Problems related to triangle and quadrilateral Questions in Hindi

(C) माना शीर्ष $A(1, 0)$ और $B(3, 0)$ हैं। भुजा $AB$ की लंबाई $AB = \sqrt{(3-1)^2 + (0-0)^2} = 2$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र में $a = 2$ रखने पर:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3}$.
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{3}$ है।

(C) दिए गए शीर्ष $A(h, k)$,$B(1, 1)$ और $C(2, 1)$ हैं।
चूंकि $AC$ कर्ण है,इसलिए समकोण शीर्ष $B(1, 1)$ पर है।
अतः,$AB \perp BC$ है।
$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{1-1}{2-1} = 0$ है। चूंकि $BC$ क्षैतिज है,इसलिए $AB$ को लंबवत होना चाहिए।
इसलिए,$A$ का $x$-निर्देशांक $B$ के समान होना चाहिए,अर्थात $h = 1$ है।
अब,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = 1$ है।
आधार $BC = \sqrt{(2-1)^2 + (1-1)^2} = 1$ है।
ऊंचाई $AB = \sqrt{(1-1)^2 + (k-1)^2} = |k-1|$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 1 \times |k-1| = 1$ है।
$|k-1| = 2$ है।
इसका अर्थ है कि $k-1 = 2$ या $k-1 = -2$ है।
अतः,$k = 3$ या $k = -1$ है।
$k$ के संभावित मान $\{-1, 3\}$ हैं।

(A) माना वर्ग के विपरीत शीर्ष $A(5, -4)$ और $C(-3, 2)$ हैं।
विकर्ण $d$ की लंबाई इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी है:
$d = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-4 - 2)^2}$
$d = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
वर्ग के लिए,विकर्ण $d = s\sqrt{2}$ जहाँ $s$ भुजा की लंबाई है।
अतः,$s\sqrt{2} = 10 \implies s = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$.
वर्ग का क्षेत्रफल $s^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50$ वर्ग इकाई है।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $(0,0)$,$(41,0)$ और $(0,41)$ हैं।
$(41,0)$ और $(0,41)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x + y = 41$ है।
हमें ऐसे पूर्णांक युग्म $(x, y)$ खोजने हैं जिनके लिए $x > 0$,$y > 0$ और $x + y < 41$ हो।
एक निश्चित $x$ के लिए,$y$ के संभावित मान $1, 2, \dots, 40-x$ हैं।
दिए गए $x$ के लिए ऐसे बिंदुओं की संख्या $40-x$ है।
$x = 1$ से $39$ तक योग करने पर:
$\sum_{x=1}^{39} (40-x) = 39 + 38 + \dots + 1$.
योग सूत्र $\frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर $(n=39)$:
$\frac{39 \times 40}{2} = 39 \times 20 = 780$.

(A) दिए गए शीर्ष $A(h, k)$,$B(1, 1)$ और $C(2, 1)$ हैं।
चूंकि $AC$ कर्ण है,समकोण $B$ पर है। अतः,$AB \perp BC$.
$AB$ की ढाल $m_1 = \frac{k-1}{h-1}$ है और $BC$ की ढाल $m_2 = \frac{1-1}{2-1} = 0$ है।
चूंकि $AB \perp BC$,रेखा $AB$ को लंबवत होना चाहिए,इसलिए $h = 1$.
अब,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = 1$ है।
यहाँ,आधार $BC = \sqrt{(2-1)^2 + (1-1)^2} = 1$.
ऊंचाई $AB = \sqrt{(1-1)^2 + (k-1)^2} = |k-1|$.
अतः,$\frac{1}{2} \times 1 \times |k-1| = 1$.
$|k-1| = 2$.
$k-1 = 2$ या $k-1 = -2$.
$k = 3$ या $k = -1$.
इसलिए,$k$ के मानों का समुच्चय $\{-1, 3\}$ है।

(B) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,और $(x_3, y_3)$ हैं,जहाँ सभी निर्देशांक पूर्णांक हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सभी निर्देशांक पूर्णांक हैं,इसलिए क्षेत्रफल एक परिमेय संख्या होगी।
यदि त्रिभुज समबाहु है और उसकी भुजा की लंबाई $a$ है,तो $a^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$। निर्देशांक पूर्णांक होने के कारण,$a^2$ एक धनात्मक पूर्णांक होगा।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता है।
चूंकि $a^2$ एक पूर्णांक है,इसलिए $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ एक अपरिमेय संख्या होगी।
यह एक विरोधाभास है,क्योंकि क्षेत्रफल परिमेय और अपरिमेय दोनों नहीं हो सकता। इसलिए,पूर्णांक निर्देशांक वाला त्रिभुज कभी भी समबाहु नहीं हो सकता।

(B) माना $P, Q, R, S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD, DA$ के मध्य बिंदु हैं।
$\triangle ABC$ में मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel AC$ और $PQ = \frac{1}{2} AC$ है।
इसी प्रकार,$\triangle ADC$ में,$SR \parallel AC$ और $SR = \frac{1}{2} AC$ है।
अतः,$PQ \parallel SR$ और $PQ = SR$ है।
चूंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर और समान है,इसलिए चतुर्भुज $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इस परिणाम को वैरिग्नन प्रमेय (Varignon's Theorem) के रूप में जाना जाता है।

(C) माना शीर्ष $A(2, -1)$,$B(0, 2)$,$C(2, 3)$ और $D(4, 0)$ हैं।
विकर्ण $AC$ और $BD$ हैं।
विकर्ण $AC$ की ढाल $(m_1)$ $\frac{3 - (-1)}{2 - 2} = \frac{4}{0} = \infty$ (ऊर्ध्वाधर रेखा) है।
विकर्ण $BD$ की ढाल $(m_2)$ $\frac{0 - 2}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि एक विकर्ण ऊर्ध्वाधर है,विकर्णों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{1}{m_2}| = |\frac{1}{-1/2}| = 2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(2)$।

(B) दी गई रेखाएँ $lx + my + n = 0$,$lx + my + n' = 0$,$mx + ly + n = 0$,और $mx + ly + n' = 0$ हैं।
ये दो समांतर रेखाओं के युग्मों को दर्शाती हैं।
समांतर रेखाओं के पहले युग्म के बीच की दूरी $d_1 = \frac{|n - n'|}{\sqrt{l^2 + m^2}}$ है।
समांतर रेखाओं के दूसरे युग्म के बीच की दूरी $d_2 = \frac{|n - n'|}{\sqrt{m^2 + l^2}}$ है।
चूँकि $d_1 = d_2$,समांतर भुजाओं के बीच की दूरी समान है,जिसका अर्थ है कि यह समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज (rhombus) है।
समचतुर्भुज के विकर्ण हमेशा समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,विकर्णों के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) माना वर्ग $ABCD$ है,जिसका शीर्ष $B$ मूलबिंदु $(0,0)$ पर है। भुजा $BC$ धनात्मक $x-$अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाती है। भुजा की लंबाई $4$ होने के कारण,$C$ के निर्देशांक $(4 \cos \alpha, 4 \sin \alpha)$ हैं।
चूँकि वर्ग प्रथम चतुर्थांश में है,भुजा $BA$,$BC$ के लंबवत है और $x-$अक्ष के साथ $\alpha + 90^\circ$ का कोण बनाती है। अतः,$A$ के निर्देशांक $(-4 \sin \alpha, 4 \cos \alpha)$ हैं।
शीर्ष $D$ का मान $A + C = (4 \cos \alpha - 4 \sin \alpha, 4 \sin \alpha + 4 \cos \alpha)$ होगा।
मूलबिंदु से न गुजरने वाला विकर्ण $AC$ है। $AC$ की ढाल $\frac{4 \sin \alpha - 4 \cos \alpha}{4 \cos \alpha - (-4 \sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}$ है।
$C(4 \cos \alpha, 4 \sin \alpha)$ से गुजरने वाली रेखा $AC$ का समीकरण: $y - 4 \sin \alpha = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} (x - 4 \cos \alpha)$.
$(y - 4 \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha) = (x - 4 \cos \alpha)(\sin \alpha - \cos \alpha)$.
$y(\cos \alpha + \sin \alpha) - 4 \sin \alpha \cos \alpha - 4 \sin^2 \alpha = x(\sin \alpha - \cos \alpha) - 4 \sin \alpha \cos \alpha + 4 \cos^2 \alpha$.
$x(\cos \alpha - \sin \alpha) + y(\cos \alpha + \sin \alpha) = 4(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 4$.

(B) त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,रेखाओं के समीकरणों को युग्मों में हल करें।
$A = (0, 3)$,$B = (1, 2)$,$C = (\frac{15}{7}, \frac{26}{7})$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
गणना करने पर उत्तर $\frac{16}{7}$ वर्ग इकाई प्राप्त होता है।

(C) माना बिंदु $A(2, 1), B(1, 4), C(4, 5), D(5, 2)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(4-1)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{10}$
$CD = \sqrt{(5-4)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{10}$
$DA = \sqrt{(2-5)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{10}$
चूंकि सभी भुजाएँ समान हैं,इसलिए यह चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है।
अब,विकर्णों $AC$ और $BD$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AC = \sqrt{(4-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$BD = \sqrt{(5-1)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
चूंकि सभी भुजाएँ समान हैं और विकर्ण भी समान हैं,इसलिए यह चतुर्भुज एक वर्ग है।

(C) माना $A$ से गुजरने वाली माध्यिका का समीकरण $(px + qy - 1) + \lambda(qx + py - 1) = 0$ है।
चूंकि यह रेखा $BC$ के मध्य बिंदु $D(p, q)$ से गुजरती है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगी:
$(p(p) + q(q) - 1) + \lambda(q(p) + p(q) - 1) = 0$
$(p^2 + q^2 - 1) + \lambda(2pq - 1) = 0$
$\lambda = -\frac{p^2 + q^2 - 1}{2pq - 1}$
$\lambda$ का मान रेखा के समीकरण में रखने पर:
$(px + qy - 1) - \frac{p^2 + q^2 - 1}{2pq - 1}(qx + py - 1) = 0$
$(2pq - 1)(px + qy - 1) = (p^2 + q^2 - 1)(qx + py - 1)$

(B) चार रेखाएँ $ax + by + c = 0$,$ax + by - c = 0$,$ax - by + c = 0$,और $ax - by - c = 0$ हैं।
इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन से समचतुर्भुज के शीर्ष प्राप्त होते हैं:
$y=0$ के लिए,$ax = \pm c \implies x = \pm \frac{c}{a}$. अतः,शीर्ष $(\frac{c}{a}, 0)$ और $(-\frac{c}{a}, 0)$ हैं।
$x=0$ के लिए,$by = \pm c \implies y = \pm \frac{c}{b}$. अतः,शीर्ष $(0, \frac{c}{b})$ और $(0, -\frac{c}{b})$ हैं।
विकर्णों $d_1$ और $d_2$ की लंबाई:
$d_1 = \frac{2c}{a}$
$d_2 = \frac{2c}{b}$
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times \frac{2c}{a} \times \frac{2c}{b} = \frac{2c^2}{ab}$.

(A) माना मूल बिंदु $A(0, 0)$ है। मूल बिंदु से रेखा $2x + y - 5 = 0$ की लंबवत दूरी $AD$ है:
$AD = \left|\frac{2(0) + 1(0) - 5}{\sqrt{2^2 + 1^2}}\right| = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
चूंकि मूल बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाएं परस्पर लंबवत हैं और दी गई रेखा के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाती हैं,इसलिए आधार $BC$ पर कोण $45^{\circ}$ होंगे।
समकोण त्रिभुज $ABD$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{AD}{BD}$.
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $BD = AD = \sqrt{5}$.
इसी प्रकार,त्रिभुज $ADC$ में,$DC = AD = \sqrt{5}$.
अतः,आधार $BC = BD + DC = \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times AD$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (2\sqrt{5}) \times \sqrt{5} = 5$ वर्ग इकाई।

(B) दी गई रेखाओं के समीकरण $x^2 - 8x + 12 = 0$ और $y^2 - 14y + 45 = 0$ हैं।
$x^2 - 8x + 12 = 0$ को हल करने पर $(x - 6)(x - 2) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 2$ और $x = 6$ है।
$y^2 - 14y + 45 = 0$ को हल करने पर $(y - 5)(y - 9) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y = 5$ और $y = 9$ है।
वर्ग की भुजाएँ $x = 2, x = 6, y = 5, y = 9$ हैं।
वर्ग का केंद्र समांतर भुजाओं की मध्य-रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
केंद्र का $x$-निर्देशांक $\frac{2 + 6}{2} = 4$ है।
केंद्र का $y$-निर्देशांक $\frac{5 + 9}{2} = 7$ है।
अतः,अंतर्निहित वृत्त का केंद्र $(4, 7)$ है।

(C) माना $B$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ और $C$ के निर्देशांक $(x_2, y_2)$ हैं।
चूंकि $(5, 6)$ $BC$ का मध्य-बिंदु है,
$\frac{x_1 + x_2}{2} = 5 \implies x_1 + x_2 = 10 \implies x_1 = 10 - x_2$
$\frac{y_1 + y_2}{2} = 6 \implies y_1 + y_2 = 12 \implies y_1 = 12 - y_2$
बिंदु $B(x_1, y_1)$ रेखा $2x + 3y = 29$ पर स्थित है,अतः $2x_1 + 3y_1 = 29.$
बिंदु $C(x_2, y_2)$ रेखा $x + 2y = 16$ पर स्थित है,अतः $x_2 + 2y_2 = 16.$
$x_1$ और $y_1$ के मान $AB$ के समीकरण में रखने पर:
$2(10 - x_2) + 3(12 - y_2) = 29$
$20 - 2x_2 + 36 - 3y_2 = 29$
$2x_2 + 3y_2 = 27.$
अब समीकरणों को हल करने पर:
$x_2 + 2y_2 = 16 \implies x_2 = 16 - 2y_2.$
$2(16 - 2y_2) + 3y_2 = 27$
$32 - 4y_2 + 3y_2 = 27 \implies y_2 = 5.$
अतः $x_2 = 16 - 2(5) = 6.$
इस प्रकार $C = (6, 5).$
अतः $x_1 = 10 - 6 = 4$ और $y_1 = 12 - 5 = 7.$
इस प्रकार $B = (4, 7).$
बिंदुओं $(4, 7)$ और $(6, 5)$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण:
$y - 7 = \frac{5 - 7}{6 - 4}(x - 4)$
$y - 7 = -1(x - 4)$
$x + y = 11.$

(B) दी गई रेखाएँ $x = -2$,$y = -2$ और $x + y + 2 = 0$ हैं।
$1$. $x = -2$ और $y = -2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(-2, -2)$ है।
$2$. $x = -2$ और $x + y + 2 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(-2, 0)$ है।
$3$. $y = -2$ और $x + y + 2 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(0, -2)$ है।
निर्मित त्रिभुज शीर्ष $A(-2, -2)$ पर एक समकोण त्रिभुज है क्योंकि रेखाएँ $x = -2$ और $y = -2$ परस्पर लंबवत हैं।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र कर्ण $BC$ का मध्य-बिंदु होता है।
$BC$ का मध्य-बिंदु $= \left( \frac{-2 + 0}{2}, \frac{0 + (-2)}{2} \right) = (-1, -1)$.

(D) एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज $ABCD$ में,असमांतर भुजाएँ बराबर होती हैं,अर्थात $AD = BC$।
चूंकि $B(2, 1)$ और $C(3, 1)$ रेखा $y = 1$ पर स्थित हैं,भुजा $BC$,$x$-अक्ष के समानांतर है।
$ABCD$ के समद्विबाहु समलंब होने के लिए,$AD$ को $BC$ के समानांतर होना चाहिए,इसलिए $D$ को भी $x$-अक्ष पर स्थित होना चाहिए (क्योंकि $A, y = 0$ पर है)।
मान लीजिए $D$ के निर्देशांक $(x, 0)$ हैं।
$BC$ की लंबाई $= \sqrt{(3-2)^2 + (1-1)^2} = 1$।
$AD$ की लंबाई $= \sqrt{(x - (-4))^2 + (0-0)^2} = |x + 4|$।
समद्विबाहु समलंब के लिए,समानांतर आधार पर असमांतर भुजाओं का प्रक्षेप बराबर होना चाहिए।
$A$ और $D$ के $x$-निर्देशांक $-4$ और $x$ हैं। $B$ और $C$ के $x$-निर्देशांक $2$ और $3$ हैं।
समरूपता के अनुसार,$AD$ का मध्यबिंदु $BC$ के मध्यबिंदु के साथ संरेखित होना चाहिए।
$BC$ का मध्यबिंदु $= (\frac{2+3}{2}, 1) = (2.5, 1)$।
$AD$ का मध्यबिंदु $= (\frac{-4+x}{2}, 0) = (2.5, 0)$।
$-4 + x = 5 \implies x = 9$।
अतः,$D$ के निर्देशांक $(9, 0)$ हैं।

(C) विकल्प $D$ के लिए,दिए गए समीकरण $xy - 3y^2 + y - 2x + 10 = 0$ का समघातीय भाग $xy - 3y^2 = 0$ है।
इनके लंबवत मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म को प्राप्त करने के लिए,हम $x$ को $y$ से और $y$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
इन मानों को रखने पर,हमें $y(-x) - 3(-x)^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $-xy - 3x^2 = 0$ या $3x^2 + xy = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः विकल्प $D$ गलत है।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: त्रिभुज के शीर्ष मध्य बिंदुओं के योग-अंतर से प्राप्त होते हैं,जो गणना करने पर सत्य सिद्ध होता है।

(D) माना वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है। चूँकि $P$ और $Q$,$AB$ ($x$-अक्ष) पर स्थित हैं,माना $P = (x_1, 0)$ और $Q = (x_1 + a, 0)$ है।
तब $S = (x_1, a)$ और $R = (x_1 + a, a)$ होगा।
बिंदु $S$,$AC$ पर स्थित है। रेखा $AC$ का समीकरण $y = \frac{1}{2}x$ है। $S(x_1, a)$ रखने पर,$a = \frac{1}{2}x_1 \Rightarrow x_1 = 2a$ प्राप्त होता है।
बिंदु $R$,$BC$ पर स्थित है। रेखा $BC$ का समीकरण $x + y = 3$ है।
$R(x_1 + a, a)$ रखने पर,$(x_1 + a) + a = 3 \Rightarrow x_1 + 2a = 3$ प्राप्त होता है।
$x_1 = 2a$ को दूसरे समीकरण में रखने पर: $2a + 2a = 3$ $\Rightarrow 4a = 3$ $\Rightarrow a = \frac{3}{4}$।
अतः $x_1 = \frac{3}{2}$।
निर्देशांक $P(\frac{3}{2}, 0)$,$Q(\frac{9}{4}, 0)$,$R(\frac{9}{4}, \frac{3}{4})$,और $S(\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$ हैं।

(D) $AB$ का मध्य बिंदु $M$ है $\left( \frac{3+5}{2}, \frac{2+1}{2} \right) = (4, 3/2)$।
$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{1-2}{5-3} = -1/2$ है।
शीर्षलंब $PM$ की ढाल $m_{PM} = -1/m_{AB} = 2$ है।
$AB$ की लंबाई $a = \sqrt{(5-3)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{5}$ है।
समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ है।
$AB$ के लंबवत इकाई सदिश $\vec{n} = \frac{(1, 2)}{\sqrt{5}}$ है।
चूंकि $P$ मूल बिंदु से दूर है,हम $M$ से मूल बिंदु के विपरीत दिशा में $\vec{n}$ की दिशा में आगे बढ़ेंगे।
$P = M + h \cdot \frac{(1, 2)}{\sqrt{5}} = (4, 3/2) + \frac{\sqrt{3}}{2}(1, 2) = (4 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 3/2 + \sqrt{3})$।
समबाहु त्रिभुज में,लंबकेंद्र केंद्रक $G = \frac{A+B+P}{3}$ के समान होता है।
$G = \left( 4 + \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$।

(B) माना समकोण का शीर्ष $B(a, 10 - 2a)$ है। अन्य दो शीर्ष $A(4, 1)$ और $C(2, -3)$ हैं।
चूंकि $\angle B = 90^{\circ}$,$AB$ और $BC$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है।
$AB$ की प्रवणता $= \frac{9 - 2a}{a - 4}$.
$BC$ की प्रवणता $= \frac{13 - 2a}{a - 2}$.
$AB \perp BC$ होने के कारण,$\left(\frac{9 - 2a}{a - 4}\right) \times \left(\frac{13 - 2a}{a - 2}\right) = -1$.
$(9 - 2a)(13 - 2a) = -(a - 4)(a - 2)$.
$4a^2 - 44a + 117 = -a^2 + 6a - 8$.
$5a^2 - 50a + 125 = 0 \implies a = 5$.
अतः $B$ का निर्देशांक $(5, 0)$ है।
$AB = \sqrt{2}$ और $BC = 3\sqrt{2}$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times 3\sqrt{2} = 3$ वर्ग इकाई।

(D) यदि त्रिभुज समद्विबाहु है,तो केंद्रक,लंबकेंद्र,अंतःकेंद्र और परिकेंद्र संरेख होते हैं।
त्रिभुज के समद्विबाहु होने के लिए,भुजाओं को $AB = BC$,$AB = AC$,या $BC = AC$ को संतुष्ट करना चाहिए।
स्थिति $1$: $AB = BC$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति $2$: $AB = AC$ के लिए $k = 7$ या $k = -1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $3$: $BC = AC$ के लिए $k = -19/8$ प्राप्त होता है।
अतः,$k$ के इन सभी मानों के लिए त्रिभुज समद्विबाहु है और बिंदु संरेख हैं।

(A) मान लीजिए कि त्रिभुज की दो भुजाएँ $a$ और $b$ हैं और उनके बीच का कोण $\theta$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}ab \sin\theta$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल अधिकतम होने के लिए,$\sin\theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए,जो $\theta = 90^\circ$ पर होता है।
अतः,त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $a$ और $b$ भुजाएँ समकोण बनाती हैं।
मान लीजिए कि $a$ और $b$ भुजाओं वाला शीर्ष कार्तीय तल में मूलबिंदु $(0,0)$ पर है।
शीर्षों के निर्देशांक $(0,0)$,$(a,0)$ और $(0,b)$ हैं।
कर्ण का मध्यबिंदु $M = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ है।
शीर्ष $(0,0)$ से कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई $(0,0)$ से $M$ तक की दूरी है।
माध्यिका की लंबाई $m = \sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (\frac{b}{2} - 0)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}$.

(A) माना शीर्ष $A(-3, 2)$ है और आधार $BC$ का समीकरण $3x + 4y - 1 = 0$ है।
$A$ से $BC$ पर डाले गए लंब की लंबाई $h$,$A$ से रेखा $BC$ की लंबवत दूरी है:
$h = \frac{|3(-3) + 4(2) - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-9 + 8 - 1|}{5} = \frac{2}{5}$.
समबाहु त्रिभुज के लिए ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2}s$,इसलिए भुजा $s = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{4}{5\sqrt{3}}$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4}s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left(\frac{4}{5\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4\sqrt{3}}{75}$.

(D) $\triangle AFD$ में,हमारे पास $\angle A + \angle AFD + \angle D = 180^{\circ}$ है।
माना $\angle A = \alpha$ और $\angle D = \beta$ है। तब $\alpha + 40^{\circ} + \beta = 180^{\circ}$,अतः $\alpha + \beta = 140^{\circ}$।
$\triangle ABC$ में,चूँकि $BC = AC$,हमारे पास $\angle ABC = \angle BAC = \alpha$ है। अतः,$\angle ACB = 180^{\circ} - 2\alpha$।
$\triangle CED$ में,चूँकि $CE = CD$,हमारे पास $\angle CED = \angle CDE = \beta$ है। अतः,$\angle ECD = 180^{\circ} - 2\beta$।
चूँकि $A, C, D$ एक सीधी रेखा पर स्थित हैं,$\angle ACB + \angle BCE + \angle ECD = 180^{\circ}$ है।
मान रखने पर: $(180^{\circ} - 2\alpha) + \angle BCE + (180^{\circ} - 2\beta) = 180^{\circ}$।
$\angle BCE = 2\alpha + 2\beta - 180^{\circ} = 2(\alpha + \beta) - 180^{\circ}$।
चूँकि $\alpha + \beta = 140^{\circ}$,$\angle BCE = 2(140^{\circ}) - 180^{\circ} = 280^{\circ} - 180^{\circ} = 100^{\circ}$।

(D) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,भुजाओं $AB$ और $BC$ का अनुपात भुजा $AC$ पर स्थित खंडों $AD$ और $DC$ के अनुपात के बराबर होता है।
$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} = \frac{3}{8}$.
माना $AB = 3k$ और $BC = 8k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
भुजा $AC = AD + DC = 3 + 8 = 11$.
चूँकि भुजाओं की लंबाई पूर्णांक है,$k$ एक पूर्णांक होना चाहिए।
त्रिभुज असमिका के अनुसार:
$3k + 8k > 11 \implies 11k > 11 \implies k > 1$.
$3k + 11 > 8k \implies 11 > 5k \implies k < 2.2$.
$k$ एक पूर्णांक है,इसलिए $k = 2$.
अतः,$AB = 6$ और $BC = 16$.
परिमाप $= 6 + 16 + 11 = 33$.

(B) माना वर्ग के शीर्ष $A(0,2)$,$B(x,y)$,$C(6,4)$,और $D(x',y')$ हैं।
चूंकि $ABCD$ एक वर्ग है,विकर्ण $AC$ का ढाल $m_{AC} = \frac{4-2}{6-0} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
माना भुजाओं $AB$ और $AD$ के ढाल क्रमशः $m_1$ और $m_2$ हैं।
चूंकि वर्ग की भुजाएं विकर्ण के साथ $45^\circ$ का कोण बनाती हैं,इसलिए विकर्ण $AC$ और भुजाओं $AB$ या $AD$ के बीच का कोण $45^\circ$ है।
सूत्र $\tan \theta = |\frac{m - m_{AC}}{1 + m \cdot m_{AC}}|$ का उपयोग करने पर,$\tan 45^\circ = |\frac{m - 1/3}{1 + m/3}| = 1$ प्राप्त होता है।
इससे $\frac{m - 1/3}{1 + m/3} = 1$ या $\frac{m - 1/3}{1 + m/3} = -1$ मिलता है।
स्थिति $1$: $m - 1/3 = 1 + m/3 \implies \frac{2m}{3} = \frac{4}{3} \implies m = 2$.
स्थिति $2$: $m - 1/3 = -1 - m/3 \implies \frac{4m}{3} = -2/3 \implies m = -1/2$.
अतः,$A$ से गुजरने वाली भुजाओं के ढाल $2$ और $-1/2$ हैं।
ढालों का योग $2 + (-1/2) = 3/2 = 1.5$ है।

(C) बिंदु $P$ और $Q$ रेखा $5x + y = 99$ पर स्थित हैं। चूँकि $x, y \ge 0$ और पूर्णांक हैं,$x$ का मान $0$ से $19$ तक हो सकता है। ऐसे कुल $20$ बिंदु हैं।
माना $P = (x_1, 99 - 5x_1)$ और $Q = (x_2, 99 - 5x_2)$ है।
$\Delta OPQ$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{99}{2} |x_1 - x_2|$ है।
क्षेत्रफल को पूर्णांक होने के लिए,$|x_1 - x_2|$ को सम होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $x_1$ और $x_2$ की समता समान होनी चाहिए (दोनों सम या दोनों विषम)।
$10$ सम संख्याएँ और $10$ विषम संख्याएँ हैं।
दो भिन्न बिंदुओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^{10}C_2 + ^{10}C_2 = 45 + 45 = 90$ है।

(B) एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,मान लीजिए कि $\angle A, \angle B, \angle C,$ और $\angle D$ के समद्विभाजक चित्र में दिखाए अनुसार बिंदुओं $P, Q, R,$ और $S$ पर मिलते हैं।
चूंकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,आसन्न कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,अर्थात $\angle DAB + \angle ADC = 180^{\circ}$।
चूंकि $AS$ और $DS$ कोण समद्विभाजक हैं,$\angle DAS = \frac{1}{2} \angle DAB$ और $\angle ADS = \frac{1}{2} \angle ADC$।
इसलिए,$\angle DAS + \angle ADS = \frac{1}{2} (\angle DAB + \angle ADC) = \frac{1}{2} (180^{\circ}) = 90^{\circ}$।
$\triangle ADS$ में,कोण योग गुणधर्म द्वारा,$\angle ASD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$।
शीर्षाभिमुख कोण समान होते हैं,इसलिए $\angle PSR = \angle ASD = 90^{\circ}$।
इसी प्रकार,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $\angle SPQ = 90^{\circ}, \angle PQR = 90^{\circ},$ और $\angle SRQ = 90^{\circ}$।
चूंकि सभी कोण $90^{\circ}$ हैं,चतुर्भुज $PQRS$ एक आयत है।

(D) माना रेखाएँ $L_1: 3x + y + 4 = 0$,$L_2: 3x + 4y - 15 = 0$,और $L_3: 24x - 7y - 3 = 0$ हैं।
ढाल $m_1 = -3$,$m_2 = -\frac{3}{4}$,और $m_3 = \frac{24}{7}$ हैं।
रेखाओं के बीच के कोणों की गणना करने पर,तीनों भुजाओं की लंबाई भिन्न प्राप्त होती है।
अतः,यह त्रिभुज एक विषमबाहु त्रिभुज है।

(C) माना समांतर चतुर्भुज $OABC$ है जहाँ शीर्ष $O$ मूलबिंदु $(0,0)$ है।
भुजाएँ $OA: 4x + 5y = 0$ और $OC: 7x + 2y = 0$ हैं।
विकर्ण $AC$ का समीकरण $11x + 7y = 9$ है।
$OA$ और $AC$ को हल करने पर,$A = (\frac{5}{3}, -\frac{4}{3})$ प्राप्त होता है।
$OC$ और $AC$ को हल करने पर,$C = (-\frac{2}{3}, \frac{7}{3})$ प्राप्त होता है।
$AC$ का मध्यबिंदु $M = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ है।
दूसरा विकर्ण मूलबिंदु $O(0,0)$ और $M(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ से होकर गुजरता है।
अतः,समीकरण $y = x$ या $x - y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना $\Delta ABC$ के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,और $C(x_3, y_3)$ हैं,और $\Delta$ त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल है।
$\Delta_1$ केंद्रक $G$ और दो शीर्षों,मान लीजिए $B$ और $C$,द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल है। यह एक ज्ञात गुण है कि केंद्रक और किन्हीं दो शीर्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का $\frac{1}{3}$ होता है।
$\Rightarrow \Delta_1 = \frac{1}{3} \Delta$.
$\Delta_2$ त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल है। भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का $\frac{1}{4}$ होता है।
$\Rightarrow \Delta_2 = \frac{1}{4} \Delta$.
अतः,$\Delta_1 : \Delta_2 = \frac{\Delta}{3} : \frac{\Delta}{4} = \frac{1}{3} : \frac{1}{4} = 4 : 3$.

(A) माना तीसरा शीर्ष $C(h, k)$ है।
चूंकि $C$ रेखा $y = x + 3$ पर स्थित है,इसलिए $k = h + 3$ .........$(1)$
शीर्षों $(h, k), (2, 1), (3, -2)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\frac{1}{2} |h(1 - (-2)) + 2(-2 - k) + 3(k - 1)| = 5$
$|3h - 4 - 2k + 3k - 3| = 10$
$|3h + k - 7| = 10$
स्थिति $1$: $3h + k - 7 = 10 \implies 3h + k = 17$ .........$(2)$
$k = h + 3$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3h + (h + 3) = 17 \implies 4h = 14 \implies h = \frac{7}{2}$
अतः $k = \frac{7}{2} + 3 = \frac{13}{2}$. इसलिए,$C = \left( \frac{7}{2}, \frac{13}{2} \right)$.
स्थिति $2$: $3h + k - 7 = -10 \implies 3h + k = -3$ .........$(3)$
$k = h + 3$ को $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3h + (h + 3) = -3 \implies 4h = -6 \implies h = -\frac{3}{2}$
अतः $k = -\frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2}$. इसलिए,$C = \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right)$.

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ हों,$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 18$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $(2k, k), (k, 2k), (k, k)$ को रखने पर:
$\frac{1}{2} |2k(2k - k) + k(k - k) + k(k - 2k)| = 18$
$\frac{1}{2} |2k(k) + k(0) + k(-k)| = 18$
$\frac{1}{2} |2k^2 - k^2| = 18$
$\frac{1}{2} |k^2| = 18$
$k^2 = 36$
चूंकि $k > 0$,इसलिए $k = 6$ है।
शीर्ष $(12, 6), (6, 12), (6, 6)$ हैं।
केंद्रक $(G) = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
$G = \left(\frac{12 + 6 + 6}{3}, \frac{6 + 12 + 6}{3}\right) = \left(\frac{24}{3}, \frac{24}{3}\right) = (8, 8)$.

(D) दिए गए समीकरण $|x + y| = 2$ और $|x| = 1$ हैं।
$|x + y| = 2$ से,हमें $x + y = 2$ या $x + y = -2$ प्राप्त होता है।
$|x| = 1$ से,हमें $x = 1$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ को $x + y = 2$ में रखने पर $y = 1$ मिलता है। बिंदु: $(1, 1)$।
$x = 1$ को $x + y = -2$ में रखने पर $y = -3$ मिलता है। बिंदु: $(1, -3)$।
$x = -1$ को $x + y = 2$ में रखने पर $y = 3$ मिलता है। बिंदु: $(-1, 3)$।
$x = -1$ को $x + y = -2$ में रखने पर $y = -1$ मिलता है। बिंदु: $(-1, -1)$।
घिरे हुए क्षेत्र के शीर्ष $(1, 1), (1, -3), (-1, -1),$ और $(-1, 3)$ हैं।
यह क्षेत्र एक समांतर चतुर्भुज है।
आधार की लंबाई ($(1, 1)$ और $(1, -3)$ के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी) $|1 - (-3)| = 4$ इकाई है।
ऊंचाई ($x = 1$ और $x = -1$ के बीच की क्षैतिज दूरी) $|1 - (-1)| = 2$ इकाई है।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = 4 \times 2 = 8$ वर्ग इकाई।
अतः,सही उत्तर $(D) 8$ है।

(C) रेखाएँ $x + 2y = 3$ और $3x - 2y = 5$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $BC$ के लंब समद्विभाजक हैं।
इन दो रेखाओं को हल करने पर $\triangle ABC$ का परिकेंद्र $H$ प्राप्त होता है:
$x + 2y = 3$
$3x - 2y = 5$
दोनों को जोड़ने पर $4x = 8 \Rightarrow x = 2$ प्राप्त होता है। $x=2$ रखने पर $2 + 2y = 3$ $\Rightarrow 2y = 1$ $\Rightarrow y = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,परिकेंद्र $H$ के निर्देशांक $\left(2, \frac{1}{2}\right)$ हैं।
मूल बिंदु $O(0, 0)$ लंबकेंद्र दिया गया है।
त्रिभुज के अंदर बिंदु $P(a, b)$ जिसके लिए $\text{Area}(\triangle PAB) = \text{Area}(\triangle PBC) = \text{Area}(\triangle PCA)$ है,वह त्रिभुज का केंद्रक है।
किसी भी त्रिभुज में,केंद्रक $G$,लंबकेंद्र $O$ और परिकेंद्र $H$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए $P(a, b)$ के लिए:
$P = \left( \frac{2(2) + 1(0)}{2+1}, \frac{2(1/2) + 1(0)}{2+1} \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{1}{3} \right)$.
अतः,$a = \frac{4}{3}$ और $b = \frac{1}{3}$ है।
$a + b = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$ है।
$3(a + b) = 3 \times \frac{5}{3} = 5$ है।

(D) रेखा $RQ$ का समीकरण $x - 2y = 2$ है।
चूंकि $R$,$x-$ अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $y-$ निर्देशांक $0$ है। $RQ$ के समीकरण में $y = 0$ रखने पर,हमें $x - 2(0) = 2$ प्राप्त होता है,अतः $x = 2$। इस प्रकार,$R = (2, 0)$।
चूंकि $PQ$,$x-$ अक्ष के समांतर है,इसलिए $Q$ का $y-$ निर्देशांक $P$ के $y-$ निर्देशांक के समान यानी $3$ होगा।
$RQ$ के समीकरण में $y = 3$ रखने पर,हमें $x - 2(3) = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x - 6 = 2$,अतः $x = 8$। इस प्रकार,$Q = (8, 3)$।
शीर्षों $P(5, 3)$,$Q(8, 3)$,और $R(2, 0)$ वाले $\Delta PQR$ का केंद्रक $G$ इस प्रकार है:
$G = \left( \frac{5 + 8 + 2}{3}, \frac{3 + 3 + 0}{3} \right) = \left( \frac{15}{3}, \frac{6}{3} \right) = (5, 2)$।
अब,हम जाँचते हैं कि बिंदु $(5, 2)$ किस रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है:
विकल्प $D$ के लिए: $2x - 5y = 2(5) - 5(2) = 10 - 10 = 0$।
अतः,केंद्रक रेखा $2x - 5y = 0$ पर स्थित है।

(A) तीनों रेखाओं की ढाल $m_1 = \frac{1}{3}$,$m_2 = -\frac{a}{2}$ और $m_3 = -a$ हैं।
रेखाओं के समकोण त्रिभुज बनाने के लिए,किन्हीं दो लंबवत रेखाओं की ढाल का गुणनफल $-1$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: $m_1 \times m_2 = -1$ $\Rightarrow \frac{1}{3} \times (-\frac{a}{2}) = -1$ $\Rightarrow a = 6$.
स्थिति $2$: $m_1 \times m_3 = -1$ $\Rightarrow \frac{1}{3} \times (-a) = -1$ $\Rightarrow a = 3$.
स्थिति $3$: $m_2 \times m_3 = -1$ $\Rightarrow (-\frac{a}{2}) \times (-a) = -1$ $\Rightarrow \frac{a^2}{2} = -1$ (कोई वास्तविक हल नहीं)।
अतः,$a = 6$ या $a = 3$ संभावित मान हैं।
विकल्पों की जाँच करने पर: $a = 6$ और $a = 3$ दोनों समीकरण $a^2 - 9a + 18 = 0$ को संतुष्ट करते हैं।

(C) रेखाओं के समीकरण:
$L_1: x + 3y = 4$
$L_2: 3x + y = 4$
$L_3: x + y = 0$
शीर्षों को ज्ञात करने के लिए समीकरणों को हल करने पर:
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $B = (1, 1)$
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $A = (-2, 2)$
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $C = (2, -2)$
भुजाओं की लंबाई:
$AB = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{10}$
$AC = \sqrt{32}$
चूँकि $AB = BC$ है,इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।

(D) मान लीजिए भुजाएँ $AB: 3x - 2y + 6 = 0$ और $AC: 4x + 5y - 20 = 0$ हैं। शीर्ष $A$,$AB$ और $AC$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $3x - 2y = -6$ और $4x + 5y = 20$ को हल करने पर,हमें $A = (2/23, 78/23)$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए लंबकेंद्र $H = (1, 1)$ है।
$B$ से $AC$ पर डाला गया लंब $H(1, 1)$ से गुजरता है और $AC$ के लंबवत है। $AC$ की ढाल $-4/5$ है,इसलिए लंब की ढाल $5/4$ है। समीकरण $5x - 4y - 1 = 0$ है।
शीर्ष $B$,$AB$ और लंब $5x - 4y - 1 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हल करने पर,$B = (-13, -17)$ प्राप्त होता है।
$C$ से $AB$ पर डाला गया लंब $H(1, 1)$ से गुजरता है और $AB$ के लंबवत है। $AB$ की ढाल $3/2$ है,इसलिए लंब की ढाल $-2/3$ है। समीकरण $2x + 3y - 5 = 0$ है।
शीर्ष $C$,$AC$ और लंब $2x + 3y - 5 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हल करने पर,$C = (35/2, -5)$ प्राप्त होता है।
तीसरी भुजा $BC$,$B(-13, -17)$ और $C(35/2, -5)$ से गुजरती है। गणना करने पर,तीसरी भुजा का समीकरण $26x - 122y - 1675 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखा $3x + 4y = 24$ है।
$x-$अंतःखंड $(A)$ ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $3x = 24 \implies x = 8$. अतः,$A = (8, 0)$.
$y-$अंतःखंड $(B)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें: $4y = 24 \implies y = 6$. अतः,$B = (0, 6)$.
त्रिभुज $OAB$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(8, 0)$ और $B(0, 6)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $OA = 8$,$OB = 6$,और $AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ है।
अंतःकेंद्र $I(x, y) = \left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a + b + c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a + b + c} \right)$.
यहाँ,$x_1=0, y_1=0$ (सामने की भुजा $a=10$),$x_2=8, y_2=0$ (सामने की भुजा $b=6$),$x_3=0, y_3=6$ (सामने की भुजा $c=8$).
$I = \left( \frac{10(0) + 6(8) + 8(0)}{10 + 6 + 8}, \frac{10(0) + 6(0) + 8(6)}{10 + 6 + 8} \right) = \left( \frac{48}{24}, \frac{48}{24} \right) = (2, 2)$.

(D) माना दो रेखाएँ $L_1: x + y = 3$ और $L_2: x - y = -3$ हैं। इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु समांतर चतुर्भुज का एक शीर्ष $A$ देता है। $x + y = 3$ और $x - y = -3$ को हल करने पर $2x = 0 \Rightarrow x = 0$ प्राप्त होता है,और $x = 0$ को $x + y = 3$ में रखने पर $y = 3$ प्राप्त होता है। अतः,$A = (0, 3)$ है।
विकर्ण $(2, 4)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। समांतर चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। यदि $A(0, 3)$ एक शीर्ष है,तो सम्मुख शीर्ष $C(x_c, y_c)$ के लिए $\frac{0 + x_c}{2} = 2$ और $\frac{3 + y_c}{2} = 4$ होगा,जिससे $x_c = 4$ और $y_c = 5$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,$C = (4, 5)$ है।
चूँकि भुजाएँ दी गई रेखाओं के समांतर हैं,अन्य दो शीर्ष $B$ और $D$,$C(4, 5)$ से गुजरने वाली और $L_1$ तथा $L_2$ के समांतर रेखाओं पर स्थित हैं। $C$ से गुजरने वाली और $x + y = 3$ के समांतर रेखा $x + y = 9$ है। $C$ से गुजरने वाली और $x - y = -3$ के समांतर रेखा $x - y = -1$ है।
शीर्ष $B$,$x + y = 3$ और $x - y = -1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। जोड़ने पर $2x = 2 \Rightarrow x = 1$ और $y = 2$ प्राप्त होता है। अतः $B = (1, 2)$ है।
शीर्ष $D$,$x + y = 9$ और $x - y = -3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। जोड़ने पर $2x = 6 \Rightarrow x = 3$ और $y = 6$ प्राप्त होता है। अतः $D = (3, 6)$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$(3, 6)$ एक शीर्ष है।

(A) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए $E$ विकर्ण $BC$ का मध्यबिंदु है।
$E$ के निर्देशांक $\left( \frac{2+3}{2}, \frac{5+4}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{9}{2} \right)$ हैं।
चूंकि $E$ विकर्ण $AD$ का भी मध्यबिंदु है,मान लीजिए $D = (x, y)$ है।
तब $\left( \frac{x+1}{2}, \frac{y+2}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{9}{2} \right)$।
$x+1 = 5 \Rightarrow x = 4$ और $y+2 = 9 \Rightarrow y = 7$। अतः,$D = (4, 7)$ है।
विकर्ण $AD$,$A(1, 2)$ और $D(4, 7)$ से होकर गुजरता है।
$AD$ की ढाल $m = \frac{7-2}{4-1} = \frac{5}{3}$ है।
$AD$ का समीकरण $y - 2 = \frac{5}{3}(x - 1)$ है।
$3(y - 2) = 5(x - 1)$ $\Rightarrow 3y - 6 = 5x - 5$ $\Rightarrow 5x - 3y + 1 = 0$।

(N/A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(4,4), B(3,5)$ और $C(-1,-1)$ हैं।
बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $(m) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ द्वारा दी जाती है।
$AB$ की ढाल $(m_1) = \frac{5 - 4}{3 - 4} = \frac{1}{-1} = -1$.
$BC$ की ढाल $(m_2) = \frac{-1 - 5}{-1 - 3} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}$.
$CA$ की ढाल $(m_3) = \frac{4 - (-1)}{4 - (-1)} = \frac{5}{5} = 1$.
चूंकि $AB$ और $CA$ की ढालों का गुणनफल $m_1 \times m_3 = (-1) \times (1) = -1$ है,इसलिए रेखाएं $AB$ और $CA$ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,यह त्रिभुज शीर्ष $A(4,4)$ पर एक समकोण त्रिभुज है।

(N/A) माना बिंदु $(-2,-1), (4,0), (3,3)$ और $(-3,2)$ को क्रमशः $A, B, C$ और $D$ द्वारा दर्शाया गया है।
$AB$ की ढाल $= \frac{0 - (-1)}{4 - (-2)} = \frac{1}{6}$ है।
$CD$ की ढाल $= \frac{2 - 3}{-3 - 3} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6}$ है।
चूंकि $AB$ की ढाल $= CD$ की ढाल है,इसलिए $AB, CD$ के समांतर है।
अब,$BC$ की ढाल $= \frac{3 - 0}{3 - 4} = \frac{3}{-1} = -3$ है।
$AD$ की ढाल $= \frac{2 - (-1)}{-3 - (-2)} = \frac{3}{-1} = -3$ है।
चूंकि $BC$ की ढाल $= AD$ की ढाल है,इसलिए $BC, AD$ के समांतर है।
चूंकि सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हैं,इसलिए चतुर्भुज $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$y-x=0$ $(1)$
$x+y=0$ $(2)$
$x-k=0$ $(3)$
रेखाओं $(1)$ और $(2)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
रेखाओं $(2)$ और $(3)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $x=k$ को $x+y=0$ में रखने पर $y=-k$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $(k, -k)$ है।
रेखाओं $(3)$ और $(1)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $x=k$ को $y-x=0$ में रखने पर $y=k$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $(k, k)$ है।
इस प्रकार,त्रिभुज के शीर्ष $(0, 0)$,$(k, -k)$ और $(k, k)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हों,उसका सूत्र है:
$Area = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
शीर्षों $(0, 0)$,$(k, -k)$ और $(k, k)$ को रखने पर:
$Area = \frac{1}{2} |0(-k-k) + k(k-0) + k(0-(-k))|$
$Area = \frac{1}{2} |0 + k^2 + k^2|$
$Area = \frac{1}{2} |2k^2| = k^2$ वर्ग इकाई।

(C) माना शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(h, K)$ हैं।
चूँकि $\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB$ और $AC$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है।
$AB$ की प्रवणता $= \frac{1 - 2}{3 - 1} = -\frac{1}{2}$.
$AC$ की प्रवणता $= \frac{K - 2}{h - 1}$.
अतः,$\left(\frac{K - 2}{h - 1}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$ $\Rightarrow K - 2 = 2(h - 1)$ $\Rightarrow K = 2h$.
$AB$ की लंबाई $= \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{5}$.
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = 5\sqrt{5}$.
$\frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \sqrt{(h - 1)^2 + (K - 2)^2} = 5\sqrt{5}$.
$\sqrt{(h - 1)^2 + (2h - 2)^2} = 10$.
$\sqrt{5(h - 1)^2} = 10 \Rightarrow |h - 1| = 2\sqrt{5}$.
प्रथम चतुर्थांश में होने के कारण $h > 0$,इसलिए $h = 1 + 2\sqrt{5}$।

(C) माना रेखाएं $L_1: x-y=0$,$L_2: x+2y=3$ और $L_3: 2x+y=6$ हैं।
$L_1$ और $L_2$ को हल करने पर:
$x-y=0 \implies x=y$
$x+2x=3 \implies 3x=3 \implies x=1, y=1$. बिंदु $A = (1, 1)$.
$L_1$ और $L_3$ को हल करने पर:
$x-y=0 \implies x=y$
$2x+x=6 \implies 3x=6 \implies x=2, y=2$. बिंदु $B = (2, 2)$.
$L_2$ और $L_3$ को हल करने पर:
$x+2y=3 \implies x=3-2y$
$2(3-2y)+y=6 \implies 6-4y+y=6 \implies -3y=0 \implies y=0, x=3$. बिंदु $C = (3, 0)$.
अब,भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर:
$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(3-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
चूंकि $BC = AC = \sqrt{5}$,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।