Angle between two straight lines Questions in Hindi

(A) $(3, -2)$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा का समीकरण $y + 2 = m(x - 3)$ है ..... $(i)$
दी गई रेखा $\sqrt{3}x + y = 1$ की ढाल $m_1 = -\sqrt{3}$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 60^o$ है,इसलिए $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$.
मान रखने पर,$\tan 60^o = \left| \frac{m - (-\sqrt{3})}{1 + m(-\sqrt{3})} \right| \implies \sqrt{3} = \left| \frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} \right|$.
स्थिति $1$: $\frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} = \sqrt{3} \implies m + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 3m \implies 4m = 0 \implies m = 0$.
स्थिति $2$: $\frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \implies m + \sqrt{3} = -\sqrt{3} + 3m \implies 2m = 2\sqrt{3} \implies m = \sqrt{3}$.
$m = 0$ को $(i)$ में रखने पर: $y + 2 = 0(x - 3) \implies y + 2 = 0$.
$m = \sqrt{3}$ को $(i)$ में रखने पर: $y + 2 = \sqrt{3}(x - 3) \implies y + 2 = \sqrt{3}x - 3\sqrt{3} \implies \sqrt{3}x - y - 2 - 3\sqrt{3} = 0$.

(B) दी गई रेखा $x - 2y = 3$ की ढाल $m_1 = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए कि आवश्यक रेखाओं की ढाल $m$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$.
$1 = \left| \frac{m - 1/2}{1 + m/2} \right| = \left| \frac{2m - 1}{2 + m} \right|$.
यह दो स्थितियाँ देता है: $2m - 1 = m + 2$ या $2m - 1 = -(m + 2)$.
स्थिति $1$: $m = 3$. समीकरण $y - 2 = 3(x - 3)$ $\Rightarrow y - 2 = 3x - 9$ $\Rightarrow 3x - y - 7 = 0$ है।
स्थिति $2$: $2m - 1 = -m - 2$ $\Rightarrow 3m = -1$ $\Rightarrow m = -1/3$. समीकरण $y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 3)$ $\Rightarrow 3y - 6 = -x + 3$ $\Rightarrow x + 3y - 9 = 0$ है।
अतः,समीकरण $3x - y - 7 = 0$ और $x + 3y - 9 = 0$ हैं।

(B) दी गई रेखा $x + y\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 0$ है,जिसे $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - 3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए यह धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\theta_1 = 150^{\circ}$ का कोण बनाती है।
मान लीजिए कि मूल बिंदु से गुजरने वाली आवश्यक रेखाओं की ढाल $m$ है। इन रेखाओं और दी गई रेखा के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m m_1}|$ का उपयोग करते हुए,$\tan 60^{\circ} = |\frac{m - (-1/\sqrt{3})}{1 + m(-1/\sqrt{3})}|$.
$\sqrt{3} = |\frac{m\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - m}|$.
स्थिति $1$: $\sqrt{3}(\sqrt{3} - m) = m\sqrt{3} + 1$ $\Rightarrow 3 - m\sqrt{3} = m\sqrt{3} + 1$ $\Rightarrow 2m\sqrt{3} = 2$ $\Rightarrow m = \frac{1}{\sqrt{3}}$. रेखा $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ या $x - y\sqrt{3} = 0$ है।
स्थिति $2$: $\sqrt{3}(\sqrt{3} - m) = -(m\sqrt{3} + 1)$ $\Rightarrow 3 - m\sqrt{3} = -m\sqrt{3} - 1$ $\Rightarrow 3 = -1$,जो असंभव है,जिसका अर्थ है कि रेखा ऊर्ध्वाधर $(m \to \infty)$ है। रेखा $x = 0$ है।
अतः,रेखाएं $x = 0$ और $x - y\sqrt{3} = 0$ हैं।

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: 2x + 5y = 7$ और $L_2: 2x - 5y = 9$ हैं।
ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ से तुलना करने पर:
$L_1$ के लिए: $5y = -2x + 7 \implies y = -\frac{2}{5}x + \frac{7}{5}$,अतः ढाल $m_1 = -\frac{2}{5}$ है।
$L_2$ के लिए: $-5y = -2x + 9 \implies y = \frac{2}{5}x - \frac{9}{5}$,अतः ढाल $m_2 = \frac{2}{5}$ है।
चूंकि $m_1 \neq m_2$,रेखाएँ समांतर नहीं हैं।
चूंकि $m_1 \times m_2 = (-\frac{2}{5}) \times (\frac{2}{5}) = -\frac{4}{25} \neq -1$,रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।
चूंकि ढाल अलग हैं,रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी।
अतः,रेखाएँ प्रतिच्छेदी हैं।

(B) रेखा $y = 3$ की ढाल $m_1 = 0$ है (क्योंकि यह एक क्षैतिज रेखा है)।
रेखा $y = \sqrt{3}x + 9$ की ढाल $m_2 = \sqrt{3}$ है।
माना $\theta$ रेखाओं के बीच का न्यून कोण है।
तब,$\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$.
$\tan \theta = |\frac{\sqrt{3} - 0}{1 + 0 \times \sqrt{3}}| = |\sqrt{3}| = \sqrt{3}$.
अतः,$\theta = 60^o$।

(B) दी गई रेखाओं की प्रवणता (slopes) $m_1 = 2 - \sqrt{3}$ और $m_2 = 2 + \sqrt{3}$ हैं।
दो रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = |\frac{(2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3})}{1 + (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}|$.
$\tan \theta = |\frac{-2\sqrt{3}}{1 + (4 - 3)}| = |\frac{-2\sqrt{3}}{2}| = |-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^o$।

(C) अंतःखंड रूप $\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} = 1$ में रेखाओं के समीकरण:
रेखा $1$: $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1 \implies y = \frac{b}{a}x - b$. अतः,ढाल $m_1 = \frac{b}{a}$.
रेखा $2$: $\frac{x}{b} - \frac{y}{a} = 1 \implies y = \frac{a}{b}x - a$. अतः,ढाल $m_2 = \frac{a}{b}$.
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = |\frac{\frac{b}{a} - \frac{a}{b}}{1 + 1}| = |\frac{b^2 - a^2}{2ab}|$.
अतः,$\theta = \tan^{-1} |\frac{b^2 - a^2}{2ab}|$.

(D) रेखा $AB$ की ढाल $(m_1)$ $\frac{-2 - 2}{12 - (-4)} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$ है।
रेखा $BC$ की ढाल $(m_2)$ $\frac{6 - (-2)}{8 - 12} = \frac{8}{-4} = -2$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ निकालने का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{-1/4 - (-2)}{1 + (-1/4)(-2)} \right| = \left| \frac{-1/4 + 2}{1 + 1/2} \right| = \left| \frac{7/4}{3/2} \right| = \frac{7}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{7}{6}$.
अतः,$\angle B = \tan^{-1}\left(\frac{7}{6}\right)$.

(A) दी गई रेखाएं $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ और $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ हैं।
इन्हें $bx + ay - ab = 0$ और $bx - ay - ab = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इन रेखाओं की ढाल $m_1 = -\frac{b}{a}$ और $m_2 = \frac{b}{a}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{-\frac{2b}{a}}{1 - \frac{b^2}{a^2}} \right| = \left| \frac{2ab}{a^2 - b^2} \right|$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $2\tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ का उपयोग करने पर,कोण $2\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखाओं की ढाल $m_1 = 3$ और $m_2 = \frac{1}{2}$ है। मान लीजिए तीसरी रेखा की ढाल $m_3 = m$ है।
चूंकि रेखाएँ तीसरी रेखा पर समान रूप से झुकी हुई हैं,इसलिए पहली और तीसरी रेखा के बीच का कोण दूसरी और तीसरी रेखा के बीच के कोण के बराबर है।
दो रेखाओं के बीच के कोण के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\tan \theta = |\frac{m_a - m_b}{1 + m_a m_b}|$,हमें प्राप्त होता है:
$|\frac{3 - m}{1 + 3m}| = |\frac{2m - 1}{2 + m}|$
इस समीकरण को हल करने पर $7m^2 - 2m - 7 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर,$m = \frac{1 \pm 5\sqrt{2}}{7}$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखाएँ अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ में हैं,जहाँ $\alpha$ वह कोण है जो रेखा पर अभिलंब $x$-अक्ष के साथ बनाता है।
पहली रेखा $x \cos \alpha_1 + y \sin \alpha_1 = p_1$ के लिए,अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $\alpha_1$ कोण बनाता है। अतः,रेखा स्वयं $x$-अक्ष के साथ $\theta_1 = \frac{\pi}{2} + \alpha_1$ कोण बनाती है।
दूसरी रेखा $x \cos \alpha_2 + y \sin \alpha_2 = p_2$ के लिए,अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $\alpha_2$ कोण बनाता है। अतः,रेखा स्वयं $x$-अक्ष के साथ $\theta_2 = \frac{\pi}{2} + \alpha_2$ कोण बनाती है।
दोनों रेखाओं के बीच का कोण $\theta = |\theta_1 - \theta_2| = |(\frac{\pi}{2} + \alpha_1) - (\frac{\pi}{2} + \alpha_2)| = |\alpha_1 - \alpha_2|$ है।

(B) दी गई रेखाएं अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ में हैं।
पहली रेखा $x \cos 30^\circ + y \sin 30^\circ = 3$ के लिए,अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $\alpha_1 = 30^\circ$ का कोण बनाता है।
दूसरी रेखा $x \cos 60^\circ + y \sin 60^\circ = 5$ के लिए,अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $\alpha_2 = 60^\circ$ का कोण बनाता है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ उनके अभिलंबों के बीच के कोण के बराबर होता है।
अतः,$\theta = |\alpha_2 - \alpha_1| = |60^\circ - 30^\circ| = 30^\circ$.

(C) रेखाओं के दिए गए समीकरण $y = 2x + 9$ और $y = -\frac{1}{2}x - \frac{7}{2}$ हैं।
इन्हें ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ से तुलना करने पर,ढाल $m_1 = 2$ और $m_2 = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$,इसलिए दोनों रेखाएं एक-दूसरे पर लंब हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $90^o$ है।

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ और $L_2: \frac{x}{b'} + \frac{y}{a'} = 1$ हैं।
ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ में लिखने पर:
$L_1: y = -\frac{b}{a}x + b$,अतः ढाल $m_1 = -\frac{b}{a}$ है।
$L_2: y = -\frac{a'}{b'}x + a'$,अतः ढाल $m_2 = -\frac{a'}{b'}$ है।
दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि $m_1 \times m_2 = -1$ हो।
$m_1 \times m_2 = (-\frac{b}{a}) \times (-\frac{a'}{b'}) = \frac{ba'}{ab'}$.
दी गई शर्त: $\frac{1}{ab'} + \frac{1}{ba'} = 0 \implies ba' + ab' = 0 \implies ba' = -ab'$.
ढाल के गुणनफल में यह मान रखने पर: $m_1 \times m_2 = \frac{-ab'}{ab'} = -1$.
चूँकि ढाल का गुणनफल $-1$ है,इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।

(A) माना $L_1 \equiv 2x + 3y - 7 = 0$ और $L_2 \equiv 2x + 3y - 5 = 0$ है।
रेखा $ax + by + c = 0$ की प्रवणता $m = -\frac{a}{b}$ द्वारा दी जाती है।
$L_1$ के लिए,प्रवणता $m_1 = -\frac{2}{3}$ है।
$L_2$ के लिए,प्रवणता $m_2 = -\frac{2}{3}$ है।
चूँकि $m_1 = m_2$ है,रेखाओं की प्रवणता समान है लेकिन अंतःखंड अलग हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के समांतर हैं।

(B) रेखा $x = 2$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,इसलिए इसकी ढाल $m_1$ अपरिभाषित (या $\infty$) है।
रेखा $x - 3y = 6$ को $3y = x - 6$ या $y = \frac{1}{3}x - 2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_2 = \frac{1}{3}$ है।
एक ऊर्ध्वाधर रेखा और $m$ ढाल वाली रेखा के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{1}{m} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$m = \frac{1}{3}$,इसलिए $\tan \theta = \left| \frac{1}{1/3} \right| = 3$ है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(3)$।

(C) दी गई रेखाओं की ढाल $m_1 = 2 + \sqrt{3}$ और $m_2 = k$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है,इसलिए हम सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर: $\tan 60^{\circ} = \left| \frac{2 + \sqrt{3} - k}{1 + k(2 + \sqrt{3})} \right| = \sqrt{3}$.
स्थिति $1$: $\frac{2 + \sqrt{3} - k}{1 + k(2 + \sqrt{3})} = \sqrt{3} \implies k = 2 - \sqrt{3}$.
स्थिति $2$: $\frac{2 + \sqrt{3} - k}{1 + k(2 + \sqrt{3})} = -\sqrt{3} \implies k = -1$.

(A) दी गई रेखा $(\sqrt{3} - 1)x = (\sqrt{3} + 1)y$ है,जिसे $y = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हम जानते हैं कि $\tan(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ होता है।
अतः रेखा की ढाल $m_1 = \tan(15^{\circ})$ है।
माना अभीष्ट रेखा की ढाल $m_2$ है। रेखाओं के बीच का कोण $75^{\circ}$ है,इसलिए $\tan(75^{\circ}) = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$।
चूंकि $\tan(75^{\circ}) = \cot(15^{\circ}) = \frac{1}{\tan(15^{\circ})}$ है,इसलिए $m_2$ का मान $y$-अक्ष की ढाल को दर्शाता है,जो अपरिभाषित है।
मूल बिंदु से गुजरने वाली और अपरिभाषित ढाल वाली रेखा $y$-अक्ष है,जिसका समीकरण $x = 0$ है।

(B) रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{a_1}{b_1}$ और $m_2 = -\frac{a_2}{b_2}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_1a_2 + b_1b_2} \right|$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \cot^{-1} \left| \frac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_1b_2 - a_2b_1} \right|$ सही उत्तर है।

(A) पहली रेखा $2x - y + 3 = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{2}{-1} = 2$ है।
दूसरी रेखा $x + 2y + 3 = 0$ की ढाल $m_2 = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$,ढालों का गुणनफल $-1$ है।
अतः,दोनों रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
इसलिए,रेखाओं के बीच का कोण $90^\circ$ है।

(A) दी गई रेखाएं $L_1: x - y\sqrt{3} = 5$ और $L_2: \sqrt{3}x + y = 7$ हैं।
इन्हें सामान्य रूप $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर,ढाल (slopes) इस प्रकार हैं:
$L_1$ के लिए,$m_1 = -\frac{1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$L_2$ के लिए,$m_2 = -\frac{\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$.
चूँकि $m_1 \times m_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \times (-\sqrt{3}) = -1$,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $90^\circ$ है।

(B) दी गई रेखाएँ $2x - y - 15 = 0$ $(i)$ और $3x + y + 4 = 0$ $(ii)$ हैं।
इन्हें $y = mx + c$ रूप से तुलना करने पर,ढाल $m_1 = 2$ और $m_2 = -3$ प्राप्त होते हैं।
यदि रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है,तो $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$.
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2 - (-3)}{1 + (2)(-3)} \right| = \left| \frac{5}{1 - 6} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = 1$.
चूँकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = 45^\circ$ है।

(B) माना पहली रेखा की ढाल $m_1$ है। बिंदु $(3, -4)$ और $(-2, 6)$ हैं।
$m_1 = \frac{6 - (-4)}{-2 - 3} = \frac{10}{-5} = -2$
माना दूसरी रेखा की ढाल $m_2$ है। बिंदु $(-3, 6)$ और $(9, -18)$ हैं।
$m_2 = \frac{-18 - 6}{9 - (-3)} = \frac{-24}{12} = -2$
चूंकि $m_1 = m_2 = -2$,ढाल समान हैं।
अतः,रेखाएं समांतर हैं।

(C) रेखा $2x + 3ay - 1 = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{2}{3a}$ है।
रेखा $3x + 4y + 1 = 0$ की ढाल $m_2 = -\frac{3}{4}$ है।
चूंकि रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होना चाहिए,अर्थात $m_1 \times m_2 = -1$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\left(-\frac{2}{3a}\right) \times \left(-\frac{3}{4}\right) = -1$।
$\frac{6}{12a} = -1$।
$\frac{1}{2a} = -1$।
$2a = -1$।
$a = -\frac{1}{2}$।

(A) माना बिंदु $A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ और $B(a \cos \beta, a \sin \beta)$ हैं।
रेखाखंड $AB$ का मध्य बिंदु $P$ है $P\left( \frac{a(\cos \alpha + \cos \beta)}{2}, \frac{a(\sin \alpha + \sin \beta)}{2} \right)$।
रेखा $AB$ की ढाल $m_1 = \frac{\sin \beta - \sin \alpha}{\cos \beta - \cos \alpha} = -\cot(\frac{\alpha + \beta}{2})$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ और $P$ से होकर जाने वाली रेखा $OP$ की ढाल $m_2 = \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\cos \alpha + \cos \beta} = \tan(\frac{\alpha + \beta}{2})$ है।
अब,$m_1 \times m_2 = -\cot(\frac{\alpha + \beta}{2}) \times \tan(\frac{\alpha + \beta}{2}) = -1$।
चूंकि ढालों का गुणनफल $-1$ है,इसलिए रेखाएँ लंबवत हैं।

(B) रेखाओं के समीकरण $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ हैं।
पहली रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{a_1}{b_1}$ है।
दूसरी रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{a_2}{b_2}$ है।
यदि रेखाएँ एक-दूसरे पर लंब हैं,तो उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ होना चाहिए,अर्थात $m_1 \times m_2 = -1$।
मान रखने पर,$\left(-\frac{a_1}{b_1}\right) \times \left(-\frac{a_2}{b_2}\right) = -1$।
$\Rightarrow \frac{a_1a_2}{b_1b_2} = -1$।
$\Rightarrow a_1a_2 = -b_1b_2$।
$\Rightarrow a_1a_2 + b_1b_2 = 0$।

(B) दी गई रेखाएँ $y = 2x$ और $y = -\frac{1}{2}x$ हैं।
इन्हें $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m_1 = 2$ और $m_2 = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होते हैं।
चूँकि ढालों का गुणनफल $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$ है,इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।

(B) रेखा $mx + 2y + 1 = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{m}{2}$ है।
रेखा $2x + 3y + 5 = 0$ की ढाल $m_2 = -\frac{2}{3}$ है।
चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं,उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होना चाहिए,अर्थात $m_1 \times m_2 = -1$।
मान रखने पर: $\left( -\frac{m}{2} \right) \times \left( -\frac{2}{3} \right) = -1$।
$\frac{m}{3} = -1$।
अतः,$m = -3$।

(A) रेखा $2x + y + 6 = 0$ की ढाल $m_1 = -2$ है।
रेखा $x - 2y + 5 = 0$ की ढाल $m_2 = \frac{1}{2}$ है।
ढाल का गुणनफल $m_1 \times m_2 = (-2) \times (\frac{1}{2}) = -1$ है,जो पुष्टि करता है कि रेखाएं लंबवत हैं।
जाँच करना कि क्या दूसरी रेखा $x - 2y + 5 = 0$ बिंदु $(1, 3)$ से गुजरती है: $x=1$ और $y=3$ रखने पर,$1 - 2(3) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $(1, 3)$ रेखा पर स्थित है।
अतः,दोनों कथन सत्य हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(A) पहली रेखा का समीकरण $7x + 3y + 9 = 0$ है,जिसे $3y = -7x - 9$ या $y = -\frac{7}{3}x - 3$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः ढाल $m_1 = -\frac{7}{3}$ है।
दूसरी रेखा का समीकरण $y = kx + 7$ है। अतः ढाल $m_2 = k$ है।
यदि दो रेखाएँ लंबवत हैं,तो उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होता है,अर्थात $m_1 \times m_2 = -1$।
मान रखने पर,$(-\frac{7}{3}) \times k = -1$।
अतः,$k = \frac{3}{7}$।

(B) रेखा $y = -2$ की ढाल $m_1 = 0$ है।
रेखा $y = x + 2$ की ढाल $m_2 = 1$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{0 - 1}{1 + (0)(1)} \right| = |-1| = 1$.
अतः,न्यून कोण $\theta = 45^o$ है।
अधिक कोण $180^o - 45^o = 135^o$ होगा।

(C) दी गई रेखाएँ $2x - y + 5 = 0$ और $3x + y + 4 = 0$ हैं।
$y = mx + c$ से तुलना करने पर,ढाल $m_1 = 2$ और $m_2 = -3$ प्राप्त होते हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2 - (-3)}{1 + (2)(-3)} \right| = \left| \frac{5}{1 - 6} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = 1$.
अतः,$\tan \theta = 1$ होने के कारण,$\theta = 45^o$ प्राप्त होता है।

(C) पहली रेखा $x = 9$ है,जो $y$-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। इसका ढाल अपरिभाषित है।
दूसरी रेखा $x - \sqrt{3}y + 7 = 0$ है,जिसे $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{7}{\sqrt{3}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा का ढाल $m_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है,जो $x$-अक्ष के साथ $30^\circ$ का कोण बनाता है।
चूंकि पहली रेखा ऊर्ध्वाधर है ($x$-अक्ष के साथ $90^\circ$),इसलिए दोनों रेखाओं के बीच का कोण $|90^\circ - 30^\circ| = 60^\circ$ है।

(B) पहली रेखा का समीकरण $y = 3$ है,जो $x$-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है। इसकी ढाल $m_1 = 0$ है।
दूसरी रेखा का समीकरण $y = \sqrt{3}x + 9$ है। इसे $y = mx + c$ से तुलना करने पर,ढाल $m_2 = \sqrt{3}$ प्राप्त होती है।
माना रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। तब $\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}|$.
$\tan \theta = |\frac{\sqrt{3} - 0}{1 + 0 \times \sqrt{3}}| = |\sqrt{3}| = \sqrt{3}$.
चूंकि $\tan \theta = \sqrt{3}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$ है।

(A, B) माना दी गई रेखा $2x + 3y = 5$ की ढाल $m_1 = -\frac{2}{3}$ है।
माना अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
सूत्र $\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$ का उपयोग करने पर:
$\tan \frac{\pi}{4} = |\frac{m - (-2/3)}{1 + m(-2/3)}|$
$1 = |\frac{3m + 2}{3 - 2m}|$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\frac{3m + 2}{3 - 2m} = 1 \implies 3m + 2 = 3 - 2m \implies 5m = 1 \implies m = \frac{1}{5}$.
रेखा का समीकरण $y - 3 = \frac{1}{5}(x - 2) \implies 5y - 15 = x - 2 \implies x - 5y + 13 = 0$.
स्थिति $2$: $\frac{3m + 2}{3 - 2m} = -1 \implies 3m + 2 = -3 + 2m \implies m = -5$.
रेखा का समीकरण $y - 3 = -5(x - 2) \implies y - 3 = -5x + 10 \implies 5x + y - 13 = 0$.
अतः,संभावित समीकरण $x - 5y + 13 = 0$ या $5x + y - 13 = 0$ हैं।

(D) दी गई रेखाएँ $y = 1x + 5$ और $y = \sqrt{3}x - 4$ हैं।
$y = mx + c$ से तुलना करने पर,ढाल $m_1 = 1$ और $m_2 = \sqrt{3}$ प्राप्त होते हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + (1)(\sqrt{3})} \right| = \left| \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \right|$.
सरल करने पर: $\tan \theta = 2 - \sqrt{3}$.
चूँकि $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$,इसलिए $\theta = 15^\circ$ है।

(A) बिंदु $(3, -2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y + 2 = m(x - 3)$ है।
दी गई रेखा $\sqrt{3}x + y = 1$ की ढाल $m_1 = -\sqrt{3}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ के लिए,$\tan(60^{\circ}) = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$.
$\sqrt{3} = \left| \frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} \right|$.
स्थिति $1$: $\frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} = \sqrt{3} \implies m = 0$.
समीकरण: $y + 2 = 0$.
स्थिति $2$: $\frac{m + \sqrt{3}}{1 - m\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \implies m = \sqrt{3}$.
समीकरण: $\sqrt{3}x - y - 2 - 3\sqrt{3} = 0$.

(C) पहली रेखा $3x + 4y - 5 = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{3}{4}$ है।
दूसरी रेखा $4x + ky - 8 = 0$ की ढाल $m_2 = -\frac{4}{k}$ है।
दो रेखाओं के समांतर होने के लिए,उनकी ढाल समान होनी चाहिए,इसलिए $m_1 = m_2$।
$-\frac{3}{4} = -\frac{4}{k}$।
तिर्यक गुणा करने पर,हमें $3k = 16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $k = \frac{16}{3}$।

(B) मान लीजिए $m_1$ और $m_2$ क्रमशः $BA$ और $BC$ की ढाल (slopes) हैं।
$m_1 = \frac{3 - 1}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$m_2 = \frac{-4 - 3}{-2 - 2} = \frac{-7}{-4} = \frac{7}{4}$
मान लीजिए $BA$ और $BC$ के बीच का कोण $\theta$ है। तब,
$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{7}{4} - \frac{1}{2}}{1 + (\frac{7}{4} \times \frac{1}{2})} \right|$
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{5}{4}}{\frac{15}{8}} \right| = \left| \frac{5}{4} \times \frac{8}{15} \right| = \frac{2}{3}$
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(A) दी गई रेखा $x - \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} = 0$ की ढाल $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
माना अभीष्ट रेखाओं की ढाल $m'$ है। रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m' - m}{1 + m'm} \right|$ का उपयोग करने पर,$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m' - 1/\sqrt{3}}{1 + m'/\sqrt{3}} \right|$.
$\sqrt{3} = \left| \frac{\sqrt{3}m' - 1}{\sqrt{3} + m'} \right|$.
स्थिति $1$: $\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}m' - 1}{\sqrt{3} + m'}$ $\Rightarrow 3 + \sqrt{3}m' = \sqrt{3}m' - 1$ $\Rightarrow 3 = -1$ (असंभव,जो एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है)।
$(7, 9)$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 7$ है।
स्थिति $2$: $-\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}m' - 1}{\sqrt{3} + m'}$ $\Rightarrow -3 - \sqrt{3}m' = \sqrt{3}m' - 1$ $\Rightarrow 2\sqrt{3}m' = -2$ $\Rightarrow m' = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
रेखा का समीकरण $y - 9 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 7)$ $\Rightarrow \sqrt{3}y - 9\sqrt{3} = -x + 7$ $\Rightarrow x + \sqrt{3}y = 7 + 9\sqrt{3}$ है।
अतः,समीकरण $x = 7$ और $x + \sqrt{3}y = 7 + 9\sqrt{3}$ हैं।

(A) मान लीजिए बिंदु $A(0, 0), B(2, 3)$ और $C(2, -2), D(3, 5)$ हैं।
रेखा $AB$ की ढाल $m_1 = \frac{3 - 0}{2 - 0} = \frac{3}{2}$ है।
रेखा $CD$ की ढाल $m_2 = \frac{5 - (-2)}{3 - 2} = \frac{7}{1} = 7$ है।
मान लीजिए $\theta$ रेखाओं के बीच का न्यून कोण है। दो रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र $tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right|$ है।
मान रखने पर: $tan\theta = \left| \frac{\frac{3}{2} - 7}{1 + (\frac{3}{2})(7)} \right| = \left| \frac{\frac{3 - 14}{2}}{1 + \frac{21}{2}} \right| = \left| \frac{-\frac{11}{2}}{\frac{23}{2}} \right| = \left| -\frac{11}{23} \right| = \frac{11}{23}$.
अतः,$\theta = tan^{-1}\left(\frac{11}{23}\right)$।

(D) दी गई रेखाओं की ढाल $m_1 = 3$ और $m_2 = \frac{1}{2}$ है। मान लीजिए तीसरी रेखा की ढाल $m_3 = m$ है।
चूंकि रेखा $y = mx + 4$ अन्य दो रेखाओं के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए:
$|\frac{m - 3}{1 + 3m}| = |\frac{m - 1/2}{1 + m/2}|$
$|\frac{m - 3}{1 + 3m}| = |\frac{2m - 1}{2 + m}|$
स्थिति $1$: $\frac{m - 3}{1 + 3m} = \frac{2m - 1}{2 + m}$
$(m - 3)(m + 2) = (2m - 1)(3m + 1)$
$m^2 - m - 6 = 6m^2 - m - 1$
$5m^2 = -5 \Rightarrow m^2 = -1$ (कोई वास्तविक हल नहीं)।
स्थिति $2$: $\frac{m - 3}{1 + 3m} = -(\frac{2m - 1}{2 + m})$
$(m - 3)(m + 2) = -(2m - 1)(3m + 1)$
$m^2 - m - 6 = -6m^2 + m + 1$
$7m^2 - 2m - 7 = 0$
द्विघात सूत्र $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(7)(-7)}}{14} = \frac{2 \pm \sqrt{200}}{14} = \frac{1 \pm 5\sqrt{2}}{7}$.

(B) दी गई रेखा $\sqrt{3}x + y = 1$ है,जिसका ढाल $m_2 = -\sqrt{3}$ है।
माना रेखा $L$ का ढाल $m_1$ है। रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m_1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m_1} \right|$
$\sqrt{3} = \left| \frac{m_1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m_1} \right|$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $m_1 = 0$. रेखा का समीकरण $y + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $m_1 = \sqrt{3}$. रेखा का समीकरण $y - \sqrt{3}x + 2 + 3\sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि अभीष्ट रेखा की ढाल $m_1$ है। दी गई रेखा $y = mx + c$ है,इसलिए इसकी ढाल $m$ है। दोनों रेखाओं के बीच का कोण $\theta = tan^{-1} m$ दिया गया है।
दो रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र उपयोग करने पर: $tan \theta = |\frac{m_1 - m}{1 + m_1 m}|$.
$\theta = tan^{-1} m$ रखने पर,हमें $m = |\frac{m_1 - m}{1 + m_1 m}|$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\frac{m_1 - m}{1 + m_1 m} = m \implies m_1 - m = m + m_1 m^2 \implies m_1(1 - m^2) = 2m \implies m_1 = \frac{2m}{1 - m^2}$.
मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली और $m_1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y = m_1 x$ है,अतः $y = \frac{2m}{1 - m^2} x$,जो सरल होकर $(1 - m^2)y = 2mx$ या $2mx + (m^2 - 1)y = 0$ हो जाता है।
स्थिति $2$: $\frac{m_1 - m}{1 + m_1 m} = -m \implies m_1 - m = -m - m_1 m^2 \implies m_1(1 + m^2) = 0 \implies m_1 = 0$.
रेखा का समीकरण $y = 0x$ है,जो $y = 0$ है।
अतः,समीकरण $y = 0$ और $2mx + (m^2 - 1)y = 0$ हैं।

(B) दी गई रेखा $x - \sqrt{3}y + 5 = 0$ है।
इसे $y = mx + c$ रूप में बदलने पर,$\sqrt{3}y = x + 5$,जिसका अर्थ है $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{5}{\sqrt{3}}$.
इस रेखा की ढाल $m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
$y$-अक्ष एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ अपरिभाषित है (या हम मान सकते हैं कि यह $x$-अक्ष के साथ $90^o$ का कोण बनाती है)।
रेखा और $y$-अक्ष के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\tan \theta = |\frac{1}{m}|$ है।
यहाँ,$\tan \theta = |\frac{1}{1/\sqrt{3}}| = \sqrt{3}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^o$.

(D) यदि दो रेखाएँ एक उभयनिष्ठ रेखा पर लंब हैं,तो वे एक-दूसरे के समांतर होनी चाहिए।
पहली रेखा की ढाल $m_1 = p(p^2 + 1)$ है।
दूसरी रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{(p^2 + 1)^2}{p^2 + 1} = -(p^2 + 1)$ है।
रेखाओं के समांतर होने के लिए,$m_1 = m_2$ होना चाहिए।
$p(p^2 + 1) = -(p^2 + 1)$.
चूंकि किसी भी वास्तविक $p$ के लिए $p^2 + 1 \neq 0$,इसलिए दोनों पक्षों को $(p^2 + 1)$ से विभाजित करने पर:
$p = -1$.
अतः,$p$ के एक निश्चित मान के लिए रेखाएँ एक उभयनिष्ठ रेखा पर लंब हैं।

(A) माना रेखा की ढाल $m$ है।
दी गई रेखाएँ $3x - 4y - 7 = 0$ और $12x - 5y + 6 = 0$ हैं।
इन रेखाओं की ढाल $m_1 = \frac{3}{4}$ और $m_2 = \frac{12}{5}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा दी गई रेखाओं के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए कोण समान है।
सूत्र $\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m m_1}| = |\frac{m - m_2}{1 + m m_2}|$ का उपयोग करने पर:
$|\frac{4m - 3}{4 + 3m}| = |\frac{5m - 12}{5 + 12m}|$
हल करने पर $63m^2 - 32m - 63 = 0$ प्राप्त होता है।
$m$ के मान $m = \frac{9}{7}$ और $m = -\frac{7}{9}$ हैं।
बिंदु $(4, 5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - 5 = m(x - 4)$ है।
$m = 9/7$ के लिए $9x - 7y = 1$ और $m = -7/9$ के लिए $7x + 9y = 73$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: y = x - 5$ और $L_2: y = \sqrt{3}x + 7$ हैं।
$y = mx + c$ से तुलना करने पर,ढाल $m_1 = 1$ और $m_2 = \sqrt{3}$ प्राप्त होते हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = |\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + (1)(\sqrt{3})}| = |\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}|$।
हर का परिमेयकरण करने पर,$\tan \theta = |\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1}| = |\frac{3 + 1 - 2\sqrt{3}}{2}| = |\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}| = |2 - \sqrt{3}|$।
चूँकि $\tan 15^o = 2 - \sqrt{3}$,इसलिए $\theta = 15^o$ प्राप्त होता है।

(A) रेखाओं की ढाल इस प्रकार है:
$L_1: y = x - 1, m_1 = 1.$
$L_2: y = -x + 1, m_2 = -1.$
$L_3: y = -x + 2.5, m_3 = -1.$
$L_4: y = x - 3.5, m_4 = 1.$
चूंकि $m_1 \times m_2 = -1,$ इसलिए $L_1 \perp L_2.$
चूंकि $m_2 = m_3 = -1,$ इसलिए $L_2 \parallel L_3.$
चूंकि $m_1 = m_4 = 1,$ इसलिए $L_1 \parallel L_4.$

(A) यदि दो रेखाएँ एक उभयनिष्ठ रेखा पर लंब हैं,तो वे एक-दूसरे के समांतर होनी चाहिए।
माना रेखाओं की प्रवणता (slopes) $m_1$ और $m_2$ हैं।
पहली रेखा $p(p^2 + 1)x - y + q = 0$ के लिए,प्रवणता $m_1 = \frac{p(p^2 + 1)}{1} = p(p^2 + 1)$ है।
दूसरी रेखा $(p^2 + 1)^2x + (p^2 + 1)y + 2q = 0$ के लिए,प्रवणता $m_2 = -\frac{(p^2 + 1)^2}{p^2 + 1} = -(p^2 + 1)$ है।
चूँकि रेखाएँ समांतर हैं,$m_1 = m_2$ होगा।
$p(p^2 + 1) = -(p^2 + 1)$।
चूँकि किसी भी वास्तविक $p$ के लिए $p^2 + 1 \neq 0$ है,हम $(p^2 + 1)$ से विभाजित कर सकते हैं।
$p = -1$।
अतः,$p$ का केवल एक मान संभव है।