Slope of line, Equation of line in different forms Questions in Hindi

(D) दी गई रेखा $3x + 4y = 12$ है।
$12$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x-$अंतःखंड $4$ है और $y-$अंतःखंड $3$ है।
माना रेखा $L$ का $x-$अंतःखंड $a$ और $y-$अंतःखंड $b$ है।
प्रश्न के अनुसार,$a = 2 \times 4 = 8$ और $b = \frac{3}{2}$ है।
रेखा $L$ का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जो $\frac{x}{8} + \frac{y}{3/2} = 1$ हो जाता है।
यह $\frac{x}{8} + \frac{2y}{3} = 1$ में सरल होता है।
$24$ से गुणा करने पर,हमें $3x + 16y = 24$ प्राप्त होता है।
ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ में लिखने पर,$16y = -3x + 24$,या $y = -\frac{3}{16}x + \frac{24}{16}$।
इसलिए,$L$ की ढाल $-\frac{3}{16}$ है।

(A) माना दो खंभे $OA$ और $BC$ एक क्षैतिज तल $OB$ पर स्थित हैं। $OA = 20\,m$ और $BC = 80\,m$ है। उनके बीच की दूरी $OB = a$ है।
निर्देशांक पद्धति के अनुसार $O(0, 0)$,$A(0, 20)$,$B(a, 0)$,और $C(a, 80)$ लेते हैं।
पहले खंभे के शीर्ष $A(0, 20)$ को दूसरे खंभे के पाद $B(a, 0)$ से जोड़ने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 0 = \frac{20 - 0}{0 - a}(x - a) \Rightarrow y = -\frac{20}{a}(x - a) \quad \dots(1)$
दूसरे खंभे के शीर्ष $C(a, 80)$ को पहले खंभे के पाद $O(0, 0)$ से जोड़ने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 0 = \frac{80 - 0}{a - 0}(x - 0) \Rightarrow y = \frac{80}{a}x \quad \dots(2)$
प्रतिच्छेदन बिंदु $M$ ज्ञात करने के लिए,$(1)$ और $(2)$ की तुलना करते हैं:
$\frac{80}{a}x = -\frac{20}{a}(x - a)$
$80x = -20x + 20a$
$100x = 20a \Rightarrow x = \frac{a}{5}$
$x = \frac{a}{5}$ को $(2)$ में रखने पर:
$y = \frac{80}{a} \times \frac{a}{5} = 16\,m$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु की ऊँचाई $16\,m$ है।

(B) माना रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा बिंदु $P(-3, 4)$ से गुजरती है और यह बिंदु अक्षों के बीच के अंतःखंडित भाग को समद्विभाजित करता है,इसलिए अंतःखंड $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ हैं।
मध्य बिंदु सूत्र के अनुसार,$P = \left( \frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right).$
दिए गए $P(-3, 4)$ से,हमारे पास $\frac{a}{2} = -3 \implies a = -6$ और $\frac{b}{2} = 4 \implies b = 8$ है।
इन मानों को अंतःखंड रूप समीकरण में रखने पर: $\frac{x}{-6} + \frac{y}{8} = 1.$
$24$ से गुणा करने पर,हमें $-4x + 3y = 24$ या $4x - 3y + 24 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना रेखा का ढाल $m = \tan \theta$ है। $P(2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x = 2 + r \cos \theta$ और $y = 3 + r \sin \theta$ है,जहाँ $r = 4$ है।
इन मानों को $x + y = 7$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2 + 4 \cos \theta) + (3 + 4 \sin \theta) = 7$
$4(\cos \theta + \sin \theta) = 2$
$\cos \theta + \sin \theta = \frac{1}{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$
$\sin 2\theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$
$\sin 2\theta = \frac{2m}{1 + m^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2m}{1 + m^2} = -\frac{3}{4}$
$8m = -3 - 3m^2 \Rightarrow 3m^2 + 8m + 3 = 0$
द्विघात सूत्र $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$m = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{-8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{7}}{3}$
$\frac{1 - \sqrt{7}}{1 + \sqrt{7}}$ का परिमेयकरण करने पर यह $\frac{-4 + \sqrt{7}}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) रेखा का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है,जहाँ $p = 4$ मूल बिंदु से लंबवत दूरी है और $\alpha$ अभिलंब द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
रेखा $x + y = 0$ की ढाल $-1$ है,जो $x$-अक्ष के साथ $135^o$ का कोण बनाती है।
मूल बिंदु से रेखा $L$ पर लंब $x + y = 0$ के साथ $60^o$ का कोण बनाता है। अतः,$\alpha = 135^o \pm 60^o$.
स्थिति $1$: $\alpha = 135^o - 60^o = 75^o$.
$\cos 75^o = \frac{\sqrt 3 - 1}{2\sqrt 2}$ और $\sin 75^o = \frac{\sqrt 3 + 1}{2\sqrt 2}$.
समीकरण $(\sqrt 3 - 1)x + (\sqrt 3 + 1)y = 8\sqrt 2$ प्राप्त होता है।

(C) रेखा की ढाल $m = \tan(135^\circ) = -1$ है।
दिया गया $y$-अंतःखंड $c = -2$ है।
रेखा का ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ होता है।
मान रखने पर,$y = (-1)x + (-2)$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा का समीकरण $y = -x - 2$ है।

(B) ढाल-अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $y = mx + c$ होता है,जहाँ $m$ ढाल है और $c$ $y$-अंतःखंड है।
दिए गए ग्राफ से,रेखा द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta = 60^\circ$ है।
इसलिए,ढाल $m = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ है।
रेखा $y$-अक्ष को मूल बिंदु से $3$ इकाई ऊपर काटती है,इसलिए $y$-अंतःखंड $c = 3$ है।
इन मानों को ढाल-अंतःखंड रूप में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = \sqrt{3}x + 3$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से होकर गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
दिए गए बिंदु $(x_1, y_1) = (3, -2)$ और $(x_2, y_2) = (-1, 4)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$m = \frac{4 - (-2)}{-1 - 3}$
$m = \frac{4 + 2}{-4}$
$m = \frac{6}{-4}$
$m = -\frac{3}{2}$

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से होकर जाने वाली रेखा की ढाल $m$ का सूत्र है:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
दिए गए बिंदु $(x_1, y_1) = (3, -2)$ और $(x_2, y_2) = (7, -2)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$m = \frac{-2 - (-2)}{7 - 3}$
$m = \frac{-2 + 2}{4}$
$m = \frac{0}{4} = 0$
अतः,रेखा की ढाल $0$ है।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से होकर जाने वाली रेखा की ढाल $m$ का सूत्र है:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
दिए गए बिंदुओं $(3, -2)$ और $(3, 4)$ का मान रखने पर:
$m = \frac{4 - (-2)}{3 - 3} = \frac{6}{0}$
चूंकि शून्य से भाग देना परिभाषित नहीं है,इसलिए रेखा की ढाल अपरिभाषित है।

(C) रेखा का झुकाव (inclination) $\alpha = 60^{\circ}$ दिया गया है।
रेखा की ढाल $m$ को $m = \tan(\alpha)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m = \tan(60^{\circ})$ प्राप्त होता है।
अतः,ढाल $m = \sqrt{3}$ है।

(A) माना पहली रेखा की ढाल $m_{1}$ है और दूसरी रेखा की ढाल $m_{2}$ है।
बिंदुओं $(-2, 6)$ और $(4, 8)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल:
$m_{1} = \frac{8 - 6}{4 - (-2)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
बिंदुओं $(8, 12)$ और $(x, 24)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल:
$m_{2} = \frac{24 - 12}{x - 8} = \frac{12}{x - 8}$.
चूंकि दोनों रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$m_{1} \times m_{2} = -1$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{3} \times \frac{12}{x - 8} = -1$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{4}{x - 8} = -1$.
दोनों पक्षों को $(x - 8)$ से गुणा करने पर:
$4 = -(x - 8)$.
$4 = -x + 8$.
$x = 8 - 4$.
$x = 4$.

(N/A) चूंकि बिंदु $P$,$Q$ और $R$ संरेख हैं,इसलिए रेखाखंड $PQ$ की ढाल रेखाखंड $QR$ की ढाल के बराबर होनी चाहिए।
$PQ$ की ढाल $m_{PQ} = \frac{y_{1}-k}{x_{1}-h}$ है।
$QR$ की ढाल $m_{QR} = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ है।
ढालों को बराबर करने पर: $\frac{y_{1}-k}{x_{1}-h} = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$.
बाईं ओर के अंश और हर को $-1$ से गुणा करने पर: $\frac{k-y_{1}}{h-x_{1}} = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $(h-x_{1})(y_{2}-y_{1}) = (k-y_{1})(x_{2}-x_{1})$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु संरेख हैं।

(N/A) माना $(T, D)$ रेखा पर कोई बिंदु है,जहाँ $D$ समय $T$ पर दूरी को दर्शाता है।
चूँकि बिंदु $(0, 2)$,$(3, 8)$ और $(T, D)$ संरेख (collinear) हैं,इसलिए किन्हीं भी दो बिंदुओं के बीच की ढाल समान होनी चाहिए।
ढाल $= \frac{8 - 2}{3 - 0} = \frac{D - 8}{T - 3}$
$\frac{6}{3} = \frac{D - 8}{T - 3}$
$2 = \frac{D - 8}{T - 3}$
$2(T - 3) = D - 8$
$2T - 6 = D - 8$
$D = 2T + 2$
$D = 2(T + 1)$
यह अभीष्ट संबंध है।

(A) यदि कोई रेखा $y$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में $30^{\circ}$ का कोण बनाती है,तो वह रेखा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में $90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ का कोण बनाएगी।
अतः,दी गई रेखा की ढाल $m = \tan 120^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\tan 60^{\circ} = -\sqrt{3}$ है।

(A) यदि बिंदु $A(x, -1), B(2, 1)$ और $C(4, 5)$ संरेख हैं,तो $AB$ की ढाल $BC$ की ढाल के बराबर होनी चाहिए।
$AB$ की ढाल $= \frac{1 - (-1)}{2 - x} = \frac{2}{2 - x}$
$BC$ की ढाल $= \frac{5 - 1}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$
ढालों को बराबर करने पर: $\frac{2}{2 - x} = 2$
$\Rightarrow 2 = 2(2 - x)$
$\Rightarrow 2 = 4 - 2x$
$\Rightarrow 2x = 2$
$\Rightarrow x = 1$
अतः,$x$ का अभीष्ट मान $1$ है।

(A) बिंदुओं $(x_1, y_1) = (3, -1)$ और $(x_2, y_2) = (4, -2)$ को मिलाने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$m = \frac{-2 - (-1)}{4 - 3} = \frac{-2 + 1}{1} = -1$.
रेखा का $x$-अक्ष के साथ झुकाव $\theta$,$\tan \theta = m$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\tan \theta = -1$.
चूंकि $\tan 135^{\circ} = -1$,इसलिए कोण $\theta = 135^{\circ}$ है।

(N/A) $(x_{1}, y_{1})$ और $(h, k)$ बिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा की ढाल का सूत्र है:
$m = \frac{k - y_{1}}{h - x_{1}}$
यह दिया गया है कि रेखा की ढाल $m$ है।
अतः,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{k - y_{1}}{h - x_{1}} = m$
दोनों पक्षों को $(h - x_{1})$ से गुणा करने पर:
$k - y_{1} = m(h - x_{1})$
अतः,समीकरण सिद्ध हुआ।

(N/A) यदि बिंदु $A(h, 0), B(a, b),$ और $C(0, k)$ एक रेखा पर स्थित हैं,तो $AB$ की ढाल = $BC$ की ढाल होगी।
$AB$ की ढाल = $\frac{b - 0}{a - h} = \frac{b}{a - h}$
$BC$ की ढाल = $\frac{k - b}{0 - a} = \frac{k - b}{-a}$
ढालों को बराबर रखने पर: $\frac{b}{a - h} = \frac{k - b}{-a}$
वज्र गुणन करने पर: $-ab = (k - b)(a - h)$
सरल करने पर: $-ab = ka - kh - ab + bh$
अतः: $ka + bh = kh$
दोनों पक्षों को $kh$ से विभाजित करने पर: $\frac{ka}{kh} + \frac{bh}{kh} = \frac{kh}{kh}$
परिणाम: $\frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1$.

(N/A) चूंकि रेखा $AB$ बिंदुओं $A(1985, 92)$ और $B(1995, 97)$ से होकर गुजरती है,इसलिए इसका ढाल
$\frac{97-92}{1995-1985} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
मान लीजिए कि वर्ष $2010$ में जनसंख्या $y$ है। तब,दिए गए ग्राफ के अनुसार,रेखा $AB$ को बिंदु $C(2010, y)$ से होकर गुजरना चाहिए।
$\therefore$ $AB$ का ढाल $= BC$ का ढाल
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{y-97}{2010-1995}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{y-97}{15}$
$\Rightarrow \frac{15}{2} = y-97$
$\Rightarrow y-97 = 7.5$
$\Rightarrow y = 7.5 + 97 = 104.5$
अतः,रेखा $AB$ का ढाल $\frac{1}{2}$ है,जबकि वर्ष $2010$ में जनसंख्या $104.5$ करोड़ होगी।

(N/A) रेखाओं की स्थिति आकृति में दर्शाई गई है।
$x$-अक्ष के समांतर रेखा के लिए,रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु का $y$-निर्देशांक स्थिर रहता है। चूँकि रेखा $(-2, 3)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $y$-निर्देशांक $3$ है। अतः,$x$-अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण $y = 3$ है।
इसी प्रकार,$y$-अक्ष के समांतर रेखा के लिए,रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु का $x$-निर्देशांक स्थिर रहता है। चूँकि रेखा $(-2, 3)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $x$-निर्देशांक $-2$ है। अतः,$y$-अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण $x = -2$ है।

(A) यहाँ ढाल $m = -4$ और दिया गया बिंदु $(x_{0}, y_{0}) = (-2, 3)$ है।
रेखा के बिंदु-ढाल रूप के सूत्र $y - y_{0} = m(x - x_{0})$ का उपयोग करने पर:
मान रखने पर,$y - 3 = -4(x - (-2))$ प्राप्त होता है।
$y - 3 = -4(x + 2)$
$y - 3 = -4x - 8$
पदों को मानक रूप $Ax + By + C = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$4x + y - 3 + 8 = 0$
$4x + y + 5 = 0$
अतः,रेखा का अभीष्ट समीकरण $4x + y + 5 = 0$ है।

(A) दिए गए बिंदु $(x_{1}, y_{1}) = (1, -1)$ और $(x_{2}, y_{2}) = (3, 5)$ हैं।
रेखा के समीकरण के दो-बिंदु रूप का उपयोग करते हुए: $y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}(x - x_{1})$.
मान रखने पर: $y - (-1) = \frac{5 - (-1)}{3 - 1}(x - 1)$.
$y + 1 = \frac{6}{2}(x - 1)$.
$y + 1 = 3(x - 1)$.
$y + 1 = 3x - 3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $3x - y - 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) रेखा की ढाल $m = \tan \theta = \frac{1}{2}$ है।
$y$-अंतःखंड $c = -\frac{3}{2}$ है।
रेखा के ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ का उपयोग करते हुए,मान रखने पर:
$y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$.
पूरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$2y = x - 3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,रेखा का समीकरण प्राप्त होता है:
$x - 2y - 3 = 0$.

(B) यहाँ दिया गया है कि ढाल $m = \tan \theta = \frac{1}{2}$ और $x$-अंतःखंड $d = 4$ है।
$m$ ढाल और $d$ $x$-अंतःखंड वाली रेखा का समीकरण $y = m(x - d)$ होता है।
सूत्र में $m = \frac{1}{2}$ और $d = 4$ का मान रखने पर:
$y = \frac{1}{2}(x - 4)$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2y = x - 4$
पदों को मानक रूप में व्यवस्थित करने पर:
$x - 2y - 4 = 0$
अतः,अभीष्ट समीकरण $x - 2y - 4 = 0$ है।

(A) रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ और $b$ क्रमशः $x$-अंतःखंड और $y$-अंतःखंड हैं।
यहाँ $a = -3$ और $b = 2$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x}{-3} + \frac{y}{2} = 1$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $6$ से गुणा करने पर:
$-2x + 3y = 6$
पदों को मानक रूप $Ax + By + C = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$2x - 3y + 6 = 0$

(N/A) रेखा के समीकरण का अभिलंब रूप $x \cos \omega + y \sin \omega = p$ होता है,जहाँ $p$ मूल बिंदु से लंबवत दूरी है और $\omega$ अभिलंब द्वारा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $p = 4$ और $\omega = 15^{\circ}$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $\cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$.
इन मानों को अभिलंब रूप के समीकरण में रखने पर:
$x \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \right) + y \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \right) = 4$.
दोनों पक्षों को $2\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sqrt{3} + 1)x + (\sqrt{3} - 1)y = 8\sqrt{2}$.

(A) $F$ को $x$-अक्ष पर और $K$ को $y$-अक्ष पर लेने पर,हमारे पास $XY$-समतल में दो बिंदु $(32, 273)$ और $(212, 373)$ हैं।
दो-बिंदु रूप का उपयोग करते हुए,बिंदु $(F, K)$ समीकरण को संतुष्ट करता है:
$K - 273 = \frac{373 - 273}{212 - 32}(F - 32)$
$K - 273 = \frac{100}{180}(F - 32)$
$K - 273 = \frac{5}{9}(F - 32)$
$K = \frac{5}{9}(F - 32) + 273$ ... $(1)$
जब $K = 0$ है,तो समीकरण $(1)$ से:
$0 = \frac{5}{9}(F - 32) + 273$
$-\frac{5}{9}(F - 32) = 273$
$F - 32 = -\frac{273 \times 9}{5}$
$F - 32 = -491.4$
$F = -491.4 + 32 = -459.4$

(A) बिंदु $(x_0, y_0)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y-y_0) = m(x-x_0)$ होता है।
यहाँ दिया गया बिंदु $(x_0, y_0) = (-4, 3)$ और ढाल $m = \frac{1}{2}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$(y-3) = \frac{1}{2}(x - (-4))$
$(y-3) = \frac{1}{2}(x+4)$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2(y-3) = x+4$
$2y-6 = x+4$
पदों को $Ax+By+C=0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$x - 2y + 4 + 6 = 0$
$x - 2y + 10 = 0$.

(B) हम जानते हैं कि $(x_{0}, y_{0})$ बिंदु से होकर गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y - y_{0}) = m(x - x_{0})$ होता है।
चूंकि रेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $x_{0} = 0$ और $y_{0} = 0$ रखने पर:
$(y - 0) = m(x - 0)$.
अतः,रेखा का समीकरण $y = mx$ प्राप्त होता है।

(A) $x-$अक्ष के साथ $75^{\circ}$ का कोण बनाने वाली रेखा की ढाल $m = \tan 75^{\circ}$ है।
$m = \tan(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \frac{\tan 45^{\circ} + \tan 30^{\circ}}{1 - \tan 45^{\circ} \cdot \tan 30^{\circ}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
$(x_0, y_0)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y - y_0) = m(x - x_0)$ होता है।
$(x_0, y_0) = (2, 2\sqrt{3})$ और $m = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ रखने पर:
$(y - 2\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}(x - 2)$.
$(y - 2\sqrt{3})(\sqrt{3}-1) = (\sqrt{3}+1)(x - 2)$.
$y(\sqrt{3}-1) - 2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) = x(\sqrt{3}+1) - 2(\sqrt{3}+1)$.
$(\sqrt{3}+1)x - (\sqrt{3}-1)y = 2\sqrt{3} + 2 - (6 - 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 4$.
$(\sqrt{3}+1)x - (\sqrt{3}-1)y = 4(\sqrt{3}-1)$.

(A) $m$ ढाल और $d$ $x$-अंतःखंड वाली रेखा का समीकरण $y = m(x - d)$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि रेखा $x$-अक्ष को मूल बिंदु के बाईं ओर $3$ इकाई की दूरी पर काटती है,इसलिए $x$-अंतःखंड $d = -3$ है।
रेखा की ढाल $m = -2$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = -2(x - (-3))$
$y = -2(x + 3)$
$y = -2x - 6$
पदों को मानक रूप $Ax + By + C = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$2x + y + 6 = 0$.

(A) $m$ ढाल और $y$-अंतःखंड $c$ वाली रेखा का समीकरण $y=mx+c$ होता है।
यहाँ,$y$-अंतःखंड $c=2$ है (क्योंकि यह मूल बिंदु से $2$ इकाई ऊपर काटती है)।
ढाल $m=\tan(30^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+2$
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3}y=x+2\sqrt{3}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x-\sqrt{3}y+2\sqrt{3}=0$.

(A) रेखा के समीकरण का अभिलंब रूप $x \cos \omega + y \sin \omega = p$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p$ मूल बिंदु से लंबवत दूरी है और $\omega$ लंब द्वारा धनात्मक $x-$ अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
दिया गया है $p = 5$ और $\omega = 30^{\circ}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$x \cos 30^{\circ} + y \sin 30^{\circ} = 5$
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$x \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + y \left( \frac{1}{2} \right) = 5$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3}x + y = 10$

(A) बिंदुओं $(2, 5)$ और $(-3, 6)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{6 - 5}{-3 - 2} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}$ है।
दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ हो। मान लीजिए अभीष्ट रेखा की ढाल $m_2$ है।
अतः $m_1 \times m_2 = -1 \implies -\frac{1}{5} \times m_2 = -1 \implies m_2 = 5$.
$(-3, 5)$ से गुजरने वाली और $m_2 = 5$ ढाल वाली रेखा का समीकरण: $y - y_1 = m_2(x - x_1)$.
मान रखने पर: $y - 5 = 5(x - (-3))$.
$y - 5 = 5(x + 3)$.
$y - 5 = 5x + 15$.
$5x - y + 20 = 0$.

(A) अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ $(i)$ है।
यह दिया गया है कि रेखा दोनों अक्षों पर समान अंतःखंड काटती है,इसलिए $a = b$ है।
$(i)$ में $b = a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x + y = a$ $(ii)$ हो जाता है।
चूंकि रेखा बिंदु $(2, 3)$ से होकर गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2 + 3 = a \Rightarrow a = 5$।
$a = 5$ का मान $(ii)$ में रखने पर,रेखा का अभीष्ट समीकरण $x + y = 5$ प्राप्त होता है।

(A) अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है ..... $(i)$
यहाँ,$a$ और $b$ क्रमशः $x$ और $y$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
दिया गया है कि $a + b = 9 \Rightarrow b = 9 - a$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है $\frac{x}{a} + \frac{y}{9 - a} = 1$ ..... $(iii)$
रेखा बिंदु $(2,2)$ से गुजरती है। इसलिए,समीकरण $(iii)$ हो जाता है $\frac{2}{a} + \frac{2}{9 - a} = 1$
$\Rightarrow 2 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{9 - a} \right) = 1$
$\Rightarrow 2 \left( \frac{9 - a + a}{a(9 - a)} \right) = 1$
$\Rightarrow \frac{18}{9a - a^2} = 1$
$\Rightarrow 18 = 9a - a^2$
$\Rightarrow a^2 - 9a + 18 = 0$
$\Rightarrow a^2 - 6a - 3a + 18 = 0$
$\Rightarrow a(a - 6) - 3(a - 6) = 0$
$\Rightarrow (a - 6)(a - 3) = 0$
$\Rightarrow a = 6$ या $a = 3$
यदि $a = 6$,तो $b = 9 - 6 = 3$. समीकरण $\frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1 \Rightarrow x + 2y - 6 = 0$ है।
यदि $a = 3$,तो $b = 9 - 3 = 6$. समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 1 \Rightarrow 2x + y - 6 = 0$ है।

(A) धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\theta = \frac{2 \pi}{3}$ का कोण बनाने वाली रेखा की ढाल $m = \tan\left(\frac{2 \pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$ है।
$(0, 2)$ से गुजरने वाली और $m = -\sqrt{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y - y_1) = m(x - x_1)$ के रूप में:
$(y - 2) = -\sqrt{3}(x - 0)$
$y - 2 = -\sqrt{3}x$
$\sqrt{3}x + y - 2 = 0$.
दूसरी रेखा पहली रेखा के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल भी $m = -\sqrt{3}$ होगी।
यह मूल बिंदु से $2$ इकाई नीचे $y$-अक्ष को काटती है,अर्थात यह $(0, -2)$ बिंदु से गुजरती है।
बिंदु-ढाल रूप $(y - (-2)) = -\sqrt{3}(x - 0)$ का उपयोग करने पर:
$y + 2 = -\sqrt{3}x$
$\sqrt{3}x + y + 2 = 0$.

यह दिया गया है कि जब $C = 20$ है,तो $L$ का मान $124.942$ है,और जब $C = 110$ है,तो $L$ का मान $125.134$ है।
तदनुसार,बिंदु $(20, 124.942)$ और $(110, 125.134)$ $L$ और $C$ के बीच रैखिक संबंध को संतुष्ट करते हैं।
रेखा के दो-बिंदु रूप $(L - L_1) = \frac{L_2 - L_1}{C_2 - C_1}(C - C_1)$ का उपयोग करते हुए,हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$(L - 124.942) = \frac{125.134 - 124.942}{110 - 20}(C - 20)$
$(L - 124.942) = \frac{0.192}{90}(C - 20)$
$L = \frac{0.192}{90}(C - 20) + 124.942.$

(A) विक्रय मूल्य और मांग के बीच का संबंध रैखिक है।
$x$-अक्ष पर प्रति लीटर विक्रय मूल्य और $y$-अक्ष पर मांग को मानते हुए,हमारे पास $XY$ तल में दो बिंदु $(14, 980)$ और $(16, 1220)$ हैं जो इस रैखिक संबंध को संतुष्ट करते हैं।
$(14, 980)$ और $(16, 1220)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 980 = \frac{1220 - 980}{16 - 14}(x - 14)$
$y - 980 = \frac{240}{2}(x - 14)$
$y - 980 = 120(x - 14)$
$y = 120(x - 14) + 980$
जब $x = 17$ (प्रति लीटर मूल्य):
$y = 120(17 - 14) + 980$
$y = 120(3) + 980$
$y = 360 + 980 = 1340$
अतः,दूध की दुकान का मालिक Rs $17$ प्रति लीटर पर प्रति सप्ताह $1340$ लीटर दूध बेच सकता है।

(A) दिया गया समीकरण $3x - 4y + 10 = 0$ है।
समीकरण को ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ में व्यवस्थित करने पर:
$-4y = -3x - 10$
$y = \frac{-3}{-4}x + \frac{-10}{-4}$
$y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{2}$
इसे $y = mx + c$ से तुलना करने पर,ढाल $m = \frac{3}{4}$ प्राप्त होती है।

(A) दिया गया समीकरण $3x - 4y + 10 = 0$ है।
$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें:
$3x - 4(0) + 10 = 0 \implies 3x = -10 \implies x = -\frac{10}{3}$.
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें:
$3(0) - 4y + 10 = 0 \implies -4y = -10 \implies y = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
अतः,$x$-अंतःखंड $-\frac{10}{3}$ है और $y$-अंतःखंड $\frac{5}{2}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\sqrt{3} x + y = 8$ है।
समीकरण को $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = 2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} y = 4$.
इसे अभिलंब रूप $x \cos \omega + y \sin \omega = p$ से तुलना करने पर:
$\cos \omega = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin \omega = \frac{1}{2}$.
अतः,$\omega = 30^{\circ}$ और $p = 4$।

(N/A) दी गई रेखाओं को ढाल-अंतःखंड रूप $(y = mx + c)$ में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$y = -\frac{a_{1}}{b_{1}}x - \frac{c_{1}}{b_{1}}$ $(1)$
$y = -\frac{a_{2}}{b_{2}}x - \frac{c_{2}}{b_{2}}$ $(2)$
रेखाओं $(1)$ और $(2)$ की ढाल क्रमशः $m_{1} = -\frac{a_{1}}{b_{1}}$ और $m_{2} = -\frac{a_{2}}{b_{2}}$ हैं।
दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनकी ढाल समान हो,अर्थात $m_{1} = m_{2}$।
ढाल के मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\frac{a_{1}}{b_{1}} = -\frac{a_{2}}{b_{2}}$
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}}$
अतः,रेखाएँ समांतर हैं यदि $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}}$।

(A) दी गई रेखा $x-2y+3=0$ है,जिसे $2y = x+3$ या $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = \frac{1}{2}$ है।
इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{1/2} = -2$ होगी।
बिंदु $(1, -2)$ से होकर जाने वाली और $m_2 = -2$ ढाल वाली रेखा का समीकरण: $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
मान रखने पर: $y - (-2) = -2(x - 1)$।
$y + 2 = -2x + 2$।
$2x + y = 0$।

(A) दिया गया समीकरण $x+7y=0$ है।
इसे ढाल-अंतःखंड रूप $y=mx+c$ में बदलने के लिए,हम $y$ को अलग करते हैं:
$7y = -x$
$y = -\frac{1}{7}x + 0$
इस समीकरण की तुलना मानक ढाल-अंतःखंड रूप $y=mx+c$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
ढाल $(m)$ = $-\frac{1}{7}$
$y$-अंतःखंड $(c)$ = $0$

(A) दिया गया समीकरण $6x + 3y - 5 = 0$ है।
इसे ढाल-अंतःखंड रूप $(y = mx + c)$ में बदलने के लिए,$y$ को अलग करें:
$3y = -6x + 5$
पूरे समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर:
$y = -\frac{6}{3}x + \frac{5}{3}$
$y = -2x + \frac{5}{3}$
इसे $y = mx + c$ से तुलना करने पर,हमें ढाल $m = -2$ और $y$-अंतःखंड $c = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $y=0$ है।
इसे ढाल-अंतःखंड रूप $y=mx+c$ में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$y = 0 \cdot x + 0$
इसकी तुलना $y=mx+c$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
ढाल $(m)$ = $0$
$y$-अंतःखंड $(c)$ = $0$
अतः,ढाल $0$ है और $y$-अंतःखंड $0$ है।

(A) दिया गया समीकरण $3x + 2y - 12 = 0$ है।
दोनों पक्षों में $12$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x + 2y = 12$.
दोनों पक्षों को $12$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{3x}{12} + \frac{2y}{12} = \frac{12}{12}$.
इसे सरल करने पर:
$\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$.
इसकी तुलना अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ से करने पर,हमें $x$-अंतःखंड $a = 4$ और $y$-अंतःखंड $b = 6$ प्राप्त होता है।