Points related to triangle Questions in Hindi

(D) त्रिभुज के शीर्ष $A(0, 0)$,$B(3, 0)$ और $C(0, 4)$ हैं।
माना भुजाओं की लंबाई क्रमशः $a$,$b$ और $c$ है जो शीर्ष $A$,$B$ और $C$ के सम्मुख हैं।
$a = BC = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
$b = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2} = 4$.
$c = AB = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = 3$.
अंतःकेंद्र $I$ के निर्देशांक $\left(\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}\right)$ सूत्र द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$(x_1, y_1) = (0, 0)$,$(x_2, y_2) = (3, 0)$ और $(x_3, y_3) = (0, 4)$ हैं।
$I = \left(\frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{5+4+3}, \frac{5(0) + 4(0) + 3(4)}{5+4+3}\right)$.
$I = \left(\frac{12}{12}, \frac{12}{12}\right) = (1, 1)$.

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(1,3), B(-3,5)$ और $C(5,-1)$ हैं।
$AC$ की ढाल $= \frac{-1-3}{5-1} = -1$ है।
$B$ से $AC$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $1$ है।
$B(-3,5)$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण: $x-y = -8$ (समीकरण $i$)।
$BC$ की ढाल $= \frac{-1-5}{5-(-3)} = -\frac{3}{4}$ है।
$A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $\frac{4}{3}$ है।
$A(1,3)$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण: $4x-3y = -5$ (समीकरण $ii$)।
समीकरणों को हल करने पर,$x=19$ और $y=27$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबकेंद्र $(19,27)$ है।

(D) माना $G$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है। माध्यिकाएं $AD$ और $BE$ बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
दिया है $AD=4$,$\angle GAB = \frac{\pi}{6}$,और $\angle GBA = \frac{\pi}{3}$।
$\triangle AGB$ में,कोणों का योग $\pi$ होता है,इसलिए $\angle AGB = \pi - (\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{2}$।
चूंकि $G$ केंद्रक है,$AG = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3}$।
समकोण $\triangle AGB$ में,$\sin(\angle GBA) = \frac{AG}{AB} \implies \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{8/3}{AB} \implies AB = \frac{16}{3\sqrt{3}}$।
साथ ही,$\tan(\angle GBA) = \frac{AG}{BG} \implies \tan(\frac{\pi}{3}) = \frac{8/3}{BG} \implies BG = \frac{8}{3\sqrt{3}}$।
$\triangle AGB$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times AG \times BG = \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} \times \frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{32}{9\sqrt{3}}$।
चूंकि केंद्रक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले तीन त्रिभुजों में विभाजित करता है,इसलिए $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल = $3 \times$ $\triangle AGB$ का क्षेत्रफल = $3 \times \frac{32}{9\sqrt{3}} = \frac{32}{3\sqrt{3}}$ वर्ग इकाई।

(C) $BC$ की ढाल $\frac{-3 - 3}{-1 - (-2)} = \frac{-6}{1} = -6$ है।
$A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब $L_1$ की ढाल $BC$ की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम है,जो $\frac{1}{6}$ है।
$A(1, -2)$ से गुजरने वाली $L_1$ का समीकरण $y - (-2) = \frac{1}{6}(x - 1) \Rightarrow y + 2 = \frac{x}{6} - \frac{1}{6} \Rightarrow y = \frac{x}{6} - \frac{13}{6}$ ... $(i)$
$AB$ का मध्य बिंदु $\left(\frac{1 - 2}{2}, \frac{-2 + 3}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।
$AB$ की ढाल $\frac{3 - (-2)}{-2 - 1} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}$ है।
अतः लंब समद्विभाजक $L_2$ की ढाल $\frac{3}{5}$ है।
$L_2$ का समीकरण $y - \frac{1}{2} = \frac{3}{5}(x + \frac{1}{2}) \Rightarrow y = \frac{3x}{5} + \frac{3}{10} + \frac{5}{10} \Rightarrow y = \frac{3x}{5} + \frac{4}{5}$ ... (ii)
प्रतिच्छेदन बिंदु $(l, m)$ ज्ञात करने के लिए $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$\frac{l}{6} - \frac{13}{6} = \frac{3l}{5} + \frac{4}{5} \Rightarrow \frac{l}{6} - \frac{3l}{5} = \frac{4}{5} + \frac{13}{6} \Rightarrow \frac{5l - 18l}{30} = \frac{24 + 65}{30} \Rightarrow -13l = 89 \Rightarrow 13l = -89$.
इस प्रकार $l = -\frac{89}{13}$ है।
$l$ का मान $(i)$ में रखने पर: $m = \frac{-89/13}{6} - \frac{13}{6} = \frac{-89}{78} - \frac{169}{78} = \frac{-258}{78} = -\frac{43}{13}$ है।
अतः $26m - 3 = 26(-\frac{43}{13}) - 3 = 2(-43) - 3 = -86 - 3 = -89$ है।
चूंकि $13l = -89$,इसलिए $26m - 3 = 13l$ है।

(D) माना $G$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है। केंद्रक माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। माध्यिकाओं के समीकरण $x+y=5$ और $x=4$ दिए गए हैं। $x=4$ को $x+y=5$ में रखने पर,$4+y=5$,अतः $y=1$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,केंद्रक $G$ का मान $(4, 1)$ है।
माना $A = (1, 2)$ और $D = (\alpha, \beta)$ भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है। केंद्रक $G$,माध्यिका $AD$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$G = \left(\frac{2\alpha + 1}{3}, \frac{2\beta + 2}{3}\right) = (4, 1)$।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2\alpha + 1}{3} = 4 \implies 2\alpha + 1 = 12 \implies 2\alpha = 11 \implies \alpha = \frac{11}{2}$।
$\frac{2\beta + 2}{3} = 1 \implies 2\beta + 2 = 3 \implies 2\beta = 1 \implies \beta = \frac{1}{2}$।
अतः,$BC$ का मध्य-बिंदु $D$ का मान $\left(\frac{11}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।

(D) एक समबाहु त्रिभुज में,लंबकेंद्र केंद्रक के साथ संपाती होता है। मान लीजिए $O(0,0)$ लंबकेंद्र है। शीर्षलंब $AD$,$O$ से होकर गुजरता है। $BC$ की ढाल $m_{BC} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$ है। चूंकि $AD \perp BC$,$AD$ की ढाल $m_{AD} = 2\sqrt{2}$ है। $AD$ का समीकरण $y = 2\sqrt{2}x$ है,इसलिए $\beta = 2\sqrt{2}\alpha$ है।
$O(0,0)$ से $BC$ $(x+2\sqrt{2}y-4=0)$ की दूरी $OD = \frac{|0+0-4|}{\sqrt{1^2+(2\sqrt{2})^2}} = \frac{4}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$ है।
समबाहु त्रिभुज में,केंद्रक शीर्षलंब को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। अतः,$AO = 2OD = 2(\frac{4}{3}) = \frac{8}{3}$ है। शीर्षलंब $AD$ की कुल लंबाई $AD = AO + OD = \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = 4$ है।
शीर्ष $A$,रेखा $y = 2\sqrt{2}x$ पर रेखा $BC$ से $4$ की दूरी पर स्थित है। $A$ के निर्देशांक $(\alpha, 2\sqrt{2}\alpha)$ हैं। $A$ से $x+2\sqrt{2}y-4=0$ की दूरी $\frac{|\alpha+2\sqrt{2}(2\sqrt{2}\alpha)-4|}{\sqrt{1+8}} = \frac{|9\alpha-4|}{3} = 4$ है।
इससे $9\alpha-4 = 12$ या $9\alpha-4 = -12$ प्राप्त होता है। अतः $\alpha = \frac{16}{9}$ या $\alpha = -\frac{8}{9}$ है।
चूंकि $O(0,0)$ और $A$ को $BC$ के एक ही तरफ होना चाहिए (क्योंकि $O$ केंद्रक है),हम $(0,0)$ पर $x+2\sqrt{2}y-4$ का मान देखते हैं,जो $-4$ है। $A(\alpha, 2\sqrt{2}\alpha)$ के लिए,व्यंजक $9\alpha-4$ है। अतः $9\alpha-4 < 0$,जिसका अर्थ है $\alpha < \frac{4}{9}$। इसलिए,$\alpha = -\frac{8}{9}$ और $\beta = 2\sqrt{2}(-\frac{8}{9}) = -\frac{16\sqrt{2}}{9}$ है।
हमें $|\alpha+\sqrt{2}\beta| = |-\frac{8}{9} + \sqrt{2}(-\frac{16\sqrt{2}}{9})| = |-\frac{8}{9} - \frac{32}{9}| = |-\frac{40}{9}| = \frac{40}{9} \approx 4.44$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात करना है।
महत्तम पूर्णांक $4$ है।

(C) दिया गया है कि $A = (1, 2)$ और $AB$ का मध्य-बिंदु $M = (5, -1)$ है।
चूंकि $M = (A+B)/2$,इसलिए $(1+B_x)/2 = 5 \implies B_x = 9$ और $(2+B_y)/2 = -1 \implies B_y = -4$. अतः,$B = (9, -4)$.
केंद्रक $G = (3, 4)$ दिया गया है,इसलिए $(A+B+C)/3 = G$,जिसका अर्थ है $A+B+C = 3G = (9, 12)$.
$C = (9, 12) - (1, 2) - (9, -4) = (-1, 14)$.
मान लीजिए परिकेंद्र $O = (\alpha, \beta)$ है। $O$ शीर्षों $A, B, C$ से समान दूरी पर है,इसलिए $OA^2 = OB^2 = OC^2$.
$OA^2 = (\alpha-1)^2 + (\beta-2)^2$
$OB^2 = (\alpha-9)^2 + (\beta+4)^2$
$OC^2 = (\alpha+1)^2 + (\beta-14)^2$
$OA^2 = OB^2$ को बराबर करने पर: $(\alpha-1)^2 - (\alpha-9)^2 = (\beta+4)^2 - (\beta-2)^2$
$16\alpha - 80 = 12\beta + 12 \implies 4\alpha - 3\beta = 23$.
$OB^2 = OC^2$ को बराबर करने पर: $(\alpha-9)^2 - (\alpha+1)^2 = (\beta-14)^2 - (\beta+4)^2$
$-20\alpha + 80 = -36\beta + 180 \implies 5\alpha - 9\beta = -25$.
समीकरणों को हल करने पर: $12\alpha - 9\beta = 69$ और $5\alpha - 9\beta = -25$.
घटाने पर $7\alpha = 94 \implies \alpha = 94/7$.
$\alpha$ का मान रखने पर: $4(94/7) - 3\beta = 23 \implies 376/7 - 23 = 3\beta \implies 215/7 = 3\beta \implies \beta = 215/21$.
अतः $\alpha + \beta = 94/7 + 215/21 = (282+215)/21 = 497/21$.
$21(\alpha + \beta) = 497$.