Problems related to triangle and quadrilateral Questions in Gujarati

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. તેથી,વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = (1, 1)$ છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}, \frac{\beta+\delta}{2}\right)$ છે.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\alpha+\gamma}{2} = 1 \implies \alpha + \gamma = 2$
$\frac{\beta+\delta}{2} = 1 \implies \beta + \delta = 2$
આપણે $2(\alpha + \beta + \gamma + \delta)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સરવાળાની કિંમતો મૂકતા:
$2(\alpha + \gamma + \beta + \delta) = 2(2 + 2) = 2(4) = 8$.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. ધારો કે $P$ એ $AC$ અને $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$P = \left(\frac{\alpha-2}{2}, \frac{\beta-1}{2}\right) = \left(\frac{\gamma+1}{2}, \frac{\delta+0}{2}\right)$
યામોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\alpha-2 = \gamma+1 \Rightarrow \alpha-\gamma = 3 \dots(1)$
$\beta-1 = \delta \Rightarrow \beta-\delta = 1 \dots(2)$
કારણ કે $C(\alpha, \beta)$ એ $2x-y=5$ પર છે,તેથી $2\alpha-\beta=5 \dots(3)$
કારણ કે $D(\gamma, \delta)$ એ $3x-2y=6$ પર છે,તેથી $3\gamma-2\delta=6 \dots(4)$
$(2)$ પરથી,$\delta = \beta-1$. તેને $(4)$ માં મૂકતા:
$3\gamma - 2(\beta-1) = 6 \Rightarrow 3\gamma - 2\beta = 4 \dots(5)$
$(1)$ પરથી,$\gamma = \alpha-3$. તેને $(5)$ માં મૂકતા:
$3(\alpha-3) - 2\beta = 4$ $\Rightarrow 3\alpha - 9 - 2\beta = 4$ $\Rightarrow 3\alpha - 2\beta = 13 \dots(6)$
$(3)$ અને $(6)$ ને ઉકેલતા:
$2\alpha - \beta = 5 \Rightarrow \beta = 2\alpha - 5$
$3\alpha - 2(2\alpha-5) = 13$ $\Rightarrow 3\alpha - 4\alpha + 10 = 13$ $\Rightarrow -\alpha = 3$ $\Rightarrow \alpha = -3$
$\beta = 2(-3) - 5 = -11$
$\gamma = -3-3 = -6$
$\delta = -11-1 = -12$
$|\alpha+\beta+\gamma+\delta| = |-3-11-6-12| = |-32| = 32$

(B) આપેલ છે કે $A = (-1, 0)$ અને $B$ એ ધન $x$-અક્ષ પર છે,ધારો કે $B = (b, 0)$ જ્યાં $b > 0$.
$AB = AC$ અને $\angle A = 120^{\circ}$ હોવાથી,પાયાના ખૂણા $\angle B = \angle C = 30^{\circ}$ થાય.
$\triangle ABC$ માં સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{AB}{\sin 30^{\circ}} = \frac{BC}{\sin 120^{\circ}}$.
$\frac{AB}{1/2} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}$ $\Rightarrow 2AB = 8$ $\Rightarrow AB = 4$.
$A = (-1, 0)$ અને $B = (b, 0)$ હોવાથી,$AB = |b - (-1)| = b + 1 = 4$,તેથી $b = 3$.
આમ,$B = (3, 0)$.
રેખા $BC$ નો ઢાળ $\tan(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\tan 30^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
રેખા $BC$ નું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 3) \Rightarrow x + \sqrt{3}y = 3$ છે.
$x + \sqrt{3}y = 3$ અને $y = x + 3$ ને ઉકેલતા:
$x = y - 3$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $(y - 3) + \sqrt{3}y = 3$ $\Rightarrow y(1 + \sqrt{3}) = 6$ $\Rightarrow y = \frac{6}{\sqrt{3} + 1} = 3(\sqrt{3} - 1)$.
તેથી $x = 3(\sqrt{3} - 1) - 3 = 3\sqrt{3} - 6$.
તેથી $\alpha = 3(\sqrt{3} - 2)$ અને $\beta = 3(\sqrt{3} - 1)$.
$\frac{\beta^4}{\alpha^2} = \frac{[3(\sqrt{3} - 1)]^4}{[3(\sqrt{3} - 2)]^2} = 36$.

(C) ધારો કે $B = (x_1, 14 - 4x_1)$ અને $C = (x_2, \frac{3x_2 - 5}{2})$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$2 = \frac{2x_2 + x_1}{3} \implies 2x_2 + x_1 = 6$ (સમીકરણ $1$)
$-\frac{4}{3} = \frac{2\left(\frac{3x_2 - 5}{2}\right) + (14 - 4x_1)}{3} \implies 3x_2 - 4x_1 = -13$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણો ઉકેલતા $x_2 = 1$ અને $x_1 = 4$ મળે છે.
તેથી,$B = (4, -2)$ અને $C = (1, -1)$.
$BC$ નો ઢાળ $m = -\frac{1}{3}$ છે.
$BC$ નું સમીકરણ: $y + 1 = -\frac{1}{3}(x - 1) \implies x + 3y + 2 = 0$.

(D) $P(1, 2)$ નું $x$-અક્ષની સાપેક્ષ પ્રતિબિંબ $P'(1, -2)$ છે.
$P'(1, -2)$ અને $R(4, 3)$ ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 3 = \frac{3 - (-2)}{4 - 1}(x - 4)$
$y - 3 = \frac{5}{3}(x - 4)$
આ રેખા $x$-અક્ષને $Q$ પર મળે છે,જ્યાં $y = 0$:
$0 - 3 = \frac{5}{3}(x - 4)$
$-9 = 5x - 20$
$5x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{5}$
તેથી,$Q = \left(\frac{11}{5}, 0\right)$.
$PQRS$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,તેના વિકર્ણો $PR$ અને $QS$ એકબીજાને દુભાગે છે.
વિકર્ણ $PR$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 3}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)$ છે.
વિકર્ણ $QS$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{\frac{11}{5} + h}{2}, \frac{0 + k}{2}\right)$ છે.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા:
$\frac{11/5 + h}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow h = 5 - \frac{11}{5} = \frac{14}{5}$
$\frac{k}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow k = 5$
તેથી,$hk^2 = \frac{14}{5} \times 5^2 = 14 \times 5 = 70$.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: x + y = 11$,$L_2: x + 2y = 16$,અને $L_3: 2x + 3y = 29$ છે.
આપણને બિંદુ $\left(\frac{11}{2}, \alpha\right)$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{11}{2}$.
રેખાઓના સમીકરણોમાં $x = \frac{11}{2}$ મૂકતા:
$L_1$ માટે: $\frac{11}{2} + y = 11 \implies y = 5.5 = \frac{11}{2}$.
$L_2$ માટે: $\frac{11}{2} + 2y = 16 \implies 2y = 10.5 \implies y = 5.25 = \frac{21}{4}$.
$L_3$ માટે: $2\left(\frac{11}{2}\right) + 3y = 29 \implies 11 + 3y = 29 \implies 3y = 18 \implies y = 6$.
આ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશમાં $x = \frac{11}{2}$ આગળ,$\alpha$ ની રેન્જ સીમા રેખાઓ સાથેના છેદબિંદુઓ વચ્ચે છે. ન્યૂનતમ કિંમત $\alpha_{\min} = \frac{11}{2}$ અને મહત્તમ કિંમત $\alpha_{\max} = 6$ છે.
તેથી ગુણાકાર $\alpha_{\min} \cdot \alpha_{\max} = \frac{11}{2} \times 6 = 33$ થાય.

(D) રેખા $x+y=1$ એ $x$-અક્ષને $A(1, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $B(0, 1)$ પર છેદે છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
$\triangle AMN$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{4}{9} \times \triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{4}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{9}$.
ભૂમિતિ ઉકેલતા $\lambda = 2$ અને $\lambda = 1/2$ મળે છે.
તેથી,સરવાળો $= 2 + 1/2 = 5/2$.

(D) $1$. $3y-x=2$ અને $x+y=2$ ને ઉકેલતા શિરોબિંદુ $A$ ના યામ $(1, 1)$ મળે છે.
$2$. $B$ અને $C$ એ $x$-અક્ષ પર હોવાથી $(y=0)$,$AB$ અને $AC$ ના સમીકરણોમાં $y=0$ મૂકતા $B = (-2, 0)$ અને $C = (2, 0)$ મળે છે.
$3$. $A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ $x=1$ છે.
$4$. $B$ માંથી $AC$ પરનો વેધ $y=x+2$ છે.
$5$. લંબકેન્દ્ર $P$ એ $x=1$ અને $y=x+2$ નું છેદબિંદુ છે,જે $(1, 3)$ મળે છે.
$6$. $\triangle PBC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$.

(A) ધારો કે રેખાઓ $L_1: y = x + 1$,$L_2: y = 4x - 8$,અને $L_3: y = mx + c$ છે. લંબકેન્દ્ર $H(3, -1)$ છે.
પ્રથમ,$L_1$ અને $L_2$ ઉકેલીને શિરોબિંદુ $P$ શોધો: $x + 1 = 4x - 8$ $\Rightarrow 3x = 9$ $\Rightarrow x = 3$. તેથી $y = 4$. એટલે કે $P = (3, 4)$.
$P$ માંથી $QR$ પરનો વેધ $H(3, -1)$ માંથી પસાર થાય છે. $P$ અને $H$ બંનેનો $x$-યામ $3$ હોવાથી,વેધ શિરોલંબ રેખા $x = 3$ છે. તેથી,$QR$ સમક્ષિતિજ રેખા હોવી જોઈએ,એટલે કે $m = 0$.
રેખા $QR$ એ $y = c$ છે. $H(3, -1)$ લંબકેન્દ્ર હોવાથી,રેખા $QH$ એ $PR$ ને લંબ છે. $PR$ (રેખા $L_2$) નો ઢાળ $4$ છે,તેથી $QH$ નો ઢાળ $-1/4$ થાય.
રેખા $QH$ એ $H(3, -1)$ અને $Q$ માંથી પસાર થાય છે. $Q$ એ $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ છે. $y = x + 1$ અને $y = c \Rightarrow x = c - 1$. તેથી $Q = (c - 1, c)$.
$QH$ નો ઢાળ $= \frac{c - (-1)}{(c - 1) - 3} = \frac{c + 1}{c - 4} = -\frac{1}{4}$.
$4c + 4 = -c + 4$ $\Rightarrow 5c = 0$ $\Rightarrow c = 0$.
તેથી,$m - c = 0 - 0 = 0$.

(A) વિકર્ણ $OB$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = -\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = -(2+\sqrt{3}) = \tan(105^{\circ})$ છે.
વિકર્ણ $OB$ એ $\angle AOC = 90^{\circ}$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$OA$ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનતો ખૂણો $\alpha = 105^{\circ} - 45^{\circ} = 60^{\circ}$ થાય.
તેથી,શિરોબિંદુ $A$ ના યામ $(a \cos 60^{\circ}, a \sin 60^{\circ}) = (\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2})$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ એ બીજા વિકર્ણ $(\sqrt{3}-1)x - (\sqrt{3}+1)y + 8\sqrt{3} = 0$ પર આવેલું છે.
$A$ ના યામ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\sqrt{3}-1)(\frac{a}{2}) - (\sqrt{3}+1)(\frac{\sqrt{3}a}{2}) + 8\sqrt{3} = 0$
$a(\frac{\sqrt{3}-1 - 3 - \sqrt{3}}{2}) = -8\sqrt{3}$
$-2a = -8\sqrt{3} \implies a = 4\sqrt{3}$.
તેથી,$a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 48$.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(2, -1), B(0, 2), C(2, 3)$ અને $D(4, 0)$ છે.
વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ છે.
વિકર્ણ $AC$ નો ઢાળ $(m_1)$ = $\frac{3 - (-1)}{2 - 2} = \frac{4}{0}$,જે અવ્યાખ્યાયિત છે (શિરોલંબ રેખા).
વિકર્ણ $BD$ નો ઢાળ $(m_2)$ = $\frac{0 - 2}{4 - 0} = -\frac{1}{2}$.
એક વિકર્ણ શિરોલંબ હોવાથી,વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = |\frac{1}{m_2}| = 2$ થાય.
તેથી,$\theta = \tan^{-1} 2$.

(B) લંબચોરસની બાજુઓ $x=8, x=10, y=11$ અને $y=12$ રેખાઓ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
આ રેખાઓ $(8, 11), (10, 11), (10, 12)$ અને $(8, 12)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો લંબચોરસ બનાવે છે.
લંબચોરસના વિકર્ણો તેના મધ્યબિંદુએ છેદે છે.
$(8, 11)$ અને $(10, 12)$ ને જોડતા વિકર્ણનું મધ્યબિંદુ:
$M = \left(\frac{8+10}{2}, \frac{11+12}{2}\right) = \left(\frac{18}{2}, \frac{23}{2}\right) = \left(9, \frac{23}{2}\right)$.
આમ,છેદબિંદુ $\left(9, \frac{23}{2}\right)$ છે.

(A) ધારો કે સામસામેના શિરોબિંદુઓ $A(1,3)$ અને $C(5,1)$ છે. $AC$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}) = (3,2)$ છે.
લંબચોરસના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી બીજા વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ પણ $(3,2)$ હશે.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ $B$ અને $D$ એ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ છે. તેઓ $y = 2x + c$ પર હોવાથી,$y_1 = 2x_1 + c$ અને $y_2 = 2x_2 + c$ મળે.
મધ્યબિંદુ $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (3,2)$ હોવાથી,$x_1+x_2 = 6$ અને $y_1+y_2 = 4$ મળે.
$y_1, y_2$ ની કિંમત મૂકતા: $(2x_1+c) + (2x_2+c) = 4 \implies 2(x_1+x_2) + 2c = 4 \implies 12 + 2c = 4 \implies c = -4$.
આમ,રેખા $y = 2x - 4$ છે.
વળી,સદિશ $\vec{AB} = (x_1-1, y_1-3)$ એ $\vec{BC} = (5-x_1, 1-y_1)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
ડોટ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરતા: $(x_1-1)(5-x_1) + (2x_1-7)(5-2x_1) = 0$.
સાદુરૂપ આપતા $x_1^2 - 6x_1 + 8 = 0$ મળે,જેના ઉકેલ $x_1 = 4$ અથવા $x_1 = 2$ છે.
તેથી,શિરોબિંદુઓ $(4,4)$ અને $(2,0)$ છે.

(C) પ્રથમ,$xy+2x+2y+4=0$ સમીકરણના અવયવ પાડો.
$x(y+2)+2(y+2)=0$
$(x+2)(y+2)=0$.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $x=-2$ અને $y=-2$.
ત્રીજી રેખા $x+y+2=0$ આપેલી છે,જેને $y=-x-2$ તરીકે લખી શકાય.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $x=-2$ અને $y=-2$ નું છેદબિંદુ $A(-2, -2)$ છે.
$2$. $x=-2$ અને $y=-x-2$ નું છેદબિંદુ $B(-2, 0)$ છે.
$3$. $y=-2$ અને $y=-x-2$ નું છેદબિંદુ $C(0, -2)$ છે.
આ ત્રિકોણ $A(-2, -2)$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કર્ણ એ $BC$ રેખાખંડ છે જે $(-2, 0)$ અને $(0, -2)$ ને જોડે છે.
કર્ણ $BC$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(0 - (-2))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
કાટકોણ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા એ કર્ણની લંબાઈથી અડધી હોય છે.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{BC}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ એકમ.

(C) પ્રથમ,સમીકરણ $xy + 2x + 2y + 4 = 0$ ના અવયવ પાડો.
$x(y + 2) + 2(y + 2) = 0$
$(x + 2)(y + 2) = 0$.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $x = -2$ અને $y = -2$.
ત્રીજી રેખા $x + y + 2 = 0$ છે.
આ ત્રણ રેખાઓ છેદબિંદુઓ પર ત્રિકોણ બનાવે છે:
$1$. $x = -2$ અને $y = -2$ નું છેદબિંદુ $(-2, -2)$ છે.
$2$. $x = -2$ અને $x + y + 2 = 0$ નું છેદબિંદુ $(-2, 0)$ છે.
$3$. $y = -2$ અને $x + y + 2 = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, -2)$ છે.
આ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણનું મધ્યબિંદુ છે.
કર્ણ $(-2, 0)$ અને $(0, -2)$ ને જોડે છે.
મધ્યબિંદુ = $(\frac{-2 + 0}{2}, \frac{0 - 2}{2}) = (-1, -1)$.

(B) આપેલ રેખા $3x + 4y = 24$ છે.
$X$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$y = 0$ લેતા: $3x = 24 \implies x = 8$. તેથી,$A = (8, 0)$.
$Y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$x = 0$ લેતા: $4y = 24 \implies y = 6$. તેથી,$B = (0, 6)$.
ત્રિકોણ $OAB$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(8, 0)$,અને $B(0, 6)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $OA = 8$,$OB = 6$,અને $AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ છે.
અંતઃકેન્દ્રનું સૂત્ર $(\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c})$ છે.
અહીં,$I_x = \frac{10(0) + 6(8) + 8(0)}{24} = 2$ અને $I_y = \frac{10(0) + 6(0) + 8(6)}{24} = 2$.
તેથી,અંતઃકેન્દ્ર $(2, 2)$ છે.

(C) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $C(x_1, y_1)$ એ રેખા $x + y = 5$ પર છે,તેથી $y_1 = 5 - x_1$.
આમ,$C$ ના યામ $(x_1, 5 - x_1)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $4$ આપેલું હોવાથી,આપણે ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:
$\frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| = 4$
$\frac{1}{2} |2(2 - (5 - x_1)) + 3((5 - x_1) - (-1)) + x_1(-1 - 2)| = 4$
$|2(x_1 - 3) + 3(6 - x_1) - 3x_1| = 8$
$|12 - 4x_1| = 8$
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $12 - 4x_1 = 8 \implies x_1 = 1$. તેથી $y_1 = 4$. એટલે કે $C(1, 4)$.
કિસ્સો $2$: $12 - 4x_1 = -8 \implies x_1 = 5$. તેથી $y_1 = 0$. એટલે કે $C(5, 0)$.
તેથી,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(5, 0)$ અથવા $(1, 4)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $xy+2x+2y+4=0$ ને $(x+2)(y+2)=0$ તરીકે લખી શકાય,જે રેખાઓ $x=-2$ અને $y=-2$ દર્શાવે છે.
ત્રીજી રેખા $x+y+2=0$ આપેલ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલતા:
$1$. $x=-2$ અને $y=-2$ નું છેદબિંદુ $C(-2,-2)$ મળે છે.
$2$. $x=-2$ અને $x+y+2=0$ નું છેદબિંદુ $A(-2,0)$ મળે છે.
$3$. $y=-2$ અને $x+y+2=0$ નું છેદબિંદુ $B(0,-2)$ મળે છે.
શિરોબિંદુઓ $A(-2,0)$,$B(0,-2)$ અને $C(-2,-2)$ છે.
રેખાઓ $x=-2$ અને $y=-2$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\Delta ABC$ એ $C(-2,-2)$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર કર્ણ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોય છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ = $(\frac{-2+0}{2}, \frac{0-2}{2}) = (-1,-1)$.

(C) લંબચોરસના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.
$(1,3)$ અને $(5,1)$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}) = (3,2)$ છે.
બાકીના બે શિરોબિંદુઓ રેખા $y=2x+c$ પર આવેલા હોવાથી,મધ્યબિંદુ $(3,2)$ પણ આ રેખા પર આવેલું હશે.
$y=2x+c$ માં $(3,2)$ મૂકતા,$2 = 2(3) + c$,તેથી $c = -4$.
બાકીના બે શિરોબિંદુઓ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y=2x-4$ છે.
ધારો કે શિરોબિંદુના યામ $(x, 2x-4)$ છે.
લંબચોરસની પાસપાસેની બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,શિરોબિંદુ પર મળતી બાજુઓના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(1,3)$ અને $C(5,1)$ છે. ધારો કે અન્ય શિરોબિંદુઓ $B(x, 2x-4)$ અને $D$ છે. $AB$ નો ઢાળ $\frac{2x-7}{x-1}$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $\frac{2x-5}{x-5}$ છે.
$AB \perp BC$ હોવાથી,$(\frac{2x-7}{x-1})(\frac{2x-5}{x-5}) = -1$.
$(2x-7)(2x-5) = -(x-1)(x-5)$
$4x^2 - 24x + 35 = -x^2 + 6x - 5$
$5x^2 - 30x + 40 = 0$
$x^2 - 6x + 8 = 0$
$(x-4)(x-2) = 0$
તેથી $x=4$ અથવા $x=2$.
જો $x=4$,તો $y=4$. જો $x=2$,તો $y=0$.
શિરોબિંદુઓ $(4,4)$ અને $(2,0)$ છે.
આમ,એક શિરોબિંદુ $(2,0)$ છે.

(A) રેખા $AB$ $(4x+y=1)$ નો ઢાળ $m_1 = -4$ છે. રેખા $BC$ $(3x-4y+1=0)$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{3}{4}$ છે.
ધારો કે $AB$ અને $BC$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે. તો,$\tan \alpha = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{-4 - \frac{3}{4}}{1 + (-4)(\frac{3}{4})} \right| = \frac{19}{8}$.
$AB=AC$ હોવાથી,ત્રિકોણ $ABC$ સમદ્વિબાજુ છે અને $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$ છે.
ધારો કે રેખા $AC$ નો ઢાળ $m$ છે. $AC$ એ $A(2,-7)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y+7 = m(x-2)$ છે.
$AC$ અને $BC$ વચ્ચેનો ખૂણો પણ $\alpha$ છે,તેથી $\tan \alpha = \left| \frac{m - \frac{3}{4}}{1 + m(\frac{3}{4})} \right| = \frac{19}{8}$.
$\frac{4m-3}{4+3m} = \pm \frac{19}{8}$.
કિસ્સો $1$: $m = -4$ (આ $AB$ નો ઢાળ છે).
કિસ્સો $2$: $m = -\frac{52}{89}$.
$m = -\frac{52}{89}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y+7 = m(x-2)$ પરથી:
$52x + 89y + 519 = 0$.

(C) રેખાઓ $L_1: x-2=0$,$L_2: x+y-1=0$,અને $L_3: x-y+3=0$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $x=2, 2+y-1=0 \implies y=-1$. શિરોબિંદુ $A = (2, -1)$.
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x=2, 2-y+3=0 \implies y=5$. શિરોબિંદુ $B = (2, 5)$.
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x+y=1$ અને $x-y=-3$. સરવાળો કરતા $2x=-2 \implies x=-1$. તેથી $-1+y=1 \implies y=2$. શિરોબિંદુ $C = (-1, 2)$.
બાજુઓની લંબાઈ: $c = AB = 6$,$b = AC = 3\sqrt{2}$,$a = BC = 3\sqrt{2}$.
અંતઃકેન્દ્ર $(\alpha, \beta) = (\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c})$.
$\beta = \frac{3\sqrt{2}(-1) + 3\sqrt{2}(5) + 6(-1)}{3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 6} = \frac{12\sqrt{2}-6}{6(\sqrt{2}+1)} = \frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$.

(B) આપેલ રેખાઓ:
$x+y+2=0 \quad \dots(i)$
$2x+y+8=0 \quad \dots(ii)$
$x-y-2=0 \quad \dots(iii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$x=-6, y=4$. તેથી શિરોબિંદુ $(-6, 4)$ છે.
$(i)$ અને $(iii)$ ઉકેલતા:
$x=0, y=-2$. તેથી શિરોબિંદુ $(0, -2)$ છે.
$(ii)$ અને $(iii)$ ઉકેલતા:
$x=-2, y=-4$. તેથી શિરોબિંદુ $(-2, -4)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(-6, 4), B(0, -2), C(-2, -4)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $= -1$ અને $BC$ નો ઢાળ $= 1$ હોવાથી,ત્રિકોણ $B$ આગળ કાટકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર કર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ થાય.
પરિકેન્દ્ર $= \left(\frac{-6-2}{2}, \frac{4-4}{2}\right) = (-4, 0)$.

(D) ધારો કે બાજુઓ $a=BC=5$,$b=CA=6$,અને $c=AB=7$ છે.
શિરોબિંદુ $B$ માંથી બાજુ $AC$ પર દોરેલી મધ્યગા $m_b$ ની લંબાઈનું સૂત્ર:
$m_b = \sqrt{\frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}}$
કિંમતો મૂકતા:
$m_b = \sqrt{\frac{2(5)^2 + 2(7)^2 - (6)^2}{4}}$
$m_b = \sqrt{\frac{2(25) + 2(49) - 36}{4}}$
$m_b = \sqrt{\frac{50 + 98 - 36}{4}}$
$m_b = \sqrt{\frac{112}{4}}$
$m_b = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$

(C) ત્રિકોણની બાજુઓના આપેલા સમીકરણો:
$L_1: 3x+2y-6=0$
$L_2: 2x-3y+6=0$
$L_3: x+2y+2=0$
બિંદુ $P(0, b)$ ત્રિકોણ પર અથવા તેની અંદર હોય તે માટે $b$ ની રેન્જ શોધવા માટે,આપણે $y$-અક્ષ સાથે આ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધીએ ($x=0$ મૂકીને):
$L_1$ માટે: $3(0)+2y-6=0 \implies 2y=6 \implies y=3$
$L_2$ માટે: $2(0)-3y+6=0 \implies -3y=-6 \implies y=2$
$L_3$ માટે: $0+2y+2=0 \implies 2y=-2 \implies y=-1$
આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે ત્રિકોણ આ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલું છે. $P(0, b)$ બિંદુ $y$-અક્ષ પર છે. $y$-અક્ષનો જે ભાગ ત્રિકોણની અંદર આવે છે તે $L_3$ સાથેના છેદબિંદુ $(y=-1)$ થી $L_2$ સાથેના છેદબિંદુ $(y=2)$ સુધીનો છે.
તેથી,$b$ ની રેન્જ $[-1, 2]$ છે.

(D) ધારો કે $C = (x, y)$. $\triangle ABC$ એ $C$ આગળ કાટકોણ ધરાવતો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$AC = BC$ અને $AC \perp BC$ થાય.
$AC^2 = BC^2$ પરથી,$(x-2)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$4x + 4y = 28$,એટલે કે $x + y = 7 \implies y = 7 - x$.
$AC \perp BC$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય: $\left(\frac{y-3}{x-2}\right) \times \left(\frac{y-5}{x-4}\right) = -1$.
$(y-3)(y-5) = -(x-2)(x-4) \implies x^2 + y^2 - 6x - 8y + 23 = 0$.
$y = 7-x$ મુકતા: $x^2 + (7-x)^2 - 6x - 8(7-x) + 23 = 0$.
$2x^2 - 12x + 16 = 0 \implies x^2 - 6x + 8 = 0$.
$(x-2)(x-4) = 0$,તેથી $x = 2$ અથવા $x = 4$.
જો $x = 2$,તો $y = 5$,તેથી $C = (2, 5)$. મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{2+4+2}{3}, \frac{3+5+5}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{13}{3}\right)$.
જો $x = 4$,તો $y = 3$,તેથી $C = (4, 3)$. મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{2+4+4}{3}, \frac{3+5+3}{3}\right) = \left(\frac{10}{3}, \frac{11}{3}\right)$.
વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\left(\frac{10}{3}, \frac{11}{3}\right)$ છે.

(A) સમીકરણ $|x+y|=2$ ને $x+y=2$ અથવા $x+y=-2$ તરીકે લખી શકાય છે.
$x+y=2$ માટે,અક્ષો પરના અંતઃખંડો $(2,0)$ અને $(0,2)$ છે.
$x+y=-2$ માટે,અક્ષો પરના અંતઃખંડો $(-2,0)$ અને $(0,-2)$ છે.
આ ચાર બિંદુઓ $A(0,2)$,$B(2,0)$,$C(0,-2)$,અને $D(-2,0)$ છે.
આ બિંદુઓ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે છે જેના વિકર્ણોની લંબાઈ $d_1 = 4$ ($y$-અક્ષ પર) અને $d_2 = 4$ ($x$-અક્ષ પર) છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ ચોરસ એકમ.

(C) ધારો કે $A(-2, 2)$,$B(2, -2)$ અને $C(1, 1)$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(1 - 2)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$
$AC = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
અહીં $BC = AC = \sqrt{10}$ હોવાથી,ત્રિકોણની બે બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,$\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) ધારો કે રેખાઓ $L_1: x-y+3=0$,$L_2: 2x-y+3=0$,$L_3: 3x-y+2=0$,અને $L_4: x+y-3=0$ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણને $3$ એવી રેખાઓ જોઈએ જે સંગામી ન હોય અને સમાંતર ન હોય.
કોઈપણ $3$ રેખાઓ માટે સમીકરણો ઉકેલીને સંગામી છે કે નહીં તે તપાસો.
$L_1, L_2, L_3$ ને ઉકેલતા: $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $(-0, 3)$ છે. $L_3$ માં મૂકતા: $3(0)-3+2 = -1 \neq 0$. તેથી,તેઓ સંગામી નથી.
$4$ માંથી $3$ રેખાઓના તમામ સંયોજનો તપાસતા ($^4C_3 = 4$ સંયોજનો):
$1$. $(L_1, L_2, L_3)$: ઢાળ $1, 2, 3$ છે. કોઈ બે રેખાઓ સમાંતર નથી. તેઓ ત્રિકોણ બનાવે છે.
$2$. $(L_1, L_2, L_4)$: ઢાળ $1, 2, -1$ છે. તેઓ ત્રિકોણ બનાવે છે.
$3$. $(L_1, L_3, L_4)$: ઢાળ $1, 3, -1$ છે. તેઓ ત્રિકોણ બનાવે છે.
$4$. $(L_2, L_3, L_4)$: ઢાળ $2, 3, -1$ છે. તેઓ ત્રિકોણ બનાવે છે.
કોઈપણ ત્રણ રેખાઓ સંગામી ન હોવાથી,કુલ $4$ ત્રિકોણ બને છે.

(C) ત્રિકોણનો પાયો બિંદુઓ $(2,0)$ અને $(0,2)$ ને જોડતો રેખાખંડ છે. પાયાની લંબાઈ $\sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$ છે.
ત્રીજો શિરોબિંદુ રેખા $y=2$ પર આવેલો છે. ધારો કે શિરોબિંદુ $(x, 2)$ છે.
આકૃતિ પરથી,શિરોબિંદુ $(2,2)$ છે. પાયા (રેખા $x+y=2$) થી શિરોબિંદુ $(2,2)$ સુધીની ઊંચાઈ એ $(2,2)$ થી $x+y-2=0$ સુધીનું લંબ અંતર છે,જે $h = \frac{|2+2-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{2}) \times \sqrt{2} = 2$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે રેખા $OA$ એ $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. $ABOC$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,વિકર્ણ $OA$ એ $\angle BOC$ ને દુભાગે છે. રેખા $OB$ એ $y = \frac{4}{3}x$ છે,તેથી ઢાળ $\frac{4}{3}$ છે,એટલે કે $\tan(2\theta) = \frac{4}{3}$.
$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} = \frac{4}{3}$ મળે.
ધારો કે $\tan\theta = m$. તો $3(2m) = 4(1-m^2)$ $\Rightarrow 6m = 4 - 4m^2$ $\Rightarrow 4m^2 + 6m - 4 = 0$ $\Rightarrow 2m^2 + 3m - 2 = 0$.
$m$ માટે ઉકેલતા,$(2m-1)(m+2) = 0$,તેથી $m = \frac{1}{2}$ (કારણ કે $\theta$ લઘુકોણ છે).
આમ,$OA$ નો ઢાળ $\frac{1}{2}$ છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $-2$ છે.
રેખા $BC$ એ $\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $-2$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - \frac{2}{3} = -2(x - \frac{2}{3}) \Rightarrow y = -2x + 2$ અથવા $2x + y = 2$ છે.
$B$ એ $y = \frac{4}{3}x$ અને $2x + y = 2$ પર છે,તેથી $2x + \frac{4}{3}x = 2$ $\Rightarrow \frac{10}{3}x = 2$ $\Rightarrow x = \frac{3}{5}, y = \frac{4}{5}$. તેથી $B = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$.
$C$ એ $y = 0$ અને $2x + y = 2$ પર છે,તેથી $2x = 2 \Rightarrow x = 1$. તેથી $C = (1, 0)$.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{\frac{3}{5} + 1}{2}, \frac{\frac{4}{5} + 0}{2}\right) = \left(\frac{8/5}{2}, \frac{4/5}{2}\right) = \left(\frac{4}{5}, \frac{2}{5}\right)$ છે.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0,3)$,$B(-2,0)$ અને $C(6,1)$ છે.
ત્રિકોણની બાજુઓની રેખાઓના સમીકરણો:
રેખા $AB$: $3x - 2y + 6 = 0$.
રેખા $BC$: $x - 8y + 2 = 0$.
રેખા $AC$: $x + 3y - 9 = 0$.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(\alpha, \alpha+1)$ છે. $P$ ત્રિકોણની અંદર રહે તે માટે,તે રેખા $y = x+1$ અને ત્રિકોણની બાજુઓના છેદબિંદુઓ વચ્ચે હોવું જોઈએ.
$AC$ સાથે છેદબિંદુ: $\alpha = \frac{3}{2}$.
$BC$ સાથે છેદબિંદુ: $\alpha = -\frac{6}{7}$.
તેથી,$\alpha$ એ $\left(\frac{-6}{7}, \frac{3}{2}\right)$ અંતરાલમાં હોવું જોઈએ.

(C) ધારો કે $G$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ મધ્યગા $AD$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
આપેલ છે કે $AD = 4$,તેથી $AG = \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3}$ અને $GD = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}$.
$\triangle ABG$ માં,$\angle GAB = \frac{\pi}{6}$ અને $\angle GBA = \frac{\pi}{3}$ છે.
તેથી,$\angle AGB = \pi - (\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
આમ,$\triangle ABG$ એ $G$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$\triangle ABG$ માં,$\tan(\angle GBA) = \frac{AG}{BG} \implies \tan(\frac{\pi}{3}) = \frac{8/3}{BG}$.
$BG = \frac{8/3}{\sqrt{3}} = \frac{8}{3\sqrt{3}}$.
$\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AD \times BG \times \sin(\angle AGB) = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{8}{3\sqrt{3}} \times 1 = \frac{16}{3\sqrt{3}}$.
મધ્યગા $AD$ એ $\triangle ABC$ ને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{Area}(\triangle ABD) = 2 \times \frac{16}{3\sqrt{3}} = \frac{32}{3\sqrt{3}}$ ચોરસ એકમ.

(A) $\triangle ABC$ માં,બાજુઓ $AB$,$BC$ અને $CA$ ના સમીકરણો અનુક્રમે $2x+y=0$,$x+py=q$ અને $x-y=3$ છે. $P(2,3)$ લંબકેન્દ્ર છે.
$1$. $AB$ અને $CA$ ને ઉકેલીને શિરોબિંદુ $A$ મેળવતા:
$2x+y=0 \Rightarrow y=-2x$
$x-y=3$ માં મૂકતા: $x-(-2x)=3$ $\Rightarrow 3x=3$ $\Rightarrow x=1, y=-2$.
તેથી,$A = (1, -2)$.
$2$. $p$ મેળવતા:
$A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ $P(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે.
$AP$ નો ઢાળ = $\frac{3-(-2)}{2-1} = 5$.
$AP \perp BC$ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $-\frac{1}{5}$ થાય.
$BC$ નું સમીકરણ $x+py=q$ છે,તેથી તેનો ઢાળ $-\frac{1}{p}$ છે.
$-\frac{1}{p} = -\frac{1}{5} \Rightarrow p=5$.
$3$. $q$ મેળવતા:
શિરોબિંદુ $B$ એ $AB$ $(2x+y=0)$ અને $BC$ $(x+5y=q)$ નું છેદબિંદુ છે.
$y=-2x$ $\Rightarrow x+5(-2x)=q$ $\Rightarrow -9x=q$ $\Rightarrow x=-\frac{q}{9}, y=\frac{2q}{9}$.
તેથી,$B = \left(-\frac{q}{9}, \frac{2q}{9}\right)$.
$B$ માંથી $AC$ પરનો વેધ $P(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે.
$AC$ નો ઢાળ ($x-y=3$ પરથી) $1$ છે.
$BP \perp AC$ હોવાથી,$BP$ નો ઢાળ $-1$ થાય.
$BP$ નો ઢાળ = $\frac{\frac{2q}{9}-3}{-\frac{q}{9}-2} = \frac{2q-27}{-q-18} = -1$.
$2q-27 = q+18 \Rightarrow q=45$.
$4$. અંતિમ કિંમત:
$p+q = 5+45 = 50$.

(A) આપેલ રેખાઓ $x+y=1$,$x=1$,અને $y=1$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ:
$P(1, 1)$,$A(1, 0)$,અને $B(0, 1)$.
બાજુઓની લંબાઈ:
$a = 1$,$b = 1$,$c = \sqrt{2}$.
અંતઃકેન્દ્રનું સૂત્ર વાપરતા,જવાબ $\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}, 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ મળે છે.

(C) શિરોબિંદુ $(-1, -1)$ થી રેખા $x+y-6=0$ પરના વેધની લંબાઈ $h = \frac{|(-1) + (-1) - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-8|}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં વેધ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ હોવાથી,બાજુ $a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ મળે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{32}{\sqrt{3}}$ ચોરસ એકમ થાય.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે રેખાઓના સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલીએ:
$1$. $x+y-1=0$ અને $x-y-1=0$ નું છેદબિંદુ:
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $2x-2=0$ મળે,તેથી $x=1$. $x=1$ ને $x+y-1=0$ માં મૂકતા $y=0$ મળે. આમ,શિરોબિંદુ $A(1, 0)$ છે.
$2$. $x-y-1=0$ અને $x-3y+3=0$ નું છેદબિંદુ:
પ્રથમમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા $2y-4=0$ મળે,તેથી $y=2$. $y=2$ ને $x-y-1=0$ માં મૂકતા $x=3$ મળે. આમ,શિરોબિંદુ $B(3, 2)$ છે.
$3$. $x-3y+3=0$ અને $x+y-1=0$ નું છેદબિંદુ:
પ્રથમમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા $-4y+4=0$ મળે,તેથી $y=1$. $y=1$ ને $x+y-1=0$ માં મૂકતા $x=0$ મળે. આમ,શિરોબિંદુ $C(0, 1)$ છે.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$G = \left(\frac{1+3+0}{3}, \frac{0+2+1}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, 1\right)$.

(D) બે સમાન બાજુઓના સમીકરણો:
$7x-y+3=0 \quad \dots(i)$
$x+y-3=0 \quad \dots(ii)$
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,ત્રીજી બાજુ એ બે સમાન બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકને લંબ હોય છે.
ધારો કે ત્રીજી બાજુનો ઢાળ $m$ છે. ત્રીજી બાજુ અને $7x-y+3=0$ (ઢાળ $m_1=7$) વચ્ચેનો ખૂણો,ત્રીજી બાજુ અને $x+y-3=0$ (ઢાળ $m_2=-1$) વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ હોય છે.
સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\frac{m-7}{1+7m}| = |\frac{m+1}{1-m}|$
આ સમીકરણ ઉકેલતા આપણને $3m^2 + 8m - 3 = 0$ મળે છે.
$(3m-1)(m+3) = 0$
તેથી,$m = \frac{1}{3}$ અથવા $m = -3$.
અહીં $m$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$m = -3$.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી લંબ રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ છે. તેઓ લંબ હોવાથી અને રેખા $2x + 3y = 6$ સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવતા હોવાથી,$\triangle OAB$ એ કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle AOB = 90^\circ$ અને $OA = OB$ છે.
ધારો કે $OP$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $2x + 3y - 6 = 0$ પરનું લંબ અંતર છે.
$OP = \frac{|2(0) + 3(0) - 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{6}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,કાટખૂણાના શિરોબિંદુથી કર્ણ પરનો વેધ કર્ણને દુભાગે છે અને તે કર્ણની લંબાઈના અડધા જેટલો હોય છે.
તેથી,$OP = AP = BP = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
ત્રિકોણનો પાયો $AB = AP + BP = 2 \times OP = 2 \times \frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times OP$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \left(\frac{12}{\sqrt{13}}\right) \times \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right) = \frac{36}{13}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ રેખાઓ $a_1x \pm b_1y + c_1 = 0$ અને $a_1x \pm b_1y + c_2 = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d_1 = \frac{|6 - (-6)|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ અને $d_2 = \frac{12}{\sqrt{13}}$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = 12/13$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{d_1 d_2}{\sin \theta} = \frac{(12/\sqrt{13}) \times (12/\sqrt{13})}{12/13} = 12$ ચોરસ એકમ.

(A) રેખાઓ $x=0, y=0$ અને $3x+4y=12$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0, 0), B(0, 3)$ અને $C(4, 0)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $a=5, b=4, c=3$ છે.
અંતઃકેન્દ્રનું સૂત્ર $\left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}\right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$I_x = \frac{5(0) + 4(0) + 3(4)}{12} = 1$ અને $I_y = \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{12} = 1$.
તેથી,અંતઃકેન્દ્ર $(1, 1)$ છે.

(C) શિરોબિંદુઓ $A(6,3), B(-6,3)$ અને $C(-6,-3)$ છે. $AB$ સમક્ષિતિજ છે અને $BC$ શિરોલંબ છે,તેથી $\triangle ABC$ એ $B(-6,3)$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$1$. $P$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $P = (\frac{-6-6}{2}, \frac{3-3}{2}) = (-6,0)$. તેથી,$i \rightarrow D$.
$2$. રેખા $AC$ નું સમીકરણ $x = 2y$ છે. $x$-અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ $(y=0)$ $Q(0,0)$ છે. તેથી,$ii \rightarrow A$.
$3$. કાટકોણ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર $R$ એ કાટખૂણો ધરાવતું શિરોબિંદુ છે. અહીં,$R = B(-6,3)$. તેથી,$iii \rightarrow F$.
$4$. મધ્યકેન્દ્ર $S = (\frac{6-6-6}{3}, \frac{3+3-3}{3}) = (-2,1)$. તેથી,$iv \rightarrow C$.
સાચો ક્રમ $D, A, F, C$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $x=0$ ($y$-અક્ષ),$y=0$ ($x$-અક્ષ) અને $3x+4y=12$ છે.
રેખા $3x+4y=12$ ના અંતઃખંડો શોધવા માટે,આપણે તેને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ માં લખીએ:
$\frac{3x}{12} + \frac{4y}{12} = \frac{12}{12} \implies \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$.
આ રેખા $x$-અક્ષને $A(4, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $B(0, 3)$ પર છેદે છે.
$x=0, y=0$ અને $3x+4y=12$ રેખાઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(4, 0)$ અને $B(0, 3)$ છે.
ત્રિકોણનો પાયો $OA = 4$ એકમ છે અને ઊંચાઈ $OB = 3$ એકમ છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ ચોરસ એકમ.

(B) રેખાઓ $3x + y - 4 = 0$ અને $3x + y + k = 0$ સમાંતર છે,જે ચોરસની સામસામેની બાજુઓ દર્શાવે છે. ઢાળ $m_1 = -3$ અને $m_2 = -3$ છે.
બાજુઓ લંબ હોવાથી,બીજી બાજુઓની જોડીનો ઢાળ $m_3 = \frac{1}{3}$ હોવો જોઈએ.
રેખા $x - \alpha y + 10 = 0$ માટે,ઢાળ $\frac{1}{\alpha}$ છે. તેથી,$\frac{1}{\alpha} = \frac{1}{3} \Rightarrow \alpha = 3$.
રેખા $\beta x + 2y + 4 = 0$ માટે,ઢાળ $-\frac{\beta}{2}$ છે. તેથી,$-\frac{\beta}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow \beta = -\frac{2}{3}$.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|k + 4|}{\sqrt{10}}$ છે.
બીજી બાજુઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{16}{\sqrt{10}}$ છે.
ચોરસ હોવાથી,અંતર સમાન હોવું જોઈએ: $|k + 4| = 16$.
તેથી,$\alpha \beta (k + 4)^2 = (3) \left(-\frac{2}{3}\right) (16)^2 = -2 \times 256 = -512$.

(A) ચોરસનું કેન્દ્ર $P(3,7)$ છે અને બાજુની લંબાઈ $4$ છે. વિકર્ણની લંબાઈ $4\sqrt{2}$ છે,તેથી કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર $r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ છે.
એક વિકર્ણ $y=x$ ને સમાંતર છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_1 = 1$ છે. તે $x$-અક્ષ સાથે $\theta_1 = 45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બીજો વિકર્ણ પ્રથમ વિકર્ણને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_2 = -1$ છે અને તેનો ખૂણો $\theta_2 = 135^\circ$ છે.
રેખાના પ્રચલિત સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને,શિરોબિંદુઓના યામ $(x, y) = (3 + r \cos \theta, 7 + r \sin \theta)$ છે.
પ્રથમ વિકર્ણ માટે $(\theta = 45^\circ)$: $(3 \pm 2\sqrt{2} \cos 45^\circ, 7 \pm 2\sqrt{2} \sin 45^\circ) = (3 \pm 2, 7 \pm 2)$,જે બિંદુઓ $(5,9)$ અને $(1,5)$ આપે છે.
બીજા વિકર્ણ માટે $(\theta = 135^\circ)$: $(3 \pm 2\sqrt{2} \cos 135^\circ, 7 \pm 2\sqrt{2} \sin 135^\circ) = (3 \mp 2, 7 \pm 2)$,જે બિંદુઓ $(1,9)$ અને $(5,5)$ આપે છે.
શિરોબિંદુઓ $(1,5), (5,5), (5,9), (1,9)$ છે.
આમ,$\frac{y_1 y_2 y_3 y_4}{x_1 x_2 x_3 x_4} = \frac{5 \times 5 \times 9 \times 9}{1 \times 5 \times 5 \times 1} = \frac{2025}{25} = 81$.

(A) આપેલ રેખાઓ $x=0$ ($y$-અક્ષ),$y=0$ ($x$-અક્ષ) અને $3x+4y=12$ છે.
રેખા $3x+4y=12$ ના અંતઃખંડો શોધવા માટે,આપણે તેને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ માં લખીએ.
સમીકરણને $12$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{3x}{12} + \frac{4y}{12} = \frac{12}{12}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે રેખા $x$-અક્ષને બિંદુ $B(4, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને બિંદુ $A(0, 3)$ પર છેદે છે.
આ રેખાઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ એ $O(0, 0)$,$A(0, 3)$ અને $B(4, 0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ત્રિકોણનો પાયો $OB = 4$ એકમ અને વેધ $OA = 3$ એકમ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ ચોરસ એકમ થાય.