Slope of line, Equation of line in different forms Questions in Hindi

(B) माना $A = (-2, -5)$,$B = (2, -2)$,और $C = (8, a)$ हैं।
चूँकि बिंदु संरेख हैं,$AB$ की प्रवणता = $BC$ की प्रवणता होगी।
$AB$ की प्रवणता = $\frac{-2 - (-5)}{2 - (-2)} = \frac{3}{4}$.
$BC$ की प्रवणता = $\frac{a - (-2)}{8 - 2} = \frac{a + 2}{6}$.
प्रवणताओं की तुलना करने पर: $\frac{3}{4} = \frac{a + 2}{6}$.
$18 = 4(a + 2) \Rightarrow 18 = 4a + 8$.
$4a = 10 \Rightarrow a = 2.5$.

(A) रेखा $AB$ की ढाल $m = \frac{6 - 3}{7 - 3} = \frac{3}{4}$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $y - 3 = \frac{3}{4}(x - 3)$ है।
$4y - 12 = 3x - 9 \Rightarrow 3x - 4y + 3 = 0$।
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,समीकरण को $\frac{x}{-1} + \frac{y}{3/4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अंतःखंड $(-1, 0)$ और $(0, 3/4)$ हैं।
अक्षों के बीच कटे हुए रेखाखंड की लंबाई $\sqrt{(-1 - 0)^2 + (0 - 3/4)^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$ है।

(C) दी गई रेखा $2x + 3y = 5$ है।
इसे $y = mx + c$ के रूप में लिखने पर,$3y = -2x + 5$,अर्थात $y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $y = mx + c$ से करने पर,ढाल $m = -\frac{2}{3}$ प्राप्त होती है।
दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि उनकी ढाल समान हो।
अतः,$m = -\frac{2}{3}$ और $c$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।

(B) दी गई रेखा का समीकरण $(3x - y + 5) + \lambda (2x - 3y - 4) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(3 + 2\lambda)x + (-1 - 3\lambda)y + (5 - 4\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
एक रेखा $y$-अक्ष के समांतर होती है यदि $y$ का गुणांक $0$ हो और $x$ का गुणांक शून्य न हो।
$y$ के गुणांक को $0$ के बराबर रखने पर:
$-1 - 3\lambda = 0$
$-3\lambda = 1$
$\lambda = -1/3$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $y = m_r x$ और $x + y = 1$ को हल करने पर,हमें $x = \frac{1}{1 + m_r}$ और $y = \frac{m_r}{1 + m_r}$ प्राप्त होता है।
अतः,तिर्यक रेखा पर तीनों रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु $P_r = \left( \frac{1}{1 + m_r}, \frac{m_r}{1 + m_r} \right)$ हैं,जहाँ $r = 1, 2, 3$ है।
चूंकि क्रमिक बिंदुओं के बीच के अंतःखंड समान हैं,इसलिए $P_1$ और $P_2$ के बीच की दूरी $P_2$ और $P_3$ के बीच की दूरी के बराबर है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,समान अंतःखंड की स्थिति $\frac{1}{1 + m_1} - \frac{1}{1 + m_2} = \frac{1}{1 + m_2} - \frac{1}{1 + m_3}$ में सरल हो जाती है।
इसका अर्थ है कि $\frac{2}{1 + m_2} = \frac{1}{1 + m_1} + \frac{1}{1 + m_3}$ है।
इसलिए,$1 + m_1, 1 + m_2, 1 + m_3$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(A) दिया गया वक्र $y = x^2 + 2x$ है।
$x_1 = 1$ के लिए,$y_1 = (1)^2 + 2(1) = 3$। अतः,पहला बिंदु $(1, 3)$ है।
$x_2 = 3$ के लिए,$y_2 = (3)^2 + 2(3) = 15$। अतः,दूसरा बिंदु $(3, 15)$ है।
$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$m = \frac{15 - 3}{3 - 1} = \frac{12}{2} = 6$।

(C) पहली रेखा $ax + by + c = 0$ है। इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{a}{b}$ है।
दूसरी रेखा प्राचलिक रूप में $x = \alpha t + \beta$ और $y = \gamma t + \delta$ है। इस रेखा की ढाल $m_2 = \frac{\gamma}{\alpha}$ है।
दो रेखाओं के समांतर होने के लिए,उनकी ढाल समान होनी चाहिए,इसलिए $m_1 = m_2$ है।
ढाल के मान रखने पर,हमें $-\frac{a}{b} = \frac{\gamma}{\alpha}$ प्राप्त होता है।
वज्र-गुणन करने पर,$-a\alpha = b\gamma$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $a\alpha + b\gamma = 0$ मिलता है।

(C) अक्षों से समान अंतःखंड $a$ काटने वाली रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ है,जिसे $x + y = a$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि रेखा बिंदु $(1, -2)$ से होकर गुजरती है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$1 + (-2) = a$
$a = -1$.
अब $a = -1$ को समीकरण $x + y = a$ में रखने पर,हमें $x + y = -1$ प्राप्त होता है,अर्थात $x + y + 1 = 0$।

(C) $y$-अंतःखंड $c = -1$ और ढाल $m$ वाली रेखा का समीकरण $y = mx + c$ होता है।
चूंकि रेखाएं अक्षों के साथ समान झुकाव रखती हैं,इसलिए झुकाव का कोण $\theta = 45^{\circ}$ या $135^{\circ}$ है।
अतः,ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ या $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ है।
स्थिति $1$: $m = 1$ और $c = -1$ के लिए,समीकरण $y = 1x - 1$ अर्थात $x - y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $m = -1$ और $c = -1$ के लिए,समीकरण $y = -1x - 1$ अर्थात $x + y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x - y - 1 = 0$ और $x + y + 1 = 0$ हैं।

(B) दी गई रेखा $5x - y = 1$ है।
$5x - y = 1$ के लंबवत रेखा का रूप $x + 5y = k$ है।
इसे अंतःखंड रूप में लिखने पर: $\frac{x}{k} + \frac{y}{k/5} = 1$।
निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a = k$ और $b = k/5$ हैं।
रेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |ab| = 5$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} |k \cdot \frac{k}{5}| = 5$।
$|k^2| = 50$,जिसका अर्थ है $k = \pm \sqrt{50} = \pm 5\sqrt{2}$।
अतः,रेखा $L$ का समीकरण $x + 5y = \pm 5\sqrt{2}$ है।

(A) रेखा की ढाल $m = 3$ है और यह धनात्मक $x$-अक्ष पर $3$ का अंतःखंड काटती है। इसका अर्थ है कि रेखा बिंदु $(3, 0)$ से होकर गुजरती है।
रेखा के बिंदु-ढाल रूप के समीकरण का उपयोग करते हुए,$y - y_1 = m(x - x_1)$:
$y - 0 = 3(x - 3)$
$y = 3x - 9$
अतः,अभीष्ट समीकरण $y = 3x - 9$ है।

(B) $AB$ का मध्यबिंदु $E$ $\left( \frac{a + a'}{2}, \frac{b + b'}{2} \right)$ है।
$CD$ का मध्यबिंदु $F$ $\left( \frac{-a + a'}{2}, \frac{b - b'}{2} \right)$ है।
रेखा $EF$ की ढाल $m = \frac{b'}{a}$ प्राप्त होती है।
रेखा का समीकरण $y - \frac{b + b'}{2} = \frac{b'}{a} \left( x - \frac{a + a'}{2} \right)$ है।
सरल करने पर,$2ay - 2b'x = ab - a'b'$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखा $y = x$ की ढाल $m_1 = 1$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $y = x$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$1 \times m_2 = -1$,जिससे $m_2 = -1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (3, 2)$ से गुजरने वाली और $m = -1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
मान रखने पर,हमें $y - 2 = -1(x - 3)$ प्राप्त होता है।
$y - 2 = -x + 3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x + y = 5$ प्राप्त होता है।

(B) माना मध्य-बिंदु $BC$ पर $E(1, 3)$,$CA$ पर $D(5, 7)$ और $AB$ पर $F(-5, 7)$ हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है।
इसलिए,भुजा $AB$ रेखाखंड $ED$ के समानांतर है।
$ED$ की ढाल $= \frac{7 - 3}{5 - 1} = \frac{4}{4} = 1$ है।
चूंकि $AB$,$ED$ के समानांतर है,इसलिए $AB$ की ढाल भी $1$ होगी।
भुजा $AB$ मध्य-बिंदु $F(-5, 7)$ से होकर गुजरती है।
रेखा $AB$ का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y - 7 = 1(x - (-5))$।
$y - 7 = x + 5$।
$x - y + 12 = 0$।

(D) दी गई रेखा $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ है,जिसे $bx - ay = ab$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह रेखा $x$-अक्ष को वहाँ काटती है जहाँ $y = 0$ है। समीकरण में $y = 0$ रखने पर,$bx = ab$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = a$। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(a, 0)$ है।
दी गई रेखा $bx - ay = ab$ की ढाल $m_1 = \frac{b}{a}$ है।
इसके लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{a}{b}$ होगी।
ढाल $m_2 = -\frac{a}{b}$ और बिंदु $(a, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - 0 = -\frac{a}{b}(x - a)$ है।
$b$ से गुणा करने पर,$by = -ax + a^2$ प्राप्त होता है,जिसे $ax + by = a^2$ लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों को $ab$ से विभाजित करने पर,$\frac{ax}{ab} + \frac{by}{ab} = \frac{a^2}{ab}$ प्राप्त होता है,जिसका परिणाम $\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = \frac{a}{b}$ है।

(B) दी गई रेखा $x + y + 1 = 0$ है,जिसे $y = -x - 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = -1$ है।
इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-1} = 1$ होगी।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 2)$ से गुजरने वाली और $m = 1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ होता है।
मान रखने पर,$y - 2 = 1(x - 1)$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$y - 2 = x - 1$,अर्थात $y - x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं।
दिया है कि $a + b = 14$,इसलिए $a = 14 - b$.
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$a = 14 - b$ रखने पर,हमें $\frac{x}{14 - b} + \frac{y}{b} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा $(3, 4)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{3}{14 - b} + \frac{4}{b} = 1$.
$b(14 - b)$ से गुणा करने पर,$3b + 4(14 - b) = b(14 - b)$.
$3b + 56 - 4b = 14b - b^2$.
$b^2 - 15b + 56 = 0$.
$(b - 7)(b - 8) = 0$.
अतः,$b = 7$ या $b = 8$.
यदि $b = 7$ है,तो $a = 7$. समीकरण $x + y = 7$ प्राप्त होता है।
यदि $b = 8$ है,तो $a = 6$. समीकरण $\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1 \Rightarrow 4x + 3y = 24$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$4x + 3y = 24$ सही विकल्प है।

(A) माना $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं।
चूँकि $(x_1, y_1)$ रेखा $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $x_1 = \frac{a+0}{2} = \frac{a}{2}$ और $y_1 = \frac{0+b}{2} = \frac{b}{2}$ है।
इसका अर्थ है कि $a = 2x_1$ और $b = 2y_1$ है।
रेखा के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ होता है।
$a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x}{2x_1} + \frac{y}{2y_1} = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2x_1y_1$ से गुणा करने पर,हमें $x y_1 + y x_1 = 2x_1y_1$ प्राप्त होता है।

(B) बिंदुओं $(1, 3)$ और $(1, -7)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु $\left( \frac{1+1}{2}, \frac{3-7}{2} \right) = (1, -2)$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $2x - 3y = 1$ के समांतर है,इसलिए इसका समीकरण $2x - 3y = k$ के रूप में होगा।
बिंदु $(1, -2)$ को समीकरण में रखने पर: $2(1) - 3(-2) = k$.
$2 + 6 = k \Rightarrow k = 8$.
अतः,रेखा का समीकरण $2x - 3y = 8$ है।

(A) माना अंतःखंड $a$ और $-a$ हैं। रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{-a} = 1$ है।
यह $x - y = a$ में सरल हो जाता है।
चूंकि रेखा $(-3, 2)$ से गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$-3 - 2 = a \Rightarrow a = -5$.
$a = -5$ को $x - y = a$ में रखने पर,हमें $x - y = -5$ प्राप्त होता है,जो $x - y + 5 = 0$ है।

(A) रेखा के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ होता है,जहाँ $a$ $x$-अक्ष का अंतःखंड है और $b$ $y$-अक्ष का अंतःखंड है।
यहाँ $x$-अक्ष का अंतःखंड $a = 3$ और $y$-अक्ष का अंतःखंड $b = -2$ दिया गया है।
इन मानों को अंतःखंड रूप के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{-2} = 1$
जो सरल होकर प्राप्त होता है:
$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1$

(D) दी गई रेखा $3x + 4y = 5$ है,जिसे $y = -\frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{3}{4}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$m_2 = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
$(x_1, y_1) = (3, -4)$ से गुजरने वाली और $m = \frac{4}{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $y + 4 = \frac{4}{3}(x - 3)$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखा $y = 3x - 1$ है,जो $y = mx + c$ के रूप में है।
इसकी तुलना करने पर,रेखा की ढाल $m = 3$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा दी गई रेखा के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल भी $m = 3$ होगी।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y - y_1) = m(x - x_1)$ होता है।
बिंदु $(1, 2)$ और ढाल $m = 3$ रखने पर,हमें $(y - 2) = 3(x - 1)$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखा $2x + 3y + 4 = 0$ है,जिसे $3y = -2x - 4$ या $y = -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{2}{3}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा दी गई रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$।
$(-1, 1)$ से गुजरने वाली और $m_2 = \frac{3}{2}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ होता है।
मान रखने पर,$y - 1 = \frac{3}{2}(x - (-1))$,जो सरल होकर $y - 1 = \frac{3}{2}(x + 1)$ हो जाता है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2(y - 1) = 3(x + 1)$ प्राप्त होता है।

(C) रेखाओं $x = 0$ ($y$-अक्ष) और $y = 0$ ($x$-अक्ष) का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल बिंदु $(0, 0)$ है।
हमें बिंदुओं $(0, 0)$ और $(2, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करना है।
रेखा की ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{2 - 0} = 1$ है।
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर,हमें $y - 0 = 1(x - 0)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $y = x$ हो जाता है।

(B) $(a, 0)$ और $(-a, 0)$ को मिलाने वाली रेखा $x$-अक्ष है,जिसकी ढाल $0$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $x$-अक्ष पर लंब है,इसलिए यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा होनी चाहिए।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर जाने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण $x = 0$ है।

(B) एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण $ax + by + c = 0$ द्वारा दिया जाता है।
हालाँकि,इसे $y = mx + c$ (ढाल-अंतःखंड रूप) या $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ (अंतःखंड रूप) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
इन सभी मानक रूपों में,ठीक $2$ स्वतंत्र स्थिरांक (मापदंड) होते हैं जो रेखा को परिभाषित करते हैं।
इसलिए,एक सीधी रेखा को निर्दिष्ट करने के लिए $2$ ज्यामितीय मापदंडों की आवश्यकता होती है।

(B) माना आयत $ABCD$ है। बिंदु $A (1, 3)$ और $C (5, 1)$ विपरीत शीर्ष हैं।
विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु $M = (\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}) = (3, 2)$ है।
चूंकि $M$ आयत का केंद्र है,इसलिए यह अन्य दो शीर्षों ($B$ और $D$) को जोड़ने वाले विकर्ण $BD$ पर भी स्थित होगा।
अन्य दो शीर्षों से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = 2$ है।
बिंदु $M (3, 2)$ से गुजरने वाली और $m = 2$ ढाल वाली रेखा के लिए बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर:
$y - 2 = 2(x - 3)$
$y - 2 = 2x - 6$
$2x - y - 4 = 0$.

(A) माना $x$-अंतःखंड $a$ है और $y$-अंतःखंड $2a$ है।
रेखा के अंतःखंड रूप का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{2a} = 1$ है।
चूंकि रेखा $(1, 2)$ से होकर गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{1}{a} + \frac{2}{2a} = 1$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{a} = 1$
$\frac{2}{a} = 1 \implies a = 2$
$a = 2$ को अंतःखंड रूप के समीकरण में वापस रखने पर:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1$
$4$ से गुणा करने पर,हमें $2x + y = 4$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: बिंदुओं $(2, -19)$ और $(6, 1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ज्ञात करें।
मध्य-बिंदु $= (\frac{2+6}{2}, \frac{-19+1}{2}) = (4, -9)$.
चरण $2$: बिंदुओं $(-1, 3)$ और $(5, -1)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल ज्ञात करें।
ढाल $(m_1) = \frac{-1-3}{5-(-1)} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
चरण $3$: अभीष्ट रेखा इस रेखा पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $(m_2) = -\frac{1}{m_1} = \frac{3}{2}$ होगी।
चरण $4$: बिंदु $(4, -9)$ और ढाल $\frac{3}{2}$ का उपयोग करके बिंदु-ढाल रूप $(y - y_1) = m(x - x_1)$ में मान रखें।
$y - (-9) = \frac{3}{2}(x - 4)$
$2(y + 9) = 3(x - 4)$
$2y + 18 = 3x - 12$
$3x - 2y = 30$.

(A) मान लीजिए कि रेखा $x$-अक्ष को $(a, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $(0, b)$ पर काटती है।
चूंकि अक्षों के बीच के खंड का मध्य-बिंदु $(x_1, y_1)$ है,इसलिए:
$x_1 = \frac{a+0}{2} \implies a = 2x_1$
$y_1 = \frac{0+b}{2} \implies b = 2y_1$
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$a$ और $b$ के मान रखने पर,$\frac{x}{2x_1} + \frac{y}{2y_1} = 1$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$\frac{x}{x_1} + \frac{y}{y_1} = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखा $ax + by + c = 0$ है।
इसकी प्रवणता (slope) $m = -\frac{a}{b}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा दी गई रेखा के समांतर है,इसलिए इसकी प्रवणता भी $m = -\frac{a}{b}$ होगी।
$(c, d)$ से गुजरने वाली और $m$ प्रवणता वाली रेखा का समीकरण $y - d = m(x - c)$ होता है।
$m = -\frac{a}{b}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y - d = -\frac{a}{b}(x - c)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $b$ से गुणा करने पर,$b(y - d) = -a(x - c)$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$a(x - c) + b(y - d) = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखा $ax + by + c = 0$ है। इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{a}{b}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा दी गई रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ शर्त $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करती है।
अतः,$m_2 = \frac{b}{a}$ है।
$(a, b)$ से गुजरने वाली और $m_2 = \frac{b}{a}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - b = \frac{b}{a}(x - a)$ है।
$a$ से गुणा करने पर,$a(y - b) = b(x - a)$ प्राप्त होता है।
$ay - ab = bx - ab$.
$bx - ay = 0$.

(A) रेखा की ढाल $m = \tan(45^\circ) = 1$ है।
रेखा के बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करते हुए,$y - y_1 = m(x - x_1)$,जहाँ $(x_1, y_1) = (4, -6)$:
$y - (-6) = 1(x - 4)$
$y + 6 = x - 4$
$x - y - 10 = 0$.

(B) दी गई रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जिसे $y = -\frac{b}{a}x + b$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{b}{a}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा इस रेखा के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल भी $m = -\frac{b}{a}$ होगी।
$(a, b)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{b}{a}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - b = m(x - a)$ है।
मान रखने पर: $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$।
दोनों पक्षों को $b$ से विभाजित करने पर: $\frac{y}{b} - 1 = -\frac{1}{a}(x - a)$।
$\frac{y}{b} - 1 = -\frac{x}{a} + 1$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$।

(C) घड़ी की घंटे,मिनट और सेकंड की सुइयां हमेशा मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरती हैं क्योंकि इन सुइयों का एक सिरा हमेशा केंद्र पर स्थित होता है।
$4$ बजे,घंटे वाली सुई चौथे चतुर्थांश में धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
रेखा द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta = -30^{\circ}$ है।
रेखा की ढाल $m = \tan(-30^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = mx$ होता है।
$m$ का मान रखने पर,हमें $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से गुणा करने पर,हमें $\sqrt{3}y = -x$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x + \sqrt{3}y = 0$ मिलता है।

(C) रेखा का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है,जहाँ $p$ मूल बिंदु से लंबवत दूरी है और $\alpha$ अभिलंब द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
दिया गया है कि रेखा $x$-अक्ष के साथ $120^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए इसकी ढाल $m = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ है।
इस रेखा पर अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $\alpha = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$ या $120^{\circ} + 90^{\circ} = 210^{\circ}$ का कोण बनाता है।
$p = 4$ का उपयोग करते हुए,समीकरण हैं:
$x \cos(30^{\circ}) + y \sin(30^{\circ}) = 4$ $\Rightarrow x(\frac{\sqrt{3}}{2}) + y(\frac{1}{2}) = 4$ $\Rightarrow x\sqrt{3} + y = 8$.
$x \cos(210^{\circ}) + y \sin(210^{\circ}) = 4$ $\Rightarrow x(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + y(-\frac{1}{2}) = 4$ $\Rightarrow x\sqrt{3} + y = -8$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$x\sqrt{3} + y = 8$ विकल्प $C$ है।

(B) रेखाओं $4x - 3y - 1 = 0$ और $2x - 5y + 3 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु को हल करने पर:
दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,$4x - 10y + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण से इसे घटाने पर: $(4x - 3y - 1) - (4x - 10y + 6) = 0$,जिससे $7y - 7 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y = 1$।
$y = 1$ को $2x - 5(1) + 3 = 0$ में रखने पर,$2x - 2 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 1$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
अक्षों पर समान रूप से झुकी हुई रेखाओं की ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ या $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ होती है।
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर,समीकरण $y - 1 = 1(x - 1)$ और $y - 1 = -1(x - 1)$ प्राप्त होते हैं।
इन्हें $y - 1 = \pm 1(x - 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) माना रेखा $x$-अक्ष को $A(a, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, b)$ पर काटती है।
दिया गया है कि बिंदु $P(-4, 3)$ रेखाखंड $AB$ को $5 : 3$ के अनुपात में अंतः विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक:
$P = \left( \frac{5(0) + 3(a)}{5 + 3}, \frac{5(b) + 3(0)}{5 + 3} \right) = \left( \frac{3a}{8}, \frac{5b}{8} \right)$.
इसे $(-4, 3)$ के बराबर रखने पर:
$\frac{3a}{8} = -4 \Rightarrow a = -\frac{32}{3}$.
$\frac{5b}{8} = 3 \Rightarrow b = \frac{24}{5}$.
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
मान रखने पर:
$\frac{x}{(-32/3)} + \frac{y}{(24/5)} = 1$
$-\frac{3x}{32} + \frac{5y}{24} = 1$.
$96$ से गुणा करने पर:
$-9x + 20y = 96$
$9x - 20y + 96 = 0$.

(B) बिंदुओं $(x_1, y_1) = (-5, -6)$ और $(x_2, y_2) = (3, 10)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ इस प्रकार है:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{10 - (-6)}{3 - (-5)} = \frac{16}{8} = 2$.
बिंदु-ढाल रूप $(y - y_1) = m(x - x_1)$ का उपयोग करते हुए:
$y - (-6) = 2(x - (-5))$
$y + 6 = 2(x + 5)$
$y + 6 = 2x + 10$
$2x - y + 4 = 0$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a'} + \frac{y}{b'} = 1$ होता है,जहाँ $a'$ और $b'$ क्रमशः $x$ और $y$ अक्ष पर अंतःखंड हैं।
दिए गए अंतःखंड $a' = 2a \sec \theta$ और $b' = 2a \csc \theta$ हैं।
इन्हें अंतःखंड रूप में रखने पर:
$\frac{x}{2a \sec \theta} + \frac{y}{2a \csc \theta} = 1$
चूँकि $\frac{1}{\sec \theta} = \cos \theta$ और $\frac{1}{\csc \theta} = \sin \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x \cos \theta}{2a} + \frac{y \sin \theta}{2a} = 1$
दोनों पक्षों को $2a$ से गुणा करने पर:
$x \cos \theta + y \sin \theta = 2a$
अतः,$x \cos \theta + y \sin \theta - 2a = 0$।

(B) दिए गए समीकरण $y = mx + c$ और $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ हैं।
पहले समीकरण को $mx - y + c = 0$ के रूप में लिखने पर,हम इसकी तुलना $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ से कर सकते हैं।
चूंकि दोनों एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए उनके गुणांकों का अनुपात समान होगा:
$\frac{\cos \alpha}{m} = \frac{\sin \alpha}{-1} = \frac{-p}{-c} = k$
इससे,$\cos \alpha = mk$ और $\sin \alpha = -k$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ का उपयोग करने पर,$(mk)^2 + (-k)^2 = 1$,जो $k^2(m^2 + 1) = 1$ में सरल होता है,इसलिए $k = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}$।
साथ ही,$\frac{-p}{-c} = k$ से,$\frac{p}{c} = k = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}$।
अतः,$c = p \sqrt{1 + m^2}$।

(C) बिंदुओं $(x_1, y_1) = (1, 2)$ और $(x_2, y_2) = (2, 5)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 2}{2 - 1} = 3$ है।
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर,$y - 2 = 3(x - 1)$।
इसे हल करने पर,$y - 2 = 3x - 3$,जो $y - 3x + 1 = 0$ के रूप में प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखा $3x + 4y + 5 = 0$ है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{3}{4}$ है।
इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{4}{3}$ होगी।
$(1, 2)$ से गुजरने वाली और $m = \frac{4}{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
$y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1)$
$3(y - 2) = 4(x - 1)$
$3y - 6 = 4x - 4$
$4x - 3y + 2 = 0$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $2x + 6y + 7 = 0$ के समांतर किसी भी रेखा का समीकरण $2x + 6y + k = 0$ के रूप में होता है।
यह रेखा $x$-अक्ष को $A\left(-\frac{k}{2}, 0\right)$ पर और $y$-अक्ष को $B\left(0, -\frac{k}{6}\right)$ पर काटती है।
अक्षों के बीच अंतःखंड की लंबाई $AB = 10$ दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$AB = \sqrt{\left(-\frac{k}{2} - 0\right)^2 + \left(0 - \left(-\frac{k}{6}\right)\right)^2} = 10$.
$\sqrt{\frac{k^2}{4} + \frac{k^2}{36}} = 10$.
$\sqrt{\frac{9k^2 + k^2}{36}} = 10 \Rightarrow \sqrt{\frac{10k^2}{36}} = 10$.
$\frac{\sqrt{10}|k|}{6} = 10 \Rightarrow |k| = \frac{60}{\sqrt{10}} = 6\sqrt{10}$.
अतः,$k = \pm 6\sqrt{10}$.
इसलिए,ऐसी $2$ रेखाएँ हैं: $2x + 6y + 6\sqrt{10} = 0$ और $2x + 6y - 6\sqrt{10} = 0$.

(D) दी गई रेखा $3x + y = 3$ है,जिसे $y = -3x + 3$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = -3$ है।
इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -1/m_1 = -1/(-3) = 1/3$ होगी।
$(2, 2)$ से गुजरने वाली और $1/3$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ है।
मान रखने पर,$y - 2 = \frac{1}{3}(x - 2)$ प्राप्त होता है।
$3$ से गुणा करने पर,$3y - 6 = x - 2$,जिसे सरल करने पर $x - 3y + 4 = 0$ मिलता है।
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $x = 0$ रखने पर: $0 - 3y + 4 = 0$,जिससे $3y = 4$ या $y = 4/3$ प्राप्त होता है।
अतः,$y$-अंतःखंड $4/3$ है।

(D) माना रेखा का समीकरण अंतःखंड रूप में $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ हैं।
बिंदु $P(1, 2)$ रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{a + 0}{2} = 1$ और $\frac{0 + b}{2} = 2$ प्राप्त होता है।
इससे $a = 2$ और $b = 4$ प्राप्त होता है।
इन मानों को अंतःखंड रूप के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
$4$ से गुणा करने पर,$2x + y = 4$,या $2x + y - 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि बिंदु $P(a, b)$,$3x + 2y = 13$ पर स्थित है,इसलिए:
$3a + 2b = 13$ ..... $(i)$
दिया गया है कि बिंदु $Q(b, a)$,$4x - y = 5$ पर स्थित है,इसलिए:
$4b - a = 5$ या $-a + 4b = 5$ ..... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $-3a + 12b = 15$ ..... $(iii)$
$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$(3a + 2b) + (-3a + 12b) = 13 + 15$
$14b = 28 \Rightarrow b = 2$
$b = 2$ को $(i)$ में रखने पर:
$3a + 2(2) = 13$ $\Rightarrow 3a = 9$ $\Rightarrow a = 3$
अतः,$P = (3, 2)$ और $Q = (2, 3)$ है।
रेखा $PQ$ की ढाल $m = \frac{3 - 2}{2 - 3} = \frac{1}{-1} = -1$ है।
$(3, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $PQ$ का समीकरण:
$y - 2 = -1(x - 3)$
$y - 2 = -x + 3$
$x + y = 5$.

(A) $2x + 3y - 7 = 0$ के समानांतर रेखा का समीकरण $2x + 3y + \lambda = 0$ के रूप में होता है।
चूंकि रेखा बिंदु $(1, 1)$ से गुजरती है,हम समीकरण में $x = 1$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(1) + 3(1) + \lambda = 0$
$2 + 3 + \lambda = 0$
$5 + \lambda = 0$
$\lambda = -5$
$\lambda$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें $2x + 3y - 5 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि रेखा $x$-अक्ष को $(a, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $(0, b)$ पर काटती है।
चूँकि बिंदु $(5, 2)$ अक्षों के बीच के रेखाखंड को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$\frac{a + 0}{2} = 5 \Rightarrow a = 10$
$\frac{0 + b}{2} = 2 \Rightarrow b = 4$
रेखा के अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{10} + \frac{y}{4} = 1$
$20$ से गुणा करने पर,हमें $2x + 5y = 20$ प्राप्त होता है।