Arithmetic progression Questions in Hindi

(C) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग $(n-2) \times 180^{\circ}$ होता है।
माना कोण $A.P.$ में हैं,जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d = 6^{\circ}$ है।
$A.P.$ का योग $\frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = (n-2) \times 180^{\circ}$ है।
सबसे बड़ा कोण $a + (n-1)d = 219^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $a = 219^{\circ} - 6(n-1) = 225^{\circ} - 6n$ है।
$a$ का मान योग के सूत्र में रखने पर:
$\frac{n}{2}[2(225 - 6n) + (n-1)6] = (n-2)180$
$n[222 - 3n] = 180n - 360$
$3n^2 - 42n - 360 = 0$
$3$ से भाग देने पर: $n^2 - 14n - 120 = 0$
$(n - 20)(n + 6) = 0$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 20$.

(C) मान लीजिए $A.P.$ $a, a+d, a+2d, \dots$ है जहाँ $a$ और $d$ धनात्मक पूर्णांक हैं।
दिया गया है $S_3 = a + (a+d) + (a+2d) = 3a + 3d = 54$,जो सरल होकर $a+d = 18$ देता है।
अतः,$a = 18-d$.
चूंकि $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$18-d > 0 \Rightarrow d < 18$.
साथ ही,$S_{20} = \frac{20}{2} [2a + 19d] = 10[2(18-d) + 19d] = 10[36 - 2d + 19d] = 10[36 + 17d]$.
दिया गया है $1600 < 10(36 + 17d) < 1800$,$10$ से भाग देने पर $160 < 36 + 17d < 180$ प्राप्त होता है।
$36$ घटाने पर $124 < 17d < 144$ प्राप्त होता है।
$17$ से भाग देने पर $7.29 < d < 8.47$ प्राप्त होता है।
चूंकि $d$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $d = 8$.
तब $a = 18 - 8 = 10$.
$11$ वां पद $a_{11} = a + 10d = 10 + 10(8) = 10 + 80 = 90$ है।

(D) मान लीजिए दिया गया योग $S = a_1 + (a_5 + a_{10} + \ldots + a_{2020}) + a_{2024} = 2233$ है।
समांतर श्रेणी में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर होता है,अर्थात $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$।
यहाँ,$n = 2024$ है। कोष्ठक में पद $a_{5k}$ हैं जहाँ $k=1$ से $404$ तक है।
ध्यान दें कि $a_5 + a_{2020} = a_1 + a_{2024}$,$a_{10} + a_{2015} = a_1 + a_{2024}$,आदि।
श्रेणी $5, 10, \ldots, 2020$ में $404$ पद हैं।
इन पदों की जोड़ी बनाने पर,हमें $202$ जोड़ियाँ मिलती हैं,जिनमें से प्रत्येक $(a_1 + a_{2024})$ के बराबर है।
बाहरी पदों $a_1$ और $a_{2024}$ को जोड़ने पर,कुल योग $203(a_1 + a_{2024}) = 2233$ होता है।
अतः,$(a_1 + a_{2024}) = \frac{2233}{203} = 11$।
समांतर श्रेणी का योग $S_{2024} = \frac{2024}{2}(a_1 + a_{2024}) = 1012 \times 11 = 11132$ है।

(A) मान लीजिए प्रथम पद $a_1 = a$ और सार्व अंतर $d$ है।
प्रथम $12$ विषम-क्रम वाले पदों का योग $\sum_{k=1}^{12} a_{2k-1} = a_1 + a_3 + \ldots + a_{23} = -\frac{72}{5} a$ है।
यह एक $A.P.$ है जिसमें $12$ पद हैं,प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $2d$ है।
योग $\frac{12}{2} [2a + (12-1)(2d)] = 6(2a + 22d) = 12a + 132d$ है।
दिए गए मान के साथ तुलना करने पर: $12a + 132d = -\frac{72}{5} a$.
$5$ से गुणा करने पर: $60a + 660d = -72a$,जिसे सरल करने पर $132a = -660d$ अर्थात $a = -5d$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि $\sum_{k=1}^{n} a_k = 0$,जो कि $\frac{n}{2} [2a + (n-1)d] = 0$ है।
चूँकि $n \neq 0$,इसलिए $2a + (n-1)d = 0$.
$a = -5d$ रखने पर: $2(-5d) + (n-1)d = 0$.
$-10d + nd - d = 0 \Rightarrow (n-11)d = 0$.
चूँकि $a_1 \neq 0$,इसलिए $d \neq 0$,अतः $n - 11 = 0$,जिससे $n = 11$ प्राप्त होता है।

(A) माना पदों की संख्या $n = 2k$ है। पद $a_1, a_2, \ldots, a_{2k}$ हैं।
सम पदों का योग: $a_2 + a_4 + \ldots + a_{2k} = 30$.
विषम पदों का योग: $a_1 + a_3 + \ldots + a_{2k-1} = 24$.
दोनों योगों को घटाने पर: $(a_2 - a_1) + (a_4 - a_3) + \ldots + (a_{2k} - a_{2k-1}) = 30 - 24 = 6$.
चूंकि प्रत्येक अंतर सार्व अंतर $d$ है,हमारे पास $k \times d = 6$ है,इसलिए $n \times d = 2k \times d = 12$.
अंतिम पद पहले पद से $\frac{21}{2}$ अधिक है,इसलिए $a_n - a_1 = (n-1)d = \frac{21}{2}$.
$nd = 12$ प्रतिस्थापित करने पर: $12 - d = \frac{21}{2} \Rightarrow d = 12 - 10.5 = 1.5 = \frac{3}{2}$.
चूंकि $nd = 12$,$n \times \frac{3}{2} = 12 \Rightarrow n = 8$.
विषम पदों के योग का उपयोग करने पर: $4a_1 + 12d = 24$ $\Rightarrow 4a_1 + 12(1.5) = 24$ $\Rightarrow 4a_1 + 18 = 24$ $\Rightarrow 4a_1 = 6$ $\Rightarrow a_1 = 1.5$.
अनुक्रम: $1.5, 3, 4.5, 6, 7.5, 9, 10.5, 12$.
पूर्णांक पद $3, 6, 9, 12$ हैं। ऐसे $4$ पद हैं।

(D) मान लीजिए समुच्चय $A$ के तत्व $(a-d, a, a+d)$ हैं। योग $3a = 36$ है,इसलिए $a = 12$ है। गुणनफल $p = a(a^2 - d^2) = 12(144 - d^2)$ है।
मान लीजिए समुच्चय $B$ के तत्व $(b-D, b, b+D)$ हैं। योग $3b = 36$ है,इसलिए $b = 12$ है। गुणनफल $q = b(b^2 - D^2) = 12(144 - D^2)$ है।
दिया गया है $\frac{p+q}{p-q} = \frac{19}{5}$। योगांतरानुपात नियम (componendo and dividendo) द्वारा,$\frac{p}{q} = \frac{19+5}{19-5} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$ है।
$p$ और $q$ का मान रखने पर: $\frac{12(144-d^2)}{12(144-D^2)} = \frac{12}{7}$।
चूंकि $D = d+3$,इसलिए $D^2 = (d+3)^2 = d^2 + 6d + 9$ है।
$\frac{144-d^2}{144-(d^2+6d+9)} = \frac{12}{7} \implies \frac{144-d^2}{135-d^2-6d} = \frac{12}{7}$।
$7(144-d^2) = 12(135-d^2-6d) \implies 1008 - 7d^2 = 1620 - 12d^2 - 72d$।
$5d^2 + 72d - 612 = 0$। द्विघात सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान निकालने पर: $d = \frac{-72 \pm 132}{10}$।
चूंकि $d > 0$,इसलिए $d = 6$ है। अतः $D = 6+3 = 9$ है।
$p - q = 12(D^2 - d^2) = 12(81 - 36) = 12(45) = 540$।

(C) दिया है $a_6 = a + 5d = 7$ $(i)$
दिया है $S_7 = \frac{7}{2}(2a + 6d) = 7 \Rightarrow a + 3d = 1$ $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $(a + 5d) - (a + 3d) = 7 - 1$ $\Rightarrow 2d = 6$ $\Rightarrow d = 3$.
$d = 3$ को $(ii)$ में रखने पर: $a + 3(3) = 1 \Rightarrow a = -8$.
दिया है $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = 700$.
$a = -8$ और $d = 3$ रखने पर: $\frac{n}{2}[2(-8) + (n-1)3] = 700$.
$\frac{n}{2}[-16 + 3n - 3] = 700$ $\Rightarrow n(3n - 19) = 1400$ $\Rightarrow 3n^2 - 19n - 1400 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(3n + 56)(n - 25) = 0$.
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 25$.
अतः,$a_n = a_{25} = a + 24d = -8 + 24(3) = -8 + 72 = 64$.

(A) माना कि दी गई $AP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$AP$ का $n$ वां पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $9 \times a_9 = 13 \times a_{13}$ है।
पदों के लिए सूत्र प्रतिस्थापित करने पर:
$9[a + (9-1)d] = 13[a + (13-1)d]$
$9[a + 8d] = 13[a + 12d]$
$9a + 72d = 13a + 156d$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$13a - 9a + 156d - 72d = 0$
$4a + 84d = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$a + 21d = 0$
चूंकि $22$ वां पद $a_{22} = a + (22-1)d = a + 21d$ है,
अतः,$a_{22} = 0$.

(A) दिया गया योग $\sum_{r=1}^n(2r+1) = 440$ है।
योग को विस्तारित करने पर,हमें श्रेणी $3 + 5 + 7 + \ldots + (2n+1) = 440$ प्राप्त होती है।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 3$,सार्व अंतर $d = 2$ और पदों की संख्या $n$ है।
समांतर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।
मान रखने पर: $\frac{n}{2}[2(3) + (n-1)(2)] = 440$.
$\Rightarrow \frac{n}{2}[6 + 2n - 2] = 440$.
$\Rightarrow \frac{n}{2}[2n + 4] = 440$.
$\Rightarrow n(n + 2) = 440$.
$\Rightarrow n^2 + 2n - 440 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(n + 22)(n - 20) = 0$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 20$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^{3}+a x^{2}+b x+c=0$ है।
माना मूल $(\alpha, \beta, \gamma)$ हैं। चूँकि वे $AP$ में हैं,इसलिए $2 \beta = \alpha + \gamma$ है।
मूलों के योग से,$\alpha + \beta + \gamma = -a$ है।
$\alpha + \gamma = 2 \beta$ प्रतिस्थापित करने पर,$3 \beta = -a$,अतः $\beta = -\frac{a}{3}$ है।
चूँकि $\beta$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करता है:
$(-\frac{a}{3})^{3} + a(-\frac{a}{3})^{2} + b(-\frac{a}{3}) + c = 0$.
$-\frac{a^{3}}{27} + \frac{a^{3}}{9} - \frac{ab}{3} + c = 0$.
$27$ से गुणा करने पर,$-a^{3} + 3a^{3} - 9ab + 27c = 0$.
$2a^{3} - 9ab + 27c = 0$.
अतः,$2a^{3} - 9ab = -27c$.

(A) दिया गया है,पदों की संख्या $n = 51$ है।
चूंकि $n$ विषम है,इसलिए मध्य पद $\left(\frac{n+1}{2}\right)$-वां पद होगा।
$\text{मध्य पद} = \left(\frac{51+1}{2}\right) = 26\text{-वां पद}$।
अतः,$T_{26} = a + 25d = 300$।
$AP$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ अंतिम पद है।
यहाँ,$l = T_{51} = a + 50d$।
$S_{51} = \frac{51}{2}(a + a + 50d) = \frac{51}{2}(2a + 50d) = 51(a + 25d)$।
$a + 25d = 300$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S_{51} = 51 \times 300 = 15300$।

(B) दिए गए पद $AP$ में हैं: $p(\frac{q+r}{qr}), q(\frac{p+r}{pr}), r(\frac{p+q}{pq})$.
प्रत्येक पद में $1$ जोड़ने पर,अनुक्रम $AP$ में ही रहता है:
$\frac{pq+pr+qr}{qr}, \frac{qp+qr+pr}{pr}, \frac{rp+rq+pq}{pq}$ $AP$ में हैं।
माना $S = pq+pr+qr$. तब $\frac{S}{qr}, \frac{S}{pr}, \frac{S}{pq}$ $AP$ में हैं।
प्रत्येक पद को $S$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $S \neq 0$),हमें $\frac{1}{qr}, \frac{1}{pr}, \frac{1}{pq}$ $AP$ में प्राप्त होते हैं।
प्रत्येक पद को $pqr$ से गुणा करने पर,हमें $p, q, r$ $AP$ में प्राप्त होते हैं।

(A) दी गई श्रेणी $3+5+7+\ldots$ के $n$ पद हैं।
यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जिसका प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 5 - 3 = 2$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योगफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
मान $a = 3$ और $d = 2$ रखने पर:
$S_n = \frac{n}{2}[2(3) + (n-1)2]$
$S_n = \frac{n}{2}[6 + 2n - 2]$
$S_n = \frac{n}{2}[2n + 4]$
$S_n = n(n + 2)$

(C) दिया गया है कि $AP$ के $n$ पदों का योग $S_{n} = n^{2} + n$ है।
हम जानते हैं कि प्रथम पद $a_{1} = S_{1} = 1^{2} + 1 = 2$ है।
प्रथम दो पदों का योग $S_{2} = 2^{2} + 2 = 4 + 2 = 6$ है।
दूसरा पद $a_{2} = S_{2} - S_{1} = 6 - 2 = 4$ है।
सार्व अंतर $d = a_{2} - a_{1} = 4 - 2 = 2$ है।

(B) $10$ से $95$ तक $5$ के गुणज एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जहाँ प्रथम पद $a = 10$,अंतिम पद $l = 95$ और सार्व अंतर $d = 5$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र उपयोग करने पर: $l = a + (n - 1)d$.
मान रखने पर: $95 = 10 + (n - 1)5$.
$85 = (n - 1)5$.
$n - 1 = 17$.
$n = 18$.
अतः,दी गई सीमा में $5$ के कुल $18$ गुणज हैं।

(B) माना $6x^3-11x^2+6x-1=0$ के मूल $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ हैं। चूंकि वे हरात्मक श्रेणी में हैं,इसलिए $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।
दिए गए समीकरण में $x = \frac{1}{y}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^3 - 6y^2 + 11y - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
अब,समीकरण $x^3-6x^2+11x-6=0$ पर विचार करें।
$x=1$ समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए $(x-1)$ एक गुणनखंड है।
$(x-1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-1)(x-2)(x-3)=0$ प्राप्त होता है।
मूल $1, 2, 3$ हैं।
चूंकि $2-1 = 1$ और $3-2 = 1$,इसलिए मूल समांतर श्रेणी में हैं।

(A) माना मूल $a-d, a, a+d$ हैं।
चूँकि मूल $AP$ में हैं,उनका योग $x^2$ के गुणांक द्वारा दिया जाता है:
$(a-d) + a + (a+d) = p$
$3a = p \implies a = \frac{p}{3}$।
चूँकि $a$,समीकरण $x^3-p x^2+q x-r=0$ का एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(\frac{p}{3})^3 - p(\frac{p}{3})^2 + q(\frac{p}{3}) - r = 0$
$\frac{p^3}{27} - \frac{p^3}{9} + \frac{pq}{3} - r = 0$
पूरे समीकरण को $27$ से गुणा करने पर:
$p^3 - 3p^3 + 9pq - 27r = 0$
$-2p^3 + 9pq - 27r = 0$
$2p^3 - 9pq + 27r = 0$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) माना कि त्रिघात समीकरण के मूल समांतर श्रेणी में $\alpha-r, \alpha, \alpha+r$ हैं।
मूलों का योग $= \alpha-r+\alpha+\alpha+r = 3\alpha$ है।
दिए गए समीकरण $x^3-b x^2+c x-d=0$ से,मूलों का योग $b$ है।
अतः,$3\alpha = b \Rightarrow \alpha = \frac{b}{3}$।
चूंकि $\alpha$ समीकरण का एक मूल है,यह $x^3-b x^2+c x-d=0$ को संतुष्ट करेगा।
$x = \frac{b}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{b}{3})^3 - b(\frac{b}{3})^2 + c(\frac{b}{3}) - d = 0$
$\frac{b^3}{27} - \frac{b^3}{9} + \frac{bc}{3} - d = 0$
पूरे समीकरण को $27$ से गुणा करने पर:
$b^3 - 3b^3 + 9bc - 27d = 0$
$-2b^3 + 9bc - 27d = 0$
$9bc = 2b^3 + 27d$।

(A) माना कि त्रिघात समीकरण $x^3+3px^2+3qx-8=0$ के मूल $a-d$,$a$,और $a+d$ हैं क्योंकि वे समांतर श्रेणी में हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
मूलों का योग: $(a-d) + a + (a+d) = -3p \implies 3a = -3p \implies a = -p$.
चूँकि $a$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(-p)^3 + 3p(-p)^2 + 3q(-p) - 8 = 0$.
$-p^3 + 3p^3 - 3pq - 8 = 0$.
$2p^3 - 3pq = 8$.

(A) माना $1$ से $100$ के बीच $5$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग $S_5$ है। ये संख्याएँ $5, 10, \dots, 100$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 5$,$l = 100$,और $n = \frac{100}{5} = 20$ है। योग $S_5 = \frac{20}{2}(5 + 100) = 10 \times 105 = 1050$ है।
माना $1$ से $100$ के बीच $13$ से विभाज्य पूर्णांकों का योग $S_{13}$ है। ये संख्याएँ $13, 26, 39, 52, 65, 78, 91$ हैं। यहाँ $n = 7$ है। योग $S_{13} = \frac{7}{2}(13 + 91) = \frac{7}{2}(104) = 7 \times 52 = 364$ है।
माना $5$ और $13$ दोनों से विभाज्य पूर्णांकों का योग $S_{65}$ है (अर्थात $65$ से विभाज्य)। ऐसी एकमात्र संख्या $65$ है। अतः $S_{65} = 65$ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,अभीष्ट योग $S = S_5 + S_{13} - S_{65} = 1050 + 364 - 65 = 1349$ है।

(B) माना कि त्रिघात समीकरण के मूल $A-d, A, A+d$ हैं।
चूंकि मूलों का योग $-a$ है,हमारे पास $(A-d) + A + (A+d) = -a$ है,जिससे $3A = -a$ प्राप्त होता है,अतः $A = -\frac{a}{3}$।
चूंकि $A$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $A^3 + aA^2 + bA + c = 0$।
$A = -\frac{a}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-\frac{a}{3})^3 + a(-\frac{a}{3})^2 + b(-\frac{a}{3}) + c = 0$
$-\frac{a^3}{27} + \frac{a^3}{9} - \frac{ab}{3} + c = 0$
$27$ से गुणा करने पर:
$-a^3 + 3a^3 - 9ab + 27c = 0$
$2a^3 - 9ab + 27c = 0$
$9ab = 2a^3 + 27c$.

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $4x^3 - 12x^2 + 11x + m = 0$ है।
माना मूल $A-d, A, A+d$ हैं।
मूलों का योग $= (A-d) + A + (A+d) = -(-12)/4 = 3$.
$3A = 3 \Rightarrow A = 1$.
चूंकि $A=1$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $4(1)^3 - 12(1)^2 + 11(1) + m = 0$.
$4 - 12 + 11 + m = 0$.
$3 + m = 0 \Rightarrow m = -3$.

(A) दी गई श्रेणी $(2+3) + (5+6) + (8+9) + \ldots$ $n$ युग्मों तक है।
इसे $5 + 11 + 17 + \ldots$ $n$ पदों तक लिखा जा सकता है।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अंतर $d = 6$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
$S_n = \frac{n}{2}[2(5) + (n-1)6]$
$S_n = \frac{n}{2}[10 + 6n - 6]$
$S_n = \frac{n}{2}[6n + 4]$
$S_n = n(3n + 2) = 3n^2 + 2n$.

(B) $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य संख्याएँ उनके लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$,यानी $6$ से विभाज्य होती हैं।
$1$ से $50$ के बीच $6$ से विभाज्य संख्याएँ $6, 12, 18, \dots, 48$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती हैं जहाँ प्रथम पद $a = 6$,अंतिम पद $a_n = 48$ और सार्व अंतर $d = 6$ है।
सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$48 = 6 + (n - 1)6$
$42 = (n - 1)6$
$n - 1 = 7 \Rightarrow n = 8$.
समांतर श्रेणी का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$S_8 = \frac{8}{2}(6 + 48) = 4(54) = 216$.
चूँकि $216 = 6^3$,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \sum_{k=1}^n (x - a_k)^2$ है।
योग का विस्तार करने पर,हमें $f(x) = \sum_{k=1}^n (x^2 - 2xa_k + a_k^2)$ प्राप्त होता है।
यह $f(x) = nx^2 - 2x \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n a_k^2$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $f(x)$,$ax^2 + bx + c$ के रूप का एक द्विघात व्यंजक है,यह $x = -\frac{b}{2a}$ पर अपना न्यूनतम मान प्राप्त करता है।
यहाँ,$a = n$ और $b = -2 \sum_{k=1}^n a_k$ है।
अतः,न्यूनतम मान $x = -\frac{-2 \sum_{k=1}^n a_k}{2n} = \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{n}$ पर प्राप्त होता है।
परिभाषा के अनुसार,समांतर माध्य $A = \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{n}$ है।
इसलिए,$x = A$।

(C) दी गई श्रेणी $1+4+7+\cdots+(3n-2)$ है।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 4-1 = 3$ है।
पदों की संख्या $n$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सूत्र में $a=1$ और $d=3$ का मान रखने पर:
$S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)3]$
$S_n = \frac{n}{2}[2 + 3n - 3]$
$S_n = \frac{n(3n-1)}{2}$.

(A) माना $x^3+a x^2+b x+c=0$ के मूल $\alpha-1, \alpha, \alpha+1$ हैं क्योंकि मूल $1$ के सार्व अंतर के साथ समांतर श्रेणी में हैं।
मूलों का योग $= (\alpha-1) + \alpha + (\alpha+1) = 3\alpha = -a \Rightarrow \alpha = -\frac{a}{3} \quad \dots(i)$
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $= (\alpha-1)\alpha + \alpha(\alpha+1) + (\alpha-1)(\alpha+1) = b$
$\Rightarrow 3\alpha^2 - 1 = b \quad \dots(ii)$
मूलों का गुणनफल $= (\alpha-1)\alpha(\alpha+1) = \alpha(\alpha^2-1) = -c \quad \dots(iii)$
$\alpha = -\frac{a}{3}$ को $(ii)$ में रखने पर: $3(-\frac{a}{3})^2 - 1 = b$ $\Rightarrow \frac{a^2}{3} - 1 = b$ $\Rightarrow a^2 = 3(b+1)$.
$\alpha = -\frac{a}{3}$ को $(iii)$ में रखने पर: $(-\frac{a}{3})((-\frac{a}{3})^2 - 1) = -c$
$\Rightarrow \frac{a}{3}(\frac{a^2}{9} - 1) = c$ $\Rightarrow \frac{a}{3}(\frac{3(b+1)}{9} - 1) = c$
$\Rightarrow \frac{a}{3}(\frac{b+1}{3} - 1) = c$ $\Rightarrow \frac{a}{3}(\frac{b-2}{3}) = c$ $\Rightarrow 9c = a(b-2)$.

(A) माना समीकरण $4x^3 - 12x^2 + 11x + k = 0$ के मूल $\alpha - d, \alpha, \alpha + d$ हैं।
मूलों का योग $= (\alpha - d) + \alpha + (\alpha + d) = 3\alpha$ है।
समीकरण से,मूलों का योग $-\frac{-12}{4} = 3$ है।
अतः,$3\alpha = 3 \Rightarrow \alpha = 1$।
चूंकि $\alpha = 1$ एक मूल है,यह समीकरण $4(1)^3 - 12(1)^2 + 11(1) + k = 0$ को संतुष्ट करेगा।
$4 - 12 + 11 + k = 0$।
$3 + k = 0 \Rightarrow k = -3$।

(B) माना त्रिघात समीकरण $32x^3 - 48x^2 + 22x - 3 = 0$ के मूल $a-d$,$a$,और $a+d$ हैं।
मूलों का योग $(a-d) + a + (a+d) = -(\frac{-48}{32}) = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$3a = \frac{3}{2}$,जिसका अर्थ है $a = \frac{1}{2}$।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $(a-d)a + a(a+d) + (a-d)(a+d) = \frac{22}{32} = \frac{11}{16}$ है।
$a = \frac{1}{2}$ रखने पर: $\frac{3}{4} - d^2 = \frac{11}{16}$ प्राप्त होता है।
$d^2 = \frac{3}{4} - \frac{11}{16} = \frac{1}{16}$।
अतः,सार्व अंतर का वर्ग $\frac{1}{16}$ है।

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3-6x^2+px+10=0$ के मूल हैं और समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
माना मूल $\beta-d, \beta, \beta+d$ हैं।
मूलों का योग लेने पर,$(\beta-d) + \beta + (\beta+d) = 6$,जिससे $3\beta = 6$ प्राप्त होता है,अतः $\beta = 2$।
चूंकि $\beta = 2$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $2^3 - 6(2^2) + p(2) + 10 = 0$।
$8 - 24 + 2p + 10 = 0$ $\Rightarrow 2p - 6 = 0$ $\Rightarrow p = 3$।
मूलों का गुणनफल $\alpha\beta\gamma = -10$ है। चूंकि $\beta = 2$,हमारे पास $\alpha\gamma = -5$ है।
साथ ही,$\alpha+\gamma = 6 - 2 = 4$।
हम सर्वसमिका $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)((\alpha+\beta+\gamma)^2 - 3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$\alpha+\beta+\gamma = 6$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = p = 3$,और $\alpha\beta\gamma = -10$ है।
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3(-10) = 6(6^2 - 3(3))$।
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 + 30 = 6(36 - 9) = 6(27) = 162$।
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 162 - 30 = 132$।

(B) दिया गया अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 148$ और सार्व अंतर $d = -2$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$S_n = \frac{n}{2}[2(148) + (n-1)(-2)] = \frac{n}{2}[296 - 2n + 2] = \frac{n}{2}[298 - 2n] = n(149 - n)$।
प्रथम $n$ पदों का औसत $\frac{S_n}{n} = 149 - n$ है।
चूँकि औसत $125$ दिया गया है,इसलिए $149 - n = 125$।
अतः,$n = 149 - 125 = 24$।

(B) माना समांतर श्रेणी $a, a+d, a+2d, \dots, a+(n-1)d$ है।
दिया है कि प्रथम पद $a = 11$ है।
पहले चार पदों का योग $4a + 6d = 56$ है।
$a = 11$ रखने पर: $4(11) + 6d = 56$ $\Rightarrow 44 + 6d = 56$ $\Rightarrow 6d = 12$ $\Rightarrow d = 2$.
अंतिम चार पदों का योग $t_{n-3} + t_{n-2} + t_{n-1} + t_n = 112$ है।
समांतर श्रेणी में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग समान होता है: $t_1 + t_n = t_2 + t_{n-1} = t_3 + t_{n-2} = t_4 + t_{n-3} = k$.
अतः,$4k = 56 + 112 = 168 \Rightarrow k = 42$.
इस प्रकार,$t_1 + t_n = 42$.
$t_1 = 11$ रखने पर: $11 + t_n = 42 \Rightarrow t_n = 31$.
सूत्र $t_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर: $31 = 11 + (n-1)2$.
$20 = (n-1)2$ $\Rightarrow n-1 = 10$ $\Rightarrow n = 11$.

(C) माना पद $a_1, a_1+r, a_1+2r, \ldots, a_1+(n-1)r$ हैं।
उनके वर्गों का माध्य $\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (a_1+kr)^2$ है।
उनके माध्य का वर्ग $\left(\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (a_1+kr)\right)^2$ है।
यह अंतर समांतर श्रेणी का प्रसरण (variance) है,जो $\sigma^2 = \frac{r^2(n^2-1)}{12}$ द्वारा दिया जाता है।

(B) दिया गया है कि $1, \log _9(3^{1-x}+2), \log _3(4 \cdot 3^x-1)$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
$A.P.$ के लिए $2b = a + c$ का उपयोग करने पर:
$2 \log _9(3^{1-x}+2) = 1 + \log _3(4 \cdot 3^x-1)$
गुणधर्म $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ का उपयोग करने पर:
$2 \cdot \frac{1}{2} \log _3(3^{1-x}+2) = \log _3 3 + \log _3(4 \cdot 3^x-1)$
$\log _3(3^{1-x}+2) = \log _3(3(4 \cdot 3^x-1))$
$3^{1-x}+2 = 12 \cdot 3^x - 3$
माना $3^x = t$. तब $\frac{3}{t} + 2 = 12t - 3$
$3 + 2t = 12t^2 - 3t$
$12t^2 - 5t - 3 = 0$
$(4t - 3)(3t + 1) = 0$
चूंकि $t = 3^x > 0$,इसलिए $t = \frac{3}{4}$।
$3^x = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \log_3 \left(\frac{3}{4}\right) = \log_3 3 - \log_3 4 = 1 - \log_3 4$।

(A) दिए गए संबंध $h(p) = \frac{1}{2}\{h(p+1) + h(p-1)\}$ को $2h(p) = h(p+1) + h(p-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो दर्शाता है कि $h(p+1) - h(p) = h(p) - h(p-1)$.
अतः,अनुक्रम $h(0), h(1), \ldots, h(100)$ एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में है।
माना कि सार्व अंतर $d$ है। तब $h(n) = h(0) + nd$.
$h(100) = 20$ और $h(0) = 5$ का उपयोग करने पर,$20 = 5 + 100d$.
$100d = 15 \Rightarrow d = \frac{15}{100} = 0.15$.
इसलिए,$h(1) = h(0) + d = 5 + 0.15 = 5.15$.

(D) प्रथम सेट $(a, 2b)$ के लिए सार्व अंतर $d_1 = \frac{2b-a}{n+1}$ है।
$m^{th}$ समांतर माध्य $A_m = a + m \left( \frac{2b-a}{n+1} \right)$ है।
दूसरे सेट $(2a, b)$ के लिए सार्व अंतर $d_2 = \frac{b-2a}{n+1}$ है।
$m^{th}$ समांतर माध्य $A'_m = 2a + m \left( \frac{b-2a}{n+1} \right)$ है।
दोनों माध्यों को बराबर रखने पर: $a + m \left( \frac{2b-a}{n+1} \right) = 2a + m \left( \frac{b-2a}{n+1} \right)$.
सरल करने पर: $m(b+a) = a(n+1)$.
अतः,$\frac{a}{b} = \frac{m}{n+1-m}$.

(D) माना $AP$ के छह पद $a-5d, a-3d, a-d, a+d, a+3d, a+5d$ हैं,जहाँ सार्व अंतर $2d$ है।
पदों का योग $= 6a = 3$,इसलिए $a = \frac{1}{2}$।
दिया है $T_1 = 4T_3$,जहाँ $T_1 = a-5d$ और $T_3 = a-d$ है।
$a-5d = 4(a-d) \Rightarrow -3a = d$।
$a = \frac{1}{2}$ रखने पर,$d = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
पाँचवाँ पद $T_5 = a+3d = \frac{1}{2} + 3(-\frac{3}{2}) = -4$।

(B) मान लीजिए अनुक्रम के पद $T_1, T_2, T_3, \ldots$ हैं,जहाँ $T_1 = \log a$,$T_2 = \log \frac{a^2}{b}$,और $T_3 = \log \frac{a^3}{b^2}$ है।
लघुगणक के गुणधर्म $\log \frac{x}{y} = \log x - \log y$ और $\log x^n = n \log x$ का उपयोग करते हुए:
$T_1 = \log a$
$T_2 = 2 \log a - \log b$
$T_3 = 3 \log a - 2 \log b$
अब,सार्व अंतर $d = T_2 - T_1 = (2 \log a - \log b) - \log a = \log a - \log b$ की जाँच करें।
इसी प्रकार $T_3 - T_2 = (3 \log a - 2 \log b) - (2 \log a - \log b) = \log a - \log b$ है।
चूँकि $T_2 - T_1 = T_3 - T_2$ है,इसलिए यह अनुक्रम $d = \log a - \log b$ के सार्व अंतर के साथ एक $A$.$P$. है।

(B) माना समांतर श्रेणी में तीन धनात्मक वास्तविक संख्याएँ $(b-d)$,$b$,और $(b+d)$ हैं,जहाँ $d$ सार्व अंतर है।
दिया गया है कि उनका गुणनफल $4$ है,इसलिए $(b-d)b(b+d) = 4$ है।
इसे सरल करने पर $b(b^2 - d^2) = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b^3 - bd^2 = 4$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$b^3 = 4 + bd^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b$ और $d^2$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,$bd^2 \geq 0$ है।
इसलिए,$b^3 = 4 + bd^2 \geq 4$ है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$b \geq 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$b$ का न्यूनतम संभव मान $2^{2/3}$ है।

(B) दिया गया है कि $n$ पदों का योग $S_n = 3n^2 + 5n$ है।
प्रथम पद $a = t_1 = S_1 = 3(1)^2 + 5(1) = 8$ है।
दो पदों का योग $S_2 = 3(2)^2 + 5(2) = 12 + 10 = 22$ है।
दूसरा पद $t_2 = S_2 - S_1 = 22 - 8 = 14$ है।
सार्व अंतर $d = t_2 - t_1 = 14 - 8 = 6$ है।
$m$वाँ पद $t_m = a + (m - 1)d = 164$ है।
मान रखने पर: $8 + (m - 1)6 = 164$।
$6(m - 1) = 156$।
$m - 1 = 26$।
$m = 27$।

(B) समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका के अनुसार,धनात्मक वास्तविक संख्याओं $x_1, x_2, \ldots, x_n$ के लिए:
$\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \ldots x_n}$
मान लीजिए $x_1 = \frac{a_1}{a_2}, x_2 = \frac{a_2}{a_3}, \ldots, x_n = \frac{a_n}{a_1}$ है।
अतः,गुणनफल $x_1 x_2 \ldots x_n = \frac{a_1}{a_2} \times \frac{a_2}{a_3} \times \ldots \times \frac{a_n}{a_1} = 1$ है।
इस मान को असमिका में रखने पर:
$\frac{\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_n}{a_1}}{n} \geq \sqrt[n]{1} = 1$
इसलिए,$\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_n}{a_1} \geq n$ है।
न्यूनतम मान $n$ है,जो तब प्राप्त होता है जब $a_1 = a_2 = \ldots = a_n$ हो।

(B) दिया गया है कि $a+b+c=21$ और $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a+c$.
$a+c = 2b$ को योग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2b + b = 21$ $\Rightarrow 3b = 21$ $\Rightarrow b = 7$.
चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,मान लीजिए सार्व अंतर $d$ है। तब $a = 7-d$,$b = 7$,और $c = 7+d$.
चूंकि $a, b, c \in \mathbb{N}$,हमारे पास $a \geq 1$ होना चाहिए,इसलिए $7-d \geq 1 \Rightarrow d \leq 6$.
साथ ही,शर्त $a \leq b \leq c$ का अर्थ है $7-d \leq 7 \leq 7+d$,जिसका अर्थ है $d \geq 0$.
$d$ के लिए संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ हैं।
प्रत्येक $d$ के लिए,हमें त्रिक $(7-d, 7, 7+d)$ प्राप्त होता है:
यदि $d=0: (7, 7, 7)$
यदि $d=1: (6, 7, 8)$
यदि $d=2: (5, 7, 9)$
यदि $d=3: (4, 7, 10)$
यदि $d=4: (3, 7, 11)$
यदि $d=5: (2, 7, 12)$
यदि $d=6: (1, 7, 13)$
ऐसे $7$ त्रिक हैं।

(A) दिया गया है कि $a, 4, \alpha, b$ समांतर श्रेणी में हैं। सार्व अंतर $d$ लेने पर,$a = 4-d, \alpha = 4+d, b = 4+2d$.
$\frac{1}{a}$ और $\frac{1}{b}$ का माध्य $\frac{5}{16}$ है,अतः $\frac{1}{2}(\frac{1}{4-d} + \frac{1}{4+2d}) = \frac{5}{16}$.
हल करने पर $d = -4/5$ प्राप्त होता है।
समीकरण $3.2x^2 - 4.8x - 3.2 = 0$ बनता है।
मूल $x = 2$ और $x = -0.5$ प्राप्त होते हैं।

(C) माना कि दो $A.P.$ के सार्व अंतर क्रमशः $d_{1}$ और $d_{2}$ हैं।
दिया गया है कि $d_{1} = d_{2} + 13$.
$A.P.$ $b_{n}$ के लिए,$b_{31} = b_{1} + 30d_{2} = -277$ (समीकरण $1$) और $b_{43} = b_{1} + 42d_{2} = -385$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर:
$(b_{1} + 42d_{2}) - (b_{1} + 30d_{2}) = -385 - (-277)$
$12d_{2} = -108$
$d_{2} = -9$.
अतः,$d_{1} = -9 + 13 = 4$.
$A.P.$ $a_{m}$ के लिए,$a_{78} = a_{1} + 77d_{1} = 327$.
$d_{1} = 4$ रखने पर:
$a_{1} + 77(4) = 327$
$a_{1} + 308 = 327$
$a_{1} = 327 - 308 = 19$.

(C) समांतर श्रेणी का योग $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{525}{2}$ और सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = -\frac{3}{4}$ दिया गया है।
$a_n = \frac{1}{4} a_1$ को योग के सूत्र में रखने पर:
$\frac{n}{2}(a_1 + \frac{a_1}{4}) = \frac{525}{2} \implies \frac{n}{2}(\frac{5a_1}{4}) = \frac{525}{2} \implies \frac{5a_1 n}{8} = \frac{525}{2} \implies a_1 n = 420$.
सूत्र $a_n = a_1 + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{4} a_1 = a_1 + (n-1)(-\frac{3}{4}) \implies -\frac{3}{4} a_1 = -\frac{3}{4}(n-1) \implies a_1 = n-1$.
$a_1 = n-1$ को $a_1 n = 420$ में रखने पर:
$(n-1)n = 420 \implies n^2 - n - 420 = 0 \implies (n-21)(n+20) = 0$.
चूंकि $n > 0$,इसलिए $n = 21$ और $a_1 = 21 - 1 = 20$ प्राप्त होता है।
अब,$\sum_{i=1}^{17} a_i = \frac{17}{2}[2a_1 + (17-1)d]$ की गणना करने पर:
$= \frac{17}{2}[2(20) + 16(-\frac{3}{4})] = \frac{17}{2}[40 - 12] = \frac{17}{2}[28] = 17 \times 14 = 238$.

(A) मान लीजिए चार पद $a-3d, a-d, a+d, a+3d$ हैं,जहाँ सार्व अंतर $l=2d$ है।
योग $48$ है,इसलिए $(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=48$,जिससे $4a=48$ यानी $a=12$ प्राप्त होता है।
पदों का गुणनफल और $l^4$ का योग $(a^2-9d^2)(a^2-d^2)+l^4=361$ है।
$l=2d$ होने के कारण,$l^4=16d^4$. $a=12$ रखने पर:
$(144-9d^2)(144-d^2)+16d^4=361$
$25d^4 - 1440d^2 + 20375 = 0$
$5$ से भाग देने पर: $5d^4 - 288d^2 + 4075 = 0$.
$d^2$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $d^2 = 25$ प्राप्त होता है।
अतः $d=5$ (क्योंकि $l=2d$ एक पूर्णांक होना चाहिए)।
पद $-3, 7, 17, 27$ हैं।
सबसे बड़ा पद $27$ है।

(C) $n$ पदों का योग $S_n = \alpha n^2 + \beta n$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $a_n = S_n - S_{n-1}$ होता है।
$a_n = (\alpha n^2 + \beta n) - (\alpha(n-1)^2 + \beta(n-1))$
$a_n = 2\alpha n - \alpha + \beta$.
$a_{10} = 59$ दिया गया है,अतः $2\alpha(10) - \alpha + \beta = 59 \Rightarrow 19\alpha + \beta = 59$ (समीकरण $1$)।
$a_6 = 7a_1$ दिया गया है,अतः $2\alpha(6) - \alpha + \beta = 7(2\alpha(1) - \alpha + \beta)$।
$11\alpha + \beta = 7(\alpha + \beta) \Rightarrow 11\alpha + \beta = 7\alpha + 7\beta$.
$4\alpha = 6\beta$ $\Rightarrow 2\alpha = 3\beta$ $\Rightarrow \beta = \frac{2}{3}\alpha$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$19\alpha + \frac{2}{3}\alpha = 59$ $\Rightarrow \frac{59\alpha}{3} = 59$ $\Rightarrow \alpha = 3$.
अतः $\beta = \frac{2}{3}(3) = 2$.
इसलिए,$\alpha + \beta = 3 + 2 = 5$।

(D) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $S_4 = 6$,अतः $\frac{4}{2}(2a + 3d) = 6 \Rightarrow 2a + 3d = 3$ .... $(1)$
दिया है $S_6 = 4$,अतः $\frac{6}{2}(2a + 5d) = 4$ $\Rightarrow 3(2a + 5d) = 4$ $\Rightarrow 2a + 5d = \frac{4}{3}$ .... $(2)$
$(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(2a + 5d) - (2a + 3d) = \frac{4}{3} - 3$
$2d = \frac{4-9}{3} = -\frac{5}{3} \Rightarrow d = -\frac{5}{6}$
$d$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$2a + 3(-\frac{5}{6}) = 3$ $\Rightarrow 2a - \frac{5}{2} = 3$ $\Rightarrow 2a = 3 + \frac{5}{2} = \frac{11}{2}$ $\Rightarrow a = \frac{11}{4}$
अब,$S_{12} = \frac{12}{2}(2a + 11d) = 6(2(\frac{11}{4}) + 11(-\frac{5}{6}))$
$S_{12} = 6(\frac{11}{2} - \frac{55}{6}) = 6(\frac{33-55}{6}) = 33 - 55 = -22$