Problems related to triangle and quadrilateral Questions in Hindi

(C) कर्ण $BC$ का समीकरण $3x + 4y - 4 = 0$ है।
शीर्ष $A = (2, 2)$ है।
$BC$ की ढाल $m_{BC} = -\frac{3}{4}$ है।
चूंकि $AD \perp BC$,$AD$ की ढाल $m_{AD} = \frac{4}{3}$ है।
समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में,शीर्ष से कर्ण पर डाला गया लंब शीर्ष के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए भुजाएँ $AB$ और $AC$,$AD$ के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती हैं।
ढाल $m$ के लिए: $\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - \frac{4}{3}}{1 + m(\frac{4}{3})} \right|$ $\Rightarrow 1 = \left| \frac{3m - 4}{3 + 4m} \right|$.
इससे $m = -7$ या $m = \frac{1}{7}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$m = -7$ के लिए: $y - 2 = -7(x - 2) \Rightarrow 7x + y - 16 = 0$.
$m = \frac{1}{7}$ के लिए: $y - 2 = \frac{1}{7}(x - 2) \Rightarrow x - 7y + 12 = 0$.
अतः,सही विकल्प $7x + y - 16 = 0$ है।

(B) माना शीर्ष $A(1,3), B(5,0)$ और $C(-1,2)$ हैं।
त्रिभुज के अंदर किसी भी बिंदु $(x,y)$ के लिए,व्यंजक को वही चिह्न बनाए रखना चाहिए जो शीर्षों के लिए है यदि रेखा त्रिभुज से होकर नहीं गुजरती है।
शीर्षों के लिए व्यंजक $3x + 2y$ का परीक्षण करने पर:
$A(1,3)$ के लिए: $3(1) + 2(3) = 3 + 6 = 9 > 0$.
$B(5,0)$ के लिए: $3(5) + 2(0) = 15 + 0 = 15 > 0$.
$C(-1,2)$ के लिए: $3(-1) + 2(2) = -3 + 4 = 1 > 0$.
चूंकि सभी शीर्षों के लिए मान धनात्मक है,इसलिए त्रिभुज के अंदर का कोई भी बिंदु $3x + 2y > 0$ को संतुष्ट करेगा।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) वर्ग के शीर्ष $O(0,0), A(1,0), B(1,1)$ और $C(0,1)$ हैं।
विकर्ण विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड हैं,जो $OB$ और $AC$ हैं।
$1$. $(0,0)$ और $(1,1)$ से गुजरने वाले विकर्ण $OB$ का समीकरण:
ढाल $m = \frac{1-0}{1-0} = 1$ है।
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करते हुए:
$y - 0 = 1(x - 0) \Rightarrow y = x$।
$2$. $(1,0)$ और $(0,1)$ से गुजरने वाले विकर्ण $AC$ का समीकरण:
ढाल $m = \frac{1-0}{0-1} = -1$ है।
बिंदु-ढाल रूप $y - 0 = -1(x - 1)$ का उपयोग करते हुए:
$y = -x + 1 \Rightarrow x + y = 1$।
अतः,विकर्णों के समीकरण $y = x$ और $x + y = 1$ हैं।

(B) वर्ग की भुजाएँ विकर्ण के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती हैं। दिए गए विकर्ण $8x - 15y = 0$ की ढाल $m_1 = \frac{8}{15}$ है।
माना $(1, 2)$ से गुजरने वाली भुजाओं की ढाल $m$ है। सूत्र $\tan(45^{\circ}) = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$ का उपयोग करने पर:
$1 = |\frac{m - 8/15}{1 + 8m/15}|$
$1 = |\frac{15m - 8}{15 + 8m}|$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $15m - 8 = 15 + 8m$ $\Rightarrow 7m = 23$ $\Rightarrow m = \frac{23}{7}$.
भुजा का समीकरण $y - 2 = \frac{23}{7}(x - 1) \Rightarrow 23x - 7y - 9 = 0$ है।
स्थिति $2$: $15m - 8 = -(15 + 8m)$ $\Rightarrow 23m = -7$ $\Rightarrow m = -\frac{7}{23}$.
भुजा का समीकरण $y - 2 = -\frac{7}{23}(x - 1) \Rightarrow 7x + 23y - 53 = 0$ है।

(B) दी गई रेखाएं $L_1: 4x+y-1=0$ और $L_2: 3x-4y+1=0$ हैं। $L_1$ की ढाल $m_1 = -4$ है और $L_2$ की ढाल $m_2 = \frac{3}{4}$ है।
बिंदु $A(2, -7)$ है। रेखा $AB$,$L_1$ है। बिंदु $B$,$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
चूंकि $AB=AC$ और $A$ उभयनिष्ठ बिंदु है,$AB$ और $BC$ के बीच का कोण $AC$ और $BC$ के बीच के कोण के बराबर होना चाहिए। मान लीजिए $AC$ की ढाल $m$ है। $AB$ और $BC$ के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}| = |\frac{-4 - 3/4}{1 + (-4)(3/4)}| = \frac{19}{8}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $BC$ समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ का आधार है,रेखा $BC$,$AB$ और $AC$ के साथ समान कोण बनाती है। इसलिए $AC$ और $BC$ के बीच का कोण भी $\theta = \tan^{-1}(\frac{19}{8})$ है।
$\tan \theta = |\frac{m-m_2}{1+mm_2}|$ का उपयोग करते हुए,$\frac{19}{8} = |\frac{m-3/4}{1+m(3/4)}| = |\frac{4m-3}{4+3m}|$ प्राप्त होता है।
इसके दो मामले हैं: $\frac{4m-3}{4+3m} = \frac{19}{8}$ या $\frac{4m-3}{4+3m} = -\frac{19}{8}$।
मामला $1$: $32m - 24 = 76 + 57m \Rightarrow m = -4$ (यह रेखा $AB$ है)।
मामला $2$: $32m - 24 = -76 - 57m$ $\Rightarrow 89m = -52$ $\Rightarrow m = -\frac{52}{89}$।
रेखा $AC$ का समीकरण $y - (-7) = -\frac{52}{89}(x - 2) \Rightarrow 52x + 89y + 519 = 0$ है।

(B) $AB$ का लंब समद्विभाजक $2x+3y+1=0$ है। इस रेखा की ढाल $-2/3$ है। अतः,$AB$ की ढाल $3/2$ है।
$AB$ का समीकरण $y-2 = \frac{3}{2}(x-3)$ है,जो सरल होकर $3x-2y-5=0$ बनता है।
$AB$ $(3x-2y-5=0)$ और इसके लंब समद्विभाजक $(2x+3y+1=0)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $AB$ का मध्य बिंदु $D$ देता है। हल करने पर,$D=(1,-1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $D$,$AB$ का मध्य बिंदु है,$\frac{3+x_B}{2}=1$ और $\frac{2+y_B}{2}=-1$,इसलिए $B=(-1,-4)$ प्राप्त होता है।
$AC$ का लंब समद्विभाजक $x+2y-2=0$ है। इस रेखा की ढाल $-1/2$ है। अतः,$AC$ की ढाल $2$ है।
$AC$ का समीकरण $y-2 = 2(x-3)$ है,जो सरल होकर $2x-y-4=0$ बनता है।
$AC$ $(2x-y-4=0)$ और इसके लंब समद्विभाजक $(x+2y-2=0)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $AC$ का मध्य बिंदु $E$ देता है। हल करने पर,$E=(2,0)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $E$,$AC$ का मध्य बिंदु है,$\frac{3+x_C}{2}=2$ और $\frac{2+y_C}{2}=0$,इसलिए $C=(1,-2)$ प्राप्त होता है।
$B(-1,-4)$ और $C(1,-2)$ से गुजरने वाली भुजा $BC$ का समीकरण $y-(-4) = \frac{-2-(-4)}{1-(-1)}(x-(-1))$ है।
$y+4 = \frac{2}{2}(x+1) \implies y+4 = x+1 \implies x-y-3=0$.

(B) माना मध्य-बिंदु $P(2,1)$ भुजा $BC$ पर,$Q(-1,-2)$ भुजा $CA$ पर और $R(3,3)$ भुजा $AB$ पर स्थित हैं।
चूंकि $RQ$,$BC$ के समांतर है और $RQ = \frac{1}{2} BC$ है,इसलिए भुजा $BC$ रेखाखंड $RQ$ के समांतर है।
$RQ$ की ढाल $m = \frac{3 - (-2)}{3 - (-1)} = \frac{5}{4}$ है।
चूंकि $BC$,$RQ$ के समांतर है,इसलिए $BC$ की ढाल भी $m = \frac{5}{4}$ होगी।
भुजा $BC$ बिंदु $P(2,1)$ से होकर गुजरती है।
बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करते हुए,$BC$ का समीकरण है:
$y - 1 = \frac{5}{4}(x - 2)$
$4(y - 1) = 5(x - 2)$
$4y - 4 = 5x - 10$
$5x - 4y = 6$

(B) माना $C = (h, k)$ है। चूँकि $C$ कोण समद्विभाजक $7x - 4y - 1 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $7h - 4k - 1 = 0$ या $h = \frac{4k + 1}{7}$ है।
$M$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,अतः $M = \left(\frac{-3 + h}{2}, \frac{1 + k}{2}\right) = \left(\frac{2k - 10}{7}, \frac{1+k}{2}\right)$ है।
चूँकि $M$ माध्यिका $BM$ $(2x + y - 3 = 0)$ पर स्थित है,इसलिए $2\left(\frac{2k - 10}{7}\right) + \frac{1+k}{2} - 3 = 0$ है।
$14$ से गुणा करने पर,$4(2k - 10) + 7(1+k) - 42 = 0$ $\Rightarrow 15k = 75$ $\Rightarrow k = 5$ प्राप्त होता है।
अतः $h = 3$ है। इस प्रकार,$C = (3, 5)$ है।
$AC$ की ढाल $m_{AC} = \frac{2}{3}$ और समद्विभाजक $CN$ की ढाल $m_{bisector} = \frac{7}{4}$ है।
माना $BC$ की ढाल $m$ है। कोण समद्विभाजक के गुणधर्म से,$\left|\frac{m - 7/4}{1 + m(7/4)}\right| = \frac{1}{2}$ है।
इसे हल करने पर $m = 18$ प्राप्त होता है।
$BC$ का समीकरण $y - 5 = 18(x - 3) \Rightarrow 18x - y = 49$ है।

(B) चूंकि $\triangle PQR$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $P$ पर है,इसलिए $\angle PQR = \angle PRQ = 45^{\circ}$ है।
रेखा $QR$ की ढाल $m = -2$ है।
मान लीजिए $PQ$ की ढाल $m_1$ है। $PQ$ और $QR$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए:
$\tan 45^{\circ} = |\frac{m_1 - (-2)}{1 + m_1(-2)}| = 1$
$|\frac{m_1 + 2}{1 - 2m_1}| = 1$
इससे $m_1 = -\frac{1}{3}$ या $m_1 = 3$ प्राप्त होता है।
$P(2, 1)$ से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण:
$m_1 = -\frac{1}{3}$ के लिए: $y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 2) \Rightarrow x + 3y - 5 = 0$.
$m_2 = 3$ के लिए: $y - 1 = 3(x - 2) \Rightarrow 3x - y - 5 = 0$.
अतः,सही विकल्प $3x - y - 5 = 0$ है।

(D) $a_1x+b_1y+c_1=0$,$a_1x+b_1y+c_2=0$,$a_2x+b_2y+d_1=0$ और $a_2x+b_2y+d_2=0$ रेखाओं द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \left| \frac{(c_1-c_2)(d_1-d_2)}{a_1b_2-a_2b_1} \right|$ है।
यहाँ,रेखाएँ $ax+by+2=0$,$ax+by+5=0$,$cx+dy+3=0$ और $cx+dy+7=0$ हैं।
सूत्र से तुलना करने पर,$c_1=2, c_2=5, d_1=3, d_2=7, a_1=a, b_1=b, a_2=c, b_2=d$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{Area} = \left| \frac{(2-5)(3-7)}{ad-bc} \right|$
$\text{Area} = \left| \frac{(-3)(-4)}{ad-bc} \right|$
$\text{Area} = \frac{12}{|ad-bc|}$ वर्ग इकाई।

(A) माना $A = (1, -2)$ है। $AB$ का लंब समद्विभाजक $L_1: x-y+5=0$ है। $L_1$ की ढाल $1$ है,इसलिए $AB$ की ढाल $-1$ है। $AB$ का समीकरण $y - (-2) = -1(x - 1) \Rightarrow x+y+1=0$ है।
$AB$ और $L_1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x - (-x-1) + 5 = 0$ $\Rightarrow 2x = -6$ $\Rightarrow x = -3, y = 2$ है।
चूंकि $E$,$AB$ का मध्य बिंदु है,$\frac{x_B+1}{2} = -3 \Rightarrow x_B = -7$ और $\frac{y_B-2}{2} = 2 \Rightarrow y_B = 6$ है। अतः $B = (-7, 6)$ है।
$AC$ का लंब समद्विभाजक $L_2: x+2y=0$ है। $L_2$ की ढाल $-1/2$ है,इसलिए $AC$ की ढाल $2$ है। $AC$ का समीकरण $y - (-2) = 2(x - 1) \Rightarrow 2x-y-4=0$ है।
$AC$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x + 2(2x-4) = 0$ $\Rightarrow 5x = 8$ $\Rightarrow x = 8/5, y = -4/5$ है।
चूंकि $F$,$AC$ का मध्य बिंदु है,$\frac{x_C+1}{2} = 8/5 \Rightarrow x_C = 11/5$ और $\frac{y_C-2}{2} = -4/5 \Rightarrow y_C = 2/5$ है। अतः $C = (11/5, 2/5)$ है।
$(-7, 6)$ और $(11/5, 2/5)$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण:
$y - 6 = \frac{2/5 - 6}{11/5 - (-7)} (x - (-7))
$ $\Rightarrow y - 6 = -\frac{14}{23} (x + 7)
$ $\Rightarrow 14x + 23y - 40 = 0$.

(D) माना $ABCD$ एक वर्ग है जहाँ $A \equiv (1,3)$ और $C \equiv (7,5)$ है।
विकर्ण $AC$ की ढाल $m_{AC} = \frac{5-3}{7-1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
माना भुजा $AB$ की ढाल $m$ है।
चूँकि वर्ग का विकर्ण भुजाओं के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए $\left| \frac{m - 1/3}{1 + m(1/3)} \right| = \tan 45^{\circ} = 1$ है।
$\left| \frac{3m-1}{3+m} \right| = 1$ है।
स्थिति $1$: $\frac{3m-1}{3+m} = 1$ $\Rightarrow 3m-1 = 3+m$ $\Rightarrow 2m = 4$ $\Rightarrow m = 2$ है।
$A(1,3)$ से गुजरने वाली और $m=2$ ढाल वाली भुजा का समीकरण $y-3 = 2(x-1)$ $\Rightarrow y-3 = 2x-2$ $\Rightarrow 2x-y+1 = 0$ है।
स्थिति $2$: $\frac{3m-1}{3+m} = -1$ $\Rightarrow 3m-1 = -3-m$ $\Rightarrow 4m = -2$ $\Rightarrow m = -1/2$ है।
$A(1,3)$ से गुजरने वाली और $m=-1/2$ ढाल वाली भुजा का समीकरण $y-3 = -1/2(x-1)$ $\Rightarrow 2y-6 = -x+1$ $\Rightarrow x+2y-7 = 0$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$2x-y+1=0$ सही उत्तर है।

(C) दी गई रेखा $4x - 2y = 1$ है,जिसे $y = 2x - 1/2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = 2$ है।
चूंकि रेखा $L$ इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए। अतः,$2 \times m_2 = -1$,यानी $m_2 = -1/2$ है।
$-1/2$ ढाल वाली रेखा $L$ का समीकरण $x + 2y + \lambda = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
निर्देशांक अक्षों पर इस रेखा के अंतःखंड $x=0$ और $y=0$ रखकर प्राप्त किए जा सकते हैं:
$x=0$ के लिए,$2y = -\lambda \implies y = -\lambda/2$ है।
$y=0$ के लिए,$x = -\lambda$ है।
निर्देशांक अक्षों के साथ बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |\text{आधार}| \times |\text{ऊंचाई}| = \frac{1}{2} |-\lambda| \times |-\lambda/2| = 4$ है।
$\frac{\lambda^2}{4} = 4 \implies \lambda^2 = 16 \implies \lambda = \pm 4$ है।
$\lambda = 4$ को $x + 2y + \lambda = 0$ में रखने पर $x + 2y + 4 = 0$ प्राप्त होता है,जो $2x + 4y + 8 = 0$ के समतुल्य है।

(C) समचतुर्भुज की दो भुजाओं के समीकरण $L_1: x-y+1=0$ और $L_2: 7x-y-5=0$ हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें शीर्ष $V_1(1,2)$ प्राप्त होता है।
विकर्ण एक-दूसरे को $(-1,-2)$ पर समद्विभाजित करते हैं।
$V_1(1,2)$ के सम्मुख शीर्ष $V_3$ के लिए,मध्यबिंदु सूत्र से:
$-1 = \frac{1+x_3}{2} \Rightarrow x_3 = -3$ और $-2 = \frac{2+y_3}{2} \Rightarrow y_3 = -6$.
अतः $V_3 = (-3,-6)$।
दूसरे विकर्ण की ढाल $m' = -\frac{1}{2}$ है और यह $(-1,-2)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $x + 2y + 5 = 0$ है।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\frac{1}{3} + 2(-\frac{8}{3}) + 5 = 0$।
अतः,$\left(\frac{1}{3}, -\frac{8}{3}\right)$ एक शीर्ष है।

(A) त्रिभुज रेखाओं $x=0$,$y=0$,और $x+y=10$ द्वारा बनता है। शीर्ष $O(0,0)$,$A(10,0)$,और $B(0,10)$ हैं।
हमें उन बिंदुओं $(x, y)$ की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ $x, y \in \mathbb{N}$ (प्राकृतिक संख्याएँ) और $x+y < 10$ है।
यदि $x=1$ है,तो $1+y < 10 \implies y < 9$। चूँकि $y$ एक प्राकृतिक संख्या है,$y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$। ऐसे $8$ बिंदु हैं।
यदि $x=2$ है,तो $2+y < 10 \implies y < 8$। अतः $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$। ऐसे $7$ बिंदु हैं।
इस पैटर्न के अनुसार,किसी दिए गए $x$ के लिए,$y$ के प्राकृतिक संख्या मानों की संख्या $9-x$ है।
$x$ को एक प्राकृतिक संख्या होना चाहिए,इसलिए $x$ का मान $1$ से $8$ तक हो सकता है (क्योंकि यदि $x=9$ है,तो $y < 1$ होगा,जो प्राकृतिक संख्याओं के लिए संभव नहीं है)।
बिंदुओं की कुल संख्या का योग: $8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = \frac{8 \times 9}{2} = 36$.

(B) माना रेखाएँ $L_1: 2x + 3y - 1 = 0$,$L_2: x + 2y + 1 = 0$,और $L_3: ax + by - 1 = 0$ हैं। लंबकेंद्र $(0, 0)$ पर है।
चूँकि लंबकेंद्र शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,शीर्ष $B$ से गुजरने वाला शीर्षलंब $(0, 0)$ से गुजरता है और $L_3$ के लंबवत है। $B$ से गुजरने वाली रेखाओं का परिवार $(2x + 3y - 1) + \lambda(x + 2y + 1) = 0$ है। चूँकि यह $(0, 0)$ से गुजरती है,$-1 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$। शीर्षलंब का समीकरण $3x + 5y = 0$ है,जिसकी ढाल $m = -\frac{3}{5}$ है। चूँकि यह $L_3$ (ढाल $-\frac{a}{b}$) के लंबवत है,$(-\frac{a}{b}) \times (-\frac{3}{5}) = -1 \Rightarrow 3a = -5b$।
इसी प्रकार,शीर्ष $A$ से गुजरने वाला शीर्षलंब $(0, 0)$ से गुजरता है और $L_2$ (ढाल $-\frac{1}{2}$) के लंबवत है। $A$ से गुजरने वाली रेखाओं का परिवार $(2x + 3y - 1) + \mu(ax + by - 1) = 0$ है। चूँकि यह $(0, 0)$ से गुजरती है,$-1 - \mu = 0 \Rightarrow \mu = -1$। शीर्षलंब का समीकरण $(2-a)x + (3-b)y = 0$ है,जिसकी ढाल $-\frac{2-a}{3-b}$ है। चूँकि यह $L_2$ के लंबवत है,$(-\frac{2-a}{3-b}) \times (-\frac{1}{2}) = -1$ $\Rightarrow 2-a = -2(3-b)$ $\Rightarrow a + 2b = 8$।
$3a = -5b$ और $a + 2b = 8$ को हल करने पर,हमें $a = -40$ और $b = 24$ प्राप्त होता है। अतः,$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = -\frac{1}{40} + \frac{1}{24} = \frac{-3 + 5}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$.

(A) प्रतिबंध $xy > 0$ का अर्थ है कि बिंदु $A(x, y)$ को या तो प्रथम चतुर्थांश $(x > 0, y > 0)$ या तृतीय चतुर्थांश $(x < 0, y < 0)$ में स्थित होना चाहिए।
प्रतिबंध $x + y < 1$ रेखा $x + y = 1$ के नीचे के क्षेत्र को दर्शाता है।
प्रथम चतुर्थांश में,$x > 0, y > 0$ और $x + y < 1$ को संतुष्ट करने वाला क्षेत्र मूलबिंदु $O(0, 0)$,$(1, 0)$ और $(0, 1)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का आंतरिक भाग है।
त्रिभुज $\triangle OMN$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$M(1, 2)$ और $N(0, 1)$ हैं।
$xy > 0$ और $x + y < 1$ द्वारा परिभाषित क्षेत्र का अवलोकन करने पर,यह स्पष्ट है कि बिंदु $A$,$\triangle OMN$ के अंदर स्थित नहीं हो सकता क्योंकि $\triangle OMN$ का आंतरिक भाग अपने अधिकांश क्षेत्र के लिए रेखा $x + y = 1$ के ऊपर स्थित है,और दिए गए प्रतिबंध $A$ को एक ऐसे क्षेत्र तक सीमित करते हैं जो $\triangle OMN$ के आंतरिक भाग के साथ ओवरलैप नहीं करता है।

(A) त्रिभुज $L_1: 3x+y+2=0$,$L_2: 2x-3y+5=0$ और $L_3: x+4y-14=0$ रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बनता है।
बिंदु $(0, \beta)$ के त्रिभुज के अंदर स्थित होने के लिए $\beta$ का मान ज्ञात करने हेतु,हम $y$-अक्ष पर इन रेखाओं के $y$-अंतःखंड ज्ञात करते हैं (जहाँ $x=0$):
$L_1$ के लिए: $3(0)+y+2=0 \implies y = -2$.
$L_2$ के लिए: $2(0)-3y+5=0 \implies y = 5/3$.
$L_3$ के लिए: $0+4y-14=0 \implies y = 14/4 = 7/2$.
इन रेखाओं द्वारा घिरे क्षेत्र का अवलोकन करने पर,बिंदु $(0, \beta)$ त्रिभुज के अंदर तब स्थित होता है जब $\beta$,$y$-अक्ष पर त्रिभुज के ऊर्ध्वाधर रेखाखंड को सीमित करने वाले दो $y$-अंतःखंडों के बीच होता है।
ग्राफ से,$y$-अंतःखंड $-2$,$5/3$ और $7/2$ हैं। त्रिभुज के अंदर $y$-अक्ष पर रेखाखंड $y = 5/3$ और $y = 7/2$ के बीच स्थित है।
अतः,$\beta$ के मानों का समुच्चय $\left[\frac{5}{3}, \frac{7}{2}\right]$ है।

(A) भुजा का समीकरण $x+y-2=0$ है।
शीर्ष $V(2,-1)$ है।
शीर्ष $(2,-1)$ से रेखा $x+y-2=0$ की लंबवत दूरी $h$ समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है।
$h = \frac{|2 + (-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
समबाहु त्रिभुज के लिए,ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ होती है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
अतः,$\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$a = \frac{2}{\sqrt{3} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

(A) दिया गया है कि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका आधार $BC$ है,जहाँ $B \equiv (3, 2)$ और $C \equiv (2, 3)$ है।
ध्यान दें कि बिंदु $B(3, 2)$ और $C(2, 3)$ रेखा $y = x$ के सापेक्ष सममित हैं।
चूँकि त्रिभुज समद्विबाहु है,शीर्ष $A$ को $BC$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए। $(3, 2)$ और $(2, 3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक रेखा $y = x$ है।
चूँकि पूरी आकृति रेखा $y = x$ के सापेक्ष सममित है,रेखा $AC$,रेखा $AB$ का रेखा $y = x$ के सापेक्ष प्रतिबिंब है।
रेखा $3y = 2x$ का $y = x$ के सापेक्ष प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में $x$ और $y$ को आपस में बदल देते हैं।
$x$ को $y$ से और $y$ को $x$ से बदलने पर,हमें $3x = 2y$ प्राप्त होता है,जो कि $2y = 3x$ है।
अतः,रेखा $AC$ का समीकरण $2y = 3x$ है।

(C) माना रेखाएं $L_1: 2x + 3y - 1 = 0$,$L_2: x + 2y - 1 = 0$ और $L_3: ax + by - 1 = 0$ हैं। मूलबिंदु $(0, 0)$ लंबकेंद्र है।
$L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से $L_3$ पर डाला गया शीर्षलंब मूलबिंदु से होकर गुजरता है।
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 1)$ है।
$(-1, 1)$ और $(0, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $x + y = 0$ है।
चूंकि यह रेखा $L_3$ पर लंब है,इसलिए $L_3$ की ढाल $-a/b$ है।
$x + y = 0$ की ढाल $-1$ है। अतः,$(-a/b) \times (-1) = -1$,जिसका अर्थ है $a/b = -1$,यानी $a = -b$.
इसी प्रकार,$L_2$ और $L_3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से $L_1$ पर डाला गया शीर्षलंब मूलबिंदु से गुजरता है।
गणना करने पर $a = -8$ और $b = 8$ प्राप्त होता है।

(D) चूँकि $BD=2 \sqrt{2}$,इसलिए $OB=OD=\sqrt{2}$.
दिया गया है कि $(3,4)$ $AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $C=(5,6)$.
अतः,$OA=OC=\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{4+4}=2 \sqrt{2}$.
$\triangle AOB$ में,$OA^2+OB^2=AB^2$,इसलिए $AB^2=(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=8+2=10$,जिसका अर्थ है $AB=\sqrt{10}$.
चूँकि $O(3,4)$ $BD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\alpha+\gamma=6$ और $\beta+\delta=8$.
साथ ही,$OB^2=(\alpha-3)^2+(\beta-4)^2=2$ और $OD^2=(\gamma-3)^2+(\delta-4)^2=2$.
चूँकि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,$AB=BC=CD=DA=\sqrt{10}$.
$CD^2=10$ के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $(\gamma-5)^2+(\delta-6)^2=10$ प्राप्त होता है।
$\alpha < \delta < \gamma < \beta$ शर्त के साथ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ के समीकरणों को हल करने पर,हमें $\beta-\delta=-2\alpha+6$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\beta+\gamma-\delta=(\beta-\delta)+\gamma=(-2\alpha+6)+(6-\alpha)=-3\alpha+12$.

(C) भुजा $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{8-7}{-7-4} = \frac{1}{-11} = -\frac{1}{11}$ है।
चूंकि लंब समद्विभाजक $AB$ पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m$,$m \times m_{AB} = -1$ के अनुसार $m = 11$ होगी।
भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु $D$,$\left(\frac{4+(-7)}{2}, \frac{7+8}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{15}{2}\right)$ है।
बिंदु $D\left(-\frac{3}{2}, \frac{15}{2}\right)$ से गुजरने वाली और $m=11$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - \frac{15}{2} = 11\left(x - (-\frac{3}{2}\right))$
$y - \frac{15}{2} = 11\left(x + \frac{3}{2}\right)$
$y - \frac{15}{2} = 11x + \frac{33}{2}$
$11x - y + \frac{33}{2} + \frac{15}{2} = 0$
$11x - y + \frac{48}{2} = 0$
$11x - y + 24 = 0$.

(B) समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $h$,शीर्ष $(2,1)$ से रेखा $x+y-2=0$ की लंबवत दूरी है।
$h = \frac{|2+1-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूँकि $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$,इसलिए $a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
अतः,$a \sqrt{2} = \sqrt{\frac{2}{3}} \times \sqrt{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
आधार की ढाल $m = -1$ है। माना अन्य दो भुजाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
आधार और भुजाओं के बीच का कोण $60^\circ$ है।
$\tan 60^\circ = |\frac{m_1 - (-1)}{1 + m_1(-1)}| = |\frac{m_1+1}{1-m_1}| = \sqrt{3}$ का उपयोग करने पर।
$\frac{m_1+1}{1-m_1} = \sqrt{3}$ को हल करने पर $m_1 = 2-\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$\frac{m_1+1}{1-m_1} = -\sqrt{3}$ को हल करने पर $m_2 = 2+\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $|m_1-m_2| = 2\sqrt{3}$.
अंत में,$|m_1-m_2| + a\sqrt{2} = 2\sqrt{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$.

(B) दी गई भुजाएँ $a = 4 \text{ cm}$,$b = 5 \text{ cm}$,और $c = 7 \text{ cm}$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ cm}$.
हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{8(8 - 4)(8 - 5)(8 - 7)}$
$= \sqrt{8 \times 4 \times 3 \times 1}$
$= \sqrt{96}$
$= 4 \sqrt{6} \text{ cm}^2$.

(B) दिया गया है कि परिमाप $2s = 16 \text{ cm}$,इसलिए अर्ध-परिमाप $s = 8 \text{ cm}$ है।
मान लीजिए भुजाएँ $a, b, c$ हैं। $a = 6 \text{ cm}$ और क्षेत्रफल $\Delta = 12 \text{ cm}^2$ दिया गया है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करने पर: $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$.
$144 = 8(8-6)(8-b)(8-c)$.
$144 = 16(8-b)(8-c) \Rightarrow 9 = (8-b)(8-c)$.
चूंकि $a+b+c = 16$ और $a=6$,इसलिए $b+c = 10$,यानी $c = 10-b$.
समीकरण में $c$ का मान रखने पर: $9 = (8-b)(8-(10-b))$.
$9 = (8-b)(b-2)$.
$b^2 - 10b + 25 = 0$.
$(b-5)^2 = 0 \Rightarrow b = 5$.
चूंकि $b=5$,इसलिए $c = 10-5 = 5$.
दो भुजाएँ समान $(b=c=5)$ होने के कारण,त्रिभुज समद्विबाहु है।

(B) यह क्षेत्र रेखाओं $x=4$,$y=-4$ और $y=x$ द्वारा परिबद्ध है।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $x=4$ और $y=x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(4, 4)$ है।
$2$. $y=-4$ और $y=x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(-4, -4)$ है।
$3$. $x=4$ और $y=-4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(4, -4)$ है।
यह क्षेत्र एक समकोण त्रिभुज $ABC$ है जिसके शीर्ष $A(-4, -4)$,$B(4, 4)$ और $C(4, -4)$ हैं।
आधार $AC$ की लंबाई $(-4, -4)$ और $(4, -4)$ के बीच की दूरी है,जो $|4 - (-4)| = 8$ इकाई है।
ऊंचाई $BC$ की लंबाई $(4, -4)$ और $(4, 4)$ के बीच की दूरी है,जो $|4 - (-4)| = 8$ इकाई है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32$ वर्ग इकाई।

(C) एक समकोण त्रिभुज में,मान लीजिए भुजाएँ $a = 2 \sqrt{2}$,$b = 5$ हैं और तीसरी भुजा $p$ है।
स्थिति $1$: यदि $p$ कर्ण है,तो पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$p^2 = a^2 + b^2$.
$p^2 = (2 \sqrt{2})^2 + 5^2 = 8 + 25 = 33$.
अतः,$p = \sqrt{33}$.
स्थिति $2$: यदि $5$ कर्ण है,तो $p^2 + a^2 = 5^2$.
$p^2 + 8 = 25 \Rightarrow p^2 = 17$.
अतः,$p = \sqrt{17}$.
चूंकि $\sqrt{17}$ दिए गए विकल्पों में से एक है,इसलिए विकल्प $(c)$ सही है।

(B) माना $O(1, 1)$ परिकेंद्र है। $AC$ का लंब समद्विभाजक $O(1, 1)$ और मध्यबिंदु $P(a, \frac{b+3}{2})$ से होकर गुजरता है। $AC$ की ढाल $\frac{b-3}{a-a}$ है,जो अपरिभाषित है (ऊर्ध्वाधर रेखा)। अतः,लंब समद्विभाजक क्षैतिज है: $y = \frac{b+3}{2} = 1$ $\Rightarrow b+3=2$ $\Rightarrow b=-1$.
चित्र से,$OP$ की ढाल $\frac{\frac{b+3}{2}-1}{a-1} = -\frac{a-a}{b-3} = 0$ है। यह दर्शाता है कि $\frac{b+3}{2} = 1$,इसलिए $b=-1$.
$OQ \perp AB$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $Q$,$AB$ का मध्यबिंदु $(\frac{a+b}{2}, 4)$ है,$AB$ की ढाल $\frac{5-3}{b-a} = \frac{2}{b-a}$ है। $OQ$ की ढाल $\frac{4-1}{\frac{a+b}{2}-1} = \frac{6}{a+b-2}$ है।
चूंकि $OQ \perp AB$,$(\frac{2}{b-a}) \times (\frac{6}{a+b-2}) = -1 \Rightarrow 12 = (a-b)(a+b-2)$.
$b=-1$ रखने पर: $12 = (a+1)(a-3) = a^2 - 2a - 3$ $\Rightarrow a^2 - 2a - 15 = 0$ $\Rightarrow (a-5)(a+3) = 0$. अतः $a=5$ या $a=-3$.
$C(a, b)$ के निर्देशांक $(5, -1)$ और $(-3, -1)$ हैं।
भिन्न निर्देशांक $5, -3, -1$ हैं। उनके निरपेक्ष मानों का योग $|5| + |-3| + |-1| = 5 + 3 + 1 = 9$ है।

(B) रेखाएँ $L_1: x=2$,$L_2: y=3$,और $L_3: 4x+3y+7=0$ हैं।
शीर्ष प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त होते हैं:
$A = L_2 \cap L_3: y=3$ $\Rightarrow 4x+9+7=0$ $\Rightarrow 4x=-16$ $\Rightarrow x=-4$. अतः $A=(-4, 3)$.
$B = L_1 \cap L_2: x=2, y=3$. अतः $B=(2, 3)$.
$C = L_1 \cap L_3: x=2$ $\Rightarrow 8+3y+7=0$ $\Rightarrow 3y=-15$ $\Rightarrow y=-5$. अतः $C=(2, -5)$.
भुजाओं की लंबाई $c = AB = 6$,$a = BC = 8$,और $b = AC = 10$ है।
अंतःकेंद्र $I = \left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}\right) = \left(\frac{8(-4)+10(2)+6(2)}{24}, \frac{8(3)+10(3)+6(-5)}{24}\right) = (0, 1)$.
चूँकि $\triangle ABC$,$B(2, 3)$ पर एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए परिकेंद्र $S$,कर्ण $AC$ का मध्यबिंदु है।
$S = \left(\frac{-4+2}{2}, \frac{3-5}{2}\right) = (-1, -1)$.
दूरी $IS = \sqrt{(0-(-1))^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.

(C) माना शीर्ष $A(0, a)$,$B(2a, 0)$ और $C(x_1, y_1)$ हैं।
चूंकि एक भुजा क्षैतिज रेखा है और यह $X$-अक्ष नहीं है,इसलिए भुजा $AC$ क्षैतिज होनी चाहिए।
अतः,$C$ का $y$-निर्देशांक $A$ के $y$-निर्देशांक के बराबर होना चाहिए,यानी $y_1 = a$.
त्रिभुज समद्विबाहु है,इसलिए $AC = BC$ लेने पर,
$AC^2 = BC^2 \Rightarrow x_1^2 = (x_1 - 2a)^2 + a^2$.
$x_1^2 = x_1^2 - 4ax_1 + 4a^2 + a^2$.
$4ax_1 = 5a^2 \Rightarrow x_1 = \frac{5a}{4}$.
इस प्रकार,$x_1 + y_1 = \frac{5a}{4} + a = \frac{9a}{4}$.

(A) रेखा $L_1$ बिंदु $(2,1)$ और $(3, \frac{5}{2})$ से गुजरती है।
$L_1$ की ढाल $m_1 = \frac{\frac{5}{2} - 1}{3 - 2} = \frac{3}{2}$ है।
$L_1$ का समीकरण $(y - 1) = \frac{3}{2}(x - 2)$ अर्थात $3x - 2y = 4$ है।
रेखा $L_2$,$L_1$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = -\frac{2}{3}$ है।
$L_2$ बिंदु $(4, -1)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $(y + 1) = -\frac{2}{3}(x - 4)$ अर्थात $2x + 3y = 5$ है।
$L_1$,$y$-अक्ष को $(0, -2)$ पर काटती है।
$L_2$,$y$-अक्ष को $(0, \frac{5}{3})$ पर काटती है।
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{22}{13}, \frac{7}{13})$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times |\frac{5}{3} - (-2)| \times |\frac{22}{13}| = \frac{121}{39}$.

(C) दी गई रेखा का समीकरण: $\alpha x + \beta y + \sqrt{\alpha \beta} = 0$.
समीकरण को $-\sqrt{\alpha \beta}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\alpha x}{-\sqrt{\alpha \beta}} + \frac{\beta y}{-\sqrt{\alpha \beta}} = 1$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}} x + \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}} y = -1$.
$x$-अंतःखंड $a = -\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$ है और $y$-अंतःखंड $b = -\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$ है।
निर्देशांक अक्षों के साथ रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $Area = \frac{1}{2} |ab|$ द्वारा दिया जाता है।
$Area = \frac{1}{2} |(-\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}) \times (-\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}})| = \frac{1}{2} |1| = \frac{1}{2}$ वर्ग इकाई।
चूंकि क्षेत्रफल $\frac{1}{2}$ है,जो $\alpha$ और $\beta$ से स्वतंत्र है,इसलिए रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ स्थिर क्षेत्रफल का त्रिभुज बनाती है।

(C) $AB$ के लंब समद्विभाजक की ढाल $m_1 = -\frac{2}{3}$ है। अतः,$AB$ की ढाल $m_{AB} = -\frac{1}{m_1} = \frac{3}{2}$ है।
चूंकि $AB$,$A(3,2)$ से होकर गुजरती है,इसका समीकरण $y-2 = \frac{3}{2}(x-3) \Rightarrow 3x-2y-5=0$ है।
$AB$ और इसके लंब समद्विभाजक $2x+3y+1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $AB$ का मध्य-बिंदु $E$ देता है। $3x-2y-5=0$ और $2x+3y+1=0$ को हल करने पर,हमें $E(1,-1)$ प्राप्त होता है।
माना $B(x_1, y_1)$ है। चूंकि $E$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,$\frac{x_1+3}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = -1$ और $\frac{y_1+2}{2} = -1 \Rightarrow y_1 = -4$। अतः,$B(-1,-4)$ है।
$AC$ के लंब समद्विभाजक की ढाल $m_2 = -\frac{1}{2}$ है। अतः,$AC$ की ढाल $m_{AC} = -\frac{1}{m_2} = 2$ है।
चूंकि $AC$,$A(3,2)$ से होकर गुजरती है,इसका समीकरण $y-2 = 2(x-3) \Rightarrow 2x-y-4=0$ है।
$AC$ और इसके लंब समद्विभाजक $x+2y-12=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $AC$ का मध्य-बिंदु $D$ देता है। $2x-y-4=0$ और $x+2y-12=0$ को हल करने पर,हमें $D(4,4)$ प्राप्त होता है।
माना $C(x_2, y_2)$ है। चूंकि $D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,$\frac{x_2+3}{2} = 4 \Rightarrow x_2 = 5$ और $\frac{y_2+2}{2} = 4 \Rightarrow y_2 = 6$। अतः,$C(5,6)$ है।
$BC$ की ढाल $\frac{6-(-4)}{5-(-1)} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ है।

(A) कर्ण का समीकरण $3x + 4y = 4$ है,जिसे $y = -\frac{3}{4}x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,कर्ण की ढाल $m_1 = -\frac{3}{4}$ है।
माना कि शेष दो भुजाओं की ढाल $m$ है।
चूंकि यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,कर्ण और अन्य दो भुजाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)} \right| = 1$.
$1 = \left| \frac{4m + 3}{4 - 3m} \right|$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\frac{4m + 3}{4 - 3m} = 1$ $\Rightarrow 4m + 3 = 4 - 3m$ $\Rightarrow 7m = 1$ $\Rightarrow m = \frac{1}{7}$.
स्थिति $2$: $\frac{4m + 3}{4 - 3m} = -1$ $\Rightarrow 4m + 3 = -4 + 3m$ $\Rightarrow m = -7$.
अतः,शेष दो भुजाओं की ढाल $\frac{1}{7}$ और $-7$ है।

(A) त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम रेखाओं के समीकरणों को जोड़ों में हल करते हैं:
$1$. शीर्ष $A$ के लिए,$x+3y-4=0$ और $3x+y-4=0$ को हल करें:
पहले समीकरण को $3$ से गुणा करने पर,हमें $3x+9y-12=0$ प्राप्त होता है।
इसमें से $3x+y-4=0$ घटाने पर,हमें $8y-8=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y=1$। $y=1$ को $x+3(1)-4=0$ में रखने पर,हमें $x=1$ प्राप्त होता है। अतः,$A = (1, 1)$।
$2$. शीर्ष $B$ के लिए,$x+3y-4=0$ और $x+y-4=0$ को हल करें:
पहले में से दूसरा घटाने पर,हमें $2y=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y=0$। $y=0$ को $x+y-4=0$ में रखने पर,हमें $x=4$ प्राप्त होता है। अतः,$B = (4, 0)$।
$3$. शीर्ष $C$ के लिए,$3x+y-4=0$ और $x+y-4=0$ को हल करें:
पहले में से दूसरा घटाने पर,हमें $2x=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=0$। $x=0$ को $x+y-4=0$ में रखने पर,हमें $y=4$ प्राप्त होता है। अतः,$C = (0, 4)$।
अब,भुजाओं की लंबाई की गणना करें:
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(0-4)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$CA = \sqrt{(1-0)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$
चूंकि $AB = CA = \sqrt{10}$,इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(D) बिंदुओं $(3,0)$ और $(1, 4/3)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण:
$y - 0 = \frac{4/3 - 0}{1 - 3}(x - 3)$
$y = -\frac{2}{3}(x - 3) \Rightarrow 2x + 3y = 6$ (समीकरण $i$)
रेखा $L$ की ढाल $m_1 = -2/3$ है। इसके लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = 3/2$ है।
$(8,1)$ से गुजरने वाली और $3/2$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - 1 = \frac{3}{2}(x - 8) \Rightarrow 3x - 2y = 22$ (समीकरण $ii$)
समीकरण $i$ और $ii$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(6, -2)$ है।
रेखा $2x + 3y = 6$,$Y$-अक्ष को $(0, 2)$ पर काटती है।
रेखा $3x - 2y = 22$,$Y$-अक्ष को $(0, -11)$ पर काटती है।
त्रिभुज के शीर्ष $(6, -2)$,$(0, 2)$ और $(0, -11)$ हैं।
$Y$-अक्ष पर आधार $|2 - (-11)| = 13$ है और ऊँचाई $6$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 13 \times 6 = 39 \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) माना रेखाएँ $L_1: 7x+y-24=0$ और $L_2: x+7y-24=0$ हैं। ढाल $m_1 = -7$ और $m_2 = -\frac{1}{7}$ हैं।
चूंकि ये समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ हैं,तीसरी भुजा $L_1$ और $L_2$ के साथ समान कोण बनाती है।
माना तीसरी भुजा की ढाल $m$ है। तब $\left| \frac{m - (-7)}{1 + m(-7)} \right| = \left| \frac{m - (-1/7)}{1 + m(-1/7)} \right|$.
$\left| \frac{m+7}{1-7m} \right| = \left| \frac{7m+1}{7-m} \right|$.
स्थिति $1$: $\frac{m+7}{1-7m} = \frac{7m+1}{7-m} \Rightarrow 48m^2 = -48$ (कोई वास्तविक हल नहीं)।
स्थिति $2$: $\frac{m+7}{1-7m} = -\frac{7m+1}{7-m}$ $\Rightarrow 50m^2 = 50$ $\Rightarrow m = \pm 1$.
$m = -1$ के लिए,$(-1, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $x+y=0$ है।

(B) दिया गया है,$ABCD$ एक आयत है।
$AB$ की ढाल $= \frac{-2-1}{3-2} = -3 = m_1$ है।
चूंकि $AB \perp BC$,$BC$ की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{1}{3}$ है।
$BC$ की ढाल $= \frac{b - (-2)}{a - 3} = \frac{b+2}{a-3} = \frac{1}{3}$ है।
$3(b+2) = a-3$ $\Rightarrow 3b + 6 = a - 3$ $\Rightarrow a - 3b = 9$ ... $(i)$।
चूंकि $CD \parallel AB$,$CD$ की ढाल $m_3 = m_1 = -3$ है।
बिंदु $C(a, b)$ और $P(3, 4)$ रेखा $CD$ पर स्थित हैं।
$CP$ की ढाल $= \frac{4-b}{3-a} = -3$ है।
$4-b = -3(3-a)$ $\Rightarrow 4-b = -9 + 3a$ $\Rightarrow 3a + b = 13$ ... $(ii)$।
$(ii)$ को $3$ से गुणा करने पर: $9a + 3b = 39$ ... $(iii)$।
$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर: $(a - 3b) + (9a + 3b) = 9 + 39$ $\Rightarrow 10a = 48$ $\Rightarrow a = 4.8 = \frac{24}{5}$।
$a = 4.8$ का मान $(ii)$ में रखने पर: $3(4.8) + b = 13$ $\Rightarrow 14.4 + b = 13$ $\Rightarrow b = -1.4 = -\frac{7}{5}$।
अब,$5a + 10b = 5(\frac{24}{5}) + 10(-\frac{7}{5}) = 24 - 14 = 10$।

(D) माना आयत $ABCD$ है। रेखाएँ $AB: 3x + y - 4 = 0$,$BC: x - ay - 10 = 0$,और $CD: bx + 2y + 9 = 0$ हैं।
चूँकि $AB \parallel CD$,उनके ढाल समान होने चाहिए। $AB$ का ढाल $-3$ है। $CD$ का ढाल $-\frac{b}{2}$ है। अतः,$-\frac{b}{2} = -3 \Rightarrow b = 6$.
चूँकि $AB \perp BC$,उनके ढालों का गुणनफल $-1$ है। $BC$ का ढाल $\frac{1}{a}$ है। अतः,$(-3) \times (\frac{1}{a}) = -1 \Rightarrow a = 3$.
अब,$AB: 3x + y - 4 = 0$ और $CD: 6x + 2y + 9 = 0$,जिसे $3x + y + \frac{9}{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समानांतर रेखाओं $AB$ और $CD$ के बीच की दूरी $BC = \frac{|-4 - 9/2|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{17/2}{\sqrt{10}} = \frac{17}{2\sqrt{10}}$ है।
रेखा $BC$ का समीकरण $x - 3y - 10 = 0$ है। भुजा $CD$,$AB$ के समानांतर है और $AD$,$BC$ के समानांतर है। दूरी $CD$,समानांतर रेखाओं $AD$ और $BC$ के बीच की दूरी है। चूँकि $AD$,$(1, 2)$ से होकर गुजरती है,दूरी $CD$,बिंदु $(1, 2)$ से रेखा $BC: x - 3y - 10 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$CD = \frac{|1 - 3(2) - 10|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|1 - 6 - 10|}{\sqrt{10}} = \frac{15}{\sqrt{10}}$.
आयत $ABCD$ का क्षेत्रफल $= BC \times CD = \frac{17}{2\sqrt{10}} \times \frac{15}{\sqrt{10}} = \frac{17 \times 15}{2 \times 10} = \frac{255}{20} = \frac{51}{4}$.

(B) माना कि दो दिए गए शीर्षलंब $L_1: \sqrt{3}x - y + 8 - 4\sqrt{3} = 0$ और $L_2: \sqrt{3}x + y - 12 - 4\sqrt{3} = 0$ हैं।
इन दो शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज का लंबकेंद्र (orthocenter) है।
$L_1$ और $L_2$ को जोड़ने पर: $(\sqrt{3}x - y + 8 - 4\sqrt{3}) + (\sqrt{3}x + y - 12 - 4\sqrt{3}) = 0$।
$2\sqrt{3}x - 4 - 8\sqrt{3} = 0$ $\Rightarrow 2\sqrt{3}x = 4 + 8\sqrt{3}$ $\Rightarrow x = 4 + \frac{2}{\sqrt{3}}$।
$L_2$ में से $L_1$ को घटाने पर: $(\sqrt{3}x + y - 12 - 4\sqrt{3}) - (\sqrt{3}x - y + 8 - 4\sqrt{3}) = 0$।
$2y - 20 = 0 \Rightarrow y = 10$।
लंबकेंद्र $(4 + \frac{2}{\sqrt{3}}, 10)$ है।
एक समबाहु त्रिभुज में,लंबकेंद्र और केंद्रक (centroid) एक ही होते हैं।
चूँकि तीसरा शीर्षलंब इस बिंदु से होकर गुजरना चाहिए,विकल्पों की जाँच करने पर,तीसरे शीर्षलंब का समीकरण $y = 10$ प्राप्त होता है।

(A) $A(3,4)$ से गुजरने वाली और $1$ ढाल वाली रेखा $L_1$ का समीकरण:
$y - 4 = 1(x - 3) \implies x - y + 1 = 0$.
माना रेखा $AC$ की ढाल $m$ है। रेखा $BC$ का समीकरण $2x - y + 4 = 0$ है,अतः इसकी ढाल $m_{BC} = 2$ है।
चूंकि $AB = AC$,$\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। अतः,आधार के कोण बराबर हैं: $\angle B = \angle C$.
$AC$ (ढाल $m$) और $BC$ (ढाल $2$) के बीच का कोण,$AB$ (ढाल $1$) और $BC$ (ढाल $2$) के बीच के कोण के बराबर है।
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right| = \left| \frac{1 - 2}{1 + (1)(2)} \right| = \frac{1}{3}$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) \frac{m - 2}{1 + 2m} = \frac{1}{3} \implies m = 7$.
$2) \frac{m - 2}{1 + 2m} = -\frac{1}{3} \implies m = 1$.
चूंकि $m = 1$ रेखा $L_1$ $(AB)$ को दर्शाता है,इसलिए $AC$ की ढाल $m = 7$ है।
$A(3,4)$ से गुजरने वाली और $7$ ढाल वाली रेखा $AC$ का समीकरण:
$y - 4 = 7(x - 3) \implies 7x - y - 17 = 0$.

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: \lambda x+4 y+2=0$,$L_2: 3 x+4 y-3=0$,$L_3: 2 x+\mu y+6=0$,$L_4: 2 x+y+3=0$ हैं।
चूँकि $L_1 \parallel L_2$,उनकी ढाल समान होनी चाहिए: $-\frac{\lambda}{4} = -\frac{3}{4} \Rightarrow \lambda = 3$.
चूँकि $L_3 \parallel L_4$,उनकी ढाल समान होनी चाहिए: $-\frac{2}{\mu} = -\frac{2}{1} \Rightarrow \mu = 1$.
$a_1 x+b_1 y+c_1=0$,$a_1 x+b_1 y+c_2=0$,$a_2 x+b_2 y+d_1=0$ और $a_2 x+b_2 y+d_2=0$ रेखाओं द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{|(c_1-c_2)(d_1-d_2)|}{|a_1 b_2 - a_2 b_1|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$L_1: 3x+4y+2=0$,$L_2: 3x+4y-3=0$,$L_3: 2x+y+6=0$,$L_4: 2x+y+3=0$.
$c_1=2, c_2=-3, d_1=6, d_2=3$.
$a_1=3, b_1=4, a_2=2, b_2=1$.
क्षेत्रफल $= \frac{|(2 - (-3))(6 - 3)|}{|(3)(1) - (2)(4)|} = \frac{|5 \times 3|}{|3 - 8|} = \frac{15}{|-5|} = \frac{15}{5} = 3$.
अतः,क्षेत्रफल $3$ वर्ग इकाई है।

(B) दी गई रेखा का समीकरण $3x - 4y = 6$ है।
इस रेखा के लंबवत किसी भी रेखा का समीकरण $4x + 3y = k$ के रूप में होता है।
निर्देशांक अक्षों पर इस रेखा के अंतःखंड $x = \frac{k}{4}$ और $y = \frac{k}{3}$ हैं।
निर्देशांक अक्षों के साथ रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times |\text{base}| \times |\text{height}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{2} \times |\frac{k}{4}| \times |\frac{k}{3}| = 6$.
$|\frac{k^2}{24}| = 6$.
$k^2 = 144$.
$k = \pm 12$.
अतः,रेखा का आवश्यक समीकरण $4x + 3y = 12$ या $4x + 3y = -12$ है।

(B) दी गई रेखा $2x - 3y + 7 = 0$ है।
दी गई रेखा के लंबवत रेखा का समीकरण $3x + 2y + k = 0$ के रूप में होता है।
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें: $3x + k = 0 \Rightarrow x = -\frac{k}{3}$।
$x = 0$ रखें: $2y + k = 0 \Rightarrow y = -\frac{k}{2}$।
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_{intercept} \cdot y_{intercept}| = 3$ है।
$\frac{1}{2} |(-\frac{k}{3}) \cdot (-\frac{k}{2})| = 3$।
$\frac{1}{2} |\frac{k^2}{6}| = 3$।
$|k^2| = 36 \Rightarrow k = \pm 6$।
$k$ का मान $3x + 2y + k = 0$ में रखने पर,हमें $3x + 2y = \pm 6$ प्राप्त होता है।