रेखाओं 4x - 7y + 10 = 0,x + y = 5 और 7x + 4y | vedclass

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Question

(C) माना रेखाएँ $L_1: 4x - 7y + 10 = 0$,$L_2: x + y - 5 = 0$ और $L_3: 7x + 4y - 15 = 0$ हैं।रेखाओं की प्रवणता (slope) की जाँच करने पर:$L_1$ की प्रवणता

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$(1, 2)$

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(C) माना रेखाएँ $L_1: 4x - 7y + 10 = 0$,$L_2: x + y - 5 = 0$ और $L_3: 7x + 4y - 15 = 0$ हैं।रेखाओं की प्रवणता (slope) की जाँच करने पर:$L_1$ की प्रवणता $(m_1)$ = $4/7$.$L_2$ की प्रवणता $(m_2)$ = $-1$.$L_3$ की प्रवणता $(m_3)$ = $-7/4$.चूँकि $m_1 	imes m_3 = (4/7) 	imes (-7/4) = -1$,रेखाएँ $L_1$ और $L_3$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।अतः,इन रेखाओं द्वारा बना त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है,जिसमें समकोण $L_1$ और $L_3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु पर बनता है।समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।$L_1$ और $L_3$ को हल करने पर:$4x - 7y = -10$ $(i)$$7x + 4y = 15$ (ii)समीकरण $(i)$ को $4$ से और (ii) को $7$ से गुणा करने पर:$16x - 28y = -40$$49x + 28y = 105$दोनों को जोड़ने पर: $65x = 65 \Rightarrow x = 1$.$x = 1$ को $(i)$ में रखने पर: $4(1) - 7y = -10$ $\Rightarrow -7y = -14$ $\Rightarrow y = 2$.प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2)$ है,जो कि लंबकेंद्र है।

रेखाओं $4x - 7y + 10 = 0$,$x + y = 5$ और $7x + 4y = 15$ द्वारा परिबद्ध त्रिभुज के लंबकेंद्र (orthocentre) के निर्देशांक हैं:

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यदि $(\alpha, \beta)$ त्रिभुज $ABC$ का लंबकेंद्र (orthocentre) है जिसके शीर्ष $A(3, -7)$,$B(-1, 2)$ और $C(4, 5)$ हैं,तो $9\alpha - 6\beta + 60$ का मान ज्ञात कीजिए।

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उस त्रिभुज का लंबकेंद्र ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(0, 0), (2, -1)$ और $(1, 3)$ हैं।

उस त्रिभुज के अंतःकेंद्र का $x-$ निर्देशांक क्या है जिसके भुजाओं के मध्य बिंदुओं के निर्देशांक $(0,1), (1,1)$ और $(1,0)$ हैं?

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