$ हैं।
केंद्रक का $y$-निर्देशांक $\frac{1 + 3 + c}{3}$ है।
केंद्रक के $x$-अक्ष पर स्थित होने के लिए,इसका $y$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{4 + c}{3} = 0$।
इसका अर्थ है $4 + c = 0$,या $c = -4$।

(B) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को युग्मों में हल करके त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करें:
$1$. $y = x$ और $y = 2x$ का प्रतिच्छेदन: $x = 2x \Rightarrow x = 0, y = 0$. शीर्ष $A = (0, 0)$.
$2$. $y = x$ और $y = 3x + 4$ का प्रतिच्छेदन: $x = 3x + 4$ $\Rightarrow -2x = 4$ $\Rightarrow x = -2, y = -2$. शीर्ष $B = (-2, -2)$.
$3$. $y = 2x$ और $y = 3x + 4$ का प्रतिच्छेदन: $2x = 3x + 4 \Rightarrow x = -4, y = -8$. शीर्ष $C = (-4, -8)$.
माना परिकेंद्र $O(h, k)$ है। $O$ से प्रत्येक शीर्ष की दूरी समान होनी चाहिए: $OA^2 = OB^2 = OC^2$.
$OA^2 = h^2 + k^2$.
$OB^2 = (h + 2)^2 + (k + 2)^2 = h^2 + k^2 + 4h + 4k + 8$.
$OA^2 = OB^2$ को बराबर करने पर: $4h + 4k + 8 = 0 \Rightarrow h + k = -2$.
$OC^2 = (h + 4)^2 + (k + 8)^2 = h^2 + k^2 + 8h + 16k + 80$.
$OA^2 = OC^2$ को बराबर करने पर: $8h + 16k + 80 = 0 \Rightarrow h + 2k = -10$.
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: $k = -8$.
$h + k = -2$ में $k = -8$ रखने पर: $h = 6$.
अतः,परिकेंद्र $(6, -8)$ है।

(A) माना तीसरा शीर्ष $(x, y)$ है।
दिया गया है कि त्रिभुज का केंद्रक $(5, 6)$ है।
त्रिभुज के केंद्रक $(G)$ का सूत्र $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों के लिए $G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5 = \frac{5 - 2 + x}{3}$ और $6 = \frac{4 + 4 + y}{3}$.
$x$-निर्देशांक के लिए: $15 = 3 + x \Rightarrow x = 12$.
$y$-निर्देशांक के लिए: $18 = 8 + y \Rightarrow y = 10$.
अतः,तीसरा शीर्ष $(12, 10)$ है।

(C) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर केंद्रक $(x, y)$ का सूत्र है:
$x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ और $y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$
दिए गए शीर्ष $A(4, -3)$,$B(3, -2)$ और $C(2, 8)$ हैं।
मान रखने पर:
$x = \frac{4 + 3 + 2}{3} = \frac{9}{3} = 3$
$y = \frac{-3 - 2 + 8}{3} = \frac{3}{3} = 1$
अतः,केंद्रक $(3, 1)$ है।

(B) त्रिभुज के केंद्रक $(G)$ का सूत्र,जिसके शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ होता है।
दिए गए शीर्ष $(2, 1)$,$(5, 2)$ और $(3, 4)$ हैं।
$x$-निर्देशांक की गणना: $x = \frac{2 + 5 + 3}{3} = \frac{10}{3}$.
$y$-निर्देशांक की गणना: $y = \frac{1 + 2 + 4}{3} = \frac{7}{3}$.
अतः,केंद्रक $\left( \frac{10}{3}, \frac{7}{3} \right)$ है।

(A) माना शीर्ष $A(0, 0)$,$B(5, 12)$,और $C(16, 12)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$a = BC = 11$
$b = AC = 20$
$c = AB = 13$
अंतःकेंद्र $(I)$ के निर्देशांक $\left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} \right)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं।
मान रखने पर: $I = \left( \frac{11(0) + 20(5) + 13(16)}{44}, \frac{11(0) + 20(12) + 13(12)}{44} \right) = (7, 9)$.

(A) सबसे पहले,भुजाओं के समीकरणों को युग्मों में हल करके त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करें:
$1$. $x - y + 1 = 0$ और $y - 1 = 0$ का प्रतिच्छेदन: $y = 1$ को $x - y + 1 = 0$ में रखने पर $x = 0$ प्राप्त होता है। शीर्ष $A = (0, 1)$ है।
$2$. $x + y - 5 = 0$ और $y - 1 = 0$ का प्रतिच्छेदन: $y = 1$ को $x + y - 5 = 0$ में रखने पर $x = 4$ प्राप्त होता है। शीर्ष $B = (4, 1)$ है।
$3$. $x + y - 5 = 0$ और $x - y + 1 = 0$ का प्रतिच्छेदन: समीकरणों को जोड़ने पर $2x - 4 = 0$,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है। $x = 2$ को $x + y - 5 = 0$ में रखने पर $y = 3$ प्राप्त होता है। शीर्ष $C = (2, 3)$ है।
अब,भुजाओं की ढाल (slopes) की जाँच करें:
$AB$ $(y=1)$ की ढाल $0$ है।
$AC$ $(x-y+1=0)$ की ढाल $1$ है।
$BC$ $(x+y-5=0)$ की ढाल $-1$ है।
चूँकि $AC$ और $BC$ की ढाल का गुणनफल $(1) \times (-1) = -1$ है,इसलिए त्रिभुज $C(2, 3)$ पर समकोण है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र कर्ण $AB$ का मध्यबिंदु होता है।
$AB$ का मध्यबिंदु $= (\frac{0+4}{2}, \frac{1+1}{2}) = (2, 1)$।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,और $(x_3, y_3)$ के लिए केंद्रक $(G)$ का सूत्र $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ है।
दिए गए शीर्ष $(6, 4)$ और $(2, 6)$ हैं और केंद्रक $(4, 6)$ है।
मान लीजिए तीसरा शीर्ष $(x_3, y_3)$ है।
अतः,$4 = \frac{6 + 2 + x_3}{3}$ $\Rightarrow 12 = 8 + x_3$ $\Rightarrow x_3 = 4$.
और,$6 = \frac{4 + 6 + y_3}{3}$ $\Rightarrow 18 = 10 + y_3$ $\Rightarrow y_3 = 8$.
इसलिए,तीसरा शीर्ष $(4, 8)$ है।

(A) शीर्ष $A$ के सम्मुख बहिःकेंद्र के निर्देशांक $\left( \frac{-ax_1 + bx_2 + cx_3}{-a + b + c}, \frac{-ay_1 + by_2 + cy_3}{-a + b + c} \right)$ होते हैं।
इसी प्रकार,शीर्ष $B$ के सम्मुख बहिःकेंद्र के निर्देशांक $\left( \frac{ax_1 - bx_2 + cx_3}{a - b + c}, \frac{ay_1 - by_2 + cy_3}{a - b + c} \right)$ होते हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(A) दी गई रेखाएँ $x + y = 1$,$x = 0$ और $y = 0$ हैं।
ये रेखाएँ त्रिभुज की भुजाओं को निरूपित करती हैं।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $x = 0$ और $y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
$2$. $x = 0$ और $x + y = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
$3$. $y = 0$ और $x + y = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $(0, 0)$,$(0, 1)$ और $(1, 0)$ हैं।
चूँकि भुजाएँ $x = 0$ ($y$-अक्ष) और $y = 0$ ($x$-अक्ष) परस्पर लंबवत हैं,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $(0, 0)$ शीर्ष पर स्थित है।
समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
अतः,लंबकेंद्र $(0, 0)$ है।

(A) माना शीर्ष $A = (1, 1)$ है। भुजाओं $AB$ और $AC$ के मध्य बिंदु क्रमशः $M_1 = (-1, 2)$ और $M_2 = (3, 2)$ हैं।
चूंकि $M_1$,$AB$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\frac{A+B}{2} = M_1 \implies B = 2M_1 - A = 2(-1, 2) - (1, 1) = (-3, 3)$।
चूंकि $M_2$,$AC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\frac{A+C}{2} = M_2 \implies C = 2M_2 - A = 2(3, 2) - (1, 1) = (5, 3)$।
त्रिभुज के शीर्षों $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,और $C(x_3, y_3)$ के लिए केंद्रक $G = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$ होता है।
$G = \left( \frac{1 - 3 + 5}{3}, \frac{1 + 3 + 3}{3} \right) = \left( \frac{3}{3}, \frac{7}{3} \right) = \left( 1, \frac{7}{3} \right)$।

(A) माना शीर्ष $A(7, 1)$,$B(-1, 5)$ और $C(3 + 2\sqrt{3}, 3 + 4\sqrt{3})$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर:
$AB = BC = CA = 4\sqrt{5}$.
अतः,दिया गया त्रिभुज समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज के लिए अंतःकेंद्र और केंद्रक समान होते हैं।
इसलिए,अंतःकेंद्र = $\left( \frac{7 - 1 + 3 + 2\sqrt{3}}{3}, \frac{1 + 5 + 3 + 4\sqrt{3}}{3} \right) = \left( 3 + \frac{2}{\sqrt{3}}, 3 + \frac{4}{\sqrt{3}} \right)$.

(C) माना $A(-2, -6)$,$B(-2, 4)$ और $C(1, 3)$ त्रिभुज के शीर्ष हैं।
$BC$ की ढाल $= \frac{3 - 4}{1 - (-2)} = \frac{-1}{3}$ है।
$A$ से गुजरने वाले शीर्षलंब की ढाल $BC$ की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम यानी $3$ होगी।
$A(-2, -6)$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण $y - (-6) = 3(x - (-2))$ है,जो सरल होकर $y + 6 = 3x + 6$ यानी $y = 3x$ $(i)$ हो जाता है।
$AC$ की ढाल $= \frac{3 - (-6)}{1 - (-2)} = \frac{9}{3} = 3$ है।
$B$ से गुजरने वाले शीर्षलंब की ढाल $AC$ की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम यानी $-\frac{1}{3}$ होगी।
$B(-2, 4)$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण $y - 4 = -\frac{1}{3}(x - (-2))$ है,जो सरल होकर $3y - 12 = -x - 2$ यानी $x + 3y = 10$ $(ii)$ हो जाता है।
समीकरण $(i)$ का मान $(ii)$ में रखने पर: $x + 3(3x) = 10 \implies 10x = 10 \implies x = 1$ प्राप्त होता है।
अतः $y = 3(1) = 3$ है।
इस प्रकार,लंबकेंद्र $(1, 3)$ है।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $A(0, 0)$,$B(3, 0)$ और $C(0, 4)$ हैं।
चूँकि शीर्ष $A$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर स्थित है,भुजा $AB$,$x$-अक्ष पर है और भुजा $AC$,$y$-अक्ष पर है।
चूँकि $x$-अक्ष और $y$-अक्ष एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए शीर्ष $A$ पर बना कोण $90^{\circ}$ है।
एक समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
अतः,इस त्रिभुज का लंबकेंद्र $(0, 0)$ है।

(A) दिए गए समीकरण $xy + 2x + 2y + 4 = 0$ और $x + y + 2 = 0$ हैं।
प्रथम समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x(y + 2) + 2(y + 2) = 0 \Rightarrow (x + 2)(y + 2) = 0$.
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $x = -2$ और $y = -2$.
दूसरा समीकरण $x + y + 2 = 0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $x = -2$ और $y = -2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, -2)$ है।
$2$. $x = -2$ और $x + y + 2 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 0)$ है।
$3$. $y = -2$ और $x + y + 2 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, -2)$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $A(-2, -2)$,$B(-2, 0)$,और $C(0, -2)$ हैं।
यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें समकोण शीर्ष $A(-2, -2)$ पर है क्योंकि रेखाएं $x = -2$ और $y = -2$ परस्पर लंबवत हैं।
समकोण त्रिभुज में,परिकेंद्र कर्ण $BC$ का मध्य बिंदु होता है।
कर्ण $B(-2, 0)$ और $C(0, -2)$ को जोड़ता है।
मध्य बिंदु $= (\frac{-2 + 0}{2}, \frac{0 - 2}{2}) = (-1, -1)$.
अतः,परिकेंद्र $(-1, -1)$ है।

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(8, 0)$ और $B(4, 6)$ हैं।
भुजा $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{6 - 0}{4 - 8} = -\frac{3}{2}$ है।
$O(0, 0)$ से $AB$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $m_1 = \frac{2}{3}$ होगी।
इस शीर्षलंब का समीकरण $y = \frac{2}{3}x$ है।
भुजा $OB$ की ढाल $m_{OB} = \frac{6 - 0}{4 - 0} = \frac{3}{2}$ है।
$A(8, 0)$ से $OB$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $m_2 = -\frac{2}{3}$ होगी।
इस शीर्षलंब का समीकरण $y - 0 = -\frac{2}{3}(x - 8)$ अर्थात $3y = -2x + 16$ है।
दोनों समीकरणों को हल करने पर,$x = 4$ और $y = \frac{8}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबकेंद्र $\left( 4, \frac{8}{3} \right)$ है।

(C) माना शीर्ष $A(0, 0)$,$B(4, 0)$ और $C(3, 4)$ हैं।
लंबकेंद्र ज्ञात करने के लिए,हम शीर्षलंबों (altitudes) का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$1$. $A$ से $BC$ पर शीर्षलंब: $BC$ की ढाल $\frac{4-0}{3-4} = -4$ है। शीर्षलंब $BC$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $\frac{1}{4}$ है। चूँकि यह $A(0, 0)$ से होकर गुजरता है,इसका समीकरण $y = \frac{1}{4}x$ या $x - 4y = 0$ है।
$2$. $C$ से $AB$ पर शीर्षलंब: भुजा $AB$,$x$-अक्ष $(y=0)$ पर स्थित है,इसलिए $C(3, 4)$ से गुजरने वाला शीर्षलंब एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 3$ है।
$3$. प्रतिच्छेदन: $x = 3$ को $x - 4y = 0$ में रखने पर,हमें $3 - 4y = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $y = \frac{3}{4}$ मिलता है।
अतः,लंबकेंद्र $\left( 3, \frac{3}{4} \right)$ है।

(D) त्रिभुज की भुजाएँ $L_1: x = 3$,$L_2: y = 4$ और $L_3: 3x + 4y = 6$ हैं।
रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर:
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $x = 3$ और $y = 4$ अर्थात शीर्ष $A(3, 4)$।
$2$. $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x = 3$ और $3(3) + 4y = 6 \implies y = -3/4$ अर्थात शीर्ष $B(3, -3/4)$।
$3$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $y = 4$ और $3x + 4(4) = 6 \implies x = -10/3$ अर्थात शीर्ष $C(-10/3, 4)$।
चूंकि $x = 3$ और $y = 4$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $(3, 4)$ पर स्थित है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वही शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
अतः,लंबकेंद्र $(3, 4)$ है।

(A) रेखाएँ $L_1: x + y - 1 = 0$,$L_2: 2x + 3y - 6 = 0$ और $L_3: 4x - y + 4 = 0$ हैं।
शीर्ष ज्ञात करने के लिए समीकरणों को हल करने पर:
$1$. $L_1$ और $L_2$ से $A = (-3, 4)$ प्राप्त होता है।
$2$. $L_2$ और $L_3$ से $B = (-\frac{3}{7}, \frac{16}{7})$ प्राप्त होता है।
$3$. $L_1$ और $L_3$ से $C = (-\frac{3}{5}, \frac{8}{5})$ प्राप्त होता है।
शीर्षलंब के समीकरण ज्ञात करने पर:
$A$ से $BC$ पर लंब: $x + 4y = 13$।
$B$ से $AC$ पर लंब: $7x - 7y = -19$।
इन दोनों समीकरणों को हल करने पर लंबकेंद्र $(\frac{3}{7}, \frac{22}{7})$ प्राप्त होता है,जो प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(h, k)$,$B(4, -3)$ और $C(-2, 5)$ हैं। लंबकेंद्र $O(1, 2)$ है।
$1$. $BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{5 - (-3)}{-2 - 4} = -\frac{4}{3}$ है।
शीर्षलंब $AO$,$BC$ के लंबवत है,इसलिए $AO$ की ढाल $m_{AO} = \frac{3}{4}$ होगी।
$AO$ रेखा का समीकरण: $\frac{k - 2}{h - 1} = \frac{3}{4} \Rightarrow 3h - 4k + 5 = 0$ ... $(i)$.
$2$. $AC$ की ढाल $m_{AC} = \frac{k - 5}{h + 2}$ है।
शीर्षलंब $BO$,$AC$ के लंबवत है,इसलिए $BO$ की ढाल $m_{BO} = \frac{2 - (-3)}{1 - 4} = -\frac{5}{3}$ होगी।
अतः,$m_{AC} = \frac{3}{5}$ होगा।
समीकरण: $\frac{k - 5}{h + 2} = \frac{3}{5} \Rightarrow 3h - 5k + 31 = 0$ ... $(ii)$.
$3$. समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,हमें $h = 33$ और $k = 26$ प्राप्त होता है।
अतः,तीसरा शीर्ष $(33, 26)$ है।

(B) माना शीर्ष $A = \left( 2, \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right)$,$B = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right)$,और $C = \left( 2, -\frac{1}{2} \right)$ हैं।
यहाँ भुजा $AC$ ऊर्ध्वाधर है और भुजा $BC$ क्षैतिज है।
अतः,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण शीर्ष $C = \left( 2, -\frac{1}{2} \right)$ पर स्थित है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वही शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
इसलिए,लंबकेंद्र $\left( 2, -\frac{1}{2} \right)$ है।

(B) माना शीर्ष $A(0, 0)$,$B(2, -1)$ और $C(1, 3)$ हैं।
$1$. $A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात करें:
$BC$ की ढाल = $\frac{3 - (-1)}{1 - 2} = \frac{4}{-1} = -4$.
शीर्षलंब $AD$ की ढाल $BC$ की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होगी,जो $\frac{1}{4}$ है।
$A(0, 0)$ से गुजरने वाले $AD$ का समीकरण $y - 0 = \frac{1}{4}(x - 0)$ है,जो $x - 4y = 0$ के रूप में सरल होता है ..... $(i)$.
$2$. $B$ से $AC$ पर खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात करें:
$AC$ की ढाल = $\frac{3 - 0}{1 - 0} = 3$.
शीर्षलंब $BE$ की ढाल $AC$ की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होगी,जो $-\frac{1}{3}$ है।
$B(2, -1)$ से गुजरने वाले $BE$ का समीकरण $y - (-1) = -\frac{1}{3}(x - 2)$ है,जो $3(y + 1) = -(x - 2)$ $\Rightarrow 3y + 3 = -x + 2$ $\Rightarrow x + 3y + 1 = 0$ के रूप में सरल होता है ..... $(ii)$.
$3$. समीकरणों $(i)$ और $(ii)$ को हल करें:
$(i)$ से,$x = 4y$. इस मान को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करें:
$4y + 3y + 1 = 0$ $\Rightarrow 7y = -1$ $\Rightarrow y = -\frac{1}{7}$.
अतः $x = 4(-\frac{1}{7}) = -\frac{4}{7}$.
इस प्रकार,लंबकेंद्र $\left( -\frac{4}{7}, -\frac{1}{7} \right)$ है।

(C) त्रिभुज के शीर्ष $(1, a)$,$(2, b)$ और $(c^2, 3)$ हैं।
त्रिभुज का केंद्रक $(G)$ ज्ञात करने का सूत्र $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ है।
मान रखने पर,केंद्रक $\left( \frac{1 + 2 + c^2}{3}, \frac{a + b + 3}{3} \right) = \left( \frac{3 + c^2}{3}, \frac{a + b + 3}{3} \right)$ प्राप्त होता है।
यदि केंद्रक $y$-अक्ष पर स्थित है,तो इसका $x$-निर्देशांक शून्य होना चाहिए।
$\frac{3 + c^2}{3} = 0 \implies 3 + c^2 = 0 \implies c^2 = -3$.
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या $c$ के लिए $c^2$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x$-निर्देशांक कभी शून्य नहीं हो सकता।
अतः,केंद्रक $y$-अक्ष पर स्थित नहीं हो सकता।

(C) माना शीर्ष $A(0,0)$,$B(6,0)$ और $C(6,8)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$c = AB = 6$
$a = BC = 8$
$b = AC = 10$
अंतःकेंद्र $(I)$ के निर्देशांक $\left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} \right)$ सूत्र द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर:
$I = \left( \frac{8(0) + 10(6) + 6(6)}{8+10+6}, \frac{8(0) + 10(0) + 6(8)}{8+10+6} \right)$
$I = \left( \frac{96}{24}, \frac{48}{24} \right) = (4, 2)$.

(C) त्रिभुज का केंद्रक,उसकी भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने से बने त्रिभुज के केंद्रक के समान होता है।
माना मध्य-बिंदु $(x_1, y_1) = (-2, 3)$,$(x_2, y_2) = (4, -3)$,और $(x_3, y_3) = (4, 5)$ हैं।
केंद्रक $(G)$ का सूत्र है:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
मान रखने पर:
$G = \left( \frac{-2 + 4 + 4}{3}, \frac{3 - 3 + 5}{3} \right)$
$G = \left( \frac{6}{3}, \frac{5}{3} \right)$
$G = \left( 2, \frac{5}{3} \right)$
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(A) माना शीर्ष $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2),$ और $R(x_3, y_3)$ हैं,जहाँ $x_i, y_i \in \mathbb{Q}$ है।
$1$. केंद्रक $\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि परिमेय संख्याओं का योग और भागफल परिमेय होता है,इसलिए केंद्रक हमेशा एक परिमेय बिंदु होता है।
$2$. परिकेंद्र $(x, y)$ समीकरणों $(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2$ और $(x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 = (x-x_3)^2 + (y-y_3)^2$ को संतुष्ट करता है। ये परिमेय गुणांकों वाले रैखिक समीकरणों में सरल हो जाते हैं। अतः,परिकेंद्र हमेशा एक परिमेय बिंदु होता है।
$3$. अंतःकेंद्र $\left( \frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a, b, c$ भुजाओं की लंबाई हैं। चूँकि भुजाओं की लंबाई में वर्गमूल शामिल होते हैं,इसलिए वे आमतौर पर अपरिमेय होते हैं। अतः,अंतःकेंद्र हमेशा एक परिमेय बिंदु नहीं होता है।

(B) माना कि तीसरा शीर्ष $(x, y)$ है।
त्रिभुज के केंद्रक $(G)$ का सूत्र,जिसके शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,$G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ होता है।
यहाँ $G = (2, 7)$,$(x_1, y_1) = (4, 8)$ और $(x_2, y_2) = (-2, 6)$ दिया गया है।
$x$-निर्देशांक के लिए: $\frac{4 + (-2) + x}{3} = 2$ $\Rightarrow 2 + x = 6$ $\Rightarrow x = 4$.
$y$-निर्देशांक के लिए: $\frac{8 + 6 + y}{3} = 7$ $\Rightarrow 14 + y = 21$ $\Rightarrow y = 7$.
अतः,तीसरा शीर्ष $(4, 7)$ है।

(C) माना शीर्ष $A(-1, 6)$,$B(-3, -9)$ और $C(5, -8)$ हैं।
$C$ से होकर जाने वाली माध्यिका $C(5, -8)$ और $AB$ के मध्य-बिंदु $M$ से होकर गुजरती है।
$AB$ का मध्य-बिंदु $M = \left( \frac{-1 - 3}{2}, \frac{6 - 9}{2} \right) = \left( -2, -\frac{3}{2} \right)$ है।
$C(5, -8)$ और $M(-2, -\frac{3}{2})$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ है।
मान रखने पर: $y - (-8) = \frac{-\frac{3}{2} - (-8)}{-2 - 5}(x - 5)$.
$y + 8 = \frac{-\frac{3}{2} + 8}{-7}(x - 5) \Rightarrow y + 8 = \frac{\frac{13}{2}}{-7}(x - 5)$.
$y + 8 = -\frac{13}{14}(x - 5) \Rightarrow 14(y + 8) = -13(x - 5)$.
$14y + 112 = -13x + 65 \Rightarrow 13x + 14y + 47 = 0$.

(C) त्रिभुज के शीर्ष $A(0, b)$,$B(0, 0)$ और $C(a, 0)$ हैं।
$D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $D = (\frac{a}{2}, 0)$।
$E$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $E = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$।
माध्यिका $AD$ की ढाल $m_1 = \frac{0-b}{a/2 - 0} = -\frac{2b}{a}$ है।
माध्यिका $BE$ की ढाल $m_2 = \frac{b/2 - 0}{a/2 - 0} = \frac{b}{a}$ है।
चूँकि माध्यिकाएँ लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$।
$(-\frac{2b}{a}) \times (\frac{b}{a}) = -1$।
$-\frac{2b^2}{a^2} = -1$।
$a^2 = 2b^2$।
$a = \pm \sqrt{2}b$।

(A) रेखाएँ $x = 0$ (y-अक्ष),$y = 0$ (x-अक्ष) और $x + y = 1$ हैं।
ये रेखाएँ $A(0,0)$,$B(1,0)$ और $C(0,1)$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं।
चूंकि रेखाएँ $x = 0$ और $y = 0$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए निर्मित त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
अतः,त्रिभुज का लंबकेंद्र $(0,0)$ है।

(A) त्रिभुज का लंबकेंद्र $(H)$,केंद्रक $(G)$ और परिकेंद्र $(O)$ संरेख होते हैं,और केंद्रक $G$,लंबकेंद्र $H$ और परिकेंद्र $O$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
माना लंबकेंद्र $H(x, y)$,केंद्रक $G(\alpha, \beta)$ और परिकेंद्र $O(\gamma, \delta)$ है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,$\alpha = \frac{x + 2\gamma}{3}$ और $\beta = \frac{y + 2\delta}{3}$।
$x$ और $y$ के लिए हल करने पर,हमें $x = 3\alpha - 2\gamma$ और $y = 3\beta - 2\delta$ प्राप्त होता है।
अतः,यदि केंद्रक और परिकेंद्र ज्ञात हैं,तो लंबकेंद्र को अद्वितीय रूप से निर्धारित किया जा सकता है।
इसलिए,$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(C) दिए गए शीर्ष $(0, 0)$,$(3, 0)$ और $(0, 4)$ हैं।
चूंकि ये बिंदु निर्देशांक अक्षों पर स्थित हैं,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र कर्ण का मध्य बिंदु होता है।
कर्ण बिंदु $(3, 0)$ और $(0, 4)$ को जोड़ता है।
अतः मध्य बिंदु $\left( \frac{3+0}{2}, \frac{0+4}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, 2 \right)$ होगा।

(D) माना शीर्ष $A(0, 0)$,$B(6, 0)$ और $C(6, 8)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना:
$c = AB = 6$
$a = BC = 8$
$b = AC = 10$
अंतःकेंद्र $(I)$ का सूत्र $\left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} \right)$ है।
मान रखने पर:
$I = \left( \frac{8(0) + 10(6) + 6(6)}{8+10+6}, \frac{8(0) + 10(0) + 6(8)}{8+10+6} \right)$
$I = \left( \frac{96}{24}, \frac{48}{24} \right) = (4, 2)$.

(B) शीर्षों $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ वाले त्रिभुज का केंद्रक $(G)$ इस प्रकार दिया जाता है: $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$।
दिए गए शीर्षों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x$-निर्देशांक $= \frac{a + b + c}{3}$
$y$-निर्देशांक $= \frac{(b - c) + (c - a) + (a - b)}{3} = \frac{b - c + c - a + a - b}{3} = \frac{0}{3} = 0$।
चूंकि $y$-निर्देशांक $0$ है,इसलिए केंद्रक $x$-अक्ष पर स्थित है।

(D) माना कि तीसरा शीर्ष $(x, y)$ है।
त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक $\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ सूत्र द्वारा दिए जाते हैं।
दिए गए शीर्षों $(-1, 4)$ और $(5, 2)$ के लिए,केंद्रक $\left( \frac{-1 + 5 + x}{3}, \frac{4 + 2 + y}{3} \right) = \left( \frac{4 + x}{3}, \frac{6 + y}{3} \right)$ होगा।
इसे दिए गए केंद्रक $(0, -3)$ के बराबर रखने पर:
$\frac{4 + x}{3} = 0$ $\Rightarrow 4 + x = 0$ $\Rightarrow x = -4$.
$\frac{6 + y}{3} = -3$ $\Rightarrow 6 + y = -9$ $\Rightarrow y = -15$.
अतः,तीसरा शीर्ष $(-4, -15)$ है।

(A) माना शीर्ष $A(0, 0)$,$B(3, 4)$ और $C(4, 0)$ हैं।
चूंकि $AC$,$x$-अक्ष $(y=0)$ पर स्थित है,इसलिए $B$ से $AC$ पर डाला गया लंब $B(3, 4)$ से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। अतः,इस लंब का समीकरण $x = 3$ है।
अब,$A(0, 0)$ से $BC$ पर डाले गए लंब पर विचार करें। $BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{0 - 4}{4 - 3} = -4$ है।
$A$ से $BC$ पर लंब की ढाल $m_{\perp} = -\frac{1}{m_{BC}} = \frac{1}{4}$ है।
इस लंब का समीकरण $y - 0 = \frac{1}{4}(x - 0)$ है,जो सरल होकर $x = 4y$ हो जाता है।
लंबकेंद्र ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों $x = 3$ और $x = 4y$ को हल करते हैं।
$x = 3$ को $x = 4y$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3 = 4y$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = \frac{3}{4}$।
अतः,लंबकेंद्र $\left( 3, \frac{3}{4} \right)$ है।

(A) मान लीजिए कि त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
भुजाओं के मध्य-बिंदु $D(0, 3), E(1, 1)$ और $F(-1, 2)$ दिए गए हैं।
मध्य-बिंदुओं द्वारा बने त्रिभुज का केंद्रक,मूल त्रिभुज के केंद्रक के समान ही होता है।
$\Delta DEF$ का केंद्रक $= \left( \frac{0 + 1 - 1}{3}, \frac{3 + 1 + 2}{3} \right) = \left( \frac{0}{3}, \frac{6}{3} \right) = (0, 2)$.
चूंकि मध्य-बिंदुओं द्वारा बने त्रिभुज का केंद्रक $(0, 2)$ है,इसलिए मूल त्रिभुज का केंद्रक भी $(0, 2)$ होगा।
अतः,कथन $A$ और कारण $R$ दोनों सत्य हैं और $R, A$ की सही व्याख्या है।

(D) माना शीर्ष $A(1, \sqrt{3})$,$B(0, 0)$ और $C(2, 0)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करें:
$c = AB = \sqrt{(1-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = 2$
$a = BC = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$
$b = AC = \sqrt{(2-1)^2 + (0-\sqrt{3})^2} = 2$
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं $(a=b=c=2)$,त्रिभुज समबाहु है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,अंतःकेंद्र और केंद्रक समान होते हैं।
केंद्रक $(G) = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$.
$G = \left( \frac{1+0+2}{3}, \frac{\sqrt{3}+0+0}{3} \right) = \left( 1, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.

(C) माना शीर्ष $A(2, 3)$,$B(4, 5)$ और $C(-2, 11)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं की ढाल (slopes) की जाँच करें:
$AB$ की ढाल $= \frac{5-3}{4-2} = \frac{2}{2} = 1$.
$BC$ की ढाल $= \frac{11-5}{-2-4} = \frac{6}{-6} = -1$.
$AC$ की ढाल $= \frac{11-3}{-2-2} = \frac{8}{-4} = -2$.
चूंकि ($AB$ की ढाल) $\times$ ($BC$ की ढाल) $= 1 \times (-1) = -1$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण शीर्ष $B(4, 5)$ पर है।
समकोण त्रिभुज में,परिकेंद्र कर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु होता है।
परिकेंद्र $O = \left( \frac{2 + (-2)}{2}, \frac{3 + 11}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}, \frac{14}{2} \right) = (0, 7)$.
शीर्ष $B(4, 5)$ और परिकेंद्र $O(0, 7)$ के बीच की दूरी,दूरी सूत्र द्वारा प्राप्त होती है:
$d = \sqrt{(4-0)^2 + (5-7)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

(D) माना रेखाएँ $L_1: 4x - 7y + 10 = 0$,$L_2: x + y - 5 = 0$ और $L_3: 7x + 4y - 15 = 0$ हैं।
सबसे पहले,रेखाओं की ढाल की जाँच करें।
$L_1$ की ढाल $m_1 = 4/7$ है।
$L_3$ की ढाल $m_3 = -7/4$ है।
चूँकि $m_1 \times m_3 = (4/7) \times (-7/4) = -1$,रेखाएँ $L_1$ और $L_3$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
शीर्ष ज्ञात करने के लिए,$L_1$ और $L_3$ को हल करें:
$4x - 7y = -10$
$7x + 4y = 15$
$L_1$ को $4$ से और $L_3$ को $7$ से गुणा करने पर:
$16x - 28y = -40$
$49x + 28y = 105$
जोड़ने पर: $65x = 65 \implies x = 1$।
$x = 1$ को $L_1$ में रखने पर: $4(1) - 7y = -10 \implies -7y = -14 \implies y = 2$।
अतः,लंबकेंद्र $(1, 2)$ है।

(A) से खींची गई माध्यिका $C(5, -4)$ और $AB$ के मध्यबिंदु $D$ से होकर गुजरती है।
$D$ के निर्देशांक $\left( \frac{4+2}{2}, \frac{-2+3}{2} \right) = \left( 3, \frac{1}{2} \right)$ हैं।
$C(5, -4)$ और $D(3, 1/2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण दो-बिंदु रूप के अनुसार है:
$y - (-4) = \frac{\frac{1}{2} - (-4)}{3 - 5} (x - 5)$
$y + 4 = \frac{4.5}{-2} (x - 5)$
$y + 4 = -2.25 (x - 5)$
$y + 4 = -\frac{9}{4} (x - 5)$
$4(y + 4) = -9(x - 5)$
$4y + 16 = -9x + 45$
$9x + 4y - 29 = 0$.

(C) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं। मध्य बिंदुओं से शीर्ष प्राप्त करने पर,हमें $A(-1, 12), B(-1, 0), C(4, 0)$ प्राप्त होते हैं।
भुजाओं की लंबाई: $a = BC = 5, b = AC = 13, c = AB = 12$.
अंतःकेंद्र $I = \left( \frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c} \right)$.
मान रखने पर: $I = \left( \frac{5(-1) + 13(-1) + 12(4)}{5+13+12}, \frac{5(12) + 13(0) + 12(0)}{5+13+12} \right) = \left( \frac{-5-13+48}{30}, \frac{60}{30} \right) = \left( \frac{30}{30}, 2 \right) = (1, 2)$.

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
दिए गए मध्य-बिंदु $(5, 0)$,$(5, 12)$ और $(0, 12)$ हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{x_1 + x_2}{2} = 5, \frac{y_1 + y_2}{2} = 0$
$\frac{x_2 + x_3}{2} = 5, \frac{y_2 + y_3}{2} = 12$
$\frac{x_3 + x_1}{2} = 0, \frac{y_3 + y_1}{2} = 12$
इन समीकरणों को हल करने पर:
$x$-निर्देशांकों का योग: $x_1 + x_2 + x_3 = 10$. अतः,$x_3 = 0, x_1 = 0, x_2 = 10$.
$y$-निर्देशांकों का योग: $y_1 + y_2 + y_3 = 24$. अतः,$y_3 = 24, y_1 = 0, y_2 = 0$.
शीर्ष $A(0, 0)$,$B(10, 0)$ और $C(0, 24)$ हैं।
चूंकि यह त्रिभुज मूल बिंदु $(0, 0)$ पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए लंबकेंद्र समकोण वाले शीर्ष पर स्थित होता है,जो कि $(0, 0)$ है।

(A) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
भुजाओं के मध्य बिंदु $M_1 = \left( \frac{3}{2}, 0 \right)$,$M_2 = \left( \frac{3}{2}, 6 \right)$ और $M_3 = (-1, 6)$ दिए गए हैं।
त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं से बने त्रिभुज का केंद्रक मूल त्रिभुज के केंद्रक के समान ही होता है।
मान लीजिए केंद्रक $G(x, y)$ है।
मध्य बिंदुओं $M_1(x'_1, y'_1)$,$M_2(x'_2, y'_2)$ और $M_3(x'_3, y'_3)$ से बने त्रिभुज का केंद्रक $\left( \frac{x'_1+x'_2+x'_3}{3}, \frac{y'_1+y'_2+y'_3}{3} \right)$ होता है।
दिए गए मध्य बिंदु मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{\frac{3}{2} + \frac{3}{2} - 1}{3} = \frac{3 - 1}{3} = \frac{2}{3}$
$y = \frac{0 + 6 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$
अतः,केंद्रक $\left( \frac{2}{3}, 4 \right)$ है।

(A) माना तीसरा शीर्ष $A(\alpha, \beta)$ है। $B = (5, -1)$ और $C = (-2, 3)$। लंबकेंद्र $O = (0, 0)$ है।
$BC$ की ढाल $= \frac{3 - (-1)}{-2 - 5} = -\frac{4}{7}$।
चूंकि $AD \perp BC$,$AD$ की ढाल $\frac{7}{4}$ होगी।
$AO$ की ढाल $= \frac{\beta}{\alpha}$। अतः,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{7}{4} \Rightarrow 4\beta = 7\alpha$ --- $(1)$।
$BO$ की ढाल $= \frac{0 - (-1)}{0 - 5} = -\frac{1}{5}$।
चूंकि $BE \perp AC$,$AC$ की ढाल $5$ होगी।
$AC$ की ढाल $= \frac{\beta - 3}{\alpha - (-2)} = 5$ $\Rightarrow \beta - 3 = 5\alpha + 10$ $\Rightarrow \beta - 5\alpha = 13$ --- $(2)$।
$(1)$ से $\beta = \frac{7\alpha}{4}$ को $(2)$ में रखने पर:
$\frac{7\alpha}{4} - 5\alpha = 13$ $\Rightarrow 7\alpha - 20\alpha = 52$ $\Rightarrow -13\alpha = 52$ $\Rightarrow \alpha = -4$।
अतः,$\beta = \frac{7(-4)}{4} = -7$।
तीसरा शीर्ष $(-4, -7)$ है।

(B) माना शीर्ष $A(2, \frac{\sqrt{3}-1}{2})$,$B(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ और $C(2, -\frac{1}{2})$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर:
$AB^2 = (2 - \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}-1}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = 3$.
$BC^2 = (2 - \frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 = (\frac{3}{2})^2 + 0 = \frac{9}{4}$.
$CA^2 = (2 - 2)^2 + (\frac{\sqrt{3}-1}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 = 0 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.
चूंकि $BC^2 + CA^2 = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = \frac{12}{4} = 3 = AB^2$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है और समकोण शीर्ष $C(2, -\frac{1}{2})$ पर स्थित है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
अतः,लंबकेंद्र $C(2, -\frac{1}{2})$ है।

(B) मान लीजिए शीर्ष $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2), R(x_3, y_3)$ हैं जहाँ सभी $x_i, y_i \in \mathbb{Q}$ हैं।
केंद्रक $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ द्वारा दिया जाता है,जो हमेशा परिमेय होता है।
अंत:केंद्र $(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a, b, c$ भुजाओं की लंबाई हैं। चूँकि $a, b, c$ में परिमेय संख्याओं के वर्गमूल शामिल होते हैं (जैसे,$c = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$),इसलिए अंत:केंद्र हमेशा परिमेय नहीं होता है।
इसी प्रकार,परिकेंद्र और लंबकेंद्र भी परिमेय शीर्षों वाले त्रिभुज के लिए हमेशा परिमेय बिंदु नहीं होते हैं।