Transformation, Pedal points Questions in Hindi

(B) चरण $1$: रेखा $y = x$ के परितः बिंदु $(x, y)$ का परावर्तन $(y, x)$ बिंदु देता है।
इसे $(4, 1)$ बिंदु पर लागू करने पर,हमें $(1, 4)$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में $d$ दूरी तक बिंदु $(x, y)$ का स्थानांतरण $(x + d, y)$ बिंदु देता है।
इसे $d = 2$ के साथ $(1, 4)$ बिंदु पर लागू करने पर,हमें $(1 + 2, 4) = (3, 4)$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु के अंतिम निर्देशांक $(3, 4)$ हैं।

(C) चरण $1$: $(4, 1)$ का $y = x$ के सापेक्ष परावर्तन $(1, 4)$ देता है।
चरण $2$: $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $2$ इकाई का स्थानांतरण: $(1 + 2, 4) = (3, 4)$।
चरण $3$: $(3, 4)$ का मूल बिंदु के सापेक्ष $\theta = \pi/4$ कोण पर वामावर्त घूर्णन।
नए निर्देशांक $(x', y')$ इस प्रकार हैं:
$x' = 3 \cos(\pi/4) - 4 \sin(\pi/4) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$y' = 3 \sin(\pi/4) + 4 \cos(\pi/4) = \frac{7}{\sqrt{2}}$
अतः,अंतिम स्थिति $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}} \right)$ है।

(C) माना $ABC$ त्रिभुज है और $D(20, 25)$,$E(8, 16)$,$F(8, 9)$ क्रमशः $A, B, C$ से डाले गए लंबों के पाद हैं। तब $DEF$,$\Delta ABC$ का पैडल त्रिभुज है।
ज्यामिति से,हम जानते हैं कि $\Delta ABC$ का लंबकेंद्र उसके पैडल त्रिभुज $DEF$ का अंतःकेंद्र होता है।
माना लंबकेंद्र के निर्देशांक $O(h, k)$ हैं।
सबसे पहले,$\Delta DEF$ की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$DE = \sqrt{(20-8)^2 + (25-16)^2} = 15$
$EF = \sqrt{(8-8)^2 + (16-9)^2} = 7$
$FD = \sqrt{(20-8)^2 + (25-9)^2} = 20$
अंतःकेंद्र सूत्र $I = \frac{aA + bB + cC}{a+b+c}$ का उपयोग करते हुए:
$h = \frac{7(20) + 20(8) + 15(8)}{7 + 20 + 15} = \frac{420}{42} = 10$
$k = \frac{7(25) + 20(16) + 15(9)}{7 + 20 + 15} = \frac{630}{42} = 15$
अतः,लंबकेंद्र $(10, 15)$ है।

(D) रेखा $L$ का समीकरण $x - y = 4$ है,जिसका ढाल $m = 1$ है।
चूंकि बिंदु $P(2, 1)$ को $L$ के समांतर स्थानांतरित किया जाता है,नया बिंदु $Q(x, y)$ उस रेखा पर स्थित है जो $L$ के समांतर है।
$P$ और $Q$ से गुजरने वाली रेखा का ढाल $1$ है।
$P(2, 1)$ और $Q(x, y)$ के बीच की दूरी $2\sqrt{3}$ है।
रेखा के प्राचलिक रूप का उपयोग करते हुए,$Q$ के निर्देशांक $(2 \pm 2\sqrt{3} \cos \theta, 1 \pm 2\sqrt{3} \sin \theta)$ हैं,जहाँ $\tan \theta = 1$,इसलिए $\cos \theta = \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$Q = (2 \pm \sqrt{6}, 1 \pm \sqrt{6})$।
चूंकि $Q$ तीसरे चतुर्थांश में है,दोनों निर्देशांक ऋणात्मक होने चाहिए।
ऋणात्मक चिह्न लेने पर: $Q = (2 - \sqrt{6}, 1 - \sqrt{6})$।
$Q$ से गुजरने वाली और $L$ के लंबवत रेखा का ढाल $m' = -1$ है।
समीकरण: $y - (1 - \sqrt{6}) = -1(x - (2 - \sqrt{6}))$।
$y - 1 + \sqrt{6} = -x + 2 - \sqrt{6}$।
$x + y = 3 - 2\sqrt{6}$।

(A) बिंदु $P(a, b)$ का रेखा $y=x$ के परितः परावर्तन $(b, a)$ होता है।
इसे $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $2$ इकाई स्थानांतरित करने पर $(b+2, a)$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु के परितः $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घूर्णन करने पर,नए निर्देशांक $(x', y')$ होंगे:
$x' = \frac{b+2-a}{\sqrt{2}}$
$y' = \frac{b+2+a}{\sqrt{2}}$
अंतिम स्थिति $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right)$ दी गई है,अतः:
$b-a = -3$ (समीकरण $1$)
$b+a = 5$ (समीकरण $2$)
समीकरणों को हल करने पर $b=1$ और $a=4$ प्राप्त होता है।
अतः,$2a+b = 2(4)+1 = 9$.

(A) माना $A$ के निर्देशांक $(x_1, y_1) = (2, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(x_2, y_2) = (3, 1)$ हैं।
$AB$ की लंबाई $r = \sqrt{(3-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
$AB$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ जो कोण $\theta$ बनाता है,वह $\tan \theta = \frac{1-0}{3-2} = 1$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$ है।
जब रेखा को $A$ के परितः वामावर्त दिशा में $45^{\circ}$ घुमाया जाता है,तो नया कोण $\theta'$ का मान $\theta + 45^{\circ} = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ हो जाता है।
माना $B$ के नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं।
घूर्णन सूत्र का उपयोग करते हुए,$x' = x_1 + r \cos \theta'$ और $y' = y_1 + r \sin \theta'$।
$x' = 2 + \sqrt{2} \cos 90^{\circ} = 2 + \sqrt{2}(0) = 2$।
$y' = 0 + \sqrt{2} \sin 90^{\circ} = 0 + \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}$।
अतः,नए निर्देशांक $(2, \sqrt{2})$ हैं।

(A) माना $A = (2, 0)$ और $B = (6, 4)$ है।
सदिश $\vec{AB} = (4, 4)$ है।
लंबाई $r = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$ है।
प्रारंभिक कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
ऋणात्मक दिशा में $45^{\circ}$ घूर्णन के बाद नया कोण $\theta' = 45^{\circ} - 45^{\circ} = 0^{\circ}$ होगा।
नए निर्देशांक $(x', y') = (2 + r \cos(0^{\circ}), 0 + r \sin(0^{\circ})) = (2 + 4\sqrt{2}, 0)$ प्राप्त होते हैं।

(C) चरण $1$: रेखा $y=x$ के सापेक्ष $(4,1)$ का परावर्तन $(1,4)$ देता है।
चरण $2$: धनात्मक $X$-दिशा में $(1,4)$ का $2$ इकाई स्थानांतरण $(1+2, 4) = (3,4)$ देता है।
चरण $3$: मूल बिंदु के परितः $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर $(x,y) = (3,4)$ का वामावर्त घूर्णन:
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta = 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - 4 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta = 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 4 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{7}{\sqrt{2}}$
अतः,अंतिम स्थिति $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right)$ है।

(C) दिया गया बिंदु $(3, 2)$ है।
$(i)$ रेखा $y=x$ के सापेक्ष बिंदु $(3, 2)$ का परावर्तन $(2, 3)$ है।
(ii) $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $1$ इकाई का स्थानांतरण करने पर $(2+1, 3) = (3, 3)$ प्राप्त होता है।
(iii) बिंदु $(3, 3)$ का मूल बिंदु के चारों ओर $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर वामावर्त घूर्णन:
$X = x \cos \theta - y \sin \theta = 3 \cos(\frac{\pi}{4}) - 3 \sin(\frac{\pi}{4}) = 0$
$Y = x \sin \theta + y \cos \theta = 3 \sin(\frac{\pi}{4}) + 3 \cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{18}$
अतः,अंतिम स्थिति $(0, \sqrt{18})$ है।