Problems related to triangle and quadrilateral Questions in Hindi

(C) मान लीजिए $C = (a, b)$ है। चूँकि $C$ कोण समद्विभाजक $7x - 4y - 1 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $7a - 4b = 1 \quad \dots(i)$ है।
मान लीजिए $M$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। चूँकि $A = (-3, 1)$ है,इसलिए $M = (\frac{a-3}{2}, \frac{b+1}{2})$ है।
चूँकि $M$ माध्यिका $2x + y - 3 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $2(\frac{a-3}{2}) + (\frac{b+1}{2}) - 3 = 0$ है,जिसे सरल करने पर $2a - 6 + b + 1 - 6 = 0$,या $2a + b = 11 \quad \dots(ii)$ प्राप्त होता है।
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,$(ii)$ को $4$ से गुणा करने पर: $8a + 4b = 44$ प्राप्त होता है। $(i)$ में जोड़ने पर: $15a = 45 \Rightarrow a = 3$ प्राप्त होता है। $(ii)$ में मान रखने पर: $6 + b = 11 \Rightarrow b = 5$ प्राप्त होता है। अतः,$C = (3, 5)$ है।
$AC$ की ढाल $m_{AC} = \frac{5-1}{3-(-3)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
कोण समद्विभाजक $7x - 4y - 1 = 0$ की ढाल $m_{bisector} = \frac{7}{4}$ है।
मान लीजिए $\alpha$ रेखा $AC$ का कोण है और $\beta$ समद्विभाजक का कोण है। उनके बीच का कोण $\frac{\theta}{2}$ है।
$\tan(\frac{\theta}{2}) = |\frac{m_{bisector} - m_{AC}}{1 + m_{bisector} \cdot m_{AC}}| = |\frac{7/4 - 2/3}{1 + (7/4)(2/3)}| = |\frac{(21-8)/12}{(12+14)/12}| = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}$ है।
अंत में,$\tan \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)} = \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ है।

(D) दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं के मध्य बिंदु हैं। मान लीजिए ये बिंदु $D(1, 2)$,$E(7, 5)$ और $F(2, 3)$ हैं।
मध्य बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $(\Delta DEF)$ इस प्रकार है:
$\Delta DEF = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\Delta DEF = \frac{1}{2} |1(5 - 3) + 7(3 - 2) + 2(2 - 5)|$
$\Delta DEF = \frac{1}{2} |1(2) + 7(1) + 2(-3)|$
$\Delta DEF = \frac{1}{2} |2 + 7 - 6| = \frac{1}{2} |3| = 1.5$
मूल त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल मध्य बिंदुओं को जोड़ने से बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का $4$ गुना होता है:
$\text{Area}(ABC) = 4 \times \Delta DEF = 4 \times 1.5 = 6$.

(C) माना समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है। रेखाएँ $4x + 5y = 0$ और $7x + 2y = 0$ मूल बिंदु $A(0, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
माना विकर्ण $BD$,रेखा $11x + 7y = 9$ पर स्थित है।
बिंदु $D$,$4x + 5y = 0$ और $11x + 7y = 9$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हल करने पर,$D = (5/3, -4/3)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $B$,$7x + 2y = 0$ और $11x + 7y = 9$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हल करने पर,$B = (-2/3, 7/3)$ प्राप्त होता है।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। माना $M$,$BD$ का मध्य बिंदु है।
$M = (\frac{5/3 - 2/3}{2}, \frac{-4/3 + 7/3}{2}) = (1/2, 1/2)$।
दूसरा विकर्ण $AC$,$A(0, 0)$ और $M(1/2, 1/2)$ से होकर गुजरता है।
रेखा $AC$ का समीकरण $y - 0 = \frac{1/2 - 0}{1/2 - 0}(x - 0)$ है,जो सरल होकर $y = x$ हो जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(2, 2)$ समीकरण $y = x$ को संतुष्ट करता है।

(C) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 4$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
शीर्षों $A(1, \alpha)$,$B(\alpha, 0)$ और $C(0, \alpha)$ को रखने पर:
$\frac{1}{2} |1(0 - \alpha) + \alpha(\alpha - \alpha) + 0(\alpha - 0)| = 4$
$\frac{1}{2} |-\alpha| = 4 \Rightarrow |\alpha| = 8 \Rightarrow \alpha = \pm 8$.
यदि $\alpha = 8$ है,तो बिंदु $(8, -8)$,$(-8, 8)$ और $(64, \beta)$ हैं।
चूंकि ये बिंदु संरेख हैं,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए।
$(8, -8)$ और $(-8, 8)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{8 - (-8)}{-8 - 8} = \frac{16}{-16} = -1$ है।
रेखा का समीकरण $y - 8 = -1(x + 8) \Rightarrow y = -x$ है।
बिंदु $(64, \beta)$ इस रेखा पर स्थित है,इसलिए $\beta = -64$।
यदि $\alpha = -8$ लिया जाए,तो भी वही रेखा $y = -x$ प्राप्त होती है,इसलिए $\beta = -64$।

(D) शीर्ष $A(6,1)$ है। आधार $BC$ रेखा $2x + y = 4$ पर स्थित है। बिंदु $B(1,2)$ है।
मान लीजिए $C(h, 4-2h)$ है।
चूंकि $\triangle ABC$ समद्विबाहु है,$AB = AC$ है।
$AB^2 = (6-1)^2 + (1-2)^2 = 26$.
$AC^2 = (6-h)^2 + (2h-3)^2 = 5h^2 - 24h + 45$.
$5h^2 - 24h + 45 = 26$ $\Rightarrow 5h^2 - 24h + 19 = 0$ $\Rightarrow h = 19/5$ या $h = 1$.
$C = (19/5, -18/5)$ है।
केंद्रक $G = (\frac{6+1+19/5}{3}, \frac{1+2-18/5}{3}) = (54/15, -3/15)$ है।
$\alpha = 54/15, \beta = -3/15$ है।
$15(\alpha + \beta) = 51$।

(B) बिंदु $A$,$L_{2}: -4x + 3y = 12$ पर स्थित है। मान लीजिए $A = (\alpha, \frac{12+4\alpha}{3})$ है।
बिंदु $B$,$L_{1}: 2x + 5y = 10$ पर स्थित है। मान लीजिए $B = (\beta, \frac{10-2\beta}{5})$ है।
बिंदु $P(2, 3)$,$AB$ को $1:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$2 = \frac{1 \cdot \beta + 3 \cdot \alpha}{1+3} \Rightarrow 3\alpha + \beta = 8$
$3 = \frac{1 \cdot (\frac{10-2\beta}{5}) + 3 \cdot (\frac{12+4\alpha}{3})}{1+3}$ $\Rightarrow 12 = \frac{10-2\beta}{5} + 12 + 4\alpha$ $\Rightarrow 4\alpha - \frac{2\beta}{5} = -2$ $\Rightarrow 20\alpha - 2\beta = -10$ $\Rightarrow 10\alpha - \beta = -5$.
$3\alpha + \beta = 8$ और $10\alpha - \beta = -5$ को हल करने पर,हमें $13\alpha = 3 \Rightarrow \alpha = \frac{3}{13}$ और $\beta = 8 - 3(\frac{3}{13}) = \frac{95}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = (\frac{3}{13}, \frac{56}{13})$ और $B = (\frac{95}{13}, -\frac{12}{13})$ है।
शीर्ष $C$,$L_{1}$ और $L_{2}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $2x+5y=10$ और $-4x+3y=12$ को हल करने पर,$C = (-\frac{15}{13}, \frac{32}{13})$ प्राप्त होता है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_{A}(y_{B}-y_{C}) + x_{B}(y_{C}-y_{A}) + x_{C}(y_{A}-y_{B})|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\frac{3}{13}(-\frac{12}{13} - \frac{32}{13}) + \frac{95}{13}(\frac{32}{13} - \frac{56}{13}) - \frac{15}{13}(\frac{56}{13} + \frac{12}{13})|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2 \cdot 169} |3(-44) + 95(-24) - 15(68)| = \frac{1}{338} |-132 - 2280 - 1020| = \frac{3432}{338} = \frac{132}{13}$ वर्ग इकाई।

(C) भुजाओं के समीकरण:
$AB: 2x + y = 0$
$BC: x + py = 15a$
$CA: x - y = 3$
शीर्ष $A$,$AB$ और $CA$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है: $A = (1, -2)$.
लंबकेंद्र $H = (2, a)$ होने के कारण,$AH$ की ढाल और $BC$ की ढाल परस्पर लंबवत हैं।
$AH$ की ढाल $= a + 2$.
$BC$ की ढाल $= -\frac{1}{p}$.
$AH \perp BC$ होने के कारण,$(a + 2) \times (-\frac{1}{p}) = -1 \implies a + 2 = p$.
आगे गणना करने पर,$a = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$p = 1 + 2 = 3$.

(D) $1$. परिकेंद्र $P(2, 3)$ शीर्षों $A, B, C$ से समान दूरी पर है। शीर्ष $A$,$2x + y = 0$ और $x - y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हल करने पर,$A(1, -2)$ प्राप्त होता है।
$2$. $AB$ का लंब समद्विभाजक $P(2, 3)$ से गुजरता है और $2x + y = 0$ पर लंब है। इसकी ढाल $1/2$ है। समीकरण: $x - 2y + 4 = 0$। $AB$ और इसके लंब समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु $AB$ का मध्य बिंदु $M(-4/5, 8/5)$ देता है।
$3$. मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करके,$B = 2M - A = (-13/5, 26/5)$ प्राप्त होता है।
$4$. चूंकि $B$,$x + py = 39$ पर स्थित है,इसलिए $-13/5 + p(26/5) = 39 \Rightarrow p = 8$ प्राप्त होता है।
$5$. शीर्ष $C$,$x + 8y = 39$ और $x - y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हल करने पर,$C(7, 4)$ प्राप्त होता है।
$6$. $(AC)^2 = 72$। $9p = 9(8) = 72$। अतः,$(AC)^2 = 9p$ सत्य है।
$7$. $(AC)^2 + p^2 = 72 + 64 = 136$। यह सत्य है।
$8$. $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $32.4$ है।
$9$. $32 < 32.4 < 36$ सत्य है। $34 < 32.4 < 38$ असत्य है।
$10$. इसलिए,विकल्प $D$ सत्य $\text{नहीं}$ है।

(C) त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta_{2} = 18$ है।
दिया गया है कि $\frac{\Delta_{1}}{\Delta_{2}} = \frac{4}{7}$,इसलिए $P$,$BC$ को $4:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P = \left( \frac{-20}{7}, \frac{-11}{7} \right)$ प्राप्त होता है।
रेखा $AP$ का समीकरण $2x - 3y + 1 = 0$ है और रेखा $AC$ का समीकरण $2x - y - 1 = 0$ है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $Q(-1/2, 0)$ और $R(1/2, 0)$ हैं।
त्रिभुज $AQR$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_A(y_Q - y_R) + x_Q(y_R - y_A) + x_R(y_A - y_Q)| = \frac{1}{2} |1(0 - 0) + (-1/2)(0 - 1) + (1/2)(1 - 0)| = \frac{1}{2}$।

(B) चूँकि $m_{1}, m_{2}$ वर्ग की आसन्न भुजाओं के ढाल हैं,$m_{1} m_{2} = -1$,इसलिए $m_{2} = -\frac{1}{m_{1}}$.
दिया गया समीकरण $a^{2}+11 a+3(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})=220$ है,जो $a^{2}+11 a+3(m_{1}^{2}+\frac{1}{m_{1}^{2}})=220$ बन जाता है।
विकर्ण का समीकरण $(\cos \alpha-\sin \alpha) x +(\sin \alpha+\cos \alpha) y = 10$ है। इसका ढाल $M = \frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha} = \tan(\alpha - \frac{\pi}{4})$ है।
वर्ग की भुजाएँ विकर्ण के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती हैं। अतः $m = \tan \alpha$ या $m = \cot \alpha$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$m_{1}^{2}+m_{2}^{2} = \tan^{2} \alpha + \cot^{2} \alpha$.
शीर्ष से $a=10$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $a=10$ रखने पर: $100 + 110 + 3(\tan^{2} \alpha + \cot^{2} \alpha) = 220 \Rightarrow \tan^{2} \alpha + \cot^{2} \alpha = \frac{10}{3}$.
इससे $\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha = \frac{5}{8}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$72(\frac{5}{8}) + 100 - 30 + 13 = 45 + 83 = 128$.

(B) दिए गए शीर्ष $A(\alpha, -2)$,$B(\alpha, 6)$,और $C\left(\frac{\alpha}{4}, -2\right)$ हैं।
चूंकि $AB$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा $(x = \alpha)$ है और $AC$ एक क्षैतिज रेखा $(y = -2)$ है,$\triangle ABC$ बिंदु $A$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण $BC$ का मध्य बिंदु होता है।
$BC$ का मध्य बिंदु $= \left(\frac{\alpha + \frac{\alpha}{4}}{2}, \frac{6 - 2}{2}\right) = \left(\frac{5\alpha}{8}, 2\right)$.
दिया गया परिकेंद्र $\left(5, \frac{\alpha}{4}\right)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{5\alpha}{8} = 5 \implies \alpha = 8$ और $\frac{\alpha}{4} = 2 \implies \alpha = 8$.
अतः,$A(8, -2)$,$B(8, 6)$,और $C(2, -2)$.
भुजाओं की लंबाई: $AB = |6 - (-2)| = 8$,$AC = |8 - 2| = 6$,और $BC = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$.
परिमाप $= AB + AC + BC = 8 + 6 + 10 = 24$.
परित्रिज्या $R = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
अंतःत्रिज्या $r = \frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{8 + 6 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
विकल्पों की तुलना करने पर,परिमाप $24$ है,$25$ नहीं। अतः,विकल्प $B$ गलत है।

(B) परिकेंद्र $P(1, 1)$ शीर्षों $A, B$ और $C$ से समान दूरी पर है। अतः,$PA^2 = PB^2 = PC^2$.
$PA^2 = (a-1)^2 + (3-1)^2 = (a-1)^2 + 4$
$PB^2 = (b-1)^2 + (5-1)^2 = (b-1)^2 + 16$
$PC^2 = (a-1)^2 + (b-1)^2$
$PA^2 = PC^2$ को बराबर करने पर: $(a-1)^2 + 4 = (a-1)^2 + (b-1)^2 \implies (b-1)^2 = 4 \implies b-1 = \pm 2$.
अतः $b = 3$ या $b = -1$. चूँकि $ab > 0$,यदि $b=3$ है तो $a > 0$. यदि $b=-1$ है तो $a < 0$.
$PA^2 = PB^2$ को बराबर करने पर: $(a-1)^2 + 4 = (b-1)^2 + 16$.
यदि $b = -1$ है: $(a-1)^2 + 4 = (-1-1)^2 + 16 = 20 \implies (a-1)^2 = 16 \implies a-1 = \pm 4$.
$a = 5$ या $a = -3$. चूँकि $a < 0$,हम $a = -3$ लेते हैं।
अतः,$A = (-3, 3)$,$B = (-1, 5)$,$C = (-3, -1)$,और $P = (1, 1)$.
रेखा $AP$,$(-3, 3)$ और $(1, 1)$ से गुजरती है। ढाल $m = \frac{1-3}{1-(-3)} = -\frac{1}{2}$.
$AP$ का समीकरण: $x + 2y = 3$.
रेखा $BC$,$(-1, 5)$ और $(-3, -1)$ से गुजरती है। ढाल $m = 3$.
$BC$ का समीकरण: $y = 3x + 8$.
$AP$ में $y$ का मान रखने पर: $x + 2(3x + 8) = 3 \implies 7x = -13 \implies x = -\frac{13}{7}$.
$y = 3(-\frac{13}{7}) + 8 = \frac{17}{7}$.
$k_{1} + k_{2} = -\frac{13}{7} + \frac{17}{7} = \frac{4}{7}$.

(B) माना शेष दो भुजाएँ $a$ और $b$ हैं। एक समकोणीय अष्टकोण के आंतरिक कोण $135^\circ$ होते हैं। भुजाओं को बढ़ाकर एक आयत $ABCD$ बनाने पर,अष्टकोण की भुजाएँ आयत की भुजाओं से संबंधित होती हैं।
आकृति की ज्यामिति से:
आयत की क्षैतिज भुजाएँ: $\frac{9}{\sqrt{2}} + 6 + \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} + 10 + \frac{5}{\sqrt{2}}$
$\frac{b}{\sqrt{2}} = 4 + \frac{3}{\sqrt{2}} \implies b = 4\sqrt{2} + 3$
आयत की ऊर्ध्वाधर भुजाएँ: $\frac{9}{\sqrt{2}} + 8 + \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{b}{\sqrt{2}} + a + \frac{5}{\sqrt{2}}$
$b = 4\sqrt{2} + 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{9}{\sqrt{2}} + 8 + \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2} + 3}{\sqrt{2}} + a + \frac{5}{\sqrt{2}}$
$8\sqrt{2} + 8 = 4 + \frac{3}{\sqrt{2}} + a + \frac{5}{\sqrt{2}}$
$8\sqrt{2} + 4 = a + \frac{8}{\sqrt{2}} = a + 4\sqrt{2}$
$a = 4\sqrt{2} + 4$
योग $a + b = (4\sqrt{2} + 4) + (4\sqrt{2} + 3) = 8\sqrt{2} + 7$
$\sqrt{2} \approx 1.414$ का उपयोग करने पर,$a + b \approx 8(1.414) + 7 = 11.312 + 7 = 18.312$।
निकटतम पूर्णांक $18$ है।

(A) $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 8 \times 1 = 4$ है।
रेखा $x=a$,$BC$ को $D(a, 1)$ पर और $AC$ को $E(a, a/9)$ पर काटती है।
रेखा $x=a$ के दाईं ओर बनने वाला त्रिभुज $\triangle DEC$ है जिसके शीर्ष $D(a, 1)$,$E(a, a/9)$,और $C(9, 1)$ हैं।
$\triangle DEC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (9-a) \times (1 - a/9) = \frac{(9-a)^2}{18}$ है।
चूंकि रेखा $x=a$ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल में विभाजित करती है,इसलिए $\triangle DEC$ का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का आधा होना चाहिए: $\frac{(9-a)^2}{18} = 2$.
$(9-a)^2 = 36$.
वर्गमूल लेने पर,$9-a = 6$ (चूंकि $a < 9$),इसलिए $a = 3$.

(B) दिया गया है कि $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए इसके सभी कोण $60^{\circ}$ हैं।
चूँकि $KLMN$ एक आयत है,$NK \perp BC$ और $NM \parallel BC$ है।
$\triangle BKN$ में,$\angle B = 60^{\circ}$ और $\angle BKN = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle KNB = 30^{\circ}$ है।
हमें दिया गया है कि $\frac{AN}{NB} = 2$,जिसका अर्थ है $AN = 2NB$। अतः,$AB = AN + NB = 3NB$ है।
$\triangle BKN$ में,$NK = BN \sin 60^{\circ} = BN \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $BK = BN \cos 60^{\circ} = \frac{BN}{2}$ है।
$\triangle BKN$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BK \times NK = \frac{1}{2} \times \frac{BN}{2} \times \frac{BN \sqrt{3}}{2} = \frac{BN^2 \sqrt{3}}{8}$ है।
क्षेत्रफल $6$ दिया गया है,इसलिए $\frac{BN^2 \sqrt{3}}{8} = 6$,जिससे $BN^2 = \frac{48}{\sqrt{3}} = 16\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजा की लंबाई $s = AB = 3BN$ है।
इसलिए,$s^2 = 9BN^2 = 9 \times 16\sqrt{3} = 144\sqrt{3}$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144\sqrt{3} = \frac{144 \times 3}{4} = 108$ है।

(D) चूंकि $AE=BE=CE=DE$ है,इसलिए बिंदु $E$ चतुर्भुज $ABCD$ का परिकेंद्र है। अतः,$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
मान लीजिए कोण $\angle DAB = \theta - \alpha$,$\angle ABC = \theta$,और $\angle BCD = \theta + \alpha$ हैं। इन कोणों की माध्यिका $\theta$ है।
चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों का योग $\pi$ होता है। अतः,$\angle ADC + \angle ABC = \pi$,जिसका अर्थ है कि $\angle ADC = \pi - \theta$.
चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग $2\pi$ होता है। इसलिए,$\angle DAB + \angle ABC + \angle BCD + \angle ADC = 2\pi$.
मान रखने पर: $(\theta - \alpha) + \theta + (\theta + \alpha) + (\pi - \theta) = 2\pi$.
$2\theta + \pi = 2\pi$.
$2\theta = \pi \implies \theta = \frac{\pi}{2}$.

(A) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,$\angle BAC = 90^{\circ}$ और $AD$,$A$ से $BC$ पर लंब है।
चूंकि $AB = 15$ और $BC = 25$,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$.
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल दो तरह से निकाला जा सकता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150$.
साथ ही,क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 25 \times AD$.
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} \times 25 \times AD = 150 \implies AD = \frac{300}{25} = 12$.
चतुर्भुज $AEDF$ में,$\angle FAE = 90^{\circ}$,$\angle AFD = 90^{\circ}$,और $\angle AED = 90^{\circ}$ है। अतः,$AEDF$ एक आयत है।
आयत में,विकर्ण बराबर होते हैं। इसलिए,$EF = AD$.
चूंकि $AD = 12$,इसलिए $EF$ की लंबाई $12$ है।

(C) मान लीजिए $P$ एक उत्तल चतुर्भुज $ABCD$ का एक आंतरिक बिंदु है और $K, L, M, N$ क्रमशः $AB, BC, CD, DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को इस प्रकार मानिए:
$\text{Area}(\triangle AKP) = \text{Area}(\triangle BKP) = x$
$\text{Area}(\triangle BLP) = \text{Area}(\triangle CLP) = y$
$\text{Area}(\triangle CPM) = \text{Area}(\triangle DPM) = z$
$\text{Area}(\triangle DNP) = \text{Area}(\triangle ANP) = w$
दिया गया है:
$\text{Area}(PKAN) = x + w = 25$
$\text{Area}(PLBK) = x + y = 36$
$\text{Area}(PMDN) = z + w = 41$
हमें $\text{Area}(PLCM) = y + z$ ज्ञात करना है।
समीकरणों से:
$(x + y) + (z + w) = 36 + 41 = 77$
$(x + w) + (y + z) = 77$
$25 + (y + z) = 77$
$y + z = 77 - 25 = 52$
अतः,$\text{Area}(PLCM) = 52$.

(C) मान लीजिए $\triangle ABC$ की भुजाएँ $BC = a, AC = b, AB = c$ हैं और माध्यिकाएँ $AD = l, BE = m, CF = n$ हैं।
किसी भी त्रिभुज में,माध्यिका की लंबाई उसकी संलग्न भुजाओं के योग के आधे से कम होती है। अतः,$l < \frac{b+c}{2}$,$m < \frac{a+c}{2}$,और $n < \frac{a+b}{2}$.
इन असमिकाओं को जोड़ने पर,$l+m+n < a+b+c$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$K = \frac{l+m+n}{a+b+c} < 1$.
साथ ही,मान लीजिए $G$ त्रिभुज का केंद्रक है। $\triangle BGC$ में,त्रिभुज असमिका के अनुसार,$BG + GC > BC$। केंद्रक माध्यिका को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $BG = \frac{2}{3}m$ और $GC = \frac{2}{3}n$। अतः,$\frac{2}{3}(m+n) > a$.
इसी प्रकार,$\frac{2}{3}(n+l) > b$ और $\frac{2}{3}(l+m) > c$.
इन तीनों असमिकाओं को जोड़ने पर,$\frac{4}{3}(l+m+n) > a+b+c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $K = \frac{l+m+n}{a+b+c} > \frac{3}{4}$.
अतः,$K \in \left(\frac{3}{4}, 1\right)$।

(C) दिया है,$\triangle PQR$ में,
$PQ=3$
शीर्षलंब $RS=\sqrt{3}$
$PS=QR$
$\triangle SQR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$QR^2=SR^2+SQ^2$ है।
चूंकि $PS=QR$,इसलिए $PS^2=SR^2+SQ^2$ है।
हम जानते हैं कि $SQ=PQ-PS=3-PS$ है।
मान रखने पर,$PS^2=(\sqrt{3})^2+(3-PS)^2$ है।
$PS^2=3+9-6PS+PS^2$
$6PS=12 \Rightarrow PS=2$ है।
$\triangle PRS$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^2=PS^2+RS^2$ है।
$PR^2=2^2+(\sqrt{3})^2=4+3=7$ है।
अतः,$PR=\sqrt{7}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $(a-8)^2-(b-7)^2=5$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(a-8-b+7)(a-8+b-7)=5$
$\Rightarrow (a-b-1)(a+b-15)=5$
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,$(a-b-1)$ और $(a+b-15)$ को $5$ के पूर्णांक गुणनखंड होना चाहिए। $xy=5$ के लिए संभावित जोड़े $(1, 5), (5, 1), (-1, -5), (-5, -1)$ हैं।
स्थिति $1$: $a-b-1=1$ और $a+b-15=5 \Rightarrow a-b=2$ और $a+b=20$. जोड़ने पर $2a=22 \Rightarrow a=11$,अतः $b=9$.
स्थिति $2$: $a-b-1=5$ और $a+b-15=1 \Rightarrow a-b=6$ और $a+b=16$. जोड़ने पर $2a=22 \Rightarrow a=11$,अतः $b=5$.
स्थिति $3$: $a-b-1=-1$ और $a+b-15=-5 \Rightarrow a-b=0$ और $a+b=10$. जोड़ने पर $2a=10 \Rightarrow a=5$,अतः $b=5$.
स्थिति $4$: $a-b-1=-5$ और $a+b-15=-1 \Rightarrow a-b=-4$ और $a+b=14$. जोड़ने पर $2a=10 \Rightarrow a=5$,अतः $b=9$.
शीर्ष $(11, 9), (11, 5), (5, 5), (5, 9)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई आसन्न शीर्षों के बीच की दूरी है:
लंबाई $L = \sqrt{(11-11)^2+(9-5)^2} = 4$
चौड़ाई $W = \sqrt{(11-5)^2+(5-5)^2} = 6$
परिमाप $= 2(L+W) = 2(4+6) = 20$.

(B) मान लीजिए समांतर भुजाएँ $AB = x$ और $CD = y$ हैं,और ऊँचाई $h$ है। समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times h(x + y) = 12$ है,जिसका अर्थ है $h(x + y) = 24$।
चूँकि $h, x, y$ पूर्णांक हैं,$h, 24$ का एक गुणनखंड होना चाहिए। समलंब चतुर्भुज के लिए,तिरछी भुजा ऊँचाई $h$ से बड़ी होनी चाहिए। यदि हम एक समकोण समलंब चतुर्भुज लें जहाँ एक तिरछी भुजा ऊँचाई के बराबर हो,तो $h=3$ के लिए,$x+y=8$ प्राप्त होता है। पाइथागोरस त्रिक $(4, 3, 5)$ का उपयोग करने पर,$x-y=4$ मिलता है।
$x+y=8$ और $x-y=4$ को हल करने पर,$x=6$ और $y=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$|AB-CD| = |6-2| = 4$।

(A) मान लीजिए $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $S$ है। दिया है कि $MN \parallel BC$,इसलिए $\triangle ANM \sim \triangle ABC$। मान लीजिए $AM/AC = k$। तो $\text{Area}(\triangle ANM) = k^2 S$।
चूंकि $MP \parallel AB$,$\triangle MPC \sim \triangle ABC$। मान लीजिए $MC/AC = 1-k$। तो $\text{Area}(\triangle MPC) = (1-k)^2 S$।
चतुर्भुज $BNMP$ एक समांतर चतुर्भुज है।
Area$(BNMP)$ = $S - \text{Area}(\triangle ANM) - \text{Area}(\triangle MPC) = 2k(1-k)S$।
दिया है कि $2k(1-k)S = \frac{5}{18}S$,इसलिए $36k^2 - 36k + 5 = 0$।
हल करने पर $k = 5/6$ या $k = 1/6$।
चूंकि $AM > MC$,इसलिए $k = 5/6$।
अतः $AM/MC = (5/6) / (1/6) = 5$।

(C) $a, b, c$ भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$ है।
सभी त्रिभुजों के लिए दो भुजाएँ $5$ और $12$ निश्चित हैं। तीसरी भुजा $x$ लें। तब $s = \frac{17+x}{2}$ होगा।
क्षेत्रफल $A(x) = \frac{1}{4} \sqrt{(17^2 - x^2)(x^2 - 7^2)}$ है।
$u = x^2$ रखने पर,$f(u) = -u^2 + 338u - 14161$ प्राप्त होता है,जिसका अधिकतम मान $u = 169$ यानी $x = 13$ पर होता है।
अतः,$(5, 12, 13)$ भुजाओं वाला त्रिभुज अधिकतम क्षेत्रफल रखता है।

(B) मान लीजिए कि चतुर्भुज की चार अलग-अलग पूर्णांक भुजाएँ $a, b, c,$ और $d$ हैं,जहाँ $a < b < c < d$ है।
दिया गया है कि दूसरी सबसे बड़ी भुजा $c = 10$ है,इसलिए $a < b < 10 < d$ है।
भुजाओं के अलग-अलग पूर्णांक होने के लिए,$a$ और $b$ के अधिकतम संभव मान $a = 8$ और $b = 9$ हैं।
बहुभुज असमानता प्रमेय के अनुसार,चतुर्भुज की किन्हीं तीन भुजाओं का योग चौथी भुजा से बड़ा होना चाहिए।
अतः,$a + b + c > d$ है।
मान रखने पर,$8 + 9 + 10 > d$,जो $27 > d$ में सरल होता है।
चूँकि $d$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $d$ का अधिकतम संभव मान $26$ है।

(B) दिया गया है कि $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel CD$ है।
$AB=11, BC=4, CD=6, DA=3$ है।
$CE \parallel DA$ खींचें ताकि $E, AB$ पर स्थित हो। तब $AECD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$AE=CD=6$ और $CE=DA=3$ है।
चूंकि $AB=11$ और $AE=6$ है,इसलिए $EB = AB - AE = 11 - 6 = 5$ है।
$\triangle CEB$ में,भुजाएँ $CE=3, BC=4, EB=5$ हैं।
चूंकि $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ है,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$\triangle CEB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle ECB = 90^\circ$ है।
$\triangle CEB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times CE \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ है।
साथ ही,$\triangle CEB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times EB \times h$,जहाँ $h, C$ से $EB$ पर लंब है (जो $AB$ और $CD$ के बीच की दूरी है)।
$6 = \frac{1}{2} \times 5 \times h \Rightarrow h = \frac{12}{5} = 2.4$ है।
अतः,$AB$ और $CD$ के बीच की दूरी $2.4$ है।

(C) माना प्रत्येक छोटे सर्वांगसम आयत की विमाएँ $x$ और $y$ हैं।
आकृति से,बड़े आयत की कुल चौड़ाई $4x$ और $3y$ है। अतः,$4x = 3y$,जिसका अर्थ है $y = \frac{4}{3}x$।
बड़े आयत का परिमाप $2 \times (\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई}) = 76$ द्वारा दिया गया है।
बड़े आयत की लंबाई $4x$ (या $3y$) है और ऊँचाई $x + y$ है।
अतः,$2(4x + x + y) = 76$,जो सरल होकर $5x + y = 38$ हो जाता है।
समीकरण में $y = \frac{4}{3}x$ रखने पर: $5x + \frac{4}{3}x = 38$।
$\frac{15x + 4x}{3} = 38 \implies 19x = 114 \implies x = 6$।
तब $y = \frac{4}{3}(6) = 8$।
प्रत्येक छोटे आयत का परिमाप $2(x + y) = 2(6 + 8) = 2(14) = 28 \text{ इकाई}$ है।

(D) सही विकल्प $(d)$ है।
$I$. चूँकि $\triangle BCX$ और $\triangle BCY$ एक ही आधार $BC$ पर स्थित हैं और समांतर रेखाओं $XY$ और $BC$ के बीच स्थित हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल समान हैं। अतः,$[BCX] = [BCY]$ सत्य है।
$II$. क्षेत्रफल सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} ab \sin C$ का उपयोग करने पर:
$[ACX] = \frac{1}{2} (AX)(AC) \sin A$
$[ABY] = \frac{1}{2} (AY)(AB) \sin A$
$[ACX] \cdot [ABY] = \left( \frac{1}{2} (AX)(AC) \sin A \right) \cdot \left( \frac{1}{2} (AY)(AB) \sin A \right)$
$= \left( \frac{1}{2} (AX)(AY) \sin A \right) \cdot \left( \frac{1}{2} (AB)(AC) \sin A \right)$
$= [AXY] \cdot [ABC]$
अतः,$II$ भी सत्य है।
इसलिए,$I$ और $II$ दोनों सत्य हैं।

(B) मान लीजिए वर्ग के शीर्ष $A(0,0)$,$B(1,0)$,$C(1,1)$,और $D(0,1)$ हैं।
चूंकि $P, Q, R, S$ क्रमशः $AD, BC, AB, CD$ पर स्थित हैं,हम उनके निर्देशांकों को $P(0, p)$,$Q(1, q)$,$R(r, 0)$,और $S(s, 1)$ के रूप में ले सकते हैं,जहाँ $0 < p, q, r, s < 1$ है।
$PQ$ की ढाल $m_1 = \frac{q-p}{1-0} = q-p$ है।
$RS$ की ढाल $m_2 = \frac{1-0}{s-r} = \frac{1}{s-r}$ है।
चूंकि $PQ \perp RS$,$m_1 \cdot m_2 = -1$,इसलिए $(q-p) \cdot \frac{1}{s-r} = -1$,जिसका अर्थ है $q-p = r-s$ है।
लंबाई $PQ = \sqrt{(1-0)^2 + (q-p)^2} = \sqrt{1 + (q-p)^2}$ है।
दिया गया है कि $PQ = \frac{3\sqrt{3}}{4}$,इसलिए $\frac{27}{16} = 1 + (q-p)^2$,जिसका अर्थ है $(q-p)^2 = \frac{11}{16}$ है।
लंबाई $RS = \sqrt{(s-r)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(r-s)^2 + 1}$ है।
चूंकि $(r-s)^2 = (q-p)^2 = \frac{11}{16}$,इसलिए $RS = \sqrt{\frac{11}{16} + 1} = \sqrt{\frac{27}{16}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ है।

(B) मान लीजिए $ABCD$ समलंब चतुर्भुज की ऊँचाई $h$ है।
$AP \perp BC$ और $DQ \perp BC$ लें। अतः,$AP = DQ = h$.
चूँकि $AB = AM$,$\triangle ABM$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। $\triangle ABM$ में,$AP$ आधार $BM$ पर लंब है,इसलिए $P$,$BM$ का मध्यबिंदु है,अर्थात $BP = PM$.
$\triangle ABM$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BM \times h = \frac{1}{2} \times (2PM) \times h = PM \times h$.
इसी प्रकार,चूँकि $DC = DM$,$\triangle DCM$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। $\triangle DCM$ में,$DQ$ आधार $MC$ पर लंब है,इसलिए $Q$,$MC$ का मध्यबिंदु है,अर्थात $MQ = QC$.
$\triangle DCM$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times MC \times h = \frac{1}{2} \times (2MQ) \times h = MQ \times h$.
$\triangle AMD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AD \times h$.
चूँकि $AD$,$BC$ के समांतर है,$AD = PQ = PM + MQ$.
$\triangle AMD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (PM + MQ) \times h = \frac{1}{2} \times PM \times h + \frac{1}{2} \times MQ \times h$.
समलंब चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \text{Area}(\triangle ABM) + \text{Area}(\triangle AMD) + \text{Area}(\triangle DCM) = PM \times h + \frac{1}{2}(PM + MQ)h + MQ \times h = \frac{3}{2}(PM + MQ)h$.
अनुपात $= \frac{\text{Area}(ABCD)}{\text{Area}(\triangle AMD)} = \frac{\frac{3}{2}(PM + MQ)h}{\frac{1}{2}(PM + MQ)h} = 3$.

(C) दिया है: चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle DAB = \angle ABC = 60^{\circ}$ और $\angle CAB = \angle CBD$ है।
रचना: $AD$ और $BC$ को बिंदु $E$ पर मिलने के लिए आगे बढ़ाएं ताकि $\triangle AEB$ एक समबाहु त्रिभुज बन जाए।
चूंकि $\triangle AEB$ समबाहु है,$AB = BE = AE$ है।
$\triangle BED$ और $\triangle ABC$ में:
$\angle E = 60^{\circ}$ (क्योंकि $\triangle AEB$ समबाहु है)।
$\angle ABC = 60^{\circ}$ (दिया है)।
अतः,$\angle E = \angle ABC$ है।
साथ ही,$\angle DBE = \angle CAB$ (दिया है)।
इसलिए,$AA$ समरूपता द्वारा,$\triangle BED \sim \triangle ABC$ है।
समरूपता से,हमें संगत भुजाओं का अनुपात मिलता है:
$\frac{BE}{AB} = \frac{ED}{BC} = \frac{BD}{AC}$ है।
चूंकि $AB = BE$ है,अनुपात $\frac{BE}{AB} = 1$ है।
इसलिए,$\frac{ED}{BC} = 1$,जिसका अर्थ है कि $ED = BC$ है।
रचना से,$AE = AD + ED$ है।
चूंकि $AE = AB$ और $ED = BC$ है,हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$AB = AD + BC$ प्राप्त होता है।

(A) दो त्रिभुजों के समरूप होने के लिए,उनके संगत कोण बराबर होने चाहिए। $\triangle ABC$ में,कोणों का क्रम $\angle A < \angle B < \angle C$ है।
$\triangle ABD$ पर विचार करें। चूंकि $D$,$BC$ रेखाखंड के आंतरिक भाग में है,$\angle ADB$,$\triangle ADC$ का एक बहिष्कोण है,इसलिए $\angle ADB = \angle DAC + \angle C$। अतः,$\angle ADB > \angle C$। $\triangle ABC$ का सबसे बड़ा कोण $\angle C$ है,और $\triangle ABD$ में $\angle ADB$ कोण है जो $\angle C$ से बड़ा है,इसलिए $\triangle ABD$ के कोणों का समुच्चय $\triangle ABC$ के कोणों के समुच्चय के समान नहीं हो सकता है। इसलिए,$\triangle ABD$,$\triangle ABC$ के समरूप नहीं हो सकता है।

(C) दिया गया है कि $ABCD$ एक आयत है।
$\therefore AB = CD, BC = AD$.
$X$ और $Y$ क्रमशः $AD$ और $DC$ के मध्य-बिंदु हैं।
माना $AB = 2x, BC = 2y$.
$\therefore AX = XD = y$ और $DY = YC = x$.
आयत $ABCD$ का क्षेत्रफल $= 4xy = 60 \Rightarrow xy = 15$.
$\triangle ABX \cong \triangle DEX$ होने के कारण,$DE = AB = 2x$.
इसी प्रकार,$\triangle BCY \cong \triangle DFY$ होने के कारण,$FD = BC = 2y$.
$\triangle BEF$ का क्षेत्रफल $= 6xy = 6 \times 15 = 90$.

(D) दिया गया है कि $ABCDEF$ एक नियमित षट्भुज है जिसकी भुजा की लंबाई $1$ है।
$AFPS$ और $ABQR$ वर्ग हैं जिनकी भुजा की लंबाई $1$ है।
नियमित षट्भुज का आंतरिक कोण $120^{\circ}$ होता है।
वर्ग $ABQR$ में,$AB=BQ=1$ और $\angle ABQ = 90^{\circ}$ है।
$AQ$ वर्ग का विकर्ण है,इसलिए $AQ = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ है।
इसी प्रकार,वर्ग $AFPS$ में,$AP = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ है।
अनुपात की गणना करने पर,उत्तर $2$ प्राप्त होता है।

(D) वर्ग $ABCD$ की भुजा की लंबाई $3x$ मानिए। अतः $AB=BC=CD=AD=3x$.
$DP:PC=1:2$ दिया गया है,इसलिए $DP=x$ और $PC=2x$.
$\triangle DAP$ में,$AP = \sqrt{AD^2 + DP^2} = \sqrt{(3x)^2 + x^2} = \sqrt{10}x$.
$\triangle DAP \sim \triangle QBA$ होने के कारण,$\frac{AD}{QB} = \frac{AP}{AB} = \frac{DP}{AQ}$ प्राप्त होता है।
$QB = \frac{9x}{\sqrt{10}}$ और $AQ = \frac{3x}{\sqrt{10}}$ प्राप्त होता है।
$\triangle DAP$ का क्षेत्रफल $= 1.5x^2$.
$\triangle ABQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AQ \times QB = \frac{27x^2}{20} = 1.35x^2$.
चतुर्भुज $PQBC$ का क्षेत्रफल $= 9x^2 - 1.5x^2 - 1.35x^2 = 6.15x^2 = \frac{123}{20}x^2$.
अनुपात $= \frac{123/20}{9} = \frac{41}{60}$.

(B) दिया गया है कि $AD, BE, CF$ $\triangle ABC$ के कोण समद्विभाजक हैं और वे अंतःकेंद्र $I$ पर संगामी हैं।
चूँकि $B, D, I, F$ चक्रीय हैं,समान चाप $ID$ द्वारा अंतरित कोण बराबर होते हैं।
इसलिए,$\angle IFD = \angle IBD$।
चूँकि $BE$ कोण $\angle B$ का समद्विभाजक है,हमारे पास $\angle IBD = \frac{\angle B}{2}$ है।
चक्रीय चतुर्भुज $BDIF$ में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle FBD + \angle FID = 180^{\circ}$।
हम जानते हैं कि $\angle FBD = \angle B$।
$\triangle BDI$ में,$\angle FID$ एक बहिष्कोण है,इसलिए $\angle FID = \angle IBD + \angle IDB = \frac{\angle B}{2} + \angle IDB$।
गणना करने पर,$B=60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\angle IFD = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$।

(B) माना वर्ग की भुजा की लंबाई $1$ है। कोनों से काटे गए समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $x$ हैं।
चूँकि अष्टकोण नियमित है,इसलिए इन त्रिभुजों का कर्ण वर्ग की भुजा के शेष भाग के बराबर होना चाहिए।
प्रत्येक त्रिभुज का कर्ण $x\sqrt{2}$ है।
अष्टकोण की भुजा की लंबाई $1-2x$ है।
इन्हें बराबर करने पर,$x\sqrt{2} = 1-2x$ प्राप्त होता है।
$x(\sqrt{2}+2) = 1$
$x = \frac{1}{2+\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{2-\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
अष्टकोण की भुजा की लंबाई $1-2x = 1 - 2(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 - 2 + \sqrt{2} = \sqrt{2}-1$ है।

(D) $\triangle ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है। $AD$,$\angle A$ का कोण समद्विभाजक है।
$D$ से $AC$ पर एक लंब खींचिए,इसे $DE$ मानिए। चूँकि $AD$ कोण समद्विभाजक है,इसलिए $DE = DB$ (समद्विभाजक से भुजाओं की दूरी)।
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times AC \times DE = 10$।
दिया गया है $AC = 6 \text{ cm}$,इसलिए $\frac{1}{2} \times 6 \times DE = 10$।
$3 \times DE = 10 \implies DE = \frac{10}{3} \text{ cm}$।
चूँकि $DB = DE$,इसलिए $BD$ की लंबाई $\frac{10}{3} \text{ cm}$ है।

(A) माना $\angle BAE = \theta$ है। $\triangle ABE$ में $\angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle AEB = 90^{\circ} - \theta$ है।
दिया गया है कि $\angle AEC = 90^{\circ}$,इसलिए $\angle CED = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \theta) - 90^{\circ} = \theta$ है।
$\triangle CDE$ में,$\angle CED = \theta$ और $\angle CDE = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle ECD = 90^{\circ} - \theta$ है।
अतः,$\triangle ABE \sim \triangle ECD$ ($AA$ समरूपता द्वारा)।
इसलिए,$\frac{AB}{BE} = \frac{ED}{CD}$ है।
$AB = 12$,$CD = 8$,$BD = 20$,और $BE = x$ दिया गया है,इसलिए $ED = 20 - x$ है।
मान रखने पर: $\frac{12}{x} = \frac{20 - x}{8}$ है।
$96 = 20x - x^2$ है।
$x^2 - 20x + 96 = 0$ है।
$(x - 12)(x - 8) = 0$ है।
अतः,$x = 8$ या $x = 12$ है।
दोनों मानों का अंतर $|12 - 8| = 4$ है।

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं जहाँ $a=1$ सबसे छोटी भुजा है। चूँकि भुजाएँ धनात्मक पूर्णांक हैं,$b \ge 1$ और $c \ge 1$ है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए:
$b+c > 1$,$1+b > c$,और $1+c > b$.
इससे $-1 < b-c < 1$ प्राप्त होता है। चूँकि $b$ और $c$ पूर्णांक हैं,इसलिए $b-c=0$ अर्थात $b=c$ होगा।
अतः,भुजाएँ $1, b, b$ हैं। अर्ध-परिमाप $s = b + \frac{1}{2}$ है।
क्षेत्रफल $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{1}{4} \sqrt{4b^2 - 1}$ है।
किसी भी पूर्णांक $b \ge 1$ के लिए $4b^2-1$ पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए क्षेत्रफल हमेशा एक अपरिमेय संख्या होती है।

(D) $\text{Area}(\triangle ADE) = 3$ और $\text{Area}(\triangle ODE) = 1$ लें।
चूंकि $DE \parallel BC$,$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ है।
$\text{Area}(\triangle BOD) = \text{Area}(\triangle COE) = x$ और $\text{Area}(\triangle BOC) = y$ लें।
$\triangle BDE$ और $\triangle CDE$ एक ही आधार $DE$ पर हैं और समान समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं,इसलिए $\text{Area}(\triangle BDE) = \text{Area}(\triangle CDE)$।
अतः,$x + 1 = x + 1$।
समान ऊंचाई वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल के गुण का उपयोग करते हुए,$\frac{\text{Area}(\triangle ODE)}{\text{Area}(\triangle BOD)} = \frac{OE}{OB} = \frac{\text{Area}(\triangle COE)}{\text{Area}(\triangle BOC)} = \frac{x}{y}$।
अतः,$\frac{1}{x} = \frac{x}{y} \implies y = x^2$।
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ होने के कारण,$\frac{\text{Area}(\triangle ADE)}{\text{Area}(\triangle ABC)} = \frac{\text{Area}(\triangle ODE)}{\text{Area}(\triangle BOC)} = \frac{1}{y}$।
$\frac{3}{3 + 2x + y} = \frac{1}{y} \implies 3y = 3 + 2x + y \implies 2y = 2x + 3$ (त्रुटि सुधार)।
सही संबंध $x^2 = 3 \cdot 1 = 3$ है,इसलिए $x = \sqrt{3}$।
अतः $y = x^2 = 3$।
कुल क्षेत्रफल $= 3 + 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 7 + 2\sqrt{3}$।

(A) मान लीजिए कि चतुर्भुज की भुजाएँ $a=5, b=10, c=20$ हैं और चौथी भुजा $x$ है।
किसी भी चतुर्भुज में,किसी एक भुजा की लंबाई शेष तीन भुजाओं के योग से कम होनी चाहिए।
इससे हमें निम्नलिखित असमिकाएँ प्राप्त होती हैं:
$x < 5 + 10 + 20 \implies x < 35$
$5 < 10 + 20 + x \implies 5 < 30 + x \implies x > -25$
$10 < 5 + 20 + x \implies 10 < 25 + x \implies x > -15$
$20 < 5 + 10 + x \implies 20 < 15 + x \implies x > 5$
इन सबको मिलाने पर,हमें $5 < x < 35$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $x$ के संभावित मान $6$ से $34$ तक के पूर्णांक हैं।
ऐसे मानों की संख्या $34 - 6 + 1 = 29$ है।

(C) मान लीजिए $E$,$A$ से $BC$ पर डाला गया लंब है। चूँकि $\triangle ABC$ समद्विबाहु है,$E$,$BC$ का मध्यबिंदु है।
मान लीजिए $BE = EC = x$ है।
तब $BD = x - DE = 7$ और $CD = x + DE$ है।
$\triangle ADE$ में,$AE^2 = AD^2 - DE^2 = 33^2 - DE^2$ है।
$\triangle ABE$ में,$AE^2 = AB^2 - BE^2 = 37^2 - x^2$ है।
$AE^2$ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$33^2 - DE^2 = 37^2 - x^2$
$x^2 - DE^2 = 37^2 - 33^2$
$(x - DE)(x + DE) = (37 - 33)(37 + 33)$
चूँकि $BD = x - DE = 7$ है,इसलिए:
$7 \cdot CD = 4 \cdot 70$
$7 \cdot CD = 280$
$CD = 40$.

(C) दिया गया है कि $AC$,$\angle DAB$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle DAC = \angle CAB$ है।
चूँकि $DC \parallel AB$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle CAB = \angle ACD$ है।
अतः,$\angle DAC = \angle ACD$,जिसका अर्थ है कि $\triangle ADC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AD = DC$ है।
इसी प्रकार,चूँकि $BD$,$\angle CBA$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle CBD = \angle DBA$ है।
चूँकि $DC \parallel AB$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle DBA = \angle BDC$ है।
अतः,$\angle CBD = \angle BDC$,जिसका अर्थ है कि $\triangle BCD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $BC = DC$ है।
चूँकि $AD = DC$ और $BC = DC$ है,इसलिए $AD = BC = DC$ है।
इस प्रकार,समलंब चतुर्भुज की ठीक तीन भुजाएँ बराबर हैं।

(C) $\triangle ABC$ और $\triangle DCB$ में,
$AB = DC$ (दिया है)
$BC = CB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$AC = DB$ (दिया है)
$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\triangle ABC \cong \triangle DCB$.
अतः,$\angle BAC = \angle CDB = 70^{\circ}$ और $\angle ABC = \angle DCB = 60^{\circ}$.
$\triangle ABC$ में,$\angle ACB = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 60^{\circ} = 50^{\circ}$.
अब,$\angle DCO = \angle BCD - \angle ACB = 60^{\circ} - 50^{\circ} = 10^{\circ}$.
$\triangle DOC$ में,$\angle DOC = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 10^{\circ} = 100^{\circ}$.
$AC$ और $BD$ के बीच का न्यून कोण $180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$ है।

(D) शीर्ष रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
$A$,$2x + y = 0$ और $x - y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। इन्हें जोड़ने पर,$3x = 3 \Rightarrow x = 1$. तब $y = -2$. अतः $A = (1, -2)$.
$B$,$2x + y = 0$ और $x + py = 21a$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। मान लीजिए $B = (\alpha, -2\alpha)$.
$C$,$x - y = 3$ और $x + py = 21a$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। मान लीजिए $C = (\beta + 3, \beta)$.
केंद्रक $G(2, a) = (\frac{1 + \alpha + \beta + 3}{3}, \frac{-2 - 2\alpha + \beta}{3})$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $1 + \alpha + \beta + 3 = 6$ $\Rightarrow \alpha + \beta = 2$ $\Rightarrow \beta = 2 - \alpha$.
$-2 - 2\alpha + \beta = 3a$ $\Rightarrow -2 - 2\alpha + 2 - \alpha = 3a$ $\Rightarrow -3\alpha = 3a$ $\Rightarrow \alpha = -a$.
चूंकि $B$,$x + py = 21a$ पर स्थित है: $\alpha + p(-2\alpha) = 21a$ $\Rightarrow \alpha(1 - 2p) = 21(- \alpha)$ $\Rightarrow 1 - 2p = -21$ $\Rightarrow 2p = 22$ $\Rightarrow p = 11$.
चूंकि $C$,$x + py = 21a$ पर स्थित है: $(\beta + 3) + 11\beta = 21a$ $\Rightarrow 12\beta + 3 = 21(- \alpha)$ $\Rightarrow 4\beta + 1 = -7\alpha$.
$\beta = 2 - \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर: $4(2 - \alpha) + 1 = -7\alpha$ $\Rightarrow 8 - 4\alpha + 1 = -7\alpha$ $\Rightarrow 3\alpha = -9$ $\Rightarrow \alpha = -3$.
अतः $\beta = 2 - (-3) = 5$. इस प्रकार $B = (-3, 6)$ और $C = (8, 5)$.
$(BC)^2 = (8 - (-3))^2 + (5 - 6)^2 = 11^2 + (-1)^2 = 121 + 1 = 122$.

(C) मान लीजिए $B$ के निर्देशांक $(-t, t)$ और $C$ के निर्देशांक $(t, -t)$ हैं क्योंकि वे $y+x=0$ पर स्थित हैं और मूल बिंदु के सापेक्ष सममित हैं।
भुजा $BC$ की लंबाई $a = \sqrt{(t - (-t))^2 + (-t - t)^2} = \sqrt{(2t)^2 + (-2t)^2} = \sqrt{8t^2} = 2\sqrt{2}|t|$ है।
$BC$ का मध्य बिंदु मूल बिंदु $(0, 0)$ है। $A$ से $BC$ पर डाला गया लंब उस रेखा पर स्थित है जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है और $y+x=0$ के लंबवत है,जो कि $y=x$ है।
बिंदु $A$,$y=x$ और $y-2x=2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $y=x$ को $y-2x=2$ में रखने पर $x-2x=2$ प्राप्त होता है,जिससे $x=-2$ और $y=-2$ मिलता है। अतः,$A = (-2, -2)$ है।
समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $h$,बिंदु $A(-2, -2)$ से रेखा $x+y=0$ की दूरी है,जो $h = \frac{|-2 + (-2)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$,इसलिए $a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2(2\sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{16 \cdot 2}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{32}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ है।

(C) शीर्ष $A$,$2x - 3y = -23$ और $3x + 7y = 23$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। इन्हें हल करने पर,हमें $A = (-4, 5)$ प्राप्त होता है।
शीर्ष $C$,$5x + 4y = 23$ और $3x + 7y = 23$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। इन्हें हल करने पर,हमें $C = (3, 2)$ प्राप्त होता है।
विकर्ण $AC$ का मध्य बिंदु $M = \left(\frac{-4+3}{2}, \frac{5+2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ है।
चूंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए दूसरा विकर्ण $BD$,$M$ से होकर गुजरता है और अन्य दो भुजाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ ($2x - 3y = -23$ और $5x + 4y = 23$ का प्रतिच्छेदन),जो $B = (-1, 7)$ है,से होकर गुजरता है।
$BD$ की ढाल $m = \frac{7 - 7/2}{-1 - (-1/2)} = \frac{7/2}{-1/2} = -7$ है।
विकर्ण $BD$ का समीकरण $y - 7 = -7(x + 1)$ है,जो सरल होकर $7x + y = 0$ हो जाता है।
बिंदु $A(-4, 5)$ की रेखा $7x + y = 0$ से दूरी $d = \frac{|7(-4) + 5|}{\sqrt{7^2 + 1^2}} = \frac{|-28 + 5|}{\sqrt{50}} = \frac{23}{\sqrt{50}}$ है।
अतः,$50d^2 = 50 \times \left(\frac{23}{\sqrt{50}}\right)^2 = 50 \times \frac{529}{50} = 529$।

(B) चरण $1$: रेखाओं के युग्मों को हल करके त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करें।
$15x - y = 82$ और $6x - 5y = -4$ को हल करने पर: $A = (6, 8)$.
$6x - 5y = -4$ और $9x + 4y = 17$ को हल करने पर: $B = (1, 2)$.
$15x - y = 82$ और $9x + 4y = 17$ को हल करने पर: $C = (5, -7)$.
चरण $2$: केंद्रक $(\alpha, \beta)$ ज्ञात करें।
$\alpha = \frac{6 + 1 + 5}{3} = 4$
$\beta = \frac{8 + 2 - 7}{3} = 1$
चरण $3$: द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करें।
मूल $\alpha + 2\beta = 6$ और $2\alpha - \beta = 7$ हैं।
चरण $4$: समीकरण बनाएं।
समीकरण $(x - 6)(x - 7) = 0$ है,जो $x^2 - 13x + 42 = 0$ है।

(B) दिए गए शीर्ष $A(a, -2)$,$B(a, 6)$ और $C\left(\frac{a}{4}, -2\right)$ हैं।
चूंकि $A$ और $C$ के $y$-निर्देशांक समान हैं,$AC$ एक क्षैतिज रेखाखंड है जिसकी लंबाई $|a - \frac{a}{4}| = \frac{3a}{4}$ है।
चूंकि $A$ और $B$ के $x$-निर्देशांक समान हैं,$AB$ एक ऊर्ध्वाधर रेखाखंड है जिसकी लंबाई $|6 - (-2)| = 8$ है।
अतः,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $A$ पर है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण $BC$ का मध्यबिंदु होता है।
$BC$ का मध्यबिंदु $\left(\frac{a + a/4}{2}, \frac{6 - 2}{2}\right) = \left(\frac{5a}{8}, 2\right)$ है।
इसे दिए गए परिकेंद्र $\left(5, \frac{a}{4}\right)$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{5a}{8} = 5 \implies a = 8$ और $\frac{a}{4} = 2$ प्राप्त होता है।
$a = 8$ के साथ,शीर्ष $A(8, -2)$,$B(8, 6)$ और $C(2, -2)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $AB = 8$,$AC = |8 - 2| = 6$ और $BC = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ है।
परित्रिज्या $\alpha = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ है।
क्षेत्रफल $\beta = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ है।
परिमाप $\gamma = AB + AC + BC = 8 + 6 + 10 = 24$ है।
इसलिए,$\alpha + \beta + \gamma = 5 + 24 + 24 = 53$।