Foot of perpendicular, Image of a point and Reflexive properties Questions in Hindi

(A) रेखाखंड $AB$ का मध्यबिंदु $M$ $(\frac{1+5}{2}, \frac{1+7}{2}) = (3, 4)$ है।
रेखाखंड $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{7-1}{5-1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ है।
लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{3/2} = -\frac{2}{3}$ है।
बिंदु $(3, 4)$ से गुजरने वाली और $-\frac{2}{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 4 = -\frac{2}{3}(x - 3)$ है।
$3$ से गुणा करने पर,$3y - 12 = -2x + 6$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2x + 3y = 18$ मिलता है।

(C) दिए गए बिंदु $A(-1, 5)$,$B(0, 0)$,और $C(2, 2)$ हैं।
$D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $D = (\frac{0+2}{2}, \frac{0+2}{2}) = (1, 1)$।
रेखा $AD$ की ढाल $m_{AD} = \frac{1-5}{1-(-1)} = \frac{-4}{2} = -2$ है।
रेखा $AD$ का समीकरण $y - 5 = -2(x + 1)$ है,जो सरल होकर $2x + y - 3 = 0$ बनता है।
$AD$ पर लंब रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{m_{AD}} = \frac{1}{2}$ होगी।
चूंकि यह रेखा $B(0, 0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y - 0 = \frac{1}{2}(x - 0)$ है,जो $x - 2y = 0$ के बराबर है।

(A) $(a, b)$ और $(a', b')$ को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल $m_1 = \frac{b' - b}{a' - a}$ है।
लंब समद्विभाजक की ढाल $m = \frac{a' - a}{b - b'}$ है।
मध्य बिंदु $\left( \frac{a + a'}{2}, \frac{b + b'}{2} \right)$ है।
रेखा का समीकरण $y - \frac{b + b'}{2} = \frac{a' - a}{b - b'} \left( x - \frac{a + a'}{2} \right)$ है।
सरल करने पर,$2(a - a')x + 2(b - b')y = a^2 + b^2 - a'^2 - b'^2$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखा $x \sec \theta + y \csc \theta = a$ है,जिसे $x/\cos \theta + y/\sin \theta = a$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका ढाल $m_1 = -(\sin \theta / \cos \theta) = -\tan \theta$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसका ढाल $m_2 = -1/m_1 = \cot \theta = \cos \theta / \sin \theta$ होगा।
बिंदु $(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ से गुजरने वाली और $m_2$ ढाल वाली रेखा का समीकरण है:
$y - a \sin^3 \theta = (\cos \theta / \sin \theta)(x - a \cos^3 \theta)$
$y \sin \theta - a \sin^4 \theta = x \cos \theta - a \cos^4 \theta$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos^4 \theta - a \sin^4 \theta$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos 2\theta$.

(C) बिंदुओं $(7, 4)$ और $(-1, -2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु $M = (\frac{7-1}{2}, \frac{4-2}{2}) = (3, 1)$ है।
रेखाखंड की ढाल $m = \frac{-2-4}{-1-7} = \frac{-6}{-8} = \frac{3}{4}$ है।
लंब समद्विभाजक की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = -\frac{4}{3}$ होगी।
बिंदु $(3, 1)$ से गुजरने वाली और $-\frac{4}{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - 1 = -\frac{4}{3}(x - 3)$
$3(y - 1) = -4(x - 3)$
$3y - 3 = -4x + 12$
$4x + 3y = 15$.

(A) चरण $1$: $5x - 6y - 1 = 0$ और $3x + 2y + 5 = 0$ रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
दूसरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर,$9x + 6y + 15 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे पहले समीकरण में जोड़ने पर: $(5x - 6y - 1) + (9x + 6y + 15) = 0$ $\Rightarrow 14x + 14 = 0$ $\Rightarrow x = -1$.
$x = -1$ को $3x + 2y + 5 = 0$ में रखने पर: $3(-1) + 2y + 5 = 0$ $\Rightarrow -3 + 2y + 5 = 0$ $\Rightarrow 2y = -2$ $\Rightarrow y = -1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -1)$ है।
चरण $2$: $3x - 5y + 11 = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात करें।
$ax + by + c = 0$ के लंबवत रेखा का सामान्य रूप $bx - ay + k = 0$ होता है।
अतः,रेखा $5x + 3y + k = 0$ है।
चरण $3$: चूंकि रेखा $(-1, -1)$ से गुजरती है,इन निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$5(-1) + 3(-1) + k = 0$ $\Rightarrow -5 - 3 + k = 0$ $\Rightarrow k = 8$.
अतः,अभीष्ट समीकरण $5x + 3y + 8 = 0$ है।

(A) $(-4, 6)$ और $(8, 8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु $(\frac{-4+8}{2}, \frac{6+8}{2}) = (2, 7)$ है।
रेखाखंड की ढाल $m = \frac{8-6}{8-(-4)} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ है।
लंब समद्विभाजक की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = -6$ होगी।
बिंदु $(2, 7)$ से गुजरने वाली और $-6$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 7 = -6(x - 2)$ है।
$y - 7 = -6x + 12$.
$6x + y - 19 = 0$.

(A) $ax + by + c = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $bx - ay + \lambda = 0$ के रूप में होता है।
दी गई रेखा $3x - 5y + 7 = 0$ है,इसलिए लंबवत रेखा $5x + 3y + \lambda = 0$ $(i)$ होगी।
चूंकि रेखा $(1, -2)$ से गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$5(1) + 3(-2) + \lambda = 0$
$5 - 6 + \lambda = 0$
$-1 + \lambda = 0$
$\lambda = 1$
$\lambda = 1$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें अभीष्ट समीकरण $5x + 3y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना वर्ग के शीर्ष $A(-1, 1)$ और $B(5, 3)$ हैं।
चूंकि $A$ और $B$ विपरीत शीर्ष हैं,$AB$ का मध्यबिंदु $M = (\frac{-1+5}{2}, \frac{1+3}{2}) = (2, 2)$ है।
विकर्ण $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{3-1}{5-(-1)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
वर्ग का दूसरा विकर्ण $AB$ का लंब समद्विभाजक होता है।
अतः,दूसरे विकर्ण की ढाल $m = -\frac{1}{m_{AB}} = -3$ होगी।
$M(2, 2)$ से गुजरने वाली और $-3$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - 2 = -3(x - 2)$
$y - 2 = -3x + 6$
$3x + y - 8 = 0$.

(A) $ax + by + c = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $bx - ay + \lambda = 0$ के रूप का होता है.....$(i)$
चूंकि रेखा $(a, b)$ से गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$b(a) - a(b) + \lambda = 0$
$ab - ab + \lambda = 0$
$\lambda = 0$
$\lambda = 0$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें अभीष्ट समीकरण प्राप्त होता है:
$bx - ay = 0$

(B) दी गई रेखा $3x - y + 4 = 0$ है।
माना बिंदु $P(2, 3)$ से लंब का पाद $Q(h, k)$ है।
रेखा की ढाल $m_1 = 3$ है।
अतः लंब रेखा $PQ$ की ढाल $m_2 = -\frac{1}{3}$ होगी।
बिंदु $(2, 3)$ से गुजरने वाली लंब रेखा का समीकरण $y - 3 = -\frac{1}{3}(x - 2)$ है,जिसे सरल करने पर $x + 3y = 11$ प्राप्त होता है।
समीकरणों $3x - y = -4$ और $x + 3y = 11$ को हल करने पर:
पहले समीकरण को $3$ से गुणा करने पर $9x - 3y = -12$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर $10x = -1$,जिससे $x = -\frac{1}{10}$ प्राप्त होता है।
$x$ का मान $x + 3y = 11$ में रखने पर,$y = \frac{37}{10}$ प्राप्त होता है।
अतः लंब के पाद के निर्देशांक $\left( - \frac{1}{10}, \frac{37}{10} \right)$ हैं।

(B) रेखा $(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ और $(a \cos \beta, a \sin \beta)$ से होकर गुजरती है।
इसका समीकरण $x \cos \frac{\alpha + \beta}{2} + y \sin \frac{\alpha + \beta}{2} = a \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $x \cos \theta + y \sin \theta = p$ पर लंब के पाद के निर्देशांक $(p \cos \theta, p \sin \theta)$ होते हैं।
यहाँ,$p = a \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ और $\theta = \frac{\alpha + \beta}{2}$ है।
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left( a \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}, a \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$ हैं।
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ और $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{a}{2} [\cos \alpha + \cos \beta]$ और $y = \frac{a}{2} [\sin \alpha + \sin \beta]$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना लंब के पाद के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
चूंकि $(h, k)$ रेखा $ax + by + c = 0$ पर स्थित है,इसलिए $ah + bk + c = 0$ होगा।
रेखा $ax + by + c = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{a}{b}$ है।
$(x_1, y_1)$ और $(h, k)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_2 = \frac{k - y_1}{h - x_1}$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$,जिसका अर्थ है $\frac{k - y_1}{h - x_1} = \frac{b}{a}$।
गुणधर्म $\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ का उपयोग करके,हम $h$ और $k$ ज्ञात करते हैं:
$h = \frac{b^2x_1 - aby_1 - ac}{a^2 + b^2}$ और $k = \frac{a^2y_1 - abx_1 - bc}{a^2 + b^2}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना $(2, 4)$ से रेखा $x + y - 1 = 0$ पर लंबपाद के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
यहाँ $a = 1, b = 1, c = -1$ है।
लंबपाद का सूत्र: $\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{h - 2}{1} = \frac{k - 4}{1} = -\frac{1(2) + 1(4) - 1}{1^2 + 1^2} = -\frac{5}{2}$।
अतः,$h = 2 - 2.5 = -0.5 = -\frac{1}{2}$ और $k = 4 - 2.5 = 1.5 = \frac{3}{2}$।
इस प्रकार,लंबपाद $\left( -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right)$ है।

(B) माना दिया गया बिंदु $P(2, 3)$ है और रेखा $L: x + y - 11 = 0$ है।
रेखा $L$ की ढाल $m_1 = -1$ है।
$L$ के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ होगी।
बिंदु $(2, 3)$ से गुजरने वाली और $1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 3 = 1(x - 2)$ है,जो सरल होकर $x - y + 1 = 0$ हो जाता है।
लंब का पाद रेखाओं $x + y = 11$ और $x - y = -1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x + y) + (x - y) = 11 - 1 \implies 2x = 10 \implies x = 5$।
$x = 5$ को $x + y = 11$ में रखने पर: $5 + y = 11 \implies y = 6$।
अतः,लंब का पाद $(5, 6)$ है।

(B) माना $O$ मूल बिंदु $(0, 0)$ है। मूल बिंदु से रेखा $3x + 4y + 15 = 0$ पर लंबवत दूरी $OD$ का मान $OD = \frac{|3(0) + 4(0) + 15|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{15}{5} = 3 \text{ इकाई}$ है।
समकोण त्रिभुज $ODA$ में,$OA = 9$ और $OD = 3$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$AD = \sqrt{OA^2 - OD^2} = \sqrt{9^2 - 3^2} = \sqrt{81 - 9} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ इकाई}$।
चूंकि $OD$,$AB$ पर लंब है,इसलिए $D$,$AB$ का मध्य बिंदु है,अतः $AB = 2AD = 2(6\sqrt{2}) = 12\sqrt{2} \text{ इकाई}$।
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times OD = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{2} \times 3 = 18\sqrt{2} \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(C) माना शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं। समबाहु त्रिभुज होने के कारण,माध्यिका $AD$ भुजा $BC$ पर लंब है। केंद्रक $O(0, 0)$ माध्यिका $AD$ पर स्थित है। अतः,रेखा $OA$,$BC$ $(x + y - 2 = 0)$ पर लंब है।
$BC$ की ढाल $-1$ है,इसलिए $OA$ की ढाल $1$ होगी।
$\frac{k - 0}{h - 0} = 1 \Rightarrow k = h$ ... $(i)$
माना $D(\alpha, \beta)$ भुजा $BC$ का मध्य बिंदु है। चूंकि $O$ केंद्रक है,यह माध्यिका $AD$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। अतः,$O = \left(\frac{2\alpha + h}{3}, \frac{2\beta + k}{3}\right) = (0, 0)$.
इससे $2\alpha + h = 0 \Rightarrow \alpha = -h/2$ और $2\beta + k = 0 \Rightarrow \beta = -k/2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $D(\alpha, \beta)$ रेखा $x + y - 2 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $\alpha + \beta - 2 = 0$.
$\alpha$ और $\beta$ का मान रखने पर: $-h/2 - k/2 - 2 = 0 \Rightarrow h + k = -4$.
$(i)$ का उपयोग करने पर,$h + h = -4$ $\Rightarrow 2h = -4$ $\Rightarrow h = -2$.
अतः,$k = -2$। इस प्रकार,शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(-2, -2)$ हैं।

(A) माना मूलबिंदु $(0, 0)$ से रेखा $3x + 4y - 5 = 0$ पर लंब का पाद $(h, k)$ है।
दी गई रेखा $3x + 4y - 5 = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{3}{4}$ है।
मूलबिंदु $(0, 0)$ और $(h, k)$ से गुजरने वाली लंब रेखा की ढाल $m_2 = \frac{k}{h}$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए $\left( -\frac{3}{4} \right) \times \left( \frac{k}{h} \right) = -1$,जिसका अर्थ है $\frac{k}{h} = \frac{4}{3}$,या $k = \frac{4h}{3}$।
चूंकि बिंदु $(h, k)$ रेखा $3x + 4y - 5 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $3h + 4k = 5$ होगा।
$k = \frac{4h}{3}$ को समीकरण में रखने पर: $3h + 4\left( \frac{4h}{3} \right) = 5$।
$3h + \frac{16h}{3} = 5 \implies \frac{25h}{3} = 5 \implies 25h = 15 \implies h = \frac{3}{5}$।
अतः,$k = \frac{4}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$।
इस प्रकार,लंब का पाद $\left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right)$ है।

(A) माना बिंदु $A(3, 8)$ का प्रतिबिंब $A'(x_1, y_1)$ है।
बिंदु $A$ से गुजरने वाली और $x + 3y - 7 = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $3x - y - 1 = 0$ है।
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x + 3y = 7$ और $3x - y = 1$ को हल करते हैं,जो $(1, 2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(1, 2)$ रेखाखंड $AA'$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\frac{x_1 + 3}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = -1$
$\frac{y_1 + 8}{2} = 2 \Rightarrow y_1 = -4$
अतः,प्रतिबिंब $(-1, -4)$ है।

(A) माना $Q(a, b)$ बिंदु $P(4, -13)$ का रेखा $5x + y + 6 = 0$ में प्रतिबिंब है।
मध्य-बिंदु $R\left(\frac{a + 4}{2}, \frac{b - 13}{2}\right)$ रेखा $5x + y + 6 = 0$ पर स्थित है।
रेखा के समीकरण में $R$ के निर्देशांक रखने पर:
$5\left(\frac{a + 4}{2}\right) + \left(\frac{b - 13}{2}\right) + 6 = 0$
$5a + b + 19 = 0$ ......$(i)$
साथ ही,रेखाखंड $PQ$ रेखा $5x + y + 6 = 0$ के लंबवत है।
रेखा की ढाल $-5$ है,इसलिए $PQ$ की ढाल $\frac{1}{5}$ होगी।
$\frac{b + 13}{a - 4} = \frac{1}{5}$
$a - 5b - 69 = 0$ ......$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,हमें $a = -1$ और $b = -14$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिबिंब $(-1, -14)$ है।

(D) रेखा $y = x$ के सापेक्ष बिंदु $(x, y)$ का प्रतिबिंब $(y, x)$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए बिंदु $(4, -3)$ के लिए,हम रूपांतरण नियम $(y, x)$ में $x = 4$ और $y = -3$ प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,प्रतिबिंब $(-3, 4)$ है।

(B) मान लीजिए बिंदु $A(1, -1)$ और $B(2, 3)$ हैं।
रेखा $AB$ की दिशा में सदिश $\vec{AB} = (2-1)i + (3 - (-1))j = i + 4j$ है।
$\vec{AB} = i + 4j$ के लंबवत सदिश का रूप $\lambda(4i - j)$ होगा।
इकाई लंबवत सदिश $\pm \frac{4i - j}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{4i - j}{\sqrt{17}}$ है।
$(1, -1)$ से गुजरने वाली और $i + 4j$ दिशा वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{4}$ है,जिसे सरल करने पर $4x - y - 5 = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा $ax + by + c = 0$ का लंबवत सदिश $ai + bj$ होता है। यहाँ,लंबवत सदिश $4i - j$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ की ओर दिशा की जाँच करने के लिए,हम $4x - y - 5$ में $(0, 0)$ रखते हैं। चूँकि $4(0) - 0 - 5 = -5 < 0$ है,इसलिए मूल बिंदु की ओर इंगित करने वाला सदिश लंबवत सदिश $4i - j$ का ऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,आवश्यक इकाई लंबवत सदिश $-\frac{4i - j}{\sqrt{17}} = \frac{-4i + j}{\sqrt{17}}$ है।

(A) रेखा $L$ को $2x - y = 0$ द्वारा दिया गया है।
मान लीजिए बिंदु $P(0, 1)$ है। रेखा $ax + by + c = 0$ में बिंदु $(x_0, y_0)$ के प्रतिबिंब $(x', y')$ का सूत्र $\frac{x' - x_0}{a} = \frac{y' - y_0}{b} = -2 \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}$ है।
$a = 2, b = -1, c = 0$ और $(x_0, y_0) = (0, 1)$ रखने पर:
$\frac{x' - 0}{2} = \frac{y' - 1}{-1} = -2 \frac{2(0) - 1(1) + 0}{2^2 + (-1)^2} = -2 \frac{-1}{5} = \frac{2}{5}$.
अतः,$x' = 2 \times \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$ और $y' - 1 = -1 \times \frac{2}{5} = -\frac{2}{5} \implies y' = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
इस प्रकार,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ प्रतिबिंब की परिभाषा का वर्णन करता है,जिसके अनुसार रेखा $L$ बिंदु और उसके प्रतिबिंब को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक है। इसलिए,बिंदु रेखा से समान दूरी पर हैं और विपरीत पक्षों पर स्थित हैं। अतः,कथन-$2$ सत्य है और कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(A) $y$-अक्ष के सापेक्ष बिंदु $(h, k)$ का प्रतिबिंब $(-h, k)$ होता है।
इस नियम को बिंदु $(1, -2)$ पर लागू करने पर:
$h = 1, k = -2$.
अतः,परावर्तित बिंदु $(-1, -2)$ होगा।

(A) माना रेखा $2x - 3y - 3 = 0$ के लंबवत रेखा $3x + 2y + K = 0$ है।
चूंकि यह $P(-5, 13)$ से गुजरती है,इसलिए $3(-5) + 2(13) + K = 0$,जिससे $K = -11$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा $PQ$ का समीकरण $3x + 2y - 11 = 0$ है।
रेखा $2x - 3y - 3 = 0$ और $3x + 2y - 11 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $R$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है।
समीकरणों को हल करने पर:
$2x - 3y = 3$ ($2$ से गुणा करने पर): $4x - 6y = 6$
$3x + 2y = 11$ ($3$ से गुणा करने पर): $9x + 6y = 33$
जोड़ने पर $13x = 39$,अतः $x = 3$ प्राप्त होता है।
$x = 3$ को $3(3) + 2y = 11$ में रखने पर $2y = 2$,अतः $y = 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$R = (3, 1)$ है।
माना $Q = (\alpha, \beta)$ है। चूँकि $R$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है:
$\frac{\alpha - 5}{2} = 3$ $\Rightarrow \alpha - 5 = 6$ $\Rightarrow \alpha = 11$
$\frac{\beta + 13}{2} = 1$ $\Rightarrow \beta + 13 = 2$ $\Rightarrow \beta = -11$
अतः,$Q$ के निर्देशांक $(11, -11)$ हैं।

(D) माना बिंदु $P(-1, 3)$ है और रेखा $L: x - y + 1 = 0$ है। माना $P$ का प्रतिबिंब $P'(x', y')$ है।
रेखा $ax + by + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के प्रतिबिंब का सूत्र:
$\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$
यहाँ,$a = 1, b = -1, c = 1, x_1 = -1, y_1 = 3$ है।
$\frac{x' - (-1)}{1} = \frac{y' - 3}{-1} = -2 \frac{1(-1) + (-1)(3) + 1}{1^2 + (-1)^2}$
$\frac{x' + 1}{1} = \frac{y' - 3}{-1} = -2 \frac{-1 - 3 + 1}{1 + 1}$
$\frac{x' + 1}{1} = \frac{y' - 3}{-1} = -2 \frac{-3}{2} = 3$
अब,$x' + 1 = 3 \implies x' = 2$ है।
और $\frac{y' - 3}{-1} = 3 \implies y' - 3 = -3 \implies y' = 0$ है।
अतः,प्रतिबिंब बिंदु $(2, 0)$ है।

(C) रेखा $y = x$ के सापेक्ष किसी बिंदु $(h, k)$ के प्रतिबिंब को खोजने का नियम निर्देशांकों को आपस में बदलना है,जिससे बिंदु $(k, h)$ प्राप्त होता है।
दिए गए बिंदु $(4, -5)$ के लिए,$h = 4$ और $k = -5$ है।
नियम लागू करने पर,प्रतिबिंब बिंदु $(-5, 4)$ प्राप्त होता है।

(A) आपतित किरण $x = 1$ रेखा के अनुदिश है,जो एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। परावर्तक रेखा $x + y = 1$ है,जिसकी ढाल $-1$ है।
आपतित किरण ($x = 1$,ढाल $m_1 = \infty$) और परावर्तक रेखा ($x + y = 1$,ढाल $m_2 = -1$) के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण और परावर्तन कोण बराबर होते हैं। इसलिए परावर्तित किरण परावर्तक रेखा के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाएगी।
चूंकि आपतित किरण ऊर्ध्वाधर है,इसलिए परावर्तित किरण क्षैतिज होगी। एक क्षैतिज रेखा की ढाल $m = 0$ होती है।
$x = 1$ और $x + y = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ है।
$(1, 0)$ से गुजरने वाली और $m = 0$ ढाल वाली परावर्तित किरण का समीकरण $y - 0 = 0(x - 1)$ है,जो $y = 0$ के रूप में सरल होता है।

(C) दी गई रेखा $ax + by + c = 0$ है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{a}{b}$ है।
इस रेखा के लंबवत किसी भी रेखा की ढाल $m_2$ ऐसी होगी कि $m_1 \times m_2 = -1$ हो।
अतः,$m_2 = \frac{b}{a}$।
बिंदु $(a, b)$ से गुजरने वाली और $m_2 = \frac{b}{a}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - b = \frac{b}{a}(x - a)$ है।
$a$ से गुणा करने पर,$a(y - b) = b(x - a)$ प्राप्त होता है।
$ay - ab = bx - ab$।
$bx - ay = 0$।

(A) माना लंब का पाद $P(h, k)$ है।
दी गई रेखा $2x + 3y - 4 = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{2}{3}$ है।
बिंदु $(7, 8)$ और $(h, k)$ से गुजरने वाली लंब रेखा की ढाल $m_2 = \frac{k - 8}{h - 7}$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए $(-\frac{2}{3}) \times (\frac{k - 8}{h - 7}) = -1$,जो $2(k - 8) = 3(h - 7)$ या $3h - 2k = 5$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $P(h, k)$ रेखा $2x + 3y - 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $2h + 3k = 4$ है।
समीकरणों को हल करने पर:
$3h - 2k = 5$ ($3$ से गुणा करने पर): $9h - 6k = 15$
$2h + 3k = 4$ ($2$ से गुणा करने पर): $4h + 6k = 8$
जोड़ने पर $13h = 23$,इसलिए $h = \frac{23}{13}$।
$h$ का मान $2h + 3k = 4$ में रखने पर: $2(\frac{23}{13}) + 3k = 4 \implies \frac{46}{13} + 3k = 4 \implies 3k = \frac{6}{13} \implies k = \frac{2}{13}$।
अतः लंब का पाद $\left( \frac{23}{13}, \frac{2}{13} \right)$ है।

(A) माना मूल बिंदु $O(0, 0)$ है और लंब का पाद $P(3, -4)$ है।
रेखाखंड $OP$ की ढाल $m_{OP} = \frac{-4 - 0}{3 - 0} = -\frac{4}{3}$ है।
चूंकि रेखा $OP$ के लंबवत है,इसलिए अभीष्ट रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{m_{OP}} = \frac{3}{4}$ होगी।
अभीष्ट रेखा बिंदु $P(3, -4)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $m = \frac{3}{4}$ है।
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर:
$y - (-4) = \frac{3}{4}(x - 3)$
$y + 4 = \frac{3}{4}(x - 3)$
$4(y + 4) = 3(x - 3)$
$4y + 16 = 3x - 9$
$3x - 4y = 25$.

(B) दी गई रेखा $x + \sqrt{3}y = \sqrt{3}$ है,जिसे $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए यह $x$-अक्ष के साथ $-30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
किरण $x$-अक्ष पर उस बिंदु पर टकराती है जहाँ $y = 0$ है,जो कि $x = \sqrt{3}$ है। अतः आपतन बिंदु $(\sqrt{3}, 0)$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,परावर्तित किरण $x$-अक्ष के साथ $+30^{\circ}$ का कोण बनाती है। अतः इसकी ढाल $m_2 = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
बिंदु $(\sqrt{3}, 0)$ से गुजरने वाली और $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - 0 = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - \sqrt{3})$
$\sqrt{3}y = x - \sqrt{3}$.

(D) माना लंब के पाद के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
दी गई रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ और बिंदु $(x_1, y_1)$ के लिए,लंब के पाद $(h, k)$ का सूत्र है:
$\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$
यहाँ,$a = 3, b = -4, c = -5$ और $(x_1, y_1) = (0, 5)$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{h - 0}{3} = \frac{k - 5}{-4} = -\frac{3(0) - 4(5) - 5}{3^2 + (-4)^2}$
$\frac{h}{3} = \frac{k - 5}{-4} = -\frac{0 - 20 - 5}{9 + 16}$
$\frac{h}{3} = \frac{k - 5}{-4} = -\frac{-25}{25}$
$\frac{h}{3} = \frac{k - 5}{-4} = 1$
$\frac{h}{3} = 1$ से,$h = 3$ प्राप्त होता है।
$\frac{k - 5}{-4} = 1$ से,$k - 5 = -4$,अतः $k = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(3, 1)$ हैं।

(D) $PQ$ की ढाल $m_{PQ} = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$ है।
लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{\perp} = k-1$ है।
$PQ$ का मध्यबिंदु $M = \left(\frac{k+1}{2}, 3.5\right)$ है।
लंब समद्विभाजक का समीकरण: $y - 3.5 = (k-1)(x - \frac{k+1}{2})$ है।
$y$-अंतःखंड के लिए $x=0$ रखने पर,$y = -4$ प्राप्त होता है।
$-4 - 3.5 = (k-1)(-\frac{k+1}{2})$.
$-7.5 = -\frac{k^2-1}{2} \implies 15 = k^2-1 \implies k^2 = 16$.
अतः $k = \pm 4$,जिसमें से विकल्प $D$ सही है।

(D) बिंदु $P$,$x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
बिंदु $Q$,$x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $(\alpha - \theta)$ कोण बनाता है।
$P(\cos \theta, \sin \theta)$ का मूल बिंदु से गुजरने वाली और $\alpha/2$ कोण बनाने वाली रेखा (जिसकी ढाल $\tan(\alpha/2)$ है) में परावर्तन $(x', y') = (\cos(2(\alpha/2) - \theta), \sin(2(\alpha/2) - \theta))$ होता है।
अर्थात $(x', y') = (\cos(\alpha - \theta), \sin(\alpha - \theta))$।
अतः,$Q$,$P$ का $\tan(\alpha/2)$ ढाल वाली रेखा में परावर्तन है।

(C) $PQ$ की ढाल $m_{PQ} = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$ है।
लंब समद्विभाजक की ढाल $k-1$ है।
$PQ$ का मध्य बिंदु $M = \left(\frac{k+1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ है।
लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - \frac{7}{2} = (k-1)(x - \frac{k+1}{2})$ है।
$y-$अंतःखंड के लिए $x = 0$ रखने पर:
$y = \frac{7}{2} - (k-1)(\frac{k+1}{2}) = \frac{7 - (k^2-1)}{2} = \frac{8-k^2}{2}$।
$y-$अंतःखंड $-4$ दिया गया है:
$\frac{8-k^2}{2} = -4$ $\Rightarrow 8-k^2 = -8$ $\Rightarrow k^2 = 16$ $\Rightarrow k = \pm 4$।
अतः,$k$ का एक संभावित मान $-4$ है।

(B) आपतित किरण का समीकरण $x + \sqrt{3}y = \sqrt{3}$ है।
$x$-अक्ष पर आपतन बिंदु $A$ ज्ञात करें ($y=0$ रखने पर): $x + \sqrt{3}(0) = \sqrt{3} \Rightarrow x = \sqrt{3}$. अतः,$A = (\sqrt{3}, 0)$.
आपतित किरण पर एक बिंदु $B$ लें,जैसे $x=0$ $\Rightarrow \sqrt{3}y = \sqrt{3}$ $\Rightarrow y=1$. अतः,$B = (0, 1)$.
परावर्तित किरण $A(\sqrt{3}, 0)$ और $x$-अक्ष के सापेक्ष $B(0, 1)$ के प्रतिबिंब $B'(0, -1)$ से होकर गुजरती है।
परावर्तित किरण $AB'$ की ढाल $m = \frac{-1 - 0}{0 - \sqrt{3}} = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
परावर्तित किरण का समीकरण $y - 0 = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - \sqrt{3})$ है।
$\sqrt{3}y = x - \sqrt{3}$.

(A) मान लीजिए कि रेखा $2x + y - 6 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $A(3, 10)$ का प्रतिबिंब $A'(x', y')$ है।
सूत्र $\frac{x' - 3}{2} = \frac{y' - 10}{1} = -2 \frac{2(3) + 10 - 6}{2^2 + 1^2} = -2 \frac{10}{5} = -4$ का उपयोग करने पर।
अतः,$x' - 3 = -8 \Rightarrow x' = -5$ और $y' - 10 = -4 \Rightarrow y' = 6$।
इस प्रकार,$A' = (-5, 6)$।
परावर्तित किरण बिंदु $B(5, 6)$ और $A'(-5, 6)$ से गुजरती है। चूँकि दोनों बिंदुओं का $y$-निर्देशांक $6$ है,परावर्तित किरण का समीकरण $y = 6$ है।
आपतित किरण बिंदु $A(3, 10)$ और आपतन बिंदु $P$ से गुजरती है। बिंदु $P$,रेखा $A'B$ और दर्पण रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
रेखा $A'B$ का समीकरण $y = 6$ है। $y = 6$ और $2x + y - 6 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $2x + 6 - 6 = 0 \Rightarrow x = 0$ है। अतः $P = (0, 6)$।
आपतित किरण बिंदु $A(3, 10)$ और $P(0, 6)$ से गुजरती है।
ढाल $m = \frac{6 - 10}{0 - 3} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$ है।
समीकरण $y - 6 = \frac{4}{3}(x - 0)$ $\Rightarrow 3y - 18 = 4x$ $\Rightarrow 4x - 3y + 18 = 0$ है।

(D) माना बिंदु $P = (\lambda^2 + 1, \lambda)$ और रेखा $3x + y - 6k = 0$ के सापेक्ष इसका प्रतिबिंब $P' = (\lambda, \lambda - 1)$ है।
$1$. $PP'$ का मध्यबिंदु रेखा $3x + y - 6k = 0$ पर स्थित होना चाहिए।
मध्यबिंदु $M = (\frac{\lambda^2 + \lambda + 1}{2}, \frac{2\lambda - 1}{2})$ है।
रेखा के समीकरण में $M$ रखने पर: $3(\frac{\lambda^2 + \lambda + 1}{2}) + (\frac{2\lambda - 1}{2}) = 6k \implies 3\lambda^2 + 5\lambda + 2 = 12k$।
$2$. रेखा $PP'$ रेखा $3x + y - 6k = 0$ के लंबवत होनी चाहिए।
$PP'$ की ढाल $m_{PP'} = \frac{1}{\lambda^2 - \lambda + 1}$ है।
रेखा की ढाल $m_L = -3$ है।
$m_{PP'} \times m_L = -1 \implies \lambda^2 - \lambda - 2 = 0 \implies \lambda = 2$ या $\lambda = -1$।
$3$. प्रत्येक $\lambda$ के लिए $k$ का मान:
$\lambda = 2$ के लिए $12k = 24 \implies k = 2$।
$\lambda = -1$ के लिए $12k = 0 \implies k = 0$।
$k$ के मानों का योग = $2 + 0 = 2$।

(A) दिया गया समीकरण $(\lambda + 2)x + (\lambda - 1)y - (8\lambda + 1) = 0$ है।
इसे $(2x - y - 1) + \lambda(x + y - 8) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह रेखाओं का परिवार बिंदु $(3, 5)$ से होकर गुजरता है।
रेखा $y = x$ में बिंदु $(3, 5)$ का प्रतिबिंब $(5, 3)$ है।
अतः,रेखाओं का नया परिवार $(\mu + 1)x - (2\mu + 1)y + \mu - 2 = 0$ होगा।

(B) माना $B$ का कोण समद्विभाजक $L: y = x$ है।
शीर्ष $A(3, 5)$ का रेखा $y = x$ के सापेक्ष प्रतिबिंब रेखा $BC$ पर स्थित होगा।
रेखा $y = x$ के सापेक्ष बिंदु $(x_0, y_0)$ का प्रतिबिंब $(x', y')$ ज्ञात करने के लिए,हम निर्देशांकों को आपस में बदल देते हैं: $(x', y') = (y_0, x_0)$।
अतः,$A(3, 5)$ का प्रतिबिंब $(5, 3)$ है।
इसलिए,बिंदु $(5, 3)$ रेखा $BC$ पर स्थित होना चाहिए।

(D) बिंदुओं के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P(\alpha, \beta)$,$Q(\beta, \alpha)$,$R(-\beta, \alpha)$,$S(-\beta, -\alpha)$,और $T(\beta, -\alpha)$।
पंचभुज $PQRST$ को $(-\beta, \alpha), (\beta, \alpha), (\beta, -\alpha), (-\beta, -\alpha)$ शीर्षों वाले एक आयत और $(\beta, \alpha), (\alpha, \beta), (\beta, -\alpha)$ शीर्षों वाले एक त्रिभुज में विभाजित किया जा सकता है।
आयत का क्षेत्रफल $(2\beta) \times (2\alpha) = 4\alpha\beta$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2\alpha) \times (\alpha - \beta) = \alpha(\alpha - \beta)$ है।
कुल क्षेत्रफल $= 4\alpha\beta + \alpha^2 - \alpha\beta = \alpha^2 + 3\alpha\beta = \alpha(\alpha + 3\beta) = 187$।
चूंकि $187 = 11 \times 17$,इसलिए $\alpha = 11$ और $\alpha + 3\beta = 17$ है।
$\alpha = 11$ रखने पर,$11 + 3\beta = 17$,जिससे $3\beta = 6$,अर्थात $\beta = 2$ प्राप्त होता है।
हमें $\alpha + \beta^2 = 11 + 2^2 = 11 + 4 = 15$ का मान ज्ञात करना है।

(A) मान लीजिए $P(1, 2)$ वह बिंदु है जहाँ से किरण निकलती है और $Q(5, 3)$ वह बिंदु है जिससे परावर्तित किरण गुजरती है।
चूंकि किरण $x$-अक्ष पर बिंदु $A$ पर परावर्तित होती है,इसलिए आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर है।
मान लीजिए $R$,बिंदु $P(1, 2)$ का $x$-अक्ष पर प्रतिबिंब है। $R$ के निर्देशांक $(1, -2)$ हैं।
परावर्तित किरण $A$ और $Q$ से होकर गुजरती है। इसलिए,बिंदु $R, A$ और $Q$ संरेख हैं।
$R(1, -2)$ और $Q(5, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$y - (-2) = \frac{3 - (-2)}{5 - 1}(x - 1)$
$y + 2 = \frac{5}{4}(x - 1)$
$4y + 8 = 5x - 5$
$5x - 4y - 13 = 0$
बिंदु $A$,$x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ है। समीकरण में $y = 0$ रखने पर:
$5x - 4(0) - 13 = 0$
$5x = 13$
$x = \frac{13}{5}$
अतः,बिंदु $A$ के निर्देशांक $\left( \frac{13}{5}, 0 \right)$ हैं।

(C) माना बिंदु $P = (a, a - 1)$ और रेखा $3x + y - 6a = 0$ के सापेक्ष इसका प्रतिबिंब $Q = (a^2 + 1, a)$ है।
$1$. $PQ$ का मध्यबिंदु $L$,रेखा $3x + y = 6a$ पर स्थित होना चाहिए।
मध्यबिंदु $L = \left( \frac{a + a^2 + 1}{2}, \frac{a - 1 + a}{2} \right) = \left( \frac{a^2 + a + 1}{2}, \frac{2a - 1}{2} \right)$.
रेखा के समीकरण में $L$ रखने पर: $3\left( \frac{a^2 + a + 1}{2} \right) + \left( \frac{2a - 1}{2} \right) = 6a$.
$3a^2 + 3a + 3 + 2a - 1 = 12a \Rightarrow 3a^2 - 7a + 2 = 0$.
$(3a - 1)(a - 2) = 0 \Rightarrow a = 2$ या $a = 1/3$.
$2$. रेखा $PQ$,दर्पण रेखा $3x + y = 6a$ के लंबवत होनी चाहिए।
$PQ$ की ढाल = $\frac{a - (a - 1)}{a^2 + 1 - a} = \frac{1}{a^2 - a + 1}$.
दर्पण रेखा की ढाल $-3$ है।
चूंकि $PQ \perp \text{दर्पण}$,ढालों का गुणनफल $-1$ होगा: $\left( \frac{1}{a^2 - a + 1} \right) \times (-3) = -1$.
$a^2 - a + 1 = 3 \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0$.
$(a - 2)(a + 1) = 0 \Rightarrow a = 2$ या $a = -1$.
दोनों शर्तों की तुलना करने पर,उभयनिष्ठ मान $a = 2$ है।

(C) रेखा $y = x$ के सापेक्ष बिंदु $(x, y)$ का प्रतिबिंब $(y, x)$ होता है।
दिए गए बिंदु $A(1, 2)$ का रेखा $y = x$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $B(2, 1)$ है।
$x$-अक्ष $(y = 0)$ के सापेक्ष बिंदु $(x, y)$ का प्रतिबिंब $(x, -y)$ होता है।
अतः,$B(2, 1)$ का $y = 0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $(2, -1)$ है।
इसकी तुलना $(\alpha, \beta)$ से करने पर,हमें $\alpha = 2$ और $\beta = -1$ प्राप्त होता है।

(A) $1$. रेखा $y = x$ में बिंदु $(x, y)$ का प्रतिबिंब $(y, x)$ होता है। अतः $A(1, 4)$ के लिए,$B = (4, 1)$ है।
$2$. रेखा $y = -x$ में बिंदु $(x, y)$ का प्रतिबिंब $(-y, -x)$ होता है। अतः $B(4, 1)$ के लिए,$C = (-1, -4)$ है।
$3$. $x$-अक्ष में बिंदु $(x, y)$ का प्रतिबिंब $(x, -y)$ होता है। अतः $C(-1, -4)$ के लिए,$D = (-1, 4)$ है।
$4$. निर्देशांक $A(1, 4)$,$B(4, 1)$,और $D(-1, 4)$ हैं।
$5$. $\triangle ABD$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$6$. क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |1(1 - 4) + 4(4 - 4) + (-1)(4 - 1)| = \frac{1}{2} |-3 - 3| = 3 \, sq. \, units$.

(B) माना बिंदु $P = (\lambda, 2\lambda)$ और रेखा $x - y + 2 = 0$ के सापेक्ष इसका प्रतिबिंब $Q = (\mu, 3\lambda)$ है।
$PQ$ का मध्य-बिंदु $F$ है $\left( \frac{\lambda + \mu}{2}, \frac{5\lambda}{2} \right)$।
चूंकि $F$ रेखा $x - y + 2 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{\lambda + \mu}{2} - \frac{5\lambda}{2} + 2 = 0$,जिससे $\mu - 4\lambda + 4 = 0$ $(1)$ प्राप्त होता है।
$PQ$ की ढाल $m_{PQ} = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = -1$ है,जिससे $\mu = 0$ प्राप्त होता है।
$(1)$ में $\mu = 0$ रखने पर,$\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = 1$ और $\mu = 0$ के लिए $\lambda + \mu = 1$ होता है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(A) रेखा $3x + y = \lambda$ के समीकरण को अंतःखंड रूप में $\frac{x}{\lambda/3} + \frac{y}{\lambda} = 1$ लिखा जा सकता है।
अतः,$A$ के निर्देशांक $(\frac{\lambda}{3}, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, \lambda)$ हैं।
मूलबिंदु $(0,0)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ पर लंब का पाद $P$ $(\frac{-ac}{a^2+b^2}, \frac{-bc}{a^2+b^2})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$3x + y - \lambda = 0$,इसलिए $a=3, b=1, c=-\lambda$.
$P = (\frac{-3(-\lambda)}{3^2+1^2}, \frac{-1(-\lambda)}{3^2+1^2}) = (\frac{3\lambda}{10}, \frac{\lambda}{10})$.
अब,दूरियों $BP$ और $PA$ की गणना करते हैं:
$BP^2 = (\frac{3\lambda}{10} - 0)^2 + (\frac{\lambda}{10} - \lambda)^2 = \frac{9\lambda^2}{100} + \frac{81\lambda^2}{100} = \frac{90\lambda^2}{100} = \frac{9\lambda^2}{10}$.
$PA^2 = (\frac{\lambda}{3} - \frac{3\lambda}{10})^2 + (0 - \frac{\lambda}{10})^2 = (\frac{10\lambda - 9\lambda}{30})^2 + \frac{\lambda^2}{100} = \frac{\lambda^2}{900} + \frac{9\lambda^2}{900} = \frac{10\lambda^2}{900} = \frac{\lambda^2}{90}$.
इसलिए,$\frac{BP^2}{PA^2} = \frac{9\lambda^2/10}{\lambda^2/90} = \frac{9}{10} \times 90 = 81$.
अतः,$\frac{BP}{PA} = \sqrt{81} = 9$.
इसलिए,अनुपात $BP : PA$ $9 : 1$ है।

(C) माना आपतित किरण की ढाल $m$ है। रेखा $7x - y + 1 = 0$ की ढाल $m_1 = 7$ है। परावर्तित किरण $y + 2x = 1$ की ढाल $m_2 = -2$ है।
चूंकि आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है,आपतित किरण और दर्पण रेखा के बीच का कोण,परावर्तित किरण और दर्पण रेखा के बीच के कोण के बराबर होगा।
दो रेखाओं के बीच के कोण के सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\left| \frac{m - 7}{1 + 7m} \right| = \left| \frac{7 - (-2)}{1 + 7(-2)} \right| = \left| \frac{9}{1 - 14} \right| = \frac{9}{13}$.
स्थिति $1$: $\frac{m - 7}{1 + 7m} = \frac{9}{13} \Rightarrow m = -2$. रेखा का समीकरण $2x + y - 1 = 0$ प्राप्त होता है (जो स्वयं परावर्तित किरण है)।
स्थिति $2$: $\frac{m - 7}{1 + 7m} = -\frac{9}{13}$ $\Rightarrow 76m = 82$ $\Rightarrow m = \frac{41}{38}$.
आपतित रेखा का समीकरण $y - 1 = \frac{41}{38}(x - 0) \Rightarrow 41x - 38y + 38 = 0$ प्राप्त होता है।