Distance between two lines, Perpendicular distance of the line from a point, Position of point w.r.t. line Questions in Hindi

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$x + y = 2$ $(i)$
$2x + 2y = 3$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ से,हम $2$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$2(x + y) = 3$
$x + y = \frac{3}{2} = 1.5$
अब,इसकी तुलना समीकरण $(i)$ से करने पर:
$x + y = 2$ और $x + y = 1.5$
चूंकि $2 \neq 1.5$,ये दोनों रेखाएं समानांतर हैं और कभी प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
अतः,समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।

(A) बिंदु $(1, 0)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 0 = m(x - 1)$ है,जिसे $mx - y - m = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
यहाँ,$A = m, B = -1, C = -m$ और $d = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{|-m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{m^2}{m^2 + 1} = \frac{3}{4}$.
$4m^2 = 3m^2 + 3 \implies m^2 = 3 \implies m = \pm \sqrt{3}$.
$m = \sqrt{3}$ के लिए,समीकरण $\sqrt{3}x - y - \sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।
$m = -\sqrt{3}$ के लिए,समीकरण $-\sqrt{3}x - y + \sqrt{3} = 0$ अर्थात $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना $(0, a)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - a = m(x - 0)$ है,जो $mx - y + a = 0$ के रूप में सरल होता है ... $(i)$।
बिंदु $(2a, 2a)$ से रेखा $(i)$ की लंबवत दूरी $a$ दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $a = \frac{|m(2a) - (2a) + a|}{\sqrt{m^2 + 1}}$।
$a = \frac{|2am - a|}{\sqrt{m^2 + 1}} \Rightarrow a\sqrt{m^2 + 1} = |a(2m - 1)|$।
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $\sqrt{m^2 + 1} = |2m - 1|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $m^2 + 1 = (2m - 1)^2 \Rightarrow m^2 + 1 = 4m^2 - 4m + 1$।
$3m^2 - 4m = 0 \Rightarrow m(3m - 4) = 0$।
अतः,$m = 0$ या $m = \frac{4}{3}$।
$m = 0$ के लिए,समीकरण $y - a = 0$ है।
$m = \frac{4}{3}$ के लिए,समीकरण $y - a = \frac{4}{3}x$ $\Rightarrow 3y - 3a = 4x$ $\Rightarrow 4x - 3y + 3a = 0$ है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $y - a = 0$ और $4x - 3y + 3a = 0$ हैं।

(C) सबसे पहले,रेखाओं $x - y + 1 = 0$ और $2x - 3y + 5 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। हल करने पर,हमें $x = 2$ और $y = 3$ प्राप्त होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 3)$ है।
$(2, 3)$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा का समीकरण $y - 3 = m(x - 2)$ है,जिसे $mx - y + (3 - 2m) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की बिंदु $(3, 2)$ से दूरी $\frac{7}{5}$ दी गई है। लंबवत दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{|m(3) - 2 + 3 - 2m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{7}{5}$
$\frac{|m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{7}{5}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25(m^2 + 2m + 1) = 49(m^2 + 1)$
$24m^2 - 50m + 24 = 0$
$(3m - 4)(4m - 3) = 0$
अतः,$m = \frac{4}{3}$ या $m = \frac{3}{4}$ है।
$m = \frac{4}{3}$ के लिए,रेखा $4x - 3y + 1 = 0$ प्राप्त होती है।
$m = \frac{3}{4}$ के लिए,रेखा $3x - 4y + 6 = 0$ प्राप्त होती है।

(A) रेखा $BC$ की प्रवणता $m = \frac{-3 - (-1)}{-1 - (-3)} = -1$ है।
$BC$ के समांतर रेखा का समीकरण $x + y + \lambda = 0$ के रूप में होगा।
मूल बिंदु $(0,0)$ से इस रेखा की दूरी $\frac{|\lambda|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$|\lambda| = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इस प्रकार,$\lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
रेखा के $OB$ और $OC$ को काटने के लिए,इसे मूल बिंदु और $BC$ के बीच स्थित होना चाहिए,इसलिए $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}}$ लेने पर,समीकरण $x + y + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$ प्राप्त होता है,जो $2x + 2y + \sqrt{2} = 0$ है।

(A) माना $x$-अक्ष पर बिंदु $P(h, 0)$ है।
रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जिसे $bx + ay - ab = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $P(h, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी $a$ दी गई है।
लंबवत दूरी के सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ का उपयोग करने पर:
$a = \frac{|bh + a(0) - ab|}{\sqrt{b^2 + a^2}}$
$a\sqrt{a^2 + b^2} = |bh - ab|$
$bh - ab = \pm a\sqrt{a^2 + b^2}$
$bh = ab \pm a\sqrt{a^2 + b^2}$
$h = \frac{a}{b}(b \pm \sqrt{a^2 + b^2})$
अतः,बिंदु $\left( \frac{a}{b}(b \pm \sqrt{a^2 + b^2}), 0 \right)$ हैं।

(B) दी गई रेखा $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} - 1 = 0$ है।
$ab$ से गुणा करने पर,$bx - ay - ab = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (b, a)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की लंबाई $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
मान रखने पर,$d = \frac{|b(b) - a(a) - ab|}{\sqrt{b^2 + (-a)^2}} = \frac{|b^2 - a^2 - ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$।
अतः,लंबाई $\left| \frac{b^2 - ab - a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ है।

(B) दी गई रेखाएँ $3x + 4y = 9$ और $6x + 8y = 15$ हैं।
पहले समीकरण को $2$ से गुणा करके दोनों समीकरणों को समान रूप में लिखने पर:
$6x + 8y = 18$ और $6x + 8y = 15$।
ये समांतर रेखाएँ $ax + by = c_1$ और $ax + by = c_2$ के रूप में हैं।
दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 6$,$b = 8$,$c_1 = 18$,और $c_2 = 15$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \frac{|18 - 15|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{3}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10}$।

(A) चरण $1$: रेखाओं $2x - 3y = -5$ और $3x + 4y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
पहले समीकरण को $4$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर:
$8x - 12y = -20$
$9x + 12y = 0$
जोड़ने पर,$17x = -20$,अतः $x = -\frac{20}{17}$.
$x$ का मान $3x + 4y = 0$ में रखने पर:
$3(-\frac{20}{17}) + 4y = 0 \implies 4y = \frac{60}{17} \implies y = \frac{15}{17}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-\frac{20}{17}, \frac{15}{17})$ है।
चरण $2$: बिंदु $(x_1, y_1) = (-\frac{20}{17}, \frac{15}{17})$ से रेखा $5x - 2y = 0$ की लंबवत दूरी ज्ञात करें।
सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ का उपयोग करने पर:
$d = \frac{|5(-\frac{20}{17}) - 2(\frac{15}{17})|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2}} = \frac{|-\frac{100}{17} - \frac{30}{17}|}{\sqrt{29}} = \frac{130}{17\sqrt{29}}$.

(A) माना बिंदु $(h, k)$ है। चूँकि यह रेखा $x + y = 4$ पर स्थित है,इसलिए $h + k = 4$ या $k = 4 - h$ $(i)$.
बिंदु $(h, k)$ से रेखा $4x + 3y - 10 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|4h + 3k - 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 1$ है।
अतः,$|4h + 3k - 10| = 5$,जिसका अर्थ है $4h + 3k - 10 = 5$ या $4h + 3k - 10 = -5$.
स्थिति $1$: $4h + 3k = 15$. $k = 4 - h$ प्रतिस्थापित करने पर,$4h + 3(4 - h) = 15 \Rightarrow h = 3$. तब $k = 1$. बिंदु $(3, 1)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $4h + 3k = 5$. $k = 4 - h$ प्रतिस्थापित करने पर,$4h + 3(4 - h) = 5 \Rightarrow h = -7$. तब $k = 11$. बिंदु $(-7, 11)$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(3, 1)$ और $(-7, 11)$ हैं।

(D) और $b$ अंतःखंड वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जिसे $\frac{1}{a}x + \frac{1}{b}y - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से इस रेखा पर लंब की लंबाई $p = \frac{|\frac{1}{a}(0) + \frac{1}{b}(0) - 1|}{\sqrt{(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2}}$ है।
यह $p = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$p^2 = \frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2}$।

(B) $(x', y')$ और $(x'', y'')$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:
$(y - y') = \frac{y'' - y'}{x'' - x'}(x - x')$
$x(y'' - y') - y(x'' - x') + (x'y'' - y'x'') = 0$
मूलबिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की लंबाई $\frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
यहाँ $A = (y'' - y')$,$B = -(x'' - x')$,और $C = (x'y'' - y'x'')$ है।
अतः,लंब की लंबाई $\frac{|x'y'' - y'x''|}{\sqrt{(x'' - x')^2 + (y'' - y')^2}}$ है।

(C) मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $x \sec \alpha + y \csc \alpha - k = 0$ की दूरी $p = \frac{|-k|}{\sqrt{\sec^2 \alpha + \csc^2 \alpha}} = |k \sin \alpha \cos \alpha|$ है।
अतः,$p^2 = k^2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $x \cos \alpha - y \sin \alpha - k \cos 2\alpha = 0$ की दूरी $p' = \frac{|-k \cos 2\alpha|}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}} = |k \cos 2\alpha|$ है।
अतः,$p'^2 = k^2 \cos^2 2\alpha$.
अब,$4p^2 + p'^2 = 4k^2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + k^2 \cos^2 2\alpha$.
$2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$ का उपयोग करने पर,$4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \sin^2 2\alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,$4p^2 + p'^2 = k^2 \sin^2 2\alpha + k^2 \cos^2 2\alpha = k^2(\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha) = k^2$.

(B) किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई का सूत्र है: $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$।
यहाँ बिंदु $(3, 1)$ और रेखा $4x + 3y + 20 = 0$ दी गई है,जहाँ $A = 4$,$B = 3$,$C = 20$,$x_1 = 3$,और $y_1 = 1$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \frac{|4(3) + 3(1) + 20|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$
$d = \frac{|12 + 3 + 20|}{\sqrt{16 + 9}}$
$d = \frac{|35|}{\sqrt{25}}$
$d = \frac{35}{5} = 7$।
अतः,लंब की लंबाई $7$ है।

(D) दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 3$,$b = 4$,$c_1 = -8$,और $c_2 = -3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{|-8 - (-3)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|-8 + 3|}{\sqrt{9 + 16}}$
$d = \frac{|-5|}{\sqrt{25}}$
$d = \frac{5}{5} = 1$.
अतः,रेखाओं के बीच की दूरी $1$ इकाई है।

(C) दी गई रेखाएँ $4x + 3y = 11$ और $8x + 6y = 15$ हैं।
सबसे पहले,हम दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करके $x$ और $y$ के गुणांकों को पहले समीकरण के समान बनाते हैं:
$4x + 3y = \frac{15}{2}$.
दो समांतर रेखाओं $ax + by = c_1$ और $ax + by = c_2$ के बीच की दूरी का सूत्र $D = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
यहाँ,$a = 4$,$b = 3$,$c_1 = 11$,और $c_2 = \frac{15}{2}$.
$D = \frac{|11 - \frac{15}{2}|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|\frac{22 - 15}{2}|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{\frac{7}{2}}{5} = \frac{7}{10}$.

(B) माना शीर्ष $A(2, -1)$ है और आधार $BC$ है,जिसका समीकरण $x + 2y - 1 = 0$ है।
शीर्ष $A$ से आधार $BC$ पर डाले गए लंब $AD$ की लंबाई,बिंदु $A$ से रेखा $x + 2y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$AD = \frac{|(1)(2) + (2)(-1) - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 2 - 1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
एक समबाहु त्रिभुज में,लंब $AD$ और भुजा की लंबाई $s$ के बीच संबंध $AD = s \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
अतः,$s \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$s = \frac{2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{15}}$.

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: 3x + 4y + 5 = 0$,$L_2: 3x + 4y - 5 = 0$ और विभाजक रेखा $L: 3x + 4y + 2 = 0$ हैं।
रेखा $L$ और $L_1$ के बीच की दूरी $d_1 = \left| \frac{2 - 5}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = \frac{|-3|}{5} = \frac{3}{5}$ है।
रेखा $L$ और $L_2$ के बीच की दूरी $d_2 = \left| \frac{2 - (-5)}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = \frac{|7|}{5} = \frac{7}{5}$ है।
अतः,रेखा $L$,$L_1$ और $L_2$ के बीच की दूरी को $d_1 : d_2 = \frac{3}{5} : \frac{7}{5} = 3:7$ के अनुपात में विभाजित करती है।

(C) मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1 = 0$ पर लंब की लंबाई $2p = \left| \frac{-1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}} \right|$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4p^2 = \frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4p^2}$।
$2$ से गुणा करने पर,$\frac{2}{a^2} + \frac{2}{b^2} = \frac{2}{4p^2} = \frac{1}{2p^2} = \frac{4}{8p^2}$।
इसे $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{2}{8p^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह दर्शाता है कि $\frac{1}{a^2}, \frac{1}{8p^2}, \frac{1}{b^2}$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$a^2, 8p^2, b^2$ $H.P.$ में हैं।

(A) रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 1$ है।
$12$ से गुणा करने पर,हमें $4x - 3y = 12$ प्राप्त होता है,जिसे $4x - 3y - 12 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ तक की लंबवत दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (0, 0)$,$A = 4$,$B = -3$,और $C = -12$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$d = \frac{|4(0) - 3(0) - 12|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{12}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5}$।
मिश्रित भिन्न में बदलने पर,$\frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$।

(B) दी गई रेखाएँ $3x - 2y - 1 = 0$ और $6x - 4y + 9 = 0$ हैं।
$x$ और $y$ के गुणांकों को समान करने के लिए,पहले समीकरण को $2$ से गुणा करें: $6x - 4y - 2 = 0$।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 6, B = -4, C_1 = -2, C_2 = 9$ है।
$d = \frac{|-2 - 9|}{\sqrt{6^2 + (-4)^2}} = \frac{|-11|}{\sqrt{36 + 16}} = \frac{11}{\sqrt{52}}$।

(C) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
रेखा $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{-2 - 1}{3 - 1} = \frac{-3}{2}$ है।
चूंकि $BP \perp AB$,रेखा $BP$ की ढाल $m_{BP} = \frac{2}{3}$ है।
विकल्प $(c)$ की जाँच करने पर: $BP = \sqrt{(5 - 3)^2 + (7 + 2)^2} = \sqrt{2^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85}$।
अतः विकल्प $(c)$ सही है।

(A) बिंदु $(x_1, y_1)$ की रेखा $Ax + By + C = 0$ से दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
यहाँ बिंदु $(-2, 3)$ और रेखा $x - y - 5 = 0$ दी गई है,जहाँ $A = 1, B = -1, C = -5, x_1 = -2, y_1 = 3$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \frac{|(1)(-2) + (-1)(3) - 5|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{|-2 - 3 - 5|}{\sqrt{1 + 1}}$
$d = \frac{|-10|}{\sqrt{2}}$
$d = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$.

(A) रेखा $x + y = 1$ का ढाल $m = -1$ है।
यह रेखा $x$-अक्ष के साथ $135^\circ$ का कोण बनाती है।
बिंदु $(1, 1)$ से गुजरने वाली और $135^\circ$ का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{\cos 135^\circ} = \frac{y - 1}{\sin 135^\circ} = r$ है।
मान रखने पर,$\frac{x - 1}{-1/\sqrt{2}} = \frac{y - 1}{1/\sqrt{2}} = r$ प्राप्त होता है।
अतः,इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(1 - \frac{r}{\sqrt{2}}, 1 + \frac{r}{\sqrt{2}})$ के रूप में है।
चूँकि यह बिंदु रेखा $2x - 3y = 4$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में रखते हैं:
$2(1 - \frac{r}{\sqrt{2}}) - 3(1 + \frac{r}{\sqrt{2}}) = 4$.
$2 - \frac{2r}{\sqrt{2}} - 3 - \frac{3r}{\sqrt{2}} = 4$.
$-1 - \frac{5r}{\sqrt{2}} = 4$.
$-\frac{5r}{\sqrt{2}} = 5$.
$r = -\sqrt{2}$.
चूँकि दूरी हमेशा धनात्मक होती है,इसलिए दूरी $|r| = \sqrt{2}$ होगी।

(C) दी गई रेखाएँ $5x + 3y - 7 = 0$ $(i)$ और $15x + 9y + 14 = 0$ $(ii)$ हैं।
समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,पहले $x$ और $y$ के गुणांकों को समान करते हैं।
समीकरण $(ii)$ को $3$ से विभाजित करने पर: $5x + 3y + \frac{14}{3} = 0$ प्राप्त होता है।
अब,समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 5$,$b = 3$,$c_1 = -7$,और $c_2 = \frac{14}{3}$ है।
$d = \frac{|-7 - \frac{14}{3}|}{\sqrt{5^2 + 3^2}} = \frac{|-\frac{21}{3} - \frac{14}{3}|}{\sqrt{25 + 9}} = \frac{|-\frac{35}{3}|}{\sqrt{34}} = \frac{35}{3\sqrt{34}}$.

(B) दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
यहाँ,$a = 3$,$b = 4$,$c_1 = 7$,और $c_2 = -5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{|7 - (-5)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|7 + 5|}{\sqrt{9 + 16}}$
$d = \frac{12}{\sqrt{25}}$
$d = \frac{12}{5}$.

(A) माना दो रेखाएँ $L_1: 2x + 3y - 4 = 0$ और $L_2: 6x + 9y + 8 = 0$ हैं।
बिंदु $(8, -9)$ को $L_1$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$L_1(8, -9) = 2(8) + 3(-9) - 4 = 16 - 27 - 4 = -15$.
बिंदु $(8, -9)$ को $L_2$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$L_2(8, -9) = 6(8) + 9(-9) + 8 = 48 - 81 + 8 = -25$.
चूंकि $L_1(8, -9)$ और $L_2(8, -9)$ दोनों का चिह्न समान (ऋणात्मक) है,इसलिए बिंदु $(8, -9)$ दोनों रेखाओं के एक ही ओर स्थित है।

(A) दी गई रेखा का समीकरण $y = x \tan \alpha + c$ है,जिसे $x \tan \alpha - y + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\cos \alpha$ से गुणा करने पर,हमें $x \sin \alpha - y \cos \alpha + c \cos \alpha = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की लंबाई $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
बिंदु $(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ और रेखा के समीकरण का उपयोग करने पर:
$p = \frac{|(a \cos \alpha) \sin \alpha - (a \sin \alpha) \cos \alpha + c \cos \alpha|}{\sqrt{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}}$
$p = |c \cos \alpha|$.
चूंकि $c > 0$ है,इसलिए लंब की लंबाई $c \cos \alpha$ है।

(A) एक बिंदु $(x_1, y_1)$ की रेखा $Ax + By + C = 0$ से दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
यहाँ बिंदु $(-2, 3)$ और रेखा $x - y - 5 = 0$ दी गई है,जहाँ $A = 1, B = -1, C = -5, x_1 = -2, y_1 = 3$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \frac{|(1)(-2) + (-1)(3) - 5|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{|-2 - 3 - 5|}{\sqrt{1 + 1}}$
$d = \frac{|-10|}{\sqrt{2}}$
$d = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$.

(C) दी गई समांतर रेखाओं के समीकरण $2x - y + 7 = 0$ और $2x - y + 5 = 0$ हैं।
मानक रूप $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ से तुलना करने पर,$A = 2$,$B = -1$,$C_1 = 7$,और $C_2 = 5$ प्राप्त होता है।
दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
मान रखने पर,$d = \frac{|7 - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$ प्राप्त होता है।
$d = \frac{2}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

(A) रेखा $Ax + By + C = 0$ की बिंदु $(x_1, y_1)$ से लंबवत दूरी का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
यहाँ रेखा $12x + 5y - 7 = 0$ और मूल बिंदु $(0, 0)$ दिया गया है,जहाँ $A = 12$,$B = 5$,$C = -7$,$x_1 = 0$ और $y_1 = 0$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \frac{|12(0) + 5(0) - 7|}{\sqrt{12^2 + 5^2}}$
$d = \frac{|-7|}{\sqrt{144 + 25}}$
$d = \frac{7}{\sqrt{169}}$
$d = \frac{7}{13}$.

(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(0, 0)$ के लिए:
$1$. $4x + 3y + 10 = 0$ से दूरी $d_1 = \frac{|4(0) + 3(0) + 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{10}{5} = 2$.
$2$. $5x - 12y + 26 = 0$ से दूरी $d_2 = \frac{|5(0) - 12(0) + 26|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{26}{13} = 2$.
$3$. $7x + 24y - 50 = 0$ से दूरी $d_3 = \frac{|7(0) + 24(0) - 50|}{\sqrt{7^2 + 24^2}} = \frac{50}{25} = 2$.
चूँकि $d_1 = d_2 = d_3 = 2$,अतः बिंदु $(0, 0)$ तीनों रेखाओं से समान दूरी पर है।

(C) माना कि $p$ शीर्ष $(2, -1)$ से आधार $x + y - 2 = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी का सूत्र $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
मान रखने पर,$p = \frac{|1(2) + 1(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
समबाहु त्रिभुज के लिए,शीर्षलंब $p = a \sin(60^{\circ}) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
हल करने पर,$a = \frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(D) माना $f(x, y) = x + y - 1$.
बिंदु $(3, 2)$ के लिए $f(3, 2) = 3 + 2 - 1 = 4 > 0$.
अतः,$(\sin \theta, \cos \theta)$ के लिए $\sin \theta + \cos \theta - 1 > 0$ होना चाहिए।
$\sin \theta + \cos \theta > 1$
$\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) > 1$
$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) > \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) माना रेखा $L(x, y) = 3x - 8y - 7 = 0$ है। दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ रेखा के एक ही तरफ स्थित होते हैं यदि $L(x_1, y_1)$ और $L(x_2, y_2)$ का चिह्न समान हो।
विकल्प $D$ के लिए:
$L(-1, -1) = 3(-1) - 8(-1) - 7 = -3 + 8 - 7 = -2 < 0$
$L(3, 7) = 3(3) - 8(7) - 7 = 9 - 56 - 7 = -54 < 0$
चूंकि दोनों मान ऋणात्मक हैं,इसलिए बिंदु $(-1, -1)$ और $(3, 7)$ रेखा के एक ही तरफ स्थित हैं।

(A) दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
पहली जोड़ी के लिए: $-x + y - 2 = 0$ और $x - y - 2 = 0$। पहले समीकरण को $x - y + 2 = 0$ के रूप में लिखने पर,दूरी $\alpha = \frac{|2 - (-2)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।
दूसरी जोड़ी के लिए: $4x - 3y - 5 = 0$ और $8x - 6y + 1 = 0$। दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $4x - 3y + 0.5 = 0$ प्राप्त होता है। दूरी $\beta = \frac{|-5 - 0.5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{5.5}{5} = 1.1 = \frac{11}{10}$ है।
अब,अनुपात की गणना करने पर: $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2\sqrt{2}}{11/10} = \frac{20\sqrt{2}}{11}$।
अतः,$11\alpha = 20\sqrt{2}\beta$।

(A) माना $L(x, y) = 2x + 3y - 4 = 0$ और $L'(x, y) = 6x + 9y + 8 = 0$ है।
बिंदु $(-6, 2)$ के लिए,$L(-6, 2) = 2(-6) + 3(2) - 4 = -12 + 6 - 4 = -10 < 0$ है।
बिंदु $(-6, 2)$ के लिए,$L'(-6, 2) = 6(-6) + 9(2) + 8 = -36 + 18 + 8 = -10 < 0$ है।
चूंकि दोनों रेखाओं के लिए व्यंजक का मान ऋणात्मक है,इसलिए बिंदु $(-6, 2)$ दोनों रेखाओं के नीचे स्थित है।

(B) माना रेखा का समीकरण $L(x, y) = 3x - 4y - 8 = 0$ है।
बिंदु $(3, 4)$ के लिए,$L(3, 4) = 3(3) - 4(4) - 8 = 9 - 16 - 8 = -15$ प्राप्त होता है।
चूंकि $L(3, 4) < 0$ है,इसलिए बिंदु $(3, 4)$ रेखा के एक ओर स्थित है।
बिंदु $(2, -6)$ के लिए,$L(2, -6) = 3(2) - 4(-6) - 8 = 6 + 24 - 8 = 22$ प्राप्त होता है।
चूंकि $L(2, -6) > 0$ है,इसलिए बिंदु $(2, -6)$ रेखा के दूसरी ओर स्थित है।
अतः,दोनों बिंदु रेखा के विपरीत ओर स्थित हैं।

(D) किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की लंबाई का सूत्र है: $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$।
दिए गए मानों $(x_1, y_1) = (3, 4)$ और रेखा $3x + 4y + 10 = 0$ को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{|3(3) + 4(4) + 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|9 + 16 + 10|}{\sqrt{9 + 16}}$
$d = \frac{35}{\sqrt{25}}$
$d = \frac{35}{5} = 7$.

(A) माना रेखा $L(x, y) = 3x - 5y + a = 0$ है।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के एक रेखा के विपरीत पक्षों पर स्थित होने के लिए,$L(x_1, y_1)$ और $L(x_2, y_2)$ के मानों के चिह्न विपरीत होने चाहिए,अर्थात $L(x_1, y_1) \times L(x_2, y_2) < 0$।
बिंदुओं $(1, 2)$ और $(3, 4)$ को समीकरण में रखने पर:
$L(1, 2) = 3(1) - 5(2) + a = 3 - 10 + a = a - 7$।
$L(3, 4) = 3(3) - 5(4) + a = 9 - 20 + a = a - 11$।
अतः,$(a - 7)(a - 11) < 0$।
यह असमिका $7 < a < 11$ के लिए सत्य है।

(D) $BC$ की ढाल $m = \frac{-3 - 1}{-1 - (-3)} = \frac{-4}{2} = -2$ है।
चूंकि रेखा $BC$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल भी $-2$ होगी।
रेखा का समीकरण $y = -2x + c$ या $2x + y - c = 0$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $d = 1/2$ दी गई है।
लंबवत दूरी के सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का उपयोग करने पर,$\frac{|-c|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{1}{2}$।
$\frac{|c|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \implies |c| = \frac{\sqrt{5}}{2} \implies c = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$।
अतः,रेखा का समीकरण $2x + y \pm \frac{\sqrt{5}}{2} = 0$ अर्थात $4x + 2y \pm \sqrt{5} = 0$ है।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है।

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: 3x + 2y + 7 = 0$ और $L_2: 6x + 4y + 3 = 0$ हैं।
सबसे पहले,$L_2$ को $2$ से विभाजित करके $ax + by + c_2 = 0$ के रूप में लिखें: $3x + 2y + 1.5 = 0$।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 3$,$b = 2$,$c_1 = 7$,और $c_2 = 1.5$ है।
$d = \frac{|7 - 1.5|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{5.5}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{11/2}{\sqrt{13}} = \frac{11}{2\sqrt{13}}$।

(A) दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
यहाँ,$A = 3$,$B = 4$,$C_1 = 7$,और $C_2 = 22$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{|22 - 7|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
$d = \frac{15}{\sqrt{9 + 16}}$
$d = \frac{15}{\sqrt{25}}$
$d = \frac{15}{5} = 3$.

(C) माना कि रेखा $L(x, y) = 7x + 5y - 9 = 0$ है।
पहले बिंदु $(3, 4)$ को समीकरण में रखने पर: $L(3, 4) = 7(3) + 5(4) - 9 = 21 + 20 - 9 = 32$.
चूंकि $32 > 0$,बिंदु $(3, 4)$ रेखा के धनात्मक पक्ष पर स्थित है।
दूसरे बिंदु $(-9, 6)$ को समीकरण में रखने पर: $L(-9, 6) = 7(-9) + 5(6) - 9 = -63 + 30 - 9 = -42$.
चूंकि $-42 < 0$,बिंदु $(-9, 6)$ रेखा के ऋणात्मक पक्ष पर स्थित है।
चूंकि मानों के चिह्न विपरीत हैं,इसलिए बिंदु रेखा के विपरीत ओर स्थित हैं।

(A) माना दी गई रेखाएँ $L_1: 3x - y - 3 = 0$ और $L_2: 3x - y + 5 = 0$ हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा $L$ इन रेखाओं के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $3x - y + K = 0$ के रूप में होगा।
दो समानांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$L_1$ और $L$ के बीच की दूरी $d_1 = \frac{|K - (-3)|}{\sqrt{10}} = \frac{|K + 3|}{\sqrt{10}}$ है।
$L$ और $L_2$ के बीच की दूरी $d_2 = \frac{|5 - K|}{\sqrt{10}}$ है।
अनुपात $d_1 : d_2 = 3 : 5$ दिया गया है,इसलिए $\frac{K + 3}{5 - K} = \frac{3}{5}$ होगा।
$5(K + 3) = 3(5 - K) \implies 5K + 15 = 15 - 3K$.
$8K = 0 \implies K = 0$.
अतः,रेखा का समीकरण $3x - y = 0$ है।

(C) रेखा $Ax + By + C = 0$ की बिंदु $(x_1, y_1)$ से लंबवत दूरी का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
यहाँ,रेखा $3x + 4y - 10 = 0$ है और मूल बिंदु $(0, 0)$ है।
मान रखने पर,$d = \frac{|3(0) + 4(0) - 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$.
$d = \frac{|-10|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$.
अतः,लंबवत दूरी $2$ है।

(C) रेखा का समीकरण $y = x \tan \alpha + c$ है,जिसे $x \sin \alpha - y \cos \alpha + c \cos \alpha = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की लंबाई $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
मान रखने पर:
$p = \frac{|(a \cos \alpha)(\sin \alpha) - (a \sin \alpha)(\cos \alpha) + c \cos \alpha|}{\sqrt{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}}$
$p = \frac{|0 + c \cos \alpha|}{\sqrt{1}}$
चूंकि $c > 0$ और $\cos \alpha > 0$ है,इसलिए $p = c \cos \alpha$ प्राप्त होता है।

(A) माना रेखा $f(x, y) = 3x - 2y + 1 = 0$ है।
बिंदु $(2, 1)$ के लिए,$f(2, 1) = 3(2) - 2(1) + 1 = 6 - 2 + 1 = 5$.
बिंदु $(-3, 5)$ के लिए,$f(-3, 5) = 3(-3) - 2(5) + 1 = -9 - 10 + 1 = -18$.
चूंकि $f(2, 1) = 5 > 0$ और $f(-3, 5) = -18 < 0$,इसलिए मानों के चिह्न विपरीत हैं।
अतः,बिंदु रेखा के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं।
इस प्रकार,कथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सत्य हैं,और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) माना रेखाएं $L_1: 2x + 3y - 4 = 0$ और $L_2: 6x + 9y + 8 = 0$ हैं।
बिंदु $(8, -9)$ को समीकरणों में रखने पर:
$L_1(8, -9) = 2(8) + 3(-9) - 4 = 16 - 27 - 4 = -15$.
$L_2(8, -9) = 6(8) + 9(-9) + 8 = 48 - 81 + 8 = -25$.
चूंकि दोनों मान ऋणात्मक हैं,इसलिए बिंदु दोनों रेखाओं के एक ही तरफ स्थित है।
अतः,बिंदु रेखाओं के बाहर स्थित है।