Points related to triangle Questions in Hindi

(N/A) दी गई रेखाएँ हैं:
$y=m_{1}x+c_{1}$ ..... $(1)$
$y=m_{2}x+c_{2}$ ..... $(2)$
$x=0$ ..... $(3)$
हम जानते हैं कि रेखा $y=mx+c$,रेखा $x=0$ ($y$-अक्ष) को बिंदु $(0, c)$ पर मिलती है। अतः,रेखाओं $(1)$,$(2)$ और $(3)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज के दो शीर्ष $P(0, c_{1})$ और $Q(0, c_{2})$ हैं।
तीसरा शीर्ष $R$,समीकरणों $(1)$ और $(2)$ को हल करके प्राप्त किया जा सकता है:
$m_{1}x+c_{1} = m_{2}x+c_{2}$
$x(m_{1}-m_{2}) = c_{2}-c_{1}$
$x = \frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}$
$x$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$y = m_{1}\left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) + c_{1} = \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}$
अतः,$R = \left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2}-y_{3}) + x_{2}(y_{3}-y_{1}) + x_{3}(y_{1}-y_{2})|$.
यहाँ शीर्ष $(0, c_{1}), (0, c_{2}), \left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)$ हैं।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(c_{2} - y_{R}) + 0(y_{R} - c_{1}) + \frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}(c_{1}-c_{2})|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\frac{-(c_{2}-c_{1})^{2}}{m_{1}-m_{2}}| = \frac{(c_{1}-c_{2})^{2}}{2|m_{1}-m_{2}|}$.

(C) माना लंबकेंद्र $H(x_0, y_0)$ है।
$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{-5-1}{5-(-7)} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि $AH \perp BC$,इसलिए $AH$ की ढाल $m_{AH} = -\frac{1}{m_{BC}} = 2$ है।
$A(-1, 7)$ से गुजरने वाले शीर्षलंब $AH$ का समीकरण $y - 7 = 2(x + 1)$ है,जो $2x - y + 9 = 0$ में सरल हो जाता है ... $(1)$।
$AC$ की ढाल $m_{AC} = \frac{-5-7}{5-(-1)} = \frac{-12}{6} = -2$ है।
चूंकि $BH \perp AC$,इसलिए $BH$ की ढाल $m_{BH} = -\frac{1}{m_{AC}} = \frac{1}{2}$ है।
$B(-7, 1)$ से गुजरने वाले शीर्षलंब $BH$ का समीकरण $y - 1 = \frac{1}{2}(x + 7)$ है,जो $x - 2y + 9 = 0$ में सरल हो जाता है ... $(2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$(1)$ से,$y = 2x + 9$। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x - 2(2x + 9) + 9 = 0$
$x - 4x - 18 + 9 = 0$
$-3x - 9 = 0 \Rightarrow x = -3$।
तब $y = 2(-3) + 9 = 3$।
अतः,लंबकेंद्र $(-3, 3)$ है।

(C) सबसे पहले,$\triangle ABC$ की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB^2 = (1 - (-2))^2 + (9 - 3)^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45 \Rightarrow AB = \sqrt{45}$
$BC^2 = (3 - 1)^2 + (8 - 9)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 \Rightarrow BC = \sqrt{5}$
$AC^2 = (3 - (-2))^2 + (8 - 3)^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 \Rightarrow AC = \sqrt{50}$
चूंकि $AB^2 + BC^2 = 45 + 5 = 50 = AC^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज में,परिकेंद्र कर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु होता है।
परिकेंद्र $= \left(\frac{-2 + 3}{2}, \frac{3 + 8}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{11}{2}\right)$.
$BC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{9 + 8}{2}\right) = \left(2, \frac{17}{2}\right)$.
रेखा $L$,$\left(\frac{1}{2}, \frac{11}{2}\right)$ और $\left(2, \frac{17}{2}\right)$ से गुजरती है।
ढाल $m = \frac{\frac{17}{2} - \frac{11}{2}}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 2$.
रेखा $L$ का समीकरण $y - \frac{11}{2} = 2(x - \frac{1}{2})$ $\Rightarrow y = 2x - 1 + \frac{11}{2}$ $\Rightarrow y = 2x + \frac{9}{2}$ है।
चूंकि रेखा $y$-अक्ष को $\left(0, \frac{\alpha}{2}\right)$ पर काटती है,इसलिए $\frac{\alpha}{2} = \frac{9}{2}$,जिससे $\alpha = 9$ प्राप्त होता है।

(C) माना भुजाएँ $AB: x - 2y + 1 = 0$ और $AC: 2x - y - 1 = 0$ हैं। इन्हें हल करने पर शीर्ष $A(1, 1)$ प्राप्त होता है।
शीर्ष $B$ से खींचा गया शीर्षलंब $H\left(\frac{7}{3}, \frac{7}{3}\right)$ से गुजरता है और $AC$ के लंबवत है। $AC$ की ढाल $2$ है,इसलिए शीर्षलंब $BH$ की ढाल $-\frac{1}{2}$ है। $BH$ का समीकरण $x + 2y - 7 = 0$ है।
शीर्ष $B$,$AB$ और $BH$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है: $x - 2y = -1$ और $x + 2y = 7$ को हल करने पर $B(3, 2)$ प्राप्त होता है।
शीर्ष $C$ से खींचा गया शीर्षलंब $H\left(\frac{7}{3}, \frac{7}{3}\right)$ से गुजरता है और $AB$ के लंबवत है। $AB$ की ढाल $\frac{1}{2}$ है,इसलिए शीर्षलंब $CH$ की ढाल $-2$ है। $CH$ का समीकरण $2x + y - 7 = 0$ है।
शीर्ष $C$,$AC$ और $CH$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है: $2x - y = 1$ और $2x + y = 7$ को हल करने पर $C(2, 3)$ प्राप्त होता है।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $G$,$\left(\frac{1+3+2}{3}, \frac{1+2+3}{3}\right) = (2, 2)$ है।
मूलबिंदु $(0, 0)$ से केंद्रक $(2, 2)$ की दूरी $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।

(C) $\triangle PQR$ में,मान लीजिए शीर्ष $P, Q, R$ हैं। $M$,$QR$ का मध्यबिंदु है और $N$,$PR$ का मध्यबिंदु है। माध्यिकाएं $PM$ और $QN$ केंद्रक $G$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
माध्यिकाओं के गुण का उपयोग करते हुए,$QG = \frac{2}{3}QN$ और $GM = \frac{1}{3}PM$.
$\triangle QGM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,यदि $\angle QGM = 90^{\circ}$ है,तो $QG^2 + GM^2 = QM^2$.
हम जानते हैं कि $QM = \frac{1}{2}QR$,इसलिए $QM^2 = \frac{1}{4}QR^2$.
माध्यिकाओं के लिए अपोलोनियस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$QN^2 = \frac{2PQ^2 + 2QR^2 - PR^2}{4}$ और $PM^2 = \frac{2PQ^2 + 2PR^2 - QR^2}{4}$.
तब $QG^2 + GM^2 = \left(\frac{2}{3}QN\right)^2 + \left(\frac{1}{3}PM\right)^2 = \frac{4}{9}QN^2 + \frac{1}{9}PM^2$.
$QN^2$ और $PM^2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{4}{9} \left(\frac{2PQ^2 + 2QR^2 - PR^2}{4}\right) + \frac{1}{9} \left(\frac{2PQ^2 + 2PR^2 - QR^2}{4}\right)$
$= \frac{1}{9} \left( \frac{8PQ^2 + 8QR^2 - 4PR^2 + 2PQ^2 + 2PR^2 - QR^2}{4} \right)$
$= \frac{1}{9} \left( \frac{10PQ^2 + 7QR^2 - 2PR^2}{4} \right)$.
दिया गया है कि $PR^2 = 5PQ^2 - QR^2$,इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{1}{9} \left( \frac{10PQ^2 + 7QR^2 - 2(5PQ^2 - QR^2)}{4} \right)$
$= \frac{1}{9} \left( \frac{10PQ^2 + 7QR^2 - 10PQ^2 + 2QR^2}{4} \right) = \frac{1}{9} \left( \frac{9QR^2}{4} \right) = \frac{1}{4}QR^2 = QM^2$.
चूंकि $QG^2 + GM^2 = QM^2$,$\triangle QGM$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle QGM = 90^{\circ}$ है।

(A) $\triangle PQR$ में,मान लीजिए $PQ = r$,$QR = p$,और $PR = q$ है। चूँकि $PQ < QR$,इसलिए $r < p$ है।
$1$. शीर्षलंब $QQ_1$,$Q$ से रेखा $PR$ तक की सबसे छोटी दूरी है। अतः,$PQ_1$ सबसे छोटी दूरी है।
$2$. माध्यिका $QQ_3$,$PR$ को समद्विभाजित करती है,इसलिए $PQ_3 = \frac{1}{2} PR$ है।
$3$. कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,कोण समद्विभाजक $QQ_2$,$PR$ को भुजाओं के अनुपात $PQ:QR = r:p$ में विभाजित करता है। अतः,$PQ_2 = \left(\frac{r}{r+p}\right) PR$ है।
चूँकि $r < p$,इसलिए $r+p > 2r$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{r}{r+p} < \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$ है।
इसलिए,$PQ_2 < \frac{1}{2} PR = PQ_3$ है।
$PR$ पर बिंदुओं की स्थिति की तुलना करने पर,$PQ_1 < PQ_2 < PQ_3$ प्राप्त होता है। सही विकल्प $A$ है।

(D) माना शीर्ष $A(1,2), B(2,3)$ और $C(3,1)$ हैं।
माना लंबकेंद्र $H(\alpha, \beta)$ है।
$AC$ की ढाल $m_{AC} = \frac{1-2}{3-1} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि $BH \perp AC$,$BH$ की ढाल $m_{BH} = 2$ है। अतः,$\frac{\beta-3}{\alpha-2} = 2$ $\Rightarrow \beta-3 = 2\alpha-4$ $\Rightarrow \beta = 2\alpha-1$।
$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{3-2}{2-1} = 1$ है।
चूंकि $CH \perp AB$,$CH$ की ढाल $m_{CH} = -1$ है। अतः,$\frac{\beta-1}{\alpha-3} = -1$ $\Rightarrow \beta-1 = -\alpha+3$ $\Rightarrow \beta = -\alpha+4$।
$\beta$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $2\alpha-1 = -\alpha+4$ $\Rightarrow 3\alpha = 5$ $\Rightarrow \alpha = \frac{5}{3}$।
तब $\beta = 2(\frac{5}{3})-1 = \frac{7}{3}$।
द्विघात समीकरण के मूल $p = \alpha+4\beta = \frac{5}{3} + \frac{28}{3} = 11$ और $q = 4\alpha+\beta = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = 9$ हैं।
द्विघात समीकरण $(x-p)(x-q) = 0$ $\Rightarrow (x-11)(x-9) = 0$ $\Rightarrow x^2-20x+99 = 0$ है।

(B) त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए रेखाओं के समीकरणों को हल करें:
$1$. $4x + 3y = 69$ और $4y - 3x = 17$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(9, 11)$ है।
$2$. $4x + 3y = 69$ और $x + 7y = 61$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(12, 7)$ है।
$3$. $4y - 3x = 17$ और $x + 7y = 61$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(5, 8)$ है।
यहाँ $4x + 3y = 69$ और $4y - 3x = 17$ परस्पर लंबवत हैं,अतः यह एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण का मध्य बिंदु होता है। कर्ण के अंतिम बिंदु $(12, 7)$ और $(5, 8)$ हैं।
परिकेंद्र $(\alpha, \beta) = \left(\frac{17}{2}, \frac{15}{2}\right)$ है।
अतः,$(\alpha - \beta)^2 + \alpha + \beta = (1)^2 + 16 = 17$।

(B) माना $A = (3, -7)$,$B = (-1, 2)$,और $C = (4, 5)$ है।
$BC$ की ढाल $= \frac{5 - 2}{4 - (-1)} = \frac{3}{5}$ है।
$A$ से $BC$ पर खींचा गया शीर्षलंब $BC$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $-\frac{5}{3}$ है।
$A$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण $y - (-7) = -\frac{5}{3}(x - 3)$ है,जिसे सरल करने पर $5x + 3y + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
$AC$ की ढाल $= \frac{5 - (-7)}{4 - 3} = 12$ है।
$B$ से $AC$ पर खींचा गया शीर्षलंब $AC$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $-\frac{1}{12}$ है।
$B$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण $y - 2 = -\frac{1}{12}(x - (-1))$ है,जिसे सरल करने पर $x + 12y = 23$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $\alpha = -\frac{47}{19}$ और $\beta = \frac{121}{57}$ प्राप्त होता है।
$9\alpha - 6\beta + 60 = 9(-\frac{47}{19}) - 6(\frac{121}{57}) + 60 = -35 + 60 = 25$।

(A) माना $P(6,1)$ त्रिभुज $\triangle ABC$ का लंबकेंद्र है जहाँ $A(5,-2)$,$B(8,3)$ और $C(h, k)$ हैं।
चूँकि $AP \perp BC$,$AP$ की ढाल $= \frac{1 - (-2)}{6 - 5} = 3$ है।
इसलिए,$BC$ की ढाल $= -\frac{1}{3}$ है।
$B(8,3)$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण $y - 3 = -\frac{1}{3}(x - 8)$ है,जो $x + 3y - 17 = 0$ में सरल होता है।
चूँकि $BP \perp AC$,$BP$ की ढाल $= \frac{1 - 3}{6 - 8} = 1$ है।
इसलिए,$AC$ की ढाल $= -1$ है।
$A(5,-2)$ से गुजरने वाली रेखा $AC$ का समीकरण $y - (-2) = -1(x - 5)$ है,जो $x + y - 3 = 0$ में सरल होता है।
$C(h, k)$ ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को हल करने पर:
$1) x + 3y = 17$
$2) x + y = 3$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर $2y = 14$,अतः $y = 7$ प्राप्त होता है।
$y = 7$ को $(2)$ में रखने पर $x + 7 = 3$,अतः $x = -4$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$C = (-4, 7)$ है।
अब,जाँचें कि $C(-4, 7)$ किस वृत्त के समीकरण को संतुष्ट करता है:
$(-4)^2 + (7)^2 = 16 + 49 = 65$.
अतः,$x^2 + y^2 - 65 = 0$ सही समीकरण है।

(B) त्रिभुज का केंद्रक $G$,लंबकेंद्र $H$ और परिकेंद्र $O$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। दिए गए $H = (-6, -8)$ और $O = (3, 4)$ के लिए,केंद्रक $G = (0, 0)$ है।
रेखाओं $2x+3y-1=0$ और $x+2y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 1)$ है।
चूंकि त्रिभुज का लंबकेंद्र $(0, 0)$ है,शीर्ष $(-1, 1)$ से विपरीत भुजा $ax+by-1=0$ पर डाला गया शीर्षलंब $(0, 0)$ से गुजरता है।
$(-1, 1)$ और $(0, 0)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_1 = -1$ है।
रेखा $ax+by-1=0$ की ढाल $m_2 = -a/b$ है।
शीर्षलंब और भुजा परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1 \Rightarrow a = -b$ प्राप्त होता है।
भुजा का समीकरण $ax-ay-1=0$ है।
शीर्ष $V = \left( \frac{a+3}{5a}, \frac{a-2}{5a} \right)$ प्राप्त करके और इसे शीर्षलंब $y=2x$ पर रखने पर,$a = -8$ मिलता है।
अतः $b = 8$ और $|a-b| = 16$।

(C) $AB$ की ढाल $M_{AB} = \frac{4}{-5}$ है। $CP \perp AB$ होने के कारण $CP$ की ढाल $M_{CP} = \frac{5}{4}$ है।
$CP$ का समीकरण $y - 1 = \frac{5}{4}(x - 1)$ अर्थात $5x - 4y - 1 = 0$ ... $(1)$ है।
$AP$ की ढाल $M_{AP} = -1$ है। $BC \perp AP$ होने के कारण $BC$ की ढाल $1$ है।
$BC$ का समीकरण $y - 3 = 1(x + 2)$ अर्थात $x - y + 5 = 0$ ... $(2)$ है।
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,$\alpha = 21$ और $\beta = 26$ प्राप्त होता है। अतः $\alpha + \beta = 47$ है।
$\triangle PAB$ के परिकेंद्र $(h, k)$ के लिए लंब समद्विभाजकों को हल करने पर $h = -19/2$ और $k = -23/2$ प्राप्त होता है।
अतः $2(h + k) = -42$ है।
अंतिम मान $(\alpha + \beta) + 2(h + k) = 47 - 42 = 5$ है।

(C) त्रिभुज $OPQ$ के अंदर स्थित बिंदु $R$ जिसके लिए त्रिभुज $OPR, PQR, OQR$ का क्षेत्रफल समान हो,वह त्रिभुज का केंद्रक (centroid) होता है।
दिए गए शीर्ष $O(0,0), P(3,4), Q(6,0)$ के लिए,केंद्रक $R(x, y)$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{0 + 3 + 6}{3} = \frac{9}{3} = 3$
$y = \frac{0 + 4 + 0}{3} = \frac{4}{3}$
अतः,$R$ के निर्देशांक $\left(3, \frac{4}{3}\right)$ हैं।

(B) शीर्ष $A(6, 8)$,$B(10 \cos \alpha, -10 \sin \alpha)$,और $C(-10 \sin \alpha, 10 \cos \alpha)$ सभी वृत्त $x^2 + y^2 = 100$ पर स्थित हैं। अतः परिकेंद्र $O$ $(0, 0)$ है।
किसी भी त्रिभुज में,लंबकेंद्र $L$,केंद्रक $G$,और परिकेंद्र $O$ संरेख होते हैं,और $G$,$OL$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$G(h, k) = \left(\frac{a}{3}, 3\right)$।
अतः,$h = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 3h$ और $k = 3$।
केंद्रक $G(h, k) = \left(\frac{6 + 10(\cos \alpha - \sin \alpha)}{3}, \frac{8 + 10(\cos \alpha - \sin \alpha)}{3}\right)$।
चूंकि $k = 3$,हमें $10(\cos \alpha - \sin \alpha) = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$100(1 - \sin 2\alpha) = 1 \Rightarrow 100 \sin 2\alpha = 99$।
$h = \frac{6+1}{3} = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,$5a - 3h + 6k + 100 \sin 2\alpha = 12h + 18 + 99 = 12(\frac{7}{3}) + 117 = 28 + 117 = 145$।

(B) $QR$ रेखा का समीकरण $5x + 2y + 2 = 0$ है।
$PR$ रेखा का समीकरण $10x - 3y - 38 = 0$ है।
अतः,बिंदु $R(2, -6)$ प्राप्त होता है।
केंद्रक $= \left(\frac{5-2+2}{3}, \frac{4+4-6}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right)$.
$c + 2d = \frac{5}{3} + \frac{4}{3} = 3$.

(B) शीर्ष $A$ से गुजरने वाली माध्यिका भुजा $BC$ के मध्यबिंदु $M$ से गुजरती है।
$BC$ का मध्यबिंदु $M = (\frac{2-4}{2}, \frac{1+5}{2}) = (-1, 3)$ है।
माध्यिका $A(3, k)$ और $M(-1, 3)$ से गुजरती है।
माध्यिका $AM$ की ढाल $m = \frac{3-k}{-1-3} = \frac{3-k}{-4}$ है।
रेखा $AM$ का समीकरण $y - 3 = \frac{3-k}{-4}(x + 1)$ है।
$-4y + 12 = (3-k)x + (3-k)$.
$(3-k)x + 4y = 9+k$.
दिए गए समीकरण $x + 4y = p$ के साथ तुलना करने पर,$x$ और $y$ के गुणांकों की तुलना करते हैं।
चूंकि $y$ का गुणांक $4$ है,इसलिए $3-k = 1$,जिससे $k = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 2$.

(B) शीर्ष $A(0,0)$,$B(3,0)$,और $C(0,-4)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$c = AB = 3$
$b = AC = 4$
$a = BC = 5$
अंतःकेंद्र $(I)$ के निर्देशांक का सूत्र:
$I = \left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} \right)$
मान रखने पर:
$I = \left( \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{12}, \frac{5(0) + 4(0) + 3(-4)}{12} \right)$
$I = (1, -1)$.

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(-2,3)$,$B(6,-1)$,और $C(4,3)$ हैं। माना $F(x,y)$ परिकेंद्र है। परिकेंद्र शीर्षों से समान दूरी पर होता है,इसलिए $FA^2 = FB^2 = FC^2$ है।
$FA^2 = (x+2)^2 + (y-3)^2$
$FB^2 = (x-6)^2 + (y+1)^2$
$FC^2 = (x-4)^2 + (y-3)^2$
$FA^2 = FC^2$ को बराबर करने पर:
$(x+2)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y-3)^2$
$(x+2)^2 = (x-4)^2$
$x^2 + 4x + 4 = x^2 - 8x + 16$
$12x = 12 \implies x = 1$
$FA^2 = FB^2$ को बराबर करने पर:
$(1+2)^2 + (y-3)^2 = (1-6)^2 + (y+1)^2$
$9 + y^2 - 6y + 9 = 25 + y^2 + 2y + 1$
$18 - 6y = 26 + 2y$
$-8 = 8y \implies y = -1$
अतः,परिकेंद्र के निर्देशांक $(1,-1)$ हैं।

(C) परिकेंद्र $C$,लंबकेंद्र $A(-3, 5)$ और केंद्रक $B(3, 3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$C(x, y)$ के निर्देशांक:
$x = \frac{2(3) - 1(-3)}{2 - 1} = 9$
$y = \frac{2(3) - 1(5)}{2 - 1} = 1$
अतः,$C = (9, 1)$।
वृत्त का व्यास $AC$ की लंबाई है।
$AC = \sqrt{(9 - (-3))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{12^2 + (-4)^2} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$।
वृत्त की त्रिज्या $\frac{1}{2} AC = 2\sqrt{10}$ होगी।

(B) शीर्ष $R$ से गुजरने वाली माध्यिका भुजा $PQ$ को बिंदु $M$ पर समद्विभाजित करती है।
$M$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $M = \left( \frac{2 + (-2)}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right) = (0, 3)$ है।
माध्यिका $R(3, 4)$ और $M(0, 3)$ से गुजरती है।
रेखा $RM$ की ढाल $m = \frac{3 - 4}{0 - 3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$ है।
रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
$y - 3 = \frac{1}{3}(x - 0)$
$3(y - 3) = x$
$3y - 9 = x$
$x - 3y + 9 = 0$.

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
दिए गए मध्य-बिंदु $F(11, 9)$,$E(2, 1)$ और $D(2, -1)$ हैं।
किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने से बने त्रिभुज का केंद्रक,मूल त्रिभुज के केंद्रक के समान ही होता है।
मध्य-बिंदुओं से बने त्रिभुज का केंद्रक $\left(\frac{11+2+2}{3}, \frac{9+1-1}{3}\right) = \left(\frac{15}{3}, \frac{9}{3}\right) = (5, 3)$ है।
अतः,मूल त्रिभुज का केंद्रक $(5, 3)$ है।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(6,0), B(0,6)$ और $C(6,6)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$AB = \sqrt{(0-6)^2 + (6-0)^2} = 6\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(6-0)^2 + (6-6)^2} = 6$
$CA = \sqrt{(6-6)^2 + (0-6)^2} = 6$
चूँकि $AB^2 = BC^2 + CA^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र कर्ण $AB$ का मध्य बिंदु होता है।
परिकेंद्र $O = (3,3)$.
केंद्रक $G = \left(\frac{6+0+6}{3}, \frac{0+6+6}{3}\right) = (4,4)$.
परिकेंद्र और केंद्रक के बीच की दूरी $= \sqrt{(4-3)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{2}$.

(A) त्रिभुज के शीर्ष $A \equiv (2,3)$,$B \equiv (8,10)$ और $C \equiv (5,5)$ हैं।
त्रिभुज के केंद्रक $(G)$ का सूत्र,जिसके शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,$G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$G = \left(\frac{2+8+5}{3}, \frac{3+10+5}{3}\right)$
$G = \left(\frac{15}{3}, \frac{18}{3}\right)$
$G = (5, 6)$

(B) त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $G$,माध्यिका $AD$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
माना $A = (2, 3)$,$G = (7, 5)$,और $D = (x, y)$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$G$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$G = \left(\frac{2 \cdot x + 1 \cdot 2}{2+1}, \frac{2 \cdot y + 1 \cdot 3}{2+1}\right)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$7 = \frac{2x + 2}{3}$ $\Rightarrow 21 = 2x + 2$ $\Rightarrow 2x = 19$ $\Rightarrow x = \frac{19}{2}$
$5 = \frac{2y + 3}{3}$ $\Rightarrow 15 = 2y + 3$ $\Rightarrow 2y = 12$ $\Rightarrow y = 6$
अतः,बिंदु $D$ के निर्देशांक $\left(\frac{19}{2}, 6\right)$ हैं।

(D) दिए गए शीर्ष $A(0,0)$,$B(0, \frac{3}{2})$ और $C(-5,0)$ हैं।
चूंकि $A$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर है,$AB$,$y$-अक्ष पर स्थित है और $AC$,$x$-अक्ष पर स्थित है।
इसका अर्थ है कि यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें समकोण शीर्ष $A(0,0)$ पर है।
एक समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण स्थित होता है।
अतः,$\triangle ABC$ का लंबकेंद्र $(0,0)$ है।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,और $C(x_3, y_3)$ हैं।
चूंकि $AD$ माध्यिका है,$D$,$BC$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $D = (\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2})$.
$E$,$AD$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $E = (\frac{2x_1+x_2+x_3}{4}, \frac{2y_1+y_2+y_3}{4})$.
त्रिभुज $ABC$ के केंद्रक $G$ का उपयोग करते हुए,$G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$.
त्रिभुज $ADC$ पर मेनेलॉस प्रमेय लागू करने पर,$F$,$AC$ को $1: 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$AF: FC = 1: 2$,जिसका अर्थ है $AF: AC = 1: (1+2) = 1: 3$.

(A) माना शीर्ष $A(2,2)$,$B(5,1)$,और $C(4,4)$ हैं।
लंबकेंद्र ज्ञात करने के लिए,हम दो शीर्षलंबों के समीकरण ज्ञात करते हैं।
$BC$ की ढाल $= \frac{4-1}{4-5} = \frac{3}{-1} = -3$ है।
$A(2,2)$ से $BC$ पर शीर्षलंब की ढाल $m_1 = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$ है।
$A$ से शीर्षलंब का समीकरण: $y-2 = \frac{1}{3}(x-2)$ $\Rightarrow 3y-6 = x-2$ $\Rightarrow x-3y = -4 \quad \dots(i)$।
$AC$ की ढाल $= \frac{4-2}{4-2} = \frac{2}{2} = 1$ है।
$B(5,1)$ से $AC$ पर शीर्षलंब की ढाल $m_2 = -\frac{1}{1} = -1$ है।
$B$ से शीर्षलंब का समीकरण: $y-1 = -1(x-5)$ $\Rightarrow y-1 = -x+5$ $\Rightarrow x+y = 6 \quad \dots(ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ को $3$ से गुणा करके जोड़ने पर: $(x-3y) + 3(x+y) = -4 + 18$ $\Rightarrow 4x = 14$ $\Rightarrow x = \frac{7}{2}$।
$x = \frac{7}{2}$ को $(ii)$ में रखने पर: $\frac{7}{2} + y = 6 \Rightarrow y = 6 - \frac{7}{2} = \frac{5}{2}$।
अतः,लंबकेंद्र $(\alpha, \beta) = (\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$ है।
इसलिए,$\alpha+\beta = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6$।

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(-2, 3)$,$B(2, -1)$,और $C(4, 0)$ हैं।
माना $O(x, y)$ त्रिभुज का परिकेंद्र है।
परिभाषा के अनुसार,परिकेंद्र सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है,इसलिए $OA = OB = OC$,जिसका अर्थ है $OA^2 = OB^2 = OC^2$।
सबसे पहले,$OA^2 = OB^2$ लें:
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 2)^2 + (y + 1)^2$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1$
$8x - 8y = -8 \Rightarrow x - y = -1$ ... $(i)$
इसके बाद,$OB^2 = OC^2$ लें:
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = (x - 4)^2 + (y - 0)^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = x^2 - 8x + 16 + y^2$
$4x + 2y = 11$ ... $(ii)$
समीकरणों $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$(i)$ से,$y = x + 1$।
$(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $4x + 2(x + 1) = 11$ $\Rightarrow 6x = 9$ $\Rightarrow x = \frac{3}{2}$।
तब $y = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$।
अतः,परिकेंद्र $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$ है।

(B) माना $B$ और $C$ से होकर जाने वाली माध्यिकाओं के समीकरण $L_1: x+y=5$ और $L_2: x=4$ हैं। इन माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु केंद्रक $G$ है। $x+y=5$ और $x=4$ को हल करने पर,हमें $G=(4, 1)$ प्राप्त होता है।
माना $C$,$x=4$ पर स्थित है,अतः $C=(4, y_C)$। माना $B$,$x+y=5$ पर स्थित है,अतः $B=(x_B, 5-x_B)$।
केंद्रक सूत्र $G = (\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3})$ का उपयोग करने पर:
$4 = \frac{1+x_B+4}{3}$ $\Rightarrow 12 = 5+x_B$ $\Rightarrow x_B=7$। अतः $B=(7, 5-7) = (7, -2)$।
$1 = \frac{2+y_B+y_C}{3}$ $\Rightarrow 3 = 2+(-2)+y_C$ $\Rightarrow y_C=3$। अतः $C=(4, 3)$।
शीर्ष $A(1, 2)$,$B(7, -2)$,और $C(4, 3)$ हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)|$
$= \frac{1}{2} |1(-2-3) + 7(3-2) + 4(2-(-2))|$
$= \frac{1}{2} |-5 + 7 + 16| = \frac{1}{2} |18| = 9$.

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$B(4,0)$ और $C(3,4)$ हैं।
लंबकेंद्र ज्ञात करने के लिए,हमें शीर्षलंबों (altitudes) के प्रतिच्छेदन बिंदु की आवश्यकता है।
$1$. $C(3,4)$ से भुजा $OB$ (जो $x$-अक्ष पर स्थित है) पर डाला गया शीर्षलंब $x=3$ से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। अतः,इस शीर्षलंब का समीकरण $x=3$ है।
$2$. भुजा $BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{4-0}{3-4} = \frac{4}{-1} = -4$ है।
$3$. $O(0,0)$ से $BC$ पर डाला गया शीर्षलंब $BC$ के लंबवत है। इसकी ढाल $m_{\perp} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{1}{-4} = \frac{1}{4}$ है।
$4$. $O$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण $y - 0 = \frac{1}{4}(x - 0)$ है,जो सरल होकर $y = \frac{1}{4}x$ हो जाता है।
$5$. समीकरण $y = \frac{1}{4}x$ में $x=3$ रखने पर,हमें $y = \frac{1}{4}(3) = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबकेंद्र $\left(3, \frac{3}{4}\right)$ है।

(D) माना शीर्ष $A(1, \sqrt{3})$,$B(-1, -\sqrt{3})$ और $C(3, -\sqrt{3})$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करें:
$AB = \sqrt{(-1-1)^2 + (-\sqrt{3}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.
$BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-\sqrt{3} - (-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$.
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (-\sqrt{3}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.
चूंकि $AB = BC = AC = 4$,यह एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज में परिकेंद्र और केंद्रक संपाती होते हैं।
केंद्रक $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$.
$G = \left(\frac{1-1+3}{3}, \frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{3}\right) = \left(1, -\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(C) माना शीर्ष $A(-2,-1)$,$B(6,-1)$ और $C(2,5)$ हैं।
सबसे पहले,$AB$ का लंब समद्विभाजक ज्ञात करें। $A$ और $B$ का $y$-निर्देशांक समान है,इसलिए रेखा $AB$ क्षैतिज है। मध्यबिंदु $(\frac{-2+6}{2}, -1) = (2,-1)$ है। लंब समद्विभाजक ऊर्ध्वाधर रेखा $x=2$ है ... $(i)$।
अगला,$BC$ का लंब समद्विभाजक ज्ञात करें। $BC$ का मध्यबिंदु $(\frac{6+2}{2}, \frac{-1+5}{2}) = (4,2)$ है। $BC$ की ढाल $m = \frac{5-(-1)}{2-6} = \frac{6}{-4} = -\frac{3}{2}$ है। लंब समद्विभाजक की ढाल $\frac{2}{3}$ है। समीकरण $y-2 = \frac{2}{3}(x-4)$ $\Rightarrow 3y-6 = 2x-8$ $\Rightarrow 2x-3y=2$ है ... (ii)।
$(i)$ से $x=2$ को (ii) में रखने पर: $2(2)-3y=2$ $\Rightarrow 4-3y=2$ $\Rightarrow 3y=2$ $\Rightarrow y=\frac{2}{3}$।
परिकेंद्र $(2, \frac{2}{3})$ है।
$2$ और $\frac{2}{3}$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (2+\frac{2}{3})x + 2(\frac{2}{3}) = 0$ है।
$x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{4}{3} = 0 \Rightarrow 3x^2-8x+4=0$।
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(h, k)$,$B(5, -1)$,और $C(-2, 3)$ हैं। मूलबिंदु $O(0, 0)$ लंबकेंद्र है।
चूंकि $AO \perp BC$,$AO$ की ढाल $\times$ $BC$ की ढाल $= -1$ होगी।
$BC$ की ढाल $= \frac{3 - (-1)}{-2 - 5} = \frac{4}{-7}$।
$AO$ की ढाल $= \frac{k - 0}{h - 0} = \frac{k}{h}$।
अतः,$\frac{k}{h} \times \left(-\frac{4}{7}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{k}{h} = \frac{7}{4}$ $\Rightarrow 7h - 4k = 0$ (समी. $1$)।
चूंकि $BO \perp AC$,$BO$ की ढाल $\times$ $AC$ की ढाल $= -1$ होगी।
$BO$ की ढाल $= \frac{-1 - 0}{5 - 0} = -\frac{1}{5}$।
$AC$ की ढाल $= \frac{k - 3}{h - (-2)} = \frac{k - 3}{h + 2}$।
अतः,$\left(-\frac{1}{5}\right) \times \left(\frac{k - 3}{h + 2}\right) = -1$ $\Rightarrow k - 3 = 5(h + 2)$ $\Rightarrow 5h - k + 13 = 0$ (समी. $2$)।
समी. $1$ से,$k = \frac{7h}{4}$। इस मान को समी. $2$ में रखने पर:
$5h - \frac{7h}{4} + 13 = 0$ $\Rightarrow \frac{20h - 7h}{4} = -13$ $\Rightarrow 13h = -52$ $\Rightarrow h = -4$।
तब $k = \frac{7(-4)}{4} = -7$।
अतः,तीसरा शीर्ष $(-4, -7)$ है।

(B) माना शीर्ष $A(-2, 3), B(2, -1)$ और $C(4, 0)$ हैं।
सबसे पहले,लंबकेंद्र $H$ ज्ञात करें। $BC$ की ढाल $= \frac{0 - (-1)}{4 - 2} = \frac{1}{2}$ है। $A$ से शीर्षलंब $BC$ पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $-2$ है। समीकरण $y - 3 = -2(x + 2) \Rightarrow 2x + y + 1 = 0$ है।
$AC$ की ढाल $= \frac{0 - 3}{4 - (-2)} = -\frac{1}{2}$ है। $B$ से शीर्षलंब $AC$ पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $2$ है। समीकरण $y - (-1) = 2(x - 2) \Rightarrow 2x - y - 5 = 0$ है।
$2x + y + 1 = 0$ और $2x - y - 5 = 0$ को हल करने पर,$4x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1$ प्राप्त होता है। $x=1$ रखने पर $y = -3$ प्राप्त होता है। अतः,लंबकेंद्र $H = (1, -3)$ है।
केंद्रक $G = \left(\frac{-2+2+4}{3}, \frac{3-1+0}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)$ है।
$H(1, -3)$ और $G\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है,जहाँ $m = \frac{\frac{2}{3} - (-3)}{\frac{4}{3} - 1} = 11$ है।
अतः,$y + 3 = 11(x - 1) \Rightarrow 11x - y - 14 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) त्रिभुज के शीर्ष $A(2,3)$,$B(2,4)$,और $C(4,3)$ हैं।
$AB$ लंबवत है और $AC$ क्षैतिज है,इसलिए त्रिभुज $A$ पर समकोण है।
समकोण त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र $O$ समकोण वाला शीर्ष होता है। अतः,$O = A = (2,3)$.
इसलिए,$AO^2 = (2-2)^2 + (3-3)^2 = 0$.
केंद्रक $G = \left(\frac{2+2+4}{3}, \frac{3+4+3}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{10}{3}\right)$.
$9BG^2 = 9 \times [(\frac{8}{3}-2)^2 + (\frac{10}{3}-4)^2] = 9 \times [\frac{4}{9} + \frac{4}{9}] = 8$.
$G$,$O$ और $S$ को जोड़ने वाली रेखा को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। $S = \frac{3G - O}{2} = (3, \frac{7}{2})$.
$4CS^2 = 4 \times [(4-3)^2 + (3-\frac{7}{2})^2] = 4 \times [1 + \frac{1}{4}] = 5$.
$AO^2 + 9BG^2 + 4CS^2 = 0 + 8 + 5 = 13$.

(B) त्रिभुज का परिकेंद्र उसके शीर्षों से समान दूरी पर होता है। मान लीजिए $O(x, y)$ शीर्षों $A(-2, 3), B(1, -2)$ और $C(2, 1)$ वाले त्रिभुज का परिकेंद्र है।
चूंकि $OA = OB = OC$,इसलिए $OA^2 = OB^2 = OC^2$ होगा।
$OA^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13$
$OB^2 = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5$
$OC^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5$
$OA^2 = OB^2$ को बराबर करने पर:
$6x - 10y + 8 = 0 \Rightarrow 3x - 5y + 4 = 0 \dots (i)$
$OB^2 = OC^2$ को बराबर करने पर:
$2x + 6y = 0 \Rightarrow x = -3y \dots (ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर:
$3(-3y) - 5y + 4 = 0$ $\Rightarrow -14y = -4$ $\Rightarrow y = \frac{2}{7}$
अतः,$x = -3\left(\frac{2}{7}\right) = -\frac{6}{7}$.
इसलिए,परिकेंद्र $\left(-\frac{6}{7}, \frac{2}{7}\right)$ है।

(A) त्रिभुज के शीर्ष रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $y=\sqrt{3}x$ और $y=-\sqrt{3}x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(0, 0)$ है।
$2$. $y=\sqrt{3}x$ और $y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(\sqrt{3}, 3)$ है।
$3$. $y=-\sqrt{3}x$ और $y=3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(-\sqrt{3}, 3)$ है।
भुजाओं की लंबाई:
$c = AB = \sqrt{(\sqrt{3}-0)^2 + (3-0)^2} = 2\sqrt{3}$.
$b = AC = \sqrt{(-\sqrt{3}-0)^2 + (3-0)^2} = 2\sqrt{3}$.
$a = BC = \sqrt{(\sqrt{3}-(-\sqrt{3}))^2 + (3-3)^2} = 2\sqrt{3}$.
चूंकि $a=b=c$,यह एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज का अंतःकेंद्र $(I)$ उसके केंद्रक $(G)$ के समान होता है।
$I = G = \left(\frac{0+\sqrt{3}-\sqrt{3}}{3}, \frac{0+3+3}{3}\right) = (0, 2)$.

(A) त्रिभुज के शीर्ष $A(a, b), B(a, c)$ और $C(d, c)$ हैं।
चूंकि $A$ और $B$ का $x$-निर्देशांक समान है,भुजा $AB$ ऊर्ध्वाधर है और $B$ और $C$ का $y$-निर्देशांक समान है,भुजा $BC$ क्षैतिज है। अतः,$\triangle ABC$ शीर्ष $B(a, c)$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है। अतः,लंबकेंद्र $B(a, c)$ है।
त्रिभुज का केंद्रक $G = \left(\frac{a+a+d}{3}, \frac{b+c+c}{3}\right) = \left(\frac{2 a+d}{3}, \frac{b+2 c}{3}\right)$ है।
केंद्रक $G$ और लंबकेंद्र $H(a, c)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु:
$M = \left(\frac{\frac{2 a+d}{3}+a}{2}, \frac{\frac{b+2 c}{3}+c}{2}\right) = \left(\frac{5 a+d}{6}, \frac{b+5 c}{6}\right)$.

(A) दी गई रेखाएँ हैं:
$L_1: x+y+1=0$
$L_2: x-y-1=0$
$L_3: 3x+4y+5=0$
$L_1$ की ढाल $(m_1)$ $-1$ है।
$L_2$ की ढाल $(m_2)$ $1$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = (-1) \times (1) = -1$,रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ एक-दूसरे पर लंब हैं।
अतः,यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है और समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
शीर्ष ज्ञात करने के लिए $L_1$ और $L_2$ को हल करें:
$x+y+1=0$
$x-y-1=0$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2x = 0 \Rightarrow x = 0$.
$x=0$ को $x+y+1=0$ में रखने पर,$0+y+1=0 \Rightarrow y = -1$.
इस प्रकार,लंबकेंद्र $(0, -1)$ है।

(B) दिए गए शीर्ष $A(0,0)$,$B(0,2)$ और $C(2,0)$ हैं।
चूंकि $\overline{AC}$,$x$-अक्ष पर है और $\overline{AB}$,$y$-अक्ष पर है,इसलिए यह त्रिभुज $A(0,0)$ पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है,अतः लंबकेंद्र $H(0,0)$ है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण $\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु होता है।
परिकेंद्र $O = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = (1,1)$ है।
लंबकेंद्र $(0,0)$ और परिकेंद्र $(1,1)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ इकाई}$ है।

(B) माना शीर्ष $A=(-1, 3)$,$B=(2, 5)$,और $C=(a, b)$ हैं। लंबकेंद्र $H=(1, 2)$ है।
चूंकि $AH \perp BC$,$AH$ की ढाल $(m_{AH})$ और $BC$ की ढाल $(m_{BC})$ का गुणनफल $-1$ है।
$m_{AH} = \frac{2-3}{1-(-1)} = \frac{-1}{2}$.
$m_{BC} = \frac{b-5}{a-2}$.
चूंकि $m_{AH} \times m_{BC} = -1$,हमारे पास $\left(\frac{-1}{2}\right) \times \left(\frac{b-5}{a-2}\right) = -1 \Rightarrow b-5 = 2(a-2) \Rightarrow b-5 = 2a-4 \Rightarrow 2a-b = -1$ ... $(i)$
इसी प्रकार,चूंकि $BH \perp AC$,$BH$ की ढाल $(m_{BH})$ और $AC$ की ढाल $(m_{AC})$ का गुणनफल $-1$ है।
$m_{BH} = \frac{2-5}{1-2} = \frac{-3}{-1} = 3$.
$m_{AC} = \frac{b-3}{a-(-1)} = \frac{b-3}{a+1}$.
चूंकि $m_{BH} \times m_{AC} = -1$,हमारे पास $3 \times \left(\frac{b-3}{a+1}\right) = -1 \Rightarrow 3b-9 = -a-1 \Rightarrow a+3b = 8$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
$(i)$ से,$b = 2a+1$. (ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $a + 3(2a+1) = 8 \Rightarrow a + 6a + 3 = 8 \Rightarrow 7a = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{7}$.
तब $b = 2(\frac{5}{7}) + 1 = \frac{10}{7} + \frac{7}{7} = \frac{17}{7}$.
अतः,$(a, b) = \left(\frac{5}{7}, \frac{17}{7}\right)$.

(C) माना शीर्ष $A(-2, -1)$,$B(2, 5)$ और $C(m, n)$ हैं। माना $H\left(2, \frac{5}{3}\right)$ लंबकेंद्र है।
$AH$ की ढाल $= \frac{\frac{5}{3} - (-1)}{2 - (-2)} = \frac{8/3}{4} = \frac{2}{3}$.
चूंकि $AH \perp BC$,$BC$ की ढाल $= -\frac{1}{2/3} = -\frac{3}{2}$.
$BC$ का समीकरण: $y - 5 = -\frac{3}{2}(x - 2)$ $\Rightarrow 2y - 10 = -3x + 6$ $\Rightarrow 3x + 2y = 16 \quad ...(i)$
$BH$ की ढाल $= \frac{\frac{5}{3} - 5}{2 - 2} = \frac{-10/3}{0}$,जो अपरिभाषित है। इसका अर्थ है कि $BH$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ है।
चूंकि $BH \perp AC$,$AC$ एक क्षैतिज रेखा होनी चाहिए। $A(-2, -1)$ होने के कारण,$AC$ का समीकरण $y = -1$ है।
चूंकि $C(m, n)$ रेखा $AC$ पर स्थित है,$n = -1$.
समीकरण $(i)$ में $n = -1$ रखने पर: $3m + 2(-1) = 16$ $\Rightarrow 3m = 18$ $\Rightarrow m = 6$.
अतः,तीसरा शीर्ष $(6, -1)$ है।
इसलिए,$m + n = 6 + (-1) = 5$.

(B) माना रेखाएँ $L_1: x+y+10=0$,$L_2: x-y-2=0$,और $L_3: 2x+y-7=0$ हैं।
सबसे पहले,रेखाओं की ढाल (slopes) की जाँच करें:
$L_1$ की ढाल $m_1 = -1$ है।
$L_2$ की ढाल $m_2 = 1$ है।
चूँकि $m_1 \times m_2 = (-1) \times (1) = -1$,रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
इसलिए,लंबकेंद्र $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$x+y+10=0$ और $x-y-2=0$ को हल करने पर:
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x+y+10) + (x-y-2) = 0 \implies 2x + 8 = 0 \implies x = -4$.
$x = -4$ को $x-y-2=0$ में रखने पर: $-4 - y - 2 = 0 \implies y = -6$.
अतः,लंबकेंद्र $(-4, -6)$ है।

(A) माना रेखाओं $x-3y+3=0$ और $x+3y+3=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ है। समीकरणों को जोड़ने पर: $2x+6=0 \implies x=-3$। $x=-3$ को $x-3y+3=0$ में रखने पर,$y=0$ प्राप्त होता है। अतः,$A = (-3, 0)$।
माना रेखाओं $x+3y+3=0$ और $x+y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ है। समीकरणों को घटाने पर: $(x+3y+3) - (x+y-1) = 0 \implies 2y+4=0 \implies y=-2$। $y=-2$ को $x+y-1=0$ में रखने पर,$x-2-1=0 \implies x=3$ प्राप्त होता है। अतः,$B = (3, -2)$।
माना रेखाओं $x-3y+3=0$ और $x+y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C$ है। समीकरणों को घटाने पर: $(x-3y+3) - (x+y-1) = 0 \implies -4y+4=0 \implies y=1$। $y=1$ को $x+y-1=0$ में रखने पर,$x+1-1=0 \implies x=0$ प्राप्त होता है। अतः,$C = (0, 1)$।
त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर केंद्रक $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ होता है।
$G = \left(\frac{-3+3+0}{3}, \frac{0-2+1}{3}\right) = \left(0, -\frac{1}{3}\right)$।

(D) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं। चूँकि $P$,$A(-1, 3)$,$B(3, 5)$ और $C(5, 7)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA = PB = PC$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2 = PC^2$.
$PA^2 = (x+1)^2 + (y-3)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10$
$PB^2 = (x-3)^2 + (y-5)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 = x^2 + y^2 - 6x - 10y + 34$
$PC^2 = (x-5)^2 + (y-7)^2 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 14y + 49 = x^2 + y^2 - 10x - 14y + 74$
$PA^2 = PB^2$ की तुलना करने पर:
$x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = x^2 + y^2 - 6x - 10y + 34$
$8x + 4y = 24 \implies 2x + y = 6$ $(i)$
$PB^2 = PC^2$ की तुलना करने पर:
$x^2 + y^2 - 6x - 10y + 34 = x^2 + y^2 - 10x - 14y + 74$
$4x + 4y = 40 \implies x + y = 10$ $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$(2x + y) - (x + y) = 6 - 10 \implies x = -4$
$x = -4$ को $(ii)$ में रखने पर:
$-4 + y = 10 \implies y = 14$
अतः,$P$ के निर्देशांक $(-4, 14)$ हैं।
$PA = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (14 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (11)^2} = \sqrt{9 + 121} = \sqrt{130}$.
इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(D) माना शीर्ष $A(1, \sqrt{3})$,$B(0, 0)$,और $C(2, 0)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
$BC = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4} = 2$
$AC = \sqrt{(2-1)^2 + (0-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं,इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,अंतःकेंद्र और केंद्रक एक ही होते हैं।
केंद्रक $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
$G = \left(\frac{1+0+2}{3}, \frac{\sqrt{3}+0+0}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \left(1, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(B) शीर्ष $A(1,1), B(1,-1), C(-1,1)$ हैं।
$AB$ ऊर्ध्वाधर है और $AC$ क्षैतिज है,इसलिए $\triangle ABC$ बिंदु $A(1,1)$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
$1$. परिकेंद्र $S$: समकोण त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र कर्ण $BC$ का मध्यबिंदु होता है।
$S = (0,0)$.
$2$. लंबकेंद्र $O$: समकोण त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र समकोण वाले शीर्ष पर होता है।
$O = A = (1,1)$.
$3$. अंतःकेंद्र $I$: भुजाओं की लंबाई $c=2, b=2, a=2\sqrt{2}$ है।
अंतःकेंद्र $I = (\sqrt{2}-1, \sqrt{2}-1)$.
$OS = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
$IS = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2 + (\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}-1) = 2-\sqrt{2}$.
$IS + OS = (2-\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 2$.

(C) माना शीर्ष $A(1, 2)$,$B(3, -1)$,और $C(4, 0)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर:
$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{13}$
$AC = \sqrt{(4-1)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{13}$
चूंकि $AB = AC$,त्रिभुज समद्विबाहु है।
केंद्रक $G = \left(\frac{8}{3}, \frac{1}{3}\right)$ है।
परिकेंद्र $O$,$A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब पर स्थित है। $BC$ की ढाल $1$ है,इसलिए शीर्षलंब की ढाल $-1$ है। शीर्षलंब का समीकरण $y = -x + 3$ है।
$AC$ के लंब समद्विभाजक का समीकरण $y = 1.5x - 2.75$ है।
दोनों समीकरणों को हल करने पर,$O = \left(\frac{23}{10}, \frac{7}{10}\right)$ प्राप्त होता है।
दूरी $OG = \sqrt{(\frac{8}{3} - \frac{23}{10})^2 + (\frac{1}{3} - \frac{7}{10})^2} = \frac{11}{30} \sqrt{2}$ है।

(D) त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु परिकेंद्र $O$ होता है। समीकरणों $x-y+5=0$ और $x+2y=0$ को हल करने पर,हमें $x = -10/3$ और $y = 5/3$ प्राप्त होता है। अतः परिकेंद्र $O(-10/3, 5/3)$ है।
चूंकि $B$,रेखा $x-y+5=0$ के सापेक्ष $A(1,-2)$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $\frac{x_B-1}{1} = \frac{y_B+2}{-1} = -2 \frac{1-(-2)+5}{1^2+(-1)^2} = -8$ प्राप्त होता है। इससे $x_B = -7$ और $y_B = 6$ मिलता है। अतः $B = (-7, 6)$ है।
चूंकि $C$,रेखा $x+2y=0$ के सापेक्ष $A(1,-2)$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $\frac{x_C-1}{1} = \frac{y_C+2}{2} = -2 \frac{1+2(-2)}{1^2+2^2} = 6/5$ प्राप्त होता है। इससे $x_C = 11/5$ और $y_C = 2/5$ मिलता है। अतः $C = (11/5, 2/5)$ है।
$BC$ का लंब समद्विभाजक परिकेंद्र $O(-10/3, 5/3)$ और $BC$ के मध्य बिंदु $M$ से होकर गुजरता है। मध्य बिंदु $M = (-12/5, 16/5)$ है।
$O$ और $M$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = 23/14$ है।
रेखा का समीकरण $y - 5/3 = 23/14(x + 10/3)$ है,जिसे सरल करने पर $23x - 14y + 100 = 0$ प्राप्त होता है।