General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Hindi

(A) $(3^{1/8} + 5^{1/3})^{400}$ के विस्तार का व्यापक पद $T_{r+1} = ^{400}C_r (3^{1/8})^{400-r} (5^{1/3})^r$ है।
इसे सरल करने पर $T_{r+1} = ^{400}C_r \cdot 3^{(50 - r/8)} \cdot 5^{r/3}$ प्राप्त होता है।
पद के परिमेय होने के लिए,$3$ और $5$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$r$ को $8$ से विभाज्य होना चाहिए और $r$ को $3$ से भी विभाज्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $r$ को $\text{lcm}(8, 3) = 24$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \le r \le 400$,$r$ के संभावित मान $0, 24, 48, \dots, 24k$ हैं जहाँ $24k \le 400$ है।
$24k \le 400$ को हल करने पर $k \le 16.66$ प्राप्त होता है,इसलिए $k$ का मान $0$ से $16$ तक हो सकता है।
ऐसे मानों की कुल संख्या $16 - 0 + 1 = 17$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $P(x) = \prod_{k=1}^{10} (x - k)^{k+1}$ है।
बहुपद की कुल घात $\sum_{k=1}^{10} (k+1) = 55 + 10 = 65$ है।
माना $P(x) = a_{65}x^{65} + a_{64}x^{64} + \dots + a_0$.
अग्र गुणांक $1$ है,इसलिए $a_{65} = 1$.
गुणांक $a_{64}$ मूलों के योग के ऋणात्मक मान के बराबर है: $a_{64} = -\sum_{k=1}^{10} k(k+1)$.
$a_{64} = -\sum_{k=1}^{10} (k^2 + k) = -[385 + 55] = -440$.

(C) $\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3x} \right)^9$ के विस्तार में $(r+1)$-वाँ पद $T_{r+1} = \binom{9}{r} \left( \frac{3}{2}x^2 \right)^{9-r} \left( -\frac{1}{3x} \right)^r = \binom{9}{r} (-1)^r \frac{3^{9-2r}}{2^{9-r}} x^{18-3r}$ है।
$(1+x+2x^3) \left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3x} \right)^9$ में $x$ से स्वतंत्र पद प्राप्त करने के लिए,हमें $\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3x} \right)^9$ के विस्तार में $x^0, x^{-1}$ और $x^{-3}$ के गुणांक ज्ञात करने होंगे।
$x^0$ के लिए $r=6$,$x^{-1}$ के लिए कोई हल नहीं,और $x^{-3}$ के लिए $r=7$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ से स्वतंत्र पद का गुणांक $1 \cdot \binom{9}{6} (-1)^6 \frac{3^{-3}}{2^3} + 2 \cdot \binom{9}{7} (-1)^7 \frac{3^{-5}}{2^2} = \frac{7}{18} - \frac{2}{27} = \frac{17}{54}$ है।

(A) $\left(\sqrt{\frac{x}{3}}+\frac{3}{2 x^{2}}\right)^{10}$ के विस्तार में $(r+1)^{th}$ पद इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {^{10}C_r} \left(\sqrt{\frac{x}{3}}\right)^{10-r} \left(\frac{3}{2x^2}\right)^r$
$= {^{10}C_r} \frac{x^{(10-r)/2}}{3^{(10-r)/2}} \cdot \frac{3^r}{2^r x^{2r}}$
$= {^{10}C_r} \frac{3^{r - (10-r)/2}}{2^r} x^{(10-r)/2 - 2r}$
पद के $x$ से स्वतंत्र होने के लिए,$x$ का घातांक शून्य होना चाहिए:
$\frac{10-r}{2} - 2r = 0 \implies 10 - r - 4r = 0 \implies 5r = 10 \implies r = 2$
$r=2$ रखने पर,गुणांक:
गुणांक $= {^{10}C_2} \cdot \frac{3^{2 - (10-2)/2}}{2^2} = {^{10}C_2} \cdot \frac{3^{2-4}}{4} = \frac{10 \times 9}{2} \cdot \frac{3^{-2}}{4} = 45 \cdot \frac{1}{9 \times 4} = \frac{45}{36} = \frac{5}{4}$

(D) ${\left( 7^{\frac{1}{7}} + 11^{\frac{1}{11}} \right)^{711}}$ के प्रसार का व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{711}C_r \cdot 7^{\frac{711-r}{7}} \cdot 11^{\frac{r}{11}}$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$7$ और $11$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
$1$) $\frac{r}{11} = k_1 \Rightarrow r = 11k_1$,जहाँ $k_1 \in \{0, 1, 2, \dots, 64\}$।
$2$) $\frac{711-r}{7} = k_2 \Rightarrow r \equiv 4 \pmod{7}$।
$r = 11k_1$ को दूसरी शर्त में रखने पर: $11k_1 \equiv 4 \pmod{7}$ $\Rightarrow 4k_1 \equiv 4 \pmod{7}$ $\Rightarrow k_1 \equiv 1 \pmod{7}$।
अतः,$k_1$ के संभावित मान $1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64$ हैं।
इस प्रकार,कुल $10$ परिमेय पद प्राप्त होते हैं।

(C) व्यंजक $(1 - x^4)^4 (1 + x)^5$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 - x^4)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (-x^4)^k = \binom{4}{0} - \binom{4}{1}x^4 + \binom{4}{2}x^8 - \dots$
और $(1 + x)^5 = \sum_{r=0}^{5} \binom{5}{r} x^r = \binom{5}{0} + \binom{5}{1}x + \dots + \binom{5}{4}x^4 + \dots + \binom{5}{8}x^8$ (जहाँ $\binom{5}{8}=0$)।
गुणनफल में $x^8$ का गुणांक प्राप्त करने के लिए:
$(\binom{4}{0} - \binom{4}{1}x^4 + \binom{4}{2}x^8) (\binom{5}{0} + \binom{5}{1}x + \dots + \binom{5}{4}x^4 + \dots + \binom{5}{8}x^8)$
$x^8$ में योगदान देने वाले पद:
$1. \binom{4}{2}x^8 \times \binom{5}{0} = 6 \times 1 = 6$
$2. -\binom{4}{1}x^4 \times \binom{5}{4}x^4 = -4 \times 5 = -20$
$3. \binom{4}{0} \times \binom{5}{8}x^8 = 1 \times 0 = 0$
कुल गुणांक $= 6 - 20 = -14$.

(A) द्विपद व्यंजक ${\left( {3x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)^9}$ है।
यहाँ,$n = 9$ विषम है,इसलिए दो मध्य पद होंगे: $\left( \frac{n+1}{2} \right)^{th}$ और $\left( \frac{n+3}{2} \right)^{th}$ पद।
ये $5^{th}$ और $6^{th}$ पद हैं।
सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r (a)^{n-r} (b)^r$ द्वारा दिया जाता है।
$r=4$ के लिए ($5^{th}$ पद): $T_5 = {}^9C_4 (3x)^5 (-\frac{x^3}{6})^4 = \frac{189}{8} x^{17}$.
$r=5$ के लिए ($6^{th}$ पद): $T_6 = {}^9C_5 (3x)^4 (-\frac{x^3}{6})^5 = -\frac{21}{16} x^{19}$.
अतः,मध्य पद $-\frac{21}{16}x^{19}$ और $\frac{189}{8}x^{17}$ हैं।

(C) $(a + b)^n$ के विस्तार में अंत से $r^{th}$ पद ज्ञात करने के लिए,हम पदों को उलट कर $(b + a)^n$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,व्यंजक $(-x^{-2} + 3x)^{10}$ है।
आरंभ से $r^{th}$ पद का सूत्र $T_r = {^{n}C_{r-1}} (a)^{n-(r-1)} (b)^{r-1}$ है।
अंत से $5^{th}$ पद $(r=5)$ के लिए,$n=10$,$a = -x^{-2}$,और $b = 3x$ लेने पर:
$T_5 = {^{10}C_{4}} (-x^{-2})^6 (3x)^4$.
$T_5 = 210 \times (x^{-12}) \times (81x^4)$.
$T_5 = 17010 \times x^{-8} = \frac{17010}{x^8}$.

(A) हमें $(1 + t^2)^{25}(1 + t^{25} + t^{40} + t^{45} + t^{47} + \dots)$ के विस्तार में $t^{50}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
चूंकि $(1 + t^2)^{25} = \sum_{k=0}^{25} {}^{25}C_k t^{2k}$,इसमें केवल $t$ की सम घातें ही होती हैं।
इसलिए,हम दूसरे भाग से केवल $t$ की उन सम घातों को लेंगे जो $50$ या उससे कम हैं।
प्रासंगिक पद $1$ और $t^{40}$ हैं।
$1$ के लिए,$(1 + t^2)^{25}$ में $t^{50}$ का गुणांक ${}^{25}C_{25} = 1$ है।
$t^{40}$ के लिए,$(1 + t^2)^{25}$ में $t^{10}$ का गुणांक ${}^{25}C_5$ है।
अतः,$t^{50}$ का कुल गुणांक $1 + {}^{25}C_5$ है।

(D) माना $P(x) = \left[\frac{1}{\sqrt{5 x^{3}+1}-\sqrt{5 x^{3}-1}}\right]^{8}+\left[\frac{1}{\sqrt{5 x^{3}+1}+\sqrt{5 x^{3}-1}}\right]^{8}$.
पदों का परिमेयकरण करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(x) = \left[\frac{\sqrt{5 x^{3}+1}+\sqrt{5 x^{3}-1}}{2}\right]^{8} + \left[\frac{\sqrt{5 x^{3}+1}-\sqrt{5 x^{3}-1}}{2}\right]^{8}$.
$P(x) = \frac{1}{2^8} \left[ (\sqrt{5x^3+1} + \sqrt{5x^3-1})^8 + (\sqrt{5x^3+1} - \sqrt{5x^3-1})^8 \right]$.
$(a+b)^8 + (a-b)^8 = 2 \sum_{k=0, 2, 4, 6, 8} \binom{8}{k} a^{8-k} b^k$ का उपयोग करने पर:
$P(x) = \frac{2}{2^8} \left[ \binom{8}{0} (5x^3+1)^4 + \binom{8}{2} (5x^3+1)^3(5x^3-1) + \binom{8}{4} (5x^3+1)^2(5x^3-1)^2 + \binom{8}{6} (5x^3+1)(5x^3-1)^3 + \binom{8}{8} (5x^3-1)^4 \right]$.
$x$ की अधिकतम घात $x^{3 \times 4} = x^{12}$ है,इसलिए $n = 12$.
$x^{12}$ का गुणांक $\frac{2}{2^8} \times 5^4 \times \left[ \binom{8}{0} + \binom{8}{2} + \binom{8}{4} + \binom{8}{6} + \binom{8}{8} \right]$ है।
चूंकि $\sum_{k \text{ even}} \binom{8}{k} = 2^{8-1} = 2^7$,इसलिए
$m = \frac{2}{2^8} \times 5^4 \times 2^7 = \frac{2^8}{2^8} \times 5^4 \times 2^3 = 8 \times 10^4$.
अतः,$(n, m) = (12, 8(10)^4)$.

(A) कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
माना $u = x^{1/3}$ और $v = x^{1/2}$ है।
पहला पद $\frac{u^3 + 1}{u^2 - u + 1} = \frac{(u+1)(u^2 - u + 1)}{u^2 - u + 1} = u + 1 = x^{1/3} + 1$ है।
दूसरा पद $\frac{v^2 - 1}{v(v - 1)} = \frac{(v-1)(v+1)}{v(v-1)} = \frac{v+1}{v} = 1 + \frac{1}{v} = 1 + x^{-1/2}$ है।
दोनों को घटाने पर: $(x^{1/3} + 1) - (1 + x^{-1/2}) = x^{1/3} - x^{-1/2}$ प्राप्त होता है।
अब,$(x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$ में $x^{-5}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
व्यापक पद $T_{r+1} = {^{10}C_r} (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {^{10}C_r} (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$ है।
घात को $-5$ के बराबर रखने पर: $\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = -5$।
$6$ से गुणा करने पर: $2(10-r) - 3r = -30 \implies 20 - 2r - 3r = -30 \implies 50 = 5r \implies r = 10$।
गुणांक ${^{10}C_{10}} (-1)^{10} = 1 \times 1 = 1$ है।

(B) विस्तार का सामान्य पद $T_{r+1} = ^{18}C_{r} (x^{1/3})^{18-r} (\frac{1}{2x^{1/3}})^r$ है।
इसे सरल करने पर,$T_{r+1} = ^{18}C_{r} \cdot \frac{1}{2^r} \cdot x^{6 - 2r/3}$ प्राप्त होता है।
$x^{-2}$ के गुणांक के लिए,$6 - \frac{2r}{3} = -2$ रखने पर,$\frac{2r}{3} = 8$,अतः $r = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = ^{18}C_{12} \cdot \frac{1}{2^{12}}$.
$x^{-4}$ के गुणांक के लिए,$6 - \frac{2r}{3} = -4$ रखने पर,$\frac{2r}{3} = 10$,अतः $r = 15$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = ^{18}C_{15} \cdot \frac{1}{2^{15}}$.
अब,$\frac{m}{n} = \frac{^{18}C_{12} \cdot 2^{-12}}{^{18}C_{15} \cdot 2^{-15}} = \frac{^{18}C_{12}}{^{18}C_{15}} \cdot 2^3 = 182$.

(C) माना तीन क्रमिक पद $T_{r+1}, T_{r+2},$ और $T_{r+3}$ हैं। उनके गुणांक $^{n}C_{r}, ^{n}C_{r+1},$ और $^{n}C_{r+2}$ हैं।
दिया गया अनुपात $^{n}C_{r} : ^{n}C_{r+1} : ^{n}C_{r+2} = 1 : 7 : 42$ है।
$\frac{^{n}C_{r+1}}{^{n}C_{r}} = \frac{7}{1}$ से,$\frac{n-r}{r+1} = 7 \implies n = 8r+7$ प्राप्त होता है।
$\frac{^{n}C_{r+2}}{^{n}C_{r+1}} = \frac{42}{7} = 6$ से,$\frac{n-(r+1)}{r+2} = 6 \implies n = 7r+13$ प्राप्त होता है।
$n$ के दोनों मानों की तुलना करने पर: $8r+7 = 7r+13 \implies r = 6.$
अतः,पहला पद $T_{r+1} = T_{6+1} = T_{7}$ है,जो कि $7^{th}$ पद है।

(C) $\left( 2x^2 - \frac{1}{x} \right)^8$ का सामान्य पद $T_{r+1} = ^8C_r (2x^2)^{8-r} (-x^{-1})^r = ^8C_r 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r}$ द्वारा दिया जाता है।
व्यंजक $\left( 1 - x^{-1} + 3x^5 \right) \sum_{r=0}^8 {^8C_r} 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r}$ है।
इसका विस्तार करने पर:
$1 \cdot \sum ^8C_r 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r} - x^{-1} \cdot \sum ^8C_r 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r} + 3x^5 \cdot \sum ^8C_r 2^{8-r} (-1)^r x^{16-3r}$।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए:
$1$. पहले भाग से,$16-3r = 0 \implies r = 16/3$ (पूर्णांक नहीं है)।
$2$. दूसरे भाग से,$16-3r-1 = 0 \implies 15-3r = 0 \implies r = 5$। गुणांक $- ^8C_5 2^{8-5} (-1)^5 = -56 \cdot 8 \cdot (-1) = 448$ है।
$3$. तीसरे भाग से,$16-3r+5 = 0 \implies 21-3r = 0 \implies r = 7$। गुणांक $3 \cdot ^8C_7 2^{8-7} (-1)^7 = 3 \cdot 8 \cdot 2 \cdot (-1) = -48$ है।
इनका योग करने पर,अचर पद $448 - 48 = 400$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि $(r+1)$ वें और $(r+2)$ वें पद के गुणांक समान हैं।
${\left(2+\frac{x}{3}\right)^{55} = 2^{55}\left(1+\frac{x}{6}\right)^{55}}$
$(r+1)$ वां पद $2^{55} \cdot {}^{55}C_r \left(\frac{x}{6}\right)^r$ है। $x^r$ का गुणांक $2^{55} \cdot {}^{55}C_r \cdot \frac{1}{6^r}$ है।
$(r+2)$ वां पद $2^{55} \cdot {}^{55}C_{r+1} \left(\frac{x}{6}\right)^{r+1}$ है। $x^{r+1}$ का गुणांक $2^{55} \cdot {}^{55}C_{r+1} \cdot \frac{1}{6^{r+1}}$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर:
${}^{55}C_r \cdot \frac{1}{6^r} = {}^{55}C_{r+1} \cdot \frac{1}{6^{r+1}}$
${}^{55}C_r = {}^{55}C_{r+1} \cdot \frac{1}{6}$
$6 \cdot {}^{55}C_r = {}^{55}C_{r+1}$
$6 \cdot \frac{55!}{r!(55-r)!} = \frac{55!}{(r+1)!(54-r)!}$
$\frac{6}{55-r} = \frac{1}{r+1}$
$6(r+1) = 55-r$
$7r = 49$
$r = 7$
अतः,पद $(r+1) = 8$ वां और $(r+2) = 9$ वां हैं।

(D) $(x^2 + \frac{2}{x})^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^{15}C_r (x^2)^{15-r} (2x^{-1})^r = ^{15}C_r \cdot 2^r \cdot x^{30-3r}$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ रखने पर:
$30 - 3r = 0 \Rightarrow r = 10$.
अतः,स्वतंत्र पद $T_{11} = ^{15}C_{10} \cdot 2^{10}$ है।
$x^{15}$ के गुणांक के लिए,$x$ का घातांक $15$ रखने पर:
$30 - 3r = 15$ $\Rightarrow 3r = 15$ $\Rightarrow r = 5$.
अतः,$x^{15}$ का गुणांक $^{15}C_5 \cdot 2^5$ है।
अभीष्ट अनुपात $\frac{^{15}C_5 \cdot 2^5}{^{15}C_{10} \cdot 2^{10}}$ है।
चूंकि $^{15}C_5 = ^{15}C_{10}$,अनुपात $\frac{2^5}{2^{10}} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$ अर्थात $1:32$ है।

(B) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ होता है।
$7^{th}$ पद के लिए,$r+1 = 7 \Rightarrow r = 6$.
यहाँ,$n = 9$,$a = \frac{3}{\sqrt[3]{84}}$,और $b = \sqrt{3} \ln x$.
$T_7 = ^9C_6 \left( \frac{3}{\sqrt[3]{84}} \right)^{9-6} (\sqrt{3} \ln x)^6 = 729$.
$^9C_6 = ^9C_3 = 84$.
$T_7 = 84 \times \left( \frac{3}{\sqrt[3]{84}} \right)^3 \times (\sqrt{3})^6 \times (\ln x)^6 = 729$.
$T_7 = 84 \times \frac{27}{84} \times 27 \times (\ln x)^6 = 729$.
$729 \times (\ln x)^6 = 729$.
$(\ln x)^6 = 1$.
चूंकि $x > 0$,$\ln x = 1$ या $\ln x = -1$.
अतः,$x = e$ या $x = \frac{1}{e}$.

(D) $(2^{1/2} + 3^{1/5})^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^{10}C_r (2)^{(10-r)/2} (3)^{r/5}$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$2$ और $3$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$(10-r)/2$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$ सम संख्या होनी चाहिए।
साथ ही,$r/5$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$5$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \le r \le 10$,इसलिए $r$ के संभावित मान $0$ और $10$ हैं।
$r = 0$ के लिए,$T_1 = ^{10}C_0 (2)^5 (3)^0 = 32$।
$r = 10$ के लिए,$T_{11} = ^{10}C_{10} (2)^0 (3)^2 = 9$।
परिमेय पदों का योग $32 + 9 = 41$ है।

(A) $(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = ^{2n}C_k x^k$ द्वारा दिया जाता है।
$x^{3r}$ का गुणांक $^{2n}C_{3r}$ है और $x^{r+2}$ का गुणांक $^{2n}C_{r+2}$ है।
दिया गया है कि गुणांक समान हैं,इसलिए $^{2n}C_{3r} = ^{2n}C_{r+2}$ है।
गुणधर्म $^{n}C_a = ^{n}C_b \Rightarrow a = b$ या $a + b = n$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $3r = r + 2$ $\Rightarrow 2r = 2$ $\Rightarrow r = 1$। हालाँकि,प्रश्न में $r > 1$ दिया गया है,इसलिए यह स्थिति अमान्य है।
स्थिति $2$: $3r + (r + 2) = 2n$ $\Rightarrow 4r + 2 = 2n$ $\Rightarrow n = 2r + 1$।
अतः,$n = 2r + 1$।

(D) The given expression is a finite geometric series with first term $a = 1$, common ratio $r = -(y - 1)$, and $n = 18$ terms.
The sum is given by $f(y) = \frac{1 - (-(y - 1))^{18}}{1 - (-(y - 1))} = \frac{1 - (y - 1)^{18}}{y}$.
Thus, $f(y) = \frac{1}{y} - \frac{(y - 1)^{18}}{y}$.
Expanding $(y - 1)^{18}$ using the binomial theorem: $(y - 1)^{18} = \sum_{k=0}^{18} {^{18}C_k} y^k (-1)^{18-k}$.
Therefore, $\frac{(y - 1)^{18}}{y} = \sum_{k=0}^{18} {^{18}C_k} y^{k-1} (-1)^{18-k}$.
To find the coefficient of $y^2$, we set $k - 1 = 2$, which gives $k = 3$.
The term for $k = 3$ is ${^{18}C_3} y^2 (-1)^{18-3} = -{^{18}C_3} y^2$.
Since $f(y) = \frac{1}{y} - \sum_{k=0}^{18} {^{18}C_k} y^{k-1} (-1)^{18-k}$, the coefficient of $y^2$ is $-(-{^{18}C_3}) = {^{18}C_3}$.

(D) दी गई व्यंजक ${\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)^n}{\left( {1 - x} \right)^n}$ है।
इसे ${\left( \frac{x-1}{x} \right)^n} {(1-x)^n} = {(-1)^n} {x^{-n}} {(1-x)^{2n}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
${(1-x)^{2n}}$ के विस्तार में $2n+1$ पद हैं।
मध्य पद ${\left( \frac{2n+1+1}{2} \right)}^{\text{th}} = {(n+1)}^{\text{th}}$ पद है।
${(1-x)^{2n}}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{2n}C_r {(-x)^r} = {}^{2n}C_r {(-1)^r} {x^r}$ है।
$(n+1)^{\text{th}}$ पद के लिए,$r=n$ रखने पर,हमें ${}^{2n}C_n {(-1)^n} {x^n}$ प्राप्त होता है।
इस मान को मूल व्यंजक में रखने पर: ${(-1)^n} {x^{-n}} \cdot {}^{2n}C_n {(-1)^n} {x^n} = {(-1)^{2n}} {}^{2n}C_n = {}^{2n}C_n$ (चूंकि $2n$ एक सम संख्या है,इसलिए ${(-1)^{2n}} = 1$)।

(B) दिया गया व्यंजक $(1-t^6)^3 (1-t)^{-3}$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(1-t^6)^3$ का विस्तार करने पर,हमें $(1 - 3t^6 + 3t^{12} - t^{18})$ प्राप्त होता है।
हमें $(1 - 3t^6 + 3t^{12} - t^{18}) (1-t)^{-3}$ के गुणनफल में $t^4$ का गुणांक ज्ञात करना है।
चूंकि हमें केवल $t^4$ के पद की आवश्यकता है,हम पहले कोष्ठक से अचर पद $1$ लेते हैं और इसे $(1-t)^{-3}$ के विस्तार में $t^4$ के गुणांक से गुणा करते हैं।
$(1-t)^{-n}$ का विस्तार $\sum_{r=0}^{\infty} {^{n+r-1}C_r} t^r$ होता है।
$n=3$ के लिए,$t^4$ का गुणांक $^{3+4-1}C_4 = ^{6}C_4 = ^{6}C_2$ है।
$^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

(A) $(1 + x^{\log_2 x})^5$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = ^5C_r (x^{\log_2 x})^r$ है।
तीसरे पद के लिए,$r = 2$,अतः $T_3 = ^5C_2 (x^{\log_2 x})^2$ है।
दिया गया है कि $T_3 = 2560$,इसलिए $10 (x^{\log_2 x})^2 = 2560$ है।
$(x^{\log_2 x})^2 = 256$ है।
दोनों पक्षों में आधार $2$ पर लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$2 \log_2 (x^{\log_2 x}) = \log_2 (256)$ है।
$2 (\log_2 x)(\log_2 x) = 8$ है।
$(\log_2 x)^2 = 4$ है।
$\log_2 x = \pm 2$ है।
यदि $\log_2 x = 2$,तो $x = 2^2 = 4$ है।
यदि $\log_2 x = -2$,तो $x = 2^{-2} = 1/4$ है।
अतः,$x$ का एक संभावित मान $1/4$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $x^2 \left( x^{1/2} + \lambda x^{-2} \right)^{10}$ है।
$\left( x^{1/2} + \lambda x^{-2} \right)^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/2})^{10-r} (\lambda x^{-2})^r$ है।
$T_{r+1} = {}^{10}C_r \lambda^r x^{(10-5r)/2}$।
बाहरी $x^2$ से गुणा करने पर,पूर्ण व्यंजक का सामान्य पद ${}^{10}C_r \lambda^r x^{(10-5r)/2 + 2}$ प्राप्त होता है।
$x^2$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,घात को $2$ के बराबर रखने पर:
$\frac{10-5r}{2} + 2 = 2$ $\Rightarrow 10-5r = 0$ $\Rightarrow r = 2$।
$r=2$ रखने पर:
${}^{10}C_2 \lambda^2 = 720$।
चूंकि ${}^{10}C_2 = 45$,इसलिए $45 \lambda^2 = 720$।
$\lambda^2 = 16$।
चूंकि $\lambda$ धनात्मक है,इसलिए $\lambda = 4$।

(A) द्विपद विस्तार में $n=8$ पद हैं,इसलिए मध्य पद $\left(\frac{8}{2} + 1\right) = 5$ वां पद है।
सामान्य पद $t_{r+1} = ^{8}C_{r} \left(\frac{x^{3}}{3}\right)^{8-r} \left(\frac{3}{x}\right)^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$5$ वें पद के लिए,$r=4$:
$t_{5} = ^{8}C_{4} \left(\frac{x^{3}}{3}\right)^{4} \left(\frac{3}{x}\right)^{4} = 5670$
$^{8}C_{4} = 70$.
$70 \times \frac{x^{12}}{3^{4}} \times \frac{3^{4}}{x^{4}} = 5670$
$70 \times x^{8} = 5670$
$x^{8} = 81$
$x^{8} = 81 \implies x^{4} = 9 \implies x^{2} = 3 \implies x = \pm \sqrt{3}$.
$x$ के वास्तविक मानों का योग $\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0$ है।

(C) दिया गया विस्तार: $(x + 10)^{50} + (x - 10)^{50} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + .... + a_{50}x^{50}$.
$a_0$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें:
$a_0 = (0 + 10)^{50} + (0 - 10)^{50} = 10^{50} + 10^{50} = 2 \times 10^{50}$.
$a_2$ ज्ञात करने के लिए,$(x + 10)^{50} + (x - 10)^{50}$ के विस्तार में $x^2$ का गुणांक ज्ञात करें.
द्विपद प्रमेय के अनुसार,$(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k a^{n-k}$.
$(x + 10)^{50}$ के लिए,$x^2$ वाला पद $\binom{50}{2} x^2 (10)^{48}$ है.
$(x - 10)^{50}$ के लिए,$x^2$ वाला पद $\binom{50}{2} x^2 (-10)^{48} = \binom{50}{2} x^2 (10)^{48}$ है.
अतः,$a_2 = \binom{50}{2} (10)^{48} + \binom{50}{2} (10)^{48} = 2 \times \binom{50}{2} \times 10^{48}$.
अब,अनुपात $\frac{a_2}{a_0}$ की गणना करें:
$\frac{a_2}{a_0} = \frac{2 \times \binom{50}{2} \times 10^{48}}{2 \times 10^{50}} = \frac{\binom{50}{2}}{10^2} = \frac{\frac{50 \times 49}{2}}{100} = \frac{1225}{100} = 12.25$.

(C) माना विस्तार $(a+b)^n$ है,जहाँ $a = 2^{1/3}$,$b = \frac{1}{2(3)^{1/3}}$,और $n = 10$ है।
प्रारंभ से $r$ वाँ पद $T_r = {}^{n}C_{r-1} a^{n-r+1} b^{r-1}$ है।
प्रारंभ से $5$ वाँ पद $T_5 = {}^{10}C_4 (2^{1/3})^6 (\frac{1}{2(3)^{1/3}})^4 = {}^{10}C_4 \frac{1}{2^2 (3)^{4/3}}$ है।
अंत से $5$ वाँ पद प्रारंभ से $(10-5+2) = 7$ वाँ पद है।
$T_7 = {}^{10}C_6 (2^{1/3})^4 (\frac{1}{2(3)^{1/3}})^6 = {}^{10}C_4 \frac{1}{2^{14/3} (3)^2}$ है।
अनुपात $\frac{T_5}{T_7} = \frac{2^{14/3}}{2^2} \cdot \frac{3^2}{3^{4/3}} = 2^{8/3} \cdot 3^{2/3} = (144)^{1/3} = 4(36)^{1/3}$ है।
अतः,अनुपात $4(36)^{1/3} : 1$ है।

(D) $(7^{1/5} - 3^{1/10})^{60}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^{60}C_{r} (7^{1/5})^{60-r} (-3^{1/10})^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
घातांकों को सरल करने पर,$T_{r+1} = ^{60}C_{r} (-1)^{r} (7)^{12 - r/5} (3)^{r/10}$ प्राप्त होता है।
पद के परिमेय होने के लिए,$7$ और $3$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
इसके लिए $r/5$ और $r/10$ को पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$ को $10$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \le r \le 60$,$r$ के संभावित मान $0, 10, 20, 30, 40, 50, 60$ हैं।
ऐसे $7$ मान हैं,इसलिए $7$ परिमेय पद हैं।
विस्तार में पदों की कुल संख्या $60 + 1 = 61$ है।
अतः,अपरिमेय पदों की संख्या $61 - 7 = 54$ है।

(D) द्विपद विस्तार $(a+b)^n$ में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ होता है।
यहाँ $n=6$,$a = x^{-\frac{1}{2}(1+\log_{10} x)}$,और $b = x^{\frac{1}{12}}$ है।
चौथे पद $(T_4)$ के लिए $r=3$ रखने पर:
$T_4 = ^6C_3 \cdot (x^{-\frac{1}{2}(1+\log_{10} x)})^3 \cdot (x^{\frac{1}{12}})^3 = 200$.
$20 \cdot x^{-\frac{3}{2}(1+\log_{10} x)} \cdot x^{\frac{1}{4}} = 200$.
$x^{-\frac{3}{2}(1+\log_{10} x) + \frac{1}{4}} = 10$.
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर,माना $t = \log_{10} x$:
$-\frac{3}{2}(1+t)t + \frac{1}{4} = 1$.
$-6t^2 - 6t - 3 = 0 \Rightarrow 2t^2 + 2t + 1 = 0$.
यहाँ विविक्तकर $D = 2^2 - 4(2)(1) = -4 < 0$ है।
अतः,$x$ का कोई वास्तविक मान संभव नहीं है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(D) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ है।
यहाँ $n=6$,$a = \frac{2}{x}$,और $b = x^{\log_8 x}$ है।
चौथा पद $T_4 = T_{3+1} = \binom{6}{3} \left( \frac{2}{x} \right)^3 \left( x^{\log_8 x} \right)^3 = 20 \cdot \frac{8}{x^3} \cdot x^{3 \log_8 x} = 160 \cdot x^{3 \log_8 x - 3}$ है।
दिया गया है कि $T_4 = 20 \times 8^7$,इसलिए $160 \cdot x^{3 \log_8 x - 3} = 20 \cdot 8^7$।
$8 \cdot x^{3 \log_8 x - 3} = 8^7 \Rightarrow x^{3 \log_8 x - 3} = 8^6$।
दोनों पक्षों में $\log_8$ लेने पर: $(3 \log_8 x - 3) \log_8 x = 6$।
माना $t = \log_8 x$ है। तब $(3t - 3)t = 6 \Rightarrow t^2 - t - 2 = 0$।
$(t-2)(t+1) = 0$,इसलिए $t=2$ या $t=-1$।
यदि $t=2$,तो $x = 8^2 = 64$।
यदि $t=-1$,तो $x = 8^{-1} = 1/8$।

(D) माना तीन क्रमागत गुणांक $^{n}C_{r-1}, ^{n}C_{r},$ और $^{n}C_{r+1}$ हैं।
दिया गया अनुपात: $\frac{^{n}C_{r-1}}{^{n}C_{r}} = \frac{2}{15}$ और $\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r+1}} = \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$।
सूत्र $\frac{^{n}C_{r-1}}{^{n}C_{r}} = \frac{r}{n-r+1}$ का उपयोग करने पर,$\frac{r}{n-r+1} = \frac{2}{15}$ $\Rightarrow 15r = 2n - 2r + 2$ $\Rightarrow 2n - 17r = -2 \dots (1)$।
सूत्र $\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r+1}} = \frac{r+1}{n-r}$ का उपयोग करने पर,$\frac{r+1}{n-r} = \frac{3}{14}$ $\Rightarrow 14r + 14 = 3n - 3r$ $\Rightarrow 3n - 17r = 14 \dots (2)$।
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $(3n - 17r) - (2n - 17r) = 14 - (-2) \Rightarrow n = 16$।
$(1)$ में $n = 16$ रखने पर: $2(16) - 17r = -2$ $\Rightarrow 32 + 2 = 17r$ $\Rightarrow 17r = 34$ $\Rightarrow r = 2$।
गुणांक $^{16}C_{1}, ^{16}C_{2}, ^{16}C_{3}$ हैं।
$^{16}C_{1} = 16, ^{16}C_{2} = 120, ^{16}C_{3} = 560$।
औसत $= \frac{16 + 120 + 560}{3} = \frac{696}{3} = 232$।

(A) $(x^2 + x^{-3})^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r (x^2)^{n-r} (x^{-3})^r = ^nC_r x^{2n-5r}$ है।
$x$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$x$ के घातांक को $1$ के बराबर रखते हैं:
$2n - 5r = 1 \Rightarrow 2n = 5r + 1$.
हमें दिया गया है कि गुणांक $^nC_{23}$ है,जिसका अर्थ है कि $r = 23$ या $n-r = 23$ है।
स्थिति $1$: यदि $r = 23$ है,तो $2n = 5(23) + 1 = 116 \Rightarrow n = 58$.
स्थिति $2$: यदि $n-r = 23$ है,तो $r = n-23$ है। इसे $2n = 5r + 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2n = 5(n-23) + 1$ $\Rightarrow 2n = 5n - 115 + 1$ $\Rightarrow 3n = 114$ $\Rightarrow n = 38$.
$n$ के दो संभावित मानों ($58$ और $38$) में से,सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $38$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $(1+x)(1-x)^{10}(1+x+x^2)^9$
हम जानते हैं कि $(1-x)(1+x+x^2) = (1-x^3)$.
अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखें: $(1-x)(1-x^2)(1-x^3)^9$
$= (1-x-x^2+x^3)(1-x^3)^9$
$= (1-x-x^2+x^3) \sum_{k=0}^{9} \binom{9}{k} (-1)^k x^{3k}$
हमें $x^{18}$ का गुणांक चाहिए। यह तब होता है जब $3k = 18$,अर्थात $k=6$.
$k=6$ के संगत पद $\binom{9}{6} (-1)^6 x^{18} = 84 x^{18}$ है।
अतः,गुणांक $84$ है।

(B) दी गई व्यंजक $\left( \frac{1}{60} - \frac{x^8}{81} \right) \left( 2x^2 - \frac{3}{x^2} \right)^6$ है।
$\left( 2x^2 - \frac{3}{x^2} \right)^6$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {^6C_r} (2x^2)^{6-r} \left( -\frac{3}{x^2} \right)^r = {^6C_r} 2^{6-r} (-3)^r x^{12-4r}$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद प्राप्त करने के लिए:
$1$. $\left( 2x^2 - \frac{3}{x^2} \right)^6$ में $12-4r = 0 \Rightarrow r = 3$ लेने पर,पद ${^6C_3} 2^3 (-3)^3 = 20 \times 8 \times (-27) = -4320$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{1}{60}$ से गुणा करने पर,$\frac{1}{60} \times (-4320) = -72$ प्राप्त होता है।
$2$. $\left( 2x^2 - \frac{3}{x^2} \right)^6$ में $12-4r = -8 \Rightarrow r = 5$ लेने पर,पद ${^6C_5} 2^1 (-3)^5 = 6 \times 2 \times (-243) = -2916$ प्राप्त होता है।
इसे $-\frac{1}{81}$ से गुणा करने पर,$-\frac{1}{81} \times (-2916) = 36$ प्राप्त होता है।
कुल योग $-72 + 36 = -36$ है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(B) दिया गया व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (1+x)^{10}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1+x}$,और $n = 11$ पद हैं।
योग $S = a \frac{1-r^{n}}{1-r} = (1+x)^{10} \frac{1-(\frac{x}{1+x})^{11}}{1-\frac{x}{1+x}} = (1+x)^{11}-x^{11}$ है।
हमें $(1+x)^{11}-x^{11}$ में $x^{7}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1+x)^{11}$ के विस्तार में सामान्य पद $^{11}C_{r} x^{r}$ है।
$r = 7$ के लिए,गुणांक $^{11}C_{7} = \frac{11!}{7!4!} = 330$ है।

(D) $^{n}C_{r}$ का अधिकतम मान $^{n}C_{n/2}$ होता है यदि $n$ सम है,और $^{n}C_{(n-1)/2}$ या $^{n}C_{(n+1)/2}$ होता है यदि $n$ विषम है।
$a = ^{19}C_{p}$ के लिए,अधिकतम मान $^{19}C_{9} = ^{19}C_{10} = a$ है।
$b = ^{20}C_{q}$ के लिए,अधिकतम मान $^{20}C_{10} = b$ है।
$c = ^{21}C_{r}$ के लिए,अधिकतम मान $^{21}C_{10} = ^{21}C_{11} = c$ है।
हम जानते हैं कि $b = ^{20}C_{10} = \frac{20}{10} \times ^{19}C_{9} = 2a$ है।
अतः $c = ^{21}C_{10} = \frac{21}{11} \times ^{20}C_{10} = \frac{21}{11}b = \frac{21}{11}(2a) = \frac{42a}{11}$ है।
इस प्रकार,$a : b : c = a : 2a : \frac{42a}{11} = 1 : 2 : \frac{42}{11} = 11 : 22 : 42$ है।
अतः $\frac{a}{11} = \frac{b}{22} = \frac{c}{42}$ प्राप्त होता है।

(D) व्यापक पद $T_{r+1} = ^{16}C_{r} \left(\frac{x}{\cos \theta}\right)^{16-r} \left(\frac{1}{x \sin \theta}\right)^{r}$ है।
सरल करने पर,$T_{r+1} = ^{16}C_{r} x^{16-2r} \frac{1}{(\cos \theta)^{16-r} (\sin \theta)^{r}}$.
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$16-2r = 0$ रखने पर,$r = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,स्वतंत्र पद $T_{9} = ^{16}C_{8} \frac{2^{8}}{(\sin 2\theta)^{8}}$ है।
माना $f(\theta) = \frac{^{16}C_{8} \cdot 2^{8}}{(\sin 2\theta)^{8}}$.
$\theta \in [\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}]$ के लिए,$\sin 2\theta$ वर्धमान है,इसलिए $f(\theta)$ न्यूनतम तब होता है जब $\sin 2\theta$ अधिकतम हो,अर्थात $\theta = \frac{\pi}{4}$ पर। अतः,$\ell_{1} = ^{16}C_{8} \cdot 2^{8}$.
$\theta \in [\frac{\pi}{16}, \frac{\pi}{8}]$ के लिए,$f(\theta)$ न्यूनतम तब होता है जब $\sin 2\theta$ अधिकतम हो,अर्थात $\theta = \frac{\pi}{8}$ पर। अतः,$\ell_{2} = ^{16}C_{8} \cdot 2^{12}$.
अनुपात $\frac{\ell_{2}}{\ell_{1}} = \frac{^{16}C_{8} \cdot 2^{12}}{^{16}C_{8} \cdot 2^{8}} = 2^{4} = 16$.

(A) $(x+y)^n$ के विस्तार में $(r+1)$ वाँ पद $T_{r+1} = {^nC_r} x^{n-r} y^r$ द्वारा दिया जाता है।
$17$ वें पद के लिए,$r+1 = 17$,अर्थात $r = 16$ है।
अतः,$T_{17} = T_{16+1} = {^{50}C_{16}} (2)^{34} a^{16}$ है।
इसी प्रकार,$18$ वें पद के लिए,$r = 17$ है।
अतः,$T_{18} = T_{17+1} = {^{50}C_{17}} (2)^{33} a^{17}$ है।
दिया गया है कि $T_{17} = T_{18}$,इसलिए:
${^{50}C_{16}} 2^{34} a^{16} = {^{50}C_{17}} 2^{33} a^{17}$ है।
दोनों पक्षों को सरल करने पर:
$a = \frac{{^{50}C_{16}}}{{^{50}C_{17}}} \times 2 = \frac{17}{34} \times 2 = 1$।

चूँकि $2n$ सम है,इसलिए $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में मध्य पद $(\frac{2n}{2} + 1)$ वाँ पद,अर्थात $(n+1)$ वाँ पद है।
$(n+1)$ वाँ पद इस प्रकार दिया गया है:
$T_{n+1} = {}^{2n}C_n (1)^{2n-n} (x)^n = {}^{2n}C_n x^n = \frac{(2n)!}{n!n!} x^n$
$= \frac{2n(2n-1)(2n-2) \cdots 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{n!n!} x^n$
$= \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)] \cdot [2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)]}{n!n!} x^n$
$= \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)] \cdot 2^n [1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n]}{n!n!} x^n$
$= \frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)] \cdot n!}{n!n!} 2^n x^n$
$= \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{n!} 2^n x^n$

(A) $(x+2y)^{9}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{9}C_{r} x^{9-r} (2y)^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यह $T_{r+1} = {}^{9}C_{r} 2^{r} x^{9-r} y^{r}$ में सरल हो जाता है।
$x^{6} y^{3}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $y$ (या $x$) के घातों की तुलना $x^{6} y^{3}$ से करते हैं,जिससे $r = 3$ प्राप्त होता है।
गुणांक के व्यंजक में $r = 3$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
गुणांक $= {}^{9}C_{3} \times 2^{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times 8 = 84 \times 8 = 672$.

(N/A) दिया गया है कि दूसरा पद $T_2 = 240$ है।
हम जानते हैं कि $T_2 = ^nC_1 x^{n-1} a = 240$ ..........$(1)$
इसी प्रकार,$T_3 = ^nC_2 x^{n-2} a^2 = 720$ ..........$(2)$
और $T_4 = ^nC_3 x^{n-3} a^3 = 1080$ ..........$(3)$
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{^nC_2 x^{n-2} a^2}{^nC_1 x^{n-1} a} = \frac{720}{240} \implies \frac{n-1}{2} \cdot \frac{a}{x} = 3 \implies \frac{a}{x} = \frac{6}{n-1}$ ..........$(4)$
$(3)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{^nC_3 x^{n-3} a^3}{^nC_2 x^{n-2} a^2} = \frac{1080}{720} \implies \frac{n-2}{3} \cdot \frac{a}{x} = \frac{3}{2} \implies \frac{a}{x} = \frac{9}{2(n-2)}$ ..........$(5)$
$(4)$ और $(5)$ की तुलना करने पर:
$\frac{6}{n-1} = \frac{9}{2(n-2)} \implies 12(n-2) = 9(n-1) \implies 12n - 24 = 9n - 9 \implies 3n = 15 \implies n = 5$.
$n=5$ को $(4)$ में रखने पर:
$\frac{a}{x} = \frac{6}{5-1} = \frac{3}{2} \implies a = \frac{3x}{2}$.
$n=5$ और $a = \frac{3x}{2}$ को $(1)$ में रखने पर:
$5x^4 \cdot (\frac{3x}{2}) = 240 \implies x^5 = 32 \implies x = 2$.
अतः $a = 3$.
इस प्रकार,$x=2, a=3, n=5$।

(A) माना $(1+a)^{n}$ के विस्तार में तीन क्रमागत पद $(r-1)$ वाँ,$r$ वाँ और $(r+1)$ वाँ पद हैं।
इन पदों के गुणांक क्रमशः $^{n}C_{r-2}$,$^{n}C_{r-1}$ और $^{n}C_{r}$ हैं।
दिए गए अनुपात $1:7:42$ के अनुसार:
$\frac{^{n}C_{r-2}}{^{n}C_{r-1}} = \frac{1}{7} \implies \frac{r-1}{n-r+2} = \frac{1}{7} \implies n - 8r = -9$ ...........$(1)$
$\frac{^{n}C_{r-1}}{^{n}C_{r}} = \frac{7}{42} = \frac{1}{6} \implies \frac{r}{n-r+1} = \frac{1}{6} \implies n - 7r = -1$ ...........$(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$r = 8$
$r=8$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$n - 7(8) = -1 \implies n = 55$

(A) $(a+b)^{n}$ के द्विपद विस्तार में सामान्य पद $(T_{r+1})$ को $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+3)^{8}$ के विस्तार के लिए,हमारे पास $n=8$,$a=x$,और $b=3$ है।
अतः,$T_{r+1} = {}^{8}C_{r} x^{8-r} 3^{r}$ है।
$x^{5}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के घातांक को $5$ के बराबर रखते हैं:
$8-r = 5 \implies r = 3$.
सामान्य पद के व्यंजक में $r=3$ रखने पर:
गुणांक $= {}^{8}C_{3} \times 3^{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times 27 = 56 \times 27 = 1512$.

(B) $(a+x)^{n}$ के द्विपद विस्तार में सामान्य पद $(T_{r+1})$ इस प्रकार है: $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} x^{r}$.
$(a-2b)^{12}$ के विस्तार के लिए,सामान्य पद है:
$T_{r+1} = {}^{12}C_{r} (a)^{12-r} (-2b)^{r} = {}^{12}C_{r} (-2)^{r} a^{12-r} b^{r}$.
$a^{5} b^{7}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$b$ के घातांकों की तुलना करने पर:
$r = 7$.
गुणांक के व्यंजक में $r = 7$ रखने पर:
गुणांक $= {}^{12}C_{7} (-2)^{7}$.
मानों की गणना करने पर:
${}^{12}C_{7} = \frac{12!}{7!5!} = 792$.
$(-2)^{7} = -128$.
गुणांक $= 792 \times (-128) = -101376$.

(A) द्विपद विस्तार $(a+b)^{n}$ में सामान्य पद $T_{r+1}$ का सूत्र $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ है।
$(x^{2}-y)^{6}$ के विस्तार के लिए,$a = x^{2}$,$b = -y$,और $n = 6$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$T_{r+1} = {}^{6}C_{r} (x^{2})^{6-r} (-y)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{6}C_{r} x^{12-2r} (-1)^{r} y^{r}$
$T_{r+1} = (-1)^{r} {}^{6}C_{r} x^{12-2r} y^{r}$

$(a+b)^{n}$ के द्विपद विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ का सूत्र $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ है।
$(x^{2}-yx)^{12}$ के विस्तार के लिए,$a = x^{2}$,$b = -yx$,और $n = 12$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$T_{r+1} = {}^{12}C_{r} (x^{2})^{12-r} (-yx)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{12}C_{r} (x^{24-2r}) (-1)^{r} y^{r} x^{r}$
$T_{r+1} = (-1)^{r} {}^{12}C_{r} x^{24-2r+r} y^{r}$
$T_{r+1} = (-1)^{r} {}^{12}C_{r} x^{24-r} y^{r}$

(A) $(a+b)^n$ के द्विपद विस्तार में $(r+1)^{\text{th}}$ पद,$T_{r+1}$,$T_{r+1} = {^nC_r} a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$(x-2y)^{12}$ के विस्तार के लिए,हमारे पास $n=12$,$a=x$,और $b=-2y$ है।
$4^{\text{th}}$ पद के लिए $r+1=4$,इसलिए $r=3$ है।
$T_4 = T_{3+1} = {^{12}C_3} (x)^{12-3} (-2y)^3$
$T_4 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} \times x^9 \times (-8)y^3$
$T_4 = 220 \times x^9 \times (-8)y^3 = -1760x^9y^3$.

(A) द्विपद विस्तार $(a+b)^n$ में $(r+1)^{\text{th}}$ पद $T_{r+1} = {^nC_r} a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$\left(9x - \frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18}$ के विस्तार के लिए,$n=18$,$a=9x$,और $b=-\frac{1}{3\sqrt{x}}$ है।
$13^{\text{th}}$ पद ज्ञात करने के लिए,$r+1 = 13$ रखने पर,$r=12$ प्राप्त होता है।
$T_{13} = {^{18}C_{12}} (9x)^{18-12} \left(-\frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{12}$
$T_{13} = {^{18}C_{12}} (9x)^6 \left(\frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{12}$
$T_{13} = \frac{18!}{12!6!} \cdot (3^2)^6 \cdot x^6 \cdot \frac{1}{3^{12} \cdot (x^{1/2})^{12}}$
$T_{13} = 18564 \cdot 3^{12} \cdot x^6 \cdot \frac{1}{3^{12} \cdot x^6} = 18564$.

(A) $(a+b)^{n}$ के विस्तार में,यदि $n$ विषम है,तो दो मध्य पद होते हैं,जो $\left(\frac{n+1}{2}\right)$ वां पद और $\left(\frac{n+1}{2}+1\right)$ वां पद हैं।
$\left(3-\frac{x^{3}}{6}\right)^{7}$ के विस्तार के लिए,$n=7$,इसलिए मध्य पद $\left(\frac{7+1}{2}\right) = 4$ था पद और $\left(\frac{7+1}{2}+1\right) = 5$ वां पद हैं।
$T_{4} = T_{3+1} = {}^{7}C_{3} (3)^{7-3} \left(-\frac{x^{3}}{6}\right)^{3} = 35 \times 81 \times \left(-\frac{x^{9}}{216}\right) = -\frac{105}{8} x^{9}$.
$T_{5} = T_{4+1} = {}^{7}C_{4} (3)^{7-4} \left(-\frac{x^{3}}{6}\right)^{4} = 35 \times 27 \times \frac{x^{12}}{1296} = \frac{35}{48} x^{12}$.
अतः,मध्य पद $-\frac{105}{8} x^{9}$ और $\frac{35}{48} x^{12}$ हैं।

(A) $(a+b)^{n}$ के विस्तार में,यदि $n$ सम है,तो मध्य पद $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ वां पद होता है।
यहाँ,$n=10$,इसलिए मध्य पद $\left(\frac{10}{2}+1\right) = 6$ वां पद है।
सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$6$ वें पद के लिए,$r=5$:
$T_{6} = {}^{10}C_{5} \left(\frac{x}{3}\right)^{10-5} (9y)^{5}$
$T_{6} = {}^{10}C_{5} \left(\frac{x}{3}\right)^{5} (9^{5} y^{5})$
$T_{6} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{x^{5}}{3^{5}} \times (3^{2})^{5} y^{5}$
$T_{6} = 252 \times \frac{x^{5}}{3^{5}} \times 3^{10} y^{5}$
$T_{6} = 252 \times 3^{5} \times x^{5} y^{5}$
$T_{6} = 252 \times 243 \times x^{5} y^{5} = 61236 x^{5} y^{5}$.