$(1 + x)^n (1 + \frac{1}{x})^n$ के विस्तार में $\frac{1}{x}$ का गुणांक है

$n$ का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $(\sqrt[3]{7}+\sqrt[12]{11})^{n}$ के द्विपद विस्तार में पूर्णांक पदों की संख्या $183$ है:

$(x^{2}-y)^{6}$ के विस्तार में सामान्य पद लिखिए।

$\left(\frac{2x^2}{5} + \sqrt{\frac{5}{x}}\right)^{10}$ के विस्तार में स्वतंत्र पद का वर्गमूल क्या है?

मान लीजिए कि $K$,$(1+x)^{99}$ के विस्तार में $x$ की विषम घातों के गुणांकों का योग है। मान लीजिए $a$,$(2+\frac{1}{\sqrt{2}})^{200}$ के विस्तार में मध्य पद है। यदि $\frac{{}^{200}C_{99} K}{a} = \frac{2^{\ell} m}{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ विषम संख्याएँ हैं,तो क्रमित युग्म $(\ell, n)$ बराबर है:

$(1+a)^{n}$ के विस्तार में तीन क्रमागत पदों के गुणांक $1:7:42$ के अनुपात में हैं। $n$ ज्ञात कीजिए।