एक बहुभुज के किन्हीं दो क्रमागत आंतरिक कोणों | vedclass

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Question

(A) बहुभुज के कोण एक $A.P.$ बनाते हैं जहाँ प्रथम पद $a = 120^{\circ}$ और सार्व अंतर $d = 5^{\circ}$ है।$n$ भुजाओं वाले बहुभुज के सभी आंतरिक कोणों का य

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$9$

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(A) बहुभुज के कोण एक $A.P.$ बनाते हैं जहाँ प्रथम पद $a = 120^{\circ}$ और सार्व अंतर $d = 5^{\circ}$ है।$n$ भुजाओं वाले बहुभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $S_{n} = 180^{\circ}(n-2)$ होता है।$A.P.$ के योग सूत्र का उपयोग करते हुए,$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$.दोनों को बराबर करने पर,$\frac{n}{2}[2(120^{\circ}) + (n-1)5^{\circ}] = 180^{\circ}(n-2)$.$2$ से गुणा करने पर,$n[240 + 5n - 5] = 360(n-2)$.$n(5n + 235) = 360n - 720$.$5n^{2} + 235n = 360n - 720$.$5n^{2} - 125n + 720 = 0$.$5$ से भाग देने पर,$n^{2} - 25n + 144 = 0$.द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(n-9)(n-16) = 0$.अतः,$n = 9$ या $n = 16$.हालाँकि,$n = 16$ के लिए,सबसे बड़ा कोण $a + (n-1)d = 120^{\circ} + 15(5^{\circ}) = 195^{\circ}$ होगा। चूँकि उत्तल बहुभुज का आंतरिक कोण $180^{\circ}$ से कम होना चाहिए,इसलिए $n = 16$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।अतः,भुजाओं की संख्या $n = 9$ है।

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