Problems related to triangle and quadrilateral Questions in Hindi

(B) रेखा $x - y = 2$ की ढाल $m_1 = 1$ है। मान लीजिए कि अभीष्ट रेखाओं की ढाल $m$ है। रेखाओं के बीच का कोण $45^\circ$ है,इसलिए $\tan 45^\circ = |\frac{m - 1}{1 + m(1)}|$.
$1 = |\frac{m - 1}{m + 1}|$.
इससे $m - 1 = m + 1$ (जो असंभव है) या $m - 1 = -(m + 1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2m = 0$,इसलिए $m = 0$। दूसरी रेखा $y = 4$ के लंबवत होनी चाहिए,इसलिए $x = 3$।
रेखाएँ $y = 4$,$x = 3$,और $x - y = 2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$) $y = 4$ और $x = 3 \implies (3, 4)$.
$2$) $y = 4$ और $x - y = 2 \implies x = 6 \implies (6, 4)$.
$3$) $x = 3$ और $x - y = 2 \implies y = 1 \implies (3, 1)$.
शीर्षों $(3, 4), (6, 4), (3, 1)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times |6 - 3| \times |4 - 1| = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$ है।

(A) रेखा का दिया गया समीकरण $x \sin \alpha + y \cos \alpha = \sin 2\alpha$ है।
दोनों पक्षों को $\sin 2\alpha$ (जहाँ $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$) से विभाजित करने पर:
$\frac{x \sin \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} + \frac{y \cos \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = 1$
$\frac{x}{2 \cos \alpha} + \frac{y}{2 \sin \alpha} = 1$
यह अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ में है,जहाँ $x$-अंतःखंड $a = 2 \cos \alpha$ और $y$-अंतःखंड $b = 2 \sin \alpha$ है।
रेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |a| |b|$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta = \frac{1}{2} |2 \cos \alpha| |2 \sin \alpha| = 2 |\sin \alpha \cos \alpha| = |\sin 2\alpha|$.
क्षेत्रफल को धनात्मक मानते हुए,परिणाम $\sin 2\alpha$ है।

(B) दी गई रेखाएँ $ax + by + c = 0$,$ax + by - c = 0$,$ax - by + c = 0$,और $ax - by - c = 0$ हैं।
इन्हें अंतःखंड रूप में $\frac{x}{\pm c/a} + \frac{y}{\pm c/b} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $A(\frac{c}{a}, 0)$,$B(0, \frac{c}{b})$,$C(-\frac{c}{a}, 0)$,और $D(0, -\frac{c}{b})$ हैं।
इस चतुर्भुज के विकर्ण $AC$ और $BD$ क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर स्थित हैं।
चूंकि अक्ष परस्पर लंबवत हैं,इसलिए विकर्ण भी लंबवत हैं,जिससे यह समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज बन जाता है।
विकर्ण $AC$ की लंबाई $= |\frac{c}{a} - (-\frac{c}{a})| = \frac{2c}{a}$।
विकर्ण $BD$ की लंबाई $= |\frac{c}{b} - (-\frac{c}{b})| = \frac{2c}{b}$।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times \frac{2c}{a} \times \frac{2c}{b} = \frac{2c^2}{ab}$।

(A) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएँ निर्देशांक अक्ष,$X$-अक्ष और $Y$-अक्ष हैं। बिंदु को $P(x, y)$ मानिए।
बिंदु $P$ की $X$-अक्ष से दूरी $|y|$ है और $Y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों का योग $1$ है,इसलिए $|x| + |y| = 1$ है।
यदि बिंदु प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,तो $x > 0$ और $y > 0$,इसलिए $x + y = 1$ है।
यदि बिंदु द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है,तो $x < 0$ और $y > 0$,इसलिए $-x + y = 1$ है।
यदि बिंदु तृतीय चतुर्थांश में स्थित है,तो $x < 0$ और $y < 0$,इसलिए $-x - y = 1$ है।
यदि बिंदु चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है,तो $x > 0$ और $y < 0$,इसलिए $x - y = 1$ है।
ये चार समीकरण $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ और $(0, -1)$ शीर्षों वाले एक वर्ग की भुजाओं को दर्शाते हैं।
अतः,बिंदु पथ एक वर्ग है।

(C) माना तीसरी भुजा की ढाल $m$ है। बिंदु $(1, -10)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y + 10 = m(x - 1)$ है,जिसे $mx - y - (m + 10) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि त्रिभुज समद्विबाहु है,तीसरी भुजा दी गई दो भुजाओं के साथ समान कोण बनाती है। दी गई रेखाओं की ढाल $m_1 = 7$ और $m_2 = -1$ हैं।
दो रेखाओं के बीच के कोण के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}| = |\frac{m - m_2}{1 + m \cdot m_2}|$,हमें प्राप्त होता है:
$|\frac{m - 7}{1 + 7m}| = |\frac{m + 1}{1 - m}|$.
इस समीकरण को हल करने पर,हमें $m = \frac{1}{3}$ या $m = -3$ प्राप्त होता है।
$m = \frac{1}{3}$ के लिए,समीकरण $x - 3y - 31 = 0$ प्राप्त होता है।
$m = -3$ के लिए,समीकरण $3x + y + 7 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) शीर्षों को ज्ञात करने के लिए,हम दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन को हल करते हैं:
$A = AB \cap DA: x + 2y = 3$ और $5x + y + 12 = 0 \implies A(-3, 3)$
$B = AB \cap BC: x + 2y = 3$ और $x = 1 \implies B(1, 1)$
$C = BC \cap CD: x = 1$ और $x - 3y = 4 \implies C(1, -1)$
$D = CD \cap DA: x - 3y = 4$ और $5x + y + 12 = 0 \implies D(-2, -2)$
विकर्ण $AC$ की ढाल $(m_1)$: $\frac{-1 - 3}{1 - (-3)} = \frac{-4}{4} = -1$
विकर्ण $BD$ की ढाल $(m_2)$: $\frac{-2 - 1}{-2 - 1} = \frac{-3}{-3} = 1$
चूँकि $m_1 \times m_2 = (-1) \times (1) = -1$,इसलिए विकर्ण लंबवत हैं।
अतः,विकर्णों $AC$ और $BD$ के बीच का कोण $90^\circ$ है।

(D) माना शीर्ष $A(2, 1)$,$B(5, 2)$ और $C(4, 4)$ हैं।
भुजा $AB$ का समीकरण $x - 3y + 1 = 0$ है।
$C(4, 4)$ से $AB$ पर लंब की लंबाई $D_C = \frac{|4 - 3(4) + 1|}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}$ है।
भुजा $BC$ का समीकरण $2x + y - 12 = 0$ है।
$A(2, 1)$ से $BC$ पर लंब की लंबाई $D_A = \frac{|2(2) + 1 - 12|}{\sqrt{5}} = \frac{7}{\sqrt{5}}$ है।
भुजा $AC$ का समीकरण $3x - 2y - 4 = 0$ है।
$B(5, 2)$ से $AC$ पर लंब की लंबाई $D_B = \frac{|3(5) - 2(2) - 4|}{\sqrt{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}}$ है।
अतः,लंबाइयाँ $\frac{7}{\sqrt{5}}, \frac{7}{\sqrt{13}}, \frac{7}{\sqrt{10}}$ हैं।

(D) माना विकर्णों के समीकरण $L_1: x + 3y = 4$ और $L_2: 6x - 2y = 7$ हैं।
$L_1$ की ढाल $m_1 = -1/3$ है।
$L_2$ की ढाल $m_2 = -6/(-2) = 3$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = (-1/3) \times 3 = -1$,इसलिए विकर्ण एक-दूसरे के लंबवत हैं।
वह समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,समचतुर्भुज कहलाता है।

(B) रेखाएँ $x = 0$ (y-अक्ष) और $y = 0$ (x-अक्ष) मूल बिंदु $(0, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$,x-अक्ष को $(a, 0)$ पर और y-अक्ष को $(0, b)$ पर काटती है।
यह आधार $a$ और ऊँचाई $b$ वाला एक समकोण त्रिभुज बनाता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{ab}{2}$.

(D) रेखा $L$ की ढाल $m = -1$ है। रेखा $L$ का समीकरण $x + y = 2$ है।
रेखा $L'$ की ढाल $1$ है और इसका समीकरण $x - y = \frac{1}{2}$ है।
$y$-अक्ष का समीकरण $x = 0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $A(0, 2), B(0, -\frac{1}{2})$ और $C(\frac{5}{4}, \frac{3}{4})$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{5}{4} = \frac{25}{16}$.

(C) माना शीर्ष $A(0, -1), B(2, 1), C(0, 3),$ और $D(-2, 1)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(0-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(-2-0)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$
$AD = \sqrt{(-2-0)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$
चूंकि सभी भुजाएँ समान हैं $(AB = BC = CD = AD = 2\sqrt{2})$,यह आकृति समचतुर्भुज या वर्ग है।
विकर्णों की लंबाई ज्ञात करें:
$AC = \sqrt{(0-0)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{0 + 16} = 4$
$BD = \sqrt{(-2-2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{16 + 0} = 4$
चूंकि विकर्ण समान हैं $(AC = BD = 4)$,यह आकृति एक वर्ग है।

(C) दिए गए बिंदु $A(-1, 5), B(0, 0), C(2, 2)$ हैं।
$D, BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $D = (\frac{0+2}{2}, \frac{0+2}{2}) = (1, 1)$।
$A(-1, 5)$ और $D(1, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $AD$ की ढाल $m_{AD} = \frac{1-5}{1-(-1)} = \frac{-4}{2} = -2$ है।
$B(0, 0)$ से गुजरने वाली और $AD$ पर लंब रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{m_{AD}} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$ होगी।
इस रेखा का समीकरण $y - 0 = \frac{1}{2}(x - 0)$ है,जिसे सरल करने पर $2y = x$ या $x - 2y = 0$ प्राप्त होता है।

(A) शीर्ष $(3, 0)$ विकर्ण $x = 2y$ पर स्थित नहीं है। माना भुजा की ढाल $m$ है। भुजा का समीकरण $y - 0 = m(x - 3)$ है।
विकर्ण $x - 2y = 0$ (ढाल $1/2$) और भुजा के बीच का कोण $\pi/4$ है,इसलिए:
$\tan(\pi/4) = |\frac{m - 1/2}{1 + m(1/2)}| = 1$
$|\frac{2m - 1}{2 + m}| = 1$
स्थिति $1$: $2m - 1 = m + 2 \Rightarrow m = 3$.
स्थिति $2$: $2m - 1 = -m - 2 \Rightarrow m = -1/3$.
$m = 3$ रखने पर,$y = 3x - 9 \Rightarrow y - 3x + 9 = 0$.
$m = -1/3$ रखने पर,$3y = -x + 3 \Rightarrow 3y + x - 3 = 0$.
अतः,समीकरण $y - 3x + 9 = 0$ और $3y + x - 3 = 0$ हैं।

(D) बिंदु संरेख हैं यदि उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है,जिसका अर्थ है कि सारणिक शून्य है:
$\begin{vmatrix} 2a & 3a & 1 \\ 3b & 2b & 1 \\ c & c & 1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$2a(2b - c) - 3a(3b - c) + 1(3bc - 2bc) = 0$
$4ab - 2ac - 9ab + 3ac + bc = 0$
$-5ab + ac + bc = 0$
$ac + bc = 5ab$
$abc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{5}{c}$
$\frac{a+b}{ab} = \frac{5}{c} \implies \frac{2ab}{a+b} = \frac{2c}{5}$
यह दर्शाता है कि $\frac{2c}{5}$,$a$ और $b$ का हरात्मक माध्य (harmonic mean) है।
अतः,$a, \frac{2c}{5}, b$ $H.P.$ में हैं।

(C) चूँकि दी गई रेखाएँ मूल बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,समांतर चतुर्भुज का एक शीर्ष $O(0, 0)$ है।
माना शीर्ष $A$ और $B$ भुजाओं $4x + 5y = 0$ और $7x + 2y = 0$ का विकर्ण $11x + 7y - 9 = 0$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
समीकरणों को हल करने पर,$A$ और $B$ के निर्देशांक $A = (5/3, -4/3)$ और $B = (-2/3, 7/3)$ प्राप्त होते हैं।
विकर्ण $AB$ का मध्य बिंदु $M$,$(\frac{5/3 - 2/3}{2}, \frac{-4/3 + 7/3}{2}) = (1/2, 1/2)$ है।
दूसरा विकर्ण मूल बिंदु $O(0, 0)$ और मध्य बिंदु $M(1/2, 1/2)$ से होकर गुजरता है।
अतः,दूसरे विकर्ण का समीकरण $y = x$ या $x - y = 0$ है।

(C) माना शीर्ष $A(-2, 2)$,$B(8, -2)$ और $C(-4, -3)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(8 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{10^2 + (-4)^2} = \sqrt{100 + 16} = \sqrt{116}$
$BC = \sqrt{(-4 - 8)^2 + (-3 - (-2))^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-1)^2} = \sqrt{144 + 1} = \sqrt{145}$
$AC = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$
पाइथागोरस प्रमेय $a^2 + c^2 = b^2$ की जाँच करें:
$(\sqrt{116})^2 + (\sqrt{29})^2 = 116 + 29 = 145$
$(\sqrt{145})^2 = 145$
चूँकि $AB^2 + AC^2 = BC^2$,अतः यह एक समकोण त्रिभुज है।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: x + y - 5 = 0$,$L_2: x - y + 1 = 0$,और $L_3: y - 1 = 0$ हैं।
ध्यान दें कि $L_1$ और $L_2$ की ढाल $m_1 = -1$ और $m_2 = 1$ है। चूँकि $m_1 \times m_2 = -1$,रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ लंबवत हैं।
अतः,यह एक समकोण त्रिभुज है,और कर्ण वह रेखाखंड है जो $L_3$ के $L_1$ और $L_2$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जोड़ता है।
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x + 1 - 5 = 0 \implies x = 4$. बिंदु $A = (4, 1)$.
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x - 1 + 1 = 0 \implies x = 0$. बिंदु $B = (0, 1)$.
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण का मध्य-बिंदु होता है।
$AB$ का मध्य-बिंदु $= (\frac{4+0}{2}, \frac{1+1}{2}) = (2, 1)$.

(A) माना बिंदु $(x_1, y_1) = (a, b)$,$(x_2, y_2) = (ar, br)$,और $(x_3, y_3) = (ar^2, br^2)$ हैं,जहाँ $r$ सार्व अनुपात है।
संरेखता की जाँच करने के लिए,हम सारणिक विधि का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} a & b & 1 \\ ar & br & 1 \\ ar^2 & br^2 & 1 \end{array} \right|$
दूसरी पंक्ति से $r$ और तीसरी पंक्ति से $r^2$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r^2 \left| \begin{array}{ccc} a & b & 1 \\ a & b & 1 \\ a & b & 1 \end{array} \right| = 0$
चूँकि क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु संरेख (एक सीधी रेखा पर) हैं।

(D) माना बिंदु $A(0, 8/3)$,$B(1, 3)$ और $C(82, 30)$ हैं।
$AB$ की ढाल $m_1 = \frac{3 - 8/3}{1 - 0} = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}$.
$BC$ की ढाल $m_2 = \frac{30 - 3}{82 - 1} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.
चूंकि $m_1 = m_2$,इसलिए दिए गए बिंदु संरेखीय हैं।

(C) यदि तीन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है,तो बिंदु संरेख होते हैं।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} |k(2k - (6 - 2k)) + (1 - k)((6 - 2k) - (2 - 2k)) + (-4 - k)((2 - 2k) - 2k)| = 0$
पदों को सरल करने पर:
$4k^2 - 6k + 4 - 4k - 8 + 16k - 2k + 4k^2 = 0$
$8k^2 + 4k - 4 = 0$
$2k^2 + k - 1 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(2k - 1)(k + 1) = 0$
अतः,$k = 1/2$ या $k = -1$ प्राप्त होता है।

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ द्वारा दी जाती है।
$AB = \sqrt{(2 - 2)^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.
$BC = \sqrt{(2 + \sqrt{3} - 2)^2 + (5 - 6)^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
$CA = \sqrt{(2 + \sqrt{3} - 2)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
चूँकि $AB = BC = CA = 2$,सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अतः,यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।

(B) रेखाएँ $x = 0$ ($y$-अक्ष) और $y = 0$ ($x$-अक्ष) मूल बिंदु $(0, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
रेखा $x/a + y/b = 1$,$x$-अक्ष को $(a, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $(0, b)$ पर काटती है।
यह आधार $a$ और ऊँचाई $b$ वाला एक समकोण त्रिभुज बनाता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{ab}{2}$.

(C) समबाहु त्रिभुज का अंतःकेंद्र $P(-6, 5)$ है।
भुजा $y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए अंतःत्रिज्या $r = |-6| = 6$ है।
समबाहु त्रिभुज में,भुजा की लंबाई $a$ और अंतःत्रिज्या $r$ के बीच संबंध $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ होता है।
यहाँ $6 = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ लेने पर,$a = 12\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,यदि भुजा $x$ है,तो $(x/2)^2 + 6^2 = x^2$ के अनुसार $x = 4\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(C) माना शीर्ष $A(1, 1)$,$B(-1, -1)$ और $C(-\sqrt{3}, k)$ हैं।
समबाहु त्रिभुज के लिए,भुजाओं की लंबाई समान होनी चाहिए,इसलिए $AB^2 = BC^2 = AC^2$।
पहले,$AB^2 = (1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$ की गणना करें।
अब,$AC^2 = AB^2$ रखने पर:
$(1 - (-\sqrt{3}))^2 + (1 - k)^2 = 8$
$(1 + \sqrt{3})^2 + (1 - k)^2 = 8$
$4 + 2\sqrt{3} + (1 - k)^2 = 8$
$(1 - k)^2 = 4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$।
अतः,$1 - k = \pm(\sqrt{3} - 1)$।
यदि हम $1 - k = -(\sqrt{3} - 1)$ लेते हैं,तो $k = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: x = 2$,$L_2: y = -1$ और $L_3: x + 2y = 4$ हैं।
सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को युग्मों में हल करके त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करें:
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x = 2, y = -1 \implies B(2, -1)$.
$2$. $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x = 2 \implies 2 + 2y = 4 \implies 2y = 2 \implies y = 1 \implies A(2, 1)$.
$3$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $y = -1 \implies x + 2(-1) = 4 \implies x - 2 = 4 \implies x = 6 \implies C(6, -1)$.
भुजाओं की ढाल: $m_{AB} = \text{अपरिभाषित}$ (ऊर्ध्वाधर रेखा),$m_{BC} = 0$ (क्षैतिज रेखा),और $m_{AC} = \frac{-1 - 1}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $AB \perp BC$,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें समकोण शीर्ष $B(2, -1)$ पर है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र कर्ण $AC$ का मध्यबिंदु होता है।
$AC$ के मध्यबिंदु के निर्देशांक $(\frac{2 + 6}{2}, \frac{1 - 1}{2}) = (4, 0)$ हैं।

(C) समांतर रेखाओं $ℓx + my + n = 0$ और $ℓx + my + n' = 0$ के बीच की दूरी $d_1 = \frac{|n - n'|}{\sqrt{ℓ^2 + m^2}}$ है।
समांतर रेखाओं $mx + ℓy + n = 0$ और $mx + ℓy + n' = 0$ के बीच की दूरी $d_2 = \frac{|n - n'|}{\sqrt{m^2 + ℓ^2}}$ है।
चूंकि $d_1 = d_2$,इसलिए यह समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज (rhombus) है।
समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं,इसलिए अभीष्ट कोण $\pi / 2$ है।

(D) रेखाएँ $L_1: mx - y = 0$,$L_2: mx - y + 1 = 0$,$L_3: nx - y = 0$,और $L_4: nx - y + 1 = 0$ हैं।
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_1x + b_1y + c_2 = 0$,$a_2x + b_2y + d_1 = 0$,और $a_2x + b_2y + d_2 = 0$ द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \left| \frac{(c_1 - c_2)(d_1 - d_2)}{a_1b_2 - a_2b_1} \right|$
यहाँ,$a_1 = m, b_1 = -1, c_1 = 0, c_2 = 1$ और $a_2 = n, b_2 = -1, d_1 = 0, d_2 = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{Area} = \left| \frac{(0 - 1)(0 - 1)}{(m)(-1) - (n)(-1)} \right|$
$\text{Area} = \left| \frac{(-1)(-1)}{-m + n} \right| = \left| \frac{1}{n - m} \right| = \frac{1}{|m - n|}$

(C) माना वर्ग के शीर्ष $A(a, 0)$,$B(1, y_B)$,$C(b, 0)$ और $D(1, 2)$ हैं।
चूंकि $AC$ $x$-अक्ष पर एक विकर्ण है,दूसरा विकर्ण $BD$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 1$ होगी क्योंकि वर्ग के विकर्ण लंब समद्विभाजक होते हैं।
विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु $E(1, 0)$ है।
चूंकि $E$,$AC$ का मध्य बिंदु है,$\frac{a+b}{2} = 1 \implies a+b = 2$.
साथ ही,दूरी $AE = EC = ED = EB$ है। $AE = |1-a|$,$EC = |b-1|$,$ED = 2$.
चूंकि $AE = ED$,$|1-a| = 2 \implies 1-a = 2$ या $1-a = -2$.
यदि $1-a = 2$,तो $a = -1$,तब $b = 3$. यदि $1-a = -2$,तो $a = 3$,तब $b = -1$.
$A(-1, 0)$ और $C(3, 0)$ लेने पर,$D(1, 2)$ से गुजरने वाली भुजाएँ $AD$ और $CD$ हैं।
$AD$ की ढाल = $\frac{2-0}{1-(-1)} = \frac{2}{2} = 1$. समीकरण: $y - 2 = 1(x - 1) \implies x - y + 1 = 0$.
$CD$ की ढाल = $\frac{2-0}{1-3} = \frac{2}{-2} = -1$. समीकरण: $y - 2 = -1(x - 1) \implies x + y - 3 = 0$.

(C) शीर्षों को ज्ञात करने के लिए,हम दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन को हल करते हैं:
$A$ रेखाओं $x + 2y = 3$ और $5x + y + 12 = 0$ का प्रतिच्छेदन है,जिससे $A(-3, 3)$ प्राप्त होता है।
$B$ रेखाओं $x + 2y = 3$ और $x = 1$ का प्रतिच्छेदन है,जिससे $B(1, 1)$ प्राप्त होता है।
$C$ रेखाओं $x = 1$ और $x - 3y = 4$ का प्रतिच्छेदन है,जिससे $C(1, -1)$ प्राप्त होता है।
$D$ रेखाओं $x - 3y = 4$ और $5x + y + 12 = 0$ का प्रतिच्छेदन है,जिससे $D(-2, 2)$ प्राप्त होता है।
विकर्ण $AC$ की ढाल $m_1 = -1$ है और विकर्ण $BD$ की ढाल $m_2 = 1$ है।
अतः,$m_1 m_2 = -1$,जो दर्शाता है कि कोण $90^o$ है।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
दिए गए मध्य-बिंदु $(0, 1), (1, 1), (1, 0)$ हैं।
$x$-निर्देशांक के लिए: $x_1+x_2=0, x_2+x_3=2, x_3+x_1=2$. इन्हें हल करने पर $x_1=0, x_2=0, x_3=2$ प्राप्त होता है।
$y$-निर्देशांक के लिए: $y_1+y_2=2, y_2+y_3=2, y_3+y_1=0$. इन्हें हल करने पर $y_1=0, y_2=2, y_3=0$ प्राप्त होता है।
अतः,शीर्ष $A(0, 0), B(0, 2)$ और $C(2, 0)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $a = BC = 2\sqrt{2}, b = AC = 2, c = AB = 2$ है।
अंतःकेंद्र $I = (\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c})$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
गणना करने पर $I = (2-\sqrt{2}, 2-\sqrt{2})$ प्राप्त होता है।

(C) माना त्रिभुज $ABC$ है और लंबों के पाद $D(20, 25)$,$E(8, 16)$ और $F(8, 9)$ हैं। त्रिभुज $DEF$,$\Delta ABC$ का पाद त्रिभुज (orthic triangle) है।
$\Delta ABC$ का लंबकेंद्र उसके पाद त्रिभुज $DEF$ का अंतःकेंद्र होता है।
माना लंबकेंद्र $O(h, k)$ है। $\Delta DEF$ की भुजाओं की लंबाई:
$EF = \sqrt{(8-8)^2 + (16-9)^2} = 7$
$FD = \sqrt{(20-8)^2 + (25-9)^2} = 20$
$DE = \sqrt{(20-8)^2 + (25-16)^2} = 15$
$\Delta DEF$ का अंतःकेंद्र $(h, k)$ जहाँ शीर्ष $D(x_1, y_1)$,$E(x_2, y_2)$,$F(x_3, y_3)$ और सम्मुख भुजाएँ $a=7$,$b=20$,$c=15$ हैं:
$h = \frac{7(20) + 20(8) + 15(8)}{7 + 20 + 15} = \frac{420}{42} = 10$
$k = \frac{7(25) + 20(16) + 15(9)}{7 + 20 + 15} = \frac{630}{42} = 15$
अतः,लंबकेंद्र $(10, 15)$ है।

(C) दी गई रेखाओं की ढाल $m_1 = -1$,$m_2 = -3$ और $m_3 = -\frac{1}{3}$ है।
शीर्षों के निर्देशांक:
$1$. $x + y = 0$ और $3x + y = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $P(2, -2)$ है।
$2$. $3x + y = 4$ और $x + 3y = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $Q(1, 1)$ है।
$3$. $x + y = 0$ और $x + 3y = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $R(-2, 2)$ है।
भुजाओं की लंबाई:
$PQ = \sqrt{(2-1)^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{10}$.
$QR = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1-2)^2} = \sqrt{10}$.
$PR = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{32}$.
चूंकि $PQ = QR = \sqrt{10}$,दो भुजाएं समान हैं।
अतः,यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(B) मान लीजिए कि त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,जहाँ सभी निर्देशांक पूर्णांक हैं।
पूर्णांक निर्देशांक वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जो हमेशा एक परिमेय संख्या होती है।
यदि त्रिभुज समबाहु होता और उसकी भुजा की लंबाई $a$ होती,तो उसका क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता।
चूंकि निर्देशांक पूर्णांक हैं,भुजा की लंबाई का वर्ग $a^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$ एक पूर्णांक होना चाहिए।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ एक अपरिमेय संख्या होगी क्योंकि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है और $a^2$ पूर्णांक है।
चूंकि क्षेत्रफल एक ही समय में परिमेय और अपरिमेय नहीं हो सकता,इसलिए पूर्णांक निर्देशांक वाला त्रिभुज कभी भी समबाहु नहीं हो सकता है।

(A) माना वर्ग के शीर्ष $O(0,0)$,$A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$,$B$ और $C$ हैं।
वह विकर्ण जो मूल बिंदु से नहीं गुजरता है,$AC$ है।
$A$ के निर्देशांक $(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ हैं और $C$ के निर्देशांक $(-a \sin \alpha, a \cos \alpha)$ हैं।
$AC$ रेखा का समीकरण प्राप्त करने पर,हमें $y(\cos \alpha + \sin \alpha) + x(\cos \alpha - \sin \alpha) = a$ प्राप्त होता है।

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
$PA = PB$ दिया गया है,इसलिए $PA^2 = PB^2$.
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = (x - 5)^2 + (y + 2)^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = x^2 - 10x + 25 + y^2 + 4y + 4$
$4x - 12y = 4 \implies x - 3y = 1 \quad (1)$
$\text{Area}(\Delta PAB) = 10$ दिया गया है।
$\frac{1}{2} |x(4 - (-2)) + 3(-2 - y) + 5(y - 4)| = 10$
$|6x - 6 - 3y + 5y - 20| = 20$
$|6x + 2y - 26| = 20$
$|3x + y - 13| = 10$
स्थिति $1$: $3x + y - 13 = 10 \implies 3x + y = 23 \quad (2)$
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर: $x - 3y = 1 \implies x = 3y + 1$.
$3(3y + 1) + y = 23 \implies 10y = 20 \implies y = 2$.
$x = 3(2) + 1 = 7$.
अतः,$P = (7, 2)$.
स्थिति $2$: $3x + y - 13 = -10 \implies 3x + y = 3 \quad (3)$
$(1)$ और $(3)$ को हल करने पर: $x = 3y + 1$.
$3(3y + 1) + y = 3 \implies 10y = 0 \implies y = 0$.
$x = 1$.
अतः,$P = (1, 0)$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $(7, 2)$ है।

(A) वर्ग का क्षेत्रफल $25$ वर्ग इकाई है,इसलिए भुजा की लंबाई $a = \sqrt{25} = 5$ इकाई है।
दी गई रेखाएं $L_1: 3x - 4y = 0$ और $L_2: 4x + 3y = 0$ परस्पर लंबवत हैं क्योंकि उनके ढाल $m_1 = 3/4$ और $m_2 = -4/3$ का गुणनफल $m_1 \times m_2 = -1$ है।
चूंकि अन्य भुजाएं दी गई रेखाओं के समानांतर हैं,इसलिए वे $3x - 4y + c_1 = 0$ और $4x + 3y + c_2 = 0$ के रूप में होंगी।
समानांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
समानांतर रेखाओं के पहले युग्म के लिए ($3x - 4y = 0$ और $3x - 4y + c_1 = 0$):
$5 = \frac{|c_1 - 0|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|c_1|}{5}$ $\Rightarrow |c_1| = 25$ $\Rightarrow c_1 = \pm 25$.
समानांतर रेखाओं के दूसरे युग्म के लिए ($4x + 3y = 0$ और $4x + 3y + c_2 = 0$):
$5 = \frac{|c_2 - 0|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|c_2|}{5}$ $\Rightarrow |c_2| = 25$ $\Rightarrow c_2 = \pm 25$.
अतः,अन्य दो भुजाओं के समीकरण $3x - 4y \pm 25 = 0$ और $4x + 3y \pm 25 = 0$ हैं।

(C) माना रेखाएं $L_1: x - 2y = 0$,$L_2: 4x + 3y - 5 = 0$,और $L_3: 2x + y = 0$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने पर:
शीर्ष $A = L_1 \cap L_2 = (10/11, 5/11)$.
शीर्ष $B = L_2 \cap L_3 = (-5/2, 5)$.
शीर्ष $C = L_3 \cap L_1 = (0, 0)$.
यहाँ $L_1$ और $L_3$ परस्पर लंब हैं $(m_1 = 1/2, m_3 = -2)$,अतः त्रिभुज $C(0,0)$ पर समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज में लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है,जो कि $C(0,0)$ है।
रेखा $3y - 4x = 0$ बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरती है।
अतः,यह रेखा लंबकेंद्र से होकर गुजरती है।

(B) अक्षों और रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ द्वारा निर्मित त्रिभुज के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(a, 0)$ और $B(0, b)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $c = AB = \sqrt{a^2 + b^2}$,$b' = OB = b$ और $a' = OA = a$ है।
अंतःकेंद्र $(I_x, I_y)$ के निर्देशांक सूत्र $\left( \frac{a'x_1 + b'x_2 + c'x_3}{a' + b' + c'}, \frac{a'y_1 + b'y_2 + c'y_3}{a' + b' + c'} \right)$ द्वारा दिए जाते हैं।
शीर्षों $(0, 0)$,$(a, 0)$,$(0, b)$ और भुजाओं $a' = b$,$b' = a$,$c' = \sqrt{a^2 + b^2}$ का मान रखने पर:
$I_x = \frac{b(0) + a(a) + \sqrt{a^2 + b^2}(0)}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}$
$I_y = \frac{b(0) + a(0) + \sqrt{a^2 + b^2}(b)}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}$
अतः,अंतःकेंद्र $\left( \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}, \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}} \right)$ है।

(B) $y = |x|$ समीकरण दो किरणों को दर्शाता है: $y = x$ ($x \ge 0$ के लिए) और $y = -x$ ($x < 0$ के लिए)।
$1$. $y = x$ और $x + 2y = 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$y = x$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $x + 2(x) = 2 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.
अतः,$y = \frac{2}{3}$. प्रतिच्छेदन बिंदु $A(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ है।
$2$. $y = -x$ और $x + 2y = 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$y = -x$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $x + 2(-x) = 2 \implies -x = 2 \implies x = -2$.
अतः,$y = 2$. प्रतिच्छेदन बिंदु $B(-2, 2)$ है।
$3$. त्रिभुज शीर्षों $O(0, 0)$,$A(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$,और $B(-2, 2)$ द्वारा बनता है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(\frac{2}{3} - 2) + \frac{2}{3}(2 - 0) + (-2)(0 - \frac{2}{3})|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + \frac{4}{3} + \frac{4}{3}| = \frac{1}{2} |\frac{8}{3}| = \frac{4}{3} \text{ इकाई}^2$.

(D) माना विकर्णों के समीकरण $L_1: x + 3y = 4$ और $L_2: 6x - 2y = 7$ हैं।
सबसे पहले,हम इन रेखाओं की प्रवणता (slope) ज्ञात करते हैं।
$L_1$ के लिए,$3y = -x + 4 \implies y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$,अतः प्रवणता $m_1 = -\frac{1}{3}$ है।
$L_2$ के लिए,$2y = 6x - 7 \implies y = 3x - \frac{7}{2}$,अतः प्रवणता $m_2 = 3$ है।
चूँकि $m_1 \times m_2 = (-\frac{1}{3}) \times 3 = -1$ है,इसलिए विकर्ण एक-दूसरे पर लंब हैं।
जिस समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब होते हैं,वह एक समचतुर्भुज होता है।
अतः,$PQRS$ एक समचतुर्भुज है।

(C) $P$ और $Q$ के निर्देशांक $(1, 2\sqrt{2})$ और $(1, -2\sqrt{2})$ हैं।
आधार $PQ$ की लंबाई $|2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2})| = 4\sqrt{2}$ है।
मान लीजिए कि शीर्ष $R$ और $S$ के $x$-निर्देशांक ऐसे हैं कि ऊँचाई क्रमशः $8$ और $2$ है:
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 8 = 16\sqrt{2}$.
$\triangle PQS$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 2 = 4\sqrt{2}$.
$\triangle PQS$ और $\triangle PQR$ के क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{4\sqrt{2}}{16\sqrt{2}} = \frac{1}{4}$ है,जो $1 : 4$ है।

(B) दी गई रेखाएँ $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ (समांतर युग्म) के रूप में हैं।
युग्म $1$: $3x - 4y + 1 = 0$ और $3x - 4y + 3 = 0$.
युग्म $2$: $4x - 3y - 1 = 0$ और $4x - 3y - 2 = 0$.
$a_1x + b_1y + c_1 = 0, a_1x + b_1y + c_2 = 0, a_2x + b_2y + d_1 = 0,$ और $a_2x + b_2y + d_2 = 0$ द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{|(c_1 - c_2)(d_1 - d_2)|}{|a_1b_2 - a_2b_1|}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a_1 = 3, b_1 = -4, c_1 = 1, c_2 = 3$ और $a_2 = 4, b_2 = -3, d_1 = -1, d_2 = -2$.
क्षेत्रफल $= \frac{|(1 - 3)(-1 - (-2))|}{|(3)(-3) - (4)(-4)|} = \frac{|(-2)(1)|}{|-9 + 16|} = \frac{2}{7}$.

(D) माना आधार के शीर्ष $P(2a, 0)$ और $Q(0, a)$ हैं।
चूँकि एक भुजा $y$-अक्ष के समानांतर है,तीसरे शीर्ष $R$ का $x$-निर्देशांक $P$ या $Q$ के $x$-निर्देशांक के समान होगा।
स्थिति $1$: यदि $R$ का $x$-निर्देशांक $0$ है,तो $R = (0, y)$। त्रिभुज समद्विबाहु है,इसलिए $RP = RQ$।
$RP^2 = (2a - 0)^2 + (0 - y)^2 = 4a^2 + y^2$।
$RQ^2 = (0 - 0)^2 + (a - y)^2 = (a - y)^2$।
$4a^2 + y^2 = a^2 - 2ay + y^2 \implies 2ay = -3a^2 \implies y = -\frac{3a}{2}$।
रेखा $PR$,$(2a, 0)$ और $(0, -\frac{3a}{2})$ से गुजरती है।
ढाल $m = \frac{-3a/2 - 0}{0 - 2a} = \frac{3}{4}$।
समीकरण $y - 0 = \frac{3}{4}(x - 2a) \implies 3x - 4y - 6a = 0$।
स्थिति $2$: यदि $R$ का $x$-निर्देशांक $2a$ है,तो $R = (2a, y)$।
$RQ^2 = (2a - 0)^2 + (y - a)^2 = 4a^2 + (y - a)^2$।
$RP^2 = (2a - 2a)^2 + (y - 0)^2 = y^2$।
$4a^2 + y^2 - 2ay + a^2 = y^2 \implies 5a^2 = 2ay \implies y = \frac{5a}{2}$।
रेखा $QR$,$(0, a)$ और $(2a, \frac{5a}{2})$ से गुजरती है।
ढाल $m = \frac{5a/2 - a}{2a - 0} = \frac{3}{4}$।
समीकरण $y - a = \frac{3}{4}(x - 0) \implies 3x - 4y + 4a = 0$।

(A) माना शीर्ष $A(0, 4)$,$B(4, 1)$ और $C(7, 5)$ हैं।
दूरी $AB = \sqrt{(4-0)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
दूरी $BC = \sqrt{(7-4)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
दूरी $AC = \sqrt{(7-0)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
त्रिभुज का परिमाप $AB + BC + AC = 5 + 5 + 5\sqrt{2} = 10 + 5\sqrt{2} = 5(2 + \sqrt{2})$ है।

(A) त्रिभुज के $A$ पर समकोण होने के लिए,रेखा $AB$ और $AC$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ होना चाहिए।
$AB$ की प्रवणता $m_1 = \frac{y - 7}{4 - 2} = \frac{y - 7}{2}$ है।
$AC$ की प्रवणता $m_2 = \frac{6 - 7}{-2 - 2} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$ है।
$m_1 \times m_2 = -1$ रखने पर:
$\frac{y - 7}{2} \times \frac{1}{4} = -1$
$\frac{y - 7}{8} = -1$
$y - 7 = -8$
$y = -1$.

(C) दी गई रेखाएँ हैं:
$L_1: x + y = 0$
$L_2: 3x + y = 4$
$L_3: x + 3y = 4$
$L_1$ और $L_2$ को हल करने पर: $x + y = 0 \Rightarrow y = -x$. $L_2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3x - x = 4$ $\Rightarrow 2x = 4$ $\Rightarrow x = 2, y = -2$. शीर्ष $A = (2, -2)$.
$L_2$ और $L_3$ को हल करने पर: $y = 4 - 3x$. $L_3$ में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 3(4 - 3x) = 4$ $\Rightarrow x + 12 - 9x = 4$ $\Rightarrow -8x = -8$ $\Rightarrow x = 1, y = 1$. शीर्ष $B = (1, 1)$.
$L_1$ और $L_3$ को हल करने पर: $y = -x$. $L_3$ में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 3(-x) = 4$ $\Rightarrow -2x = 4$ $\Rightarrow x = -2, y = 2$. शीर्ष $C = (-2, 2)$.
भुजाओं की लंबाई:
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(-2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
$AC = \sqrt{(-2-2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$
चूंकि $AB = BC = \sqrt{10}$,इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।

(A) माना कि अभीष्ट रेखा का समीकरण $2x - 3y = k$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$x$-अंतःखंड $y = 0$ रखने पर $x = k/2$ प्राप्त होता है।
$y$-अंतःखंड $x = 0$ रखने पर $y = -k/3$ प्राप्त होता है।
अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |\text{आधार}| \times |\text{ऊंचाई}| = 12$ है।
$\frac{1}{2} \times |\frac{k}{2}| \times |-\frac{k}{3}| = 12$.
$\frac{k^2}{12} = 12$ $\Rightarrow k^2 = 144$ $\Rightarrow k = \pm 12$.
अतः,अभीष्ट रेखा के समीकरण $2x - 3y = 12$ या $2x - 3y = -12$ हैं।

(A) रेखाएँ $L_1: y = mx + a$,$L_2: y = nx + b$ और $L_3: x = 0$ ($y$-अक्ष) हैं।
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A = (0, a)$ है।
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B = (0, b)$ है।
$y$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार $A$ और $B$ के बीच की दूरी $|a - b|$ है।
तीसरा शीर्ष $C$ ज्ञात करने के लिए,$mx + a = nx + b$ को हल करते हैं:
$(m - n)x = b - a \Rightarrow x = \frac{a - b}{n - m}$.
त्रिभुज की ऊँचाई $C$ के $x$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान है,जो $h = |\frac{a - b}{n - m}|$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times |a - b| \times |\frac{a - b}{n - m}| = \frac{(a - b)^2}{2|m - n|}$.

(C) दिए गए समीकरण $x^2 - 8x + 12 = 0$ और $y^2 - 14y + 45 = 0$ हैं।
$x^2 - 8x + 12 = 0$ को हल करने पर:
$(x - 6)(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 2, x = 6$.
$y^2 - 14y + 45 = 0$ को हल करने पर:
$(y - 9)(y - 5) = 0 \Rightarrow y = 5, y = 9$.
वर्ग के शीर्ष $A(2, 5)$,$B(2, 9)$,$C(6, 9)$,और $D(6, 5)$ हैं।
अंतःवृत्त का केंद्र वर्ग के विकर्णों का मध्य बिंदु होता है।
विकर्ण $AC$ का मध्य बिंदु $= \left(\frac{2 + 6}{2}, \frac{5 + 9}{2}\right) = \left(\frac{8}{2}, \frac{14}{2}\right) = (4, 7)$.

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2),$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
मध्य बिंदु $M_1(0, 1), M_2(1, 1),$ और $M_3(1, 0)$ हैं।
मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{x_1+x_2}{2} = 0, \frac{y_1+y_2}{2} = 1$
$\frac{x_2+x_3}{2} = 1, \frac{y_2+y_3}{2} = 1$
$\frac{x_3+x_1}{2} = 1, \frac{y_3+y_1}{2} = 0$
इन्हें हल करने पर,शीर्ष $A(0, 0), B(0, 2),$ और $C(2, 0)$ प्राप्त होते हैं।
भुजाओं की लंबाई $a = BC = 2\sqrt{2}, b = AC = 2,$ और $c = AB = 2$ है।
अंतःकेंद्र $I$ का $x$-निर्देशांक $x_I = \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}$ द्वारा दिया जाता है।
$x_I = \frac{(2\sqrt{2})(0) + (2)(0) + (2)(2)}{2\sqrt{2} + 2 + 2} = \frac{4}{4 + 2\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$.