त्रिभुज, जिसके शीर्ष $A\;(0,\;b),\;B\;(0,\;0)$ व $C\;(a,\;0)$ हैं, की माध्यिकायें $AD$ तथा $BE$ परस्पर लम्बवत् होंगी, यदि
त्रिभुज, जिसके शीर्ष $A\;(0,\;b),\;B\;(0,\;0)$ व $C\;(a,\;0)$ हैं, की माध्यिकायें $AD$ तथा $BE$ परस्पर लम्बवत् होंगी, यदि
- A
$a = \sqrt 2 \;b$
- B
$a = - \sqrt 2 \;b$
- C
दोनों $(a)$ व $(b)$
- D
इनमें से कोई नहीं
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किसी वर्ग का एक शीर्ष $(3, 4)$ एवं विकर्ण $x + 2y = 1$ है, तो दूसरा विकर्ण जो दिये गये शीर्ष से गुजरता है, होगा
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$L _1$ और $L _2$ द्वारा परिभाषित रेखाओं
$L _1: x \sqrt{2}+ y -1=0 \text { और } L _2: x \sqrt{2}- y +1=0$
पर विचार कीजिए। किसी नियत अचर (fixed constant) $\lambda$ के लिए, मान लीजिए कि $C$ एक बिन्दु $P$ का ऐसा बिन्दुपथ (locus) है कि $P$ से $L _1$ की दूरी और $P$ से $L _2$ की दूरी का गुणनफल $\lambda^2$ है। रेखा $y =2 x +1, C$ को दो बिन्दुओं $R$ और $S$ पर मिलती है, जहाँ $R$ और $S$ के बीच की दूरी $\sqrt{270}$ है।
मान लीजिए कि RS का लंब समद्विभाजक (perpendicular bisector), $C$ को दो भिन्न बिन्दुओं R' और $S ^{\prime}$ पर मिलता है। मान लीजिए कि $R ^{\prime}$ और $S ^{\prime}$ के बीच की दूरी के वर्ग (square of the distance) का मान $D$ है।
($1$) $\lambda^2$ का मान. . . . . है।
($2$) $D$ का मान. . . . . है।
$L _1$ और $L _2$ द्वारा परिभाषित रेखाओं
$L _1: x \sqrt{2}+ y -1=0 \text { और } L _2: x \sqrt{2}- y +1=0$
पर विचार कीजिए। किसी नियत अचर (fixed constant) $\lambda$ के लिए, मान लीजिए कि $C$ एक बिन्दु $P$ का ऐसा बिन्दुपथ (locus) है कि $P$ से $L _1$ की दूरी और $P$ से $L _2$ की दूरी का गुणनफल $\lambda^2$ है। रेखा $y =2 x +1, C$ को दो बिन्दुओं $R$ और $S$ पर मिलती है, जहाँ $R$ और $S$ के बीच की दूरी $\sqrt{270}$ है।
मान लीजिए कि RS का लंब समद्विभाजक (perpendicular bisector), $C$ को दो भिन्न बिन्दुओं R' और $S ^{\prime}$ पर मिलता है। मान लीजिए कि $R ^{\prime}$ और $S ^{\prime}$ के बीच की दूरी के वर्ग (square of the distance) का मान $D$ है।
($1$) $\lambda^2$ का मान. . . . . है।
($2$) $D$ का मान. . . . . है।
- [IIT 2021]
किसी समबाहु त्रिभुज का शीर्ष $(2, -1)$ तथा आधार का समीकरण $x + 2y = 1$ है। इस समबाहु त्रिभुज की भुजा की लम्बाई है
किसी समबाहु त्रिभुज का शीर्ष $(2, -1)$ तथा आधार का समीकरण $x + 2y = 1$ है। इस समबाहु त्रिभुज की भुजा की लम्बाई है
किसी त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $AB$ तथा $AC$ के लम्ब समद्विभाजकों के समीकरण क्रमश: $x - y + 5 = 0$ व $x + 2y = 0$ हैं। यदि बिन्दु $A$ $(1,\; - \;2)$ हो, तो रेखा $BC$ का समीकरण है
किसी त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $AB$ तथा $AC$ के लम्ब समद्विभाजकों के समीकरण क्रमश: $x - y + 5 = 0$ व $x + 2y = 0$ हैं। यदि बिन्दु $A$ $(1,\; - \;2)$ हो, तो रेखा $BC$ का समीकरण है
- [IIT 1986]
एक सरल रेखा, $\mathrm{x}$-अक्ष तथा $\mathrm{y}$-अक्ष की धनात्मक दिशाओं पर क्रमशः $\mathrm{OA}=\mathrm{a}$ तथा $\mathrm{OB}=\mathrm{b}$ अंतःखंड़ करती है। यदि मूलबिंदु $\mathrm{O}$ से इस रेखा पर अभिलंब $\mathrm{y}$-अक्ष की धनात्मक दिशा से $\frac{\pi}{6}$ का कोण बनाता है तथा $\triangle \mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल $\frac{98}{3} \sqrt{3}$ है, तो $\mathrm{a}^2-\mathrm{b}^2$ बराबर है :
एक सरल रेखा, $\mathrm{x}$-अक्ष तथा $\mathrm{y}$-अक्ष की धनात्मक दिशाओं पर क्रमशः $\mathrm{OA}=\mathrm{a}$ तथा $\mathrm{OB}=\mathrm{b}$ अंतःखंड़ करती है। यदि मूलबिंदु $\mathrm{O}$ से इस रेखा पर अभिलंब $\mathrm{y}$-अक्ष की धनात्मक दिशा से $\frac{\pi}{6}$ का कोण बनाता है तथा $\triangle \mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल $\frac{98}{3} \sqrt{3}$ है, तो $\mathrm{a}^2-\mathrm{b}^2$ बराबर है :
- [JEE MAIN 2023]