एक $A.P.$ के प्रथम $p, q,$ और $r$ पदों का योग क्रमशः $a, b,$ और $c$ है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{a}{p}(q-r)+\frac{b}{q}(r-p)+\frac{c}{r}(p-q)=0$.

माना $A$ प्रथम पद है और $D$ $A.P.$ का सार्व अंतर है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$S_{p} = \frac{p}{2}[2A + (p-1)D] = a \Rightarrow \frac{a}{p} = A + \frac{(p-1)D}{2} \dots (1)$
$S_{q} = \frac{q}{2}[2A + (q-1)D] = b \Rightarrow \frac{b}{q} = A + \frac{(q-1)D}{2} \dots (2)$
$S_{r} = \frac{r}{2}[2A + (r-1)D] = c \Rightarrow \frac{c}{r} = A + \frac{(r-1)D}{2} \dots (3)$
अब,व्यंजक $\frac{a}{p}(q-r) + \frac{b}{q}(r-p) + \frac{c}{r}(p-q)$ पर विचार करें।
$(1), (2),$ और $(3)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= [A + \frac{(p-1)D}{2}](q-r) + [A + \frac{(q-1)D}{2}](r-p) + [A + \frac{(r-1)D}{2}](p-q)$
$= A(q-r+r-p+p-q) + \frac{D}{2}[(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)]$
$= A(0) + \frac{D}{2}[pq - pr - q + r + qr - qp - r + p + rp - rq - p + q]$
$= 0 + \frac{D}{2}[0] = 0$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।