Points related to triangle Questions in Hindi

(A) केंद्रक $G$,लंबकेंद्र $H$ और परिकेंद्र $O$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
मान लीजिए $H = (1, 1)$ और $O = \left( \frac{3}{2}, \frac{3}{4} \right)$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,केंद्रक $G(x, y)$ इस प्रकार है:
$x = \frac{2 \times \frac{3}{2} + 1 \times 1}{2 + 1} = \frac{3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
$y = \frac{2 \times \frac{3}{4} + 1 \times 1}{2 + 1} = \frac{\frac{3}{2} + 1}{3} = \frac{\frac{5}{2}}{3} = \frac{5}{6}$
अतः,केंद्रक $\left( \frac{4}{3}, \frac{5}{6} \right)$ है।

(A) माना शीर्ष $A(2, 3)$,$B(4, 5)$ और $C(-1, 10)$ हैं।
भुजाओं की ढाल की जाँच करने पर:
$AB$ की ढाल = $\frac{5-3}{4-2} = 1$.
$BC$ की ढाल = $\frac{10-5}{-1-4} = -1$.
चूँकि ($AB$ की ढाल) $\times$ ($BC$ की ढाल) = $1 \times (-1) = -1$,इसलिए त्रिभुज $B(4, 5)$ पर समकोण है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
अतः,लंबकेंद्र $H$,$B(4, 5)$ पर स्थित है।
लंबकेंद्र से शीर्ष $A$ की दूरी = $\sqrt{(4-2)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(5, -1)$,$B(-2, 3)$ और $C(x, y)$ हैं। लंबकेंद्र $H(0, 0)$ है।
$AH$ की ढाल $= \frac{-1-0}{5-0} = -\frac{1}{5}$.
चूंकि $BC \perp AH$,इसलिए $BC$ की ढाल $5$ है।
$B(-2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण: $y - 3 = 5(x + 2) \Rightarrow y = 5x + 13$ (समीकरण $i$)।
$BH$ की ढाल $= \frac{3-0}{-2-0} = -\frac{3}{2}$.
चूंकि $AC \perp BH$,इसलिए $AC$ की ढाल $\frac{2}{3}$ है।
$A(5, -1)$ से गुजरने वाली रेखा $AC$ का समीकरण: $y + 1 = \frac{2}{3}(x - 5) \Rightarrow 3y = 2x - 13$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $i$ का मान समीकरण $ii$ में रखने पर:
$3(5x + 13) = 2x - 13$
$15x + 39 = 2x - 13$
$13x = -52 \Rightarrow x = -4$.
$x = -4$ का मान समीकरण $i$ में रखने पर:
$y = 5(-4) + 13 = -7$.
अतः,तीसरा शीर्ष $(-4, -7)$ है।

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(5, 6)$,$B(-1, 4)$ और $C(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि केंद्रक $G = (2, 3)$ है।
त्रिभुज के केंद्रक का सूत्र $G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ है।
मान रखने पर:
$2 = \frac{5 + (-1) + x}{3} \implies 6 = 4 + x \implies x = 2$.
$3 = \frac{6 + 4 + y}{3} \implies 9 = 10 + y \implies y = -1$.
अतः,तीसरा शीर्ष $(2, -1)$ है।

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(8, 6)$,$B(2, -2)$ और $C(8, -2)$ हैं।
चूंकि भुजा $AC$ ऊर्ध्वाधर है (दोनों $x$-निर्देशांक $8$ हैं) और भुजा $BC$ क्षैतिज है (दोनों $y$-निर्देशांक $-2$ हैं),इसलिए यह त्रिभुज $C(8, -2)$ पर समकोण बनाता है।
एक समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
अतः,लंबकेंद्र $C(8, -2)$ है।

(B) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर उसका केंद्रक $(G)$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
दिए गए शीर्ष $A(4, -3)$,$B(3, -2)$ और $C(2, 8)$ हैं।
मान रखने पर:
$G = \left( \frac{4 + 3 + 2}{3}, \frac{-3 - 2 + 8}{3} \right)$
$G = \left( \frac{9}{3}, \frac{3}{3} \right) = (3, 1)$
किसी बिंदु $(x, y)$ की $y$-अक्ष से दूरी $|x|$ होती है।
अतः,केंद्रक $(3, 1)$ की $y$-अक्ष से दूरी $|3| = 3$ इकाई है।

(A) माना लंबकेंद्र $O = (3, -2)$ है।
चूंकि एक भुजा $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए शीर्ष $A$ से इस भुजा पर डाला गया लंब $x$-अक्ष के लंबवत होगा।
$x$-अक्ष पर लंब का पाद $M = (3, 0)$ है।
दूरी $OM = |-2 - 0| = 2$ है।
समबाहु त्रिभुज में,लंबकेंद्र शीर्षलंब को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$\frac{AO}{OM} = \frac{2}{1}$,जिसका अर्थ है $AO = 2 \times OM = 2 \times 2 = 4$ है।
शीर्षलंब की कुल लंबाई $AM = AO + OM = 4 + 2 = 6$ है।
चूंकि शीर्ष $A$,$x$-अक्ष से $6$ इकाई की दूरी पर है और रेखा $x = 3$ पर स्थित है,इसलिए $A$ के निर्देशांक $(3, -6)$ होंगे।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
दिए गए मध्य बिंदु $M_1(0, 1)$,$M_2(1, 1)$ और $M_3(1, 0)$ हैं।
मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{x_1+x_2}{2} = 0, \frac{y_1+y_2}{2} = 1 \implies x_1+x_2 = 0, y_1+y_2 = 2$
$\frac{x_2+x_3}{2} = 1, \frac{y_2+y_3}{2} = 1 \implies x_2+x_3 = 2, y_2+y_3 = 2$
$\frac{x_3+x_1}{2} = 1, \frac{y_3+y_1}{2} = 0 \implies x_3+x_1 = 2, y_3+y_1 = 0$
इन समीकरणों को हल करने पर:
$x$ के लिए: $x_1+x_2=0, x_2+x_3=2, x_3+x_1=2$. जोड़ने पर: $2(x_1+x_2+x_3) = 4 \implies x_1+x_2+x_3 = 2$.
$x_3 = 2, x_1 = 0, x_2 = 0$.
$y$ के लिए: $y_1+y_2=2, y_2+y_3=2, y_3+y_1=0$. जोड़ने पर: $2(y_1+y_2+y_3) = 4 \implies y_1+y_2+y_3 = 2$.
$y_3 = 0, y_1 = 0, y_2 = 2$.
शीर्ष $A(0, 0)$,$B(0, 2)$ और $C(2, 0)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $a = 2\sqrt{2}$,$b = 2$,$c = 2$ है।
अंतःकेंद्र का $x$-निर्देशांक $\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c} = \frac{2\sqrt{2}(0) + 2(0) + 2(2)}{2\sqrt{2} + 2 + 2} = \frac{4}{2\sqrt{2} + 4} = 2 - \sqrt{2}$.

(D) माना परिकेंद्र $O(x, y)$ है। $O$ से प्रत्येक शीर्ष की दूरी समान होती है,इसलिए $OA^2 = OB^2 = OC^2$ है।
$OA^2 = (x-6)^2 + (y-0)^2 = x^2 - 12x + 36 + y^2$
$OB^2 = (x-0)^2 + (y-6)^2 = x^2 + y^2 - 12y + 36$
$OC^2 = (x-7)^2 + (y-7)^2 = x^2 - 14x + 49 + y^2 - 14y + 49 = x^2 + y^2 - 14x - 14y + 98$
$OA^2 = OB^2$ को बराबर करने पर:
$x^2 - 12x + 36 + y^2 = x^2 + y^2 - 12y + 36$
$-12x = -12y \implies x = y$
$OB^2 = OC^2$ को बराबर करने पर:
$x^2 + y^2 - 12y + 36 = x^2 + y^2 - 14x - 14y + 98$
चूँकि $x = y$,$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$2x^2 - 12x + 36 = 2x^2 - 28x + 98$
$16x = 62 \implies x = 3.875$
अतः परिकेंद्र $(3.875, 3.875)$ है।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है।

(B) माना शीर्ष $A(0, 0), B(2, -1)$ और $C(1, 3)$ हैं।
$BC$ की ढाल $= \frac{3 - (-1)}{1 - 2} = -4.$
$A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $\frac{1}{4}$ है।
शीर्षलंब का समीकरण: $x - 4y = 0 \quad (1).$
$AC$ की ढाल $= 3.$
$B$ से $AC$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $-\frac{1}{3}$ है।
शीर्षलंब का समीकरण: $x + 3y = -1 \quad (2).$
समीकरणों को हल करने पर,लंबकेंद्र $\left( -\frac{4}{7}, -\frac{1}{7} \right)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $B = (0, 0)$ और $BC$ का मध्य-बिंदु $(2, 0)$ है।
माना $C = (h, k)$ है। मध्य-बिंदु सूत्र के अनुसार,$\frac{h+0}{2} = 2 \implies h = 4$ और $\frac{k+0}{2} = 0 \implies k = 0$ है। अतः,$C = (4, 0)$ है।
चूँकि $AB = 2$ और $\angle ABC = 60^{\circ}$ है,$A$ के निर्देशांक $(2 \cos 60^{\circ}, 2 \sin 60^{\circ}) = (1, \sqrt{3})$ होंगे।
शीर्षों $A(1, \sqrt{3})$,$B(0, 0)$ और $C(4, 0)$ वाले $\Delta ABC$ का केंद्रक $G$ होगा:
$G = \left(\frac{1+0+4}{3}, \frac{\sqrt{3}+0+0}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(A) मान लीजिए लंबकेंद्र $O(-3, 5)$,केंद्रक $G(3, 3)$ और परिकेंद्र $P(x, y)$ है।
केंद्रक $G$,लंबकेंद्र $O$ और परिकेंद्र $P$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$3 = \frac{2x + 1(-3)}{2+1} \implies 3 = \frac{2x-3}{3} \implies 9 = 2x-3 \implies 2x = 12 \implies x = 6$.
$3 = \frac{2y + 1(5)}{2+1} \implies 3 = \frac{2y+5}{3} \implies 9 = 2y+5 \implies 2y = 4 \implies y = 2$.
अतः,परिकेंद्र $P$ का मान $(6, 2)$ है।

(C) माना $R$ के निर्देशांक $(a, b)$ हैं।
चूंकि त्रिभुज $OPR, PQR$ और $OQR$ के क्षेत्रफल समान हैं,इसलिए बिंदु $R$ त्रिभुज $OPQ$ का केंद्रक (Centroid) है।
त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ के लिए केंद्रक $(a, b)$ के निर्देशांक $\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$ होते हैं।
दिए गए शीर्षों $O(0, 0), P(3, 4)$ और $Q(6, 0)$ का उपयोग करने पर:
$a = \frac{0+3+6}{3} = \frac{9}{3} = 3$
$b = \frac{0+4+0}{3} = \frac{4}{3}$
अतः,$R$ के निर्देशांक $\left( 3, \frac{4}{3} \right)$ हैं।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 1)$,$B(0, -7)$ और $C(-4, 0)$ हैं।
केंद्रक $(G)$ के निर्देशांक का सूत्र:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
मान रखने पर:
$G = \left( \frac{1 + 0 - 4}{3}, \frac{1 - 7 + 0}{3} \right)$
$G = \left( \frac{-3}{3}, \frac{-6}{3} \right) = (-1, -2)$
केंद्रक $(-1, -2)$ की मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी:
$d = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (-2 - 0)^2}$
$d = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
दिए गए मध्य बिंदु $M_1(4, 2), M_2(3, 3)$ और $M_3(2, 2)$ हैं।
मध्य बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का केंद्रक,मूल त्रिभुज के केंद्रक के समान ही होता है।
त्रिभुज का केंद्रक $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मध्य बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज के लिए केंद्रक $\left(\frac{4+3+2}{3}, \frac{2+3+2}{3}\right)$ होगा।
$= \left(\frac{9}{3}, \frac{7}{3}\right) = \left(3, \frac{7}{3}\right)$.

(A) माना शीर्ष $A(-4, 6)$,$B(2, 3)$ और $C(-2, -5)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
भुजा $a = BC = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
भुजा $b = AC = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (-5 - 6)^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.
भुजा $c = AB = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
अंतःकेंद्र $(I)$ का सूत्र $I = \left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a + b + c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a + b + c} \right)$ है।
$x_I = \frac{4\sqrt{5}(-4) + 5\sqrt{5}(2) + 3\sqrt{5}(-2)}{4\sqrt{5} + 5\sqrt{5} + 3\sqrt{5}} = \frac{-12}{12} = -1$.
$y_I = \frac{4\sqrt{5}(6) + 5\sqrt{5}(3) + 3\sqrt{5}(-5)}{4\sqrt{5} + 5\sqrt{5} + 3\sqrt{5}} = \frac{24}{12} = 2$.
अतः,अंतःकेंद्र $(-1, 2)$ है।

(A) रेखा का दिया गया समीकरण $bx + ay = 3ab$ है।
दोनों पक्षों को $3ab$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{bx}{3ab} + \frac{ay}{3ab} = 1$
$\frac{x}{3a} + \frac{y}{3b} = 1$.
यह रेखा का अंतःखंड रूप है,जहाँ $x$-अंतःखंड $3a$ और $y$-अंतःखंड $3b$ है।
अतः,$\Delta OAB$ के शीर्षों के निर्देशांक $O(0, 0)$,$A(3a, 0)$ और $B(0, 3b)$ हैं।
त्रिभुज के केंद्रक $(G)$ का सूत्र $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$G = (\frac{0+3a+0}{3}, \frac{0+0+3b}{3}) = (\frac{3a}{3}, \frac{3b}{3}) = (a, b)$.

(D) माना लंबकेंद्र $H(4, -1)$ और केंद्रक $G(2, 1)$ है।
माना परिकेंद्र $O(x, y)$ है।
हम जानते हैं कि केंद्रक $G$,लंबकेंद्र $H$ और परिकेंद्र $O$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$G = \left( \frac{1 \cdot x_H + 2 \cdot x_O}{1+2}, \frac{1 \cdot y_H + 2 \cdot y_O}{1+2} \right)$.
मान रखने पर: $(2, 1) = \left( \frac{4 + 2x}{3}, \frac{-1 + 2y}{3} \right)$.
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $2 = \frac{4 + 2x}{3} \implies 6 = 4 + 2x \implies 2x = 2 \implies x = 1$.
$y$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $1 = \frac{-1 + 2y}{3} \implies 3 = -1 + 2y \implies 2y = 4 \implies y = 2$.
अतः,परिकेंद्र के निर्देशांक $(1, 2)$ हैं।
चूंकि $(1, 2)$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(C) समीकरण $xy = 0$ दो रेखाओं को दर्शाता है: $x = 0$ ($y$-अक्ष) और $y = 0$ ($x$-अक्ष)।
तीसरी रेखा $x + y = 1$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $x = 0$ और $y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
$2$. $x = 0$ और $x + y = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
$3$. $y = 0$ और $x + y = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ है।
चूंकि रेखाएं $x = 0$ और $y = 0$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
एक समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण स्थित होता है।
अतः,लंबकेंद्र $(0, 0)$ है।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 28$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
शीर्षों $(k, -3k), (5, k), (-k, 2)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} |k(k - 2) + 5(2 - (-3k)) + (-k)(-3k - k)| = 28$
$|5k^2 + 13k + 10| = 56$
स्थिति $1$: $5k^2 + 13k - 46 = 0 \Rightarrow k = 2$ (चूंकि $k$ एक पूर्णांक है)।
शीर्ष $A(2, -6), B(5, 2), C(-2, 2)$ प्राप्त होते हैं।
भुजा $BC$ क्षैतिज है,इसलिए $A$ से शीर्षलंब ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ है।
$AC$ का ढाल $-2$ है,इसलिए $B$ से शीर्षलंब का ढाल $\frac{1}{2}$ है।
$B(5, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x - 2y = 1$ है।
$x = 2$ रखने पर,$y = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबकेंद्र $\left( 2, \frac{1}{2} \right)$ है।

(B) दिया गया है कि लंबकेंद्र $A(-3, 5)$ है और केंद्रक $B(3, 3)$ है।
दूरी $AB = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
केंद्रक $B$,लंबकेंद्र $A$ और परिकेंद्र $C$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,अर्थात $AB:BC = 2:1$.
इसका अर्थ है $AB = \frac{2}{3}AC$,या $AC = \frac{3}{2}AB$.
$AB$ का मान रखने पर,$AC = \frac{3}{2}(2\sqrt{10}) = 3\sqrt{10}$.
$AC$ को व्यास मानकर वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{AC}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$ होगी।
इसे $r = 3\sqrt{\frac{10}{4}} = 3\sqrt{\frac{5}{2}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं। भुजाओं के मध्य बिंदु $M_1(0,1), M_2(1,1), M_3(1,0)$ दिए गए हैं।
मूल त्रिभुज के शीर्ष $B(0,0), A(2,0), C(0,2)$ प्राप्त होते हैं।
भुजाओं की लंबाई $c = AB = 2$,$a = BC = 2$,और $b = AC = 2\sqrt{2}$ है।
अंतःकेंद्र का $x-$ निर्देशांक $I_x = \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $I_x = \frac{2(2) + 2\sqrt{2}(0) + 2(0)}{2 + 2\sqrt{2} + 2} = \frac{4}{4 + 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $I_x = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = 2 - \sqrt{2}$.

(D) माध्यिका $PS$ शीर्ष $P(2,2)$ को भुजा $QR$ के मध्य बिंदु $S$ से जोड़ती है।
$S$ के निर्देशांक $\left(\frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = \left(\frac{13}{2}, 1\right)$ हैं।
$PS$ की ढाल $m = \frac{1-2}{\frac{13}{2}-2} = \frac{-1}{\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $PS$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल भी $m = -\frac{2}{9}$ होगी।
$(1,-1)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{2}{9}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा प्राप्त होता है।
$y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$
$9(y + 1) = -2(x - 1)$
$9y + 9 = -2x + 2$
$2x + 9y + 7 = 0$.

(C) माना $M$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु है। मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए,$M$ के निर्देशांक हैं: $M = \left( \frac{2 - 4}{2}, \frac{2 - 4}{2} \right) = (-1, -1)$.
शीर्ष $C(5, -8)$ और $M(-1, -1)$ के बीच की दूरी:
$CM = \sqrt{(-1 - 5)^2 + (-1 - (-8))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (7)^2} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85}$.

(B) माना परिकेंद्र $O(x, y)$ है और दिए गए शीर्ष $A(2, 1), B(5, 2)$ और $C(3, 4)$ हैं।
परिकेंद्र सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है,इसलिए $OA^2 = OB^2 = OC^2.$
$OA^2 = OB^2$ से: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 5)^2 + (y - 2)^2.$
सरल करने पर: $3x + y = 12$......$(i)$
$OA^2 = OC^2$ से: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2.$
सरल करने पर: $x + 3y = 10$......(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर,हमें $x = \frac{13}{4}$ और $y = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,परिकेंद्र $\left( \frac{13}{4}, \frac{9}{4} \right)$ है।

(D) माना शीर्ष $A(5, -1)$,$B(-2, 3)$ और $C(h, k)$ हैं। लंबकेंद्र $H$ का मान $(0, 0)$ है।
चूंकि $CH \perp AB$,$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{3 - (-1)}{-2 - 5} = -\frac{4}{7}$ है।
शीर्षलंब $CH$ की ढाल $m_{CH} = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{7}{4}$ है।
$CH$ बिंदु $(0, 0)$ और $(h, k)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{k}{h} = \frac{7}{4}$,जिसका अर्थ है $7h - 4k = 0$ ---$(1)$.
इसी प्रकार,$AH \perp BC$ होने के कारण,$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{k - 3}{h + 2}$ है।
शीर्षलंब $AH$ की ढाल $m_{AH} = \frac{0 - (-1)}{0 - 5} = -\frac{1}{5}$ है।
$AH \perp BC$ होने के कारण,$m_{BC} \times m_{AH} = -1$,इसलिए $\left(\frac{k - 3}{h + 2}\right) \times \left(-\frac{1}{5}\right) = -1$.
$\frac{k - 3}{h + 2} = 5$ $\Rightarrow k - 3 = 5h + 10$ $\Rightarrow 5h - k + 13 = 0$ ---$(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर: $(1)$ से,$k = \frac{7h}{4}$. $(2)$ में रखने पर: $5h - \frac{7h}{4} + 13 = 0$.
$\frac{20h - 7h}{4} + 13 = 0$ $\Rightarrow 13h = -52$ $\Rightarrow h = -4$.
तब $k = \frac{7(-4)}{4} = -7$.
अतः,तीसरा शीर्ष $(-4, -7)$ है।

(C) माना रेखाएँ $L_1: 4x - 7y + 10 = 0$,$L_2: x + y - 5 = 0$ और $L_3: 7x + 4y - 15 = 0$ हैं।
रेखाओं की प्रवणता (slope) की जाँच करने पर:
$L_1$ की प्रवणता $(m_1)$ = $4/7$.
$L_2$ की प्रवणता $(m_2)$ = $-1$.
$L_3$ की प्रवणता $(m_3)$ = $-7/4$.
चूँकि $m_1 \times m_3 = (4/7) \times (-7/4) = -1$,रेखाएँ $L_1$ और $L_3$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,इन रेखाओं द्वारा बना त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है,जिसमें समकोण $L_1$ और $L_3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु पर बनता है।
समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
$L_1$ और $L_3$ को हल करने पर:
$4x - 7y = -10$ $(i)$
$7x + 4y = 15$ (ii)
समीकरण $(i)$ को $4$ से और (ii) को $7$ से गुणा करने पर:
$16x - 28y = -40$
$49x + 28y = 105$
दोनों को जोड़ने पर: $65x = 65 \Rightarrow x = 1$.
$x = 1$ को $(i)$ में रखने पर: $4(1) - 7y = -10$ $\Rightarrow -7y = -14$ $\Rightarrow y = 2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2)$ है,जो कि लंबकेंद्र है।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(0, 0)$,$B(3, 4)$ और $C(4, 0)$ हैं।
लंबकेंद्र त्रिभुज के शीर्षलंबों (altitudes) का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।
$1$. $B(3, 4)$ से भुजा $AC$ (जो $x$-अक्ष पर स्थित है,$y=0$) पर डाला गया शीर्षलंब $x=3$ से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। अतः,इस शीर्षलंब का समीकरण $x=3$ है।
$2$. $C(4, 0)$ से भुजा $AB$ पर डाला गया शीर्षलंब $(4, 0)$ से गुजरता है। $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3}$ है। $AB$ के लंबवत शीर्षलंब की ढाल $m_{\perp} = -\frac{3}{4}$ है।
$C$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण $y - 0 = -\frac{3}{4}(x - 4)$ है।
चूंकि लंबकेंद्र $x=3$ पर स्थित है,हम दूसरे शीर्षलंब के समीकरण में $x=3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$y = -\frac{3}{4}(3 - 4) = -\frac{3}{4}(-1) = \frac{3}{4}$.
अतः,लंबकेंद्र के निर्देशांक $\left(3, \frac{3}{4}\right)$ हैं।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज का लंबकेंद्र $(H)$,केंद्रक $(G)$ और परिकेंद्र $(O)$ संरेख होते हैं और केंद्रक $G$,$HO$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$H = (\frac{11}{3}, \frac{4}{3})$ और $O = (-\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ लेने पर।
विभाजन सूत्र का उपयोग करके केंद्रक $G$ के निर्देशांक:
$G = \left( \frac{2(-\frac{1}{3}) + 1(\frac{11}{3})}{3}, \frac{2(\frac{2}{3}) + 1(\frac{4}{3})}{3} \right) = \left( 1, \frac{8}{9} \right)$.
माना $D(h, k)$ भुजा $A$ के सम्मुख मध्य-बिंदु है। केंद्रक $G$,माध्यिका $AD$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$A = (1, 10)$ और $D = (h, k)$ के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$1 = \frac{2h + 1}{3} \implies h = 1$.
$\frac{8}{9} = \frac{2k + 10}{3} \implies k = -\frac{11}{3}$.
अतः,मध्य-बिंदु $D$ के निर्देशांक $(1, -11/3)$ हैं।

(C) माना माध्यिकाएँ $m_1 = 9, m_2 = 12, m_3 = 15$ हैं।
माध्यिकाओं $m_1, m_2, m_3$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \frac{4}{3} \sqrt{s_m(s_m - m_1)(s_m - m_2)(s_m - m_3)}$,जहाँ $s_m = \frac{m_1 + m_2 + m_3}{2}$ है।
यहाँ,$s_m = \frac{9 + 12 + 15}{2} = \frac{36}{2} = 18$ है।
$\text{Area} = \frac{4}{3} \sqrt{18(18 - 9)(18 - 12)(18 - 15)}$
$\text{Area} = \frac{4}{3} \sqrt{18 \times 9 \times 6 \times 3}$
$\text{Area} = \frac{4}{3} \sqrt{2916} = \frac{4}{3} \times 54 = 72 \, cm^2$.

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और शीर्षों $P, Q,$ और $R$ से इसकी दूरियाँ क्रमशः $d_1, d_2,$ और $d_3$ हैं।
माना प्रत्येक कोने से उन्नयन कोण $\theta$ है।
तब,$\tan(\theta) = \frac{h}{d_1} = \frac{h}{d_2} = \frac{h}{d_3}$।
इसका अर्थ है कि $d_1 = d_2 = d_3$।
वह बिंदु जो त्रिभुज के सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है,त्रिभुज का परिकेंद्र कहलाता है।
अतः,मीनार का पाद परिकेंद्र पर स्थित है।

(C) $\Delta ABC$ के शीर्ष $A(4,4), B(8,4), C(4,8)$ हैं।
चूंकि $AB$ क्षैतिज है और $AC$ ऊर्ध्वाधर है,इसलिए $\Delta ABC$ बिंदु $A(4,4)$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
मध्य-बिंदु $P = \frac{A+B}{2} = (6,4)$,$Q = \frac{B+C}{2} = (6,6)$,और $R = \frac{C+A}{2} = (4,6)$ हैं।
$\Delta PQR$ भी $P(6,4)$ पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है क्योंकि $PQ$ ऊर्ध्वाधर है और $PR$ क्षैतिज है।
एक समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण स्थित होता है।
अतः,$\Delta PQR$ का लंबकेंद्र $P(6,4)$ है।
इसलिए,$\alpha = 6$ और $\beta = 4$ है।
$\alpha + \beta = 6 + 4 = 10$ का मान प्राप्त होता है।

(A) एक त्रिभुज में,लंबकेंद्र $H$,केंद्रक $G$ और परिकेंद्र $S$ संरेख होते हैं,और $G$,$HS$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
दिया गया है कि लंबकेंद्र $H = B$ और परिकेंद्र $S = (a, b)$ है।
यदि $A$ मूलबिंदु $(0, 0)$ है,तो केंद्रक $G = \frac{A+B+C}{3} = \frac{0+B+C}{3} = \frac{B+C}{3}$ होगा।
गुणधर्म $G = \frac{H+2S}{3}$ का उपयोग करने पर,$\frac{B+C}{3} = \frac{B+2S}{3}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $B+C = B+2S$,इसलिए $C = 2S$।
चूंकि $S = (a, b)$ है,इसलिए $C$ के निर्देशांक $(2a, 2b)$ हैं।

(B) से होकर जाने वाली माध्यिका $x = 4$ है। चूँकि $C$ इस माध्यिका पर स्थित है,मान लीजिए $C = (4, y)$ है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $D = (\frac{1+4}{2}, \frac{2+y}{2}) = (2.5, \frac{2+y}{2})$ है।
चूँकि $D$,$B$ से होकर जाने वाली माध्यिका $(x + y = 5)$ पर स्थित है,इसलिए $2.5 + \frac{2+y}{2} = 5$ होगा।
$2.5 + 1 + \frac{y}{2} = 5$ $\Rightarrow \frac{y}{2} = 1.5$ $\Rightarrow y = 3$. अतः,$C = (4, 3)$ है।
केंद्रक $G$ माध्यिकाओं $x = 4$ और $x + y = 5$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $x = 4$ को $x + y = 5$ में रखने पर,$4 + y = 5$,जिससे $y = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$G = (4, 1)$ है।
$B$ ज्ञात करने के लिए,केंद्रक सूत्र $G = (\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3})$ का उपयोग करते हैं:
$4 = \frac{1+x_B+4}{3}$ $\Rightarrow 12 = 5 + x_B$ $\Rightarrow x_B = 7$.
$1 = \frac{2+y_B+3}{3}$ $\Rightarrow 3 = 5 + y_B$ $\Rightarrow y_B = -2$. अतः,$B = (7, -2)$ है।
शीर्षों $A(1, 2)$,$B(7, -2)$,और $C(4, 3)$ वाले $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |1(-2 - 3) + 7(3 - 2) + 4(2 - (-2))|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-5 + 7 + 16| = \frac{1}{2} |18| = 9$ वर्ग इकाई।

(D) माना परिकेंद्र $O = (0, 0)$ है।
केंद्रक $G$,$(a^2 + 1, a^2 + 1)$ और $(2a, -2a)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु है।
$G = \left( \frac{a^2 + 1 + 2a}{2}, \frac{a^2 + 1 - 2a}{2} \right) = \left( \frac{(a + 1)^2}{2}, \frac{(a - 1)^2}{2} \right)$.
हम जानते हैं कि लंबकेंद्र $H$,केंद्रक $G$ और परिकेंद्र $O$ संरेख होते हैं,और $G$,$OH$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$G = \frac{1 \cdot H + 2 \cdot O}{1 + 2} = \frac{H}{3}$।
अतः,$H = 3G = \left( \frac{3(a + 1)^2}{2}, \frac{3(a - 1)^2}{2} \right)$।
विकल्प $(d)$ में दिए गए समीकरण में $H$ के निर्देशांक रखने पर:
$(a - 1)^2 \left( \frac{3(a + 1)^2}{2} \right) - (a + 1)^2 \left( \frac{3(a - 1)^2}{2} \right) = 0$।
अतः,लंबकेंद्र इस रेखा पर स्थित है।

(B) मान लीजिए शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ हैं।
शीर्षों $A(-3, 2)$,$B(-2, 1)$ और $C(x_1, y_1)$ वाले त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $G$ इस प्रकार है:
$G = \left( \frac{-3 - 2 + x_1}{3}, \frac{2 + 1 + y_1}{3} \right) = \left( \frac{x_1 - 5}{3}, \frac{y_1 + 3}{3} \right)$
चूंकि केंद्रक रेखा $3x + 4y + 2 = 0$ पर स्थित है,हम $G$ के निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3 \left( \frac{x_1 - 5}{3} \right) + 4 \left( \frac{y_1 + 3}{3} \right) + 2 = 0$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर:
$3(x_1 - 5) + 4(y_1 + 3) + 6 = 0$
$3x_1 - 15 + 4y_1 + 12 + 6 = 0$
$3x_1 + 4y_1 + 3 = 0$
अतः,शीर्ष $C(x_1, y_1)$ रेखा $3x + 4y + 3 = 0$ पर स्थित है।

(B) माना $\Delta ABC$ का तीसरा शीर्ष $C(a, b)$ है।
माना $A(5, -1)$ और $B(-2, 3)$ अन्य दो शीर्ष हैं।
लंबकेंद्र $H(0, 0)$ है।
चूंकि $AH \perp BC$,उनकी प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ होगा:
$\left( \frac{-1 - 0}{5 - 0} \right) \times \left( \frac{b - 3}{a + 2} \right) = -1$
$\Rightarrow b - 3 = 5(a + 2)$ $\Rightarrow 5a - b + 13 = 0 \dots (1)$
इसी प्रकार,चूंकि $BH \perp AC$:
$\left( \frac{3 - 0}{-2 - 0} \right) \times \left( \frac{b + 1}{a - 5} \right) = -1$
$\Rightarrow 3b + 3 = 2a - 10$ $\Rightarrow 2a - 3b - 13 = 0 \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,हमें $a = -4$ और $b = -7$ प्राप्त होता है।
अतः,तीसरा शीर्ष $(-4, -7)$ है।

(B) माना तीसरा शीर्ष $A(h, k)$ है। अन्य दो शीर्ष $B(0, 2)$ और $C(4, 3)$ हैं। लंबकेंद्र $H$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
चूँकि $AH \perp BC$,$AH$ की ढाल $\times BC$ की ढाल $= -1$ है।
$BC$ की ढाल $= \frac{3 - 2}{4 - 0} = \frac{1}{4}$ है।
$AH$ की ढाल $= \frac{k - 0}{h - 0} = \frac{k}{h}$ है।
अतः,$\frac{k}{h} \times \frac{1}{4} = -1 \implies k = -4h$ है।
चूँकि $BH \perp AC$,$BH$ की ढाल $\times AC$ की ढाल $= -1$ है।
$AC$ की ढाल $= \frac{k - 3}{h - 4}$ है।
$BH$ की ढाल $= \frac{2 - 0}{0 - 0}$ अपरिभाषित है (ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 0$)।
अतः,$AC$ एक क्षैतिज रेखा होनी चाहिए,इसलिए $k = 3$ है।
$k = -4h$ में $k = 3$ रखने पर,$3 = -4h$,इसलिए $h = -\frac{3}{4}$ है।
तीसरा शीर्ष $(-\frac{3}{4}, 3)$ है,जो द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।

(C) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 2)$,$B(x_2, y_2)$,और $C(x_3, y_3)$ हैं।
दिया गया है कि भुजाओं $AB$ और $AC$ के मध्य बिंदु क्रमशः $E(-1, 1)$ और $F(2, 3)$ हैं।
$AB$ के लिए मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{x_2 + 1}{2} = -1 \implies x_2 + 1 = -2 \implies x_2 = -3$
$\frac{y_2 + 2}{2} = 1 \implies y_2 + 2 = 2 \implies y_2 = 0$
अतः,$B = (-3, 0)$.
$AC$ के लिए मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{x_3 + 1}{2} = 2 \implies x_3 + 1 = 4 \implies x_3 = 3$
$\frac{y_3 + 2}{2} = 3 \implies y_3 + 2 = 6 \implies y_3 = 4$
अतः,$C = (3, 4)$.
त्रिभुज का केंद्रक $G$ जिसके शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,और $(x_3, y_3)$ हैं,का सूत्र $\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ है।
$G = \left( \frac{1 - 3 + 3}{3}, \frac{2 + 0 + 4}{3} \right) = \left( \frac{1}{3}, \frac{6}{3} \right) = \left( \frac{1}{3}, 2 \right)$.

(B) यदि त्रिभुज $ABC$ के अंदर एक बिंदु $P$ इसे समान क्षेत्रफल वाले तीन त्रिभुजों $APC, APB$ और $BPC$ में विभाजित करता है,तो $P$ त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक (centroid) होना चाहिए।
केंद्रक $P(x, y)$ के निर्देशांक शीर्षों $A(1, 0), B(6, 2)$ और $C(\frac{3}{2}, 6)$ के निर्देशांकों के औसत से प्राप्त होते हैं:
$x = \frac{1 + 6 + 1.5}{3} = \frac{8.5}{3} = \frac{17}{6}$
$y = \frac{0 + 2 + 6}{3} = \frac{8}{3}$
अतः,$P = (\frac{17}{6}, \frac{8}{3})$.
हमें $PQ$ की दूरी ज्ञात करनी है जहाँ $Q = (-\frac{7}{6}, -\frac{1}{3})$ है:
$PQ = \sqrt{(\frac{17}{6} - (-\frac{7}{6}))^2 + (\frac{8}{3} - (-\frac{1}{3}))^2}$
$PQ = \sqrt{(\frac{24}{6})^2 + (\frac{9}{3})^2}$
$PQ = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

(N/A) माना $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा $2a$ है।
चूंकि आधार $BC$,$y$-अक्ष पर स्थित है और इसका मध्य-बिंदु मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है,इसलिए $B$ और $C$ के निर्देशांक $(0, a)$ और $(0, -a)$ हैं।
समबाहु त्रिभुज का शीर्ष $A$ से आधार $BC$ पर डाला गया लंब $x$-अक्ष पर स्थित होगा क्योंकि यह आधार के लंबवत होता है।
$\Delta AOC$ में,जहाँ $O$ मूल बिंदु है,$AC = 2a$ और $OC = a$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $(AC)^2 = (OA)^2 + (OC)^2$
$(2a)^2 = (OA)^2 + a^2$
$4a^2 = (OA)^2 + a^2$
$(OA)^2 = 3a^2$
$OA = \sqrt{3}a$
चूंकि $A$,$x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसके निर्देशांक $(\sqrt{3}a, 0)$ या $(-\sqrt{3}a, 0)$ हैं।
अतः,त्रिभुज के शीर्ष $(0, a), (0, -a), (\sqrt{3}a, 0)$ या $(0, a), (0, -a), (-\sqrt{3}a, 0)$ हैं।

(A) $\Delta PQR$ के शीर्ष $P(2, 1)$,$Q(-2, 3)$ और $R(4, 5)$ हैं।
मान लीजिए $RL$ शीर्ष $R$ से गुजरने वाली माध्यिका है। इसलिए,$L$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करके,$L$ के निर्देशांक $\left(\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right) = (0, 2)$ हैं।
माध्यिका $RL$,$R(4, 5)$ और $L(0, 2)$ से गुजरती है।
$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ है।
बिंदुओं $(4, 5)$ और $(0, 2)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$y - 5 = \frac{2 - 5}{0 - 4}(x - 4)$
$y - 5 = \frac{-3}{-4}(x - 4)$
$4(y - 5) = 3(x - 4)$
$4y - 20 = 3x - 12$
$3x - 4y + 8 = 0$.

(N/A) माना $AB$ अक्षों के बीच का रेखाखंड है और $P(a, b)$ इसका मध्य-बिंदु है।
माना $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(0, y_0)$ और $(x_0, 0)$ हैं।
चूंकि $P(a, b)$ $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\left(\frac{0 + x_0}{2}, \frac{y_0 + 0}{2}\right) = (a, b)$
$\Rightarrow \left(\frac{x_0}{2}, \frac{y_0}{2}\right) = (a, b)$
$\Rightarrow \frac{x_0}{2} = a$ और $\frac{y_0}{2} = b$
$\therefore x_0 = 2a$ और $y_0 = 2b$
अतः,$A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(0, 2b)$ और $(2a, 0)$ हैं।
अंतःखंड रूप $\frac{x}{X} + \frac{y}{Y} = 1$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $X=2a$ और $Y=2b$,बिंदुओं $(0, 2b)$ और $(2a, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:
$\frac{x}{2a} + \frac{y}{2b} = 1$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$

(A) माना $AB$ अक्षों के बीच का रेखाखंड है,जहाँ बिंदु $R(h, k)$,$AB$ को $1: 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
माना $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं।
विभाजन सूत्र के अनुसार:
$(h, k) = \left(\frac{1 \times 0 + 2 \times a}{1 + 2}, \frac{1 \times b + 2 \times 0}{1 + 2}\right) = \left(\frac{2a}{3}, \frac{b}{3}\right)$.
अतः,$h = \frac{2a}{3} \Rightarrow a = \frac{3h}{2}$ और $k = \frac{b}{3} \Rightarrow b = 3k$.
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$a$ और $b$ का मान रखने पर: $\frac{x}{3h/2} + \frac{y}{3k} = 1$.
$\frac{2x}{3h} + \frac{y}{3k} = 1$.
$3hk$ से गुणा करने पर: $2kx + hy = 3hk$.

(B) परिकेंद्र $O$,त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
हमें $PR$ का लंब समद्विभाजक $L_1: 2x - y + 2 = 0$ दिया गया है।
अब,हम $PQ$ का लंब समद्विभाजक ज्ञात करते हैं।
$PQ$ का मध्य बिंदु $M = (\frac{-2+4}{2}, \frac{4-2}{2}) = (1, 1)$ है।
$PQ$ की ढाल $m_{PQ} = \frac{-2-4}{4-(-2)} = \frac{-6}{6} = -1$ है।
$PQ$ के लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{\perp} = -\frac{1}{m_{PQ}} = 1$ है।
$PQ$ के लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - 1 = 1(x - 1)$ है,जो सरल होकर $y = x$ या $x - y = 0$ हो जाता है।
परिकेंद्र $O$,$2x - y + 2 = 0$ और $x - y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
पहले समीकरण में $y = x$ रखने पर: $2x - x + 2 = 0 \implies x = -2$।
चूंकि $y = x$,इसलिए $y = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,परिकेंद्र $(-2, -2)$ है।

(A) माना $AD$ त्रिभुज $ABC$ में शीर्ष $A$ से खींचा गया शीर्षलंब है।
अतः,$AD \perp BC$ है।
$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{2 - (-1)}{1 - 4} = \frac{3}{-3} = -1$ है।
चूंकि $AD \perp BC$,$AD$ की ढाल $m_{AD} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{1}{-1} = 1$ होगी।
बिंदु $A(2, 3)$ से गुजरने वाली और $1$ ढाल वाली रेखा $AD$ का समीकरण:
$(y - 3) = 1(x - 2)$
$\Rightarrow y - 3 = x - 2$
$\Rightarrow y - x = 1$ है।
$AD$ की लंबाई $A(2, 3)$ से रेखा $BC$ की लंबवत दूरी है।
$BC$ का समीकरण $(y - (-1)) = -1(x - 4)$ $\Rightarrow y + 1 = -x + 4$ $\Rightarrow x + y - 3 = 0$ है।
$(x_1, y_1)$ से $Ax + By + C = 0$ रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
$A(2, 3)$ और $x + y - 3 = 0$ के लिए:
$d = \frac{|1(2) + 1(3) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 3 - 3|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।
अतः,समीकरण $y - x = 1$ है और लंबाई $\sqrt{2}$ इकाई है।

(A) दी गई रेखा $4x - y = 0$ $(1)$ है।
बिंदु $P(4, 1)$ से रेखा $(1)$ की दूरी दूसरी रेखा के अनुदिश ज्ञात करने के लिए,हम दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करेंगे।
दूसरी रेखा की ढाल $m = \tan 135^{\circ} = -1$ है।
बिंदु $P(4, 1)$ से गुजरने वाली और $-1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - 1 = -1(x - 4)$
$y - 1 = -x + 4$
$x + y - 5 = 0$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$(1)$ से,$y = 4x$. इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 4x - 5 = 0$ $\Rightarrow 5x = 5$ $\Rightarrow x = 1$.
अतः $y = 4(1) = 4$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $Q(1, 4)$ है।
$P(4, 1)$ और $Q(1, 4)$ के बीच की दूरी:
$d = \sqrt{(1 - 4)^2 + (4 - 1)^2}$
$d = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2}$
$d = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ इकाई}$.