(1 + x)^{2n} के विस्तार में मध्य पद क्या है? | vedclass

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Question

(D) $(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में $2n + 1$ पद होते हैं,जो एक विषम संख्या है। अतः,मध्य पद $(n + 1)$-वां पद है,जिसे $T_{n+1}$ के रूप में दर्शाया जाता है

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)}{n!} 2^n x^n$

Vedclass · Answer

(D) $(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में $2n + 1$ पद होते हैं,जो एक विषम संख्या है। अतः,मध्य पद $(n + 1)$-वां पद है,जिसे $T_{n+1}$ के रूप में दर्शाया जाता है। सामान्य पद के सूत्र $T_{r+1} = {}^{2n}C_r x^r$ का उपयोग करने पर,हमें $T_{n+1} = {}^{2n}C_n x^n$ प्राप्त होता है। द्विपद गुणांक का विस्तार करने पर: ${}^{2n}C_n = \frac{(2n)!}{n! n!} = \frac{[1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2n)]}{n! n!}$. अंश में विषम और सम पदों को अलग करने पर: ${}^{2n}C_n = \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)] \cdot [2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot (2n)]}{n! n!}$. प्रत्येक $n$ सम पदों से $2$ कॉमन लेने पर: ${}^{2n}C_n = \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)] \cdot 2^n \cdot [1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n]}{n! n!}$. चूंकि $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n = n!$,इसलिए: ${}^{2n}C_n = \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)] \cdot 2^n \cdot n!}{n! n!} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)}{n!} 2^n$. अतः,मध्य पद $\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)}{n!} 2^n x^n$ है।

$(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में मध्य पद क्या है?

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