Ellipse Questions in Hindi

(D) बिंदु $P(8, 27)$ के लिए दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ की स्पर्श जीवा $QR$ का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$\frac{8x}{4} + \frac{27y}{9} = 1 \Rightarrow 2x + 3y = 1$.
मूल बिंदु से गुजरने वाली और $Q, R$ को जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण दीर्घवृत्त के समीकरण को स्पर्श जीवा के साथ समघात बनाकर प्राप्त किया जाता है:
$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = (2x + 3y)^{2}$.
$9x^{2} + 4y^{2} = 36(4x^{2} + 12xy + 9y^{2})$.
$135x^{2} + 432xy + 320y^{2} = 0$.
$ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ से तुलना करने पर,$a = 135, h = 216, b = 320$.
कोण $\theta = \tan^{-1} \left| \frac{2\sqrt{h^{2} - ab}}{a + b} \right| = \tan^{-1} \left( \frac{48 \sqrt{6}}{455} \right)$.

(A) दिया गया वक्र $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ है।
$144$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^{2} = 16$ और $b^{2} = 9$ है।
माना कि स्पर्श रेखा का समीकरण $x + y = k$ है,जिसे $y = -x + k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $y = mx + c$ से तुलना करने पर,हमें $m = -1$ और $c = k$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$ है।
मान रखने पर,हमें $k^{2} = 16(-1)^{2} + 9$ प्राप्त होता है।
$k^{2} = 16 + 9 = 25$.
$k = \pm 5$.
अतः,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $x + y = 5$ और $x + y = -5$ हैं।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{32}+\frac{y^{2}}{18}=1$ है,जहाँ $a^{2}=32$ और $b^{2}=18$ है।
$m = -\frac{3}{4}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}$ है।
मान रखने पर: $y = -\frac{3}{4}x \pm \sqrt{32 \times (-\frac{3}{4})^{2} + 18}$.
$y = -\frac{3}{4}x \pm \sqrt{32 \times \frac{9}{16} + 18} = -\frac{3}{4}x \pm \sqrt{18 + 18} = -\frac{3}{4}x \pm 6$.
धनात्मक अंतःखंड लेने पर,समीकरण $y = -\frac{3}{4}x + 6$ प्राप्त होता है,जो $3x + 4y = 24$ है।
$y=0$ और $x=0$ रखने पर अंतःखंड प्राप्त होते हैं:
$y=0$ के लिए,$3x=24 \Rightarrow x=8$,अतः $A = (8, 0)$.
$x=0$ के लिए,$4y=24 \Rightarrow y=6$,अतः $B = (0, 6)$.
$\Delta AOB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ वर्ग इकाई।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $5x^{2} + 9y^{2} = 45$ है। $45$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^{2} = 9$ और $b^{2} = 5$ है।
रेखा $4x - 3y + k = 0$ को $y = \frac{4}{3}x + \frac{k}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $y = mx + c$ से तुलना करने पर,$m = \frac{4}{3}$ और $c = \frac{k}{3}$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$ है।
मान रखने पर,$(\frac{k}{3})^{2} = 9(\frac{4}{3})^{2} + 5$।
$\frac{k^{2}}{9} = 9(\frac{16}{9}) + 5 = 16 + 5 = 21$।
$k^{2} = 9 \times 21 = 189$।
$k = \pm \sqrt{189} = \pm 3\sqrt{21}$।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के किसी भी अभिलंब का समीकरण $ax \sec \phi - by \operatorname{cosec} \phi = a^{2} - b^{2}$ होता है।
दी गई रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a \sec \phi}{\cos \alpha} = \frac{-b \operatorname{cosec} \phi}{\sin \alpha} = \frac{a^{2} - b^{2}}{p}$
$\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi = 1$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,परिणाम $p^{2} (a^{2} \sec^{2} \alpha + b^{2} \operatorname{cosec}^{2} \alpha) = (a^{2} - b^{2})^{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $P$ के निर्देशांक $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ हैं।
चूंकि $CD$ अर्ध-संयुग्मी व्यास है,$D$ के निर्देशांक $(a \cos(\theta + \frac{\pi}{2}), b \sin(\theta + \frac{\pi}{2})) = (-a \sin \theta, b \cos \theta)$ होंगे।
अब,$CP^{2} = a^{2} \cos^{2} \theta + b^{2} \sin^{2} \theta$.
और $CD^{2} = (-a \sin \theta)^{2} + (b \cos \theta)^{2} = a^{2} \sin^{2} \theta + b^{2} \cos^{2} \theta$.
इनका योग करने पर,$CP^{2} + CD^{2} = a^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) + b^{2}(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)$.
चूंकि $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$,इसलिए $CP^{2} + CD^{2} = a^{2} + b^{2}$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 288$ है। $288$ से भाग देने पर,$\frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{18} = 1$ प्राप्त होता है। यहाँ $a^2 = 32$ और $b^2 = 18$ है।
$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ है।
स्पर्श रेखा अक्षों पर समान अंतःखंड बनाती है,इसलिए इसकी ढाल $m = -1$ होगी। अतः स्पर्श रेखा का समीकरण $x + y = c$ है।
स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है। मान रखने पर:
$c^2 = 32(-1)^2 + 18 = 32 + 18 = 50$.
अतः,$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |c| |c| = \frac{1}{2} c^2 = \frac{1}{2} (50) = 25$ वर्ग इकाई है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \pi ab$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि क्षेत्रफल $\frac{\pi}{6}$ दिया गया है,हमारे पास $\pi ab = \frac{\pi}{6}$ है,जिसका अर्थ है $ab = \frac{1}{6}$।
आइए विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $C$ के लिए,समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 1$ है,जिसे $\frac{x^2}{1/4} + \frac{y^2}{1/9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = \frac{1}{4} \implies a = \frac{1}{2}$ और $b^2 = \frac{1}{9} \implies b = \frac{1}{3}$ है।
क्षेत्रफल $\pi ab = \pi \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{\pi}{6}$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = 4 \cos \theta$ और $y = 3 \sin \theta$ हैं।
यह $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप का एक दीर्घवृत्त दर्शाता है, जहाँ $a = 4$ और $b = 3$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi ab$ है।
$a$ और $b$ के मान रखने पर, हमें $A = \pi \times 4 \times 3 = 12 \pi$ वर्ग इकाई प्राप्त होता है।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 9$ है।
अतः,$a = 2$ और $b = 3$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi ab$ है।
मान रखने पर,$A = \pi \times 2 \times 3 = 6 \pi$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ में लिखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^2}{(1/2)^2} + \frac{y^2}{(1/3)^2} = 1$.
यहाँ,$a = \frac{1}{2}$ और $b = \frac{1}{3}$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi ab$ है।
मान रखने पर,हमें $A = \pi \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{\pi}{6}$ वर्ग इकाई प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है, जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
इसका अर्थ है कि $a = 4$ और $b = 3$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi ab$ है।
$a$ और $b$ के मान रखने पर, हमें $A = \pi \times 4 \times 3 = 12 \pi$ प्राप्त होता है।
अतः, दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $12 \pi$ वर्ग इकाई है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ है,जहाँ $a^{2}=4$ और $b^{2}=1$ है।
रेखा का समीकरण $y=mx+c$ है,जहाँ $m=4$ है।
रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}$ है।
मान रखने पर,$c^{2}=4(4)^{2}+1$ प्राप्त होता है।
$c^{2}=4(16)+1=64+1=65$.
अतः,$c=\pm \sqrt{65}$.
चूँकि $c$ के दो संभावित मान हैं,इसलिए रेखा $c$ के $2$ मानों के लिए वक्र को स्पर्श करती है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{2-\lambda} - \frac{y^{2}}{\lambda-5} = 1$ है।
इसे एक दीर्घवृत्त निरूपित करने के लिए,समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के रूप में होना चाहिए जहाँ $a^{2} > 0$ और $b^{2} > 0$ हो।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{x^{2}}{2-\lambda} + \frac{y^{2}}{5-\lambda} = 1$।
दीर्घवृत्त के लिए,दोनों हर धनात्मक होने चाहिए:
$2 - \lambda > 0 \implies \lambda < 2$
$5 - \lambda > 0 \implies \lambda < 5$
इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $\lambda < 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $x^2+3y^2=12$
$12$ से विभाजित करने पर: $\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1$
यह $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप का दीर्घवृत्त है,जहाँ $a^2 = 12$ और $b^2 = 4$ है।
अतः,$a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ और $b = 2$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ द्वारा दी जाती है।
लंबाई $= \frac{2 \times 4}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ इकाई।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^{2} + 25y^{2} = 225$ है।
दोनों पक्षों को $225$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{9x^{2}}{225} + \frac{25y^{2}}{225} = 1$
$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
इसे मानक रूप $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,$a^{2} = 25$ और $b^{2} = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 5$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}}$ है।
$e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ है। इसे $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a^{2}=16$ और $b^{2}=4$ प्राप्त होता है,अतः $a=4$ और $b=2$ है।
माना बिंदु $P(2, \sqrt{3})$ का उत्केंद्र कोण $\theta$ है।
दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $x = a \cos \theta$ और $y = b \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर,$x = 4 \cos \theta$ और $y = 2 \sin \theta$ प्राप्त होता है।
दिए गए बिंदु $(2, \sqrt{3})$ के लिए:
$2 = 4 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\sqrt{3} = 2 \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूँकि $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos \theta = \frac{1}{2}$ दोनों $\theta = \frac{\pi}{3}$ पर संतुष्ट होते हैं,इसलिए उत्केंद्र कोण $\frac{\pi}{3}$ है।

(D) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a^{2}=36$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=6$।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के लिए नाभीय दूरियों का योग उसकी दीर्घ अक्ष की लंबाई के बराबर होता है।
अतः,$PS + PS^{\prime} = 2a$।
$a$ का मान रखने पर,$PS + PS^{\prime} = 2 \times 6 = 12$ प्राप्त होता है।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के सहायक वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ है।
सहायक वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi a^{2}$।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $= \pi ab$।
प्रश्न के अनुसार,सहायक वृत्त का क्षेत्रफल दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल का दोगुना है:
$\pi a^{2} = 2(\pi ab)$
$a^{2} = 2ab$
$a = 2b \Rightarrow b = \frac{a}{2}$।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ इस प्रकार है:
$e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{(a/2)^{2}}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{a^{2}/4}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(D) दिया गया वक्र $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है। बिंदु $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ है।
अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^{2}x}{a^{2}y}$ प्राप्त होता है।
$P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_{t} = -\frac{b}{a}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $bx + ay = \sqrt{2}ab$ है।
$x$-अक्ष $(y=0)$ के लिए,$x = \sqrt{2}a$ है। अतः,पहला शीर्ष $A(\sqrt{2}a, 0)$ है।
अभिलंब की ढाल $m_{n} = \frac{a}{b}$ है।
अभिलंब का समीकरण $ax - by = \frac{a^{2}-b^{2}}{\sqrt{2}}$ है।
$x$-अक्ष $(y=0)$ के लिए,$x = \frac{a^{2}-b^{2}}{a\sqrt{2}}$ है। अतः,दूसरा शीर्ष $B\left(\frac{a^{2}-b^{2}}{a\sqrt{2}}, 0\right)$ है।
तीसरा शीर्ष $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \left|\sqrt{2}a - \frac{a^{2}-b^{2}}{a\sqrt{2}}\right| \times \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{b(a^{2}+b^{2})}{4a}$.

(D) रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
दी गई रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 4$ को $y = -x \cot \alpha + 4 \operatorname{cosec} \alpha$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$m = -\cot \alpha$,$c = 4 \operatorname{cosec} \alpha$,$a^2 = 25$,और $b^2 = 9$ है।
शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ में मान रखने पर:
$16 \operatorname{cosec}^2 \alpha = 25 \cot^2 \alpha + 9$.
$\operatorname{cosec}^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$ का उपयोग करने पर,$16(1 + \cot^2 \alpha) = 25 \cot^2 \alpha + 9$.
$16 + 16 \cot^2 \alpha = 25 \cot^2 \alpha + 9$.
$9 \cot^2 \alpha = 7 \implies \cot^2 \alpha = 7/9$.
अतः,$\tan^2 \alpha = 9/7$,जिससे $\tan \alpha = 3/\sqrt{7}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\alpha = \tan^{-1}(3/\sqrt{7})$।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए $(\alpha, \beta)$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_{1}=T^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि स्पर्श रेखाएं लंबवत हैं,तो $x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांकों का योग शून्य होता है।
इस शर्त को सरल करने पर:
$\left(\frac{1}{a^{2}}\right)\left(\frac{\alpha^{2}}{a^{2}}+\frac{\beta^{2}}{b^{2}}-1\right) - \frac{\alpha^{2}}{a^{4}} + \left(\frac{1}{b^{2}}\right)\left(\frac{\alpha^{2}}{a^{2}}+\frac{\beta^{2}}{b^{2}}-1\right) - \frac{\beta^{2}}{b^{4}} = 0$
इसे सरल करने पर:
$\frac{\beta^{2}}{a^{2}b^{2}} - \frac{1}{a^{2}} + \frac{\alpha^{2}}{a^{2}b^{2}} - \frac{1}{b^{2}} = 0$
$\alpha^{2} + \beta^{2} = a^{2}b^{2}\left(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}\right) = a^{2} + b^{2}$
अतः,$(\alpha, \beta)$ का बिंदुपथ $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ है,जिसे नियामक वृत्त (director circle) कहा जाता है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
नाभियों के निर्देशांक $S(ae, 0)$ और $S^{\prime}(-ae, 0)$ हैं।
माना दीर्घवृत्त पर बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ है।
$\triangle S P S^{\prime}$ का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |ae(b \sin \theta - 0) + a \cos \theta(0 - 0) + (-ae)(0 - b \sin \theta)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |aeb \sin \theta + aeb \sin \theta| = |abe \sin \theta|$.
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $\triangle S P S^{\prime}$ का अधिकतम क्षेत्रफल $abe$ है।

(C) परिभाषा के अनुसार,एक दीर्घवृत्त उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जिनकी दो निश्चित बिंदुओं (जिन्हें नाभियाँ कहा जाता है) से दूरियों का योग एक स्थिरांक होता है।
अतः,ऐसे बिंदु का बिंदु पथ एक दीर्घवृत्त होता है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a^{2}=36$ और $b^{2}=16$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ है।
मान रखने पर,$e=\sqrt{1-\frac{16}{36}}$.
$e=\sqrt{\frac{36-16}{36}}=\sqrt{\frac{20}{36}}$.
$e=\frac{\sqrt{20}}{6}=\frac{2 \sqrt{5}}{6}$.

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ का क्षेत्रफल $\pi |ab|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{\lambda^{2}}=1$ से,हम $a^{2} = 25$ और $b^{2} = \lambda^{2}$ प्राप्त करते हैं।
अतः,$a = 5$ और $b = |\lambda|$ है।
क्षेत्रफल $20 \pi$ वर्ग इकाई दिया गया है।
क्षेत्रफल के सूत्र में मान रखने पर: $\pi \times 5 \times |\lambda| = 20 \pi$.
दोनों पक्षों को $5 \pi$ से विभाजित करने पर,हमें $|\lambda| = 4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\lambda = \pm 4$।

(A) इकाई के $4^{th}$ मूल $1, -1, i, -i$ हैं। वास्तविक मूल $\alpha=1, \beta=-1$ हैं और अन्य मूल $\gamma=i, \delta=-i$ हैं।
प्रथम शांकव $|z-1|+|z+1|=4$ के लिए,यह एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जिसकी नाभियाँ $(\pm 1, 0)$ पर हैं और मुख्य अक्ष $2a=4$ है,इसलिए $a=2$ है। नाभियों के बीच की दूरी $2ae_1=2$ है,इसलिए $e_1=\frac{1}{2}$ है।
दूसरे शांकव $|z-i|+|z+i|=6$ के लिए,यह एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जिसकी नाभियाँ $(0, \pm 1)$ पर हैं और मुख्य अक्ष $2a=6$ है,इसलिए $a=3$ है। नाभियों के बीच की दूरी $2ae_2=2$ है,इसलिए $e_2=\frac{1}{3}$ है।
उत्केंद्रताओं का योग $e_1+e_2 = \frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ है।

(B) माना गतिमान बिंदु के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) से बिंदु की दूरियों का योग अचर $(2a)$ होता है।
दी गई शर्त $\sqrt{(x - ae)^2 + y^2} + \sqrt{(x + ae)^2 + y^2} = 2a$ है।
इस समीकरण को सरल करने पर:
$\sqrt{(x - ae)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - ae)^2 + y^2 = 4a^2 + (x + ae)^2 + y^2 - 4a\sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
$x^2 - 2aex + a^2e^2 + y^2 = 4a^2 + x^2 + 2aex + a^2e^2 + y^2 - 4a\sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
$-4aex - 4a^2 = -4a\sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
$ex + a = \sqrt{(x + ae)^2 + y^2}$.
पुनः वर्ग करने पर:
$e^2x^2 + 2aex + a^2 = x^2 + 2aex + a^2e^2 + y^2$.
$x^2(1 - e^2) + y^2 = a^2(1 - e^2)$.
$a^2(1 - e^2)$ से भाग देने पर:
$\frac{x^2(1 - e^2)}{a^2(1 - e^2)} + \frac{y^2}{a^2(1 - e^2)} = 1$.
चूंकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,हमें $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{(x-2)^2+y^2}+\sqrt{(x+2)^2+y^2}=4$.
मान लीजिए $P = (x, y)$,$A = (2, 0)$,और $B = (-2, 0)$ है।
यह समीकरण बिंदु $P$ से बिंदुओं $A$ और $B$ तक की दूरियों का योग दर्शाता है,जो $PA + PB = 4$ है।
बिंदु $A(2, 0)$ और $B(-2, 0)$ के बीच की दूरी $AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = 4$ है।
चूंकि $PA + PB = AB$,बिंदु $P$ को $A$ और $B$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित होना चाहिए।
शर्त $-2 < x < 2$ और $y=0$ दी गई है,इसलिए यह $x$-अक्ष पर $x = -2$ और $x = 2$ के बीच का रेखाखंड दर्शाता है।
अतः,समीकरण एक रेखाखंड दर्शाता है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(C) माना $P(x, y)$ बिंदुपथ पर कोई बिंदु है। समस्या के अनुसार,$P$ से $F_1(0, 2)$ और $F_2(0, -2)$ तक की दूरियों का योग $6$ है।
$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} + \sqrt{x^2 + (y + 2)^2} = 6$
$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = 6 - \sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 36 + x^2 + y^2 + 4y + 4 - 12\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
$-8y - 36 = -12\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
$2y + 9 = 3\sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$
पुनः वर्ग करने पर:
$4y^2 + 36y + 81 = 9(x^2 + y^2 + 4y + 4)$
$4y^2 + 36y + 81 = 9x^2 + 9y^2 + 36y + 36$
$9x^2 + 5y^2 = 45$

(B) दिया गया समीकरण $9x^2 + 25y^2 - 90x - 150y + 225 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$9(x^2 - 10x) + 25(y^2 - 6y) = -225$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$9(x^2 - 10x + 25) + 25(y^2 - 6y + 9) = -225 + 225 + 225$।
$9(x - 5)^2 + 25(y - 3)^2 = 225$।
$225$ से भाग देने पर,$\frac{(x - 5)^2}{25} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक दीर्घवृत्त (ellipse) का समीकरण है जहाँ $a^2 = 25$ और $b^2 = 9$,अतः $a = 5$ और $b = 3$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{5} = \frac{18}{5}$ है।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $x^2+2y^2-4x+12y+14=0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x^2-4x) + 2(y^2+6y) = -14$
$x$ और $y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2-4x+4) + 2(y^2+6y+9) = -14+4+18$
$(x-2)^2 + 2(y+3)^2 = 8$
$8$ से विभाजित करने पर: $\frac{(x-2)^2}{8} + \frac{(y+3)^2}{4} = 1$
इसे मानक रूप $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,केंद्र $(h, k) = (2, -3)$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $7x^2 + 16y^2 = 112$ है।
$112$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 16$ और $b^2 = 7$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ को $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$e = \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $P$ की नाभि $S$ से दूरी और नियता $L$ से दूरी का अनुपात उत्केंद्रता $e$ के बराबर होता है।
अतः,$\frac{SP}{PM} = e = \frac{3}{4}$।

(D) माना बिंदु $(x, y) = (2 \cos \theta-3, 3 \sin \theta-4)$ है।
इससे,हमें $\cos \theta = \frac{x+3}{2}$ और $\sin \theta = \frac{y+4}{3}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए:
$(\frac{x+3}{2})^2 + (\frac{y+4}{3})^2 = 1$
$\frac{x^2+6x+9}{4} + \frac{y^2+8y+16}{9} = 1$
हर को हटाने के लिए $36$ से गुणा करने पर:
$9(x^2+6x+9) + 4(y^2+8y+16) = 36$
$9x^2 + 54x + 81 + 4y^2 + 32y + 64 = 36$
$9x^2 + 4y^2 + 54x + 32y + 145 - 36 = 0$
$9x^2 + 4y^2 + 54x + 32y + 109 = 0$.

(A) $1$. दीर्घवृत्त के लिए,नाभि $(x_1, y_1)$ से नियता $ax + by + c = 0$ तक की दूरी $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$2$. यहाँ,नाभि $(1, -2)$ है और नियता $3x + 4y - 15 = 0$ है।
$3$. $d = \frac{|3(1) + 4(-2) - 15|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 - 8 - 15|}{5} = \frac{|-20|}{5} = 4$.
$4$. नाभि से नियता की दूरी का सूत्र $\frac{a}{e} - ae = \frac{a(1 - e^2)}{e}$ है। अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
$5$. नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 4$ है,इसलिए $b^2 = 2a$.
$6$. हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,इसलिए $2a = a^2(1 - e^2) \implies 2 = a(1 - e^2)$.
$7$. चरण $3$ और $4$ से,$\frac{a(1 - e^2)}{e} = 4$. $a(1 - e^2) = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2}{e} = 4 \implies e = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$8$. चूंकि कथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ में $e$ प्राप्त करने के लिए उपयोग किए गए सही सूत्र को प्रदान करता है,इसलिए $(A)$ और $(R)$ सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है,जहाँ $b < 2$ है।
यहाँ,$a^2 = 4$,इसलिए $a = 2$ है।
नाभियाँ $F(c, 0)$ और $F'(-c, 0)$ हैं और लघु अक्ष का सिरा $B(0, b)$ है।
$\triangle FBF'$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2c) \times b = bc$ है।
दिया है कि $bc = \sqrt{3}$,इसलिए $b^2 c^2 = 3$,जिसका अर्थ है $c^2 = \frac{3}{b^2}$।
दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2 - c^2 = 4 - c^2$,अर्थात $c^2 = 4 - b^2$।
$c^2 = \frac{3}{b^2}$ को $c^2 = 4 - b^2$ में रखने पर:
$\frac{3}{b^2} = 4 - b^2$ $\Rightarrow 3 = 4b^2 - b^4$ $\Rightarrow b^4 - 4b^2 + 3 = 0$।
$t = b^2$ लेने पर,$t^2 - 4t + 3 = 0 \Rightarrow (t - 1)(t - 3) = 0$।
अतः,$b^2 = 1$ या $b^2 = 3$।
स्थिति $1$: $b^2 = 1$। तब $c^2 = 4 - 1 = 3$,इसलिए $c = \sqrt{3}$।
उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
स्थिति $2$: $b^2 = 3$। तब $c^2 = 4 - 3 = 1$,इसलिए $c = 1$।
उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$।
अतः,उत्केंद्रता $\frac{\sqrt{3}}{2}$ या $\frac{1}{2}$ है।

(D) दी गई दीर्घवृत्त का समीकरण: $16x^2 + 25y^2 = 400$ है।
दोनों पक्षों को $400$ से विभाजित करने पर: $\frac{16x^2}{400} + \frac{25y^2}{400} = 1$,जो सरल होकर $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ हो जाता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 5$ और $b = 4$ है।
नाभिलंब की लंबाई का सूत्र $\frac{2b^2}{a}$ है।
मान रखने पर: $\frac{2 \times 16}{5} = \frac{32}{5}$।

(D) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार $SP + S^{\prime}P = 2a$ होता है। दिया गया है $SP + S^{\prime}P = 2$,इसलिए $2a = 2$,जिसका अर्थ है $a = 1$.
नाभियों $S$ और $S^{\prime}$ के बीच की दूरी $SS^{\prime} = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
चूंकि $SS^{\prime} = 2ae$,इसलिए $2ae = \sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
दीर्घवृत्त का केंद्र नाभियों $S$ और $S^{\prime}$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ है।
दीर्घ अक्ष उस रेखा पर स्थित है जो $S$ और $S^{\prime}$ से होकर गुजरती है। दीर्घ अक्ष के अंतिम बिंदु केंद्र से $a=1$ की दूरी पर स्थित होते हैं।
चूंकि केंद्र $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ है,इसलिए $x_1$ और $x_2$ केंद्र के $x$-निर्देशांक के सापेक्ष समान दूरी पर होंगे।
अतः,$x_1 + x_2 = 2 \times (\text{केंद्र का } x\text{-निर्देशांक}) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है।
यहाँ,$a^2=25$ और $b^2=16$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
नाभियाँ $(\pm 3, 0)$ हैं।
नाभि $F(3,0)$ और बिंदु $A(0,3)$ से गुजरने वाली जीवा का समीकरण $x + y - 3 = 0$ है।
केंद्र $(0,0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{|0 + 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+3y^2=6$ है,जिसे $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना बिंदु का उत्केंद्र कोण $\theta$ है। दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ होते हैं,जहाँ $a^2=6$ और $b^2=2$ है।
अतः,निर्देशांक $(\sqrt{6} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ हैं।
केंद्र $(0,0)$ से इस बिंदु की दूरी $2$ इकाई है।
इसलिए,$(\sqrt{6} \cos \theta)^2 + (\sqrt{2} \sin \theta)^2 = 2^2$।
$6 \cos^2 \theta + 2 \sin^2 \theta = 4$।
$6 \cos^2 \theta + 2(1 - \cos^2 \theta) = 4$।
$4 \cos^2 \theta + 2 = 4$ $\Rightarrow 4 \cos^2 \theta = 2$ $\Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{2}$।
$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$ या $\frac{3\pi}{4}$।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।
चूँकि $b^2 > a^2$ है,यह एक ऊर्ध्वाधर दीर्घवृत्त है जहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 9$ है।
उत्केंद्रता $e$ का मान $a^2 = b^2(1 - e^2)$ $\Rightarrow 4 = 9(1 - e^2)$ $\Rightarrow e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
नाभियाँ $(0, \pm be) = (0, \pm \sqrt{5})$ हैं।
बिंदु $P = \left(\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{3}{\sqrt{5}}\right)$ के लिए नाभिय दूरियाँ $PS$ और $PS'$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$PS = 2$ और $PS' = 4$ प्राप्त होता है।

(D) माना नाभियाँ $S_1(-ae, 0)$ और $S_2(ae, 0)$ हैं,और लघु अक्ष का सिरा $A(0, b)$ है।
कोण $\angle S_1 A S_2 = 90^{\circ}$ है।
$\Delta S_1 A S_2$ में,चूंकि $\angle S_1 A S_2 = 90^{\circ}$ है,कर्ण $S_1 S_2$ पर माध्यिका $AO$ कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
$AO = \frac{1}{2} S_1 S_2$
$b = \frac{1}{2} (2ae) = ae$
चूंकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,हमें प्राप्त होता है:
$(ae)^2 = a^2(1 - e^2)$
$a^2 e^2 = a^2 - a^2 e^2$
$2a^2 e^2 = a^2$
$e^2 = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ से तुलना करने पर,$a^2=36$ और $b^2=20$ प्राप्त होता है,जिससे $a=6$ मिलता है।
उत्केंद्रता $e$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{20}{36}} = \sqrt{\frac{16}{36}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$।
जब $a > b$ हो,तो दीर्घवृत्त की नियताओं के समीकरण $x = \pm \frac{a}{e}$ होते हैं।
मान रखने पर,$x = \pm \frac{6}{2/3} = \pm 9$ प्राप्त होता है।
नियताओं के बीच की दूरी इन दो मानों का अंतर है: $|9 - (-9)| = 18$।

(D) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a}$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $= 2b$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,नाभिलंब लघु अक्ष के आधे के बराबर है:
$\frac{2b^2}{a} = \frac{1}{2} (2b) = b$।
दोनों पक्षों को $b$ से विभाजित करने पर,$\frac{2b}{a} = 1$,जिसका अर्थ है $\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{4}$।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{b^2}{a^2}$ का मान रखने पर:
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(A) दिया गया है,मुख्य अक्ष की लंबाई $2a = 6 \Rightarrow a = 3$ और लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2 \Rightarrow b = 1$.
मुख्य अक्ष $x-y+1=0$ रेखा पर है। लघु अक्ष मुख्य अक्ष के लंबवत है और केंद्र $(5,6)$ से होकर गुजरती है।
मुख्य अक्ष की ढाल $m_1 = 1$ है। इसलिए,लघु अक्ष की ढाल $m_2 = -1$ है।
लघु अक्ष का समीकरण $y - 6 = -1(x - 5) \Rightarrow x + y - 11 = 0$ है।
केंद्र $(h,k) = (5,6)$ वाले दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(\text{मुख्य अक्ष से दूरी})^2}{b^2} + \frac{(\text{लघु अक्ष से दूरी})^2}{a^2} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,मुख्य अक्ष $x-y+1=0$ से दूरी $\frac{|x-y+1|}{\sqrt{2}}$ है।
लघु अक्ष $x+y-11=0$ से दूरी $\frac{|x+y-11|}{\sqrt{2}}$ है।
इन मानों को मानक रूप में रखने पर:
$\frac{(\frac{x-y+1}{\sqrt{2}})^2}{1^2} + \frac{(\frac{x+y-11}{\sqrt{2}})^2}{3^2} = 1$
$\frac{(x-y+1)^2}{2} + \frac{(x+y-11)^2}{18} = 1$
$18$ से गुणा करने पर:
$9(x-y+1)^2 + (x+y-11)^2 = 18$.

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 25y^2 = 225$ है।
दोनों पक्षों को $225$ से विभाजित करने पर,$\frac{9x^2}{225} + \frac{25y^2}{225} = 1$,जो $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ में सरल हो जाता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के साथ तुलना करने पर,$a^2 = 25$ और $b^2 = 9$ प्राप्त होता है,अतः $a = 5$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e$ का मान $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ है।
नाभियों के निर्देशांक $(\pm ae, 0)$ होते हैं।
मान रखने पर,$(\pm 5 \times \frac{4}{5}, 0) = (\pm 4, 0)$ प्राप्त होता है।

(D) अंतर्निहित दीर्घवृत्त $E_1: \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ के लिए,आयत $R$ के शीर्ष $(\pm 3, \pm 2)$ हैं।
चूंकि $E_2: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ आयत $R$ के परिगत है,इसलिए इसे $R$ के शीर्षों जैसे $(3, 2)$ से होकर गुजरना चाहिए।
$E_2$ के समीकरण में $(3, 2)$ रखने पर: $\frac{3^2}{a^2} + \frac{2^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$.
दिया गया है कि $E_2$,$(0, 4)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{0^2}{a^2} + \frac{4^2}{b^2} = 1$,जिससे $b^2 = 16$ प्राप्त होता है,अतः $b = 4$.
$b^2 = 16$ को समीकरण $\frac{9}{a^2} + \frac{4}{16} = 1$ में रखने पर:
$\frac{9}{a^2} + \frac{1}{4} = 1$ $\Rightarrow \frac{9}{a^2} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow a^2 = 12$ $\Rightarrow a = 2\sqrt{3}$.
अतः,$a = 2\sqrt{3}$ और $b = 4$.

(D) दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर विचार करें।
नाभियों के बीच की दूरी $2c = 6$ है,जिसका अर्थ है $c = 3$।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = 8$ है,जिसका अर्थ है $b = 4$।
दीर्घवृत्त के लिए,$a, b,$ और $c$ के बीच संबंध $a^2 = b^2 + c^2$ होता है।
मान रखने पर,$a^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$,इसलिए $a = 5$।
उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a}$ द्वारा प्राप्त की जाती है।
अतः,$e = \frac{3}{5}$।