System of co-ordinates, Distance between two points, Section formulae Questions in Hindi

(B) मान लीजिए $O$ मूलबिंदु $(0, 0)$ है। बिंदु $A(a, b)$ और $B(c, d)$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए:
$(OA)^2 = a^2 + b^2$
$(OB)^2 = c^2 + d^2$
$(AB)^2 = (a - c)^2 + (b - d)^2$
$\triangle AOB$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार:
$\cos \theta = \frac{(OA)^2 + (OB)^2 - (AB)^2}{2(OA)(OB)}$
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{(a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) - [(a - c)^2 + (b - d)^2]}{2\sqrt{a^2 + b^2}\sqrt{c^2 + d^2}}$
$\cos \theta = \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - (a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bd + d^2)}{2\sqrt{a^2 + b^2}\sqrt{c^2 + d^2}}$
$\cos \theta = \frac{2ac + 2bd}{2\sqrt{a^2 + b^2}\sqrt{c^2 + d^2}}$
$\cos \theta = \frac{ac + bd}{\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना पहले बिंदु के निर्देशांक $P(0, 1)$ हैं और दूसरे बिंदु के $Q(x, -3)$ हैं।
दिया गया है कि $P$ और $Q$ के बीच की दूरी $5$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$5 = \sqrt{(x - 0)^2 + (-3 - 1)^2}$.
$5 = \sqrt{x^2 + (-4)^2}$.
$5 = \sqrt{x^2 + 16}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25 = x^2 + 16$.
$x^2 = 25 - 16 = 9$.
$x = \pm 3$.
अतः,दूसरे बिंदु का भुज $\pm 3$ है।

(B) कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में,समतल के किसी भी बिंदु $P$ को $(x, y)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
$x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,$x$-अक्ष से उसकी लंबवत दूरी शून्य होती है।
इसलिए,$x$-अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिंदु का $y$-निर्देशांक $0$ होता है।
अतः,सामान्य गुणधर्म $y = 0$ है।

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = d$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदु $(a, 2)$ और $(3, 4)$ हैं और दूरी $d = 8$ है।
अतः,$\sqrt{(3 - a)^2 + (4 - 2)^2} = 8$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(3 - a)^2 + (2)^2 = 8^2$ प्राप्त होता है।
$(3 - a)^2 + 4 = 64$.
$(3 - a)^2 = 60$.
$3 - a = \pm \sqrt{60} = \pm 2\sqrt{15}$.
$a = 3 \pm 2\sqrt{15}$.

(A) दिया गया है $AB = BC$,हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं: $\sqrt{(6-1)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + (8-3)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(5)^2 + (-4)^2 = (x-1)^2 + (5)^2$.
$25 + 16 = (x-1)^2 + 25$.
$16 = (x-1)^2$.
वर्गमूल लेने पर: $x-1 = \pm 4$.
स्थिति $1$: $x-1 = 4 \Rightarrow x = 5$.
स्थिति $2$: $x-1 = -4 \Rightarrow x = -3$.
अतः,$x = 5, -3$.

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदुओं को रखने पर:
$d = \sqrt{(a \cos \beta - a \cos \alpha)^2 + (a \sin \beta - a \sin \alpha)^2}$
$d = a \sqrt{(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$d = a \sqrt{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)}$
$d = a \sqrt{2(1 - \cos(\alpha - \beta))}$
$1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$d = 2a \left| \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \right|$

(B) माना $y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P(0, y)$ है।
चूँकि $P$,$A(3, 2)$ और $B(-1, 3)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA^2 = PB^2$ होगा।
$(0 - 3)^2 + (y - 2)^2 = (0 - (-1))^2 + (y - 3)^2$
$9 + y^2 - 4y + 4 = 1 + y^2 - 6y + 9$
$13 - 4y = 10 - 6y$
$2y = -3$
$y = -\frac{3}{2}$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(0, -\frac{3}{2})$ है।

(C) माना शीर्ष $O(0, 0)$,$A(\cos \alpha, \sin \alpha)$ और $B(-\sin \alpha, \cos \alpha)$ हैं।
दूरी $OA$ का वर्ग $OA^2 = (\cos \alpha - 0)^2 + (\sin \alpha - 0)^2 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ है।
दूरी $OB$ का वर्ग $OB^2 = (-\sin \alpha - 0)^2 + (\cos \alpha - 0)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ है।
अतः,$OA^2 + OB^2 = 1 + 1 = 2$।

(B) मूल बिंदु $(0, 0)$ से बिंदु $(x, y)$ की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ है।
दिए गए निर्देशांक $(b \cos \theta, b \sin \theta)$ को रखने पर:
$d = \sqrt{(b \cos \theta)^2 + (b \sin \theta)^2}$
$d = \sqrt{b^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta}$
$d = \sqrt{b^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए:
$d = \sqrt{b^2(1)} = b$.

(A) मान लीजिए बिंदु $P(a \sin \theta, 0)$ और $Q(0, a \cos \theta)$ हैं।
रेखाखंड $PQ$ का मध्य-बिंदु $M$,$\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर,$M = \left( \frac{a \sin \theta + 0}{2}, \frac{0 + a \cos \theta}{2} \right) = \left( \frac{a \sin \theta}{2}, \frac{a \cos \theta}{2} \right)$।
$M$ की मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $\sqrt{\left( \frac{a \sin \theta}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{a \cos \theta}{2} - 0 \right)^2}$ है।
$= \sqrt{\frac{a^2 \sin^2 \theta}{4} + \frac{a^2 \cos^2 \theta}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{4} (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)}$।
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए दूरी $\sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}$ है।

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d$ का सूत्र है: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$।
दिए गए बिंदु $(7, 5)$ और $(3, 2)$ हैं।
मान रखने पर: $d = \sqrt{(3 - 7)^2 + (2 - 5)^2}$।
$d = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2}$।
$d = \sqrt{16 + 9}$।
$d = \sqrt{25} = 5 \text{ units}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु सूत्र $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $(5, a)$ और $(b, 7)$ तथा मध्य-बिंदु $(3, 5)$ के लिए:
$\frac{5 + b}{2} = 3 \implies 5 + b = 6 \implies b = 1$.
$\frac{a + 7}{2} = 5 \implies a + 7 = 10 \implies a = 3$.
अतः,$(a, b) = (3, 1)$.

(B) माना कि $x$-अक्ष बिंदुओं $A(2, -3)$ और $B(5, 6)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
चूंकि बिंदु $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ होगा।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,विभाजित करने वाले बिंदु का $y$-निर्देशांक $\frac{k(6) + 1(-3)}{k + 1} = 0$ है।
$k$ के लिए हल करने पर: $6k - 3 = 0$ $\Rightarrow 6k = 3$ $\Rightarrow k = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।
अतः,अनुपात $\frac{1}{2} : 1$ है,जो $1 : 2$ है।
वैकल्पिक रूप से,$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $x$-अक्ष द्वारा विभाजित करने का अनुपात $-\frac{y_1}{y_2} = -\frac{-3}{6} = \frac{3}{6} = 1 : 2$ होता है।

(A) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को $m:n$ अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु का सूत्र $\left( \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n} \right)$ है।
यहाँ $(x_1, y_1) = (a + b, a - b)$ और $(x_2, y_2) = (a - b, a + b)$ तथा अनुपात $m:n = a:b$ है।
$x$-निर्देशांक के लिए:
$x = \frac{a(a - b) - b(a + b)}{a - b} = \frac{a^2 - 2ab - b^2}{a - b}$.
$y$-निर्देशांक के लिए:
$y = \frac{a(a + b) - b(a - b)}{a - b} = \frac{a^2 + b^2}{a - b}$.
अतः,बिंदु $\left( \frac{a^2 - 2ab - b^2}{a - b}, \frac{a^2 + b^2}{a - b} \right)$ है।

(A) के निर्देशांक जो $AB$ को $l : k$ अनुपात में विभाजित करता है,विभाजन सूत्र द्वारा दिए गए हैं:
$D = \left( \frac{l x_2 + k x_1}{l + k}, \frac{l y_2 + k y_1}{l + k} \right)$
अब,$P$ रेखाखंड $DC$ को $m : (k + l)$ अनुपात में विभाजित करता है।
$P$ के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$P = \left( \frac{m x_3 + (k + l) x_D}{m + k + l}, \frac{m y_3 + (k + l) y_D}{m + k + l} \right)$
$D$ के निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर:
$x_P = \frac{m x_3 + (k + l) \left( \frac{l x_2 + k x_1}{l + k} \right)}{k + l + m} = \frac{m x_3 + l x_2 + k x_1}{k + l + m}$
इसी प्रकार,$y_P = \frac{m y_3 + l y_2 + k y_1}{k + l + m}$
अतः,$P$ के निर्देशांक $\left( \frac{k x_1 + l x_2 + m x_3}{k + l + m}, \frac{k y_1 + l y_2 + m y_3}{k + l + m} \right)$ हैं।

(A) माना बिंदु $A(0, 0)$ और $D(9, 12)$ हैं। माना $B$ और $C$ वे बिंदु हैं जो रेखाखंड $AD$ को समत्रिभाजित करते हैं।
$(i)$ बिंदु $B$,$AD$ को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$B$ के निर्देशांक हैं:
$x = \frac{1(9) + 2(0)}{1 + 2} = \frac{9}{3} = 3$
$y = \frac{1(12) + 2(0)}{1 + 2} = \frac{12}{3} = 4$
अतः,$B = (3, 4)$।
$(ii)$ बिंदु $C$,$AD$ को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$C$ के निर्देशांक हैं:
$x = \frac{2(9) + 1(0)}{2 + 1} = \frac{18}{3} = 6$
$y = \frac{2(12) + 1(0)}{2 + 1} = \frac{24}{3} = 8$
अतः,$C = (6, 8)$।
इस प्रकार,बिंदु $(3, 4)$ और $(6, 8)$ हैं।

(B) माना रेखा $x + y - 4 = 0$,बिंदुओं $A(-1, 1)$ और $B(5, 7)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k : 1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,विभाजन बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{5k - 1}{k + 1}, \frac{7k + 1}{k + 1} \right)$ हैं।
चूंकि यह बिंदु रेखा $x + y = 4$ पर स्थित है,इसलिए:
$\frac{5k - 1}{k + 1} + \frac{7k + 1}{k + 1} = 4$
$5k - 1 + 7k + 1 = 4(k + 1)$
$12k = 4k + 4$
$8k = 4$
$k = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
अतः,अनुपात $1 : 2$ है।

(A) माना बिंदु $A(-2, 3)$ और $B(3, -1)$ हैं।
माना $C$,$A$ के निकटतम समत्रिभाजन बिंदु है। अतः $C$,रेखाखंड $AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$C$ के निर्देशांक हैं:
$x = \frac{1(3) + 2(-2)}{1 + 2} = \frac{3 - 4}{3} = -\frac{1}{3}$
$y = \frac{1(-1) + 2(3)}{1 + 2} = \frac{-1 + 6}{3} = \frac{5}{3}$
अतः,$C$ के निर्देशांक $\left( -\frac{1}{3}, \frac{5}{3} \right)$ हैं।

(B) माना समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $A(-1, -6)$,$B(2, -5)$,$C(7, 2)$ और $D(x, y)$ हैं।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए विकर्ण $AC$ का मध्यबिंदु विकर्ण $BD$ के मध्यबिंदु के समान होता है।
$AC$ का मध्यबिंदु $(\frac{-1+7}{2}, \frac{-6+2}{2}) = (3, -2)$ है।
$BD$ का मध्यबिंदु $(\frac{2+x}{2}, \frac{-5+y}{2})$ है।
मध्यबिंदुओं की तुलना करने पर:
$\frac{2+x}{2} = 3$ $\Rightarrow 2+x = 6$ $\Rightarrow x = 4$
$\frac{-5+y}{2} = -2$ $\Rightarrow -5+y = -4$ $\Rightarrow y = 1$
अतः,चौथा शीर्ष $(4, 1)$ है।

(A) दिया गया है कि $P$ और $Q$ रेखाखंड $AB$ को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं,अर्थात $AP = PQ = QB$ है।
इसका अर्थ है कि $P$ और $Q$ रेखाखंड $AB$ के समत्रिभाजक बिंदु हैं।
$PQ$ का मध्य-बिंदु वही होगा जो $AB$ का मध्य-बिंदु है क्योंकि $P$ और $Q$ रेखाखंड $AB$ के केंद्र के सापेक्ष सममित हैं।
$AB$ के मध्य-बिंदु के निर्देशांक का सूत्र $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ है।
बिंदुओं $A(-2, 5)$ और $B(3, 1)$ के मान रखने पर:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{-2 + 3}{2}, \frac{5 + 1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{6}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 3 \right)$.

(C) माना $A(3, -2)$ और $B(-3, -4)$ रेखाखंड के अंतिम बिंदु हैं और $C$ तथा $D$ समत्रिभाजन बिंदु हैं।
$C$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$C$ के निर्देशांक हैं:
$\left( \frac{1(-3) + 2(3)}{1+2}, \frac{1(-4) + 2(-2)}{1+2} \right) = \left( \frac{3}{3}, \frac{-8}{3} \right) = \left( 1, - \frac{8}{3} \right)$.
$D$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$D$ के निर्देशांक हैं:
$\left( \frac{2(-3) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(-4) + 1(-2)}{2+1} \right) = \left( \frac{-3}{3}, \frac{-10}{3} \right) = \left( -1, - \frac{10}{3} \right)$.

(C) आंतरिक विभाजन के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m : n$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$ होते हैं।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (4, -2)$,$(x_2, y_2) = (8, 6)$,$m = 7$,और $n = 5$ है।
$x = \frac{7(8) + 5(4)}{7 + 5} = \frac{56 + 20}{12} = \frac{76}{12} = \frac{19}{3}$.
$y = \frac{7(6) + 5(-2)}{7 + 5} = \frac{42 - 10}{12} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$.
अतः,निर्देशांक $\left( \frac{19}{3}, \frac{8}{3} \right)$ हैं।

(C) माना कि $y$-अक्ष बिंदुओं $A(-3, -4)$ और $B(1, -2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k : 1$ के अनुपात में बिंदु $P(0, y)$ पर विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ का $x$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$x = \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}$
चूँकि बिंदु $y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होगा:
$0 = \frac{k(1) + 1(-3)}{k + 1}$
$0 = k - 3$
$k = 3$
अतः,अभीष्ट अनुपात $3 : 1$ है।

(A) माना कि $y$-अक्ष बिंदुओं $(x_1, y_1) = (2, -3)$ और $(x_2, y_2) = (-5, 6)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $k : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{kx_2 + x_1}{k+1}, \frac{ky_2 + y_1}{k+1} \right)$ द्वारा दिए जाते हैं।
चूंकि यह बिंदु $y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होगा।
अतः,$\frac{k(-5) + 2}{k+1} = 0$.
$-5k + 2 = 0 \implies 5k = 2 \implies k = \frac{2}{5}$.
अतः,अभीष्ट अनुपात $2 : 5$ है।

(D) माना बिंदु $A(0, 3)$ और $B(6, -3)$ हैं। समत्रिभाजन बिंदु $C$ और $D$ रेखाखंड $AB$ को क्रमशः $1:2$ और $2:1$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$C$ के निर्देशांक हैं:
$C = \left( \frac{1 \times 6 + 2 \times 0}{1 + 2}, \frac{1 \times (-3) + 2 \times 3}{1 + 2} \right) = \left( \frac{6}{3}, \frac{3}{3} \right) = (2, 1)$
$D$ के निर्देशांक हैं:
$D = \left( \frac{2 \times 6 + 1 \times 0}{2 + 1}, \frac{2 \times (-3) + 1 \times 3}{2 + 1} \right) = \left( \frac{12}{3}, \frac{-3}{3} \right) = (4, -1)$
अतः,समत्रिभाजन बिंदु $(2, 1)$ और $(4, -1)$ हैं।

(D) सबसे पहले,$(4, -5)$ और $(-2, 9)$ को जोड़ने वाली रेखाखंड का मध्य-बिंदु ज्ञात करें।
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{4 + (-2)}{2}, \frac{-5 + 9}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{4}{2} \right) = (1, 2)$.
अब,$(-3, 6)$ और $(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ ज्ञात करें।
$m = \frac{2 - 6}{1 - (-3)} = \frac{-4}{4} = -1$.
चूंकि $m = \tan \theta$,इसलिए $\tan \theta = -1$.
अतः,$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

(A) माना बिंदु $P(-3, -3)$ और $Q(6, 6)$ हैं।
माना $R$ और $S$ त्रिसमभाजक बिंदु हैं।
$R$,$PQ$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$R$ के निर्देशांक:
$R = \left( \frac{1(6) + 2(-3)}{1+2}, \frac{1(6) + 2(-3)}{1+2} \right) = \left( \frac{6-6}{3}, \frac{6-6}{3} \right) = (0, 0)$.
$S$,$PQ$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$S$ के निर्देशांक:
$S = \left( \frac{2(6) + 1(-3)}{2+1}, \frac{2(6) + 1(-3)}{2+1} \right) = \left( \frac{12-3}{3}, \frac{12-3}{3} \right) = \left( \frac{9}{3}, \frac{9}{3} \right) = (3, 3)$.
अतः,त्रिसमभाजक बिंदुओं के निर्देशांक $(0, 0)$ और $(3, 3)$ हैं।

(B) मान लीजिए कि रेखा पर बिंदु $P, Q, R, S, T$ इस प्रकार हैं कि $PQ = QR = RS = ST = k$ है।
$P$ के निर्देशांक $(a, x)$ और $T$ के निर्देशांक $(b, y)$ हैं।
कुल लंबाई $PT = 4k$ है।
बिंदु $L$ के निर्देशांक $\left( \frac{5a + 3b}{8}, \frac{5x + 3y}{8} \right)$ हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$PT$ को $m:n$ अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{mb + na}{m+n}, \frac{my + nx}{m+n} \right)$ होते हैं।
$L$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{n}{m+n} = \frac{5}{8}$ और $\frac{m}{m+n} = \frac{3}{8}$ प्राप्त होता है,जो $3:5$ का अनुपात देता है।
अतः,$L, PT$ को $3:5$ के अनुपात में विभाजित करता है।
चूंकि $PQ = k, QR = k, RS = k, ST = k$ है,इसलिए दूरी $PL = \frac{3}{8} \times 4k = 1.5k$ है।
इसका अर्थ है कि $L, Q$ और $R$ के बीच स्थित है ताकि $QL = 0.5k$ और $LR = 0.5k$ हो।
इसलिए,$L, QR$ का मध्यबिंदु है.

(A) माना कि अनुपात $k : 1$ है। $x$-अक्ष पर स्थित बिंदु का $y$-निर्देशांक $0$ होता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए: $y = \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1 + m_2}$.
$y = 0$ रखने पर,$0 = \frac{k(6) + 1(-4)}{k + 1}$.
इसका अर्थ है $6k - 4 = 0$,जिससे $6k = 4$,अतः $k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
अतः,अभीष्ट अनुपात $2 : 3$ है।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $(x, 2)$ और $(3, 4)$ हैं और दूरी $d = 2$ है।
मान रखने पर: $2 = \sqrt{(x - 3)^2 + (2 - 4)^2}$.
$2 = \sqrt{(x - 3)^2 + (-2)^2}$.
$2 = \sqrt{(x - 3)^2 + 4}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = (x - 3)^2 + 4$.
$(x - 3)^2 = 0$.
$x - 3 = 0$.
$x = 3$.

(C) माना बिंदु $A(-3, 2)$ और $B(3, -4)$ हैं। अनुपात $m : n = 3 : 2$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $R(x, y)$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{3(3) + 2(-3)}{3 + 2} = \frac{9 - 6}{5} = \frac{3}{5}$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{3(-4) + 2(2)}{3 + 2} = \frac{-12 + 4}{5} = -\frac{8}{5}$
अतः,बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{3}{5}, - \frac{8}{5} \right)$ हैं।

(C) दिए गए कार्तीय निर्देशांक $(x, y) = (\sqrt{3}, 1)$ हैं।
ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ संबंधों का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ की गणना करें।
इसके बाद,$\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$ की गणना करें।
चूंकि $x$ और $y$ दोनों धनात्मक हैं,बिंदु प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{6}$।
अतः,ध्रुवीय निर्देशांक $(2, \frac{\pi}{6})$ हैं।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d$ का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदुओं $(a, 0)$ और $(0, a)$ का मान रखने पर:
$d = \sqrt{(0 - a)^2 + (a - 0)^2}$
$d = \sqrt{(-a)^2 + (a)^2}$
$d = \sqrt{a^2 + a^2}$
$d = \sqrt{2a^2}$
$d = \sqrt{2}a$

(A) $(x_1, y_1) = (3, -1)$ और $(x_2, y_2) = (3, 4)$ को $m : n = 2 : 3$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु का सूत्र $\left( \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n} \right)$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{2(3) - 3(3)}{2 - 3} = \frac{6 - 9}{-1} = 3$.
$y = \frac{2(4) - 3(-1)}{2 - 3} = \frac{8 + 3}{-1} = -11$.
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(3, -11)$ हैं।

(A) माना कि रेखा $3x + 4y - 7 = 0$,बिंदुओं $A(1, 2)$ और $B(-2, 1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{-2k + 1}{k+1}, \frac{k + 2}{k+1} \right)$ होंगे।
चूँकि यह बिंदु रेखा $3x + 4y = 7$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3\left( \frac{-2k + 1}{k+1} \right) + 4\left( \frac{k + 2}{k+1} \right) = 7$
$3(-2k + 1) + 4(k + 2) = 7(k + 1)$
$-6k + 3 + 4k + 8 = 7k + 7$
$-2k + 11 = 7k + 7$
$4 = 9k$
$k = \frac{4}{9}$
अतः,अनुपात $4:9$ है।

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदुओं $P(-2, 3)$ और $Q(4, -1)$ के मान रखने पर:
$PQ = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2}$
$PQ = \sqrt{(4 + 2)^2 + (-4)^2}$
$PQ = \sqrt{6^2 + (-4)^2}$
$PQ = \sqrt{36 + 16}$
$PQ = \sqrt{52}$

(A) माना वर्ग के शीर्ष $A(a, b)$ और $C(b, a)$ हैं।
ये सम्मुख शीर्ष हैं,इसलिए दूरी $AC$ वर्ग के विकर्ण $d$ की लंबाई है।
दूरी सूत्र के अनुसार,$d = \sqrt{(b - a)^2 + (a - b)^2} = \sqrt{(a - b)^2 + (a - b)^2} = \sqrt{2(a - b)^2} = |a - b|\sqrt{2}$.
विकर्ण के पदों में वर्ग का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2}d^2$ होता है।
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (|a - b|\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times (a - b)^2 \times 2 = (a - b)^2$.

(A) दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करें।
$AB = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
$BC = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-3 - 7)^2} = \sqrt{5^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.
$AC = \sqrt{(3 - 1)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
चूंकि $AB + AC = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5} = BC$,दो दूरियों का योग तीसरी दूरी के बराबर है।
अतः,बिंदु $A$,$B$ और $C$ संरेख हैं।

(A) ध्रुवीय निर्देशांकों में दो बिंदुओं $(r_1, \theta_1)$ और $(r_2, \theta_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र है:
$d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}$
यहाँ $r_1 = 3, \theta_1 = -\frac{\pi}{6}$ और $r_2 = 4, \theta_2 = \frac{\pi}{3}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$PQ = \sqrt{3^2 + 4^2 - 2(3)(4) \cos\left( -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \right)}$
$PQ = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right)}$
चूँकि $\cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) = 0$ है:
$PQ = \sqrt{25 - 24(0)} = \sqrt{25} = 5$.

(A) दिया गया है $P(7, 7)$ और $Q(3, 4)$।
सबसे पहले,दूरी $PQ = \sqrt{(7-3)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = 5$ की गणना करें।
चूंकि $P, Q, R$ संरेख हैं और $PR = 10$ तथा $PQ = 5$ है,इसलिए $Q$,$PR$ का मध्य-बिंदु है।
माना $R = (h, k)$ है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{7+h}{2} = 3$ $\Rightarrow 7+h = 6$ $\Rightarrow h = -1$।
$\frac{7+k}{2} = 4$ $\Rightarrow 7+k = 8$ $\Rightarrow k = 1$।
अतः,$R$ के निर्देशांक $(-1, 1)$ हैं।

(A) मूल बिंदु $(0, 0)$ से किसी बिंदु $(x, y)$ की दूरी का सूत्र $\sqrt{x^2 + y^2}$ है।
दिया गया बिंदु $P = (-8, 6)$ है।
दूरी $= \sqrt{(-8)^2 + (6)^2}$
$= \sqrt{64 + 36}$
$= \sqrt{100}$
$= 10$ इकाई।

(A) बाह्य विभाजन के लिए सूत्र $\left( \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n} \right)$ है।
यहाँ $m = a$,$n = b$,$(x_1, y_1) = (a + b, a - b)$ और $(x_2, y_2) = (a - b, a + b)$ है।
$x$-निर्देशांक के लिए:
$x = \frac{a(a - b) - b(a + b)}{a - b} = \frac{a^2 - 2ab - b^2}{a - b}$.
$y$-निर्देशांक के लिए:
$y = \frac{a(a + b) - b(a - b)}{a - b} = \frac{a^2 + b^2}{a - b}$.
अतः,बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{a^2 - 2ab - b^2}{a - b}, \frac{a^2 + b^2}{a - b} \right)$ हैं।

(B) माना बिंदु $P(k, k)$ है।
चूंकि $P$,$A(1, 0)$ और $B(0, 3)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA = PB$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$PA^2 = PB^2$:
$(k - 1)^2 + (k - 0)^2 = (k - 0)^2 + (k - 3)^2$
$(k^2 - 2k + 1) + k^2 = k^2 + (k^2 - 6k + 9)$
$2k^2 - 2k + 1 = 2k^2 - 6k + 9$
$-2k + 1 = -6k + 9$
$4k = 8$
$k = 2$
अतः,बिंदु $(2, 2)$ है।

(A) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के लिए मध्य-बिंदु का सूत्र $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$ है।
दिया गया मध्य-बिंदु $(3, 5)$ है,इसलिए:
$\frac{5 + b}{2} = 3 \implies 5 + b = 6 \implies b = 1$.
$\frac{a + 7}{2} = 5 \implies a + 7 = 10 \implies a = 3$.
अतः,$(a, b) = (3, 1)$.

(C) मान लीजिए कि समत्रिभाजन बिंदु $P_1$ और $P_2$ हैं। $P_1$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है और $P_2$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र $\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$P_1$ के लिए (अनुपात $1:2$): $x = \frac{1(5) + 2(2)}{1+2} = \frac{9}{3} = 3$,$y = \frac{1(3) + 2(1)}{1+2} = \frac{5}{3}$. अतः,$P_1 = \left( 3, \frac{5}{3} \right)$.
$P_2$ के लिए (अनुपात $2:1$): $x = \frac{2(5) + 1(2)}{2+1} = \frac{12}{3} = 4$,$y = \frac{2(3) + 1(1)}{2+1} = \frac{7}{3}$. अतः,$P_2 = \left( 4, \frac{7}{3} \right)$.

(A) कार्तीय निर्देशांक $(x, y)$ और ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ के बीच संबंध $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ है। \\ दिया गया है $r = 2$ और $\theta = \pi / 3$. \\ मान रखने पर: \\ $x = 2 \cos(\pi / 3) = 2 \times (1 / 2) = 1$. \\ $y = 2 \sin(\pi / 3) = 2 \times (\sqrt{3} / 2) = \sqrt{3}$. \\ अतः,कार्तीय निर्देशांक $(1, \sqrt{3})$ हैं।

(C) दूरी $d = \sqrt{(a \cos \alpha - a \cos \beta)^2 + (a \sin \alpha - a \sin \beta)^2}$
$d = a \sqrt{(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)}$
$d = a \sqrt{1 + 1 - 2 \cos(\alpha - \beta)}$
$d = a \sqrt{2(1 - \cos(\alpha - \beta))}$
$d = a \sqrt{2 \cdot 2 \sin^2 \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)}$
$d = 2a \left| \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \right|$

(B) बिंदु $M(x, y)$,$AB$ को $b:a$ के अनुपात में अंतःविभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$M$ के निर्देशांक:
$x = \frac{ab(\cos \alpha + \cos \beta)}{a + b}$
$y = \frac{ab(\sin \alpha + \sin \beta)}{a + b}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर,परिणाम $0$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि रेखा $2x + 3y + 7 = 0$,$A(3, 4)$ और $B(7, 8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु के निर्देशांक $(\frac{7k + 3}{k + 1}, \frac{8k + 4}{k + 1})$ होंगे।
चूंकि यह बिंदु रेखा $2x + 3y + 7 = 0$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(\frac{7k + 3}{k + 1}) + 3(\frac{8k + 4}{k + 1}) + 7 = 0$
$(k + 1)$ से गुणा करने पर:
$2(7k + 3) + 3(8k + 4) + 7(k + 1) = 0$
$14k + 6 + 24k + 12 + 7k + 7 = 0$
$45k + 25 = 0$
$45k = -25$
$k = -\frac{25}{45} = -\frac{5}{9}$
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि विभाजन $5:9$ के अनुपात में बाह्य रूप से होता है।

(D) ध्रुवीय निर्देशांक $(r_1, \theta_1)$ और $(r_2, \theta_2)$ वाले दो बिंदुओं के बीच की दूरी $d$ का सूत्र है:
$d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}$
यहाँ $r_1 = 2, \theta_1 = 15^{\circ}$ और $r_2 = 1, \theta_2 = 75^{\circ}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$d = \sqrt{2^2 + 1^2 - 2(2)(1) \cos(15^{\circ} - 75^{\circ})}$
$d = \sqrt{4 + 1 - 4 \cos(-60^{\circ})}$
चूँकि $\cos(-60^{\circ}) = \cos(60^{\circ}) = 0.5$:
$d = \sqrt{5 - 4(0.5)}$
$d = \sqrt{5 - 2}$
$d = \sqrt{3}$