(1 - x) (1 - 2x) (1 - 2^2 x) (1 - 2^3 x) dots | vedclass

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Question

(A) दिया गया गुणनफल $P = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 2^2 x) \dots (1 - 2^{15} x)$ है।इसे $P = (-1)^{16} (x - 1)(x - 2^{-1})(x - 2^{-2}) \dots (x - 2^{-15})

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$2^{105} - 2^{121}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया गुणनफल $P = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 2^2 x) \dots (1 - 2^{15} x)$ है।इसे $P = (-1)^{16} (x - 1)(x - 2^{-1})(x - 2^{-2}) \dots (x - 2^{-15}) 	imes (2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 \dots 2^{15})$ के रूप में लिखा जा सकता है।घातांकों का योग $0 + 1 + 2 + \dots + 15 = \frac{15 	imes 16}{2} = 120$ है।अतः,$P = 2^{120} \prod_{k=0}^{15} (x - 2^{-k})$ है।$\prod_{k=0}^{15} (x - a_k)$ के विस्तार में $x^{15}$ का गुणांक मूलों के योग का ऋणात्मक होता है,अर्थात $-\sum_{k=0}^{15} 2^{-k}$।इस प्रकार,$x^{15}$ का गुणांक $2^{120} 	imes (- \sum_{k=0}^{15} \frac{1}{2^k}) = -2^{120} 	imes \frac{1(1 - (1/2)^{16})}{1 - 1/2} = -2^{120} 	imes 2(1 - 2^{-16}) = -2^{121}(1 - 2^{-16}) = -2^{121} + 2^{105} = 2^{105} - 2^{121}$ है।

$(1 - x) (1 - 2x) (1 - 2^2 x) (1 - 2^3 x) \dots (1 - 2^{15} x)$ के गुणनफल में $x^{15}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

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