Slope of line, Equation of line in different forms Questions in Hindi

(B) रेखा मूलबिंदु $(0, 0)$ और बिंदु $(x_1, y_1) = (a \cos \theta, a \sin \theta)$ से होकर गुजरती है।
रेखा की ढाल $m = \frac{y_1 - 0}{x_1 - 0} = \frac{a \sin \theta}{a \cos \theta} = \tan \theta$ है।
मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = mx$ होता है।
अतः,$m = \tan \theta$ रखने पर,$y = x \tan \theta$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखा $2x - 3y = 5$ है,जिसे $y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{3}{2}$।
बिंदु $(1, -1)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{3}{2}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
मान रखने पर: $y - (-1) = -\frac{3}{2}(x - 1)$।
$y + 1 = -\frac{3}{2}(x - 1)$।
$2(y + 1) = -3(x - 1)$।
$2y + 2 = -3x + 3$।
$3x + 2y - 1 = 0$।

(C) अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ में लिखते हैं।
दिया गया समीकरण: $2x - 3y = 6$।
दोनों पक्षों को $6$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2x}{6} - \frac{3y}{6} = \frac{6}{6}$
$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{-2} = 1$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ से तुलना करने पर,हमें $a = 3$ और $b = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$-अंतःखंड $3$ है और $y$-अंतःखंड $-2$ है।

(C) दी गई रेखा $x \sec \theta + y \csc \theta = a$ है।
इसका ढाल $m = -\cot \theta$ है।
$(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ से गुजरने वाली और $m = -\cot \theta$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - a \sin^3 \theta = -\cot \theta (x - a \cos^3 \theta)$
$x \cos \theta + y \sin \theta = a (\cos^4 \theta + \sin^4 \theta)$.

(A) रेखा का अभिलंब रूप (normal form) $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ होता है,जहाँ $p$ मूल बिंदु से लंब की लंबाई है और $\alpha$ अभिलंब द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
दिया गया है $p = 7$।
अभिलंब धनात्मक $y$-अक्ष के साथ $150^{\circ}$ का कोण बनाता है।
अतः,धनात्मक $x$-अक्ष के साथ कोण $\alpha = 150^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ}$ होगा।
इन मानों को अभिलंब रूप के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x \cos 60^{\circ} + y \sin 60^{\circ} = 7$
$x (1/2) + y (\sqrt{3}/2) = 7$
$x + \sqrt{3}y = 14$

(D) रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा अक्षों पर समान अंतःखंड बनाती है,इसलिए $a = b$ है।
समीकरण में मान रखने पर,$\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$,जो सरल होकर $x + y = a$ हो जाता है।
रेखा बिंदु $(1, -2)$ से गुजरती है,इसलिए इन निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$1 + (-2) = a \implies a = -1$.
$a = -1$ का मान $x + y = a$ में रखने पर,हमें $x + y = -1$ या $x + y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है। अक्षों पर अंतःखंड $(a, 0)$ और $(0, b)$ हैं।
चूंकि बिंदु $(5, 2)$ अक्षों के बीच के खंड का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\frac{a+0}{2} = 5 \Rightarrow a = 10$
$\frac{0+b}{2} = 2 \Rightarrow b = 4$
इन मानों को अंतःखंड रूप के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{10} + \frac{y}{4} = 1$
हर को हटाने के लिए $20$ से गुणा करने पर:
$2x + 5y = 20$

(B) रेखा की ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
रेखा के समीकरण के बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करते हुए,$y - y_1 = m(x - x_1)$:
$y - (-4) = 1(x - 3)$
$y + 4 = x - 3$
$x - y - 7 = 0$

(A) दिए गए समीकरण:
$3x + 4y = 9$
$y = mx + 1$
पहले समीकरण में $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$3x + 4(mx + 1) = 9$
$3x + 4mx + 4 = 9$
$x(3 + 4m) = 5$
$x = \frac{5}{3 + 4m}$
$x$ को पूर्णांक होने के लिए,$(3 + 4m)$ को $5$ का भाजक होना चाहिए।
$5$ के भाजक $\pm 1$ और $\pm 5$ हैं।
स्थिति $1$: $3 + 4m = 1 \implies 4m = -2 \implies m = -0.5$ (पूर्णांक नहीं है)
स्थिति $2$: $3 + 4m = -1 \implies 4m = -4 \implies m = -1$ (पूर्णांक है)
स्थिति $3$: $3 + 4m = 5 \implies 4m = 2 \implies m = 0.5$ (पूर्णांक नहीं है)
स्थिति $4$: $3 + 4m = -5 \implies 4m = -8 \implies m = -2$ (पूर्णांक है)
अतः,$m$ के पूर्णांक मान $-1$ और $-2$ हैं।
ऐसे $2$ पूर्णांक मान हैं।

(A) माना $x$-अंतःखंड $a$ है। तब $y$-अंतःखंड $2a$ होगा।
रेखा के अंतःखंड रूप का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{2a} = 1$ है।
चूंकि रेखा बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $x = 1$ और $y = 2$ रखने पर:
$\frac{1}{a} + \frac{2}{2a} = 1$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{a} = 1$
$\frac{2}{a} = 1 \implies a = 2$.
$a = 2$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1$
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$2x + y = 4$.

(D) माना कि अक्षों पर अंतःखंड $a$ और $-a$ हैं।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{-a} = 1$ है,जो सरल होकर $x - y = a$ $(1)$ बनता है।
चूंकि रेखा बिंदु $(3, 4)$ से गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3 - 4 = a$,जिससे $a = -1$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ में $a = -1$ रखने पर,हमें $x - y = -1$ या $x - y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) $3x - 7y + 2 = 0$ के समांतर रेखा का समीकरण $3x - 7y + k = 0$ के रूप में होता है।
चूंकि रेखा बिंदु $(4, 6)$ से गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(4) - 7(6) + k = 0$
$12 - 42 + k = 0$
$-30 + k = 0$
$k = 30$
अतः,रेखा का अभीष्ट समीकरण $3x - 7y + 30 = 0$ है।

(A) $(3, -4)$ और $(4, 3)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{3 - (-4)}{4 - 3} = \frac{7}{1} = 7$ है।
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर:
$y - (-4) = 7(x - 3)$
$y + 4 = 7x - 21$
$y = 7x - 25$

(C) रेखा $PQ$ का समीकरण $x - y = 2$ है,जिसे $y = x - 2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = 1$ है,इसलिए झुकाव कोण $\theta_1 = 45^{\circ}$ है।
बिंदु $P$,$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है,$y = 0$ रखने पर $x = 2$ प्राप्त होता है। अतः,$P = (2, 0)$ है।
रेखा को बिंदु $P$ के परितः $45^{\circ}$ वामावर्त दिशा में घुमाया जाता है। नया झुकाव कोण $\theta_2 = \theta_1 + 45^{\circ} = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ है।
$90^{\circ}$ के झुकाव कोण वाली रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है। चूंकि यह $P(2, 0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $x = 2$ है।

(A) $3x - 4y + 5 = 0$ के समांतर रेखा का समीकरण $3x - 4y + \lambda = 0$ के रूप में होता है ... $(1)$.
चूंकि यह रेखा बिंदु $(-1, 2)$ से गुजरती है,इसलिए $x = -1$ और $y = 2$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3(-1) - 4(2) + \lambda = 0$
$-3 - 8 + \lambda = 0$
$-11 + \lambda = 0$
$\lambda = 11$.
$\lambda = 11$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर,अभीष्ट रेखा का समीकरण $3x - 4y + 11 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा के अभिलंब रूप (normal form) का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ होता है,जहाँ $p$ मूल बिंदु से लंब की लंबाई है और $\alpha$ लंब द्वारा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $p = 4$ और $\alpha = 30^{\circ}$ दिया गया है।
सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$x \cos 30^{\circ} + y \sin 30^{\circ} = 4$
$x \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + y \left( \frac{1}{2} \right) = 4$
पूरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3}x + y = 8$.

(B) माना मूल बिंदु से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई $p$ है। रेखा का अभिलंब रूप $x \cos 30^{\circ} + y \sin 30^{\circ} = p$ है,जो $\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = p$ या $\sqrt{3}x + y = 2p$ में सरल होता है।
यह रेखा अक्षों को $A\left(\frac{2p}{\sqrt{3}}, 0\right)$ और $B(0, 2p)$ बिंदुओं पर काटती है।
$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \left|\frac{2p}{\sqrt{3}}\right| \times |2p| = \frac{2p^2}{\sqrt{3}}$.
दिया गया क्षेत्रफल $\frac{50}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए $\frac{2p^2}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $p^2 = 25$,अतः $p = \pm 5$.
$p = \pm 5$ को $\sqrt{3}x + y = 2p$ में रखने पर,हमें $\sqrt{3}x + y = \pm 10$ प्राप्त होता है,अर्थात $\sqrt{3}x + y \mp 10 = 0$।

(A) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
रेखा $X$-अक्ष को $A(a, 0)$ और $Y$-अक्ष को $B(0, b)$ पर काटती है।
बिंदु $C(2, 5/3)$,$AB$ को $5 : 4$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$C$ के निर्देशांक:
$x = \frac{5(0) + 4(a)}{5 + 4} = \frac{4a}{9}$
$y = \frac{5(b) + 4(0)}{5 + 4} = \frac{5b}{9}$
दिया गया है कि $C = (2, 5/3)$,अतः:
$\frac{4a}{9} = 2 \Rightarrow a = \frac{9}{2}$
$\frac{5b}{9} = \frac{5}{3} \Rightarrow b = 3$
$a$ और $b$ का मान समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{9/2} + \frac{y}{3} = 1$
$\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$
$9$ से गुणा करने पर:
$2x + 3y = 9$

(D) $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली और $\theta$ कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - x_1}{\cos \theta} = \frac{y - y_1}{\sin \theta} = r$ होता है।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (2, 3)$ और $\theta = 45^{\circ}$ है।
अतः,$\frac{x - 2}{\cos 45^{\circ}} = \frac{y - 3}{\sin 45^{\circ}} = r$.
इससे $x = 2 + r \cos 45^{\circ} = 2 + \frac{r}{\sqrt{2}}$ और $y = 3 + r \sin 45^{\circ} = 3 + \frac{r}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $P$ रेखा $x + y + 1 = 0$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2 + \frac{r}{\sqrt{2}}) + (3 + \frac{r}{\sqrt{2}}) + 1 = 0$
$6 + \frac{2r}{\sqrt{2}} = 0$
$6 + r\sqrt{2} = 0$
$r\sqrt{2} = -6$
$r = -\frac{6}{\sqrt{2}} = -3\sqrt{2}$.
दूरी $AP = |r| = |-3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2}$.

(B) $A(-5, -4)$ से गुजरने वाली और $\theta$ कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x + 5}{\cos \theta} = \frac{y + 4}{\sin \theta} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(-5 + r \cos \theta, -4 + r \sin \theta)$ है।
चूंकि $B$,$C$ और $D$ दी गई रेखाओं पर स्थित हैं,हम निर्देशांकों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं:
$x + 3y + 2 = 0$ के लिए: $(-5 + AB \cos \theta) + 3(-4 + AB \sin \theta) + 2 = 0 \implies AB(\cos \theta + 3 \sin \theta) = 15 \implies \frac{15}{AB} = \cos \theta + 3 \sin \theta$.
$2x + y + 4 = 0$ के लिए: $2(-5 + AC \cos \theta) + (-4 + AC \sin \theta) + 4 = 0 \implies AC(2 \cos \theta + \sin \theta) = 10 \implies \frac{10}{AC} = 2 \cos \theta + \sin \theta$.
$x - y - 5 = 0$ के लिए: $(-5 + AD \cos \theta) - (-4 + AD \sin \theta) - 5 = 0 \implies AD(\cos \theta - \sin \theta) = 6 \implies \frac{6}{AD} = \cos \theta - \sin \theta$.
दी गई शर्त: $(\cos \theta + 3 \sin \theta)^2 + (2 \cos \theta + \sin \theta)^2 = (\cos \theta - \sin \theta)^2$.
विस्तार करने पर: $(\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta + 6 \sin \theta \cos \theta) + (4 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta$.
$5 \cos^2 \theta + 10 \sin^2 \theta + 10 \sin \theta \cos \theta = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta$.
$4 \cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta + 12 \sin \theta \cos \theta = 0$.
$(2 \cos \theta + 3 \sin \theta)^2 = 0 \implies \tan \theta = -\frac{2}{3}$.
रेखा का समीकरण $y + 4 = -\frac{2}{3}(x + 5) \implies 3y + 12 = -2x - 10 \implies 2x + 3y + 22 = 0$ है।

(C) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ $(1)$ है।
चूंकि रेखा $(3, 4)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{3}{a} + \frac{4}{b} = 1$ $(2)$।
अंतःखंडों का योग $a + b = 14$ दिया गया है,इसलिए $b = 14 - a$।
$(2)$ में $b = 14 - a$ रखने पर:
$\frac{3}{a} + \frac{4}{14 - a} = 1$
$3(14 - a) + 4a = a(14 - a)$
$42 - 3a + 4a = 14a - a^2$
$a^2 - 13a + 42 = 0$
$(a - 7)(a - 6) = 0$
अतः,$a = 6$ या $a = 7$।
यदि $a = 6$ है,तो $b = 14 - 6 = 8$। समीकरण $\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1$ होगा,जो $4x + 3y = 24$ में सरल हो जाता है।
यदि $a = 7$ है,तो $b = 14 - 7 = 7$। समीकरण $\frac{x}{7} + \frac{y}{7} = 1$ होगा,जो $x + y = 7$ में सरल हो जाता है।

(D) माना रेखा का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है,जहाँ $p$ मूल बिंदु से लंब की लंबाई है और $\alpha$ लंब द्वारा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ $p = 9$ दिया गया है।
लंब $y$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $120^{\circ}$ का कोण बनाता है।
चूँकि $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है,इसलिए $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ कोण $\alpha = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$x \cos 30^{\circ} + y \sin 30^{\circ} = 9$
$x \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + y \left( \frac{1}{2} \right) = 9$
$x\sqrt{3} + y = 18$.

(B) माना रेखा $L$ अक्षों को $A$ और $B$ पर काटती है। माना $OA = |a|$ और $OB = |b|$ है।
रेखा $5x - y = 1$ के लंबवत रेखा का समीकरण $x + 5y = k$ के रूप का होता है।
$x = 0$ रखने पर,$y = k/5$ प्राप्त होता है,अतः $B = (0, k/5)$ है।
$y = 0$ रखने पर,$x = k$ प्राप्त होता है,अतः $A = (k, 0)$ है।
रेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |OA| |OB| = 5$ है।
$\frac{1}{2} |k| |k/5| = 5$
$|k^2| / 10 = 5$
$k^2 = 50$
$k = \pm 5\sqrt{2}$
अतः,रेखा $L$ का समीकरण $x + 5y = \pm 5\sqrt{2}$ है।

(B) दी गई रेखा $2x + 3y + 7 = 0$ की ढाल $m = -\frac{2}{3}$ है।
माना रेखा का झुकाव कोण $\theta$ है,अतः $\tan \theta = -\frac{2}{3}$।
चूंकि $\tan \theta < 0$,$\theta$ दूसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\cos \theta = -\frac{3}{\sqrt{13}}$ और $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{13}}$।
बिंदु $(1, -3)$ से गुजरने वाली रेखा का प्राचलिक रूप $\frac{x - 1}{\cos \theta} = \frac{y + 3}{\sin \theta} = r$ है।
$r = 3$ रखने पर,$\frac{x - 1}{-3/\sqrt{13}} = \frac{y + 3}{2/\sqrt{13}} = 3$।
अतः,$x - 1 = 3 \times \left( -\frac{3}{\sqrt{13}} \right) = -\frac{9}{\sqrt{13}}$ और $y + 3 = 3 \times \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \right) = \frac{6}{\sqrt{13}}$।
इस प्रकार,$x = 1 - \frac{9}{\sqrt{13}}$ और $y = -3 + \frac{6}{\sqrt{13}}$।
निर्देशांक $\left( 1 - \frac{9}{\sqrt{13}}, -3 + \frac{6}{\sqrt{13}} \right)$ हैं।

(C) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदु $(1, 0)$ और $(-2, \sqrt{3})$ हैं।
$m = \frac{\sqrt{3} - 0}{-2 - 1} = \frac{\sqrt{3}}{-3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
रेखा द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta$,$\tan \theta = m$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूंकि $\tan(150^o) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए कोण $\theta = 150^o$ है।

(C) $x$-अक्ष के समांतर रेखा की ढाल $m = 0$ होती है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y - y_1) = m(x - x_1)$ होता है।
बिंदु $(-3, 2)$ और $m = 0$ का मान रखने पर:
$(y - 2) = 0(x - (-3))$
$(y - 2) = 0$
अतः,रेखा का समीकरण $y - 2 = 0$ है।

(C) माना कि $M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $M$ के निर्देशांक $\left(\frac{3+5}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = (4, 2)$ हैं।
यह रेखा $A(2, 3)$ और $M(4, 2)$ से होकर गुजरती है।
$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा का ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$m = \frac{2 - 3}{4 - 2} = \frac{-1}{2} = -0.5$.

(C) रेखा बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 2)$ से गुजरती है और इसका झुकाव कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से $r = 3$ की दूरी पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक $(x_1 \pm r \cos \theta, y_1 \pm r \sin \theta)$ सूत्र द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर: $x = 1 \pm 3 \cos 60^{\circ} = 1 \pm 3(1/2) = 1 \pm 3/2$.
इससे $x = 1 + 1.5 = 2.5 = 5/2$ या $x = 1 - 1.5 = -0.5 = -1/2$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$y = 2 \pm 3 \sin 60^{\circ} = 2 \pm 3(\sqrt{3}/2) = 2 \pm 3\sqrt{3}/2$.
अतः,बिंदु $(5/2, 2 + 3\sqrt{3}/2)$ और $(-1/2, 2 - 3\sqrt{3}/2)$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $C$ सही है।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1) = (0, 0)$,$(x_2, y_2) = (-2, 1)$ और $(x_3, y_3) = (5, 2)$ हैं।
केंद्रक $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) = \left(\frac{0-2+5}{3}, \frac{0+1+2}{3}\right) = (1, 1)$ है।
दी गई रेखा $x - 2y = 6$ है,जिसकी ढाल (slope) $m = \frac{1}{2}$ है।
समानांतर रेखा की ढाल भी $m = \frac{1}{2}$ होगी।
बिंदु $(1, 1)$ से गुजरने वाली और $m = \frac{1}{2}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण: $y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1)$.
$2y - 2 = x - 1 \Rightarrow x - 2y + 1 = 0$.

(A) माना $(4, 3)$ और $(2, \lambda)$ से होकर जाने वाली रेखा की प्रवणता $m_1$ है।
$m_1 = \frac{\lambda - 3}{2 - 4} = \frac{\lambda - 3}{-2}$।
दी गई रेखा $y = 2x + 3$ है,जो $y = mx + c$ के रूप में है।
अतः,इस रेखा की प्रवणता $m_2 = 2$ है।
चूंकि दोनों रेखाएं परस्पर लंब हैं,इसलिए उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होगा:
$m_1 \times m_2 = -1$।
$\left(\frac{\lambda - 3}{-2}\right) \times 2 = -1$।
$-(\lambda - 3) = -1$।
$\lambda - 3 = 1$।
$\lambda = 4$।

(A) माना रेखा $X$-अक्ष को $(h, 0)$ पर और $Y$-अक्ष को $(0, k)$ पर काटती है।
दिया गया है कि बिंदु $(3, -4)$ रेखाखंड को $2 : 3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर: $(x, y) = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$.
मान रखने पर: $(3, -4) = \left(\frac{2(0) + 3(h)}{2+3}, \frac{2(k) + 3(0)}{2+3}\right)$.
$(3, -4) = \left(\frac{3h}{5}, \frac{2k}{5}\right)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $3 = \frac{3h}{5} \Rightarrow h = 5$ और $-4 = \frac{2k}{5} \Rightarrow k = -10$.
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 1$ है।
$h=5$ और $k=-10$ रखने पर: $\frac{x}{5} + \frac{y}{-10} = 1$.
$10$ से गुणा करने पर: $2x - y = 10$.

(A) बिंदु $(2, -3)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y + 3 = m(x - 2)$ है।
इसे $mx - y = 2m + 3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यदि $m \neq 0$ है,तो अंतःखंड रूप $\frac{x}{(2m+3)/m} + \frac{y}{-(2m+3)} = 1$ है।
अंतःखंड $a = \frac{2m+3}{m}$ और $b = -(2m+3)$ हैं।
दिया गया है कि $a + b = -2$,इसलिए $\frac{2m+3}{m} - (2m+3) = -2$ है।
$2m + 3 - 2m^2 - 3m = -2m \implies 2m^2 - m - 3 = 0$।
गुणनखंड करने पर $(2m - 3)(m + 1) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $m = \frac{3}{2}$ या $m = -1$ है।
$m = -1$ के लिए,समीकरण $y + 3 = -1(x - 2) \implies x + y + 1 = 0$ है।
$m = \frac{3}{2}$ के लिए,समीकरण $y + 3 = \frac{3}{2}(x - 2) \implies 2y + 6 = 3x - 6 \implies 3x - 2y = 12$ है।

(D) रेखा की ढाल $m = \tan(\theta) = \tan(\tan^{-1}(\frac{3}{5})) = \frac{3}{5}$ है।
दिया गया $y$-अंतःखंड $c = -3$ है।
रेखा का ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ है।
मान रखने पर,$y = \frac{3}{5}x - 3$ प्राप्त होता है।
$5$ से गुणा करने पर,$5y = 3x - 15$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$3x - 5y - 15 = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,कोई भी विकल्प $3x - 5y - 15 = 0$ से मेल नहीं खाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) रेखा की ढाल $m = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ है।
यह दिया गया है कि रेखा $y$-अक्ष को $(0, -2)$ पर काटती है,इसलिए $y$-अंतःखंड $c = -2$ है।
रेखा का ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ होता है।
मान रखने पर,हमें $y = \sqrt{3}x - 2$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा का दिया गया समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = a$ है।
दोनों पक्षों को $a$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x \cos \alpha}{a} + \frac{y \sin \alpha}{a} = 1$
इसे अंत:खंड रूप $\frac{x}{A} + \frac{y}{B} = 1$ में लिखने पर,जहाँ $B$,$y$-अंत:खंड है:
$\frac{x}{a \sec \alpha} + \frac{y}{a \csc \alpha} = 1$
अतः,$y$-अंत:खंड $a \csc \alpha$ है।

(C) $1$. भुजा $QR$ के लिए: यह मूलबिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $m_1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है। समीकरण $y - 0 = \frac{2}{\sqrt{3}}(x - 0)$ है,जो सरल होकर $y = \frac{2}{\sqrt{3}}x$ हो जाता है।
$2$. भुजा $RP$ के लिए: यह बिंदु $P(2, 1)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $m_2 = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ है। समीकरण $y - 1 = -\frac{2}{\sqrt{3}}(x - 2)$ है।
$3$. $RP$ के समीकरण का सरलीकरण: $y - 1 = -\frac{2}{\sqrt{3}}x + \frac{4}{\sqrt{3}}$,जिससे $y = -\frac{2}{\sqrt{3}}x + \frac{4}{\sqrt{3}} + 1$ प्राप्त होता है।

(C) रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है।
चूंकि रेखा $(2, 4)$ से गुजरती है,इसलिए: $4 = 2m + c$ (समीकरण $1$)।
चूंकि रेखा $(3, -5)$ से गुजरती है,इसलिए: $-5 = 3m + c$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$(-5 - 4) = (3m - 2m) + (c - c)$
$-9 = m$
$m = -9$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$4 = 2(-9) + c$
$4 = -18 + c$
$c = 4 + 18 = 22$
अतः,$m = -9$ और $c = 22$।

(D) मान लीजिए बिंदु $A(-5, 6)$ और $B(-6, 5)$ हैं।
रेखा $AB$ की ढाल $m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 6}{-6 - (-5)} = \frac{-1}{-1} = 1$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $AB$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$1 \times m_2 = -1$,जिससे $m_2 = -1$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_0, y_0)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_0 = m(x - x_0)$ होता है।
$m = -1$ और बिंदु $(2, 3)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y - 3 = -1(x - 2)$
$y - 3 = -x + 2$
$x + y - 5 = 0$.

(C) ढाल-अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $y = mx + c$ होता है,जहाँ $m$ ढाल है और $c$ $y$-अंतःखंड है।
यहाँ,ढाल $m = 2$ और $y$-अंतःखंड $c = -4$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$y = 2x + (-4)$
$y = 2x - 4$
अतः,रेखा का समीकरण $y = 2x - 4$ है।

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: \sqrt{3}x + y = 0$ और $L_2: \sqrt{3}x - y = 0$ हैं।
$L_1$ की ढाल $m_1 = -\sqrt{3}$ है,इसलिए $x$-अक्ष के साथ कोण $\theta_1 = 120^\circ$ है।
$L_2$ की ढाल $m_2 = \sqrt{3}$ है,इसलिए $x$-अक्ष के साथ कोण $\theta_2 = 60^\circ$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$ है।
$\triangle OAB$ के समबाहु त्रिभुज होने के लिए,रेखा $AB$ को दोनों रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के साथ $60^\circ$ का कोण बनाना चाहिए।
चूंकि $L_1$ और $L_2$ के बीच का कोण $60^\circ$ है और वे $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए रेखा $AB$ को $x$-अक्ष के समानांतर होना चाहिए।
$x$-अक्ष के समानांतर रेखा का समीकरण $y = k$ के रूप में होता है।
चूंकि यह $(2, 2)$ से गुजरती है,इसलिए समीकरण $y = 2$ या $y - 2 = 0$ है।

(A) चरण $1$: रेखाओं $y = 3$ और $x + y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
$y = 3$ को $x + y = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x + 3 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = -3$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-3, 3)$ है।
चरण $2$: $2x - y = 4$ के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात करें।
$2x - y = 4$ के समांतर रेखा $2x - y + k = 0$ के रूप की होती है।
चरण $3$: $k$ का मान ज्ञात करने के लिए बिंदु $(-3, 3)$ को समीकरण $2x - y + k = 0$ में रखें।
$2(-3) - (3) + k = 0$
$-6 - 3 + k = 0$
$-9 + k = 0$,जिससे $k = 9$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: अभीष्ट समीकरण $2x - y + 9 = 0$ है।

(B) माना कि रेखा $x$-अक्ष को $Q(a, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $P(0, b)$ पर काटती है।
चूंकि बिंदु $A(3, 4)$ अंतःखंड $PQ$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए यह $PQ$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{a + 0}{2} = 3 \implies a = 6$
$\frac{0 + b}{2} = 4 \implies b = 8$
रेखा के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$a$ और $b$ के मान रखने पर:
$\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1$
हर को हटाने के लिए $24$ से गुणा करने पर:
$4x + 3y = 24$

(B) दिया गया समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y = mx - mx_1 + y_1$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $c = y_1 - mx_1$ है।
चूंकि $m$ और $x_1$ स्थिर हैं,इसलिए $y_1$ के सभी मानों के लिए ढाल $m$ स्थिर रहता है।
समान ढाल $m$ वाली रेखाएं एक-दूसरे के समांतर होती हैं।
अतः,$y_1$ के विभिन्न मानों के लिए हमें समांतर रेखाओं का एक समूह प्राप्त होता है।

(B) माना रेखा के $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं। बिंदुओं के निर्देशांक $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ हैं।
दिया गया है कि बिंदु $P(-5, 4)$ रेखाखंड $AB$ को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक $\left( \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot a}{1 + 2}, \frac{1 \cdot b + 2 \cdot 0}{1 + 2} \right) = \left( \frac{2a}{3}, \frac{b}{3} \right)$ प्राप्त होते हैं।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,$\frac{2a}{3} = -5 \implies a = -\frac{15}{2}$ और $\frac{b}{3} = 4 \implies b = 12$ प्राप्त होता है।
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
मान रखने पर,$\frac{x}{-15/2} + \frac{y}{12} = 1 \implies -\frac{2x}{15} + \frac{y}{12} = 1$ प्राप्त होता है।
$60$ से गुणा करने पर,$-8x + 5y = 60$,जिसे सरल करने पर $8x - 5y + 60 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) सबसे पहले,रेखाओं $x - 3y + 1 = 0$ और $2x + 5y - 9 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2x - 6y + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $2x + 5y - 9 = 0$ से घटाने पर,हमें $11y - 11 = 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $y = 1$।
$y = 1$ को $x - 3y + 1 = 0$ में रखने पर,हमें $x - 3(1) + 1 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 2$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 1)$ है।
अनंत ढाल वाली रेखा $x = k$ के रूप की एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है।
चूँकि रेखा $(2, 1)$ से गुजरती है,इसलिए समीकरण $x = 2$ होना चाहिए।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $x = 2$ की दूरी $|2| = 2 \text{ units}$ है,जो दी गई शर्त को पूरा करती है।
अतः,रेखा का समीकरण $x = 2$ है।

(C) रेखा $AB$ की ढाल (slope) $m = \frac{1 - 0}{3 - 2} = 1$ है।
इसका अर्थ है $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$।
रेखा को वामावर्त दिशा में $15^{\circ}$ घुमाया गया है,इसलिए नया झुकाव कोण $\theta' = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ होगा।
नई रेखा की ढाल $m' = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ है।
$A(2, 0)$ से गुजरने वाली और $\sqrt{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 0 = \sqrt{3}(x - 2)$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है,जिसे $\sqrt{3}x - y - 2\sqrt{3} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) माना $OA = OB = r$ है। चूंकि $OA$ की ढाल $1$ है,$OA$ द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\alpha = 45^\circ$ है। अतः,$A$ के निर्देशांक $(r \cos 45^\circ, r \sin 45^\circ) = (r/\sqrt{2}, r/\sqrt{2})$ हैं।
चूंकि $OB$ की ढाल $7$ है,माना $\beta$ वह कोण है जो $OB$,$x$-अक्ष के साथ बनाता है। अतः $\tan \beta = 7$ है। इससे $\sin \beta = 7/\sqrt{50} = 7/(5\sqrt{2})$ और $\cos \beta = 1/\sqrt{50} = 1/(5\sqrt{2})$ प्राप्त होता है।
अतः,$B$ के निर्देशांक $(r \cos \beta, r \sin \beta) = (r/(5\sqrt{2}), 7r/(5\sqrt{2}))$ हैं।
$AB$ की ढाल $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{\frac{7r}{5\sqrt{2}} - \frac{r}{\sqrt{2}}}{\frac{r}{5\sqrt{2}} - \frac{r}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{2r}{5\sqrt{2}}}{\frac{-4r}{5\sqrt{2}}} = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होती है।

(C) बिंदु $A(1, 2)$ और $B(7, 5)$ हैं। $B$ के निकटतम त्रिभाजन बिंदु $AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,निर्देशांक $P = \left( \frac{2(7) + 1(1)}{2+1}, \frac{2(5) + 1(2)}{2+1} \right) = (5, 4)$ प्राप्त होते हैं।
रेखा $AB$ की ढाल $m = \frac{5-2}{7-1} = \frac{1}{2}$ है।
नई ढाल $m' = \tan(\theta + 45^{\circ}) = \frac{1/2 + 1}{1 - (1/2)(1)} = 3$ है।
$(5, 4)$ से गुजरने वाली और $3$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 4 = 3(x - 5)$ अर्थात $3x - y - 11 = 0$ है।

(D) दिया गया समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
चूंकि $m$ स्थिर है,सभी रेखाओं का ढाल $m$ समान है,जिसका अर्थ है कि सभी रेखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं।
इस परिवार की किसी भी रेखा के लिए,यदि हम $x = x_1$ रखते हैं,तो समीकरण $y - y_1 = m(x_1 - x_1)$ हो जाता है,जो सरल होकर $y = y_1$ बन जाता है।
इस प्रकार,समूह की प्रत्येक रेखा ऊर्ध्वाधर रेखा $x = x_1$ को $(x_1, y_1)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
अतः,कथन $B$ और $C$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) माना रेखा $x$-अक्ष को $B(a, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $C(0, b)$ पर काटती है।
चूंकि बिंदु $A(4, 3)$ $x$-अक्ष के निकट है और रेखाखंड $BC$ को समत्रिभाजित करता है,इसलिए यह $BC$ को $C$ से $B$ की ओर $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$A$ के निर्देशांक हैं:
$A = \left( \frac{1 \times 0 + 2 \times a}{1 + 2}, \frac{1 \times b + 2 \times 0}{1 + 2} \right) = \left( \frac{2a}{3}, \frac{b}{3} \right)$
$A(4, 3)$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{2a}{3} = 4$ $\Rightarrow 2a = 12$ $\Rightarrow a = 6$
$\frac{b}{3} = 3 \Rightarrow b = 9$
अतः,अंतःखंड $a = 6$ और $b = 9$ हैं।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x}{6} + \frac{y}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
$18$ से गुणा करने पर,हमें $3x + 2y = 18$ प्राप्त होता है।