Arithmetic progression Questions in Hindi

(B) मान लीजिए $a$ प्रथम पद है और $d$ इस समांतर श्रेणी का सार्व अंतर है।
दिया है $S_{3n} = 3S_{2n}$।
सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ का उपयोग करने पर:
$\frac{3n}{2}[2a + (3n-1)d] = 3 \times \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d]$
दोनों पक्षों को $\frac{3n}{2}$ से विभाजित करने पर:
$2a + (3n-1)d = 2[2a + (2n-1)d]$
$2a + 3nd - d = 4a + 4nd - 2d$
$2a + nd - d = 0$
$2a + (n-1)d = 0$
अब,हमें $\frac{S_{4n}}{S_{2n}}$ का मान ज्ञात करना है:
$\frac{S_{4n}}{S_{2n}} = \frac{\frac{4n}{2}[2a + (4n-1)d]}{\frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d]} = 2 \times \frac{2a + (n-1)d + 3nd}{2a + (n-1)d + nd}$
चूंकि $2a + (n-1)d = 0$,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\frac{S_{4n}}{S_{2n}} = 2 \times \frac{0 + 3nd}{0 + nd} = 2 \times 3 = 6$.

(C) दिया गया है कि $\log _{3} 2, \log _{3}(2^{x}-5), \log _{3}(2^{x}-\frac{7}{2})$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
तीन पदों $a, b, c$ के $AP$ में होने के लिए,$2b = a + c$ होता है।
इसलिए,$2 \log _{3}(2^{x}-5) = \log _{3} 2 + \log _{3}(2^{x}-\frac{7}{2})$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\log _{3}(2^{x}-5)^{2} = \log _{3}[2(2^{x}-\frac{7}{2})]$.
$(2^{x}-5)^{2} = 2(2^{x}-\frac{7}{2})$.
मान लीजिए $2^{x} = t$. तो $(t-5)^{2} = 2t - 7$.
$t^{2} - 10t + 25 = 2t - 7$.
$t^{2} - 12t + 32 = 0$.
$(t-4)(t-8) = 0$.
अतः,$t = 4$ या $t = 8$.
यदि $2^{x} = 4$,तो $x = 2$. लेकिन $\log _{3}(2^{x}-5)$ को परिभाषित होने के लिए $2^{x}-5 > 0$ होना चाहिए,इसलिए $4-5 = -1$,जो मान्य नहीं है।
यदि $2^{x} = 8$,तो $x = 3$. यहाँ $8-5 = 3 > 0$ और $8-3.5 = 4.5 > 0$,जो मान्य है।
अतः,$x = 3$.

(D) हमें $x, y > 0$ और $x^{3} y^{2} = 2^{15}$ दिया गया है।
हमें $3x + 2y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
$AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर: $\frac{x+x+x+y+y}{5} \geq \sqrt[5]{x^{3} y^{2}}$.
$\frac{3x + 2y}{5} \geq (2^{15})^{1/5}$.
$\frac{3x + 2y}{5} \geq 2^{3}$.
$\frac{3x + 2y}{5} \geq 8$.
$3x + 2y \geq 40$.
अतः,$3x + 2y$ का न्यूनतम मान $40$ है।

(B) समांतर श्रेणी का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
$d=1$ दिया गया है,इसलिए $\sum_{i=1}^{n} a_i = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)] = 192$.
$2a_1 + n - 1 = \frac{384}{n} \quad \dots(1)$
पद $a_{2i}$ का अनुक्रम $a_2, a_4, \dots, a_n$ है। यह एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_2 = a_1 + 1$ और सार्व अंतर $2d = 2$ है।
पदों की संख्या $n/2$ है।
$\sum_{i=1}^{n/2} a_{2i} = \frac{n/2}{2}[2(a_1+1) + (n/2 - 1)2] = 120$.
$\frac{n}{4}[2a_1 + 2 + n - 2] = 120 \Rightarrow \frac{n}{4}[2a_1 + n] = 120$.
$2a_1 + n = \frac{480}{n} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ से $(1)$ को घटाने पर:
$(2a_1 + n) - (2a_1 + n - 1) = \frac{480}{n} - \frac{384}{n}$.
$1 = \frac{96}{n}$.
$n = 96$.

(D) दिया गया है कि $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ एक $A.P.$ है जहाँ $a_{1}=2$ और $a_{10}=3$ है।
$a_{n} = a_{1} + (n-1)d_{1}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$3 = 2 + 9d_{1}$,अतः $d_{1} = \frac{1}{9}$ है।
इस प्रकार,$a_{4} = a_{1} + 3d_{1} = 2 + 3(\frac{1}{9}) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ है।
दिया गया है कि $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ एक $A.P.$ है जहाँ $a_{1}b_{1}=1$ और $a_{10}b_{10}=1$ है।
चूँकि $a_{1}=2$ है,$b_{1} = \frac{1}{2}$ है। चूँकि $a_{10}=3$ है,$b_{10} = \frac{1}{3}$ है।
$b_{n} = b_{1} + (n-1)d_{2}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{1}{3} = \frac{1}{2} + 9d_{2}$,अतः $9d_{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$,जिससे $d_{2} = -\frac{1}{54}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$b_{4} = b_{1} + 3d_{2} = \frac{1}{2} + 3(-\frac{1}{54}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{18} = \frac{9-1}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$ है।
अतः,$a_{4}b_{4} = (\frac{7}{3})(\frac{4}{9}) = \frac{28}{27}$ है।

(C) माना समांतर माध्य $A_1, A_2, \dots, A_n$ हैं। सार्व अंतर $d = \frac{100 - a}{n + 1}$ है।
पहला माध्य $A_1 = a + d$ और अंतिम माध्य $A_n = 100 - d$ है।
दिया है $\frac{A_1}{A_n} = \frac{1}{7}$,अतः $\frac{a + d}{100 - d} = \frac{1}{7}$।
वज्र गुणन करने पर $7(a + d) = 100 - d$,जो $7a + 8d = 100$ में सरल होता है।
$d = \frac{100 - a}{n + 1}$ रखने पर,हमें $7a + 8\left(\frac{100 - a}{n + 1}\right) = 100$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a + n = 33$,$a = 33 - n$ को समीकरण में रखने पर:
$7(33 - n) + 8\left(\frac{67 + n}{n + 1}\right) = 100$
सरल करने पर $7n^2 - 132n - 667 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(n - 23)(7n + 29) = 0$।
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 23$।

(C) मान लीजिए समुच्चय $A$ में $n = 20$ अवयव हैं। समुच्चय $A + A$ में $39$ अवयव हैं। $n$ अवयवों वाले समुच्चय के लिए,$A + A$ में अवयवों की अधिकतम संख्या $\frac{n(n+1)}{2} = 210$ होती है। अवयवों की न्यूनतम संख्या $2n - 1 = 39$ होती है।
चूंकि समुच्चय $A + A$ में ठीक $39$ अवयव हैं,इसलिए समुच्चय $A$ को एक समांतर श्रेणी $(AP)$ होना चाहिए।
यहाँ $a = 1$ और अंतिम पद $l = 77$ है,जिसमें कुल $20$ पद हैं।
सार्व अंतर $d$ के लिए,$77 = 1 + (20 - 1)d$,अतः $76 = 19d$,जिसका अर्थ है $d = 4$।
श्रेणी के पद $1, 5, 9, 13, \ldots, 77$ हैं।
$18$ पदों का योग $a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{18}$ प्रथम और अंतिम पद को छोड़कर समांतर श्रेणी का योग है।
योग $= \frac{18}{2} \times (a_{1} + a_{18}) = 9 \times (5 + 73) = 9 \times 78 = 702$.

(D) माना प्रथम पद $a = 100$ और अंतिम पद $\ell = 199$ है।
$n$ पदों वाली $A.P.$ के लिए,अंतिम पद $\ell = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ सार्व अंतर है।
अतः,$d = \frac{\ell - a}{n - 1} = \frac{199 - 100}{n - 1} = \frac{99}{n - 1}$.
हमें दिया गया है कि $d$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $(n - 1)$ को $99$ का भाजक होना चाहिए।
$99$ के भाजक $1, 3, 9, 11, 33, 99$ हैं।
हमें दिया गया है कि पदों की संख्या $n$,$3 \le n \le 33$ की शर्त को पूरा करती है।
इसका अर्थ है $2 \le n - 1 \le 32$.
$99$ के भाजक जो इस शर्त को पूरा करते हैं,वे $3, 9, 11$ हैं।
$n - 1 = 3$ के लिए,$d = \frac{99}{3} = 33$.
$n - 1 = 9$ के लिए,$d = \frac{99}{9} = 11$.
$n - 1 = 11$ के लिए,$d = \frac{99}{11} = 9$.
ऐसे सभी सार्व अंतरों का योग $33 + 11 + 9 = 53$ है।

(D) $n$ वें समुच्चय में तत्वों की संख्या $2n - 1$ है।
पहले $10$ समुच्चयों में कुल तत्वों की संख्या $\sum_{k=1}^{10} (2k - 1) = 100$ है।
अतः,$11$ वां समुच्चय $3$ के $101$ वें गुणज से शुरू होता है,जो $3 \times 101 = 303$ है।
$11$ वें समुच्चय में $2(11) - 1 = 21$ तत्व हैं।
ये तत्व एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जिसमें प्रथम पद $a = 303$,सार्व अंतर $d = 3$ और पदों की संख्या $n = 21$ है।
तत्वों का योग $S_{11} = \frac{21}{2} [2(303) + (20)3] = \frac{21}{2} [606 + 60] = 21 \times 333 = 6993$ है।

(B) माना प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है। प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ है।
दिया गया है $\frac{S_{5}}{S_{9}} = \frac{5}{17}$,अतः $\frac{\frac{5}{2}(2a + 4d)}{\frac{9}{2}(2a + 8d)} = \frac{5}{17}$.
सरल करने पर,$\frac{5(a + 2d)}{9(a + 4d)} = \frac{5}{17}$ $\Rightarrow 17(a + 2d) = 9(a + 4d)$ $\Rightarrow 17a + 34d = 9a + 36d$ $\Rightarrow 8a = 2d$ $\Rightarrow d = 4a$.
$15$ वाँ पद $a_{15} = a + 14d = a + 14(4a) = a + 56a = 57a$ है।
दिया गया है $110 < a_{15} < 120$,अतः $110 < 57a < 120$.
चूँकि $a$ एक प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $a = 2$.
तब $d = 4(2) = 8$.
प्रथम दस पदों का योग $S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9d) = 5(2(2) + 9(8)) = 5(4 + 72) = 5(76) = 380$ है।

(A) $f(x) = (x - p)^2 - q = 0$ के मूल $x = p \pm \sqrt{q}$ हैं।
मूलों के बीच का निरपेक्ष अंतर $|(p + \sqrt{q}) - (p - \sqrt{q})| = 2\sqrt{q}$ है।
दिया गया है कि $a_1, a_2, a_3, a_4$ समांतर श्रेणी में हैं,अतः $a_1 = p - \frac{3d}{2}, a_2 = p - \frac{d}{2}, a_3 = p + \frac{d}{2}, a_4 = p + \frac{3d}{2}$।
$|f(a_i)| = 500$ होने के कारण,$|(a_i - p)^2 - q| = 500$ है।
$i=4$ के लिए,$|\frac{9d^2}{4} - q| = 500$ और $i=2$ के लिए,$|\frac{d^2}{4} - q| = 500$ है।
समीकरणों को हल करने पर,$2d^2 = 1000 \Rightarrow d^2 = 500$ और $q = 625$ प्राप्त होता है।
मूलों के बीच का अंतर $2\sqrt{q} = 2\sqrt{625} = 50$ है।

(B) एक उत्तल पंचभुज के आंतरिक कोणों का योग $(5-2) \times 180^{\circ} = 540^{\circ}$ होता है।
मान लीजिए कोण $a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d$ हैं,जहाँ $d \geq 0$ है।
योग $5a + 10d = 540^{\circ}$ है,जो सरल होकर $a + 2d = 108^{\circ}$ हो जाता है।
चूंकि $a$ और $d$ पूर्णांक हैं और $a > 0$ है,इसलिए $2d = 108 - a$ है।
उत्तल पंचभुज के लिए,प्रत्येक कोण $180^{\circ}$ से कम होना चाहिए। सबसे बड़ा कोण $e = a + 4d$ है।
$a = 108 - 2d$ प्रतिस्थापित करने पर,$e = (108 - 2d) + 4d = 108 + 2d$ प्राप्त होता है।
हमें $108 + 2d < 180$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $2d < 72$,इसलिए $d < 36$ है।
साथ ही,चूंकि $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$a = 108 - 2d > 0$,इसलिए $2d < 108$,या $d < 54$ है।
चूंकि $d$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए,$d$ के मान $0, 1, 2, \dots, 35$ हो सकते हैं।
यह $d$ के लिए कुल $36$ संभावित मान देता है,और प्रत्येक $d$ अद्वितीय रूप से $a$ को निर्धारित करता है।

(D) चूंकि प्रत्येक संख्या अपने पड़ोसियों का औसत है,हमारे पास $a_i = \frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{2}$ है,जिसका अर्थ है $2a_i = a_{i-1} + a_{i+1}$ (जहाँ सूचकांक $2012$ के मापांक में हैं)।
इसका मतलब है $a_{i+1} - a_i = a_i - a_{i-1}$।
मान लीजिए $d_i = a_{i+1} - a_i$। तब $d_i = d_{i-1}$,जिसका अर्थ है कि सभी अंतर एक समान स्थिरांक $d$ के बराबर हैं।
चूंकि संख्याएँ एक वृत्त पर व्यवस्थित हैं,$a_{2013} = a_1$,इसलिए $a_1 = a_1 + 2012d$,जिसका अर्थ है $d = 0$।
इसलिए,$a_1 = a_2 = a_3 = \ldots = a_{2012} = k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
सम-अनुक्रमित संख्याओं का योग $a_2 + a_4 + \ldots + a_{2012} = 1006k = 3018$ है।
अतः,$k = \frac{3018}{1006} = 3$।
सभी $2012$ संख्याओं का योग $2012 \times k = 2012 \times 3 = 6036$ है।

(A) प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अंतर $d = 4$ वाली समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग:
$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}[2(2) + (n-1)4] = \frac{n}{2}[4 + 4n - 4] = 2n^2$.
प्रथम $n$ पदों का औसत $M_n = \frac{S_n}{n} = \frac{2n^2}{n} = 2n$ है।
हमें $\sum_{n=1}^{10} M_n = \sum_{n=1}^{10} 2n$ की गणना करनी है।
$= 2 \sum_{n=1}^{10} n = 2 \times \frac{10(11)}{2} = 110$.

(C) दिया गया है,$S_m = n$ और $S_n = m$.
प्रथम $k$ पदों के योग का सूत्र $S_k = \frac{k}{2}[2a + (k-1)d]$ है।
अतः,$S_m = \frac{m}{2}[2a + (m-1)d] = n \implies 2a + (m-1)d = \frac{2n}{m} \quad (i)$.
इसी प्रकार,$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = m \implies 2a + (n-1)d = \frac{2m}{n} \quad (ii)$.
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ घटाने पर:
$(m-n)d = \frac{-2(m-n)(m+n)}{mn} \implies d = \frac{-2(m+n)}{mn}$.
यह मान रखने पर,$S_{m+n} = \frac{m+n}{2}[2a + (m+n-1)d] = -(m+n)$.

(B) $7$ से विभाज्य $4$-अंकीय संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: $1001, 1008, 1015, \ldots, 9996$.
यहाँ,प्रथम पद $a = 1001$ और सार्व अंतर $d = 7$ है।
अंतिम पद $l = a + (n-1)d$,इसलिए $9996 = 1001 + (n-1)7$.
$8995 = (n-1)7 \implies n-1 = 1285 \implies n = 1286$.
चूँकि पदों की संख्या $n = 1286$ सम है,माध्यिका $\left(\frac{n}{2}\right)$-वें और $\left(\frac{n}{2}+1\right)$-वें पद का औसत है।
माध्यिका $= \frac{a_{643} + a_{644}}{2}$.
$a_{643} = 1001 + (643-1)7 = 1001 + 4494 = 5495$.
$a_{644} = 1001 + (644-1)7 = 1001 + 4501 = 5502$.
माध्यिका $= \frac{5495 + 5502}{2} = \frac{10997}{2} = 5498.5$.

(C) मान लीजिए घरों की संख्या $x, x+2, x+4, x+6, x+8, x+10, \dots$ है,जहाँ $x$ पहले घर की संख्या है।
चूँकि $a$ छठा घर है,$a = x + 10$,जिसका अर्थ है $x = a - 10$.
घर की संख्याएँ धनात्मक सम पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए $x \geq 2$,यानी $a - 10 \geq 2 \Rightarrow a \geq 12$.
$n$ घरों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2x + (n-1)2] = n(x + n - 1) = 170$ है।
$x = a - 10$ प्रतिस्थापित करने पर,$n(a - 10 + n - 1) = 170$,या $n(a + n - 11) = 170$.
चूँकि $n \geq 6$,$170$ के गुणनखंडों की जाँच करने पर $(1, 2, 5, 10, 17, 34, 85, 170)$।
यदि $n=10$ है,तो $10(a + 10 - 11) = 170$ $\Rightarrow a - 1 = 17$ $\Rightarrow a = 18$.
चूँकि $a \geq 12$,$18$ को समाहित करने वाली सीमा $14 \leq a \leq 20$ है।

(B) मान लीजिए समांतर श्रेणी $a, b, c, d, e$ है और सार्व अंतर $D$ है।
श्रेणी को $c-2D, c-D, c, c+D, c+2D$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है कि $a+b+c+d+e = 5c = \lambda^3$ और $b+c+d = 3c = u^2$ है।
$3c = u^2$ से,$c = \frac{u^2}{3}$ प्राप्त होता है।
इसे $5c = \lambda^3$ में रखने पर,$5(\frac{u^2}{3}) = \lambda^3$ मिलता है,जिसका अर्थ है $5u^2 = 3\lambda^3$।
इस शर्त को पूरा करने के लिए,$u$ को $3$ का गुणज और $\lambda$ को $5$ का गुणज होना चाहिए।
न्यूनतम प्राकृतिक संख्या के लिए,$c = 675$ प्राप्त होता है।
$675$ में $3$ अंक हैं।

(B) मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a-d, a, a+d$ हैं,जहाँ $a$ और $d$ धनात्मक पूर्णांक हैं और $d > 0$ है।
सबसे छोटी भुजा $a-d = 10$ है,जिसका अर्थ है $a = 10+d$।
भुजाएँ $10, 10+d, 10+2d$ हैं।
त्रिभुज बनाने के लिए,दो छोटी भुजाओं का योग सबसे बड़ी भुजा से अधिक होना चाहिए:
$10 + (10+d) > 10+2d$
$20+d > 10+2d$
$10 > d$
चूँकि $d$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$d$ के मान $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ हो सकते हैं।
अतः,$d$ के लिए $9$ संभावित मान हैं,और इसलिए ऐसे $9$ त्रिभुज संभव हैं।

(C) पूर्णांक $k$,$2^n+1, 2^n+2, \dots, 2^{n+1}-1$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 2^n+1$,$l = 2^{n+1}-1$,और पदों की संख्या $N = 2^n-1$ है।
योग $S_n = \frac{N}{2}(a+l) = 3 \cdot 2^{n-1}(2^n-1)$ है।
$9$,$S_n$ को विभाजित करे इसके लिए $2^{n-1}(2^n-1)$ को $3$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $2 \equiv -1 \pmod{3}$,इसलिए $2^n-1$ केवल तभी $3$ से विभाज्य है जब $n$ सम हो।

(A) समांतर श्रेणी $a_1, a_2, \ldots, a_n$ के लिए $a_1 = 1$ और सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = 5$ है।
$n$-वाँ पद $a_n = a_1 + (n - 1)d = 1 + (n - 1)5 = 5n - 4$ द्वारा दिया जाता है।
हमें दिया गया है $a_k \leq 2021$,इसलिए $5k - 4 \leq 2021$,जिसका अर्थ है $5k \leq 2025$,या $k \leq 405$।
चूँकि $a_{k+1} > 2021$,अनुक्रम $a_1, a_2, \ldots, a_{405}$ है।
पदों की संख्या $405$ है,जो एक विषम संख्या है। विषम संख्या वाले अनुक्रम की माध्यिका $\frac{n+1}{2}$-वाँ पद होती है।
यहाँ,माध्यिका $\frac{405+1}{2} = 203$-वाँ पद है।
$203$-वाँ पद $a_{203} = a_1 + (203 - 1)d = 1 + 202 \times 5 = 1 + 1010 = 1011$ है।

(A) माना $x^{pq p^2} = y^{qr} = z^{p^2 r} = k$ है। तब $pq p^2 = \log_x k$,$qr = \log_y k$,और $p^2 r = \log_z k$ है।
आधार परिवर्तन नियम का उपयोग करते हुए,$\log_y x = \frac{p^3}{r}$,$\log_z y = \frac{q}{p^2}$,और $\log_x z = \frac{r}{pq}$ है।
श्रेणी $3, 3 \log_y x, 3 \log_z y, 7 \log_x z$ समांतर श्रेणी में है।
$3 \log_y x - 3 = \frac{1}{2} \implies \log_y x = \frac{7}{6}$ है।
$p=2, q=3, r=7$ हल करने पर,$r - p - q = 7 - 2 - 3 = 2$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ सार्व अंतर $d$ के साथ $A.P.$ में हैं।
$a_1 + a_3 = a_1 + (a_1 + 2d) = 2a_1 + 2d = 10 \Rightarrow a_1 + d = 5$.
छह संख्याओं का माध्य $\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6}{6} = \frac{19}{2}$ है।
संख्याओं का योग $= 6 \times \frac{19}{2} = 57$.
$A.P.$ के योग सूत्र का उपयोग करते हुए,$S_6 = \frac{6}{2}(2a_1 + 5d) = 3(2a_1 + 5d) = 57 \Rightarrow 2a_1 + 5d = 19$.
$a_1 + d = 5$ और $2a_1 + 5d = 19$ को हल करने पर,हमें $d = 3$ और $a_1 = 2$ प्राप्त होता है।
संख्याएँ $2, 5, 8, 11, 14, 17$ हैं।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{2^2 + 5^2 + 8^2 + 11^2 + 14^2 + 17^2}{6} - (\frac{19}{2})^2$.
$\sigma^2 = \frac{4 + 25 + 64 + 121 + 196 + 289}{6} - \frac{361}{4} = \frac{699}{6} - \frac{361}{4} = 116.5 - 90.25 = 26.25 = \frac{105}{4}$.
अतः,$8 \sigma^2 = 8 \times \frac{105}{4} = 210$.

(A) माना प्रथम पद $a_1$ और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है $a_5 = 2a_3$ और $a_{11} = 18$,जिससे $a_1 = -72$ और $d = 9$ प्राप्त होता है।
$a_{10} = a_1 + 9d = 9$ और $a_{18} = a_1 + 17d = 81$ है।
योग $S = \frac{12}{d} (\sqrt{a_{18}} - \sqrt{a_{10}}) = \frac{12}{9} (\sqrt{81} - \sqrt{9}) = \frac{12}{9} (9 - 3) = 8$.

(C) प्रथम पद $a_1 = 8$ और पहले चार पदों का योग $S_4 = 50$ दिया गया है।
$A.P.$ के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$S_4 = \frac{4}{2}(2a_1 + 3d) = 50$.
$2(16 + 3d) = 50$ $\Rightarrow 16 + 3d = 25$ $\Rightarrow 3d = 9$ $\Rightarrow d = 3$.
अब,अंतिम चार पदों का योग $a_{n-3} + a_{n-2} + a_{n-1} + a_n = 170$ है।
इसे $(a_1 + (n-4)d) + (a_1 + (n-3)d) + (a_1 + (n-2)d) + (a_1 + (n-1)d) = 170$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$4a_1 + (4n - 10)d = 170$.
$4(8) + (4n - 10)(3) = 170 \Rightarrow 32 + 12n - 30 = 170$.
$12n + 2 = 170$ $\Rightarrow 12n = 168$ $\Rightarrow n = 14$.
$n=14$ वाली $A.P.$ के मध्य के दो पद $a_7$ और $a_8$ हैं।
$a_7 = a_1 + 6d = 8 + 6(3) = 8 + 18 = 26$.
$a_8 = a_1 + 7d = 8 + 7(3) = 8 + 21 = 29$.
मध्य के दो पदों का गुणनफल $a_7 \times a_8 = 26 \times 29 = 754$ है।

(B) पद $x_1, x_2, \ldots, x_7$ एक $A.P.$ में हैं जहाँ $x_1 = 9$ और सार्व अंतर $d > 0$ है।
इन्हें $9, 9+d, 9+2d, \ldots, 9+6d$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माध्य $\overline{x} = \frac{1}{7} \sum_{i=0}^{6} (9+id) = 9 + 3d$ है।
मानक विचलन $\sigma = 4$ है,इसलिए प्रसरण $\sigma^2 = 16$ है।
$A.P.$ के लिए प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = d^2 \frac{n^2-1}{12}$ होता है।
यहाँ $n=7$ है,इसलिए $\sigma^2 = d^2 \frac{49-1}{12} = 4d^2$ है।
$4d^2 = 16$ से $d^2 = 4$ प्राप्त होता है,अतः $d = 2$ है।
अब,$\overline{x} = 9 + 3(2) = 15$ है।
$x_6 = 9 + 5(2) = 19$ है।
अतः,$\overline{x} + x_6 = 15 + 19 = 34$ है।

(B) माना तीन समांतर श्रेणियाँ $A_1, A_2, A_3$ हैं।
$A_1: 3, 7, 11, 15, \ldots, 399$ जहाँ सार्व अंतर $d_1 = 4$ है।
$A_2: 2, 5, 8, 11, \ldots, 359$ जहाँ सार्व अंतर $d_2 = 3$ है।
$A_3: 2, 7, 12, 17, \ldots, 197$ जहाँ सार्व अंतर $d_3 = 5$ है।
उभयनिष्ठ पदों की श्रेणी का सार्व अंतर $L = \operatorname{LCM}(4, 3, 5) = 60$ है।
प्रथम उभयनिष्ठ पद $47$ प्राप्त होता है।
उभयनिष्ठ पद $47, 107, 167$ हैं।
योग $= 47 + 107 + 167 = 321$।

(D) दी गई समांतर श्रेणी $3, 8, 13, \ldots, 373$ है।
यहाँ,$a = 3$,$d = 5$ है। $n$-वाँ पद $a_n = a + (n-1)d = 3 + (n-1)5 = 373$ है।
$5(n-1) = 370 \implies n-1 = 74 \implies n = 75$ है।
कुल योग $S_{75} = \frac{75}{2}(3 + 373) = \frac{75}{2}(376) = 75 \times 188 = 14100$ है।
$3$ से विभाज्य पद $3, 18, 33, \ldots, 363$ हैं।
इस श्रेणी में पदों की संख्या $25$ है।
$3$ से विभाज्य पदों का योग $S' = \frac{25}{2}(3 + 363) = \frac{25}{2}(366) = 25 \times 183 = 4575$ है।
अभीष्ट योग $= 14100 - 4575 = 9525$ है।

(A) भारित समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका ($AM$-$GM$) का उपयोग करने पर:
$\frac{5(\frac{a}{5}) + 3(\frac{b}{3}) + 2(\frac{c}{2}) + 1(d)}{11} \geq ((\frac{a}{5})^5 (\frac{b}{3})^3 (\frac{c}{2})^2 (d)^1)^{1/11}$
$a+b+c+d = 11$ होने के कारण:
$1 \geq (\frac{a^5 b^3 c^2 d}{5^5 3^3 2^2})^{1/11}$
$a^5 b^3 c^2 d$ का अधिकतम मान $5^5 \times 3^3 \times 2^2 = 337500$ है।
$3750 \beta = 337500$ रखने पर,$\beta = 90$ प्राप्त होता है।

(D) समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$k$-वीं समांतर श्रेणी के लिए,प्रथम पद $a_k = k$ और सार्व अंतर $d_k = 2k - 1$ है।
यहाँ $n = 12$ दिया गया है,अतः $s_k$:
$s_k = \frac{12}{2} [2(k) + (12-1)(2k-1)]$
$s_k = 6 [2k + 11(2k-1)]$
$s_k = 6 [2k + 22k - 11] = 6 [24k - 11] = 144k - 66$.
अब,$\sum_{i=1}^{10} s_i$ की गणना करते हैं:
$\sum_{i=1}^{10} (144i - 66) = 144 \sum_{i=1}^{10} i - \sum_{i=1}^{10} 66$
$= 144 \times \frac{10 \times 11}{2} - 660$
$= 144 \times 55 - 660$
$= 7920 - 660 = 7260$.

(C) दी गई श्रेणी एक $A.P.$ है जिसका प्रथम पद $a = 20$ और सार्व अंतर $d = 19 \frac{1}{4} - 20 = -\frac{3}{4}$ है।
अंत से $n$ वां पद ज्ञात करने के लिए,हम $A.P.$ को उल्टा कर सकते हैं।
नई $A.P.$ $-129 \frac{1}{4}$ से शुरू होती है और इसका सार्व अंतर $d' = -d = \frac{3}{4}$ है।
अंत से $n$ वां पद $a_n = a_{last} + (n-1)d'$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$a_{last} = -129 \frac{1}{4} = -\frac{517}{4}$,$n = 20$,और $d' = \frac{3}{4}$ है।
$a_{20} = -\frac{517}{4} + (20-1) \times \frac{3}{4}$
$a_{20} = -\frac{517}{4} + 19 \times \frac{3}{4}$
$a_{20} = \frac{-517 + 57}{4} = \frac{-460}{4} = -115$.

(C) दिया गया है $a_6 = 2$,अतः $a + 5d = 2$,जिसका अर्थ है $a = 2 - 5d$.
माना गुणनफल $P = a_1 a_4 a_5 = a(a + 3d)(a + 4d)$ है।
$a = 2 - 5d$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P = (2 - 5d)(2 - 5d + 3d)(2 - 5d + 4d)$
$P = (2 - 5d)(2 - 2d)(2 - d)$
$P = (2 - 5d)(4 - 6d + 2d^2) = 8 - 12d + 4d^2 - 20d + 30d^2 - 10d^3$
$P(d) = -10d^3 + 34d^2 - 32d + 8$
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,अवकलज $P'(d)$ ज्ञात करते हैं:
$P'(d) = -30d^2 + 68d - 32$
$P'(d) = 0$ रखने पर:
$-2(15d^2 - 34d + 16) = 0$
$-2(3d - 2)(5d - 8) = 0$
क्रांतिक बिंदु $d = \frac{2}{3}$ और $d = \frac{8}{5}$ प्राप्त होते हैं।
द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार:
$P''(d) = -60d + 68$.
$d = \frac{8}{5}$ के लिए,$P''(\frac{8}{5}) = -28 < 0$,अतः यह अधिकतम मान देता है।
इस प्रकार,सार्व अंतर $d = \frac{8}{5}$ है।

(A) समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $S_{20} = \frac{20}{2}[2a + 19d] = 790$,जिससे $2a + 19d = 79$ $(1)$ प्राप्त होता है।
दिया है $S_{10} = \frac{10}{2}[2a + 9d] = 145$,जिससे $2a + 9d = 29$ $(2)$ प्राप्त होता है।
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर,$10d = 50$ प्राप्त होता है,अतः $d = 5$ है।
$d = 5$ का मान $(2)$ में रखने पर,$2a + 45 = 29$,जिससे $2a = -16$,अर्थात $a = -8$ प्राप्त होता है।
अब,$S_{15} - S_5 = \frac{15}{2}[2a + 14d] - \frac{5}{2}[2a + 4d]$ का मान ज्ञात करते हैं।
$a = -8$ और $d = 5$ रखने पर:
$S_{15} - S_5 = \frac{15}{2}[-16 + 70] - \frac{5}{2}[-16 + 20]$
$= \frac{15}{2}(54) - \frac{5}{2}(4) = 405 - 10 = 395$.

(A) दी गई समांतर श्रेणी $3, 7, 11, \ldots$ है,जिसमें प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 4$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}[6 + (n-1)4] = 2n^2 + n$ है।
अब,$\sum_{k=1}^{n} S_k = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$ की गणना करते हैं।
मानक सूत्रों का उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} S_k = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$ प्राप्त होता है।
इस मान को असमिका में रखने पर: $40 < \frac{6}{n(n+1)} \cdot \frac{n(n+1)(4n+5)}{6} < 42$.
यह $40 < 4n + 5 < 42$ में सरल हो जाता है।
सभी पक्षों से $5$ घटाने पर: $35 < 4n < 37$.
$4$ से भाग देने पर: $8.75 < n < 9.25$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक है,इसलिए $n = 9$ है।

(C) दिया गया है $S_{10} = 390$। सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ का उपयोग करने पर:
$\frac{10}{2}[2a + 9d] = 390 \Rightarrow 2a + 9d = 78$ $......(1)$
दसवें पद $(t_{10})$ और पांचवें पद $(t_5)$ का अनुपात $15:7$ है:
$\frac{a + 9d}{a + 4d} = \frac{15}{7}$ $\Rightarrow 7(a + 9d) = 15(a + 4d)$ $\Rightarrow 7a + 63d = 15a + 60d$ $\Rightarrow 8a = 3d$ $\Rightarrow d = \frac{8a}{3}$ $......(2)$
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2a + 9(\frac{8a}{3}) = 78$ $\Rightarrow 2a + 24a = 78$ $\Rightarrow 26a = 78$ $\Rightarrow a = 3$
$a = 3$ का मान $(2)$ में रखने पर,$d = \frac{8(3)}{3} = 8$।
हमें $S_{15} - S_5$ ज्ञात करना है:
$S_{15} - S_5 = \frac{15}{2}[2(3) + 14(8)] - \frac{5}{2}[2(3) + 4(8)]$
$= \frac{15}{2}[6 + 112] - \frac{5}{2}[6 + 32]$
$= \frac{15}{2}(118) - \frac{5}{2}(38) = 15(59) - 5(19) = 885 - 95 = 790$.

(C) माना $d$ सार्व अंतर है और $a$ प्रथम पद है।
$A_k = -kd(2a + (2k-1)d)$.
$A_3 = -3d(2a + 5d) = -153 \Rightarrow d(2a + 5d) = 51$ $(1)$.
$A_5 = -5d(2a + 9d) = -435 \Rightarrow d(2a + 9d) = 87$ $(2)$.
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $4d^2 = 36 \Rightarrow d = 3$.
$d=3$ रखने पर,$3(2a + 15) = 51 \Rightarrow a = 1$.
$a_{17} = 1 + 16(3) = 49$.
$A_7 = -7(3)(2(1) + 13(3)) = -21(41) = -861$.
$a_{17} - A_7 = 49 - (-861) = 910$.

(A) माना तीन पद $a = 4^{1+x} + 4^{1-x}$,$b = \frac{K}{2}$,और $c = 16^x + 16^{-x}$ हैं।
चूंकि वे $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ होगा।
मान रखने पर,$2(\frac{K}{2}) = 4(4^x + 4^{-x}) + (4^{2x} + 4^{-2x})$।
माना $y = 4^x + 4^{-x}$। चूंकि $x \geq 0$,$AM-GM$ असमिका के अनुसार $y \geq 2$ होगा।
तब $4^{2x} + 4^{-2x} = (4^x + 4^{-x})^2 - 2 = y^2 - 2$।
अतः,$K = 4y + y^2 - 2 = y^2 + 4y - 2$।
$y \geq 2$ के लिए $K$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने हेतु,$f(y) = y^2 + 4y - 2$ का मान $y = 2$ पर निकालते हैं।
$f(2) = 2^2 + 4(2) - 2 = 4 + 8 - 2 = 10$।
अतः,$K$ का न्यूनतम मान $10$ है।

(B) माना कुल कार्य $W = 17m$ है।
पहले दिन,$m$ सिस्टम काम करते हैं।
दूसरे दिन,$m-4$ सिस्टम काम करते हैं।
तीसरे दिन,$m-8$ सिस्टम काम करते हैं।
कुल लगा समय $17 + 8 = 25$ दिन है।
कुल कार्य $25$ दिनों में किए गए कार्य का योग है:
$17m = m + (m-4) + (m-8) + \dots + (m - 4 \times 24)$.
$17m = 25m - 4(1 + 2 + 3 + \dots + 24)$.
$17m = 25m - 4 \times \frac{24 \times 25}{2}$.
$8m = 4 \times 12 \times 25$.
$8m = 1200$.
$m = 150$.

(A) $n^{\text{वीं}}$ पंक्ति तक कुल संख्याओं का योग $S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
$n^{\text{वीं}}$ पंक्ति की अंतिम संख्या $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
हमें वह पंक्ति $n$ ज्ञात करनी है जिसमें $5310$ स्थित है। इसके लिए $S_{n-1} < 5310 \le S_n$ होना चाहिए।
$\frac{(n-1)n}{2} < 5310 \le \frac{n(n+1)}{2}$
$(n-1)n < 10620 \le n(n+1)$
$n^2 \approx 10620$ के लिए,$n \approx \sqrt{10620} \approx 103.05$ है।
$n = 103$ के लिए जाँच करने पर:
$S_{103} = \frac{103 \times 104}{2} = 5356$.
$S_{102} = \frac{102 \times 103}{2} = 5253$.
चूँकि $5253 < 5310 \le 5356$,इसलिए संख्या $5310$ $103^{\text{वीं}}$ पंक्ति में स्थित है।

(B) माना भुजाएँ $a-d$,$a$,और $a+d$ हैं,जहाँ $d > 0$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$(a-d)^2 + a^2 = (a+d)^2$
$a^2 - 2ad + d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2$
$a^2 - 4ad = 0$
$a = 4d$ प्राप्त होता है।
भुजाएँ $3d$,$4d$,और $5d$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = 24$ है।
$\frac{1}{2} \times 3d \times 4d = 24$
$6d^2 = 24$
$d^2 = 4 \Rightarrow d = 2$ है।
भुजाएँ $6, 8, 10$ हैं।
सबसे छोटी भुजा $6$ है।

(C) दिया गया है कि प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = c n^2$ है।
$n$-वां पद $T_n = S_n - S_{n-1} = c n^2 - c(n-1)^2 = 2cn - c$ है।
हमें इन $n$ पदों के वर्गों का योग $\sum_{k=1}^n T_k^2$ ज्ञात करना है।
$T_k^2 = (2ck - c)^2 = c^2(4k^2 - 4k + 1)$ है।
योग $= \sum_{k=1}^n c^2(4k^2 - 4k + 1) = c^2 [4 \sum k^2 - 4 \sum k + \sum 1]$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$= c^2 [4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \frac{n(n+1)}{2} + n]$.
$= \frac{n c^2(4n^2 - 1)}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) संबंध $a_k = 2a_{k-1} - a_{k-2}$ यह दर्शाता है कि $a_1, a_2, \ldots, a_{11}$ एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं।
माना प्रथम पद $a = a_1 = 15$ और सार्व अंतर $d$ है।
वर्गों का योग $\sum_{k=1}^{11} a_k^2 = 11a^2 + 110ad + 385d^2$ होता है।
अतः,$a^2 + 10ad + 35d^2 = 90$ है।
$a = 15$ रखने पर: $225 + 150d + 35d^2 = 90 \Rightarrow 35d^2 + 150d + 135 = 0$।
इस समीकरण को हल करने पर $d = -3$ या $d = -9/7$ प्राप्त होता है।
शर्त $27 - 2a_2 > 0$ के अनुसार $d < -1.5$ होना चाहिए,इसलिए $d = -3$ मान्य है।
माध्य $\frac{a_1 + \ldots + a_{11}}{11} = a + 5d = 15 + 5(-3) = 0$ है।

(C) माना समांतर श्रेणी का सार्व अंतर $d$ है। प्रथम $p$ पदों का योग $S_p = \frac{p}{2} [2a_1 + (p-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
$a_1 = 3$ दिया गया है,इसलिए $S_p = \frac{p}{2} [6 + (p-1)d]$ है।
यहाँ $m = 5n$ दिया गया है। इसलिए,$\frac{S_m}{S_n} = \frac{S_{5n}}{S_n} = \frac{\frac{5n}{2} [6 + (5n-1)d]}{\frac{n}{2} [6 + (n-1)d]} = 5 \times \frac{6 - d + 5nd}{6 - d + nd}$ है।
इस अनुपात को $n$ से स्वतंत्र होने के लिए,$d = 6$ होना चाहिए।
तब $S_p = \frac{p}{2} [6 + (p-1)6] = 3p^2$ होगा।
अतः $\frac{S_{5n}}{S_n} = \frac{3(5n)^2}{3n^2} = 25$,जो $n$ से स्वतंत्र है।
इस प्रकार,$d = 6$ है।
इसलिए $a_2 = a_1 + d = 3 + 6 = 9$ है।

(D) तीनों समांतर श्रेणियों के सामान्य पद $x = 3m + 1$,$x = 5n + 2$,और $x = 7k + 3$ हैं।
हमें सर्वांगसमता (congruences) की प्रणाली को हल करना है:
$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 2 \pmod{5}$
$x \equiv 3 \pmod{7}$
हल करने पर $x = 15n + 7$ और अंततः $x = 105k + 52$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रथम पद $a = 52$ और सार्व अंतर $d = \text{lcm}(3, 5, 7) = 105$ है।
इसलिए,$a + d = 52 + 105 = 157$.

(D) मान लीजिए कि प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है। प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\frac{S_7}{S_{11}} = \frac{6}{11}$,अतः $\frac{\frac{7}{2}(2a + 6d)}{\frac{11}{2}(2a + 10d)} = \frac{6}{11}$.
इसे सरल करने पर,$\frac{7(a + 3d)}{11(a + 5d)} = \frac{6}{11}$ $\Rightarrow 7a + 21d = 6a + 30d$ $\Rightarrow a = 9d$.
सातवाँ पद $a_7 = a + 6d = 9d + 6d = 15d$.
दिया गया है $130 < 15d < 140$,अतः $8.66 < d < 9.33$.
चूँकि सभी पद प्राकृतिक संख्याएँ हैं,$d$ एक पूर्णांक होना चाहिए। अतः,$d = 9$.

(A) दिया गया है $A_{51} - A_{50} = 1000$.
चूँकि $l_i = l_1 + (i-1)d_1$ और $w_i = w_1 + (i-1)d_2$,हमारे पास $A_i = l_i w_i = (l_1 + (i-1)d_1)(w_1 + (i-1)d_2)$ है।
$A_{51} - A_{50} = (l_1 + 50d_1)(w_1 + 50d_2) - (l_1 + 49d_1)(w_1 + 49d_2) = 1000$.
इसका विस्तार करने पर,$l_1 d_2 + w_1 d_1 + (50^2 - 49^2)d_1 d_2 = 1000$ प्राप्त होता है।
चूँकि $d_1 d_2 = 10$,यह $l_1 d_2 + w_1 d_1 + 99(10) = 1000$ हो जाता है,जिससे $l_1 d_2 + w_1 d_1 = 10$ प्राप्त होता है।
अब,$A_{100} - A_{90} = (l_1 + 99d_1)(w_1 + 99d_2) - (l_1 + 89d_1)(w_1 + 89d_2)$.
$= (l_1 d_2 + w_1 d_1)(99 - 89) + (99^2 - 89^2)d_1 d_2$.
$= 10(10) + (99 - 89)(99 + 89)(10) = 100 + 10(188)(10) = 100 + 18800 = 18900$.

(A) मान लीजिए $A.P.$ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{2k}$ है।
विषम स्थानों वाले पदों का योग: $\sum_{r=1}^{k} a_{2r-1} = 40$.
सम स्थानों वाले पदों का योग: $\sum_{r=1}^{k} a_{2r} = 55$.
सम और विषम पदों के योग का अंतर: $\sum_{r=1}^{k} (a_{2r} - a_{2r-1}) = 55 - 40 = 15$.
चूँकि $a_{2r} - a_{2r-1} = d$,इसलिए $k \times d = 15$,यानी $d = \frac{15}{k}$।
अंतिम पद $a_{2k} = a_1 + (2k-1)d$ है। दिया गया है कि $a_{2k} - a_1 = 27$,इसलिए $(2k-1)d = 27$।
$d = \frac{15}{k}$ को समीकरण में रखने पर: $(2k-1) \frac{15}{k} = 27$।
$15(2k-1) = 27k \Rightarrow 30k - 15 = 27k$।
$3k = 15 \Rightarrow k = 5$।

(B) दिया गया है कि प्रथम पद $a = 3$ है।
मान लीजिए $d$ सार्व अंतर है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ होता है।
प्रथम चार पदों का योग $S_4 = \frac{4}{2}[2(3) + (4-1)d] = 2(6 + 3d) = 12 + 6d$ है।
अगले चार पदों का योग $S_8 - S_4$ है।
प्रश्न के अनुसार,$S_4 = \frac{1}{5}(S_8 - S_4)$ है।
$5S_4 = S_8 - S_4 \Rightarrow 6S_4 = S_8$।
$6 \times [2(6 + 3d)] = \frac{8}{2}[2(3) + (8-1)d]$।
$12(6 + 3d) = 4(6 + 7d)$।
$3(6 + 3d) = 6 + 7d$।
$18 + 9d = 6 + 7d$।
$2d = -12 \Rightarrow d = -6$।
प्रथम $20$ पदों का योग $S_{20} = \frac{20}{2}[2(3) + (20-1)(-6)]$ है।
$S_{20} = 10[6 + 19(-6)] = 10[6 - 114] = 10(-108) = -1080$।

(B) माना $a$ प्रथम पद है और $d$ समांतर श्रेणी का सार्व अंतर है।
$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$S_{40} = 1030$ के लिए: $\frac{40}{2}[2a + 39d] = 1030 \implies 2a + 39d = 51.5$ $(1)$
$S_{12} = 57$ के लिए: $\frac{12}{2}[2a + 11d] = 57 \implies 2a + 11d = 9.5$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $28d = 42 \implies d = 1.5$
$d = 1.5$ को $(2)$ में रखने पर: $2a + 11(1.5) = 9.5 \implies 2a = -7 \implies a = -3.5$
अब,$S_{30} - S_{10} = 20a + 390d = 20(-3.5) + 390(1.5) = -70 + 585 = 515$.

(B) दिया गया है $T_m = a + (m-1)d = \frac{1}{25}$ और $T_{25} = a + 24d = \frac{1}{20}$.
$A.P.$ का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + T_n)$ है।
दिया गया है $20 \sum_{r=1}^{25} T_r = 13 \Rightarrow 20 \times \frac{25}{2}(a + T_{25}) = 13$.
$250(a + \frac{1}{20}) = 13$ $\Rightarrow a + \frac{1}{20} = \frac{13}{250}$ $\Rightarrow a = \frac{13}{250} - \frac{1}{20} = \frac{26-25}{500} = \frac{1}{500}$.
$a$ का मान $T_{25} = a + 24d = \frac{1}{20}$ में रखने पर,$\frac{1}{500} + 24d = \frac{25}{500}$ $\Rightarrow 24d = \frac{24}{500}$ $\Rightarrow d = \frac{1}{500}$.
$T_m = a + (m-1)d = \frac{1}{25}$ $\Rightarrow \frac{1}{500} + \frac{m-1}{500} = \frac{20}{500}$ $\Rightarrow m-1 = 19$ $\Rightarrow m = 20$.
हमें $5m \sum_{r=m}^{2m} T_r = 100 \sum_{r=20}^{40} T_r$ ज्ञात करना है।
योग $= \frac{n}{2}(T_{first} + T_{last}) = \frac{40-20+1}{2}(T_{20} + T_{40}) = \frac{21}{2}(a+19d + a+39d) = \frac{21}{2}(2a+58d) = 21(a+29d)$.
$21(\frac{1}{500} + \frac{29}{500}) = 21(\frac{30}{500}) = 21(\frac{3}{50}) = \frac{63}{50} = 1.26$.
$100 \times 1.26 = 126$.