Arithmetic progression Questions in Hindi

(D) मान लीजिए द्वितीय घात का बहुपद $f(x) = px^2 + qx + r$ है।
दिया गया है $f(1) = f(-1)$,इसलिए $p(1)^2 + q(1) + r = p(-1)^2 + q(-1) + r$ होगा।
इसे सरल करने पर $p + q + r = p - q + r$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2q = 0$,अर्थात $q = 0$ है।
अतः,फलन $f(x) = px^2 + r$ है।
इसका अवकलज $f'(x) = 2px$ है।
चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए एक सार्व अंतर $d$ के लिए $b = a + d$ और $c = a + 2d$ होगा।
तब $f'(a) = 2pa$,$f'(b) = 2p(a + d) = 2pa + 2pd$,और $f'(c) = 2p(a + 2d) = 2pa + 4pd$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f'(b) - f'(a) = 2pd$ और $f'(c) - f'(b) = 2pd$ है,इसलिए पद $f'(a), f'(b), f'(c)$ का सार्व अंतर $2pd$ है।
अतः,$f'(a), f'(b), f'(c)$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(A) दिया गया है $a + 2b + 3c = 6$। हमें $abc^2$ को अधिकतम करना है।
हम इसे $a + 2b + \frac{3c}{2} + \frac{3c}{2} = 6$ के रूप में लिख सकते हैं।
चार धनात्मक पदों के लिए $AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{a + 2b + \frac{3c}{2} + \frac{3c}{2}}{4} \geq \sqrt[4]{a \cdot 2b \cdot \frac{3c}{2} \cdot \frac{3c}{2}}$
$\frac{6}{4} \geq \sqrt[4]{a \cdot 2b \cdot \frac{9c^2}{4}}$
$\frac{3}{2} \geq \sqrt[4]{\frac{18}{4} abc^2}$
$\frac{3}{2} \geq \sqrt[4]{\frac{9}{2} abc^2}$
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर:
$(\frac{3}{2})^4 \geq \frac{9}{2} abc^2$
$\frac{81}{16} \geq \frac{9}{2} abc^2$
$abc^2 \leq \frac{81}{16} \cdot \frac{2}{9} = \frac{9}{8}$.

(C) $6$ से विभाजित करने पर $4$ शेषफल देने वाली दो अंकों की संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं।
ये संख्याएँ $6n + 4$ के रूप में हैं।
सबसे छोटी दो अंकों की संख्या $10$ $(6 \times 1 + 4)$ है और सबसे बड़ी संख्या $94$ $(6 \times 15 + 4)$ है।
अतः,अनुक्रम $10, 16, 22, \ldots, 94$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 10$,अंतिम पद $l = 94$,और सार्व अंतर $d = 6$ है।
$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करते हुए: $l = a + (n - 1)d$.
$94 = 10 + (n - 1)6$
$84 = (n - 1)6$
$n - 1 = 14$
$n = 15$.
योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है।
$S_{15} = \frac{15}{2}(10 + 94) = \frac{15}{2}(104) = 15 \times 52 = 780$.

(D) माना कि त्रिघात समीकरण के मूल $(a - d)$,$a$,और $(a + d)$ हैं।
त्रिघात समीकरण $x^3 - px^2 + qx - r = 0$ के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $x^2$ के गुणांक के बराबर होता है।
$(a - d) + a + (a + d) = 9$
$3a = 9 \implies a = 3$.
चूंकि $a = 3$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह $x^3 - 9x^2 + \alpha x - 15 = 0$ को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = 3$ रखने पर:
$(3)^3 - 9(3)^2 + \alpha(3) - 15 = 0$
$27 - 81 + 3\alpha - 15 = 0$
$3\alpha - 69 = 0$
$3\alpha = 69$
$\alpha = 23$.

(B) $A.P.$ में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर रहता है।
$a_1 + a_{16} = a_4 + a_{13} = a_7 + a_{10} = \dots = \lambda$.
दिया गया योग $a_1 + a_4 + a_7 + a_{10} + a_{13} + a_{16} = 147$ है।
इसे $3(a_1 + a_{16}) = 147$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए $a_1 + a_{16} = 49$ है।
हमें $S = a_1 + a_6 + a_{11} + a_{16}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $a_1 + a_{16} = a_6 + a_{11} = 49$,इसलिए $S = (a_1 + a_{16}) + (a_6 + a_{11}) = 49 + 49 = 98$।

(C) दिया गया है कि दो $A.P.$ के $n$ पदों के योग का अनुपात $\frac{s_n}{S_n} = \frac{3n - 13}{7n + 13}$ है।
मान लीजिए $n$ पदों का योग $s_n = k(3n^2 - 13n)$ और $S_n = k(7n^2 + 13n)$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दूसरी $A.P.$ के लिए $2n$ पदों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $S_n$ के व्यंजक में $n$ के स्थान पर $2n$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$S_{2n} = k(7(2n)^2 + 13(2n)) = k(7(4n^2) + 26n) = k(28n^2 + 26n)$.
अतः,अनुपात $\frac{s_n}{S_{2n}} = \frac{k(3n^2 - 13n)}{k(28n^2 + 26n)} = \frac{3n^2 - 13n}{28n^2 + 26n} = \frac{n(3n - 13)}{n(28n + 26)} = \frac{3n - 13}{28n + 26}$.

(C) दिया गया है कि $\log _{5} 2, \log _{5}(2^{x}-3)$,और $\log _{5}(\frac{17}{2}+2^{x-1})$ $A.P.$ में हैं।
तीन पदों $a, b, c$ के $A.P.$ में होने के लिए शर्त $2b = a + c$ है।
इस शर्त को लागू करने पर: $2 \log _{5}(2^{x}-3) = \log _{5} 2 + \log _{5}(\frac{17}{2}+2^{x-1})$.
$\log m + \log n = \log(mn)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर: $\log _{5}(2^{x}-3)^{2} = \log _{5}(2 \times (\frac{17}{2}+2^{x-1}))$.
$(2^{x}-3)^{2} = 17 + 2 \times 2^{x-1} = 17 + 2^{x}$.
मान लीजिए $2^{x} = y$. तब $(y-3)^{2} = 17 + y$.
$y^{2} - 6y + 9 = 17 + y \Rightarrow y^{2} - 7y - 8 = 0$.
$(y-8)(y+1) = 0$. चूंकि $y = 2^{x} > 0$,इसलिए $y = 8$.
$2^{x} = 8 = 2^{3} \Rightarrow x = 3$.

(A) मान लीजिए $S_n = x_n + y_n + z_n + w_n$ है। चूंकि समांतर श्रेणियों का योग भी एक समांतर श्रेणी होता है,इसलिए $S_n$ प्रथम पद $A$ और सार्व अंतर $D$ वाली एक समांतर श्रेणी है।
दिया गया है $S_4 = A + 3D = 8$ और $S_{10} = A + 9D = 20$ है।
समीकरणों को घटाने पर: $(A + 9D) - (A + 3D) = 20 - 8$ $\Rightarrow 6D = 12$ $\Rightarrow D = 2$ प्राप्त होता है।
$A + 3D = 8$ में $D = 2$ रखने पर: $A + 6 = 8 \Rightarrow A = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$S_{20} = A + 19D = 2 + 19(2) = 2 + 38 = 40$ है।
$AM-GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{x_{20} + y_{20} + z_{20} + w_{20}}{4} \geq (x_{20} \cdot y_{20} \cdot z_{20} \cdot w_{20})^{1/4}$ है।
$\frac{40}{4} \geq (x_{20} \cdot y_{20} \cdot z_{20} \cdot w_{20})^{1/4}$ $\Rightarrow 10 \geq (x_{20} \cdot y_{20} \cdot z_{20} \cdot w_{20})^{1/4}$ है।
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर,$x_{20} \cdot y_{20} \cdot z_{20} \cdot w_{20} \leq 10^4$ प्राप्त होता है।

(C) यदि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,तो $2b = a + c$ होता है।
$\Rightarrow 2 \log _{10}(2^x - 1) = \log _{10} 2 + \log _{10}(2^x + 3)$
$\Rightarrow \log _{10}(2^x - 1)^2 = \log _{10} [2(2^x + 3)]$
$\Rightarrow (2^x - 1)^2 = 2(2^x + 3)$
माना $2^x = y.$
$\Rightarrow (y - 1)^2 = 2(y + 3)$
$\Rightarrow y^2 - 2y + 1 = 2y + 6$
$\Rightarrow y^2 - 4y - 5 = 0$
$\Rightarrow (y - 5)(y + 1) = 0$
चूंकि $y = 2^x > 0,$ इसलिए $y = 5$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow 2^x = 5$
$\Rightarrow x = \log_2 5.$

(D) दिया गया है $x + y + z = 4$ जहाँ $x, y, z \in R^+$.
हम $xyz^2 = x \cdot y \cdot \frac{z}{2} \cdot \frac{z}{2} \cdot 4$ को अधिकतम करना चाहते हैं।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका ($AM$-$GM$) के अनुसार,धनात्मक वास्तविक संख्याओं $x, y, \frac{z}{2}, \frac{z}{2}$ के लिए:
$\frac{x + y + \frac{z}{2} + \frac{z}{2}}{4} \geq \sqrt[4]{x \cdot y \cdot \frac{z}{2} \cdot \frac{z}{2}}$
$x + y + z = 4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{xyz^2}{4}}$
$1 \geq \sqrt[4]{\frac{xyz^2}{4}}$
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर:
$1 \geq \frac{xyz^2}{4}$
$xyz^2 \leq 4$
अतः,अधिकतम मान $4$ है।

(C) माना $z = {\left( {\frac{3}{a} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{b} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{c} - 1} \right)^2} + {\left( {3c - 1} \right)^2}$.
पदों का विस्तार करने पर,$z = \left( \frac{9}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + 9c^2 \right) + 4 - 2 \left( \frac{3}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + 3c \right)$ प्राप्त होता है।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \ge GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{4} \left( \frac{9}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + 9c^2 \right) \ge \sqrt[4]{\frac{9}{a^2} \cdot \frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{b^2}{c^2} \cdot 9c^2} = \sqrt[4]{81} = 3$.
अतः,$\frac{9}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + 9c^2 \ge 12$.
इसी प्रकार,$\frac{1}{4} \left( \frac{3}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + 3c \right) \ge \sqrt[4]{\frac{3}{a} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot 3c} = \sqrt[4]{9} = \sqrt{3}$.
अतः,$2 \left( \frac{3}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + 3c \right) \ge 8\sqrt{3}$.
इस प्रकार,$z \ge 12 + 4 - 8\sqrt{3} = 16 - 8\sqrt{3}$.
$p - q\sqrt{r}$ से तुलना करने पर,$p = 16$,$q = 8$,$r = 3$.
चूंकि $q$ और $r$ सह-अभाज्य हैं,$p + q + r = 16 + 8 + 3 = 27$.

(D) चार धनात्मक संख्याओं $x, y, \frac{z}{2}, \frac{z}{2}$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{x + y + \frac{z}{2} + \frac{z}{2}}{4} \geq \sqrt[4]{x \cdot y \cdot \frac{z}{2} \cdot \frac{z}{2}}$
दिया गया है कि $x + y + z = 4$,अतः:
$\frac{4}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{xyz^2}{4}}$
$1 \geq \sqrt[4]{\frac{xyz^2}{4}}$
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर:
$1 \geq \frac{xyz^2}{4}$
$xyz^2 \leq 4$
अतः,अधिकतम मान $4$ है।

(A) मान लीजिए $A.P.$ का सार्व अंतर $d$ है। तब $S_{n+1} - S_n = d$ है।
दिया गया योग $\sum_{n=1}^{100} \frac{1}{S_n S_{n+1}} = \frac{1}{d} (\frac{1}{S_1} - \frac{1}{S_{101}}) = \frac{1}{d} (\frac{S_{101} - S_1}{S_1 S_{101}}) = \frac{1}{6}$ है।
चूंकि $S_{101} - S_1 = 100d$,इसलिए $\frac{100}{S_1 S_{101}} = \frac{1}{6}$,जिसका अर्थ है $S_1 S_{101} = 600$ है।
हमें $S_1 + S_{101} = 50$ दिया गया है।
$|S_1 - S_{101}| = \sqrt{(S_1 + S_{101})^2 - 4 S_1 S_{101}} = \sqrt{50^2 - 4(600)} = \sqrt{2500 - 2400} = \sqrt{100} = 10$.

(B) दिया गया है कि प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = cn(n-1) = cn^2 - cn$ है।
$n$-वाँ पद $t_n = S_n - S_{n-1}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$t_n = [cn^2 - cn] - [c(n-1)^2 - c(n-1)] = 2c(n-1)$.
हमें इन पदों के वर्गों का योग ज्ञात करना है,अर्थात $\sum_{k=1}^{n} (t_k)^2$.
$t_k^2 = [2c(k-1)]^2 = 4c^2(k^2 - 2k + 1)$.
योग $= \sum_{k=1}^{n} 4c^2(k^2 - 2k + 1) = 4c^2 [\sum_{k=1}^{n} k^2 - 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1]$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
योग $= 4c^2 [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2\frac{n(n+1)}{2} + n] = \frac{2}{3}c^2n(n-1)(2n-1)$.

(A) $S_1$ के लिए,प्रथम पद $a_1 = 1$ और सार्व अंतर $d_1 = 5$ है। सामान्य पद $T_n = 5n - 4$ है।
$S_2$ के लिए,प्रथम पद $a_2 = 3$ और सार्व अंतर $d_2 = 4$ है। सामान्य पद $T_m = 4m - 1$ है।
सामान्य पदों के लिए,$5n - 4 = 4m - 1$ अर्थात $5n = 4m + 3$ है।
प्रथम सामान्य पद $11$ है।
नई श्रेणी का सार्व अंतर $LCM(5, 4) = 20$ है।
अतः,सामान्य पदों की श्रेणी $11, 31, 51, .....$ है,जहाँ $A = 11$ और $D = 20$ है।
$25$ वां सामान्य पद $A_{25} = 11 + 24 \times 20 = 491$ होगा।

(D) योग को अधिकतम करने के लिए,हम उन पदों को जोड़ते हैं जब तक वे गैर-ऋणात्मक रहते हैं। चूंकि सार्व अंतर $d = -2$ ऋणात्मक है,योग तब तक बढ़ता है जब तक पद धनात्मक हैं।
$T_n \geq 0$ रखने पर:
$a + (n - 1)d \geq 0$
$50 + (n - 1)(-2) \geq 0$
$52 \geq 2n \Rightarrow n \leq 26$.
अतः,प्रथम $26$ पदों का योग अधिकतम होगा।
$S_{26} = \frac{26}{2} [2(50) + (26 - 1)(-2)]$
$S_{26} = 13 [100 - 50]$
$S_{26} = 13 \times 50 = 650$.

(D) माना चतुर्भुज के चार कोण $A.P.$ में $(a-3d), (a-d), (a+d), (a+3d)$ हैं।
इस अनुक्रम का सार्व अंतर $2d = 10^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है $d = 5^{\circ}$।
चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
$(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 360^{\circ}$
$4a = 360^{\circ} \Rightarrow a = 90^{\circ}$।
सबसे छोटा कोण $a-3d = 90^{\circ} - 3(5^{\circ}) = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$ है।

(B) $A.P.$ में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर रहता है,अर्थात $a_1 + a_{21} = a_3 + a_{19} = a_5 + a_{17} = 2a_{11}$।
दिया गया है $a_3 + a_5 + a_{11} + a_{17} + a_{19} = 10$।
संबंधों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $(a_3 + a_{19}) + (a_5 + a_{17}) + a_{11} = 10$।
चूंकि $a_3 + a_{19} = 2a_{11}$ और $a_5 + a_{17} = 2a_{11}$,समीकरण $2a_{11} + 2a_{11} + a_{11} = 10$ बन जाता है।
$5a_{11} = 10 \Rightarrow a_{11} = 2$।
हम जानते हैं कि $a_1 + a_{21} = 2a_{11} = 2(2) = 4$।
प्रथम $21$ पदों का योग $S_{21} = \frac{21}{2}(a_1 + a_{21})$ द्वारा प्राप्त होता है।
$S_{21} = \frac{21}{2}(4) = 21 \times 2 = 42$।

(B) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है। $n^{th}$ पद $T_n = a + (n-1)d$ है।
दिया है $T_9 = 5T_2$ $\Rightarrow a + 8d = 5(a + d)$ $\Rightarrow a + 8d = 5a + 5d$ $\Rightarrow 4a - 3d = 0$ $\Rightarrow d = \frac{4a}{3}$.
दिया है $T_{13} = 2T_6 + 5$ $\Rightarrow a + 12d = 2(a + 5d) + 5$ $\Rightarrow a + 12d = 2a + 10d + 5$ $\Rightarrow 2d - a = 5$.
दूसरे समीकरण में $d = \frac{4a}{3}$ रखने पर: $2(\frac{4a}{3}) - a = 5$.
$\frac{8a}{3} - a = 5$ $\Rightarrow \frac{5a}{3} = 5$ $\Rightarrow a = 3$.

(A) समांतर माध्य $A$ इस प्रकार है:
$A = \frac{9 + 99 + 999 + \dots + 999999999}{9}$
प्रत्येक पद को $9$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = 1 + 11 + 111 + \dots + 111111111$
इन पदों का योग करने पर:
$1 = 1$
$1 + 11 = 12$
$1 + 11 + 111 = 123$
इस पैटर्न को $9$ पदों तक जारी रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = 123456789$
संख्या $N = 123456789$ में $1$ से $9$ तक के अंक हैं। इसमें $0$ अंक शामिल नहीं है।

(D) योग को अधिकतम करने के लिए,हम उन पदों को जोड़ते हैं जो गैर-ऋणात्मक हैं।
माना $n$-वां पद $T_n = a + (n-1)d$ है।
यहाँ,$a = 50$ और $d = -2$ है।
$T_n = 50 + (n-1)(-2) = 52 - 2n$।
$T_n \geq 0$ रखने पर,$52 - 2n \geq 0 \Rightarrow n \leq 26$।
अतः,$n = 26$ के लिए योग अधिकतम है।
$S_{26} = \frac{26}{2} [2(50) + (26-1)(-2)] = 13 [100 - 50] = 650$।

(A) माना $A.P.$ $x_1, x_2, \dots, x_n$ का सार्व अंतर $d_1$ है।
चूंकि $x_8 - x_3 = 5d_1 = 20 - 8 = 12$,इसलिए $d_1 = \frac{12}{5} = 2.4$ है।
अतः $x_5 = x_3 + 2d_1 = 8 + 2(2.4) = 12.8$ है।
माना $A.P.$ $\frac{1}{h_1}, \frac{1}{h_2}, \dots, \frac{1}{h_n}$ का सार्व अंतर $d_2$ है।
चूंकि $\frac{1}{h_7} - \frac{1}{h_2} = 5d_2 = \frac{1}{20} - \frac{1}{8} = -\frac{3}{40}$,इसलिए $d_2 = -\frac{3}{200}$ है।
अब,$\frac{1}{h_{10}} = \frac{1}{h_7} + 3d_2 = \frac{1}{20} - \frac{9}{200} = \frac{1}{200}$ है,जिससे $h_{10} = 200$ प्राप्त होता है।
अतः $x_5 \cdot h_{10} = 12.8 \times 200 = 2560$ है।

(C) दिया गया है कि $\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \dots, \frac{1}{x_n}$ $A.P.$ में हैं।
मान लीजिए $a = \frac{1}{x_1} = \frac{1}{4}$ और $d$ सार्व अंतर है।
हमें $\frac{1}{x_{21}} = \frac{1}{20}$ दिया गया है।
$A.P.$ के सूत्र से $\frac{1}{x_{21}} = a + 20d$,इसलिए $\frac{1}{20} = \frac{1}{4} + 20d$।
$20d = \frac{1}{20} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{5}$,अतः $d = -\frac{1}{100}$।
$A.P.$ का $n$ वाँ पद $\frac{1}{x_n} = a + (n-1)d = \frac{1}{4} - \frac{n-1}{100} = \frac{26 - n}{100}$ है।
इसलिए $x_n = \frac{100}{26 - n}$।
चूंकि $x_n > 50$,इसलिए $\frac{100}{26 - n} > 50$,जिसका अर्थ है $n > 24$।
सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n = 25$ है।
अब,$\sum_{i=1}^{25} \frac{1}{x_i} = \frac{25}{2} \left[ 2a + (25-1)d \right] = \frac{25}{2} \left[ \frac{1}{2} - \frac{24}{100} \right] = \frac{25}{2} \left[ \frac{1}{2} - \frac{6}{25} \right] = \frac{13}{4}$.

(B) दी गई श्रेणी $\sqrt{3} + 5\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 13\sqrt{3} + \dots$ है।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = \sqrt{3}$ और सार्व अंतर $d = 4\sqrt{3}$ है।
योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
$435\sqrt{3} = \frac{n}{2}[2\sqrt{3} + (n-1)4\sqrt{3}]$
$\sqrt{3}$ से भाग देने पर,$435 = \frac{n}{2}[2 + 4n - 4] = n(2n-1)$
$2n^2 - n - 435 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$n = \frac{1 \pm 59}{4}$
अतः,$n = 15$।

(A) चूँकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,हम $a = b - d$ और $c = b + d$ लिख सकते हैं।
दिया गया है $abc = 8$,इसलिए $(b - d)b(b + d) = 8$।
$b(b^2 - d^2) = 8$,जिसका अर्थ है $b^2 - d^2 = \frac{8}{b}$।
चूँकि $d^2 \ge 0$,इसलिए $b^2 - \frac{8}{b} \ge 0$।
$b^3 - 8 \ge 0$,अतः $b^3 \ge 8$,जिसका अर्थ है $b \ge 2$।
$b$ का न्यूनतम मान $2$ है जब $d = 0$ हो (अर्थात $a = b = c = 2$)।

(B) दिया गया है $x + y + z = 12$ और $x^3y^4z^5 = (0.1)(600)^3$ है।
भारित समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{3(\frac{x}{3}) + 4(\frac{y}{4}) + 5(\frac{z}{5})}{3+4+5} \ge ((\frac{x}{3})^3 (\frac{y}{4})^4 (\frac{z}{5})^5)^{1/12}$
$\frac{x+y+z}{12} \ge (\frac{x^3 y^4 z^5}{3^3 4^4 5^5})^{1/12}$
$\frac{12}{12} \ge (\frac{x^3 y^4 z^5}{27 \times 256 \times 3125})^{1/12}$
$1 \ge \frac{x^3 y^4 z^5}{21600000}$
$x^3 y^4 z^5 \le 21600000 = (0.1)(600)^3$.
चूँकि समानता लागू होती है,इसलिए $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = k$ होगा।
अतः $x = 3k, y = 4k, z = 5k$ है।
$3k + 4k + 5k = 12 \implies 12k = 12 \implies k = 1$ है।
इस प्रकार,$x = 3, y = 4, z = 5$ है।
इसलिए,$x^3 + y^3 + z^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216$।

(A) $A.P.$ में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर होता है। विशेष रूप से,$a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$.
दिया गया है कि $a_3 + a_7 + a_{11} + a_{15} = 72$.
हम जानते हैं कि $a_3 + a_{15} = a_1 + a_{17}$ और $a_7 + a_{11} = a_1 + a_{17}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a_1 + a_{17}) + (a_1 + a_{17}) = 72$
$2(a_1 + a_{17}) = 72$
$a_1 + a_{17} = 36$.
प्रथम $17$ पदों का योग $S_{17} = \frac{17}{2}(a_1 + a_{17})$ द्वारा प्राप्त होता है।
$S_{17} = \frac{17}{2} \times 36 = 17 \times 18 = 306$.

(C) दिया गया है कि पहला पद $a_1 = 10$ है और पहले तीन पदों का योग $39$ है।
$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 39$
$3a_1 + 3d = 39$
$3(10) + 3d = 39$ $\Rightarrow 30 + 3d = 39$ $\Rightarrow 3d = 9$ $\Rightarrow d = 3.$
मान लीजिए कि पदों की संख्या $n$ है। अंतिम चार पद $a_{n-3}, a_{n-2}, a_{n-1}, a_n$ हैं।
उनका योग $4a_1 + ( (n-4) + (n-3) + (n-2) + (n-1) )d = 178$ है।
$4(10) + (4n - 10)3 = 178$
$40 + 12n - 30 = 178$ $\Rightarrow 12n + 10 = 178$ $\Rightarrow 12n = 168$ $\Rightarrow n = 14.$
$n$ पदों वाली $A.P.$ की माध्यिका पहले और अंतिम पद का औसत होती है: $\frac{a_1 + a_n}{2}.$
$a_n = a_1 + (n-1)d = 10 + (14-1)3 = 10 + 39 = 49.$
माध्यिका $= \frac{10 + 49}{2} = \frac{59}{2} = 29.5.$

(C) माना $a$ प्रथम पद है और $d$ दिए गए $A.P.$ का सार्व अंतर है।
दूसरा पद $a + d = 12$ .....$(1)$
प्रथम नौ पदों का योग:
${S_9} = \frac{9}{2}(2a + 8d) = 9(a + 4d)$
दिया गया है कि $200 < {S_9} < 220$:
$200 < 9(a + 4d) < 220$
समीकरण $(1)$ से $a = 12 - d$ का मान रखने पर:
$200 < 9(12 - d + 4d) < 220$
$200 < 9(12 + 3d) < 220$
$200 < 108 + 27d < 220$
सभी भागों से $108$ घटाने पर:
$92 < 27d < 112$
चूंकि पद धनात्मक पूर्णांक हैं,$d$ एक पूर्णांक होना चाहिए। $d$ के मानों की जाँच करने पर:
यदि $d = 4$ है,तो $27 \times 4 = 108$ (जो $92 < 108 < 112$ को संतुष्ट करता है)।
अतः,$d = 4$.
समीकरण $(1)$ से,$a + 4 = 12$,इसलिए $a = 8$.
$4^{th}$ पद $a + 3d = 8 + 3(4) = 8 + 12 = 20$ है।

(B) प्रथम श्रेणी $3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, \dots$ है,जिसका सार्व अंतर $d_1 = 4$ है।
दूसरी श्रेणी $1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, \dots$ है,जिसका सार्व अंतर $d_2 = 5$ है।
प्रथम उभयनिष्ठ पद $11$ है।
उभयनिष्ठ पदों द्वारा बनी नई श्रेणी का सार्व अंतर $LCM(d_1, d_2) = LCM(4, 5) = 20$ होगा।
अतः,उभयनिष्ठ पद एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जिसमें प्रथम पद $a = 11$ और सार्व अंतर $d = 20$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$n = 20$ के लिए,$S_{20} = \frac{20}{2}[2(11) + (20 - 1)20]$।
$S_{20} = 10[22 + 19 \times 20] = 10[22 + 380] = 10[402] = 4020$।

(B) माना कुल पदों की संख्या $2n$ है,प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
विषम स्थानों पर स्थित पदों का योग $S_o = n[a + (n-1)d] = 24$ --- $(i)$
सम स्थानों पर स्थित पदों का योग $S_e = n[a + d + (n-1)d] = 30$ --- $(ii)$
$(ii) - (i)$ करने पर,$nd = 6$ --- $(iii)$
अंतिम पद और प्रथम पद का अंतर: $(a+(2n-1)d) - a = \frac{21}{2}$
$(2n-1)d = \frac{21}{2} \Rightarrow 2nd - d = \frac{21}{2}$
$nd = 6$ रखने पर: $12 - d = 10.5 \Rightarrow d = 1.5 = \frac{3}{2}$
$n(\frac{3}{2}) = 6 \Rightarrow n = 4$
कुल पदों की संख्या $= 2n = 2 \times 4 = 8$.

(B) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$ होता है।
दिया है $\frac{S_p}{S_q} = \frac{p^3}{q^3}$,जिससे $\frac{2a_1 + (p-1)d}{2a_1 + (q-1)d} = \frac{p^2}{q^2}$ प्राप्त होता है।
$p=1, q=2$ रखने पर,$\frac{a_1}{a_1+a_2} = \frac{1}{8} \Rightarrow d = 6a_1$ प्राप्त होता है।
अतः $\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{a_1 + 5d}{a_1 + 20d} = \frac{a_1 + 30a_1}{a_1 + 120a_1} = \frac{31}{121}$।

(B) प्रथम $A.P.$ के लिए,$S_n = 3n^2 + 2n$.
प्रथम पद $a = S_1 = 3(1)^2 + 2(1) = 5$.
प्रथम दो पदों का योग $S_2 = 3(2)^2 + 2(2) = 12 + 4 = 16$.
दूसरा पद $a_2 = S_2 - S_1 = 16 - 5 = 11$.
सार्व अंतर $d = a_2 - a = 11 - 5 = 6$.
नए $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a' = a = 5$ और सार्व अंतर $d' = 2d = 2(6) = 12$.
नए $A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n' = \frac{n}{2} [2a' + (n - 1)d']$ है।
$S_n' = \frac{n}{2} [2(5) + (n - 1)12] = \frac{n}{2} [10 + 12n - 12] = \frac{n}{2} [12n - 2] = 6n^2 - n$.

(C) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है $a_4 - a_7 + a_{10} = m$।
सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$(a + 3d) - (a + 6d) + (a + 9d) = m$
$a + 6d = m$
चूंकि $a_7 = a + 6d$,इसलिए $a_7 = m$ है।
प्रथम $13$ पदों का योग $S_{13} = \frac{13}{2} [2a + (13-1)d] = \frac{13}{2} [2a + 12d] = 13(a + 6d)$ है।
$a + 6d = m$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S_{13} = 13m$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $A.P.$ के $p^{th}$ और $q^{th}$ पदों का $A.M.$,$r^{th}$ और $s^{th}$ पदों के $A.M.$ के बराबर है:
$\frac{a_p + a_q}{2} = \frac{a_r + a_s}{2}$
$A.P.$ के $n^{th}$ पद के सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$a + (p-1)d + a + (q-1)d = a + (r-1)d + a + (s-1)d$
समीकरण को सरल करने पर:
$2a + (p + q - 2)d = 2a + (r + s - 2)d$
दोनों पक्षों से $2a$ घटाने पर:
$(p + q - 2)d = (r + s - 2)d$
यदि $d \neq 0$ है,तो $d$ से विभाजित करने पर:
$p + q - 2 = r + s - 2$
अतः:
$p + q = r + s$

(A) दिया गया है $S = \sum_{i=1}^{30} {a_i}$ और $T = \sum_{i=1}^{15} {a_{2i-1}}$।
मान लीजिए $A.P.$ को ${a_i} = a + (i-1)d$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$S = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \dots + {a_{30}}$
$T = {a_1} + {a_3} + {a_5} + \dots + {a_{29}}$
तब $2T = 2{a_1} + 2{a_3} + 2{a_5} + \dots + 2{a_{29}}$।
$S - 2T = ({a_2} - {a_1}) + ({a_4} - {a_3}) + ({a_6} - {a_5}) + \dots + ({a_{30}} - {a_{29}})$।
चूंकि ${a_{2k}} - {a_{2k-1}} = d$,इसलिए $S - 2T = 15d$।
दिया गया है $S - 2T = 75$,इसलिए $15d = 75$,जिसका अर्थ है $d = 5$।
दिया गया है ${a_5} = 27$,इसलिए $a + 4d = 27$।
$d = 5$ रखने पर,$a + 4(5) = 27$ $\Rightarrow a + 20 = 27$ $\Rightarrow a = 7$।
हमें ${a_{10}} = a + 9d$ ज्ञात करना है।
${a_{10}} = 7 + 9(5) = 7 + 45 = 52$।

(D) $7n + 2$ के रूप वाली दो अंकों की संख्याएँ $16, 23, \dots, 93$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 16$,$l = 93$ और सार्व अंतर $d = 7$ है। पदों की संख्या $n_1 = 12$ है। योग $S_1 = \frac{12}{2}(16 + 93) = 654$ है।
$7n + 5$ के रूप वाली दो अंकों की संख्याएँ $12, 19, \dots, 96$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 12$,$l = 96$ और सार्व अंतर $d = 7$ है। पदों की संख्या $n_2 = 13$ है। योग $S_2 = \frac{13}{2}(12 + 96) = 702$ है।
कुल योग $S_1 + S_2 = 654 + 702 = 1356$ है।

(C) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है। $A.P.$ का $n^{th}$ पद $t_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $19^{th}$ पद शून्य है: $t_{19} = a + 18d = 0$,जिसका अर्थ है $a = -18d$.
हमें अनुपात $\frac{t_{49}}{t_{29}}$ ज्ञात करना है।
$t_{49} = a + 48d = -18d + 48d = 30d$.
$t_{29} = a + 28d = -18d + 28d = 10d$.
अतः,अनुपात $\frac{30d}{10d} = \frac{3}{1}$ है,जो $3 : 1$ है।

(D) हमें उन सभी $n$ का योग ज्ञात करना है जिनके लिए $100 < n < 200$ और $H.C.F. (91, n) > 1$ हो।
चूंकि $91 = 7 \times 13$,$H.C.F. (91, n) > 1$ का अर्थ है कि $n$ को $7$ या $13$ से विभाज्य होना चाहिए।
माना $S_A$,$100$ और $200$ के बीच $7$ से विभाज्य संख्याओं का योग है।
ये संख्याएँ $105, 112, \dots, 196$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 105$,$l = 196$,और $d = 7$ है।
पदों की संख्या $k = \frac{196 - 105}{7} + 1 = 14$ है।
$S_A = \frac{14}{2} (105 + 196) = 7 \times 301 = 2107$।
माना $S_B$,$100$ और $200$ के बीच $13$ से विभाज्य संख्याओं का योग है।
ये संख्याएँ $104, 117, \dots, 195$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 104$,$l = 195$,और $d = 13$ है।
पदों की संख्या $m = \frac{195 - 104}{13} + 1 = 8$ है।
$S_B = \frac{8}{2} (104 + 195) = 4 \times 299 = 1196$।
माना $S_C$,$100$ और $200$ के बीच $7$ और $13$ दोनों से विभाज्य संख्याओं का योग है (अर्थात $91$ से विभाज्य)।
एकमात्र संख्या $182$ है।
$S_C = 182$।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion) के अनुसार,अभीष्ट योग $S_A + S_B - S_C = 2107 + 1196 - 182 = 3121$ है।

(A) प्रथम $n$ पदों का योग दिया गया है: $S_n = 50n + \frac{n(n - 7)}{2}A$.
$n$-वां पद $T_n = S_n - S_{n-1}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$T_n = 50n + \frac{n(n - 7)}{2}A - [50(n - 1) + \frac{(n - 1)(n - 8)}{2}A]$.
$T_n = 50 + \frac{A}{2} [n^2 - 7n - (n^2 - 9n + 8)]$.
$T_n = 50 + \frac{A}{2} [2n - 8] = 50 + A(n - 4)$.
सार्व अंतर $d = T_n - T_{n-1} = [50 + A(n - 4)] - [50 + A(n - 5)] = A$.
$a_{50}$ ज्ञात करने के लिए,$T_n$ के व्यंजक में $n = 50$ रखने पर:
$a_{50} = 50 + A(50 - 4) = 50 + 46A$.
अतः,क्रमित युग्म $(d, a_{50})$ का मान $(A, 50 + 46A)$ है।

(A) माना कि $A.P.$ में तीन संख्याएँ $a-d, a, a+d$ हैं।
दिया गया है कि $(a-d) + a + (a+d) = 33$.
$3a = 33 \Rightarrow a = 11$.
साथ ही,$(a-d)(a)(a+d) = 1155$.
$a(a^2 - d^2) = 1155$.
$11(121 - d^2) = 1155$.
$121 - d^2 = 105$.
$d^2 = 16 \Rightarrow d = \pm 4$.
यदि $d = 4$ है,तो प्रथम पद $A = a-d = 7$ है। $11$ वाँ पद $T_{11} = A + 10d = 7 + 10(4) = 47$ है।
यदि $d = -4$ है,तो प्रथम पद $A = a-d = 15$ है। $11$ वाँ पद $T_{11} = A + 10d = 15 + 10(-4) = -25$ है।

(A) दिया गया योग $a_1 + a_4 + a_7 + a_{10} + a_{13} + a_{16} = 114$ है।
यह $6$ पदों की एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है,जहाँ प्रथम पद $a_1$ और अंतिम पद $a_{16}$ है।
$A.P.$ के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(\text{प्रथम पद} + \text{अंतिम पद})$ होता है।
अतः,$\frac{6}{2}(a_1 + a_{16}) = 114$.
$3(a_1 + a_{16}) = 114 \Rightarrow a_1 + a_{16} = 38$.
हमें $S = a_1 + a_6 + a_{11} + a_{16}$ का योग ज्ञात करना है।
यह भी $4$ पदों की एक समांतर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a_1$ और अंतिम पद $a_{16}$ है।
$S = \frac{4}{2}(a_1 + a_{16}) = 2(38) = 76$.

(B) मान लीजिए $a$ प्रथम पद है और $d$ $A.P.$ का सार्व अंतर है।
दिया गया है $a_6 = a + 5d = 2$,इसलिए $a = 2 - 5d$.
पद $a_1 = a = 2 - 5d$,$a_4 = a + 3d = 2 - 2d$,और $a_5 = a + 4d = 2 - d$ हैं।
मान लीजिए गुणनफल $f(d) = a_1 a_4 a_5 = (2 - 5d)(2 - 2d)(2 - d)$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $f(d) = (10d^2 - 14d + 4)(2 - d) = -10d^3 + 34d^2 - 32d + 8$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,अवकलज $f'(d) = -30d^2 + 68d - 32$ ज्ञात करें।
$f'(d) = 0$ रखने पर $\Rightarrow 15d^2 - 34d + 16 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $d = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 960}}{30} = \frac{34 \pm 14}{30}$.
अतः,$d_1 = \frac{8}{5}$ और $d_2 = \frac{2}{3}$ प्राप्त होते हैं।
द्वितीय अवकलज: $f''(d) = -60d + 68$.
$d = \frac{2}{3}$ पर,$f''(\frac{2}{3}) = 28 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
$d = \frac{8}{5}$ पर,$f''(\frac{8}{5}) = -28 < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
अतः,$d = \frac{8}{5}$ पर गुणनफल अधिकतम होता है।

(C) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$ द्वारा दिया जाता है।
$S_4 = 16$ के लिए,$\frac{4}{2} \{2a + 3d\} = 16$,जो $2a + 3d = 8$ (समीकरण $1$) में सरल होता है।
$S_6 = -48$ के लिए,$\frac{6}{2} \{2a + 5d\} = -48$,जो $2a + 5d = -16$ (समीकरण $2$) में सरल होता है।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(2a + 5d) - (2a + 3d) = -16 - 8$,अतः $2d = -24$,जिससे $d = -12$ प्राप्त होता है।
$d = -12$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $2a + 3(-12) = 8$,अतः $2a - 36 = 8$,जिससे $2a = 44$ प्राप्त होता है,अतः $a = 22$।
अब,$S_{10} = \frac{10}{2} \{2a + 9d\} = 5 \{2(22) + 9(-12)\} = 5 \{44 - 108\} = 5 \{-64\} = -320$।

(A) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि $a_1 + a_7 + a_{16} = 40$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद के सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$a + (a + 6d) + (a + 15d) = 40$
$3a + 21d = 40$
$3(a + 7d) = 40$
$a + 7d = \frac{40}{3}$
हमें प्रथम $15$ पदों का योग $S_{15}$ ज्ञात करना है।
$S_{15} = \frac{15}{2} [2a + (15-1)d]$
$S_{15} = \frac{15}{2} [2a + 14d]$
$S_{15} = 15(a + 7d)$
$(a + 7d)$ का मान रखने पर:
$S_{15} = 15 \times \frac{40}{3} = 5 \times 40 = 200$.

(C) $A.P.$ में पाँच संख्याएँ $(a-2d, a-d, a, a+d, a+2d)$ मानिए।
योग $25$ दिया गया है,इसलिए $5a = 25$,जिससे $a = 5$ प्राप्त होता है।
गुणनफल $5(25-4d^2)(25-d^2) = 2520$ है,जिसे सरल करने पर $(25-4d^2)(25-d^2) = 504$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण को हल करने पर $4d^4 - 125d^2 + 121 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(4d^2 - 121)(d^2 - 1) = 0$ हैं।
अतः $d^2 = 1$ या $d^2 = \frac{121}{4}$ प्राप्त होता है।
$d^2 = \frac{121}{4}$ लेने पर,$d = \pm \frac{11}{2}$ प्राप्त होता है।
श्रेणी $-6, -0.5, 5, 10.5, 16$ बनती है।
अतः सबसे बड़ी संख्या $16$ है।

(B) माना प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
दिया है $T_{10} = a + 9d = \frac{1}{20} \quad \dots (i)$
दिया है $T_{20} = a + 19d = \frac{1}{10} \quad \dots (ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$(a + 19d) - (a + 9d) = \frac{1}{10} - \frac{1}{20}$
$10d = \frac{1}{20} \implies d = \frac{1}{200}$
$d$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$a + 9(\frac{1}{200}) = \frac{1}{20} \implies a = \frac{10}{200} - \frac{9}{200} = \frac{1}{200}$
अब,प्रथम $200$ पदों का योग $S_{200}$:
$S_{200} = \frac{200}{2}[2(\frac{1}{200}) + 199(\frac{1}{200})] = 100[\frac{201}{200}] = \frac{201}{2} = 100 \frac{1}{2}$

(B) दिया गया है कि $(2^{1+x}+2^{1-x})$,$f(x)$,और $(3^x+3^{-x})$ $A.P.$ में हैं।
$A.P.$ के गुणधर्म के अनुसार,$2f(x) = (2^{1+x}+2^{1-x}) + (3^x+3^{-x})$.
$f(x) = \frac{2(2^x+2^{-x}) + (3^x+3^{-x})}{2} = (2^x+2^{-x}) + \frac{1}{2}(3^x+3^{-x})$.
$A.M. \geq G.M.$ असमिका का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $a^x + a^{-x} \geq 2$ जहाँ $a > 0$.
अतः,$2^x+2^{-x} \geq 2$ और $3^x+3^{-x} \geq 2$.
इसलिए,$f(x) \geq 2 + \frac{1}{2}(2) = 2 + 1 = 3$.
$f(x)$ का न्यूनतम मान $3$ है।

(D) पहली समांतर श्रेणी $A_1: 3, 7, 11, \ldots, 407$ है। यहाँ,$a_1 = 3$ और $d_1 = 4$ है। सामान्य पद $T_n = 4n - 1$ है।
दूसरी समांतर श्रेणी $A_2: 2, 9, 16, \ldots, 709$ है। यहाँ,$a_2 = 2$ और $d_2 = 7$ है। सामान्य पद $T_m = 7m - 5$ है।
उभयनिष्ठ पद के लिए,$4n - 1 = 7m - 5$,जिसका अर्थ है $4n = 7m - 4$। इसका मतलब है कि $7m$ को $4$ का गुणज होना चाहिए। अतः $m = 4k$ लेने पर,$n = 7k - 1$ प्राप्त होता है।
पहला उभयनिष्ठ पद $k=1$ के लिए $23$ है।
नई समांतर श्रेणी का सार्व अंतर $\text{lcm}(4, 7) = 28$ है।
उभयनिष्ठ पद $23, 51, 79, \ldots$ हैं। अंतिम पद $\leq 407$ होना चाहिए।
$23 + (N-1)28 \leq 407$
$(N-1)28 \leq 384$
$N \leq 14.71$.
अतः,उभयनिष्ठ पदों की संख्या $N = 14$ है।

(A) दिया गया अनुक्रम सूत्र $a_{n} = 2n + 5$ है।
पहले तीन पद ज्ञात करने के लिए,हम $n = 1, 2, 3$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$n = 1$ के लिए: $a_{1} = 2(1) + 5 = 2 + 5 = 7$
$n = 2$ के लिए: $a_{2} = 2(2) + 5 = 4 + 5 = 9$
$n = 3$ के लिए: $a_{3} = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$
अतः,पहले तीन पद $7, 9, 11$ हैं।