(1 + x)^n के विस्तार में तीन क्रमिक पदों के ग | vedclass

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Question

(A) $(1+x)^n$ के विस्तार में तीन क्रमिक पदों $(r+1)^{th}, (r+2)^{th},$ और $(r+3)^{th}$ के गुणांक $^nC_r = 165$,$^nC_{r+1} = 330$,और $^nC_{r+2} = 462$

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$11$

Vedclass · Answer

(A) $(1+x)^n$ के विस्तार में तीन क्रमिक पदों $(r+1)^{th}, (r+2)^{th},$ और $(r+3)^{th}$ के गुणांक $^nC_r = 165$,$^nC_{r+1} = 330$,और $^nC_{r+2} = 462$ हैं।अनुपात सूत्र $\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$ का उपयोग करने पर:$\frac{330}{165} = \frac{n-r}{r+1} \implies 2 = \frac{n-r}{r+1} \implies n-r = 2r+2 \implies n = 3r+2$ (समीकरण $1$)।अनुपात सूत्र $\frac{^nC_{r+2}}{^nC_{r+1}} = \frac{n-(r+1)}{r+2}$ का उपयोग करने पर:$\frac{462}{330} = \frac{n-r-1}{r+2} \implies \frac{7}{5} = \frac{n-r-1}{r+2}$।वज्र-गुणन करने पर $7(r+2) = 5(n-r-1) \implies 7r+14 = 5n-5r-5 \implies 5n = 12r+19$ (समीकरण $2$)।समीकरण $1$ से $n = 3r+2$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:$5(3r+2) = 12r+19 \implies 15r+10 = 12r+19 \implies 3r = 9 \implies r = 3$।अब,$r=3$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:$n = 3(3)+2 = 11$।अतः,$n$ का मान $11$ है।

$(1 + x)^n$ के विस्तार में तीन क्रमिक पदों के गुणांक क्रमशः $165, 330$ और $462$ हैं,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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