Problems related to triangle and quadrilateral Questions in Gujarati

(C) કર્ણ $BC$ નું સમીકરણ $3x + 4y - 4 = 0$ છે.
શિરોબિંદુ $A = (2, 2)$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = -\frac{3}{4}$ છે.
$AD \perp BC$ હોવાથી,$AD$ નો ઢાળ $m_{AD} = \frac{4}{3}$ છે.
સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણમાં,વેધ $AD$ એ શિરોબિંદુના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી બાજુઓ $AB$ અને $AC$ એ $AD$ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ઢાળ $m$ માટે: $\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - \frac{4}{3}}{1 + m(\frac{4}{3})} \right|$ $\Rightarrow 1 = \left| \frac{3m - 4}{3 + 4m} \right|$.
આથી $m = -7$ અથવા $m = \frac{1}{7}$ મળે છે.
બિંદુ $(2, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$m = -7$ માટે: $y - 2 = -7(x - 2) \Rightarrow 7x + y - 16 = 0$.
$m = \frac{1}{7}$ માટે: $y - 2 = \frac{1}{7}(x - 2) \Rightarrow x - 7y + 12 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $7x + y - 16 = 0$ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1,3), B(5,0)$ અને $C(-1,2)$ છે.
ત્રિકોણની અંદરના કોઈપણ બિંદુ $(x,y)$ માટે,જો રેખા ત્રિકોણમાંથી પસાર ન થતી હોય તો અભિવ્યક્તિએ શિરોબિંદુઓ માટે જે ચિહ્ન જાળવી રાખ્યું છે તે જ જાળવી રાખવું જોઈએ.
શિરોબિંદુઓ માટે $3x + 2y$ અભિવ્યક્તિનું પરીક્ષણ કરતા:
$A(1,3)$ માટે: $3(1) + 2(3) = 3 + 6 = 9 > 0$.
$B(5,0)$ માટે: $3(5) + 2(0) = 15 + 0 = 15 > 0$.
$C(-1,2)$ માટે: $3(-1) + 2(2) = -3 + 4 = 1 > 0$.
બધા શિરોબિંદુઓ માટે કિંમત ધન હોવાથી,ત્રિકોણની અંદરનું કોઈપણ બિંદુ $3x + 2y > 0$ નું પાલન કરશે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) ચોરસના શિરોબિંદુઓ $O(0,0), A(1,0), B(1,1)$ અને $C(0,1)$ છે.
વિકર્ણો એ સામસામેના શિરોબિંદુઓને જોડતા રેખાખંડો છે,જે $OB$ અને $AC$ છે.
$1$. $(0,0)$ અને $(1,1)$ માંથી પસાર થતા વિકર્ણ $OB$ નું સમીકરણ:
ઢાળ $m = \frac{1-0}{1-0} = 1$.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y - 0 = 1(x - 0) \Rightarrow y = x$.
$2$. $(1,0)$ અને $(0,1)$ માંથી પસાર થતા વિકર્ણ $AC$ નું સમીકરણ:
ઢાળ $m = \frac{1-0}{0-1} = -1$.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - 0 = -1(x - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = -x + 1 \Rightarrow x + y = 1$.
આમ,વિકર્ણોના સમીકરણો $y = x$ અને $x + y = 1$ છે.

(B) ચોરસની બાજુઓ વિકર્ણ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. આપેલ વિકર્ણ $8x - 15y = 0$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{8}{15}$ છે.
ધારો કે $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી બાજુઓનો ઢાળ $m$ છે. સૂત્ર $\tan(45^{\circ}) = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 = |\frac{m - 8/15}{1 + 8m/15}|$
$1 = |\frac{15m - 8}{15 + 8m}|$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $15m - 8 = 15 + 8m$ $\Rightarrow 7m = 23$ $\Rightarrow m = \frac{23}{7}$.
બાજુનું સમીકરણ $y - 2 = \frac{23}{7}(x - 1) \Rightarrow 23x - 7y - 9 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $15m - 8 = -(15 + 8m)$ $\Rightarrow 23m = -7$ $\Rightarrow m = -\frac{7}{23}$.
બાજુનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{7}{23}(x - 1) \Rightarrow 7x + 23y - 53 = 0$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: 4x+y-1=0$ અને $L_2: 3x-4y+1=0$ છે. $L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -4$ અને $L_2$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{3}{4}$ છે.
બિંદુ $A(2, -7)$ છે. રેખા $AB$ એ $L_1$ છે. બિંદુ $B$ એ $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ છે.
$AB=AC$ હોવાથી અને $A$ સામાન્ય બિંદુ હોવાથી,$AB$ અને $BC$ વચ્ચેનો ખૂણો એ $AC$ અને $BC$ વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ હોવો જોઈએ. ધારો કે $AC$ નો ઢાળ $m$ છે. $AB$ અને $BC$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}| = |\frac{-4 - 3/4}{1 + (-4)(3/4)}| = \frac{19}{8}$ દ્વારા મળે છે.
$BC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ નો પાયો હોવાથી,રેખા $BC$ એ $AB$ અને $AC$ સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે. તેથી $AC$ અને $BC$ વચ્ચેનો ખૂણો પણ $\theta = \tan^{-1}(\frac{19}{8})$ છે.
$\tan \theta = |\frac{m-m_2}{1+mm_2}|$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{19}{8} = |\frac{m-3/4}{1+m(3/4)}| = |\frac{4m-3}{4+3m}|$.
આના બે કિસ્સા મળે છે: $\frac{4m-3}{4+3m} = \frac{19}{8}$ અથવા $\frac{4m-3}{4+3m} = -\frac{19}{8}$.
કિસ્સો $1$: $32m - 24 = 76 + 57m \Rightarrow m = -4$ (આ રેખા $AB$ છે).
કિસ્સો $2$: $32m - 24 = -76 - 57m$ $\Rightarrow 89m = -52$ $\Rightarrow m = -\frac{52}{89}$.
રેખા $AC$ નું સમીકરણ $y - (-7) = -\frac{52}{89}(x - 2) \Rightarrow 52x + 89y + 519 = 0$ છે.

(B) $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $2x+3y+1=0$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $-2/3$ છે. તેથી,$AB$ નો ઢાળ $3/2$ છે.
$AB$ નું સમીકરણ $y-2 = \frac{3}{2}(x-3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x-2y-5=0$ થાય છે.
$AB$ $(3x-2y-5=0)$ અને તેના લંબદ્વિભાજક $(2x+3y+1=0)$ નું છેદબિંદુ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $D$ આપે છે. ઉકેલતા,$D=(1,-1)$ મળે છે.
$D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{3+x_B}{2}=1$ અને $\frac{2+y_B}{2}=-1$,તેથી $B=(-1,-4)$ મળે છે.
$AC$ નો લંબદ્વિભાજક $x+2y-2=0$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $-1/2$ છે. તેથી,$AC$ નો ઢાળ $2$ છે.
$AC$ નું સમીકરણ $y-2 = 2(x-3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x-y-4=0$ થાય છે.
$AC$ $(2x-y-4=0)$ અને તેના લંબદ્વિભાજક $(x+2y-2=0)$ નું છેદબિંદુ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $E$ આપે છે. ઉકેલતા,$E=(2,0)$ મળે છે.
$E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{3+x_C}{2}=2$ અને $\frac{2+y_C}{2}=0$,તેથી $C=(1,-2)$ મળે છે.
$B(-1,-4)$ અને $C(1,-2)$ માંથી પસાર થતી બાજુ $BC$ નું સમીકરણ $y-(-4) = \frac{-2-(-4)}{1-(-1)}(x-(-1))$ છે.
$y+4 = \frac{2}{2}(x+1) \implies y+4 = x+1 \implies x-y-3=0$.

(B) ધારો કે મધ્યબિંદુઓ $P(2,1)$ એ $BC$ પર,$Q(-1,-2)$ એ $CA$ પર અને $R(3,3)$ એ $AB$ પર છે.
$RQ$ એ $BC$ ને સમાંતર છે અને $RQ = \frac{1}{2} BC$ હોવાથી,બાજુ $BC$ એ રેખાખંડ $RQ$ ને સમાંતર છે.
$RQ$ નો ઢાળ $m = \frac{3 - (-2)}{3 - (-1)} = \frac{5}{4}$ છે.
$BC$ એ $RQ$ ને સમાંતર હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ પણ $m = \frac{5}{4}$ થશે.
બાજુ $BC$ એ બિંદુ $P(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$BC$ નું સમીકરણ:
$y - 1 = \frac{5}{4}(x - 2)$
$4(y - 1) = 5(x - 2)$
$4y - 4 = 5x - 10$
$5x - 4y = 6$

(B) ધારો કે $C = (h, k)$. $C$ એ ખૂણાના દ્વિભાજક $7x - 4y - 1 = 0$ પર હોવાથી,$7h - 4k - 1 = 0$ અથવા $h = \frac{4k + 1}{7}$.
$M$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$M = \left(\frac{-3 + h}{2}, \frac{1 + k}{2}\right) = \left(\frac{2k - 10}{7}, \frac{1+k}{2}\right)$.
$M$ એ મધ્યગા $BM$ $(2x + y - 3 = 0)$ પર હોવાથી,$2\left(\frac{2k - 10}{7}\right) + \frac{1+k}{2} - 3 = 0$.
$14$ વડે ગુણતા,$4(2k - 10) + 7(1+k) - 42 = 0$ $\Rightarrow 15k = 75$ $\Rightarrow k = 5$.
તેથી $h = 3$. આમ,$C = (3, 5)$.
$AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{2}{3}$ અને દ્વિભાજક $CN$ નો ઢાળ $m_{bisector} = \frac{7}{4}$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m$ ધારો. ખૂણાના દ્વિભાજકના ગુણધર્મ મુજબ,$\left|\frac{m - 7/4}{1 + m(7/4)}\right| = \frac{1}{2}$.
ઉકેલતા $m = 18$ મળે છે.
$BC$ નું સમીકરણ $y - 5 = 18(x - 3) \Rightarrow 18x - y = 49$ થાય.

(B) $\triangle PQR$ એ $P$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,$\angle PQR = \angle PRQ = 45^{\circ}$ થાય.
રેખા $QR$ નો ઢાળ $m = -2$ છે.
ધારો કે $PQ$ નો ઢાળ $m_1$ છે. $PQ$ અને $QR$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ હોવાથી:
$\tan 45^{\circ} = |\frac{m_1 - (-2)}{1 + m_1(-2)}| = 1$
$|\frac{m_1 + 2}{1 - 2m_1}| = 1$
આથી $m_1 = -\frac{1}{3}$ અથવા $m_1 = 3$ મળે.
$P(2, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓના સમીકરણો:
$m_1 = -\frac{1}{3}$ માટે: $y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 2) \Rightarrow x + 3y - 5 = 0$.
$m_2 = 3$ માટે: $y - 1 = 3(x - 2) \Rightarrow 3x - y - 5 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $3x - y - 5 = 0$ છે.

(D) $a_1x+b_1y+c_1=0$,$a_1x+b_1y+c_2=0$,$a_2x+b_2y+d_1=0$ અને $a_2x+b_2y+d_2=0$ રેખાઓ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \left| \frac{(c_1-c_2)(d_1-d_2)}{a_1b_2-a_2b_1} \right|$ છે.
અહીં,રેખાઓ $ax+by+2=0$,$ax+by+5=0$,$cx+dy+3=0$ અને $cx+dy+7=0$ છે.
સૂત્ર સાથે સરખાવતા,$c_1=2, c_2=5, d_1=3, d_2=7, a_1=a, b_1=b, a_2=c, b_2=d$ મળે છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Area} = \left| \frac{(2-5)(3-7)}{ad-bc} \right|$
$\text{Area} = \left| \frac{(-3)(-4)}{ad-bc} \right|$
$\text{Area} = \frac{12}{|ad-bc|}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે $A = (1, -2)$. $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $L_1: x-y+5=0$ છે. $L_1$ નો ઢાળ $1$ છે,તેથી $AB$ નો ઢાળ $-1$ છે. $AB$ નું સમીકરણ $y - (-2) = -1(x - 1) \Rightarrow x+y+1=0$ છે.
$AB$ અને $L_1$ નું છેદબિંદુ: $x - (-x-1) + 5 = 0$ $\Rightarrow 2x = -6$ $\Rightarrow x = -3, y = 2$.
$E$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{x_B+1}{2} = -3 \Rightarrow x_B = -7$ અને $\frac{y_B-2}{2} = 2 \Rightarrow y_B = 6$. તેથી $B = (-7, 6)$.
$AC$ નો લંબદ્વિભાજક $L_2: x+2y=0$ છે. $L_2$ નો ઢાળ $-1/2$ છે,તેથી $AC$ નો ઢાળ $2$ છે. $AC$ નું સમીકરણ $y - (-2) = 2(x - 1) \Rightarrow 2x-y-4=0$ છે.
$AC$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $x + 2(2x-4) = 0$ $\Rightarrow 5x = 8$ $\Rightarrow x = 8/5, y = -4/5$.
$F$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{x_C+1}{2} = 8/5 \Rightarrow x_C = 11/5$ અને $\frac{y_C-2}{2} = -4/5 \Rightarrow y_C = 2/5$. તેથી $C = (11/5, 2/5)$.
$(-7, 6)$ અને $(11/5, 2/5)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ:
$y - 6 = \frac{2/5 - 6}{11/5 - (-7)} (x - (-7))
$ $\Rightarrow y - 6 = -\frac{14}{23} (x + 7)
$ $\Rightarrow 14x + 23y - 40 = 0$.

(D) ધારો કે $ABCD$ એક ચોરસ છે જ્યાં $A \equiv (1,3)$ અને $C \equiv (7,5)$ છે.
વિકર્ણ $AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{5-3}{7-1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
ધારો કે બાજુ $AB$ નો ઢાળ $m$ છે.
ચોરસનો વિકર્ણ બાજુઓ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\left| \frac{m - 1/3}{1 + m(1/3)} \right| = \tan 45^{\circ} = 1$.
$\left| \frac{3m-1}{3+m} \right| = 1$.
કિસ્સો $1$: $\frac{3m-1}{3+m} = 1$ $\Rightarrow 3m-1 = 3+m$ $\Rightarrow 2m = 4$ $\Rightarrow m = 2$.
$A(1,3)$ માંથી પસાર થતી અને $m=2$ ઢાળ ધરાવતી બાજુનું સમીકરણ $y-3 = 2(x-1)$ $\Rightarrow y-3 = 2x-2$ $\Rightarrow 2x-y+1 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{3m-1}{3+m} = -1$ $\Rightarrow 3m-1 = -3-m$ $\Rightarrow 4m = -2$ $\Rightarrow m = -1/2$.
$A(1,3)$ માંથી પસાર થતી અને $m=-1/2$ ઢાળ ધરાવતી બાજુનું સમીકરણ $y-3 = -1/2(x-1)$ $\Rightarrow 2y-6 = -x+1$ $\Rightarrow x+2y-7 = 0$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$2x-y+1=0$ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ રેખા $4x - 2y = 1$ છે,જેને $y = 2x - 1/2$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = 2$ છે.
રેખા $L$ આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરશે. તેથી,$2 \times m_2 = -1$,એટલે કે $m_2 = -1/2$.
$-1/2$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $x + 2y + \lambda = 0$ તરીકે લખી શકાય.
યામ અક્ષો પર આ રેખાના અંતઃખંડ $x=0$ અને $y=0$ મૂકીને મેળવી શકાય છે:
$x=0$ માટે,$2y = -\lambda \implies y = -\lambda/2$.
$y=0$ માટે,$x = -\lambda$.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |\text{પાયો}| \times |\text{વેધ}| = \frac{1}{2} |-\lambda| \times |-\lambda/2| = 4$ છે.
$\frac{\lambda^2}{4} = 4 \implies \lambda^2 = 16 \implies \lambda = \pm 4$.
$\lambda = 4$ ને $x + 2y + \lambda = 0$ માં મૂકતા $x + 2y + 4 = 0$ મળે છે,જે $2x + 4y + 8 = 0$ ને સમાન છે.

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણની બે બાજુઓના સમીકરણો $L_1: x-y+1=0$ અને $L_2: 7x-y-5=0$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને શિરોબિંદુ $V_1(1,2)$ મળે છે.
વિકર્ણો એકબીજાને $(-1,-2)$ બિંદુએ દુભાગે છે.
$V_1(1,2)$ ના સામેના શિરોબિંદુ $V_3$ માટે,મધ્યબિંદુ સૂત્ર મુજબ:
$-1 = \frac{1+x_3}{2} \Rightarrow x_3 = -3$ અને $-2 = \frac{2+y_3}{2} \Rightarrow y_3 = -6$.
તેથી $V_3 = (-3,-6)$.
બીજા વિકર્ણનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{2}$ છે અને તે $(-1,-2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x + 2y + 5 = 0$ છે.
વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: $\frac{1}{3} + 2(-\frac{8}{3}) + 5 = 0$.
તેથી,$\left(\frac{1}{3}, -\frac{8}{3}\right)$ એ એક શિરોબિંદુ છે.

(A) ત્રિકોણ રેખાઓ $x=0$,$y=0$,અને $x+y=10$ દ્વારા રચાય છે. શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(10,0)$,અને $B(0,10)$ છે.
આપણે એવા બિંદુઓ $(x, y)$ શોધવાની જરૂર છે કે જેથી $x, y \in \mathbb{N}$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ) અને $x+y < 10$ થાય.
જો $x=1$ હોય,તો $1+y < 10 \implies y < 9$. $y$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. આવા $8$ બિંદુઓ છે.
જો $x=2$ હોય,તો $2+y < 10 \implies y < 8$. તેથી $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. આવા $7$ બિંદુઓ છે.
આ પેટર્ન મુજબ,આપેલ $x$ માટે,$y$ ના પ્રાકૃતિક સંખ્યા મૂલ્યોની સંખ્યા $9-x$ છે.
$x$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,તેથી $x$ ની કિંમત $1$ થી $8$ સુધી હોઈ શકે છે (કારણ કે જો $x=9$ હોય,તો $y < 1$ થાય,જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા માટે શક્ય નથી).
બિંદુઓની કુલ સંખ્યાનો સરવાળો: $8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = \frac{8 \times 9}{2} = 36$.

(B) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 2x + 3y - 1 = 0$,$L_2: x + 2y + 1 = 0$,અને $L_3: ax + by - 1 = 0$ છે. લંબકેન્દ્ર $(0, 0)$ પર છે.
લંબકેન્દ્ર એ વેધનું છેદબિંદુ હોવાથી,શિરોબિંદુ $B$ માંથી પસાર થતો વેધ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $L_3$ ને લંબ છે. $B$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિ $(2x + 3y - 1) + \lambda(x + 2y + 1) = 0$ છે. તે $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$-1 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$. વેધનું સમીકરણ $3x + 5y = 0$ છે,જેનો ઢાળ $m = -\frac{3}{5}$ છે. આ $L_3$ (ઢાળ $-\frac{a}{b}$) ને લંબ હોવાથી,$(-\frac{a}{b}) \times (-\frac{3}{5}) = -1 \Rightarrow 3a = -5b$.
તે જ રીતે,શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થતો વેધ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $L_2$ (ઢાળ $-\frac{1}{2}$) ને લંબ છે. $A$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિ $(2x + 3y - 1) + \mu(ax + by - 1) = 0$ છે. તે $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$-1 - \mu = 0 \Rightarrow \mu = -1$. વેધનું સમીકરણ $(2-a)x + (3-b)y = 0$ છે,જેનો ઢાળ $-\frac{2-a}{3-b}$ છે. આ $L_2$ ને લંબ હોવાથી,$(-\frac{2-a}{3-b}) \times (-\frac{1}{2}) = -1$ $\Rightarrow 2-a = -2(3-b)$ $\Rightarrow a + 2b = 8$.
$3a = -5b$ અને $a + 2b = 8$ ઉકેલતા,આપણને $a = -40$ અને $b = 24$ મળે છે. આમ,$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = -\frac{1}{40} + \frac{1}{24} = \frac{-3 + 5}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$.

(A) શરત $xy > 0$ સૂચવે છે કે બિંદુ $A(x, y)$ કાં તો પ્રથમ ચરણ $(x > 0, y > 0)$ અથવા ત્રીજા ચરણ $(x < 0, y < 0)$ માં હોવું જોઈએ.
શરત $x + y < 1$ એ રેખા $x + y = 1$ ની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
પ્રથમ ચરણમાં,$x > 0, y > 0$ અને $x + y < 1$ નું પાલન કરતો પ્રદેશ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$,$(1, 0)$ અને $(0, 1)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનો આંતરિક ભાગ છે.
ત્રિકોણ $\triangle OMN$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$M(1, 2)$ અને $N(0, 1)$ છે.
$xy > 0$ અને $x + y < 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશનું અવલોકન કરતા,તે સ્પષ્ટ છે કે બિંદુ $A$ એ $\triangle OMN$ ની અંદર હોઈ શકે નહીં કારણ કે $\triangle OMN$ નો આંતરિક ભાગ તેના મોટાભાગના વિસ્તાર માટે રેખા $x + y = 1$ ની ઉપર આવેલો છે,અને આપેલી શરતો $A$ ને એવા પ્રદેશ સુધી મર્યાદિત કરે છે જે $\triangle OMN$ ના આંતરિક ભાગ સાથે ઓવરલેપ થતો નથી.

(A) ત્રિકોણ $L_1: 3x+y+2=0$,$L_2: 2x-3y+5=0$ અને $L_3: x+4y-14=0$ રેખાઓના છેદથી બને છે.
બિંદુ $(0, \beta)$ ત્રિકોણની અંદર રહે તે માટે $\beta$ ની રેન્જ શોધવા માટે,આપણે $y$-અક્ષ પર આ રેખાઓના $y$-અંત:ખંડ શોધીએ છીએ (જ્યાં $x=0$):
$L_1$ માટે: $3(0)+y+2=0 \implies y = -2$.
$L_2$ માટે: $2(0)-3y+5=0 \implies y = 5/3$.
$L_3$ માટે: $0+4y-14=0 \implies y = 14/4 = 7/2$.
આ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું અવલોકન કરતા,બિંદુ $(0, \beta)$ ત્રિકોણની અંદર ત્યારે આવે છે જ્યારે $\beta$ એ $y$-અક્ષ પરના ત્રિકોણના ઊભી રેખાખંડને બાંધતા બે $y$-અંત:ખંડની વચ્ચે હોય.
આલેખ પરથી,$y$-અંત:ખંડ $-2$,$5/3$ અને $7/2$ છે. ત્રિકોણની અંદર $y$-અક્ષ પરનો રેખાખંડ $y = 5/3$ અને $y = 7/2$ ની વચ્ચે આવેલો છે.
આમ,$\beta$ માટેના મૂલ્યોનો ગણ $\left[\frac{5}{3}, \frac{7}{2}\right]$ છે.

(A) બાજુનું સમીકરણ $x+y-2=0$ છે.
શિરોબિંદુ $V(2,-1)$ છે.
શિરોબિંદુ $(2,-1)$ થી રેખા $x+y-2=0$ પરના લંબ અંતર $h$ ને સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ કહેવાય છે.
$h = \frac{|2 + (-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,ઊંચાઈ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ થાય,જ્યાં $a$ બાજુની લંબાઈ છે.
તેથી,$\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$a = \frac{2}{\sqrt{3} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $BC$ છે,જ્યાં $B \equiv (3, 2)$ અને $C \equiv (2, 3)$ છે.
નોંધો કે બિંદુઓ $B(3, 2)$ અને $C(2, 3)$ એ રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,શિરોબિંદુ $A$ એ $BC$ ના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ. $(3, 2)$ અને $(2, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક રેખા $y = x$ છે.
આખી રચના રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,રેખા $AC$ એ રેખા $AB$ નું રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ છે.
રેખા $3y = 2x$ નું $y = x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $x$ અને $y$ ની અદલાબદલી કરીએ છીએ.
$x$ ની જગ્યાએ $y$ અને $y$ ની જગ્યાએ $x$ મૂકતા,આપણને $3x = 2y$ મળે છે,જે $2y = 3x$ છે.
આમ,રેખા $AC$ નું સમીકરણ $2y = 3x$ છે.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 2x + 3y - 1 = 0$,$L_2: x + 2y - 1 = 0$ અને $L_3: ax + by - 1 = 0$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ લંબકેન્દ્ર છે.
$L_1$ અને $L_2$ ના છેદબિંદુમાંથી $L_3$ પરનો વેધ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $(-1, 1)$ મળે છે.
$(-1, 1)$ અને $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x + y = 0$ છે.
આ રેખા $L_3$ ને લંબ હોવાથી,$L_3$ નો ઢાળ $-a/b$ છે.
$x + y = 0$ નો ઢાળ $-1$ છે. તેથી,$(-a/b) \times (-1) = -1$,જેનો અર્થ છે કે $a/b = -1$,એટલે કે $a = -b$.
આ જ રીતે,$L_2$ અને $L_3$ ના છેદબિંદુમાંથી $L_1$ પરનો વેધ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
ગણતરી કરતા $a = -8$ અને $b = 8$ મળે છે.

(D) કારણ કે $BD=2 \sqrt{2}$,તેથી $OB=OD=\sqrt{2}$.
આપેલ છે કે $(3,4)$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $C=(5,6)$.
આમ,$OA=OC=\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{4+4}=2 \sqrt{2}$.
$\triangle AOB$ માં,$OA^2+OB^2=AB^2$,તેથી $AB^2=(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=8+2=10$,જેનો અર્થ છે કે $AB=\sqrt{10}$.
કારણ કે $O(3,4)$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\alpha+\gamma=6$ અને $\beta+\delta=8$.
વળી,$OB^2=(\alpha-3)^2+(\beta-4)^2=2$ અને $OD^2=(\gamma-3)^2+(\delta-4)^2=2$.
કારણ કે $ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે,$AB=BC=CD=DA=\sqrt{10}$.
$CD^2=10$ માટે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(\gamma-5)^2+(\delta-6)^2=10$ મળે છે.
$\alpha < \delta < \gamma < \beta$ શરત સાથે $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ માટેના સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $\beta-\delta=-2\alpha+6$ મળે છે.
અંતે,$\beta+\gamma-\delta=(\beta-\delta)+\gamma=(-2\alpha+6)+(6-\alpha)=-3\alpha+12$.

(C) બાજુ $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{8-7}{-7-4} = \frac{1}{-11} = -\frac{1}{11}$ છે.
લંબદ્વિભાજક એ $AB$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m$ એ $m \times m_{AB} = -1$ મુજબ $m = 11$ થશે.
બાજુ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $D$ એ $\left(\frac{4+(-7)}{2}, \frac{7+8}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{15}{2}\right)$ છે.
બિંદુ $D\left(-\frac{3}{2}, \frac{15}{2}\right)$ માંથી પસાર થતી અને $m=11$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - \frac{15}{2} = 11\left(x - (-\frac{3}{2}\right))$
$y - \frac{15}{2} = 11\left(x + \frac{3}{2}\right)$
$y - \frac{15}{2} = 11x + \frac{33}{2}$
$11x - y + \frac{33}{2} + \frac{15}{2} = 0$
$11x - y + \frac{48}{2} = 0$
$11x - y + 24 = 0$.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h$ એ શિરોબિંદુ $(2,1)$ થી રેખા $x+y-2=0$ પરનું લંબ અંતર છે.
$h = \frac{|2+1-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ હોવાથી,$a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
તેથી,$a \sqrt{2} = \sqrt{\frac{2}{3}} \times \sqrt{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
પાયાનો ઢાળ $m = -1$ છે. ધારો કે બાકીની બે બાજુઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
પાયા અને બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે.
$\tan 60^\circ = |\frac{m_1 - (-1)}{1 + m_1(-1)}| = |\frac{m_1+1}{1-m_1}| = \sqrt{3}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\frac{m_1+1}{1-m_1} = \sqrt{3}$ ઉકેલતા $m_1 = 2-\sqrt{3}$ મળે છે.
$\frac{m_1+1}{1-m_1} = -\sqrt{3}$ ઉકેલતા $m_2 = 2+\sqrt{3}$ મળે છે.
તેથી $|m_1-m_2| = 2\sqrt{3}$.
અંતે,$|m_1-m_2| + a\sqrt{2} = 2\sqrt{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ બાજુઓ $a = 4 \text{ cm}$,$b = 5 \text{ cm}$,અને $c = 7 \text{ cm}$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ ની ગણતરી કરો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ cm}$.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$= \sqrt{8(8 - 4)(8 - 5)(8 - 7)}$
$= \sqrt{8 \times 4 \times 3 \times 1}$
$= \sqrt{96}$
$= 4 \sqrt{6} \text{ cm}^2$.

(B) આપેલ છે કે પરિમિતિ $2s = 16 \text{ cm}$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = 8 \text{ cm}$.
ધારો કે બાજુઓ $a, b, c$ છે. $a = 6 \text{ cm}$ અને ક્ષેત્રફળ $\Delta = 12 \text{ cm}^2$ આપેલ છે.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$.
$144 = 8(8-6)(8-b)(8-c)$.
$144 = 16(8-b)(8-c) \Rightarrow 9 = (8-b)(8-c)$.
$a+b+c = 16$ અને $a=6$ હોવાથી,$b+c = 10$,એટલે કે $c = 10-b$.
સમીકરણમાં $c$ ની કિંમત મૂકતા: $9 = (8-b)(8-(10-b))$.
$9 = (8-b)(b-2)$.
$b^2 - 10b + 25 = 0$.
$(b-5)^2 = 0 \Rightarrow b = 5$.
$b=5$ હોવાથી,$c = 10-5 = 5$.
બે બાજુઓ સમાન $(b=c=5)$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.

(B) આ પ્રદેશ $x=4$,$y=-4$ અને $y=x$ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ મેળવવા માટે,આપણે આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $x=4$ અને $y=x$ નું છેદબિંદુ $B(4, 4)$ છે.
$2$. $y=-4$ અને $y=x$ નું છેદબિંદુ $A(-4, -4)$ છે.
$3$. $x=4$ અને $y=-4$ નું છેદબિંદુ $C(4, -4)$ છે.
આ પ્રદેશ એક કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A(-4, -4)$,$B(4, 4)$ અને $C(4, -4)$ છે.
પાયા $AC$ ની લંબાઈ $(-4, -4)$ અને $(4, -4)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|4 - (-4)| = 8$ એકમ છે.
વેધ $BC$ ની લંબાઈ $(4, -4)$ અને $(4, 4)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|4 - (-4)| = 8$ એકમ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32$ ચોરસ એકમ.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ધારો કે બાજુઓ $a = 2 \sqrt{2}$,$b = 5$ છે અને ત્રીજી બાજુ $p$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $p$ કર્ણ હોય,તો પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$p^2 = a^2 + b^2$.
$p^2 = (2 \sqrt{2})^2 + 5^2 = 8 + 25 = 33$.
તેથી,$p = \sqrt{33}$.
કિસ્સો $2$: જો $5$ કર્ણ હોય,તો $p^2 + a^2 = 5^2$.
$p^2 + 8 = 25 \Rightarrow p^2 = 17$.
તેથી,$p = \sqrt{17}$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $\sqrt{17}$ હોવાથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $O(1, 1)$ પરિકેન્દ્ર છે. $AC$ નો લંબદ્વિભાજક $O(1, 1)$ અને મધ્યબિંદુ $P(a, \frac{b+3}{2})$ માંથી પસાર થાય છે. $AC$ નો ઢાળ $\frac{b-3}{a-a}$ છે,જે અવ્યાખ્યાયિત છે (શિરોલંબ રેખા). તેથી,લંબદ્વિભાજક સમક્ષિતિજ છે: $y = \frac{b+3}{2} = 1$ $\Rightarrow b+3=2$ $\Rightarrow b=-1$.
આકૃતિ પરથી,$OP$ નો ઢાળ $\frac{\frac{b+3}{2}-1}{a-1} = -\frac{a-a}{b-3} = 0$ છે. આ સૂચવે છે કે $\frac{b+3}{2} = 1$,તેથી $b=-1$.
$OQ \perp AB$ નો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $Q$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{a+b}{2}, 4)$ છે,$AB$ નો ઢાળ $\frac{5-3}{b-a} = \frac{2}{b-a}$ છે. $OQ$ નો ઢાળ $\frac{4-1}{\frac{a+b}{2}-1} = \frac{6}{a+b-2}$ છે.
$OQ \perp AB$ હોવાથી,$(\frac{2}{b-a}) \times (\frac{6}{a+b-2}) = -1 \Rightarrow 12 = (a-b)(a+b-2)$.
$b=-1$ મૂકતા: $12 = (a+1)(a-3) = a^2 - 2a - 3$ $\Rightarrow a^2 - 2a - 15 = 0$ $\Rightarrow (a-5)(a+3) = 0$. તેથી $a=5$ અથવા $a=-3$.
$C(a, b)$ ના યામ $(5, -1)$ અને $(-3, -1)$ છે.
ભિન્ન યામો $5, -3, -1$ છે. તેમના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો $|5| + |-3| + |-1| = 5 + 3 + 1 = 9$ થાય.

(B) રેખાઓ $L_1: x=2$,$L_2: y=3$,અને $L_3: 4x+3y+7=0$ છે.
શિરોબિંદુઓ છેદબિંદુઓ દ્વારા મળે છે:
$A = L_2 \cap L_3: y=3$ $\Rightarrow 4x+9+7=0$ $\Rightarrow 4x=-16$ $\Rightarrow x=-4$. તેથી $A=(-4, 3)$.
$B = L_1 \cap L_2: x=2, y=3$. તેથી $B=(2, 3)$.
$C = L_1 \cap L_3: x=2$ $\Rightarrow 8+3y+7=0$ $\Rightarrow 3y=-15$ $\Rightarrow y=-5$. તેથી $C=(2, -5)$.
બાજુઓની લંબાઈ $c = AB = 6$,$a = BC = 8$,અને $b = AC = 10$ છે.
અંતઃકેન્દ્ર $I = \left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}\right) = \left(\frac{8(-4)+10(2)+6(2)}{24}, \frac{8(3)+10(3)+6(-5)}{24}\right) = (0, 1)$.
ત્રિકોણ $ABC$ એ $B(2, 3)$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પરિકેન્દ્ર $S$ એ કર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$S = \left(\frac{-4+2}{2}, \frac{3-5}{2}\right) = (-1, -1)$.
અંતર $IS = \sqrt{(0-(-1))^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, a)$,$B(2a, 0)$ અને $C(x_1, y_1)$ છે.
એક બાજુ આડી રેખા છે અને તે $X$-અક્ષ નથી,તેથી બાજુ $AC$ આડી હોવી જોઈએ.
તેથી,$C$ નો $y$-યામ $A$ ના $y$-યામ જેટલો હોવો જોઈએ,એટલે કે $y_1 = a$.
ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી $AC = BC$ લેતા,
$AC^2 = BC^2 \Rightarrow x_1^2 = (x_1 - 2a)^2 + a^2$.
$x_1^2 = x_1^2 - 4ax_1 + 4a^2 + a^2$.
$4ax_1 = 5a^2 \Rightarrow x_1 = \frac{5a}{4}$.
આમ,$x_1 + y_1 = \frac{5a}{4} + a = \frac{9a}{4}$.

(A) રેખા $L_1$ એ $(2,1)$ અને $(3, \frac{5}{2})$ માંથી પસાર થાય છે.
$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{\frac{5}{2} - 1}{3 - 2} = \frac{3}{2}$ છે.
$L_1$ નું સમીકરણ $(y - 1) = \frac{3}{2}(x - 2)$ એટલે કે $3x - 2y = 4$ છે.
રેખા $L_2$ એ $L_1$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_2 = -\frac{2}{3}$ છે.
$L_2$ એ $(4, -1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $(y + 1) = -\frac{2}{3}(x - 4)$ એટલે કે $2x + 3y = 5$ છે.
$L_1$ એ $y$-અક્ષને $(0, -2)$ બિંદુએ છેદે છે.
$L_2$ એ $y$-અક્ષને $(0, \frac{5}{3})$ બિંદુએ છેદે છે.
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $(\frac{22}{13}, \frac{7}{13})$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times |\frac{5}{3} - (-2)| \times |\frac{22}{13}| = \frac{121}{39}$.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ: $\alpha x + \beta y + \sqrt{\alpha \beta} = 0$.
સમીકરણને $-\sqrt{\alpha \beta}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\alpha x}{-\sqrt{\alpha \beta}} + \frac{\beta y}{-\sqrt{\alpha \beta}} = 1$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}} x + \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}} y = -1$.
$x$-અંતઃખંડ $a = -\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$ છે અને $y$-અંતઃખંડ $b = -\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$ છે.
યામ અક્ષો સાથે રેખા દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $Area = \frac{1}{2} |ab|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Area = \frac{1}{2} |(-\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}) \times (-\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}})| = \frac{1}{2} |1| = \frac{1}{2}$ ચોરસ એકમ.
ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2}$ હોવાથી,જે $\alpha$ અને $\beta$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી રેખા યામ અક્ષો સાથે અચળ ક્ષેત્રફળનો ત્રિકોણ બનાવે છે.

(C) $AB$ ના લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{3}$ છે. તેથી,$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = -\frac{1}{m_1} = \frac{3}{2}$ છે.
$AB$ એ $A(3,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y-2 = \frac{3}{2}(x-3) \Rightarrow 3x-2y-5=0$ છે.
$AB$ અને તેના લંબદ્વિભાજક $2x+3y+1=0$ નું છેદબિંદુ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $E$ આપે છે. $3x-2y-5=0$ અને $2x+3y+1=0$ ઉકેલતા,આપણને $E(1,-1)$ મળે છે.
ધારો કે $B(x_1, y_1)$ છે. $E$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{x_1+3}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = -1$ અને $\frac{y_1+2}{2} = -1 \Rightarrow y_1 = -4$. તેથી,$B(-1,-4)$.
$AC$ ના લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{2}$ છે. તેથી,$AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = -\frac{1}{m_2} = 2$ છે.
$AC$ એ $A(3,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y-2 = 2(x-3) \Rightarrow 2x-y-4=0$ છે.
$AC$ અને તેના લંબદ્વિભાજક $x+2y-12=0$ નું છેદબિંદુ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $D$ આપે છે. $2x-y-4=0$ અને $x+2y-12=0$ ઉકેલતા,આપણને $D(4,4)$ મળે છે.
ધારો કે $C(x_2, y_2)$ છે. $D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{x_2+3}{2} = 4 \Rightarrow x_2 = 5$ અને $\frac{y_2+2}{2} = 4 \Rightarrow y_2 = 6$. તેથી,$C(5,6)$.
$BC$ નો ઢાળ $\frac{6-(-4)}{5-(-1)} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ છે.

(A) કર્ણનું સમીકરણ $3x + 4y = 4$ છે,જેને $y = -\frac{3}{4}x + 1$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,કર્ણનો ઢાળ $m_1 = -\frac{3}{4}$ છે.
ધારો કે બાકીની બે બાજુઓના ઢાળ $m$ છે.
સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,કર્ણ અને અન્ય બે બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)} \right| = 1$.
$1 = \left| \frac{4m + 3}{4 - 3m} \right|$.
આના બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\frac{4m + 3}{4 - 3m} = 1$ $\Rightarrow 4m + 3 = 4 - 3m$ $\Rightarrow 7m = 1$ $\Rightarrow m = \frac{1}{7}$.
કિસ્સો $2$: $\frac{4m + 3}{4 - 3m} = -1$ $\Rightarrow 4m + 3 = -4 + 3m$ $\Rightarrow m = -7$.
તેથી,બાકીની બે બાજુઓના ઢાળ $\frac{1}{7}$ અને $-7$ છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે રેખાઓના સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલીએ છીએ:
$1$. શિરોબિંદુ $A$ માટે,$x+3y-4=0$ અને $3x+y-4=0$ ઉકેલો:
પ્રથમ સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા,આપણને $3x+9y-12=0$ મળે છે.
તેમાંથી $3x+y-4=0$ બાદ કરતા,આપણને $8y-8=0$ મળે છે,તેથી $y=1$. $y=1$ ને $x+3(1)-4=0$ માં મૂકતા,આપણને $x=1$ મળે છે. આમ,$A = (1, 1)$.
$2$. શિરોબિંદુ $B$ માટે,$x+3y-4=0$ અને $x+y-4=0$ ઉકેલો:
પ્રથમમાંથી બીજું બાદ કરતા,આપણને $2y=0$ મળે છે,તેથી $y=0$. $y=0$ ને $x+y-4=0$ માં મૂકતા,આપણને $x=4$ મળે છે. આમ,$B = (4, 0)$.
$3$. શિરોબિંદુ $C$ માટે,$3x+y-4=0$ અને $x+y-4=0$ ઉકેલો:
પ્રથમમાંથી બીજું બાદ કરતા,આપણને $2x=0$ મળે છે,તેથી $x=0$. $x=0$ ને $x+y-4=0$ માં મૂકતા,આપણને $y=4$ મળે છે. આમ,$C = (0, 4)$.
હવે,બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી કરો:
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(0-4)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$CA = \sqrt{(1-0)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$
કારણ કે $AB = CA = \sqrt{10}$,તેથી આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) બિંદુઓ $(3,0)$ અને $(1, 4/3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ:
$y - 0 = \frac{4/3 - 0}{1 - 3}(x - 3)$
$y = -\frac{2}{3}(x - 3) \Rightarrow 2x + 3y = 6$ (સમીકરણ $i$)
રેખા $L$ નો ઢાળ $m_1 = -2/3$ છે. તેને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = 3/2$ થાય.
$(8,1)$ માંથી પસાર થતી અને $3/2$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 1 = \frac{3}{2}(x - 8) \Rightarrow 3x - 2y = 22$ (સમીકરણ $ii$)
સમીકરણ $i$ અને $ii$ નો છેદબિંદુ $(6, -2)$ મળે છે.
રેખા $2x + 3y = 6$ એ $Y$-અક્ષને $(0, 2)$ પર છેદે છે.
રેખા $3x - 2y = 22$ એ $Y$-અક્ષને $(0, -11)$ પર છેદે છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(6, -2)$,$(0, 2)$ અને $(0, -11)$ છે.
$Y$-અક્ષ પરનો પાયો $|2 - (-11)| = 13$ છે અને વેધ $6$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 13 \times 6 = 39 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 7x+y-24=0$ અને $L_2: x+7y-24=0$ છે. ઢાળ $m_1 = -7$ અને $m_2 = -\frac{1}{7}$ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની સમાન બાજુઓ હોવાથી,ત્રીજી બાજુ $L_1$ અને $L_2$ સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે ત્રીજી બાજુનો ઢાળ $m$ છે. તો $\left| \frac{m - (-7)}{1 + m(-7)} \right| = \left| \frac{m - (-1/7)}{1 + m(-1/7)} \right|$.
$\left| \frac{m+7}{1-7m} \right| = \left| \frac{7m+1}{7-m} \right|$.
કિસ્સો $1$: $\frac{m+7}{1-7m} = \frac{7m+1}{7-m} \Rightarrow 48m^2 = -48$ (વાસ્તવિક ઉકેલ નથી).
કિસ્સો $2$: $\frac{m+7}{1-7m} = -\frac{7m+1}{7-m}$ $\Rightarrow 50m^2 = 50$ $\Rightarrow m = \pm 1$.
$m = -1$ માટે,$(-1, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x+y=0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{-2-1}{3-2} = -3 = m_1$.
$AB \perp BC$ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{1}{3}$ થાય.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{b - (-2)}{a - 3} = \frac{b+2}{a-3} = \frac{1}{3}$.
$3(b+2) = a-3$ $\Rightarrow 3b + 6 = a - 3$ $\Rightarrow a - 3b = 9$ ... $(i)$.
$CD \parallel AB$ હોવાથી,$CD$ નો ઢાળ $m_3 = m_1 = -3$ થાય.
બિંદુઓ $C(a, b)$ અને $P(3, 4)$ એ રેખા $CD$ પર આવેલા છે.
$CP$ નો ઢાળ $= \frac{4-b}{3-a} = -3$.
$4-b = -3(3-a)$ $\Rightarrow 4-b = -9 + 3a$ $\Rightarrow 3a + b = 13$ ... $(ii)$.
$(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $9a + 3b = 39$ ... $(iii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા: $(a - 3b) + (9a + 3b) = 9 + 39$ $\Rightarrow 10a = 48$ $\Rightarrow a = 4.8 = \frac{24}{5}$.
$a = 4.8$ ની કિંમત $(ii)$ માં મુકતા: $3(4.8) + b = 13$ $\Rightarrow 14.4 + b = 13$ $\Rightarrow b = -1.4 = -\frac{7}{5}$.
હવે,$5a + 10b = 5(\frac{24}{5}) + 10(-\frac{7}{5}) = 24 - 14 = 10$.

(D) ધારો કે લંબચોરસ $ABCD$ છે. રેખાઓ $AB: 3x + y - 4 = 0$,$BC: x - ay - 10 = 0$,અને $CD: bx + 2y + 9 = 0$ છે.
$AB \parallel CD$ હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ. $AB$ નો ઢાળ $-3$ છે. $CD$ નો ઢાળ $-\frac{b}{2}$ છે. તેથી,$-\frac{b}{2} = -3 \Rightarrow b = 6$.
$AB \perp BC$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય. $BC$ નો ઢાળ $\frac{1}{a}$ છે. તેથી,$(-3) \times (\frac{1}{a}) = -1 \Rightarrow a = 3$.
હવે,$AB: 3x + y - 4 = 0$ અને $CD: 6x + 2y + 9 = 0$,જેને $3x + y + \frac{9}{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $CD$ વચ્ચેનું અંતર $BC = \frac{|-4 - 9/2|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{17/2}{\sqrt{10}} = \frac{17}{2\sqrt{10}}$ છે.
રેખા $BC$ એ $x - 3y - 10 = 0$ છે. બાજુ $CD$ એ $AB$ ને સમાંતર રેખા છે અને $AD$ એ $BC$ ને સમાંતર રેખા છે. અંતર $CD$ એ સમાંતર રેખાઓ $AD$ અને $BC$ વચ્ચેનું અંતર છે. $AD$ એ $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,અંતર $CD$ એ $(1, 2)$ થી રેખા $BC: x - 3y - 10 = 0$ નું લંબ અંતર છે.
$CD = \frac{|1 - 3(2) - 10|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|1 - 6 - 10|}{\sqrt{10}} = \frac{15}{\sqrt{10}}$.
લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= BC \times CD = \frac{17}{2\sqrt{10}} \times \frac{15}{\sqrt{10}} = \frac{17 \times 15}{2 \times 10} = \frac{255}{20} = \frac{51}{4}$.

(B) ધારો કે બે આપેલા વેધ $L_1: \sqrt{3}x - y + 8 - 4\sqrt{3} = 0$ અને $L_2: \sqrt{3}x + y - 12 - 4\sqrt{3} = 0$ છે.
આ બે વેધનું છેદબિંદુ એ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર છે.
$L_1$ અને $L_2$ નો સરવાળો કરતા: $(\sqrt{3}x - y + 8 - 4\sqrt{3}) + (\sqrt{3}x + y - 12 - 4\sqrt{3}) = 0$.
$2\sqrt{3}x - 4 - 8\sqrt{3} = 0$ $\Rightarrow 2\sqrt{3}x = 4 + 8\sqrt{3}$ $\Rightarrow x = 4 + \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$L_2$ માંથી $L_1$ બાદ કરતા: $(\sqrt{3}x + y - 12 - 4\sqrt{3}) - (\sqrt{3}x - y + 8 - 4\sqrt{3}) = 0$.
$2y - 20 = 0 \Rightarrow y = 10$.
લંબકેન્દ્ર $(4 + \frac{2}{\sqrt{3}}, 10)$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર એક જ હોય છે.
ત્રીજો વેધ આ બિંદુમાંથી પસાર થવો જોઈએ,તેથી વિકલ્પો તપાસતા,ત્રીજા વેધનું સમીકરણ $y = 10$ મળે છે.

(A) $A(3,4)$ માંથી પસાર થતી અને $1$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $L_1$ નું સમીકરણ:
$y - 4 = 1(x - 3) \implies x - y + 1 = 0$.
ધારો કે $AC$ નો ઢાળ $m$ છે. રેખા $BC$ નું સમીકરણ $2x - y + 4 = 0$ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_{BC} = 2$ છે.
$AB = AC$ હોવાથી,$\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. તેથી,પાયાના ખૂણા સમાન છે: $\angle B = \angle C$.
$AC$ (ઢાળ $m$) અને $BC$ (ઢાળ $2$) વચ્ચેનો ખૂણો એ $AB$ (ઢાળ $1$) અને $BC$ (ઢાળ $2$) વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ છે.
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right| = \left| \frac{1 - 2}{1 + (1)(2)} \right| = \frac{1}{3}$.
આના બે કિસ્સા મળે છે:
$1) \frac{m - 2}{1 + 2m} = \frac{1}{3} \implies m = 7$.
$2) \frac{m - 2}{1 + 2m} = -\frac{1}{3} \implies m = 1$.
$m = 1$ એ રેખા $L_1$ $(AB)$ દર્શાવે છે,તેથી $AC$ નો ઢાળ $m = 7$ છે.
$A(3,4)$ માંથી પસાર થતી અને $7$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $AC$ નું સમીકરણ:
$y - 4 = 7(x - 3) \implies 7x - y - 17 = 0$.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: \lambda x+4 y+2=0$,$L_2: 3 x+4 y-3=0$,$L_3: 2 x+\mu y+6=0$,$L_4: 2 x+y+3=0$ છે.
$L_1 \parallel L_2$ હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન થાય: $-\frac{\lambda}{4} = -\frac{3}{4} \Rightarrow \lambda = 3$.
$L_3 \parallel L_4$ હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન થાય: $-\frac{2}{\mu} = -\frac{2}{1} \Rightarrow \mu = 1$.
$a_1 x+b_1 y+c_1=0$,$a_1 x+b_1 y+c_2=0$,$a_2 x+b_2 y+d_1=0$ અને $a_2 x+b_2 y+d_2=0$ રેખાઓ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{|(c_1-c_2)(d_1-d_2)|}{|a_1 b_2 - a_2 b_1|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$L_1: 3x+4y+2=0$,$L_2: 3x+4y-3=0$,$L_3: 2x+y+6=0$,$L_4: 2x+y+3=0$.
$c_1=2, c_2=-3, d_1=6, d_2=3$.
$a_1=3, b_1=4, a_2=2, b_2=1$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{|(2 - (-3))(6 - 3)|}{|(3)(1) - (2)(4)|} = \frac{|5 \times 3|}{|3 - 8|} = \frac{15}{|-5|} = \frac{15}{5} = 3$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $3$ ચોરસ એકમ છે.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $3x - 4y = 6$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનું સમીકરણ $4x + 3y = k$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ રેખાના યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $x = \frac{k}{4}$ અને $y = \frac{k}{3}$ છે.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times |\text{base}| \times |\text{height}|$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{1}{2} \times |\frac{k}{4}| \times |\frac{k}{3}| = 6$.
$|\frac{k^2}{24}| = 6$.
$k^2 = 144$.
$k = \pm 12$.
તેથી,રેખાનું જરૂરી સમીકરણ $4x + 3y = 12$ અથવા $4x + 3y = -12$ છે.

(B) આપેલી રેખા $2x - 3y + 7 = 0$ છે.
આપેલી રેખાને લંબ રેખાનું સમીકરણ $3x + 2y + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય.
અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા: $3x + k = 0 \Rightarrow x = -\frac{k}{3}$.
$x = 0$ લેતા: $2y + k = 0 \Rightarrow y = -\frac{k}{2}$.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_{intercept} \cdot y_{intercept}| = 3$ છે.
$\frac{1}{2} |(-\frac{k}{3}) \cdot (-\frac{k}{2})| = 3$.
$\frac{1}{2} |\frac{k^2}{6}| = 3$.
$|k^2| = 36 \Rightarrow k = \pm 6$.
$k$ ની કિંમત $3x + 2y + k = 0$ માં મૂકતા,આપણને $3x + 2y = \pm 6$ મળે છે.