Bisector of angle between two lines Questions in Hindi

(B) कोण समद्विभाजकों के समीकरण $\frac{3x - 4y + 7}{5} = \pm \frac{12x + 5y - 2}{13}$ द्वारा दिए जाते हैं।
स्थिति $1$: $21x + 77y - 101 = 0$
स्थिति $2$: $11x - 3y + 9 = 0$
न्यूनकोण समद्विभाजक की पहचान करने के लिए,$a_1a_2 + b_1b_2$ का चिह्न जाँचें। यहाँ $a_1=3, b_1=-4, a_2=12, b_2=5$ है।
$a_1a_2 + b_1b_2 = 36 - 20 = 16 > 0$ है।
जब $a_1a_2 + b_1b_2 > 0$ होता है,तो न्यूनकोण समद्विभाजक $\frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = -\frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$ द्वारा प्राप्त होता है,जो $11x - 3y + 9 = 0$ है।

(B) कोण समद्विभाजकों के समीकरण $\frac{x - 2y + 4}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \pm \frac{4x - 3y + 2}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यह $\frac{x - 2y + 4}{\sqrt{5}} = \pm \frac{4x - 3y + 2}{5}$ में सरल होता है,अर्थात $\sqrt{5}(x - 2y + 4) = \pm (4x - 3y + 2)$।
स्थिति $1$ (धनात्मक चिह्न): $\sqrt{5}x - 2\sqrt{5}y + 4\sqrt{5} = 4x - 3y + 2$,जो $(4 - \sqrt{5})x - (3 - 2\sqrt{5})y + (2 - 4\sqrt{5}) = 0$ में बदल जाता है।
स्थिति $2$ (ऋणात्मक चिह्न): $\sqrt{5}x - 2\sqrt{5}y + 4\sqrt{5} = -4x + 3y - 2$,जो $(4 + \sqrt{5})x - (3 + 2\sqrt{5})y + (2 + 4\sqrt{5}) = 0$ में बदल जाता है।
अधिक कोण समद्विभाजक की पहचान करने के लिए,$a_1a_2 + b_1b_2$ का चिह्न जाँचें। यहाँ $a_1a_2 + b_1b_2 = (1)(4) + (-2)(-3) = 10 > 0$ है। चूँकि चिह्न धनात्मक है,ऋणात्मक चिह्न वाला समीकरण अधिक कोण का समद्विभाजक है।
अतः,समीकरण $(4 + \sqrt{5})x - (3 + 2\sqrt{5})y + (2 + 4\sqrt{5}) = 0$ है।

(A) $x$-अक्ष को $y = 0$ द्वारा और $y$-अक्ष को $x = 0$ द्वारा दर्शाया जाता है।
निर्देशांक अक्षों के कोण समद्विभाजक मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाएं हैं जो धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ और $135^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
इन रेखाओं की ढाल $\tan(45^{\circ}) = 1$ और $\tan(135^{\circ}) = -1$ है।
अतः,समद्विभाजकों के समीकरण $y = 1x$ और $y = -1x$ हैं,जिन्हें $y = \pm x$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) रेखाओं $L_1: x + 2y - 11 = 0$ और $L_2: 3x - 6y - 5 = 0$ के कोण समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x + 2y - 11}{\sqrt{5}} = \pm \frac{3x - 6y - 5}{3\sqrt{5}}$ है।
सरल करने पर,$3(x + 2y - 11) = \pm (3x - 6y - 5)$.
स्थिति $1$: $3x + 6y - 33 = 3x - 6y - 5 \implies 3y = 7$.
स्थिति $2$: $3x + 6y - 33 = -3x + 6y + 5 \implies 3x = 19$.
बिंदु $(1, -3)$ के लिए जाँच करने पर,सही समद्विभाजक $3x = 19$ प्राप्त होता है।

(A) दो रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के बीच के कोण समद्विभाजक का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$
दी गई रेखाओं $3x + 4y - 7 = 0$ और $12x + 5y + 17 = 0$ के लिए:
$a_1 = 3, b_1 = 4, c_1 = -7$
$a_2 = 12, b_2 = 5, c_2 = 17$
हर (denominator) का मान ज्ञात करने पर:
$\sqrt{a_1^2 + b_1^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$
$\sqrt{a_2^2 + b_2^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{3x + 4y - 7}{5} = \pm \frac{12x + 5y + 17}{13}$
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) रेखाओं के समीकरण $L_1: 4x - 3y + 7 = 0$ और $L_2: 3x - 4y + 14 = 0$ हैं।
समद्विभाजकों के समीकरण $\frac{4x - 3y + 7}{5} = \pm \frac{3x - 4y + 14}{5}$ हैं,जो $4x - 3y + 7 = \pm(3x - 4y + 14)$ के रूप में सरल होते हैं।
धनात्मक चिह्न के लिए: $x + y - 7 = 0$।
ऋणात्मक चिह्न के लिए: $7x - 7y + 21 = 0 \implies x - y + 3 = 0$।
चूंकि $a_1a_2 + b_1b_2 = 24 > 0$ है,इसलिए ऋणात्मक चिह्न वाला समीकरण न्यून कोण का समद्विभाजक है।
अतः,सही उत्तर $x - y + 3 = 0$ है।

(B) दो रेखाओं $L_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $L_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ कोण समद्विभाजक द्वारा दिया जाता है: $\frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$.
दी गई रेखाओं के लिए समीकरण: $\frac{3x + 4y - 11}{5} = \pm \frac{12x + 5y + 2}{13}$ है।
स्थिति $1$ (धनात्मक चिह्न): $13(3x + 4y - 11) = 5(12x + 5y + 2) \implies 21x - 27y + 153 = 0$.
स्थिति $2$ (ऋणात्मक चिह्न): $13(3x + 4y - 11) = -5(12x + 5y + 2) \implies 99x + 77y - 133 = 0$.
मूल बिंदु के निकट का समद्विभाजक $99x + 77y - 133 = 0$ है।

(B) $\angle A$ का आंतरिक समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को बिंदु $D$ पर भुजाओं $AB$ और $AC$ के अनुपात में विभाजित करता है।
लंबाई की गणना: $AB = 3\sqrt{2}$ और $AC = 4\sqrt{2}$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,बिंदु $D$ भुजा $BC$ को $3:4$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$D = \left( \frac{31}{7}, 1 \right)$ प्राप्त होता है।
$AD$ की ढाल $m_{AD} = 0$ है।
चूंकि $AD$ एक क्षैतिज रेखा $(y=1)$ है,इसलिए $C(5, 5)$ से गुजरने वाली और इस पर लंब रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा होगी।
अतः,रेखा का समीकरण $x - 5 = 0$ है।

(A) रेखा $L_1: y = x$ और $L_3: y = -2$ के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(-2, -2)$ है।
रेखा $L_2: y = -2x$ और $L_3: y = -2$ के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ $(1, -2)$ है।
दूरी $PQ = |1 - (-2)| = 3$ है।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को अन्य दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है।
मान लीजिए $O$ मूलबिंदु $(0,0)$ है। भुजाओं की लंबाई $OP = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}$ और $OQ = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$ है।
$\angle POQ$ का समद्विभाजक $PQ$ को $OP:OQ = 2\sqrt{2} : \sqrt{5}$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$PR:RQ = 2\sqrt{2} : \sqrt{5}$ है।
कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ कोण समद्विभाजक प्रमेय है,जो एक मानक ज्यामितीय गुण है,और यह कथन-$1$ में अनुपात की गणना के लिए सही व्याख्या है।

(C) रेखाओं के बीच के कोणों के समद्विभाजक का समीकरण $\frac{3x - 4y + 7}{5} = \pm \frac{12x + 5y - 2}{13}$ है।
यह $21x + 77y - 101 = 0$ और $11x - 3y + 9 = 0$ देता है।
रेखा $3x - 4y + 7 = 0$ (ढाल $m_1 = 3/4$) और समद्विभाजक $11x - 3y + 9 = 0$ (ढाल $m_2 = 11/3$) के बीच का कोण जाँचने पर:
$\tan \theta = |\frac{11/3 - 3/4}{1 + (11/3)(3/4)}| = |\frac{35}{45}| = \frac{7}{9} < 1$.
चूंकि $\tan \theta < 1$,इसलिए $11x - 3y + 9 = 0$ न्यूनकोण का समद्विभाजक है।

(C) माना तीसरी भुजा की ढाल $m$ है। चूँकि यह $(1, -10)$ से गुजरती है,इसका समीकरण $y + 10 = m(x - 1)$ है।
चूँकि तीसरी भुजा दी गई दो भुजाओं के साथ समान कोण बनाती है,हम दो रेखाओं के बीच के कोण के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\frac{m - 7}{1 + 7m} = \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)}$
इस समीकरण को हल करने पर $m = -3$ या $m = 1/3$ प्राप्त होता है।
$m = -3$ के लिए,रेखा $3x + y + 7 = 0$ प्राप्त होती है।
$m = 1/3$ के लिए,रेखा $x - 3y - 31 = 0$ प्राप्त होती है।
अतः,तीसरी भुजा के संभावित समीकरण $3x + y + 7 = 0$ या $x - 3y - 31 = 0$ हैं।

(A) सबसे पहले,अचर पदों को धनात्मक बनाएं:
$3x - 4y + 7 = 0$ और $-12x - 5y + 2 = 0$।
$a_1a_2 + b_1b_2 = (3)(-12) + (-4)(-5) = -36 + 20 = -16$ की गणना करें।
चूंकि $a_1a_2 + b_1b_2 < 0$ है,इसलिए ऋणात्मक चिह्न अधिक कोण का समद्विभाजक देता है।
$\frac{3x - 4y + 7}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = -\frac{-12x - 5y + 2}{\sqrt{(-12)^2 + (-5)^2}}$
$\frac{3x - 4y + 7}{5} = -\frac{-12x - 5y + 2}{13}$
$13(3x - 4y + 7) = -5(-12x - 5y + 2)$
$39x - 52y + 91 = 60x + 25y - 10$
$21x + 77y - 101 = 0$।

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: 3x - 4y + 7 = 0$ और $L_2: 12x + 5y - 2 = 0$ हैं।
सबसे पहले,अचर पदों को धनात्मक बनाएँ:
$L_1: 3x - 4y + 7 = 0$
$L_2: -12x - 5y + 2 = 0$
अब,$a_1a_2 + b_1b_2$ का चिह्न जाँचें:
$a_1a_2 + b_1b_2 = (3)(-12) + (-4)(-5) = -36 + 20 = -16 < 0$.
चूँकि मान ऋणात्मक है,समद्विभाजक सूत्र में धनात्मक चिह्न न्यूनकोण समद्विभाजक देता है:
$\frac{3x - 4y + 7}{5} = \frac{-12x - 5y + 2}{13}$
$13(3x - 4y + 7) = 5(-12x - 5y + 2)$
$39x - 52y + 91 = -60x - 25y + 10$
$99x - 27y + 81 = 0$
$9$ से भाग देने पर,हमें $11x - 3y + 9 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) कोण समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x - 2y + 4}{\sqrt{5}} = \pm \frac{4x - 3y + 2}{5}$ है।
यहाँ $a_1a_2 + b_1b_2 = (1)(4) + (-2)(-3) = 10 > 0$ है,इसलिए ऋणात्मक चिह्न वाला समीकरण अधिक कोण का समद्विभाजक है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $(4 + \sqrt{5})x - (3 + 2\sqrt{5})y + (2 + 4\sqrt{5}) = 0$ है।

(A) रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के कोण समद्विभाजक का समीकरण $\frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले,सुनिश्चित करें कि अचर पद $c_1$ और $c_2$ धनात्मक हैं। रेखाओं को $-3x + 4y - 7 = 0$ और $12x - 5y - 8 = 0$ के रूप में लिखें। अचर पदों को धनात्मक बनाने के लिए,$3x - 4y + 7 = 0$ और $-12x + 5y + 8 = 0$ का उपयोग करें।
अब,$\frac{3x - 4y + 7}{5} = \pm \frac{-12x + 5y + 8}{13}$.
धनात्मक चिह्न लेने पर: $13(3x - 4y + 7) = 5(-12x + 5y + 8) \implies 99x - 77y + 51 = 0$.
ऋणात्मक चिह्न लेने पर: $13(3x - 4y + 7) = -5(-12x + 5y + 8) \implies 21x + 27y - 131 = 0$.

(B) त्रिभुज $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(-1, -7)$,$B(5, 1)$ और $C(1, 4)$ दिए गए हैं।
माना $\angle B$ का कोण समद्विभाजक भुजा $AC$ को बिंदु $D$ पर मिलता है।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\frac{AD}{DC} = \frac{BA}{BC}$.
$BA$ और $BC$ की लंबाई की गणना:
$BA = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (1 - (-7))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.
$BC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5$.
अतः,$\frac{AD}{DC} = \frac{10}{5} = 2$.
बिंदु $D$,$AC$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$D = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$.
कोण समद्विभाजक वह रेखा है जो $B(5, 1)$ और $D(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ से गुजरती है।
ढाल $m = \frac{1 - 1/3}{5 - 1/3} = \frac{1}{7}$.
रेखा $BD$ का समीकरण $y - 1 = \frac{1}{7}(x - 5)$ अर्थात $x - 7y + 2 = 0$ है।

(A) बिंदु $P(-1, 0)$,$Q(0, 0)$ और $R(3, 3\sqrt{3})$ हैं।
रेखा $QP$,$x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-अक्ष के साथ कोण $\theta_1 = 180^{\circ}$ है।
रेखा $QR$,$(0, 0)$ और $(3, 3\sqrt{3})$ से गुजरती है। इसकी ढाल $m = \frac{3\sqrt{3} - 0}{3 - 0} = \sqrt{3}$ है। अतः,$x$-अक्ष के साथ कोण $\theta_2 = 60^{\circ}$ है।
$\angle PQR$ इन दो रेखाओं के बीच का कोण है,जो $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है।
कोण समद्विभाजक इस कोण को दो $60^{\circ}$ के भागों में विभाजित करता है। समद्विभाजक का $x$-अक्ष के साथ कोण $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है।
समद्विभाजक की ढाल $\tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ है।
चूंकि यह मूल बिंदु $Q(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए समीकरण $y = -\sqrt{3}x$ होगा,जिसे $\sqrt{3}x + y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) माना बिंदु $A(1, 2)$ और $B(-2, 0)$ हैं।
$AB$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{1-2}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ है।
$AB$ की ढाल $m = \frac{0-2}{-2-1} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$ है।
लंब समद्विभाजक की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = -\frac{3}{2}$ होगी।
बिंदु $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ से गुजरने वाली और $-\frac{3}{2}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - 1 = -\frac{3}{2}(x + \frac{1}{2})$
$4$ से गुणा करने पर:
$4(y - 1) = -6(x + \frac{1}{2})$
$4y - 4 = -6x - 3$
$6x + 4y = 1$.

(C) रेखा $QP$ ऋणात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए धनात्मक $x$-अक्ष के साथ इसका कोण $\pi$ है। रेखा $QR$ बिंदु $(0, 0)$ और $(3, 3\sqrt{3})$ से गुजरती है,इसलिए इसकी ढाल $m = \frac{3\sqrt{3} - 0}{3 - 0} = \sqrt{3}$ है। रेखा $QR$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\theta = \frac{\pi}{3}$ का कोण बनाती है।
कोण $\angle PQR$,रेखा $QP$ (कोण $\pi$) और रेखा $QR$ (कोण $\frac{\pi}{3}$) के बीच का कोण है।
$\angle PQR$ का माप $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।
$\angle PQR$ का समद्विभाजक धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\alpha = \frac{\pi + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{2\pi}{3}$ का कोण बनाएगा।
समद्विभाजक की ढाल $\tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ है।
चूंकि समद्विभाजक मूल बिंदु $Q(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $y = -\sqrt{3}x$ अर्थात $\sqrt{3}x + y = 0$ है।

(A) समचतुर्भुज की दो भुजाओं वाली रेखाओं के समीकरण $L_1: x - y + 1 = 0$ और $L_2: 7x - y - 5 = 0$ हैं।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु शीर्ष $A$ है। $x - y = -1$ और $7x - y = 5$ को हल करने पर $6x = 6$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 1$ और $y = 2$ है। अतः,$A = (1, 2)$ है।
समचतुर्भुज के विकर्ण भुजाओं के बीच के कोणों को समद्विभाजित करते हैं। कोण समद्विभाजकों के समीकरण $\frac{x - y + 1}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{7x - y - 5}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यह $5(x - y + 1) = \pm (7x - y - 5)$ में सरल हो जाता है।
स्थिति $1$: $5x - 5y + 5 = 7x - y - 5 \Rightarrow x + 2y - 5 = 0$।
स्थिति $2$: $5x - 5y + 5 = -7x + y + 5 \Rightarrow 2x - y = 0$।
चूंकि विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -2)$ से गुजरते हैं,इसलिए विकर्णों के समीकरण $x + 2y + 5 = 0$ और $2x - y = 0$ हैं।
विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $\left( \frac{1}{3}, - \frac{8}{3} \right)$ रेखा $x + 2y + 5 = 0$ पर स्थित है।

(C) दिया गया समीकरण $|x| = |y|$ रेखाओं के युग्म $x = y$ और $x = -y$ को दर्शाता है,जिसे $x - y = 0$ और $x + y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इन रेखाओं के बीच के कोणों के समद्विभाजक ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\frac{x - y}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{x + y}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$ का उपयोग करते हैं।
यह सरल होकर $\frac{x - y}{\sqrt{2}} = \pm \frac{x + y}{\sqrt{2}}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $x - y = \pm (x + y)$।
धनात्मक चिह्न लेने पर: $x - y = x + y \implies 2y = 0 \implies y = 0$।
ऋणात्मक चिह्न लेने पर: $x - y = -(x + y) \implies x - y = -x - y \implies 2x = 0 \implies x = 0$।
अतः,समद्विभाजकों के समीकरण $x = 0$ और $y = 0$ हैं।

(A) रेखाओं का परिवार $(x - 2y - 3) + \lambda (x + 3y + 2) = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $x - 2y - 3 = 0$ और $x + 3y + 2 = 0$ को हल करके प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $x - 2y = 3$ और $x + 3y = -2$.
पहले समीकरण को दूसरे से घटाने पर $5y = -5$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = -1$.
$y = -1$ को $x - 2y = 3$ में रखने पर $x = 1$ प्राप्त होता है।
स्थिर बिंदु $P(1, -1)$ है।
रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ बिंदु $P(1, -1)$ से होकर गुजरती हैं।
समद्विभाजक $B_1$,$P(1, -1)$ और $A(2, 3)$ से होकर गुजरता है।
$B_1$ की ढाल $m_1 = \frac{3 - (-1)}{2 - 1} = 4$ है।
$B_1$ का समीकरण $4x - y - 5 = 0$ है।
दो रेखाओं के कोण समद्विभाजक हमेशा एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
मान लीजिए दूसरे समद्विभाजक $B_2$ की ढाल $m_2$ है। चूँकि $B_1 \perp B_2$,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$,जिससे $4 \times m_2 = -1$,अर्थात $m_2 = -\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$P(1, -1)$ से गुजरने वाले $B_2$ का समीकरण $y - (-1) = -\frac{1}{4}(x - 1)$ है।
$4(y + 1) = -(x - 1) \Rightarrow x + 4y + 3 = 0$.

(B) दो रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ कोण समद्विभाजक द्वारा दिया जाता है: $\frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$.
दी गई रेखाओं के मान रखने पर: $\frac{3x + 4y - 11}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \pm \frac{12x + 5y + 2}{\sqrt{12^2 + 5^2}}$.
$\frac{3x + 4y - 11}{5} = \pm \frac{12x + 5y + 2}{13}$.
स्थिति $1$: $13(3x + 4y - 11) = 5(12x + 5y + 2) \implies 39x + 52y - 143 = 60x + 25y + 10 \implies 21x - 27y + 153 = 0 \implies 7x - 9y + 51 = 0$.
स्थिति $2$: $13(3x + 4y - 11) = -5(12x + 5y + 2) \implies 39x + 52y - 143 = -60x - 25y - 10 \implies 99x + 77y - 133 = 0$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही समीकरण $99x + 77y - 133 = 0$ है।

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: 2x - y + 4 = 0$ और $L_2: x - 2y - 1 = 0$ हैं।
समद्विभाजक ज्ञात करने के लिए,हम अचर पदों को धनात्मक बनाते हैं: $L_1: 2x - y + 4 = 0$ और $L_2: -x + 2y + 1 = 0$।
$a_1a_2 + b_1b_2$ का चिह्न जाँचें: $(2)(-1) + (-1)(2) = -2 - 2 = -4 < 0$।
चूँकि $a_1a_2 + b_1b_2 < 0$ है,इसलिए न्यूनकोण के समद्विभाजक का समीकरण $\frac{2x - y + 4}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{-x + 2y + 1}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{2x - y + 4}{\sqrt{5}} = \frac{-x + 2y + 1}{\sqrt{5}}$।
$2x - y + 4 = -x + 2y + 1$।
$3x - 3y + 3 = 0$।
$x - y + 1 = 0$।

(A) कोण समद्विभाजकों के समीकरण $\frac{3x - 4y + 7}{5} = \pm \frac{12x + 5y - 2}{13}$ द्वारा दिए जाते हैं।
न्यूनकोण समद्विभाजक की पहचान करने के लिए,हम अचर पदों को धनात्मक बनाते हैं: $3x - 4y + 7 = 0$ और $-12x - 5y + 2 = 0$।
$a_1a_2 + b_1b_2 = (3)(-12) + (-4)(-5) = -36 + 20 = -16$ की गणना करें।
चूंकि $a_1a_2 + b_1b_2 < 0$,धनात्मक चिह्न वाला समद्विभाजक न्यूनकोण समद्विभाजक है:
$13(3x - 4y + 7) = 5(-12x - 5y + 2)$
$39x - 52y + 91 = -60x - 25y + 10$
$99x - 27y + 81 = 0$
$9$ से विभाजित करने पर,हमें $11x - 3y + 9 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $d_1$ और $d_2$ बिंदु $(1, 2)$ से समद्विभाजक $B_1$ और $B_2$ की लंबवत दूरियाँ हैं।
$B_1: 3x + 4y - 7 = 0$ से $(1, 2)$ की दूरी $d_1 = \frac{|3(1) + 4(2) - 7|}{5} = \frac{4}{5}$ है।
$B_2: 4x - 3y - 14 = 0$ से $(1, 2)$ की दूरी $d_2 = \frac{|4(1) - 3(2) - 14|}{5} = \frac{16}{5}$ है।
चूंकि $d_1 < d_2$,बिंदु $(1, 2)$ रेखा $B_1$ के अधिक निकट है।
अतः,$B_1$ न्यूनकोण समद्विभाजक है।

(B) दी गई रेखाएं $L_1: (\alpha + 1)x + 2y + 5 = 0$ और $L_2: 4x + \alpha y - 3 = 0$ हैं।
अचर पदों को धनात्मक बनाने के लिए,$L_2$ को $-4x - \alpha y + 3 = 0$ के रूप में लिखें।
यहाँ $A_1 = \alpha + 1, B_1 = 2, C_1 = 5$ और $A_2 = -4, B_2 = -\alpha, C_2 = 3$ है।
मूल बिंदु को समाहित करने वाला कोण समद्विभाजक $\frac{A_1x + B_1y + C_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \frac{A_2x + B_2y + C_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
समद्विभाजक के अधिक कोण समद्विभाजक होने के लिए,$A_1A_2 + B_1B_2$ का चिह्न जांचें।
$A_1A_2 + B_1B_2 = (\alpha + 1)(-4) + (2)(-\alpha) = -6\alpha - 4$ है।
अधिक कोण समद्विभाजक के लिए,$A_1A_2 + B_1B_2 < 0$ होना चाहिए।
$-6\alpha - 4 < 0$ $\Rightarrow -6\alpha < 4$ $\Rightarrow \alpha > -\frac{2}{3}$।

(B) दो रेखाओं को स्पर्श करने वाले वृत्तों के केंद्र का बिंदु पथ दी गई रेखाओं के कोण समद्विभाजकों का युग्म होता है।
दी गई रेखाएँ $L_1: x + 2y - 5 = 0$ और $L_2: 2x - 4y + 7 = 0$ हैं।
कोण समद्विभाजक $\frac{x + 2y - 5}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \pm \frac{2x - 4y + 7}{\sqrt{2^2 + (-4)^2}}$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
$\frac{x + 2y - 5}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2x - 4y + 7}{2\sqrt{5}}$.
$2(x + 2y - 5) = \pm (2x - 4y + 7)$.
स्थिति $1$: $2x + 4y - 10 = 2x - 4y + 7 \Rightarrow 8y = 17 \Rightarrow y = \frac{17}{8}$.
स्थिति $2$: $2x + 4y - 10 = -2x + 4y - 7 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{4}$.
बिंदु पथ $'C'$ में रेखाएँ $x = \frac{3}{4}$ और $y = \frac{17}{8}$ शामिल हैं।
ये रेखाएँ $(\frac{3}{4}, \frac{17}{8})$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हमें इन दो रेखाओं और रेखा $x - y - 5 = 0$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
प्रतिच्छेदन बिंदु इस प्रकार हैं:
$1$) $x = \frac{3}{4}$ और $x - y - 5 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $\frac{3}{4} - y - 5 = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{4} - 5 = -\frac{17}{4}$. बिंदु $A = (\frac{3}{4}, -\frac{17}{4})$.
$2$) $y = \frac{17}{8}$ और $x - y - 5 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x - \frac{17}{8} - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{17}{8} + 5 = \frac{57}{8}$. बिंदु $B = (\frac{57}{8}, \frac{17}{8})$.
$3$) $x = \frac{3}{4}$ और $y = \frac{17}{8}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: बिंदु $V = (\frac{3}{4}, \frac{17}{8})$.
इन शीर्षों द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |x_B - x_V| \times |y_V - y_A|$ है।
$|x_B - x_V| = |\frac{57}{8} - \frac{6}{8}| = \frac{51}{8}$.
$|y_V - y_A| = |\frac{17}{8} - (-\frac{34}{8})| = \frac{51}{8}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \frac{51}{8} \times \frac{51}{8} = \frac{51^2}{2 \times 8^2}$.
$\frac{P^2}{2Q^2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $P = 51$ और $Q = 8$ प्राप्त होता है।
चूँकि $P$ और $Q$ सापेक्ष अभाज्य हैं,$P + Q = 51 + 8 = 59$.

(D) माना शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(0, c)$ हैं।
भुजाओं के समांतर रेखाओं के समीकरण $x - y + 2 = 0$ और $7x - y + 3 = 0$ हैं।
समचतुर्भुज के विकर्ण भुजाओं वाली रेखाओं के कोण समद्विभाजक होते हैं।
कोण समद्विभाजकों के समीकरण $\frac{x - y + 2}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{7x - y + 3}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$\frac{x - y + 2}{\sqrt{2}} = \pm \frac{7x - y + 3}{5\sqrt{2}}$.
$5x - 5y + 10 = \pm (7x - y + 3)$.
स्थिति $1$: $5x - 5y + 10 = 7x - y + 3 \Rightarrow 2x + 4y - 7 = 0$. ढाल $m_1 = -\frac{1}{2}$ है।
स्थिति $2$: $5x - 5y + 10 = -7x + y - 3 \Rightarrow 12x - 6y + 13 = 0$. ढाल $m_2 = 2$ है।
विकर्ण $P(1, 2)$ और $A(0, c)$ से होकर गुजरते हैं। रेखा $AP$ की ढाल $\frac{2 - c}{1 - 0} = 2 - c$ है।
यदि $2 - c = 2$ है,तो $c = 0$ प्राप्त होता है,जो मूलबिंदु है (जो संभव नहीं है)।
यदि $2 - c = -\frac{1}{2}$ है,तो $c = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) बिंदु $P(\alpha, \beta)$ की $L_{1}: 3x - 4y + 12 = 0$ से दूरी $1$ है,इसलिए $\frac{|3\alpha - 4\beta + 12|}{5} = 1$। चूँकि $P$,$L_{1}$ के नीचे है,$3\alpha - 4\beta + 12 = -5 \implies 3\alpha - 4\beta + 17 = 0$।
बिंदु $P(\alpha, \beta)$ की $L_{2}: 8x + 6y + 11 = 0$ से दूरी $1$ है,इसलिए $\frac{|8\alpha + 6\beta + 11|}{10} = 1$। चूँकि $P$,$L_{2}$ के ऊपर है,$8\alpha + 6\beta + 11 = 10 \implies 8\alpha + 6\beta + 1 = 0$।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $P(\alpha, \beta)$ प्राप्त होता है,जिसके लिए $100(\alpha + \beta) = 14$ है।

(A) रेखा $l_1: 3y - 2x = 3$ और $l_2: x - y + 1 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $P(0, 1)$ है।
यह बिंदु $l_3: \alpha x + \beta y + 17 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $\beta = -17$ प्राप्त होता है।
रेखा $l_2$ पर एक बिंदु $Q(-1, 0)$ लें। रेखा $l_1$ के सापेक्ष $Q$ का प्रतिबिंब $Q'(-\frac{17}{13}, \frac{6}{13})$ प्राप्त होता है।
यह बिंदु $l_3$ पर स्थित है,इसलिए $\alpha(-\frac{17}{13}) - 17(\frac{6}{13}) + 17 = 0$ से $\alpha = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 - \alpha - \beta = 7^2 + (-17)^2 - 7 - (-17) = 49 + 289 - 7 + 17 = 348$.

(A) $1$. $\angle B$ का कोण समद्विभाजक $y=x$ है। चूंकि बिंदु $B(\alpha, \beta)$ इस रेखा पर स्थित है,इसलिए $\alpha=\beta$ है। अतः,$B$ का निर्देशांक $(\alpha, \alpha)$ है।
$2$. भुजा $AC$ का समीकरण $2x-y=2$ है। बिंदु $D$,कोण समद्विभाजक $y=x$ और $AC$ $(2x-y=2)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $y=x$ को $2x-y=2$ में रखने पर,$2x-x=2$ प्राप्त होता है,जिससे $x=2$ मिलता है। अतः,$D=(2,2)$ है।
$3$. $\triangle ABC$ में कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle B$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $AC$ को संलग्न भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$.
$4$. दिया गया है कि $2AB=BC$,इसलिए $\frac{AB}{BC} = \frac{1}{2}$ है। अतः,$\frac{AD}{DC} = \frac{1}{2}$ है।
$5$. बिंदु $D(2,2)$ का उपयोग करते हुए जो $AC$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,जहाँ $A=(4,6)$ और $C=(x_c, y_c)$ है,हमें मिलता है: $2 = \frac{1 \cdot x_c + 2 \cdot 4}{1+2} \implies x_c = -2$,और $2 = \frac{1 \cdot y_c + 2 \cdot 6}{1+2} \implies y_c = -6$। अतः $C=(-2,-6)$ है।
$6$. बिंदु $A(4,6)$ का कोण समद्विभाजक $y=x$ के सापेक्ष प्रतिबिंब रेखा $BC$ पर स्थित होता है। $(4,6)$ का $y=x$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $A'(6,4)$ है।
$7$. रेखा $BC$,$B(\alpha, \alpha)$ और $A'(6,4)$ से होकर गुजरती है। ढाल $m = \frac{\alpha-4}{\alpha-6}$ है। समीकरण $y-\alpha = \frac{\alpha-4}{\alpha-6}(x-\alpha)$ है।
$8$. चूंकि बिंदु $C(-2,-6)$ रेखा $BC$ पर स्थित है,इसलिए $-6-\alpha = \frac{\alpha-4}{\alpha-6}(-2-\alpha)$ है।
$9$. इसे हल करने पर: $(-6-\alpha)(\alpha-6) = (\alpha-4)(-2-\alpha) \implies \alpha^2-36 = \alpha^2-2\alpha-8 \implies 2\alpha = 28 \implies \alpha=14$ प्राप्त होता है।
$10$. चूंकि $\alpha=\beta$ है,इसलिए $B=(14,14)$ है। अतः $\alpha+2\beta = 14+2(14) = 14+28 = 42$ है।

(A) रेखाएँ $L_1: y=x$ और $L_2: y=-2x$ मूलबिंदु $O(0,0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
रेखा $L_3$,$y=-2$ है।
$P$ के लिए,$L_1$ में $y=-2$ रखने पर: $-2-x=0 \implies x=-2$. अतः $P=(-2,-2)$.
$Q$ के लिए,$L_2$ में $y=-2$ रखने पर: $2x-2=0 \implies x=1$. अतः $Q=(1,-2)$.
दूरी $OP = \sqrt{(-2-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
दूरी $OQ = \sqrt{(1-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
$\triangle OPQ$ में कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle POQ$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $PQ$ को भुजाओं $OP$ और $OQ$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$\frac{PR}{RQ} = \frac{OP}{OQ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
$\text{कथन}-1$ सत्य है।
$\text{कथन}-2$ कोण समद्विभाजक प्रमेय है,जो एक मानक ज्यामितीय गुण है। अतः,$\text{कथन}-2$ सत्य है और $\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या है।

(A) स्थिति सदिश $\vec{OA} = \sqrt{3}\hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{OB} = \hat{i} + \sqrt{3}\hat{j}$ हैं।
चूंकि $|\vec{OA}| = 2$ और $|\vec{OB}| = 2$,$\angle AOB$ का कोण समद्विभाजक मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा है जिसकी दिशा $\vec{OA} + \vec{OB} = (\sqrt{3} + 1)\hat{i} + (1 + \sqrt{3})\hat{j}$ है।
यह रेखा $y = x$ या $x - y = 0$ है।
बिंदु $C(a, 1 - a)$ की रेखा $x - y = 0$ से दूरी $d = \frac{|a - (1 - a)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|2a - 1|}{\sqrt{2}}$ है।
दिया गया है कि $d = \frac{9}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{|2a - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $|2a - 1| = 9$.
अतः,$2a - 1 = 9 \Rightarrow a = 5$,या $2a - 1 = -9 \Rightarrow a = -4$.
$a$ के सभी संभावित मानों का योग $5 + (-4) = 1$ है।

(C) बिंदुओं के निर्देशांक $P(-3, 0)$,$Q(0, 0)$ और $R(3, 3\sqrt{3})$ हैं।
$QP$ ऋणात्मक $X$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए यह धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $180^{\circ}$ का कोण बनाता है।
$QR$ की ढाल $m = \frac{3\sqrt{3} - 0}{3 - 0} = \sqrt{3}$ है।
चूंकि $\tan \theta = \sqrt{3}$,इसलिए $QR$ धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है।
कोण $\angle PQR$,$QP$ और $QR$ के बीच का कोण है,जो $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है।
$\angle PQR$ का समद्विभाजक इस कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करता है,प्रत्येक $60^{\circ}$ का।
समद्विभाजक धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ का कोण बनाता है।
समद्विभाजक की ढाल $\tan 120^{\circ} = -\sqrt{3}$ है।
चूंकि समद्विभाजक मूल बिंदु $Q(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $y - 0 = -\sqrt{3}(x - 0)$ है,जो सरल होकर $\sqrt{3}x + y = 0$ प्राप्त होता है।

(D) निर्देशांक $P(-5, 0)$,$Q(0, 0)$,और $R(2, 2\sqrt{3})$ हैं।
$QP$ ऋणात्मक $X$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए यह धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $180^{\circ}$ का कोण बनाता है।
$QR$ की ढाल $m = \frac{2\sqrt{3} - 0}{2 - 0} = \sqrt{3}$ है।
चूंकि $\tan \theta = \sqrt{3}$,इसलिए $QR$ धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है।
कोण $\angle PQR = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है।
कोण $\angle PQR$ का समद्विभाजक इस $120^{\circ}$ के कोण को दो $60^{\circ}$ के भागों में विभाजित करता है।
अतः,समद्विभाजक धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ का कोण बनाता है।
समद्विभाजक की ढाल $\tan 120^{\circ} = -\sqrt{3}$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली और $-\sqrt{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y = -\sqrt{3}x$ है,जिसे $\sqrt{3}x + y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) दिए गए बिंदु $P = (-1, 0)$,$Q = (0, 0)$,और $R = (3, 3\sqrt{3})$ हैं।
रेखा $QP$ ऋणात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका झुकाव कोण $\pi$ रेडियन है।
रेखा $QR$ बिंदु $(0, 0)$ और $(3, 3\sqrt{3})$ से होकर गुजरती है। इसका ढाल $m = \frac{3\sqrt{3} - 0}{3 - 0} = \sqrt{3}$ है।
रेखा $QR$ का झुकाव कोण $\phi$,$\tan \phi = \sqrt{3}$ को संतुष्ट करता है,इसलिए $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।
कोण $\angle PQR$,ऋणात्मक $x$-अक्ष और रेखा $QR$ के बीच का कोण है,जो $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।
$\angle PQR$ का समद्विभाजक धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाता है। चूंकि समद्विभाजक $\angle PQR$ को दो समान भागों में विभाजित करता है,इसलिए समद्विभाजक का धनात्मक $x$-अक्ष के साथ कोण $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।
समद्विभाजक का ढाल $m = \tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ है।
$(0, 0)$ से गुजरने वाली और $-\sqrt{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y = -\sqrt{3}x$ है,जिसे $\sqrt{3}x + y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) माना $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ $AB=AC$ है। $\angle BAC$ का कोण समद्विभाजक आधार $BC$ पर लंब होता है।
रेखाओं $7x-y+3=0$ और $x+y-3=0$ के कोण समद्विभाजकों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$\frac{7x-y+3}{\sqrt{7^2+(-1)^2}} = \pm \frac{x+y-3}{\sqrt{1^2+1^2}}$
$\frac{7x-y+3}{5\sqrt{2}} = \pm \frac{x+y-3}{\sqrt{2}}$
$7x-y+3 = \pm 5(x+y-3)$
स्थिति $1$: $7x-y+3 = 5x+5y-15 \Rightarrow x-3y+9=0$। इस समद्विभाजक का ढाल $m_1 = \frac{1}{3}$ है।
स्थिति $2$: $7x-y+3 = -5x-5y+15 \Rightarrow 3x+y-3=0$। इस समद्विभाजक का ढाल $m_2 = -3$ है।
चूँकि तीसरी भुजा $BC$ कोण समद्विभाजक पर लंब है,इसलिए $BC$ का ढाल $m$ शर्त $m \cdot m_{bisector} = -1$ को पूरा करता है।
$m_1 = \frac{1}{3}$ के लिए,$m = -3$ है।
$m_2 = -3$ के लिए,$m = \frac{1}{3}$ है।
चूँकि $m$ एक पूर्णांक है,इसलिए $m = -3$ है।

(B) बिंदुओं के निर्देशांक $P(-1, 0)$,$Q(0, 0)$ और $R(3, 3\sqrt{3})$ हैं।
रेखा $QP$ और $QR$ की ढाल ज्ञात करें।
$QP$ की ढाल $(m_1)$ = $0$ है।
$QR$ की ढाल $(m_2)$ = $\sqrt{3}$ है।
रेखा $QP$ का $x$-अक्ष के साथ कोण $0^\circ$ है।
रेखा $QR$ का $x$-अक्ष के साथ कोण $60^\circ$ है।
$\angle PQR$ का समद्विभाजक $x$-अक्ष के साथ $\theta = \frac{0^\circ + 60^\circ}{2} = 30^\circ$ का कोण बनाएगा।
चूंकि $P$ ऋणात्मक $x$-अक्ष पर है,इसलिए कोण $120^\circ$ होगा।
अतः,समद्विभाजक की ढाल $m = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$ होगी।
समीकरण $y = -\sqrt{3}x$ अर्थात $\sqrt{3}x + y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ और $Q$ ज्ञात करें।
$L_1: y=x$ और $L_3: y=-2$ के लिए,$P = (-2, -2)$ प्राप्त होता है।
$L_2: y=-2x$ और $L_3: y=-2$ के लिए,$-2 = -2x \implies x=1$,अतः $Q = (1, -2)$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: कोण समद्विभाजक प्रमेय का उपयोग करके $PR$ और $RQ$ की लंबाई ज्ञात करें।
दूरी $OP = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
दूरी $OQ = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$ है।
मूल बिंदु $O(0,0)$ रेखाओं $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$PR:RQ = OP:OQ = 2\sqrt{2}:\sqrt{5}$ है।
अतः,कथन-$I$ सत्य है।
चरण $3$: कथन-$II$ का मूल्यांकन करें।
कोण समद्विभाजक प्रमेय बताता है कि त्रिभुज के एक कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को अन्य दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है। कथन-$II$ एक मानक ज्यामितीय प्रमेय है। अतः,कथन-$II$ सत्य है और यह कथन-$I$ की सही व्याख्या है।

(A) बिंदुओं के निर्देशांक $P(-1,0)$,$Q(0,0)$ और $R(3,3\sqrt{3})$ हैं।
रेखा $QP$ ऋणात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए धनात्मक $x$-अक्ष के साथ इसका कोण $180^\circ$ है।
रेखा $QR$ बिंदु $(0,0)$ और $(3,3\sqrt{3})$ से गुजरती है। इसकी ढाल $m = \frac{3\sqrt{3}-0}{3-0} = \sqrt{3}$ है।
रेखा $QR$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\tan \theta = \sqrt{3}$ यानी $\theta = 60^\circ$ का कोण बनाती है।
$\angle PQR$ रेखा $QP$ $(180^\circ)$ और $QR$ $(60^\circ)$ के बीच का कोण है,जो $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ है।
$\angle PQR$ का समद्विभाजक धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $60^\circ + \frac{120^\circ}{2} = 120^\circ$ का कोण बनाएगा।
समद्विभाजक की ढाल $\tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$ है।
चूंकि समद्विभाजक मूल बिंदु $Q(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $y = -\sqrt{3}x$ यानी $\sqrt{3}x + y = 0$ है।

(C) दो दी गई रेखाओं के साथ समद्विबाहु त्रिभुज बनाने वाली रेखाओं का परिवार उन दो रेखाओं के बीच के कोण के समद्विभाजक के समानांतर होना चाहिए।
सबसे पहले,हम रेखाओं $L_1: 3x - 4y - 2 = 0$ और $L_2: 12x - 5y + 6 = 0$ के कोण समद्विभाजक ज्ञात करते हैं।
समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{3x - 4y - 2}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \pm \frac{12x - 5y + 6}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{3x - 4y - 2}{5} = \pm \frac{12x - 5y + 6}{13}$.
ऋणात्मक चिह्न लेने पर:
$13(3x - 4y - 2) = -5(12x - 5y + 6)$
$39x - 52y - 26 = -60x + 25y - 30$
$99x - 77y + 4 = 0$.
$11$ से विभाजित करने पर,हमें $9x - 7y + \frac{4}{11} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,इस समद्विभाजक के समानांतर रेखाओं का परिवार $9x - 7y + c = 0$ है।

(B) मान लीजिए कि दो रेखाएँ $L_1: 3x + 2y + 4 = 0$ और $L_2: ax + by + c = 0$ हैं। समद्विभाजक $L_B: 2x + 3y + 1 = 0$ है।
चूंकि $L_B$ कोण का समद्विभाजक है,$L_B$ पर स्थित कोई भी बिंदु $(x, y)$,$L_1$ और $L_2$ से समान दूरी पर होता है।
दो रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बीच के कोण का समद्विभाजक $\frac{L_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \pm \frac{L_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए $L_1: 3x + 2y + 4 = 0$ और $L_B: 2x + 3y + 1 = 0$ से,दूसरी रेखा $L_2$ का समीकरण $9x + 46y - 28 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: y-x=0$,$L_2: 2x+y=0$,और $L_3: y+2=0$ हैं।
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $y=-2$ को $y-x=0$ में रखने पर $x=-2$ प्राप्त होता है। अतः,$P = (-2, -2)$.
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $y=-2$ को $2x+y=0$ में रखने पर $2x-2=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=1$. अतः,$Q = (1, -2)$.
मूल बिंदु $O$ $(0, 0)$ है। लंबाइयाँ $OP = \sqrt{(-2-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ और $OQ = \sqrt{(1-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ हैं।
$\triangle OPQ$ में कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle POQ$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $PQ$ को आसन्न भुजाओं $OP$ और $OQ$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$PR : RQ = OP : OQ = 2\sqrt{2} : \sqrt{5}$. इसलिए,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ असत्य है क्योंकि त्रिभुज का कोण समद्विभाजक उसे दो समरूप त्रिभुजों में विभाजित नहीं करता है (जब तक कि त्रिभुज उस कोण के सापेक्ष समद्विबाहु न हो)।
अतः,कथन-$1$ सत्य है और कथन-$2$ असत्य है।

(D) रेखाओं $x+y+1=0$ और $2x-3y+4=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A\left(-\frac{7}{5}, \frac{2}{5}\right)$ है।
माना $P(-2, 0)$ रेखा $2x-3y+4=0$ पर एक बिंदु है। बिंदु $P$ का समद्विभाजक रेखा $x+y+1=0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब दूसरी रेखा पर स्थित होगा।
माना $P(-2, 0)$ का प्रतिबिंब $(h, k)$ है। परावर्तन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{h+2}{1} = \frac{k-0}{1} = -2 \frac{-2+0+1}{1^2+1^2} = 1$.
अतः,$h=-1$ और $k=1$.
दूसरी रेखा $A\left(-\frac{7}{5}, \frac{2}{5}\right)$ और $(-1, 1)$ से होकर गुजरती है।
ढाल $m = \frac{3}{2}$ है।
समीकरण $y - 1 = \frac{3}{2}(x + 1) \Rightarrow 3x - 2y + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है.

(A) मान लीजिए कि दो निश्चित रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
बिंदु $P$ से गुजरने वाली कोई भी रेखा $L$ जो $L_1$ और $L_2$ पर समान रूप से झुकी हुई है,उसे $L_1$ और $L_2$ द्वारा निर्मित कोण का समद्विभाजक होना चाहिए।
ऐसे दो कोण समद्विभाजक (आंतरिक और बाह्य) होते हैं,जो हमेशा एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
चूंकि कथन $-I$ में वर्णित दो रेखाएँ ये दो कोण समद्विभाजक हैं,इसलिए उन्हें लंबवत होना चाहिए।
अतः,कथन $-I$ सत्य है,कथन $-II$ सत्य है,और कथन $-II$,कथन $-I$ की सही व्याख्या है।

(C) माना दो रेखाएँ $L_1: 3x + 2y + 4 = 0$ और $L_2: ax + by + c = 0$ हैं। रेखा $L: 2x + 3y + 1 = 0$ कोण समद्विभाजक है।
सबसे पहले,$L_1$ और $L$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$3x + 2y = -4$ ($3$ से गुणा करने पर $9x + 6y = -12$)
$2x + 3y = -1$ ($2$ से गुणा करने पर $4x + 6y = -2$)
समीकरणों को घटाने पर: $(9x - 4x) = -12 - (-2)$ $\Rightarrow 5x = -10$ $\Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ को $2x + 3y + 1 = 0$ में रखने पर: $2(-2) + 3y + 1 = 0$ $\Rightarrow -4 + 3y + 1 = 0$ $\Rightarrow 3y = 3$ $\Rightarrow y = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 1)$ है।
कोण समद्विभाजक $L$,$L_1$ के साथ $\theta$ कोण बनाता है। दूसरी रेखा $L_2$ को भी $L$ के साथ दूसरी तरफ समान कोण $\theta$ बनाना चाहिए।
$L_1$ की ढाल $m_1 = -3/2$ है। $L$ की ढाल $m = -2/3$ है। माना $L_2$ की ढाल $m_2$ है।
$L_1$ और $L$ के बीच का कोण $\tan \theta = |(m - m_1) / (1 + m \cdot m_1)| = |(-2/3 - (-3/2)) / (1 + (-2/3)(-3/2))| = |(-4/6 + 9/6) / (1 + 1)| = |(5/6) / 2| = 5/12$ द्वारा दिया गया है।
चूँकि $L$ कोण को समद्विभाजित करता है,$\tan \theta = |(m_2 - m) / (1 + m_2 \cdot m)| = 5/12$.
$|(m_2 + 2/3) / (1 - 2m_2/3)| = 5/12 \Rightarrow |(3m_2 + 2) / (3 - 2m_2)| = 5/12$.
स्थिति $1$: $(3m_2 + 2) / (3 - 2m_2) = 5/12$ $\Rightarrow 36m_2 + 24 = 15 - 10m_2$ $\Rightarrow 46m_2 = -9$ $\Rightarrow m_2 = -9/46$.
$(-2, 1)$ बिंदु का उपयोग करके: $y - 1 = (-9/46)(x + 2)$ $\Rightarrow 46y - 46 = -9x - 18$ $\Rightarrow 9x + 46y - 28 = 0$.