Problems related to triangle and quadrilateral Questions in Hindi

(D) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसलिए,विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के समान होता है।
$BD$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = (1, 1)$ है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}, \frac{\beta+\delta}{2}\right)$ है।
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\alpha+\gamma}{2} = 1 \implies \alpha + \gamma = 2$
$\frac{\beta+\delta}{2} = 1 \implies \beta + \delta = 2$
हमें $2(\alpha + \beta + \gamma + \delta)$ का मान ज्ञात करना है।
योग का मान रखने पर:
$2(\alpha + \gamma + \beta + \delta) = 2(2 + 2) = 2(4) = 8$.

(C) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए $P$,$AC$ और $BD$ का मध्य-बिंदु है।
$P = \left(\frac{\alpha-2}{2}, \frac{\beta-1}{2}\right) = \left(\frac{\gamma+1}{2}, \frac{\delta+0}{2}\right)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha-2 = \gamma+1 \Rightarrow \alpha-\gamma = 3 \dots(1)$
$\beta-1 = \delta \Rightarrow \beta-\delta = 1 \dots(2)$
चूंकि $C(\alpha, \beta)$,$2x-y=5$ पर स्थित है,इसलिए $2\alpha-\beta=5 \dots(3)$
चूंकि $D(\gamma, \delta)$,$3x-2y=6$ पर स्थित है,इसलिए $3\gamma-2\delta=6 \dots(4)$
$(2)$ से,$\delta = \beta-1$. इसे $(4)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3\gamma - 2(\beta-1) = 6 \Rightarrow 3\gamma - 2\beta = 4 \dots(5)$
$(1)$ से,$\gamma = \alpha-3$. इसे $(5)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(\alpha-3) - 2\beta = 4$ $\Rightarrow 3\alpha - 9 - 2\beta = 4$ $\Rightarrow 3\alpha - 2\beta = 13 \dots(6)$
$(3)$ और $(6)$ को हल करने पर:
$2\alpha - \beta = 5 \Rightarrow \beta = 2\alpha - 5$
$3\alpha - 2(2\alpha-5) = 13$ $\Rightarrow 3\alpha - 4\alpha + 10 = 13$ $\Rightarrow -\alpha = 3$ $\Rightarrow \alpha = -3$
$\beta = 2(-3) - 5 = -11$
$\gamma = -3-3 = -6$
$\delta = -11-1 = -12$
$|\alpha+\beta+\gamma+\delta| = |-3-11-6-12| = |-32| = 32$

(B) दिया गया है कि $A = (-1, 0)$ और $B$ धनात्मक $x$-अक्ष पर है,मान लीजिए $B = (b, 0)$ जहाँ $b > 0$ है।
चूँकि $AB = AC$ और $\angle A = 120^{\circ}$ है,आधार कोण $\angle B = \angle C = 30^{\circ}$ हैं।
$\triangle ABC$ में ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर: $\frac{AB}{\sin 30^{\circ}} = \frac{BC}{\sin 120^{\circ}}$.
$\frac{AB}{1/2} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}$ $\Rightarrow 2AB = 8$ $\Rightarrow AB = 4$.
चूँकि $A = (-1, 0)$ और $B = (b, 0)$ है,$AB = |b - (-1)| = b + 1 = 4$,इसलिए $b = 3$.
अतः,$B = (3, 0)$.
रेखा $BC$ की ढाल $\tan(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\tan 30^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
रेखा $BC$ का समीकरण $y - 0 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 3) \Rightarrow x + \sqrt{3}y = 3$ है।
$x + \sqrt{3}y = 3$ और $y = x + 3$ को हल करने पर:
$x = y - 3$ को पहले समीकरण में रखने पर: $(y - 3) + \sqrt{3}y = 3$ $\Rightarrow y(1 + \sqrt{3}) = 6$ $\Rightarrow y = \frac{6}{\sqrt{3} + 1} = 3(\sqrt{3} - 1)$.
तब $x = 3(\sqrt{3} - 1) - 3 = 3\sqrt{3} - 6$.
अतः $\alpha = 3(\sqrt{3} - 2)$ और $\beta = 3(\sqrt{3} - 1)$.
$\frac{\beta^4}{\alpha^2} = \frac{[3(\sqrt{3} - 1)]^4}{[3(\sqrt{3} - 2)]^2} = 36$.

(C) माना $B = (x_1, 14 - 4x_1)$ और $C = (x_2, \frac{3x_2 - 5}{2})$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$2 = \frac{2x_2 + x_1}{3} \implies 2x_2 + x_1 = 6$ (समीकरण $1$)
$-\frac{4}{3} = \frac{2\left(\frac{3x_2 - 5}{2}\right) + (14 - 4x_1)}{3} \implies 3x_2 - 4x_1 = -13$ (समीकरण $2$)
समीकरणों को हल करने पर $x_2 = 1$ और $x_1 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$B = (4, -2)$ और $C = (1, -1)$ है।
$BC$ की ढाल $m = -\frac{1}{3}$ है।
$BC$ का समीकरण: $y + 1 = -\frac{1}{3}(x - 1) \implies x + 3y + 2 = 0$.

(D) $P(1, 2)$ का $x$-अक्ष के सापेक्ष प्रतिबिंब $P'(1, -2)$ है।
$P'(1, -2)$ और $R(4, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 3 = \frac{3 - (-2)}{4 - 1}(x - 4)$
$y - 3 = \frac{5}{3}(x - 4)$
यह रेखा $x$-अक्ष को $Q$ पर मिलती है,जहाँ $y = 0$:
$0 - 3 = \frac{5}{3}(x - 4)$
$-9 = 5x - 20$
$5x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{5}$
अतः,$Q = \left(\frac{11}{5}, 0\right)$.
चूँकि $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसके विकर्ण $PR$ और $QS$ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
विकर्ण $PR$ का मध्यबिंदु $\left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 3}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)$ है।
विकर्ण $QS$ का मध्यबिंदु $\left(\frac{\frac{11}{5} + h}{2}, \frac{0 + k}{2}\right)$ है।
मध्यबिंदुओं की तुलना करने पर:
$\frac{11/5 + h}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow h = 5 - \frac{11}{5} = \frac{14}{5}$
$\frac{k}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow k = 5$
अतः,$hk^2 = \frac{14}{5} \times 5^2 = 14 \times 5 = 70$.

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: x + y = 11$,$L_2: x + 2y = 16$,और $L_3: 2x + 3y = 29$ हैं।
हमें बिंदु $\left(\frac{11}{2}, \alpha\right)$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $x = \frac{11}{2}$।
रेखाओं के समीकरणों में $x = \frac{11}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$L_1$ के लिए: $\frac{11}{2} + y = 11 \implies y = 5.5 = \frac{11}{2}$।
$L_2$ के लिए: $\frac{11}{2} + 2y = 16 \implies 2y = 10.5 \implies y = 5.25 = \frac{21}{4}$।
$L_3$ के लिए: $2\left(\frac{11}{2}\right) + 3y = 29 \implies 11 + 3y = 29 \implies 3y = 18 \implies y = 6$।
इन रेखाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र में $x = \frac{11}{2}$ पर,$\alpha$ का मान सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच है। न्यूनतम मान $\alpha_{\min} = \frac{11}{2}$ और अधिकतम मान $\alpha_{\max} = 6$ है।
अतः गुणनफल $\alpha_{\min} \cdot \alpha_{\max} = \frac{11}{2} \times 6 = 33$ है।

(D) रेखा $x+y=1$,$x$-अक्ष को $A(1, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, 1)$ पर काटती है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
$\triangle AMN$ का क्षेत्रफल $= \frac{4}{9} \times \triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{4}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{9}$.
ज्यामिति को हल करने पर $\lambda = 2$ और $\lambda = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $= 2 + 1/2 = 5/2$.

(D) $1$. $3y-x=2$ और $x+y=2$ को हल करने पर शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
$2$. चूँकि $B$ और $C$ $x$-अक्ष पर हैं $(y=0)$,समीकरणों में $y=0$ रखने पर $B = (-2, 0)$ और $C = (2, 0)$ प्राप्त होते हैं।
$3$. $A$ से $BC$ पर डाला गया लंब $x=1$ है।
$4$. $B$ से $AC$ पर डाला गया लंब $y=x+2$ है।
$5$. लंबकेंद्र $P$,$x=1$ और $y=x+2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $(1, 3)$ है।
$6$. $\triangle PBC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$.

(A) माना रेखाएँ $L_1: y = x + 1$,$L_2: y = 4x - 8$,और $L_3: y = mx + c$ हैं। लंबकेंद्र $H(3, -1)$ है।
सबसे पहले,$L_1$ और $L_2$ को हल करके शीर्ष $P$ ज्ञात करें: $x + 1 = 4x - 8$ $\Rightarrow 3x = 9$ $\Rightarrow x = 3$. अतः $y = 4$. यानी $P = (3, 4)$.
$P$ से $QR$ पर डाला गया लंब $H(3, -1)$ से होकर गुजरता है। $P$ और $H$ दोनों का $x$-निर्देशांक $3$ है,इसलिए लंब ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 3$ है। अतः,$QR$ एक क्षैतिज रेखा होनी चाहिए,जिसका अर्थ है $m = 0$.
रेखा $QR$,$y = c$ है। चूँकि $H(3, -1)$ लंबकेंद्र है,रेखा $QH$,$PR$ के लंबवत है। $PR$ (रेखा $L_2$) की ढाल $4$ है,इसलिए $QH$ की ढाल $-1/4$ होगी।
रेखा $QH$,$H(3, -1)$ और $Q$ से होकर गुजरती है। $Q$,$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $y = x + 1$ और $y = c \Rightarrow x = c - 1$. अतः $Q = (c - 1, c)$.
$QH$ की ढाल $= \frac{c - (-1)}{(c - 1) - 3} = \frac{c + 1}{c - 4} = -\frac{1}{4}$.
$4c + 4 = -c + 4$ $\Rightarrow 5c = 0$ $\Rightarrow c = 0$.
अतः,$m - c = 0 - 0 = 0$.

(A) विकर्ण $OB$ की ढाल $m_1 = -\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = -\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = -(2+\sqrt{3}) = \tan(105^{\circ})$ है।
चूंकि विकर्ण $OB$,$\angle AOC = 90^{\circ}$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए $OA$ द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\alpha = 105^{\circ} - 45^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
अतः,शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(a \cos 60^{\circ}, a \sin 60^{\circ}) = (\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2})$ हैं।
शीर्ष $A$ दूसरे विकर्ण $(\sqrt{3}-1)x - (\sqrt{3}+1)y + 8\sqrt{3} = 0$ पर स्थित है।
$A$ के निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$(\sqrt{3}-1)(\frac{a}{2}) - (\sqrt{3}+1)(\frac{\sqrt{3}a}{2}) + 8\sqrt{3} = 0$
$a(\frac{\sqrt{3}-1 - 3 - \sqrt{3}}{2}) = -8\sqrt{3}$
$-2a = -8\sqrt{3} \implies a = 4\sqrt{3}$.
अतः,$a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 48$.

(C) समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $A(2, -1), B(0, 2), C(2, 3)$ और $D(4, 0)$ हैं।
विकर्ण $AC$ और $BD$ हैं।
विकर्ण $AC$ की ढाल $(m_1)$ = $\frac{3 - (-1)}{2 - 2} = \frac{4}{0}$,जो अपरिभाषित है (ऊर्ध्वाधर रेखा)।
विकर्ण $BD$ की ढाल $(m_2)$ = $\frac{0 - 2}{4 - 0} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि एक विकर्ण ऊर्ध्वाधर है,विकर्णों के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = |\frac{1}{m_2}| = 2$ होगा।
अतः,$\theta = \tan^{-1} 2$।

(B) आयत की भुजाएँ $x=8, x=10, y=11$ और $y=12$ रेखाओं द्वारा दी गई हैं।
ये रेखाएँ $(8, 11), (10, 11), (10, 12)$ और $(8, 12)$ शीर्षों वाला एक आयत बनाती हैं।
आयत के विकर्ण उसके मध्य-बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$(8, 11)$ और $(10, 12)$ को जोड़ने वाले विकर्ण का मध्य-बिंदु:
$M = \left(\frac{8+10}{2}, \frac{11+12}{2}\right) = \left(\frac{18}{2}, \frac{23}{2}\right) = \left(9, \frac{23}{2}\right)$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(9, \frac{23}{2}\right)$ है।

(A) माना विपरीत शीर्ष $A(1,3)$ और $C(5,1)$ हैं। $AC$ का मध्यबिंदु $(\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}) = (3,2)$ है।
चूँकि आयत के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,दूसरे विकर्ण $BD$ का मध्यबिंदु भी $(3,2)$ होगा।
माना शीर्ष $B$ और $D$ $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हैं। चूँकि वे $y = 2x + c$ पर स्थित हैं,$y_1 = 2x_1 + c$ और $y_2 = 2x_2 + c$ होगा।
मध्यबिंदु $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (3,2)$ है,अतः $x_1+x_2 = 6$ और $y_1+y_2 = 4$ है।
$y_1, y_2$ का मान रखने पर: $(2x_1+c) + (2x_2+c) = 4 \implies 2(x_1+x_2) + 2c = 4 \implies 12 + 2c = 4 \implies c = -4$.
अतः रेखा $y = 2x - 4$ है।
साथ ही,सदिश $\vec{AB} = (x_1-1, y_1-3)$ को $\vec{BC} = (5-x_1, 1-y_1)$ के लंबवत होना चाहिए।
डॉट प्रोडक्ट का उपयोग करने पर: $(x_1-1)(5-x_1) + (2x_1-7)(5-2x_1) = 0$.
सरल करने पर $x_1^2 - 6x_1 + 8 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $x_1 = 4$ या $x_1 = 2$ हैं।
अतः शीर्ष $(4,4)$ और $(2,0)$ हैं।

(C) सबसे पहले,समीकरण $xy+2x+2y+4=0$ का गुणनखंड करें।
$x(y+2)+2(y+2)=0$
$(x+2)(y+2)=0$.
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $x=-2$ और $y=-2$.
तीसरी रेखा $x+y+2=0$ दी गई है,जिसे $y=-x-2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $x=-2$ और $y=-2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(-2, -2)$ है।
$2$. $x=-2$ और $y=-x-2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(-2, 0)$ है।
$3$. $y=-2$ और $y=-x-2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(0, -2)$ है।
यह त्रिभुज $A(-2, -2)$ पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है।
कर्ण $BC$ रेखाखंड है जो $(-2, 0)$ और $(0, -2)$ को जोड़ता है।
कर्ण $BC$ की लंबाई $= \sqrt{(0 - (-2))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
समकोण त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{BC}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ इकाई।

(C) सबसे पहले,समीकरण $xy + 2x + 2y + 4 = 0$ का गुणनखंड करें।
$x(y + 2) + 2(y + 2) = 0$
$(x + 2)(y + 2) = 0$.
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $x = -2$ और $y = -2$.
तीसरी रेखा $x + y + 2 = 0$ है।
ये तीन रेखाएं प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर एक त्रिभुज बनाती हैं:
$1$. $x = -2$ और $y = -2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, -2)$ है।
$2$. $x = -2$ और $x + y + 2 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 0)$ है।
$3$. $y = -2$ और $x + y + 2 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, -2)$ है।
चूंकि यह एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए परिकेंद्र कर्ण का मध्य बिंदु है।
कर्ण $(-2, 0)$ और $(0, -2)$ को जोड़ता है।
मध्य बिंदु = $(\frac{-2 + 0}{2}, \frac{0 - 2}{2}) = (-1, -1)$.

(B) दी गई रेखा $3x + 4y = 24$ है।
$X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$y = 0$ रखें: $3x = 24 \implies x = 8$. अतः,$A = (8, 0)$.
$Y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$x = 0$ रखें: $4y = 24 \implies y = 6$. अतः,$B = (0, 6)$.
त्रिभुज $OAB$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(8, 0)$,और $B(0, 6)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $OA = 8$,$OB = 6$,और $AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ है।
अंतःकेंद्र का सूत्र $(\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c})$ है।
यहाँ,$I_x = \frac{10(0) + 6(8) + 8(0)}{24} = 2$ और $I_y = \frac{10(0) + 6(0) + 8(6)}{24} = 2$.
अतः,अंतःकेंद्र $(2, 2)$ है।

(C) माना तीसरा शीर्ष $C(x_1, y_1)$ रेखा $x + y = 5$ पर स्थित है,इसलिए $y_1 = 5 - x_1$ है।
अतः,$C$ के निर्देशांक $(x_1, 5 - x_1)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $4$ दिया गया है,अतः क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| = 4$
$\frac{1}{2} |2(2 - (5 - x_1)) + 3((5 - x_1) - (-1)) + x_1(-1 - 2)| = 4$
$|2(x_1 - 3) + 3(6 - x_1) - 3x_1| = 8$
$|12 - 4x_1| = 8$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $12 - 4x_1 = 8 \implies x_1 = 1$। तब $y_1 = 4$। अतः $C(1, 4)$ है।
स्थिति $2$: $12 - 4x_1 = -8 \implies x_1 = 5$। तब $y_1 = 0$। अतः $C(5, 0)$ है।
अतः,तीसरा शीर्ष $(5, 0)$ या $(1, 4)$ है।

(C) दिया गया समीकरण $xy+2x+2y+4=0$ को $(x+2)(y+2)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो रेखाओं $x=-2$ और $y=-2$ को दर्शाता है।
तीसरी रेखा $x+y+2=0$ दी गई है।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को युग्मों में हल करते हैं:
$1$. $x=-2$ और $y=-2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(-2,-2)$ है।
$2$. $x=-2$ और $x+y+2=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(-2,0)$ है।
$3$. $y=-2$ और $x+y+2=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(0,-2)$ है।
शीर्ष $A(-2,0)$,$B(0,-2)$ और $C(-2,-2)$ हैं।
चूंकि रेखाएं $x=-2$ और $y=-2$ लंबवत हैं,इसलिए $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $C(-2,-2)$ पर है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण $AB$ का मध्य बिंदु होता है।
$AB$ का मध्य बिंदु = $(\frac{-2+0}{2}, \frac{0-2}{2}) = (-1,-1)$.

(C) आयत के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
$(1,3)$ और $(5,1)$ का मध्यबिंदु $(\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}) = (3,2)$ है।
चूंकि अन्य दो शीर्ष रेखा $y=2x+c$ पर स्थित हैं,इसलिए मध्यबिंदु $(3,2)$ भी इस रेखा पर स्थित होगा।
$y=2x+c$ में $(3,2)$ रखने पर,$2 = 2(3) + c$,जिससे $c = -4$ प्राप्त होता है।
अन्य दो शीर्षों वाली रेखा का समीकरण $y=2x-4$ है।
माना एक शीर्ष के निर्देशांक $(x, 2x-4)$ हैं।
चूंकि आयत की आसन्न भुजाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है,इसलिए एक शीर्ष पर मिलने वाली भुजाओं के ढाल का गुणनफल $-1$ होता है।
दिए गए शीर्ष $A(1,3)$ और $C(5,1)$ हैं। माना अन्य शीर्ष $B(x, 2x-4)$ और $D$ हैं। $AB$ की ढाल $\frac{2x-7}{x-1}$ है।
$BC$ की ढाल $\frac{2x-5}{x-5}$ है।
चूंकि $AB \perp BC$,इसलिए $(\frac{2x-7}{x-1})(\frac{2x-5}{x-5}) = -1$ है।
$(2x-7)(2x-5) = -(x-1)(x-5)$
$4x^2 - 24x + 35 = -x^2 + 6x - 5$
$5x^2 - 30x + 40 = 0$
$x^2 - 6x + 8 = 0$
$(x-4)(x-2) = 0$
अतः $x=4$ या $x=2$ है।
यदि $x=4$,तो $y=4$ है। यदि $x=2$,तो $y=0$ है।
शीर्ष $(4,4)$ और $(2,0)$ हैं।
इस प्रकार,एक शीर्ष $(2,0)$ है।

(A) रेखा $AB$ $(4x+y=1)$ की ढाल $m_1 = -4$ है। रेखा $BC$ $(3x-4y+1=0)$ की ढाल $m_2 = \frac{3}{4}$ है।
माना $AB$ और $BC$ के बीच का कोण $\alpha$ है। तब,$\tan \alpha = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{-4 - \frac{3}{4}}{1 + (-4)(\frac{3}{4})} \right| = \frac{19}{8}$.
चूंकि $AB=AC$,त्रिभुज $ABC$ समद्विबाहु है और $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$ है।
माना रेखा $AC$ की ढाल $m$ है। चूंकि $AC$,$A(2,-7)$ से गुजरती है,इसका समीकरण $y+7 = m(x-2)$ है।
$AC$ और $BC$ के बीच का कोण भी $\alpha$ है,इसलिए $\tan \alpha = \left| \frac{m - \frac{3}{4}}{1 + m(\frac{3}{4})} \right| = \frac{19}{8}$.
$\frac{4m-3}{4+3m} = \pm \frac{19}{8}$.
स्थिति $1$: $m = -4$ (यह $AB$ की ढाल है)।
स्थिति $2$: $m = -\frac{52}{89}$.
$m = -\frac{52}{89}$ का उपयोग करते हुए,$y+7 = m(x-2)$ से:
$52x + 89y + 519 = 0$.

(C) रेखाएँ $L_1: x-2=0$,$L_2: x+y-1=0$,और $L_3: x-y+3=0$ हैं।
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $x=2, 2+y-1=0 \implies y=-1$. शीर्ष $A = (2, -1)$.
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x=2, 2-y+3=0 \implies y=5$. शीर्ष $B = (2, 5)$.
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x+y=1$ और $x-y=-3$. जोड़ने पर $2x=-2 \implies x=-1$. अतः $-1+y=1 \implies y=2$. शीर्ष $C = (-1, 2)$.
भुजाओं की लंबाई: $c = AB = 6$,$b = AC = 3\sqrt{2}$,$a = BC = 3\sqrt{2}$.
अंतःकेंद्र $(\alpha, \beta) = (\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c})$.
$\beta = \frac{3\sqrt{2}(-1) + 3\sqrt{2}(5) + 6(-1)}{3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 6} = \frac{12\sqrt{2}-6}{6(\sqrt{2}+1)} = \frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$.

(B) दी गई रेखाएँ हैं:
$x+y+2=0 \quad \dots(i)$
$2x+y+8=0 \quad \dots(ii)$
$x-y-2=0 \quad \dots(iii)$
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$x=-6, y=4$. अतः शीर्ष $(-6, 4)$ है।
$(i)$ और $(iii)$ को हल करने पर:
$x=0, y=-2$. अतः शीर्ष $(0, -2)$ है।
$(ii)$ और $(iii)$ को हल करने पर:
$x=-2, y=-4$. अतः शीर्ष $(-2, -4)$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $A(-6, 4), B(0, -2), C(-2, -4)$ हैं।
$AB$ की ढाल $= -1$ और $BC$ की ढाल $= 1$ है,इसलिए त्रिभुज $B$ पर समकोण है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु होता है।
परिकेंद्र $= \left(\frac{-6-2}{2}, \frac{4-4}{2}\right) = (-4, 0)$.

(D) माना भुजाएँ $a=BC=5$,$b=CA=6$,और $c=AB=7$ हैं।
शीर्ष $B$ से भुजा $AC$ पर खींची गई माध्यिका $m_b$ की लंबाई का सूत्र है:
$m_b = \sqrt{\frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}}$
मान रखने पर:
$m_b = \sqrt{\frac{2(5)^2 + 2(7)^2 - (6)^2}{4}}$
$m_b = \sqrt{\frac{2(25) + 2(49) - 36}{4}}$
$m_b = \sqrt{\frac{50 + 98 - 36}{4}}$
$m_b = \sqrt{\frac{112}{4}}$
$m_b = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$

(C) त्रिभुज की भुजाओं के दिए गए समीकरण हैं:
$L_1: 3x+2y-6=0$
$L_2: 2x-3y+6=0$
$L_3: x+2y+2=0$
बिंदु $P(0, b)$ के त्रिभुज पर या अंदर स्थित होने के लिए $b$ का मान ज्ञात करने हेतु,हम $y$-अक्ष के साथ इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं ($x=0$ रखकर):
$L_1$ के लिए: $3(0)+2y-6=0 \implies 2y=6 \implies y=3$
$L_2$ के लिए: $2(0)-3y+6=0 \implies -3y=-6 \implies y=2$
$L_3$ के लिए: $0+2y+2=0 \implies 2y=-2 \implies y=-1$
ग्राफ को देखने पर,त्रिभुज इन रेखाओं द्वारा घिरा हुआ है। बिंदु $P(0, b)$,$y$-अक्ष पर स्थित है। $y$-अक्ष का वह भाग जो त्रिभुज के अंदर आता है,वह $L_3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $(y=-1)$ से $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $(y=2)$ तक है।
अतः,$b$ का अंतराल $[-1, 2]$ है।

(D) मान लीजिए $C = (x, y)$ है। चूंकि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,इसलिए $AC = BC$ और $AC \perp BC$ है।
$AC^2 = BC^2$ से,$(x-2)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2$.
सरल करने पर,$4x + 4y = 28$,अर्थात $x + y = 7 \implies y = 7 - x$.
चूंकि $AC \perp BC$,उनके ढाल का गुणनफल $-1$ होगा: $\left(\frac{y-3}{x-2}\right) \times \left(\frac{y-5}{x-4}\right) = -1$.
$(y-3)(y-5) = -(x-2)(x-4) \implies x^2 + y^2 - 6x - 8y + 23 = 0$.
$y = 7-x$ प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 + (7-x)^2 - 6x - 8(7-x) + 23 = 0$.
$2x^2 - 12x + 16 = 0 \implies x^2 - 6x + 8 = 0$.
$(x-2)(x-4) = 0$,अतः $x = 2$ या $x = 4$.
यदि $x = 2$,तो $y = 5$,अतः $C = (2, 5)$। केंद्रक $G = \left(\frac{2+4+2}{3}, \frac{3+5+5}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{13}{3}\right)$.
यदि $x = 4$,तो $y = 3$,अतः $C = (4, 3)$। केंद्रक $G = \left(\frac{2+4+4}{3}, \frac{3+5+3}{3}\right) = \left(\frac{10}{3}, \frac{11}{3}\right)$.
विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\left(\frac{10}{3}, \frac{11}{3}\right)$ है।

(A) समीकरण $|x+y|=2$ को $x+y=2$ या $x+y=-2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x+y=2$ के लिए,अक्षों पर अंतःखंड $(2,0)$ और $(0,2)$ हैं।
$x+y=-2$ के लिए,अक्षों पर अंतःखंड $(-2,0)$ और $(0,-2)$ हैं।
ये चार बिंदु $A(0,2)$,$B(2,0)$,$C(0,-2)$,और $D(-2,0)$ हैं।
ये बिंदु एक समचतुर्भुज बनाते हैं जिसके विकर्णों की लंबाई $d_1 = 4$ ($y$-अक्ष पर) और $d_2 = 4$ ($x$-अक्ष पर) है।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ वर्ग इकाई।

(C) माना $A(-2, 2)$,$B(2, -2)$ और $C(1, 1)$ त्रिभुज $\triangle ABC$ के शीर्ष हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(1 - 2)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$
$AC = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
चूंकि $BC = AC = \sqrt{10}$,त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हैं।
अतः,$\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(A) माना रेखाएँ $L_1: x-y+3=0$,$L_2: 2x-y+3=0$,$L_3: 3x-y+2=0$,और $L_4: x+y-3=0$ हैं।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ ऐसी रेखाओं की आवश्यकता है जो संगामी (concurrent) न हों और समांतर न हों।
किसी भी $3$ रेखाओं के लिए समीकरणों को हल करके संगामी होने की जाँच करें।
$L_1, L_2, L_3$ को हल करने पर: $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-0, 3)$ है। $L_3$ में रखने पर: $3(0)-3+2 = -1 \neq 0$। अतः,वे संगामी नहीं हैं।
$4$ में से $3$ रेखाओं के सभी संयोजनों की जाँच करने पर ($^4C_3 = 4$ संयोजन):
$1$. $(L_1, L_2, L_3)$: ढाल $1, 2, 3$ हैं। कोई भी दो रेखाएँ समांतर नहीं हैं। वे एक त्रिभुज बनाती हैं।
$2$. $(L_1, L_2, L_4)$: ढाल $1, 2, -1$ हैं। वे एक त्रिभुज बनाती हैं।
$3$. $(L_1, L_3, L_4)$: ढाल $1, 3, -1$ हैं। वे एक त्रिभुज बनाती हैं।
$4$. $(L_2, L_3, L_4)$: ढाल $2, 3, -1$ हैं। वे एक त्रिभुज बनाती हैं।
चूँकि कोई भी तीन रेखाएँ संगामी नहीं हैं,इसलिए कुल $4$ त्रिभुज बनते हैं।

(C) त्रिभुज का आधार बिंदुओं $(2,0)$ और $(0,2)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड है। आधार की लंबाई $\sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$ है।
तीसरा शीर्ष रेखा $y=2$ पर स्थित है। मान लीजिए शीर्ष $(x, 2)$ है।
आकृति से,शीर्ष $(2,2)$ है। आधार (रेखा $x+y=2$) से शीर्ष $(2,2)$ तक की ऊँचाई $(2,2)$ से $x+y-2=0$ तक की लंबवत दूरी है,जो $h = \frac{|2+2-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{2}) \times \sqrt{2} = 2$ वर्ग इकाई।

(A) मान लीजिए रेखा $OA$,$x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। चूँकि $ABOC$ एक समचतुर्भुज है,विकर्ण $OA$,$\angle BOC$ को समद्विभाजित करता है। रेखा $OB$,$y = \frac{4}{3}x$ है,इसलिए ढाल $\frac{4}{3}$ है,जिसका अर्थ है $\tan(2\theta) = \frac{4}{3}$।
सूत्र $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$ का उपयोग करने पर,$\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $\tan\theta = m$ है। तब $3(2m) = 4(1-m^2)$ $\Rightarrow 6m = 4 - 4m^2$ $\Rightarrow 4m^2 + 6m - 4 = 0$ $\Rightarrow 2m^2 + 3m - 2 = 0$।
$m$ के लिए हल करने पर,$(2m-1)(m+2) = 0$,इसलिए $m = \frac{1}{2}$ (चूँकि $\theta$ न्यून कोण है)।
अतः,$OA$ की ढाल $\frac{1}{2}$ है। चूँकि समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं,$BC$ की ढाल $-2$ है।
रेखा $BC$,$\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ से होकर गुजरती है और इसकी ढाल $-2$ है,इसलिए इसका समीकरण $y - \frac{2}{3} = -2(x - \frac{2}{3}) \Rightarrow y = -2x + 2$ या $2x + y = 2$ है।
$B$,$y = \frac{4}{3}x$ और $2x + y = 2$ पर स्थित है,इसलिए $2x + \frac{4}{3}x = 2$ $\Rightarrow \frac{10}{3}x = 2$ $\Rightarrow x = \frac{3}{5}, y = \frac{4}{5}$। अतः $B = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$।
$C$,$y = 0$ और $2x + y = 2$ पर स्थित है,इसलिए $2x = 2 \Rightarrow x = 1$। अतः $C = (1, 0)$।
$BC$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{\frac{3}{5} + 1}{2}, \frac{\frac{4}{5} + 0}{2}\right) = \left(\frac{8/5}{2}, \frac{4/5}{2}\right) = \left(\frac{4}{5}, \frac{2}{5}\right)$ है।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $A(0,3)$,$B(-2,0)$ और $C(6,1)$ हैं।
त्रिभुज की भुजाओं वाली रेखाओं के समीकरण:
रेखा $AB$: $3x - 2y + 6 = 0$.
रेखा $BC$: $x - 8y + 2 = 0$.
रेखा $AC$: $x + 3y - 9 = 0$.
मान लीजिए बिंदु $P$ $(\alpha, \alpha+1)$ है। $P$ के त्रिभुज के अंदर स्थित होने के लिए,इसे रेखा $y = x+1$ और त्रिभुज की भुजाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच होना चाहिए।
$AC$ के साथ प्रतिच्छेदन: $\alpha = \frac{3}{2}$.
$BC$ के साथ प्रतिच्छेदन: $\alpha = -\frac{6}{7}$.
अतः,$\alpha$ को $\left(\frac{-6}{7}, \frac{3}{2}\right)$ अंतराल में होना चाहिए।

(C) माना $G$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है। केंद्रक $G$,माध्यिका $AD$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
दिया है $AD = 4$,इसलिए $AG = \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3}$ और $GD = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}$ है।
$\triangle ABG$ में,$\angle GAB = \frac{\pi}{6}$ और $\angle GBA = \frac{\pi}{3}$ है।
अतः,$\angle AGB = \pi - (\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ है।
इस प्रकार,$\triangle ABG$ बिंदु $G$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
$\triangle ABG$ में,$\tan(\angle GBA) = \frac{AG}{BG} \implies \tan(\frac{\pi}{3}) = \frac{8/3}{BG}$ है।
$BG = \frac{8/3}{\sqrt{3}} = \frac{8}{3\sqrt{3}}$ है।
$\triangle ABD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AD \times BG \times \sin(\angle AGB) = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{8}{3\sqrt{3}} \times 1 = \frac{16}{3\sqrt{3}}$ है।
चूंकि माध्यिका $AD$,$\triangle ABC$ को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है,इसलिए $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{Area}(\triangle ABD) = 2 \times \frac{16}{3\sqrt{3}} = \frac{32}{3\sqrt{3}}$ वर्ग इकाई है।

(A) $\triangle ABC$ में,भुजाओं $AB$,$BC$ और $CA$ के समीकरण क्रमशः $2x+y=0$,$x+py=q$ और $x-y=3$ हैं। $P(2,3)$ लंबकेंद्र है।
$1$. $AB$ और $CA$ को हल करके शीर्ष $A$ प्राप्त करना:
$2x+y=0 \Rightarrow y=-2x$
$x-y=3$ में प्रतिस्थापित करने पर: $x-(-2x)=3$ $\Rightarrow 3x=3$ $\Rightarrow x=1, y=-2$.
अतः,$A = (1, -2)$.
$2$. $p$ का मान ज्ञात करना:
$A$ से $BC$ पर डाला गया शीर्षलंब $P(2,3)$ से गुजरता है।
$AP$ की ढाल = $\frac{3-(-2)}{2-1} = 5$.
चूंकि $AP \perp BC$,इसलिए $BC$ की ढाल $-\frac{1}{5}$ होगी।
$BC$ का समीकरण $x+py=q$ है,इसलिए इसकी ढाल $-\frac{1}{p}$ है।
$-\frac{1}{p} = -\frac{1}{5} \Rightarrow p=5$.
$3$. $q$ का मान ज्ञात करना:
शीर्ष $B$,$AB$ $(2x+y=0)$ और $BC$ $(x+5y=q)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$y=-2x$ $\Rightarrow x+5(-2x)=q$ $\Rightarrow -9x=q$ $\Rightarrow x=-\frac{q}{9}, y=\frac{2q}{9}$.
अतः,$B = \left(-\frac{q}{9}, \frac{2q}{9}\right)$.
$B$ से $AC$ पर डाला गया शीर्षलंब $P(2,3)$ से गुजरता है।
$AC$ की ढाल ($x-y=3$ से) $1$ है।
चूंकि $BP \perp AC$,इसलिए $BP$ की ढाल $-1$ होगी।
$BP$ की ढाल = $\frac{\frac{2q}{9}-3}{-\frac{q}{9}-2} = \frac{2q-27}{-q-18} = -1$.
$2q-27 = q+18 \Rightarrow q=45$.
$4$. अंतिम मान:
$p+q = 5+45 = 50$.

(A) दी गई रेखाएं $x+y=1$,$x=1$,और $y=1$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष:
$P(1, 1)$,$A(1, 0)$,और $B(0, 1)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$a = 1$,$b = 1$,$c = \sqrt{2}$ है।
अंतःकेंद्र के सूत्र का उपयोग करने पर,सही उत्तर $\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}, 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) शीर्ष $(-1, -1)$ से रेखा $x+y-6=0$ पर डाले गए लंब की लंबाई $h = \frac{|(-1) + (-1) - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-8|}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ है।
समबाहु त्रिभुज में ऊँचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ होती है,इसलिए भुजा $a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{32}{\sqrt{3}}$ वर्ग इकाई है।

(A) त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम रेखाओं के समीकरणों को युग्मों में हल करते हैं:
$1$. $x+y-1=0$ और $x-y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर $2x-2=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=1$। $x=1$ को $x+y-1=0$ में रखने पर $y=0$ प्राप्त होता है। अतः,शीर्ष $A(1, 0)$ है।
$2$. $x-y-1=0$ और $x-3y+3=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
पहले में से दूसरा समीकरण घटाने पर $2y-4=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y=2$। $y=2$ को $x-y-1=0$ में रखने पर $x=3$ प्राप्त होता है। अतः,शीर्ष $B(3, 2)$ है।
$3$. $x-3y+3=0$ और $x+y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
पहले में से दूसरा समीकरण घटाने पर $-4y+4=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y=1$। $y=1$ को $x+y-1=0$ में रखने पर $x=0$ प्राप्त होता है। अतः,शीर्ष $C(0, 1)$ है।
त्रिभुज का केंद्रक $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$G = \left(\frac{1+3+0}{3}, \frac{0+2+1}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, 1\right)$.

(D) दो समान भुजाओं के समीकरण हैं:
$7x-y+3=0 \quad \dots(i)$
$x+y-3=0 \quad \dots(ii)$
एक समद्विबाहु त्रिभुज में,तीसरी भुजा दो समान भुजाओं के बीच के कोण के समद्विभाजक पर लंब होती है।
माना तीसरी भुजा का ढाल $m$ है। तीसरी भुजा और $7x-y+3=0$ (ढाल $m_1=7$) के बीच का कोण,तीसरी भुजा और $x+y-3=0$ (ढाल $m_2=-1$) के बीच के कोण के बराबर होता है।
सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$ का उपयोग करने पर:
$|\frac{m-7}{1+7m}| = |\frac{m+1}{1-m}|$
इस समीकरण को हल करने पर हमें $3m^2 + 8m - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
$(3m-1)(m+3) = 0$
अतः,$m = \frac{1}{3}$ या $m = -3$।
चूँकि $m$ एक पूर्णांक है,इसलिए $m = -3$।

(C) माना मूल बिंदु से गुजरने वाली लंबवत रेखाएं $L_1$ और $L_2$ हैं। चूंकि वे लंबवत हैं और रेखा $2x + 3y = 6$ के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाती हैं,इसलिए $\triangle OAB$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $\angle AOB = 90^\circ$ और $OA = OB$ है।
माना $OP$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $2x + 3y - 6 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$OP = \frac{|2(0) + 3(0) - 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{6}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज में,समकोण शीर्ष से कर्ण पर डाला गया लंब कर्ण को समद्विभाजित करता है और कर्ण की लंबाई का आधा होता है।
अतः,$OP = AP = BP = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
त्रिभुज का आधार $AB = AP + BP = 2 \times OP = 2 \times \frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$.
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times OP$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \left(\frac{12}{\sqrt{13}}\right) \times \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right) = \frac{36}{13}$ वर्ग इकाई।

(A) दी गई रेखाएं $a_1x \pm b_1y + c_1 = 0$ और $a_1x \pm b_1y + c_2 = 0$ के रूप में हैं।
रेखाओं के बीच की दूरी $d_1 = \frac{|6 - (-6)|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ और $d_2 = \frac{12}{\sqrt{13}}$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\sin \theta = 12/13$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल = $\frac{d_1 d_2}{\sin \theta} = \frac{(12/\sqrt{13}) \times (12/\sqrt{13})}{12/13} = 12$ वर्ग इकाई।

(A) रेखाएँ $x=0, y=0$ और $3x+4y=12$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $A(0, 0), B(0, 3)$ और $C(4, 0)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $a=5, b=4, c=3$ है।
अंतःकेंद्र का सूत्र $\left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}\right)$ है।
मान रखने पर,$I_x = \frac{5(0) + 4(0) + 3(4)}{12} = 1$ और $I_y = \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{12} = 1$.
अतः,अंतःकेंद्र $(1, 1)$ है।

(C) शीर्ष $A(6,3), B(-6,3)$ और $C(-6,-3)$ हैं। $AB$ क्षैतिज है और $BC$ ऊर्ध्वाधर है,इसलिए $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $B(-6,3)$ पर है।
$1$. $P, BC$ का मध्यबिंदु है। $P = (\frac{-6-6}{2}, \frac{3-3}{2}) = (-6,0)$। अतः,$i \rightarrow D$।
$2$. रेखा $AC$ का समीकरण $x = 2y$ है। $x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $(y=0)$ $Q(0,0)$ है। अतः,$ii \rightarrow A$।
$3$. समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र $R$ वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है। यहाँ,$R = B(-6,3)$। अतः,$iii \rightarrow F$।
$4$. केंद्रक $S = (\frac{6-6-6}{3}, \frac{3+3-3}{3}) = (-2,1)$। अतः,$iv \rightarrow C$।
सही क्रम $D, A, F, C$ है।

(C) दी गई रेखाएँ $x=0$ ($y$-अक्ष),$y=0$ ($x$-अक्ष) और $3x+4y=12$ हैं।
रेखा $3x+4y=12$ के अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ में लिखते हैं:
$\frac{3x}{12} + \frac{4y}{12} = \frac{12}{12} \implies \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$.
यह रेखा $x$-अक्ष को $A(4, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, 3)$ पर काटती है।
रेखाओं $x=0, y=0$ और $3x+4y=12$ द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसके शीर्ष $O(0, 0)$,$A(4, 0)$ और $B(0, 3)$ हैं।
त्रिभुज का आधार $OA = 4$ इकाई है और ऊँचाई $OB = 3$ इकाई है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ वर्ग इकाई।

(B) रेखाएँ $3x + y - 4 = 0$ और $3x + y + k = 0$ समांतर हैं,जो वर्ग की सम्मुख भुजाओं को दर्शाती हैं। ढाल $m_1 = -3$ और $m_2 = -3$ है।
चूँकि भुजाएँ लंबवत हैं,दूसरी भुजाओं के युग्म की ढाल $m_3 = \frac{1}{3}$ होनी चाहिए।
रेखा $x - \alpha y + 10 = 0$ के लिए,ढाल $\frac{1}{\alpha}$ है। अतः,$\frac{1}{\alpha} = \frac{1}{3} \Rightarrow \alpha = 3$.
रेखा $\beta x + 2y + 4 = 0$ के लिए,ढाल $-\frac{\beta}{2}$ है। अतः,$-\frac{\beta}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow \beta = -\frac{2}{3}$.
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|k + 4|}{\sqrt{10}}$ है।
दूसरी भुजाओं के बीच की दूरी $d = \frac{16}{\sqrt{10}}$ है।
वर्ग होने के कारण,दूरियाँ समान होनी चाहिए: $|k + 4| = 16$.
अतः,$\alpha \beta (k + 4)^2 = (3) \left(-\frac{2}{3}\right) (16)^2 = -2 \times 256 = -512$.

(A) वर्ग का केंद्र $P(3,7)$ है और भुजा की लंबाई $4$ है। विकर्ण की लंबाई $4\sqrt{2}$ है,इसलिए केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी $r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ है।
एक विकर्ण $y=x$ के समानांतर है,इसलिए इसका ढाल $m_1 = 1$ है। यह $x$-अक्ष के साथ $\theta_1 = 45^\circ$ का कोण बनाता है।
दूसरा विकर्ण पहले के लंबवत है,इसलिए इसका ढाल $m_2 = -1$ है और इसका कोण $\theta_2 = 135^\circ$ है।
रेखा के प्राचलिक रूप का उपयोग करते हुए,शीर्षों के निर्देशांक $(x, y) = (3 + r \cos \theta, 7 + r \sin \theta)$ हैं।
पहले विकर्ण के लिए $(\theta = 45^\circ)$: $(3 \pm 2\sqrt{2} \cos 45^\circ, 7 \pm 2\sqrt{2} \sin 45^\circ) = (3 \pm 2, 7 \pm 2)$,जो बिंदु $(5,9)$ और $(1,5)$ देते हैं।
दूसरे विकर्ण के लिए $(\theta = 135^\circ)$: $(3 \pm 2\sqrt{2} \cos 135^\circ, 7 \pm 2\sqrt{2} \sin 135^\circ) = (3 \mp 2, 7 \pm 2)$,जो बिंदु $(1,9)$ और $(5,5)$ देते हैं।
शीर्ष $(1,5), (5,5), (5,9), (1,9)$ हैं।
अतः,$\frac{y_1 y_2 y_3 y_4}{x_1 x_2 x_3 x_4} = \frac{5 \times 5 \times 9 \times 9}{1 \times 5 \times 5 \times 1} = \frac{2025}{25} = 81$.

(A) दी गई रेखाएँ $x=0$ ($y$-अक्ष),$y=0$ ($x$-अक्ष) और $3x+4y=12$ हैं।
रेखा $3x+4y=12$ के अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ में लिखते हैं।
समीकरण को $12$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{3x}{12} + \frac{4y}{12} = \frac{12}{12}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$ हो जाता है।
इसका अर्थ है कि रेखा $x$-अक्ष को बिंदु $B(4, 0)$ पर और $y$-अक्ष को बिंदु $A(0, 3)$ पर काटती है।
इन रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज $O(0, 0)$,$A(0, 3)$ और $B(4, 0)$ शीर्षों वाला एक समकोण त्रिभुज है।
त्रिभुज का आधार $OB = 4$ इकाई है और ऊँचाई $OA = 3$ इकाई है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ वर्ग इकाई है।