Arithmetic progression Questions in Hindi

(A) दिया गया पुनरावर्ती सूत्र:
$a_{1} = 1$
$a_{n} = a_{n-1} + 2$ जहाँ $n \ge 2$
पदों की गणना:
$a_{1} = 1$
$a_{2} = a_{1} + 2 = 1 + 2 = 3$
$a_{3} = a_{2} + 2 = 3 + 2 = 5$
$a_{4} = a_{3} + 2 = 5 + 2 = 7$
$a_{5} = a_{4} + 2 = 7 + 2 = 9$
प्रथम पाँच पद $1, 3, 5, 7, 9$ हैं।
संगत श्रेणी $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \ldots$ है।

(A) सूत्र $a_{n} = \frac{2n - 3}{6}$ में $n = 1, 2, 3, 4, 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1} = \frac{2(1) - 3}{6} = \frac{-1}{6}$
$a_{2} = \frac{2(2) - 3}{6} = \frac{1}{6}$
$a_{3} = \frac{2(3) - 3}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$a_{4} = \frac{2(4) - 3}{6} = \frac{5}{6}$
$a_{5} = \frac{2(5) - 3}{6} = \frac{7}{6}$
अतः,प्रथम पाँच पद $-\frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}, \frac{5}{6}, \frac{7}{6}$ हैं।

(A) $n^{\text{th}}$ पद का सूत्र दिया गया है: $a_{n} = 4n - 3$.
$17^{\text{th}}$ पद ज्ञात करने के लिए,$n = 17$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a_{17} = 4(17) - 3 = 68 - 3 = 65$.
$24^{\text{th}}$ पद ज्ञात करने के लिए,$n = 24$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a_{24} = 4(24) - 3 = 96 - 3 = 93$.
अतः,$17^{\text{th}}$ और $24^{\text{th}}$ पद क्रमशः $65$ और $93$ हैं।

(A) माना कि प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
हमें दिया गया है:
$a_m = a + (m - 1)d = n$ --- $(1)$
$a_n = a + (n - 1)d = m$ --- $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$(a + (m - 1)d) - (a + (n - 1)d) = n - m$
$(m - 1 - n + 1)d = n - m$
$(m - n)d = -(m - n)$
चूँकि $m \neq n$,हम $(m - n)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$d = -1$
$d = -1$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a + (m - 1)(-1) = n$
$a - m + 1 = n$
$a = n + m - 1$
अब,$p^{\text{th}}$ पद इस प्रकार है:
$a_p = a + (p - 1)d$
$a_p = (n + m - 1) + (p - 1)(-1)$
$a_p = n + m - 1 - p + 1$
$a_p = n + m - p$

(B) दिया गया है कि $A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = nP + \frac{1}{2}n(n-1)Q$ है।
$n=1$ के लिए,$S_1 = a_1 = P(1) + \frac{1}{2}(1)(0)Q = P$.
$n=2$ के लिए,$S_2 = a_1 + a_2 = P(2) + \frac{1}{2}(2)(1)Q = 2P + Q$.
चूँकि $a_2 = S_2 - S_1$,इसलिए $a_2 = (2P + Q) - P = P + Q$.
सार्व अंतर $d$ का मान $d = a_2 - a_1$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$d = (P + Q) - P = Q$.

(A) माना $a_1, a_2$ और $d_1, d_2$ क्रमशः पहली और दूसरी समांतर श्रेणी के प्रथम पद और सार्व अंतर हैं।
दी गई शर्त के अनुसार:
$\frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d_1]}{\frac{n}{2}[2a_2 + (n-1)d_2]} = \frac{3n + 8}{7n + 15}$
$\frac{2a_1 + (n-1)d_1}{2a_2 + (n-1)d_2} = \frac{3n + 8}{7n + 15}$ --- $(1)$
हमें $12$ वें पदों का अनुपात ज्ञात करना है,जो $\frac{a_1 + 11d_1}{a_2 + 11d_2}$ है।
समीकरण $(1)$ में $n-1 = 22$ रखने पर,$n = 23$ प्राप्त होता है।
$n = 23$ रखने पर:
$\frac{a_1 + 11d_1}{a_2 + 11d_2} = \frac{3(23) + 8}{7(23) + 15} = \frac{77}{176} = \frac{7}{16}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $7 : 16$ है।

(A) आय एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ का पालन करती है जहाँ प्रथम पद $a = 3,00,000$,सार्व अंतर $d = 10,000$,और वर्षों की संख्या $n = 20$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योगफल सूत्र: $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$S_{20} = \frac{20}{2} [2(3,00,000) + (20 - 1)(10,000)]$
$S_{20} = 10 [6,00,000 + 1,90,000]$
$S_{20} = 10 [7,90,000] = 79,00,000$।
अतः,$20$ वर्षों में प्राप्त कुल राशि $Rs. \,79,00,000$ है।

(A) मान लीजिए $3$ और $24$ के बीच छह संख्याएँ $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}$ हैं,ताकि $3, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, 24$ एक $A.P.$ में हों।
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$,अंतिम पद $l = 24$,और पदों की कुल संख्या $n = 6 + 2 = 8$ है।
$n$ वें पद का सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $24 = 3 + (8 - 1)d$.
$24 - 3 = 7d \implies 21 = 7d \implies d = 3$.
संख्याएँ इस प्रकार हैं:
$A_{1} = a + d = 3 + 3 = 6$
$A_{2} = a + 2d = 3 + 6 = 9$
$A_{3} = a + 3d = 3 + 9 = 12$
$A_{4} = a + 4d = 3 + 12 = 15$
$A_{5} = a + 5d = 3 + 15 = 18$
$A_{6} = a + 6d = 3 + 18 = 21$
अतः,$3$ और $24$ के बीच की छह संख्याएँ $6, 9, 12, 15, 18, 21$ हैं।

(A) $1$ से $2001$ तक की विषम संख्याएँ $1, 3, 5, \dots, 2001$ हैं।
यह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाता है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
माना पदों की संख्या $n$ है। $n$ वाँ पद $a + (n - 1)d = 2001$ द्वारा दिया जाता है।
$1 + (n - 1)(2) = 2001$
$2(n - 1) = 2000$
$n - 1 = 1000$
$n = 1001$
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[a + l]$ है,जहाँ $l$ अंतिम पद है।
$S_{1001} = \frac{1001}{2}[1 + 2001]$
$S_{1001} = \frac{1001}{2} \times 2002$
$S_{1001} = 1001 \times 1001 = 1002001$.
अतः,$1$ से $2001$ तक की विषम संख्याओं का योग $1002001$ है।

(A) $100$ और $1000$ के बीच स्थित $5$ के गुणज वाली प्राकृतिक संख्याएँ $105, 110, \dots, 995$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी बनाती है जहाँ प्रथम पद $a = 105,$ सार्व अंतर $d = 5,$ और अंतिम पद $l = 995$ है।
$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $a_n = a + (n - 1)d.$
$995 = 105 + (n - 1)5.$
$890 = (n - 1)5.$
$n - 1 = 178 \Rightarrow n = 179.$
अब,योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l).$
$S_{179} = \frac{179}{2}(105 + 995).$
$S_{179} = \frac{179}{2}(1100).$
$S_{179} = 179 \times 550 = 98450.$
अतः,योग $98450$ है।

(A) माना प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अंतर $d$ है।
प्रथम पाँच पदों का योग $= 2 + (2+d) + (2+2d) + (2+3d) + (2+4d) = 10 + 10d$.
अगले पाँच पदों का योग $= (2+5d) + (2+6d) + (2+7d) + (2+8d) + (2+9d) = 10 + 35d$.
दी गई शर्त के अनुसार,$10 + 10d = \frac{1}{4}(10 + 35d)$.
$40 + 40d = 10 + 35d$.
$5d = -30 \Rightarrow d = -6$.
$20$ वाँ पद $a_{20} = a + (20-1)d = 2 + 19(-6) = 2 - 114 = -112$.
अतः,$20$ वाँ पद $-112$ है।

(C) माना कि दिए गए $A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = -25$ है।
$n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = -6$ और सार्व अंतर $d = -\frac{11}{2} - (-6) = -\frac{11}{2} + 6 = \frac{1}{2}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$-25 = \frac{n}{2}[2(-6) + (n-1)(\frac{1}{2})]$
$-50 = n[-12 + \frac{n}{2} - \frac{1}{2}]$
$-50 = n[\frac{n-25}{2}]$
$-100 = n^2 - 25n$
$n^2 - 25n + 100 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$n^2 - 20n - 5n + 100 = 0$
$n(n-20) - 5(n-20) = 0$
$(n-20)(n-5) = 0$
अतः,$n = 20$ या $n = 5$ प्राप्त होता है।

$A.P.$ का सामान्य पद $a_n = a + (n-1)d$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$a_p = a + (p-1)d = \frac{1}{q}$ $(1)$
$a_q = a + (q-1)d = \frac{1}{p}$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(p-1)d - (q-1)d = \frac{1}{q} - \frac{1}{p}$
$(p-q)d = \frac{p-q}{pq}$
चूंकि $p \neq q$,इसलिए $d = \frac{1}{pq}$ प्राप्त होता है।
$d$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$a + (p-1)\frac{1}{pq} = \frac{1}{q}$
$a = \frac{1}{q} - \frac{p-1}{pq} = \frac{p - (p-1)}{pq} = \frac{1}{pq}$।
प्रथम $pq$ पदों का योग $S_{pq} = \frac{pq}{2}[2a + (pq-1)d]$ है।
$S_{pq} = \frac{pq}{2}[2(\frac{1}{pq}) + (pq-1)(\frac{1}{pq})]$
$S_{pq} = \frac{pq}{2}[\frac{2 + pq - 1}{pq}]$
$S_{pq} = \frac{pq}{2}[\frac{pq+1}{pq}] = \frac{1}{2}(pq+1)$।

(A) माना कि दी गई $A.P.$ के $n$ पदों का योग $116$ है।
$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$
यहाँ,$a = 25$ और $d = 22 - 25 = -3$ है।
$\therefore 116 = \frac{n}{2}[2 \times 25 + (n - 1)(-3)]$
$\Rightarrow 232 = n(50 - 3n + 3)$
$\Rightarrow 232 = 53n - 3n^{2}$
$\Rightarrow 3n^{2} - 53n + 232 = 0$
$\Rightarrow 3n^{2} - 24n - 29n + 232 = 0$
$\Rightarrow 3n(n - 8) - 29(n - 8) = 0$
$\Rightarrow (n - 8)(3n - 29) = 0$
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 8$ है।
$\therefore a_{8} = a + (8 - 1)d = 25 + 7(-3) = 25 - 21 = 4$ है।
अतः,$A.P.$ का अंतिम पद $4$ है।

(A) $A.P.$ का $k^{\text{th}}$ पद $a_k = 5k+1$ दिया गया है।
प्रथम पद $a_1$ ज्ञात करने के लिए,$k=1$ रखें:
$a_1 = 5(1)+1 = 6$.
द्वितीय पद $a_2$ ज्ञात करने के लिए,$k=2$ रखें:
$a_2 = 5(2)+1 = 11$.
सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = 11 - 6 = 5$.
$A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ होता है।
$a=6$ और $d=5$ रखने पर:
$S_n = \frac{n}{2}[2(6) + (n-1)5]$
$S_n = \frac{n}{2}[12 + 5n - 5]$
$S_n = \frac{n}{2}[5n + 7]$.

(D) $A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = pn + qn^2$ द्वारा दिया गया है।
प्रथम पद $a_1 = S_1 = p(1) + q(1)^2 = p + q$ है।
प्रथम दो पदों का योग $S_2 = p(2) + q(2)^2 = 2p + 4q$ है।
दूसरा पद $a_2 = S_2 - S_1 = (2p + 4q) - (p + q) = p + 3q$ है।
सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = (p + 3q) - (p + q) = 2q$ है।
वैकल्पिक रूप से,$S_n = \frac{d}{2}n^2 + (a - \frac{d}{2})n$ की तुलना $S_n = qn^2 + pn$ से करने पर,हमें $\frac{d}{2} = q$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d = 2q$।

(A) माना कि पहली और दूसरी समांतर श्रेणी के प्रथम पद $a_1, a_2$ और सार्व अंतर $d_1, d_2$ हैं।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दी गई शर्त के अनुसार:
$\frac{S_{n,1}}{S_{n,2}} = \frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d_1]}{\frac{n}{2}[2a_2 + (n-1)d_2]} = \frac{5n+4}{9n+6}$
$\Rightarrow \frac{2a_1 + (n-1)d_1}{2a_2 + (n-1)d_2} = \frac{5n+4}{9n+6}$
हमें $18$ वें पदों का अनुपात ज्ञात करना है,जो $\frac{a_1 + 17d_1}{a_2 + 17d_2}$ है।
$d_1$ और $d_2$ के लिए $17$ गुणांक प्राप्त करने के लिए,हम $\frac{n-1}{2} = 17$ लेते हैं,जिससे $n-1 = 34$ प्राप्त होता है,अतः $n = 35$ है।
अनुपात में $n = 35$ रखने पर:
$\frac{2a_1 + 34d_1}{2a_2 + 34d_2} = \frac{5(35)+4}{9(35)+6}$
$\Rightarrow \frac{2(a_1 + 17d_1)}{2(a_2 + 17d_2)} = \frac{175+4}{315+6}$
$\Rightarrow \frac{a_1 + 17d_1}{a_2 + 17d_2} = \frac{179}{321}$
अतः,उनके $18$ वें पदों का अनुपात $179 : 321$ है।

(A) माना कि $a$ प्रथम पद है और $d$ $A.P.$ का सार्व अंतर है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $S_p = S_q$,इसलिए:
$\frac{p}{2}[2a + (p-1)d] = \frac{q}{2}[2a + (q-1)d]$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$p[2a + (p-1)d] = q[2a + (q-1)d]$
$2ap + p(p-1)d = 2aq + q(q-1)d$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$2a(p-q) + [p(p-1) - q(q-1)]d = 0$
$2a(p-q) + [p^2 - p - q^2 + q]d = 0$
$2a(p-q) + [(p^2 - q^2) - (p-q)]d = 0$
$2a(p-q) + [(p-q)(p+q) - (p-q)]d = 0$
$(p-q)$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $p \neq q$):
$2a + (p+q-1)d = 0$
अब,प्रथम $(p+q)$ पदों का योग है:
$S_{p+q} = \frac{p+q}{2}[2a + (p+q-1)d]$
$2a + (p+q-1)d = 0$ रखने पर:
$S_{p+q} = \frac{p+q}{2} \times 0 = 0$
अतः,प्रथम $(p+q)$ पदों का योग $0$ है।

माना $A$ प्रथम पद है और $D$ $A.P.$ का सार्व अंतर है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$S_{p} = \frac{p}{2}[2A + (p-1)D] = a \Rightarrow \frac{a}{p} = A + \frac{(p-1)D}{2} \dots (1)$
$S_{q} = \frac{q}{2}[2A + (q-1)D] = b \Rightarrow \frac{b}{q} = A + \frac{(q-1)D}{2} \dots (2)$
$S_{r} = \frac{r}{2}[2A + (r-1)D] = c \Rightarrow \frac{c}{r} = A + \frac{(r-1)D}{2} \dots (3)$
अब,व्यंजक $\frac{a}{p}(q-r) + \frac{b}{q}(r-p) + \frac{c}{r}(p-q)$ पर विचार करें।
$(1), (2),$ और $(3)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= [A + \frac{(p-1)D}{2}](q-r) + [A + \frac{(q-1)D}{2}](r-p) + [A + \frac{(r-1)D}{2}](p-q)$
$= A(q-r+r-p+p-q) + \frac{D}{2}[(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)]$
$= A(0) + \frac{D}{2}[pq - pr - q + r + qr - qp - r + p + rp - rq - p + q]$
$= 0 + \frac{D}{2}[0] = 0$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(N/A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि $m$ पदों के योग और $n$ पदों के योग का अनुपात $\frac{m^2}{n^2}$ है।
$\frac{\frac{m}{2}[2a + (m-1)d]}{\frac{n}{2}[2a + (n-1)d]} = \frac{m^2}{n^2}$
$\frac{2a + (m-1)d}{2a + (n-1)d} = \frac{m}{n}$
हमें $m$ वें पद और $n$ वें पद का अनुपात ज्ञात करना है,जो $\frac{a + (m-1)d}{a + (n-1)d}$ है।
इस रूप को प्राप्त करने के लिए,समीकरण के बाईं ओर के अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a + \frac{(m-1)}{2}d}{a + \frac{(n-1)}{2}d} = \frac{m}{n}$
पदों की तुलना करते हुए,हम अनुपात $\frac{2a+(m-1)d}{2a+(n-1)d} = \frac{m}{n}$ में $m$ के स्थान पर $(2m-1)$ और $n$ के स्थान पर $(2n-1)$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{2a + (2m-1-1)d}{2a + (2n-1-1)d} = \frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{2a + (2m-2)d}{2a + (2n-2)d} = \frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{2[a + (m-1)d]}{2[a + (n-1)d]} = \frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{a + (m-1)d}{a + (n-1)d} = \frac{2m-1}{2n-1}$
अतः,$m$ वें पद और $n$ वें पद का अनुपात $(2m-1):(2n-1)$ सिद्ध होता है।

(C) माना कि $a$ प्रथम पद है और $d$ $A.P.$ का सार्व अंतर है।
दिया गया है कि $n$ पदों का योग $S_{n} = 3n^{2} + 5n$ है।
$n$-वाँ पद $a_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$a_{n} = (3n^{2} + 5n) - [3(n-1)^{2} + 5(n-1)]$
$a_{n} = 3n^{2} + 5n - [3(n^{2} - 2n + 1) + 5n - 5]$
$a_{n} = 3n^{2} + 5n - [3n^{2} - 6n + 3 + 5n - 5]$
$a_{n} = 3n^{2} + 5n - 3n^{2} + n + 2 = 6n + 2$.
दिया गया है कि $m$-वाँ पद $a_{m} = 164$ है।
$6m + 2 = 164$
$6m = 162$
$m = \frac{162}{6} = 27$.
अतः,$m$ का मान $27$ है।

(A) मान लीजिए कि $8$ और $26$ के बीच पाँच संख्याएँ $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ और $A_{5}$ हैं,ताकि $8, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, 26$ एक $A.P.$ बनाए।
यहाँ,प्रथम पद $a = 8$ और अंतिम पद $l = 26$ है। कुल पदों की संख्या $n = 5 + 2 = 7$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $26 = 8 + (7 - 1)d$.
$26 = 8 + 6d$ $\Rightarrow 6d = 18$ $\Rightarrow d = 3$.
पाँच संख्याएँ इस प्रकार हैं:
$A_{1} = a + d = 8 + 3 = 11$
$A_{2} = a + 2d = 8 + 6 = 14$
$A_{3} = a + 3d = 8 + 9 = 17$
$A_{4} = a + 4d = 8 + 12 = 20$
$A_{5} = a + 5d = 8 + 15 = 23$
अतः,अभीष्ट पाँच संख्याएँ $11, 14, 17, 20, 23$ हैं।

(B) और $b$ का $A.M.$ $\frac{a+b}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई शर्त के अनुसार:
$\frac{a+b}{2} = \frac{a^{n}+b^{n}}{a^{n-1}+b^{n-1}}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1}) = 2(a^{n}+b^{n})$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$a^{n} + ab^{n-1} + ba^{n-1} + b^{n} = 2a^{n} + 2b^{n}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$ab^{n-1} + a^{n-1}b = a^{n} + b^{n}$
पदों को समूहित करने पर:
$ab^{n-1} - b^{n} = a^{n} - a^{n-1}b$
$b^{n-1}(a-b) = a^{n-1}(a-b)$
मान लीजिए $a \neq b$,तो $(a-b)$ से भाग देने पर:
$b^{n-1} = a^{n-1}$
$\left(\frac{a}{b}\right)^{n-1} = 1 = \left(\frac{a}{b}\right)^{0}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$n-1 = 0$
$n = 1$

(B) माना $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m}$ ऐसी $m$ संख्याएँ हैं कि $1, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m}, 31$ एक $A.P.$ है।
यहाँ,$a=1$,$b=31$,और कुल पदों की संख्या $n=m+2$ है।
सार्व अंतर $d = \frac{30}{m+1}$ (समीकरण $1$)।
$k^{\text{वीं}}$ डाली गई संख्या $A_{k} = 1 + kd$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,$\frac{1+7d}{1+(m-1)d} = \frac{5}{9}$।
$d$ का मान रखने पर,हमें $m=14$ प्राप्त होता है।

(A) ऋण की पहली किस्त $a = 100$ है।
हर महीने किस्त में होने वाली वृद्धि सार्व अंतर $d = 5$ है।
किस्तों का क्रम एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाता है: $100, 105, 110, \dots$
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
$30$ वीं किस्त के लिए,$n = 30$:
$a_{30} = 100 + (30 - 1) \times 5$
$a_{30} = 100 + 29 \times 5$
$a_{30} = 100 + 145$
$a_{30} = 245$
अतः,$30$ वीं किस्त में भुगतान की जाने वाली राशि $Rs. 245$ है।

(A) बहुभुज के कोण एक $A.P.$ बनाते हैं जहाँ प्रथम पद $a = 120^{\circ}$ और सार्व अंतर $d = 5^{\circ}$ है।
$n$ भुजाओं वाले बहुभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $S_{n} = 180^{\circ}(n-2)$ होता है।
$A.P.$ के योग सूत्र का उपयोग करते हुए,$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$.
दोनों को बराबर करने पर,$\frac{n}{2}[2(120^{\circ}) + (n-1)5^{\circ}] = 180^{\circ}(n-2)$.
$2$ से गुणा करने पर,$n[240 + 5n - 5] = 360(n-2)$.
$n(5n + 235) = 360n - 720$.
$5n^{2} + 235n = 360n - 720$.
$5n^{2} - 125n + 720 = 0$.
$5$ से भाग देने पर,$n^{2} - 25n + 144 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(n-9)(n-16) = 0$.
अतः,$n = 9$ या $n = 16$.
हालाँकि,$n = 16$ के लिए,सबसे बड़ा कोण $a + (n-1)d = 120^{\circ} + 15(5^{\circ}) = 195^{\circ}$ होगा। चूँकि उत्तल बहुभुज का आंतरिक कोण $180^{\circ}$ से कम होना चाहिए,इसलिए $n = 16$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,भुजाओं की संख्या $n = 9$ है।

माना $a$ और $d$ क्रमशः $A.P.$ का प्रथम पद और सार्व अंतर हैं।
हम जानते हैं कि $A.P.$ का $k^{th}$ पद $a_{k} = a + (k - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$a_{m+n} = a + (m + n - 1)d$ और $a_{m-n} = a + (m - n - 1)d$ है।
साथ ही,$m^{th}$ पद $a_{m} = a + (m - 1)d$ है।
अब,$(m+n)^{th}$ और $(m-n)^{th}$ पदों का योग:
$a_{m+n} + a_{m-n} = [a + (m + n - 1)d] + [a + (m - n - 1)d]$
$= 2a + (m + n - 1 + m - n - 1)d$
$= 2a + (2m - 2)d$
$= 2a + 2(m - 1)d$
$= 2[a + (m - 1)d]$
$= 2a_{m}$
अतः,एक $A.P.$ के $(m+n)^{th}$ और $(m-n)^{th}$ पदों का योग $m^{th}$ पद के दोगुने के बराबर है।

(A) माना $A.P.$ में तीन संख्याएँ $(a-d), a,$ और $(a+d)$ हैं।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$(a-d) + a + (a+d) = 24$
$3a = 24$
$a = 8$
साथ ही,उनका गुणनफल:
$(a-d) \times a \times (a+d) = 440$
$(8-d) \times 8 \times (8+d) = 440$
$(8-d)(8+d) = \frac{440}{8}$
$64 - d^2 = 55$
$d^2 = 64 - 55 = 9$
$d = \pm 3$
यदि $d = 3$ है,तो संख्याएँ $(8-3), 8, (8+3)$ अर्थात $5, 8, 11$ हैं।
यदि $d = -3$ है,तो संख्याएँ $(8-(-3)), 8, (8+(-3))$ अर्थात $11, 8, 5$ हैं।
अतः,वे संख्याएँ $5, 8, 11$ हैं।

मान लीजिए कि $a$ प्रथम पद है और $d$ $A.P.$ का सार्व अंतर है।
$S_{1} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ $(1)$
$S_{2} = \frac{2n}{2}[2a + (2n - 1)d] = n[2a + (2n - 1)d]$ $(2)$
$S_{3} = \frac{3n}{2}[2a + (3n - 1)d]$ $(3)$
अब,$S_{2} - S_{1}$ की गणना करें:
$S_{2} - S_{1} = n[2a + (2n - 1)d] - \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$
$= \frac{n}{2} [2(2a + 2nd - d) - (2a + nd - d)]$
$= \frac{n}{2} [4a + 4nd - 2d - 2a - nd + d]$
$= \frac{n}{2} [2a + 3nd - d] = \frac{n}{2} [2a + (3n - 1)d]$
अतः,$3(S_{2} - S_{1}) = 3 \times \frac{n}{2} [2a + (3n - 1)d] = \frac{3n}{2} [2a + (3n - 1)d] = S_{3}$ है।
इस प्रकार,परिणाम सिद्ध हुआ।

(A) $200$ और $400$ के बीच $7$ से विभाज्य संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: $203, 210, 217, \dots, 399.$
यहाँ,प्रथम पद $a = 203$ और अंतिम पद $l = 399$ है।
सार्व अंतर $d = 7$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए,$a_n = a + (n - 1)d:$
$399 = 203 + (n - 1)7$
$196 = (n - 1)7$
$n - 1 = 28$
$n = 29.$
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा दिया जाता है:
$S_{29} = \frac{29}{2}(203 + 399)$
$S_{29} = \frac{29}{2}(602)$
$S_{29} = 29 \times 301 = 8729.$
अतः,अभीष्ट योग $8729$ है।

(A) माना $2$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग $S_2$ है और $5$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग $S_5$ है।
$2$ से विभाज्य पूर्णांक $2, 4, 6, \ldots, 100$ हैं। यह एक $A.P.$ है जहाँ $a=2, d=2, n=50$ है।
$S_2 = \frac{50}{2}(2 + 100) = 25 \times 102 = 2550.$
$5$ से विभाज्य पूर्णांक $5, 10, 15, \ldots, 100$ हैं। यह एक $A.P.$ है जहाँ $a=5, d=5, n=20$ है।
$S_5 = \frac{20}{2}(5 + 100) = 10 \times 105 = 1050.$
$2$ और $5$ दोनों से विभाज्य पूर्णांक (अर्थात $10$ से विभाज्य) $10, 20, \ldots, 100$ हैं। यह एक $A.P.$ है जहाँ $a=10, d=10, n=10$ है।
$S_{10} = \frac{10}{2}(10 + 100) = 5 \times 110 = 550.$
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,अभीष्ट योग $= S_2 + S_5 - S_{10}.$
अभीष्ट योग $= 2550 + 1050 - 550 = 3050.$

(A) $4$ से विभाजित करने पर $1$ शेषफल देने वाली दो अंकों की संख्याएँ $13, 17, \ldots, 97$ हैं।
यह श्रेणी एक $A.P.$ बनाती है जिसका प्रथम पद $a = 13$ और सार्व अंतर $d = 4$ है।
माना पदों की संख्या $n$ है।
$n^{th}$ पद का सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर,$97 = 13 + (n - 1)(4)$.
$84 = (n - 1)(4) \implies n - 1 = 21 \implies n = 22$.
$A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{n}{2}[a + a_{n}]$ है।
$S_{22} = \frac{22}{2}[13 + 97] = 11 \times 110 = 1210$.
अतः,अभीष्ट योग $1210$ है।

(A) माना $A.P.$ $a, a+d, a+2d, \ldots, a+(n-1)d$ है।
पहले चार पदों का योग $a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) = 4a + 6d = 56$ है।
दिया है $a = 11$,इसलिए $4(11) + 6d = 56$ $\Rightarrow 44 + 6d = 56$ $\Rightarrow 6d = 12$ $\Rightarrow d = 2$.
अंतिम चार पदों का योग $[a+(n-4)d] + [a+(n-3)d] + [a+(n-2)d] + [a+(n-1)d] = 4a + (4n - 10)d = 112$ है।
$a = 11$ और $d = 2$ रखने पर:
$4(11) + (4n - 10)(2) = 112$
$44 + 8n - 20 = 112$
$8n + 24 = 112$
$8n = 88$
$n = 11$.
अतः,$A.P.$ में पदों की संख्या $11$ है।

(N/A) माना $A$ प्रथम पद है और $D$ $A.P.$ का सार्व अंतर है।
$A.P.$ का $n^{\text{th}}$ पद $a_n = A + (n-1)D$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,
$a_p = A + (p-1)D = a$ $(1)$
$a_q = A + (q-1)D = b$ $(2)$
$a_r = A + (r-1)D = c$ $(3)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$(p-q)D = a-b \Rightarrow D = \frac{a-b}{p-q}$ $(4)$
$(2)$ में से $(3)$ घटाने पर:
$(q-r)D = b-c \Rightarrow D = \frac{b-c}{q-r}$ $(5)$
$(4)$ और $(5)$ की तुलना करने पर:
$\frac{a-b}{p-q} = \frac{b-c}{q-r}$
वज्र-गुणन करने पर:
$(a-b)(q-r) = (b-c)(p-q)$
$aq - ar - bq + br = bp - bq - cp + cq$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$aq - ar - bq + br - bp + bq + cp - cq = 0$
$a(q-r) + b(r-p) + c(p-q) = 0$
इस प्रकार,परिणाम सिद्ध होता है।

(A) दिया गया है कि $a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ $A.P.$ में हैं।
$\therefore b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)-a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)$
$\Rightarrow \frac{b(a+c)}{ac}-\frac{a(b+c)}{bc}=\frac{c(a+b)}{ab}-\frac{b(a+c)}{ac}$
$\Rightarrow \frac{b^2a+b^2c-a^2b-a^2c}{abc}=\frac{c^2a+c^2b-b^2a-b^2c}{abc}$
$\Rightarrow b^2a-a^2b+b^2c-a^2c=c^2a-b^2a+c^2b-b^2c$
$\Rightarrow ab(b-a)+c(b^2-a^2)=a(c^2-b^2)+bc(c-b)$
$\Rightarrow ab(b-a)+c(b-a)(b+a)=a(c-b)(c+b)+bc(c-b)$
$\Rightarrow (b-a)(ab+cb+ca)=(c-b)(ac+ab+bc)$
मान लीजिए $ab+bc+ca \neq 0$,तो हमें $b-a=c-b$ प्राप्त होता है।
अतः,$2b=a+c$,जो दर्शाता है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं।

(A) किसान $Rs. 6000$ नकद भुगतान करता है।
अतः,शेष राशि $Rs. 12000 - Rs. 6000 = Rs. 6000$ है।
किसान शेष राशि को $12$ वार्षिक किस्तों में $Rs. 500$ प्रति किस्त और शेष राशि पर $12\%$ ब्याज के साथ चुकाता है।
प्रत्येक वर्ष के अंत में शेष राशि $6000, 5500, 5000, \dots, 500$ है।
कुल ब्याज $= 12\% \text{ of } (6000 + 5500 + 5000 + \dots + 500)$.
यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 500$,अंतिम पद $l = 6000$,और पदों की संख्या $n = 12$ है।
$A.P.$ का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{12}{2}(500 + 6000) = 6(6500) = 39000$.
कुल ब्याज $= 12\% \text{ of } 39000 = \frac{12}{100} \times 39000 = 12 \times 390 = Rs. 4680$.
ट्रैक्टर की कुल लागत $= \text{नकद भुगतान} + \text{शेष राशि} + \text{कुल ब्याज} = 6000 + 6000 + 4680 = Rs. 16680$.

(A) शमशाद अली $Rs. 22000$ में स्कूटर खरीदता है और $Rs. 4000$ नकद देता है।
$\therefore$ शेष राशि $= Rs. 22000 - Rs. 4000 = Rs. 18000$.
वह प्रति वर्ष $Rs. 1000$ और शेष राशि पर $10\%$ ब्याज चुकाता है।
प्रत्येक वर्ष चुकाया गया ब्याज:
$10\%$ of $18000, 10\%$ of $17000, 10\%$ of $16000, \dots, 10\%$ of $1000$.
कुल ब्याज $= 10\% \times (18000 + 17000 + 16000 + \dots + 1000)$.
यह एक $A.P.$ है जहाँ $a = 1000$,$l = 18000$,और $d = 1000$.
पदों की संख्या $n = 18$.
योग $= \frac{n}{2}(a + l) = \frac{18}{2}(1000 + 18000) = 9 \times 19000 = 171000$.
कुल ब्याज $= 10\% \text{ of } 171000 = Rs. 17100$.
स्कूटर की कुल लागत $= \text{मूलधन} + \text{कुल ब्याज} = 22000 + 17100 = Rs. 39100$.

(A) मूलधन $P = Rs. 10000$ और वार्षिक साधारण ब्याज $I = \frac{5}{100} \times 10000 = Rs. 500$ है।
$n$वें वर्ष में राशि $A_n = P + (n-1)I$ द्वारा दी जाती है।
$15$वें वर्ष के लिए,$n = 15$:
$A_{15} = 10000 + (15-1) \times 500 = 10000 + 14 \times 500 = 10000 + 7000 = Rs. 17000$.
$20$ वर्षों के बाद कुल राशि $20$वें वर्ष के अंत में राशि है:
$A_{20} = P + 20 \times I = 10000 + 20 \times 500 = 10000 + 10000 = Rs. 20000$.

(A) मान लीजिए कि $150$ श्रमिक $x$ दिनों में काम पूरा करते हैं।
कुल कार्य $150x$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,कार्य $(x+8)$ दिनों में पूरा होता है:
$150x = 150 + 146 + 142 + \dots$ $(x+8)$ पदों तक।
यह श्रेणी $150 + 146 + 142 + \dots$ एक $A.P.$ है जिसका प्रथम पद $a = 150$,सार्व अंतर $d = -4$ और पदों की संख्या $n = x+8$ है।
$A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ होता है।
$150x = \frac{x+8}{2}[2(150) + (x+8-1)(-4)]$
$150x = (x+8)(136 - 2x)$
$75x = (x+8)(68 - x)$
$x^2 + 15x - 544 = 0$
$(x + 32)(x - 17) = 0$
चूंकि $x = 17$,इसलिए कुल दिन $17 + 8 = 25$ हैं।

(B) $A.P.$ के प्रथम $11$ पदों का योग $0$ है:
$S_{11} = \frac{11}{2}(2a_{1} + 10d) = 0$
$11(a_{1} + 5d) = 0 \Rightarrow a_{1} = -5d$ या $d = -\frac{a_{1}}{5}$.
हमें $A.P.$ $a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots, a_{23}$ का योग ज्ञात करना है।
यह $12$ पदों वाली एक $A.P.$ है,जिसका प्रथम पद $A = a_{1}$ और सार्व अंतर $D = 2d$ है।
योग $= \frac{12}{2}(2A + (12-1)D) = 6(2a_{1} + 11(2d)) = 6(2a_{1} + 22d)$.
$d = -\frac{a_{1}}{5}$ रखने पर:
योग $= 6(2a_{1} + 22(-\frac{a_{1}}{5})) = 6(2a_{1} - \frac{22a_{1}}{5}) = 6(\frac{10a_{1} - 22a_{1}}{5}) = 6(-\frac{12a_{1}}{5}) = -\frac{72}{5}a_{1}$.
अतः,$k = -\frac{72}{5}$.

(C) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जिसमें प्रथम पद $a = 20$ और सार्व अंतर $d = -\frac{2}{5}$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] = 488$ है।
मान रखने पर: $\frac{n}{2} [40 + (n - 1)(-\frac{2}{5})] = 488$।
$n(101 - n) = 2440$।
$n^2 - 101n + 2440 = 0$।
हल करने पर,$n = 40$ या $n = 61$ प्राप्त होता है।
यदि $n = 61$ है,तो $n$ वां पद $T_n = 20 + (60)(-\frac{2}{5}) = -4$ है,जो ऋणात्मक है।
अतः,$n = 61$ और $n$ वां पद $-4$ है।

(D) माना प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्रथम $25$ पदों का योग अगले $15$ पदों के योग के बराबर है।
$S_{25} = S_{40} - S_{25}$ अर्थात $2S_{25} = S_{40}$।
सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ का उपयोग करने पर:
$2 \times \frac{25}{2}[2(3) + 24d] = \frac{40}{2}[2(3) + 39d]$
$25[6 + 24d] = 20[6 + 39d]$
$5[6 + 24d] = 4[6 + 39d]$
$30 + 120d = 24 + 156d$
$6 = 36d$
$d = \frac{1}{6}$.

(C) $A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_{n} = a_{1} + (n-1)d$ है।
दिया गया है $a_{1} = 1$ और $a_{n} = 300$,अतः $300 = 1 + (n-1)d$,जिसका अर्थ है $(n-1)d = 299$ है।
$299$ का अभाज्य गुणनखंड $13 \times 23$ है।
चूंकि $15 \leq n \leq 50$ है,इसलिए $14 \leq n-1 \leq 49$ है।
$299$ के गुणनखंड $1, 13, 23, 299$ हैं।
$n-1$ के लिए $[14, 49]$ के बीच होने के लिए,एकमात्र संभव मान $n-1 = 23$ है,जिससे $n = 24$ प्राप्त होता है।
अतः $d = 13$ है।
हमें $(S_{n-4}, a_{n-4})$ ज्ञात करना है। चूंकि $n = 24$ है,इसलिए $n-4 = 20$ है।
$a_{20} = a_{1} + 19d = 1 + 19(13) = 1 + 247 = 248$ है।
$S_{20} = \frac{20}{2}(a_{1} + a_{20}) = 10(1 + 248) = 10(249) = 2490$ है।
अतः,क्रमित युग्म $(2490, 248)$ है।

(A) माना पद $a_1 = 3^{2 \sin 2 \alpha - 1}$,$a_2 = 14$,और $a_3 = 3^{4 - 2 \sin 2 \alpha}$ हैं।
चूंकि वे $A.P.$ में हैं,$2a_2 = a_1 + a_3$.
$2(14) = 3^{2 \sin 2 \alpha - 1} + 3^{4 - 2 \sin 2 \alpha} = 28$.
माना $x = 3^{2 \sin 2 \alpha}$। तो समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{81}{x} = 28$ बन जाता है।
$x^2 - 84x + 243 = 0$.
$(x - 81)(x - 3) = 0$,इसलिए $x = 81$ या $x = 3$.
यदि $x = 3$ है,तो $3^{2 \sin 2 \alpha} = 3^1 \implies 2 \sin 2 \alpha = 1 \implies \sin 2 \alpha = 0.5$.
तब $a_1 = 3^{1-1} = 1$ और $a_2 = 14$। सार्व अंतर $d = 14 - 1 = 13$ है।
छठा पद $T_6 = a_1 + 5d = 1 + 5(13) = 1 + 65 = 66$.
यदि $x = 81$ है,तो $3^{2 \sin 2 \alpha} = 3^4 \implies 2 \sin 2 \alpha = 4 \implies \sin 2 \alpha = 2$,जो असंभव है।

(B) माना $A.P.$ $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ का सार्व अंतर $d$ है।
तब $A.P.$ $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}$ का सार्व अंतर $d + 2$ है।
प्रथम $A.P.$ के लिए,$a_{40} = a + 39d = -159$ और $a_{100} = a + 99d = -399$ है।
इन समीकरणों को घटाने पर: $(a + 99d) - (a + 39d) = -399 - (-159)$ $\Rightarrow 60d = -240$ $\Rightarrow d = -4$ प्राप्त होता है।
$d = -4$ को $a + 39d = -159$ में रखने पर: $a + 39(-4) = -159$ $\Rightarrow a - 156 = -159$ $\Rightarrow a = -3$ प्राप्त होता है।
अब,$a_{70} = a + 69d = -3 + 69(-4) = -3 - 276 = -279$ है।
दिया गया है कि $b_{100} = a_{70}$,अतः $b_{100} = -279$ है।
दूसरे $A.P.$ के $n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करने पर: $b_{100} = b_{1} + 99(d + 2) = -279$ है।
$d = -4$ रखने पर: $b_{1} + 99(-4 + 2) = -279 \Rightarrow b_{1} + 99(-2) = -279$ है।
$b_{1} - 198 = -279 \Rightarrow b_{1} = -279 + 198 = -81$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$S_{2n} = \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] = n[2a + (2n-1)d]$
$S_{4n} = \frac{4n}{2}[2a + (4n-1)d] = 2n[2a + (4n-1)d]$
दिया गया है कि $S_{2} - S_{1} = 1000$,जहाँ $S_{1} = S_{2n}$ और $S_{2} = S_{4n}$:
$2n[2a + (4n-1)d] - n[2a + (2n-1)d] = 1000$
$n[4a + 2(4n-1)d - 2a - (2n-1)d] = 1000$
$n[2a + (8n - 2 - 2n + 1)d] = 1000$
$n[2a + (6n - 1)d] = 1000$
$2a + (6n - 1)d = \frac{1000}{n}$
अब,पहले $6n$ पदों का योग $S_{6n} = \frac{6n}{2}[2a + (6n-1)d]$
$S_{6n} = 3n \times \frac{1000}{n} = 3000$

(C) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{n}{2}(2a_{1} + (n-1)d)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\frac{S_{10}}{S_{p}} = \frac{100}{p^{2}}$,अतः $\frac{\frac{10}{2}(2a_{1} + 9d)}{\frac{p}{2}(2a_{1} + (p-1)d)} = \frac{100}{p^{2}}$.
सरल करने पर,$\frac{2a_{1} + 9d}{2a_{1} + (p-1)d} = \frac{10}{p}$.
वज्र-गुणन करने पर $p(2a_{1} + 9d) = 10(2a_{1} + (p-1)d)$ प्राप्त होता है।
$2a_{1}p + 9dp = 20a_{1} + 10dp - 10d$.
$2a_{1}(p - 10) = d(p - 10)$.
चूंकि $p \neq 10$,इसलिए $2a_{1} = d$ या $\frac{a_{1}}{d} = \frac{1}{2}$.
अब $\frac{a_{11}}{a_{10}} = \frac{a_{1} + 10d}{a_{1} + 9d}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$d = 2a_{1}$ रखने पर,$\frac{a_{1} + 10(2a_{1})}{a_{1} + 9(2a_{1})} = \frac{21a_{1}}{19a_{1}} = \frac{21}{19}$.

(B) दिया गया है $\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n} a_{n+1}} = \frac{4}{9}$.
चूंकि $a_{n+1} = a_{n} + d$,इसलिए $\frac{1}{a_{n} a_{n+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n+1}} \right)$.
अतः,$\frac{1}{d} \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n+1}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{21}} \right) = \frac{4}{9}$.
$\frac{1}{d} \left( \frac{a_{21} - a_{1}}{a_{1} a_{21}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{20d}{a_{1} a_{21}} \right) = \frac{20}{a_{1} a_{21}} = \frac{4}{9} \implies a_{1} a_{21} = 45$.
$21$ पदों का योग $S_{21} = \frac{21}{2} (a_{1} + a_{21}) = 189 \implies a_{1} + a_{21} = 18$.
हमारे पास $a_{1} + a_{21} = 18$ और $a_{1} a_{21} = 45$ है। समीकरण $x^{2} - 18x + 45 = 0$ के मूल $a_{1}, a_{21}$ हैं।
$(x - 15)(x - 3) = 0 \implies \{a_{1}, a_{21}\} = \{3, 15\}$.
स्थिति $1$: $a_{1} = 3, a_{21} = 15 \implies 3 + 20d = 15 \implies d = 0.6$.
स्थिति $2$: $a_{1} = 15, a_{21} = 3 \implies 15 + 20d = 3 \implies d = -0.6$.
$a_{6} a_{16} = (a_{1} + 5d)(a_{1} + 15d)$.
स्थिति $1$ के लिए: $(3 + 5(0.6))(3 + 15(0.6)) = (3 + 3)(3 + 9) = 6 \times 12 = 72$.
स्थिति $2$ के लिए: $(15 + 5(-0.6))(15 + 15(-0.6)) = (15 - 3)(15 - 9) = 12 \times 6 = 72$.
अतः,$a_{6} a_{16} = 72$.

(A) दी गई श्रेणी $\log _{9^{1/2}} x + \log _{9^{1/3}} x + \log _{9^{1/4}} x + \dots$ है।
$\log_{a^b} x = \frac{1}{b} \log_a x$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,पद इस प्रकार हैं:
$2 \log_9 x + 3 \log_9 x + 4 \log_9 x + \dots$
यह $21$ पदों की एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = 2 \log_9 x$ और सार्व अंतर $d = \log_9 x$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ होता है।
$n = 21$ के लिए,$S_{21} = \frac{21}{2} [2(2 \log_9 x) + (21-1) \log_9 x] = 504$.
$S_{21} = \frac{21}{2} [4 \log_9 x + 20 \log_9 x] = \frac{21}{2} [24 \log_9 x] = 252 \log_9 x$.
दिया गया है कि $252 \log_9 x = 504$,इसलिए $\log_9 x = 2$.
अतः,$x = 9^2 = 81$.

(D) समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S_{10} = 530$,अतः $\frac{10}{2} \{2a + 9d\} = 530 \Rightarrow 2a + 9d = 106 \quad \dots(1)$.
दिया गया है $S_{5} = 140$,अतः $\frac{5}{2} \{2a + 4d\} = 140 \Rightarrow 2a + 4d = 56 \quad \dots(2)$.
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ घटाने पर,$5d = 50$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d = 10$.
$d = 10$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर,$2a + 4(10) = 56$ $\Rightarrow 2a = 16$ $\Rightarrow a = 8$.
अब,$S_{20} - S_{6} = \frac{20}{2} \{2a + 19d\} - \frac{6}{2} \{2a + 5d\}$.
$= 10(2(8) + 19(10)) - 3(2(8) + 5(10))$.
$= 10(16 + 190) - 3(16 + 50)$.
$= 10(206) - 3(66) = 2060 - 198 = 1862$.