Mix Examples-Circle and System of Circles Questions in Gujarati

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
જીવાનું સમીકરણ $5x + 2y = 16$ છે,જેને $5x + 2y - 16 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ જીવાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{5}{2}$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને જીવાના મધ્યબિંદુ $(2, 3)$ ને જોડતી રેખા જીવાને લંબ હોય છે.
આ રેખાખંડનો ઢાળ $m_2 = \frac{k - 3}{h - 2}$ છે.
રેખાખંડ જીવાને લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$-\frac{5}{2} \times \frac{k - 3}{h - 2} = -1$
$5(k - 3) = 2(h - 2)$
$5k - 15 = 2h - 4$
$2h - 5k + 11 = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $2x - 5y + 11 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{25} = 5$ છે.
જીવા પરિઘ પર $\frac{\pi}{3} = 60^\circ$ નો ખૂણો આંતરે છે.
વર્તુળના ગુણધર્મ મુજબ,જીવા કેન્દ્ર પર $2 \times 60^\circ = 120^\circ$ નો ખૂણો આંતરે છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ જીવાનું મધ્યબિંદુ છે. કેન્દ્ર $C(-2, 3)$ થી જીવાનું અંતર $p = R \cos(60^\circ) = 5 \times 0.5 = 2.5$ છે.
તેથી,$(h + 2)^2 + (k - 3)^2 = (2.5)^2 = 6.25$.
આમ,બિંદુપથ $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 6.25$ છે.

(B) વર્તુળોના કેન્દ્રો $C_1 = (1, 0)$ અને $C_2 = (0, 2)$ છે,અને તેમની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \sqrt{10}$ અને $r_2 = \sqrt{5}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ છે.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો છેદનકોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2 r_1 r_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\cos \theta = \frac{10 + 5 - 5}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10}{2 \cdot \sqrt{50}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2x - 1 = 0$ છે.
વર્ગ પૂર્ણ કરતા,આપણને $(x + 1)^2 + y^2 = 2$ મળે છે.
આ કેન્દ્ર $(-1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ વાળું વર્તુળ દર્શાવે છે.
રેખા $x - y + c = 0$ છે.
રેખા વર્તુળને માત્ર એક બિંદુએ છેદે તે માટે,કેન્દ્ર $(-1, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{|(-1) - (0) + c|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|c - 1|}{\sqrt{2}}$.
$d = r$ લેતા,આપણને $\frac{|c - 1|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ મળે છે.
$|c - 1| = 2$.
આથી $c - 1 = 2$ અથવા $c - 1 = -2$ મળે.
તેથી,$c = 3$ અથવા $c = -1$.

(C) ધારો કે બે વર્તુળોનું સમીકરણ $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ છે.
આ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બે વર્તુળો લંબકોણીય રીતે છેદે તેની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
અહીં $4r_1r_2 = r_1^2 + r_2^2$ મળે છે.
વર્તુળ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $r^2 - 2r(a+b) + (a^2+b^2) = 0$.
અહીં $r_1 + r_2 = 2(a+b)$ અને $r_1r_2 = a^2 + b^2$ છે.
શરત $6r_1r_2 = (r_1 + r_2)^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$6(a^2 + b^2) = 4(a+b)^2 = 4(a^2 + b^2 + 2ab)$.
$2a^2 - 8ab + 2b^2 = 0$,એટલે કે $a^2 - 4ab + b^2 = 0$.

(D) ધારો કે વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ છે. ત્રિજ્યા $r = 1$ અને કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે.
બિંદુ $P(a, 0)$ લો. કેન્દ્રથી $P$ નું અંતર $d = |a|$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો $\sin(\theta/2) = \frac{r}{d} = \frac{1}{|a|}$.
આપેલ છે કે $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$,તેથી $\frac{\pi}{4} < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$.
$\sin$ વિધેય લેતા,$\sin(\frac{\pi}{4}) < \sin(\frac{\theta}{2}) < \sin(\frac{\pi}{2})$.
આથી $\frac{1}{\sqrt{2}} < \frac{1}{|a|} < 1$.
વ્યસ્ત લેતા,$1 < |a| < \sqrt{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $|a| > 1$ અને $|a| < \sqrt{2}$.
તેથી,$a \in (-\sqrt{2}, -1) \cup (1, \sqrt{2})$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(h, 0)$ છે કારણ કે તે $x$-અક્ષ પર છે.
વર્તુળ રેખા $x + y = 0$ ને $P(2, -2)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ $CP$ નું અંતર છે.
$r^2 = (h - 2)^2 + (0 - (-2))^2 = (h - 2)^2 + 4$.
રેખા $CP$ એ સ્પર્શક $x + y = 0$ (ઢાળ $-1$) ને લંબ છે.
તેથી,$CP$ નો ઢાળ $= \frac{0 - (-2)}{h - 2} = \frac{2}{h - 2}$.
$CP \perp$ સ્પર્શક હોવાથી,$(\frac{2}{h - 2}) \times (-1) = -1$ $\Rightarrow \frac{2}{h - 2} = 1$ $\Rightarrow h - 2 = 2$ $\Rightarrow h = 4$.
કેન્દ્ર $C(4, 0)$ છે.
$r^2 = (4 - 2)^2 + 4 = 4 + 4 = 8$,તેથી $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 4)^2 + y^2 = 8$ છે.
$\alpha$ ($x$-યામ) ની મહત્તમ કિંમત $h + r = 4 + 2\sqrt{2}$ છે.

(C) ધારો કે ત્રણ સમકેન્દ્રી વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $r_1, r_2, r_3$ એ $A.P.$ માં છે,જ્યાં $r_3 = 1$ (સૌથી મોટી). ધારો કે સામાન્ય તફાવત $d > 0$ છે. તેથી $r_3 = 1$,$r_2 = 1 - d$,અને $r_1 = 1 - 2d$.
રેખા $x - y + 1 = 0$ બધા વર્તુળોને બે વાસ્તવિક અને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર સૌથી નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_1$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
લંબ અંતર $p = \frac{|0 - 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,આપણે $r_1 > p$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે $1 - 2d > \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$d$ માટે ઉકેલતા: $2d < 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$.
$d < \frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$.
કારણ કે $d > 0$,તેથી $d$ માટેનો અંતરાલ $\left( 0, \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \right)$ છે.

(B) ધારો કે $x^2 + y^2 = a^2$ વર્તુળ પરનું બિંદુ $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ છે.
$(a \cos \theta, a \sin \theta)$ બિંદુમાંથી $x^2 + y^2 = b^2$ વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોની સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $x(a \cos \theta) + y(a \sin \theta) = b^2$ છે.
આ રેખા $x^2 + y^2 = c^2$ વર્તુળને સ્પર્શે છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $x(a \cos \theta) + y(a \sin \theta) - b^2 = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $c$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|-b^2|}{\sqrt{(a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2}} = c$.
$\frac{b^2}{\sqrt{a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}} = c$.
$\frac{b^2}{a} = c$,જે સૂચવે છે કે $b^2 = ac$.
$b^2 = ac$ હોવાથી,$a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે.

(B) બંને વર્તુળો ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે કેન્દ્રો $C_1 = (-g_1, -f_1)$ અને $C_2 = (-g_2, -f_2)$ છે.
વર્તુળો એકબીજાને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો $C_1$,$C_2$ અને સ્પર્શબિંદુ $(0, 0)$ સમરેખ હોવા જોઈએ.
$C_1$ અને $(0, 0)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $\frac{-f_1 - 0}{-g_1 - 0} = \frac{f_1}{g_1}$ છે.
$C_2$ અને $(0, 0)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $\frac{-f_2 - 0}{-g_2 - 0} = \frac{f_2}{g_2}$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$\frac{f_1}{g_1} = \frac{f_2}{g_2}$.

(A) ધારો કે સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ માટે $(x_1, y_1)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની સ્પર્શજીવા $xx_1 + yy_1 - 1 = 0$ છે $... (1)$.
બે વર્તુળો $S_1: x^2 + y^2 - 1 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 - (\lambda + 6)x + (8 - 2\lambda)y - 3 = 0$ ની સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(\lambda + 6)x - (8 - 2\lambda)y + 2 = 0$ $... (2)$.
સ્પર્શજીવા અને સામાન્ય જીવા સમાન હોવાથી,સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા:
$\frac{x_1}{\lambda + 6} = \frac{y_1}{-(8 - 2\lambda)} = \frac{-1}{2}$
$\lambda$ નો લોપ કરતા,આપણને $2x - y + 10 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુ $A$ ના યામ $(a, b)$ છે અને મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના યામ $(h, k)$ છે.
$\angle BAC = 90^o$ હોવાથી,બિંદુ $A$ એ $BC$ વ્યાસવાળા વર્તુળ પર આવેલું છે. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $3$ છે. તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 9$ છે. એટલે કે $a^2 + b^2 = 9$.
$\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G(h, k)$ એ $h = \frac{a + 3 - 3}{3} = \frac{a}{3}$ અને $k = \frac{b + 0 + 0}{3} = \frac{b}{3}$ દ્વારા મળે છે.
આથી $a = 3h$ અને $b = 3k$ મળે.
આ કિંમતોને $a^2 + b^2 = 9$ માં મૂકતા,$(3h)^2 + (3k)^2 = 9$ મળે.
$9h^2 + 9k^2 = 9$,જેનું સાદું રૂપ $h^2 + k^2 = 1$ થાય.
તેથી,બિંદુપથનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 1$ છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - ax - \frac{b}{2}y = 0$ છે.
ધારો કે જીવા $P(a, b/2)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષ પરના બિંદુ $Q(h, 0)$ પર દુભાગે છે.
જીવાનું મધ્યબિંદુ $Q(h, 0)$ છે. રેખાખંડ $PQ$ એ વર્તુળની જીવા છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(a/2, b/4)$ છે.
રેખા $CQ$ એ જીવા $PQ$ ને લંબ હોવી જોઈએ.
$PQ$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{b}{2(a - h)}$ છે.
$CQ$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{-b}{4h - 2a}$ છે.
$PQ \perp CQ$ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
આનાથી $8h^2 - 12ah + 4a^2 + b^2 = 0$ મળે છે.
બે ભિન્ન જીવાઓ માટે,$h$ ના બે ભિન્ન મૂલ્યો હોવા જોઈએ,તેથી વિવેચક $D > 0$.
$16a^2 > 32b^2 \Rightarrow a^2 > 2b^2$.

(C) ધારો કે રેખા પરનું બિંદુ $P(x_1, y_1)$ છે. $P$ એ રેખા $2x + y = 4$ પર હોવાથી,$2x_1 + y_1 = 4$ ... $(1)$.
એકમ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ માટે $P(x_1, y_1)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની સંપર્ક જીવાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = 1$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ આ જીવાનું મધ્યબિંદુ છે. વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ માટે $(h, k)$ મધ્યબિંદુ ધરાવતી જીવાનું સમીકરણ $xh + yk = h^2 + k^2$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$\frac{x_1}{h} = \frac{y_1}{k} = \frac{1}{h^2 + k^2}$
તેથી,$x_1 = \frac{h}{h^2 + k^2}$ અને $y_1 = \frac{k}{h^2 + k^2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2 \left( \frac{h}{h^2 + k^2} \right) + \frac{k}{h^2 + k^2} = 4$
$2h + k = 4(h^2 + k^2)$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $4(x^2 + y^2) = 2x + y$ મળે છે.

(C) ધારો કે સામાન્ય જીવા $AB$ છે અને તે કેન્દ્રોને જોડતી રેખા $O_1O_2$ ને $M$ માં છેદે છે. ધારો કે $PM = h$ એ સામાન્ય જીવાની અડધી લંબાઈ છે.
$\triangle O_1PM$ માં,$\angle PO_1M = 90^\circ / 2 = 45^\circ$. તેથી,$h = O_1M \tan 45^\circ = O_1M$.
$\triangle O_2PM$ માં,$\angle PO_2M = 60^\circ / 2 = 30^\circ$. તેથી,$h = O_2M \tan 30^\circ = O_2M / \sqrt{3}$,જેનો અર્થ છે કે $O_2M = h\sqrt{3}$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $O_1M + O_2M = h + h\sqrt{3} = h(1 + \sqrt{3})$ છે.
આપેલ છે કે $O_1O_2 = \sqrt{3} + 1$,તેથી $h(1 + \sqrt{3}) = \sqrt{3} + 1$,એટલે કે $h = 1$.
$c_1$ ની ત્રિજ્યા $r_1 = O_1P = h / \sin 45^\circ = 1 / (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}$.
$c_2$ ની ત્રિજ્યા $r_2 = O_2P = h / \sin 30^\circ = 1 / (1/2) = 2$.
તેથી,ત્રિજ્યાઓ $\sqrt{2}$ અને $2$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળોના કેન્દ્રો $C_1, C_2, C_3$ છે અને ત્રિજ્યાઓ $r_1=3, r_2=3, r_3=1$ છે. ત્રિકોણ $C_1C_2C_3$ ની બાજુઓ $C_1C_2 = 6, C_1C_3 = 4, C_2C_3 = 4$ છે.
આ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. $C_3M$ વેધની લંબાઈ $\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુ $AB = \frac{1}{4} \times 6 = \frac{3}{2}$ મળે.
ત્રિકોણ $ABC$ નો વેધ $\frac{\sqrt{7}}{4}$ મળે.
તેથી,ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{16}$.

(B) ધારો કે વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $60^o$ છે,તેથી સ્પર્શક અને ઉગમબિંદુને $A$ સાથે જોડતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $30^o$ છે.
$\triangle OPA$ માં,$\angle OPA = 90^o$ અને $\angle OAP = 30^o$ છે.
તેથી,$PA = r \cot(30^o) = \sqrt{3}$.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $2 \times (\triangle OPA$ નું ક્ષેત્રફળ) $= 2 \times (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1) = \sqrt{3}$ છે.
વર્તુળના કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો $180^o - 60^o = 120^o = \frac{2\pi}{3}$ રેડિયન છે.
વર્તુળાકાર સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{\pi}{3}$ છે.
ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$ છે.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6 \sqrt{3} x - 6y + 20 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3 \sqrt{3}, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(3 \sqrt{3})^2 + 3^2 - 20} = 4$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(3 \sqrt{3})^2 + 3^2} = 6$ છે.
અહીં $C_1C_2 = r_1 + r_2 = 6$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
સ્પર્શબિંદુએ સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે.
$(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 - 6 \sqrt{3} x - 6y + 20) = 0$ $\Rightarrow 6 \sqrt{3} x + 6y = 24$ $\Rightarrow \sqrt{3} x + y = 4$.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,$\frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} y = 2$.
$x \cos \theta + y \sin \theta = 2$ સાથે સરખાવતા,$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{1}{2}$ મળે.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{6}$.

(C) ધારો કે નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે અને મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ એ બે વર્તુળો વચ્ચેના પ્રદેશના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે.
$\pi r_1^2 = \pi r_2^2 - \pi r_1^2$
$2 \pi r_1^2 = \pi r_2^2$
$r_2^2 = 2 r_1^2$
$r_2 = \sqrt{2} r_1 = 2\sqrt{2}$.
ધારો કે $L$ એ મોટા વર્તુળ પરના બિંદુ $P$ થી નાના વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ છે.
નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r_1)$,સ્પર્શક $(L)$ અને કેન્દ્રથી બિંદુ $P$ સુધીના અંતર $(r_2)$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$L^2 + r_1^2 = r_2^2$
$L^2 = r_2^2 - r_1^2$
$L^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2^2 = 8 - 4 = 4$
$L = 2$.

(A) રેખાનો ઢાળ $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ છે. ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $y = x + c$ અથવા $x - y + c = 0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ માટે,કેન્દ્ર $O(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે. અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{r_1^2 - d_1^2}$ છે,જ્યાં $d_1$ એ $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર છે.
$d_1 = \frac{|c|}{\sqrt{2}}$.
અંતઃખંડની લંબાઈ $L_1 = 2\sqrt{4 - \frac{c^2}{2}}$.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 10x - 14y + 65 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C(5, 7)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે. લંબ અંતર $d_2 = \frac{|5 - 7 + c|}{\sqrt{2}} = \frac{|c - 2|}{\sqrt{2}}$.
અંતઃખંડની લંબાઈ $L_2 = 2\sqrt{9 - \frac{(c - 2)^2}{2}}$.
$L_1 = L_2$ હોવાથી,$4 - \frac{c^2}{2} = 9 - \frac{(c - 2)^2}{2}$.
$4 = 7 + 2c \Rightarrow c = -\frac{3}{2}$.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $2x - 2y - 3 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
રેખા $x - y - 3 = 0$ ની સાપેક્ષમાં $(1, 2)$ નું પ્રતિબિંબ $(a, b)$ હોય,તો:
$\frac{a - 1}{1} = \frac{b - 2}{-1} = -2 \frac{1 - 2 - 3}{1^2 + (-1)^2} = 4$
તેથી $a = 5$ અને $b = -2$ મળે.
નવા વર્તુળનું કેન્દ્ર $(5, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
માટે,$(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 1^2$
$x^2 + y^2 - 10x + 4y + 28 = 0$.

(D) $(0, 0)$ અને $(1, 0)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - x + \lambda y = 0$ લો.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left( \frac{1}{2}, -\frac{\lambda}{2} \right)$ અને ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{1 + \lambda^2}}{2}$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ નું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $R = 3$ છે.
બંને વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવત જેટલું હોય: $d = |R \pm r|$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{\sqrt{1 + \lambda^2}}{2}$ છે.
તેથી,$\frac{\sqrt{1 + \lambda^2}}{2} = |3 \pm \frac{\sqrt{1 + \lambda^2}}{2}|$.
ઉકેલતા,$\sqrt{1 + \lambda^2} = 3$ $\Rightarrow \lambda^2 = 8$ $\Rightarrow \lambda = \pm 2\sqrt{2}$.
આમ,કેન્દ્રો $\left( \frac{1}{2}, \mp \sqrt{2} \right)$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2 - 2x + 1 - y^2 = 0$ છે,જેને $(x - 1)^2 - y^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આના અવયવો $(x - y - 1)(x + y - 1) = 0$ થાય છે.
તેથી,બે રેખાઓ $L_1: x - y - 1 = 0$ અને $L_2: x + y - 1 = 0$ છે.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ આ રેખાઓને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રથી બંને રેખાઓનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$r = \frac{|h - k - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{|h + k - 1|}{\sqrt{2}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $|h - k - 1| = |h + k - 1|$.
કેસ $1$: $h - k - 1 = h + k - 1 \implies k = 0$.
કેસ $2$: $h - k - 1 = -(h + k - 1) \implies h = 1$ (જે શક્ય નથી).
તેથી,$k = 0$ અને કેન્દ્ર $(h, 0)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \frac{|h - 1|}{\sqrt{2}}$. વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + y^2 = \frac{(h - 1)^2}{2}$ છે.
બિંદુ $\left( 3, \sqrt{\frac{7}{2}} \right)$ મૂકતા,$(3 - h)^2 + \frac{7}{2} = \frac{(h - 1)^2}{2}$.
$h^2 - 10h + 24 = 0 \implies (h - 6)(h - 4) = 0$.
તેથી,$h = 4$ અથવા $h = 6$. કેન્દ્ર $(4, 0)$ અને $(6, 0)$ છે.

(C) ધારો કે બંને વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r = 1$ છે. કેન્દ્રો $A(1, 0)$ અને $B(-1, 0)$ છે.
રામ $(0, 0)$ થી શરૂ કરીને $(x-1)^2 + y^2 = 1$ વર્તુળ પર ગતિ કરે છે. ધારો કે $\theta_R$ એ કેન્દ્ર $A$ પર બનતો ખૂણો છે. ઝડપ $v_R = 2 \ m/s$ અને $r=1$ હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega_R = 2 \ rad/s$ છે. આમ,$\theta_R = 2t$. રામ ઘડિયાળની દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી તેનું સ્થાન $R(1 - \cos(2t), -\sin(2t))$ છે.
શ્યામ $(0, 0)$ થી શરૂ કરીને $(x+1)^2 + y^2 = 1$ વર્તુળ પર ગતિ કરે છે. ધારો કે $\theta_S$ એ કેન્દ્ર $B$ પર બનતો ખૂણો છે. ઝડપ $v_S = 1 \ m/s$ અને $r=1$ હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega_S = 1 \ rad/s$ છે. આમ,$\theta_S = t$. શ્યામ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી તેનું સ્થાન $S(-1 + \cos(t), \sin(t))$ છે.
રામ $x$-અક્ષને ત્યારે ઓળંગે છે જ્યારે $R$ નો $y$-યામ $0$ હોય,એટલે કે $-\sin(2t) = 0$. પ્રથમ વખત આ $2t = \pi$ પર થાય છે,તેથી $t = \frac{\pi}{2}$.
$t = \frac{\pi}{2}$ પર,$R = (2, 0)$ અને $S = (-1, 1)$.
અંતર $D^2 = (2 - \cos(2t) - \cos(t))^2 + (\sin(2t) + \sin(t))^2 = 6 - 4\cos(2t) - 2\cos(t)$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2D \frac{dD}{dt} = 8\sin(2t) + 2\sin(t)$.
$t = \frac{\pi}{2}$ પર,$D = \sqrt{10}$.
$2\sqrt{10} \frac{dD}{dt} = 2$,તેથી $\frac{dD}{dt} = \sqrt{\frac{5}{2}}$.

(B) $P$ કેન્દ્રિત વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ ધારો. વર્તુળ ઋણ $x$-અક્ષ અને ઋણ $y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $P(-r, -r)$ થશે.
કેન્દ્ર $P(-r, -r)$ અને આપેલ વર્તુળ $C(-6, 0)$ વચ્ચેનું અંતર: $d = \sqrt{(-r - (-6))^2 + (-r - 0)^2} = \sqrt{(6 - r)^2 + r^2}$.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોય: $d = r + 2$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\sqrt{(6 - r)^2 + r^2} = r + 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(6 - r)^2 + r^2 = (r + 2)^2$.
$36 - 12r + r^2 + r^2 = r^2 + 4r + 4$.
$r^2 - 16r + 32 = 0$.
આ $r$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. શક્ય ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો એ આ સમીકરણના બીજનો સરવાળો છે,જે $-(\frac{b}{a}) = -(\frac{-16}{1}) = 16$ થાય.

(D) વર્તુળો $C_1, C_2,$ અને $C_3$ પરના બિંદુઓની સંખ્યા અનુક્રમે $4, 8,$ અને $12$ છે.
કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $n = 4 + 8 + 12 = 24$ છે.
$24$ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા કુલ ત્રિકોણોની સંખ્યા $^{24}C_3$ છે.
ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર ત્યારે જ હોય જો ત્રણેય શિરોબિંદુઓ એક જ વર્તુળ પર હોય.
ઉગમબિંદુ પર પરિકેન્દ્ર ધરાવતા ત્રિકોણોની સંખ્યા = ($C_1$ પરના બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણો) + ($C_2$ પરના બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણો) + ($C_3$ પરના બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણો) = $^4C_3 + ^8C_3 + ^{12}C_3$.
જરૂરી ત્રિકોણોની સંખ્યા = કુલ ત્રિકોણો - ઉગમબિંદુ પર પરિકેન્દ્ર ધરાવતા ત્રિકોણો.
જરૂરી સંખ્યા = $^{24}C_3 - (^4C_3 + ^8C_3 + ^{12}C_3) = 2024 - (4 + 56 + 220) = 2024 - 280 = 1744$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 16x$ છે,તેથી $4a = 16$,જે $a = 4$ આપે છે. નાભિ $(4, 0)$ છે.
$(4, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી નાભિ જીવાનું સમીકરણ $y - 0 = m(x - 4)$ એટલે કે $mx - y - 4m = 0$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ ને સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(6, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
કેન્દ્ર $(6, 0)$ થી રેખા $mx - y - 4m = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{|m(6) - 0 - 4m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}$.
$\frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4m^2}{m^2 + 1} = 2$.
$4m^2 = 2m^2 + 2$.
$2m^2 = 2$,તેથી $m^2 = 1$,જે $m = \pm 1$ આપે છે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$ મળે છે.
ધારો કે $x - 1 = 2 \cos \theta$ અને $y - 1 = 2 \sin \theta$.
આ કિંમતો પદાવલિ $E = \frac{8}{(x - 1)^2} - \frac{(y - 1)^2}{4}$ માં મૂકતા:
$E = \frac{8}{4 \cos^2 \theta} - \frac{4 \sin^2 \theta}{4} = 2 \sec^2 \theta - \sin^2 \theta$.
અહીં $(x - 1)^2 = 4 - (y - 1)^2$ હોવાથી,$u = (y - 1)^2$ લેતા,જ્યાં $0 \le u \le 4$.
તેથી $E = \frac{8}{4 - u} - \frac{u}{4}$.
$u = 0$ લેતા,$E = 2$ મળે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.

(A) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 8x - 6y + 9 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(4, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$,તેથી $y = mx$ અથવા $mx - y = 0$.
રેખા $mx - y = 0$ વર્તુળને છેદે તે માટે,કેન્દ્ર $(4, 3)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $4$ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|4m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} \le 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(4m - 3)^2 \le 16(m^2 + 1)$.
$16m^2 - 24m + 9 \le 16m^2 + 16$.
$-24m \le 7$,તેથી $m \ge -\frac{7}{24}$.
આમ,$m$ નો વિસ્તાર $[ -\frac{7}{24}, \infty )$ છે.

(D) $S_1 : x^2 + y^2 + 24x - 10y + a = 0$. કેન્દ્ર $C_1 = (-12, 5)$,ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{169 - a}$.
$S_2 : x^2 + y^2 = 36$. કેન્દ્ર $C_2 = (0, 0)$,ત્રિજ્યા $r_2 = 6$.
$(1)$ વાસ્તવિક વર્તુળ માટે,$169 - a \ge 0 \Rightarrow a \le 169$. $a$ અ-ઋણ હોવાથી,કુલ $170$ કિંમતો મળે. વિધાન $A$ સાચું છે.
$(2)$ સામાન્ય બિંદુ ન હોય તે માટે,$C_1C_2 > r_1 + r_2$ અથવા $C_1C_2 < |r_1 - r_2|$. $C_1C_2 = 13$. ગણતરી કરતા $a > 120$ મળે છે,જે $49$ થી વધુ કિંમતો આપે છે. વિધાન $B$ સાચું છે.
$(3)$ લંબકોણીય છેદન માટે,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2 \Rightarrow a = 36$. વિધાન $C$ સાચું છે.
$(4)$ જો $a = 0$ હોય,તો $r_1 = 13$ અને $C_1C_2 = 13$. વર્તુળો બે બિંદુએ છેદે છે,તેથી સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $2$ છે. વિધાન $D$ ખોટું છે.

(D) $P(2, 8)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y - p = 0$ નું અંદરનું બિંદુ હોવા માટે,બિંદુની ઘાત ઋણ હોવી જોઈએ:
$2^2 + 8^2 - 2(2) + 4(8) - p < 0$
$4 + 64 - 4 + 32 - p < 0$
$96 - p < 0 \Rightarrow p > 96$ .........$(1)$
વર્તુળ $x$-અક્ષને છેદતું કે સ્પર્શતું ન હોવા માટે,$x$-અંતઃખંડ કાલ્પનિક હોવો જોઈએ:
કેન્દ્ર $(1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{5 + p}$ છે.
$x$-અક્ષ સાથે છેદન ન થવા માટે,$|y_{center}| > r$ $\Rightarrow |-2| > \sqrt{5 + p}$ $\Rightarrow 4 > 5 + p$ $\Rightarrow p < -1$ .........$(2)$
$y$-અક્ષ સાથે છેદન ન થવા માટે,$|x_{center}| > r$ $\Rightarrow |1| > \sqrt{5 + p}$ $\Rightarrow 1 > 5 + p$ $\Rightarrow p < -4$ .........$(3)$
$(1), (2),$ અને $(3)$ નો છેદગણ લેતા,$p > 96$ અને $p < -4$ મળે,જે અશક્ય છે.
તેથી,$p$ માટેનો ગણ $\phi$ છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $(x+2)^2 + (y+8)^2 = 4$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C(-2, -8)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
પરવલય $y^2 = 8x$ માટે $a = 2$ છે.
પરવલયના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 4t + 2t^3$ છે. તે કેન્દ્ર $(-2, -8)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $t^3 + 3t + 4 = 0$ મળે છે,જેનો ઉકેલ $t = -1$ છે.
પરવલય પરનું બિંદુ $(2, -4)$ છે.
કેન્દ્ર $C(-2, -8)$ અને બિંદુ $(2, -4)$ વચ્ચેનું અંતર $4\sqrt{2}$ છે.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $4\sqrt{2} - 2$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળ $S=0$ નું કેન્દ્ર $(h, r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. તે $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(h, r)$ છે.
આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2 + y^2 = 20^2$ (કેન્દ્ર $O_1(0,0)$,ત્રિજ્યા $R_1=20$) અને $C_2: (x-5)^2 + (y-12)^2 = 7^2$ (કેન્દ્ર $O_2(5,12)$,ત્રિજ્યા $R_2=7$) છે.
$S$ એ $C_1$ ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $O_1C = R_1 + r$ $\Rightarrow \sqrt{h^2 + r^2} = 20 + r$ $\Rightarrow h^2 = 400 + 40r$.
$S$ એ $C_2$ ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $O_2C = R_2 + r \Rightarrow \sqrt{(h-5)^2 + (r-12)^2} = 7 + r$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $r = 240$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખા $ax + by + c = 0$ જ્યાં $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $a + c = 2b$,જેનો અર્થ છે કે $a - 2b + c = 0$.
આને $a(1) + b(-2) + c(1) = 0$ તરીકે લખી શકાય છે,જેનો અર્થ છે કે રેખા હંમેશા નિશ્ચિત બિંદુ $(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખા વર્તુળ $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = \gamma$ ને લંબ હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$ એ $(1, -2)$ હોવું જોઈએ.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = \gamma$ છે,જે $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 - \gamma = 0$ માં પરિણમે છે.
આ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 4y - 1 = 0$ ને લંબકોણીય છે.
લંબકોણીયતાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(-1)(-2) + 2(2)(-2) = (5 - \gamma) + (-1)$.
$4 - 8 = 4 - \gamma$.
$-4 = 4 - \gamma \Rightarrow \gamma = 8$.
અંતે,$\alpha + \beta + \gamma = 1 + (-2) + 8 = 7$.

(A) પરવલય $y = x^2$ માટે બિંદુ $P(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવવા માટે,વિકલન કરતા $\frac{dy}{dx} = 2x$ મળે છે. $x = 1$ આગળ ઢાળ $m = 2$ થાય. તેથી સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = 2(x - 1)$ એટલે કે $2x - y - 1 = 0$ મળે છે.
રેખા $2x - y - 1 = 0$ ને બિંદુ $(1, 1)$ આગળ સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + \lambda(2x - y - 1) = 0 \quad (i)$
આ વર્તુળ બિંદુ $Q(2, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$(2 - 1)^2 + (2 - 1)^2 + \lambda(2(2) - 2 - 1) = 0$
$1 + 1 + \lambda(1) = 0$
$\lambda = -2$
$\lambda = -2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 2(2x - y - 1) = 0$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 - 4x + 2y + 2 = 0$
$x^2 + y^2 - 6x + 4 = 0$

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 16x$ છે,તેથી $4a = 16$,જે $a = 4$ આપે છે. નાભિ $(4, 0)$ છે.
$(4, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી નાભિ જીવાનું સમીકરણ $y - 0 = m(x - 4)$ અથવા $mx - y - 4m = 0$ થાય.
આ રેખા વર્તુળ $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ ને સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(6, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
કેન્દ્ર $(6, 0)$ થી રેખા $mx - y - 4m = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|m(6) - 0 - 4m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}$
$\frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4m^2}{m^2 + 1} = 2$
$4m^2 = 2m^2 + 2$
$2m^2 = 2$
$m^2 = 1$
$m = \pm 1$.

(D) આપેલ વક્રો $C_1 : y^2 = 2x$ અને $C_2 : x^2 + y^2 - 3x + 2 = 0$ છે.
$C_2$ ના સમીકરણમાં $y^2 = 2x$ મૂકતા:
$x^2 + 2x - 3x + 2 = 0$
$x^2 - x + 2 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$ છે.
$D < 0$ હોવાથી,$x$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત સમીકરણનું સમાધાન કરતી નથી.
તેથી,વક્રો $C_1$ અને $C_2$ એકબીજાને છેદતા કે સ્પર્શતા નથી.

(B) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ના સાપેક્ષમાં $P(x_1, y_1)$ બિંદુની પાવર $PA \cdot PB = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 9 = 0$ અને બિંદુ $P(4, 7)$ માટે:
$PA \cdot PB = (4)^2 + (7)^2 - 9$
$PA \cdot PB = 16 + 49 - 9$
$PA \cdot PB = 65 - 9 = 56$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 10y + p = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 34 - p$ મળે.
કેન્દ્ર $(3, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{34 - p}$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું કે છેદતું ન હોય તે માટે,ત્રિજ્યા કેન્દ્રના $y$-યામ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ: $r < 5 \implies \sqrt{34 - p} < 5 \implies 34 - p < 25 \implies p > 9$.
વર્તુળ $y$-અક્ષને સ્પર્શતું કે છેદતું ન હોય તે માટે,ત્રિજ્યા કેન્દ્રના $x$-યામ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ: $r < 3 \implies \sqrt{34 - p} < 3 \implies 34 - p < 9 \implies p > 25$.
જો બિંદુ $(1, 4)$ વર્તુળની અંદર હોય,તો કેન્દ્ર $(3, 5)$ થી તેનું અંતર ત્રિજ્યા કરતા ઓછું હોવું જોઈએ: $\sqrt{(3 - 1)^2 + (5 - 4)^2} < r \implies \sqrt{2^2 + 1^2} < \sqrt{34 - p} \implies \sqrt{5} < \sqrt{34 - p} \implies 5 < 34 - p \implies p < 29$.
બધી શરતોને જોડતા,$p > 25$ અને $p < 29$,તેથી $p \in (25, 29)$.

(C) વર્તુળોના કેન્દ્રો $C_1(1, 1)$ અને $C_2(9, 1)$ છે.
તેમની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 1$ અને $r_2 = 2$ છે.
રેખા $3x + 4y - \lambda = 0$ ની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર વર્તુળો હોવા માટે,કેન્દ્રો પર અભિવ્યક્તિ $f(x, y) = 3x + 4y - \lambda$ ના મૂલ્યો વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતા હોવા જોઈએ અને રેખા વર્તુળોને છેદવી જોઈએ નહીં.
$(7 - \lambda)(31 - \lambda) < 0 \implies \lambda \in (7, 31)$.
કેન્દ્રથી રેખાનું અંતર ત્રિજ્યા કરતા વધારે અથવા સમાન હોવું જોઈએ:
$\frac{|7 - \lambda|}{5} \ge 1 \implies \lambda \le 2$ અથવા $\lambda \ge 12$.
$\frac{|31 - \lambda|}{5} \ge 2 \implies \lambda \le 21$ અથવા $\lambda \ge 41$.
આ શરતોનો છેદ લેતા,$\lambda \in [12, 21]$ મળે છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4x$ ના બિંદુ $(1, 2)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $2y = 4\left(\frac{x + 1}{2}\right)$ છે,જે $y = x + 1$ થાય છે.
બિંદુ $(1, 2)$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ $-1$ છે અને તે $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - 2 = -1(x - 1)$ એટલે કે $y = -x + 3$ છે.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(h, k)$ છે. વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = |k|$. કેન્દ્ર અભિલંબ પર હોવાથી $k = -h + 3$,એટલે કે $h = 3 - k$. તેથી કેન્દ્ર $C(3 - r, r)$ છે.
કેન્દ્ર $C(3 - r, r)$ થી બિંદુ $P(1, 2)$ સુધીનું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય:
$PC^2 = r^2$
$(3 - r - 1)^2 + (r - 2)^2 = r^2$
$2(r - 2)^2 = r^2$
$r^2 - 8r + 8 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$r = 4 \pm 2\sqrt{2}$.
નાના વર્તુળ માટે,$r = 4 - 2\sqrt{2}$ લેતા.
ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi (4 - 2\sqrt{2})^2 = 8\pi (3 - 2\sqrt{2})$.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે. અહીં $4a = 4\sqrt{2}$ હોવાથી $a = \sqrt{2}$ મળે. તેથી સ્પર્શક $y = mx + \frac{\sqrt{2}}{m}$ છે.
આ રેખાને $mx - y + \frac{\sqrt{2}}{m} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ ને પણ સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 1$ જેટલું થાય.
અંતરના સૂત્ર મુજબ: $\left| \frac{\frac{\sqrt{2}}{m}}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \right| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2}{m^2(m^2 + 1)} = 1 \Rightarrow m^4 + m^2 - 2 = 0$.
$t = m^2$ લેતા,$t^2 + t - 2 = 0 \Rightarrow (t + 2)(t - 1) = 0$. $m^2 > 0$ હોવાથી $m^2 = 1$,એટલે કે $m = \pm 1$.
$m = 1$ મૂકતા: $y = x + \sqrt{2} \Rightarrow x - y + \sqrt{2} = 0$. $ax + y = c$ સાથે સરખાવતા $a = -1$ અને $c = -\sqrt{2}$ મળે,તેથી $|c| = \sqrt{2}$.
$m = -1$ મૂકતા: $y = -x - \sqrt{2} \Rightarrow x + y = -\sqrt{2}$. $ax + y = c$ સાથે સરખાવતા $a = 1$ અને $c = -\sqrt{2}$ મળે,તેથી $|c| = \sqrt{2}$.

(N/A) આપેલ વક્રો $C_1: y^{2}=4x$ અને $C_2: x^{2}+y^{2}-6x+1=0$ છે.
પ્રથમ,આપણે ચકાસીએ કે બિંદુ $(1,2)$ બંને વક્રો પર આવેલું છે કે નહીં:
$C_1$ માટે: $(2)^{2} = 4(1) \implies 4 = 4$ (સત્ય).
$C_2$ માટે: $(1)^{2} + (2)^{2} - 6(1) + 1 = 1 + 4 - 6 + 1 = 0$ (સત્ય).
હવે,આપણે બંને સમીકરણોનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $(1,2)$ આગળ સ્પર્શકોના ઢાળ શોધીએ.
$C_1$ માટે: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$.
$(1,2)$ આગળ,$m_1 = \frac{2}{2} = 1$.
$C_2$ માટે: $2x + 2y \frac{dy}{dx} - 6 = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6-2x}{2y} = \frac{3-x}{y}$.
$(1,2)$ આગળ,$m_2 = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
બિંદુ $(1,2)$ આગળ બંને વક્રોના સ્પર્શકોના ઢાળ સમાન હોવાથી $(m_1 = m_2 = 1)$,વક્રો આપેલ બિંદુએ એકબીજાને સ્પર્શે છે.

(C) પરવલય $y^{2}=4x$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{1}{m}$ છે.
પરવલય $x^{2}=4y$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx-m^{2}$ છે.
સામાન્ય સ્પર્શક માટે,અંતઃખંડોને સરખાવતા: $\frac{1}{m}=-m^{2}$,જેનો અર્થ છે $m^{3}=-1$,તેથી $m=-1$.
$m=-1$ ને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y=-x-1$ અથવા $x+y+1=0$ મળે છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=c^{2}$ ને સ્પર્શે છે. કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $x+y+1=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $c$ જેટલું હોવું જોઈએ.
સૂત્ર $d=\frac{|ax_{0}+by_{0}+k|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$c=\frac{|0+0+1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y=x^{2}$ છે.
બિંદુ $(2,4)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,4)} = 2x|_{x=2} = 4$ છે.
$(2,4)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y-4) = 4(x-2)$ એટલે કે $4x-y-4=0$ છે.
પરવલયને $(2,4)$ પર સ્પર્શતા વર્તુળોનું કુળ $(x-2)^{2} + (y-4)^{2} + \lambda(4x-y-4) = 0$ દ્વારા મળે છે.
વર્તુળ $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0$ અને $y=1$ મૂકતા:
$(0-2)^{2} + (1-4)^{2} + \lambda(4(0)-1-4) = 0$
$4 + 9 - 5\lambda = 0$ $\Rightarrow 13 = 5\lambda$ $\Rightarrow \lambda = \frac{13}{5}$.
$\lambda = \frac{13}{5}$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{2} + y^{2} + \frac{32}{5}x - \frac{53}{5}y + \frac{48}{5} = 0$.
વર્તુળ $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
અહીં,$g = \frac{16}{5}$ અને $f = -\frac{53}{10}$ છે.
તેથી,કેન્દ્ર $(-\frac{16}{5}, \frac{53}{10})$ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $4x^{2}+4y^{2}+120x+675=0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^{2}+y^{2}+30x+\frac{675}{4}=0$ થાય.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x+15)^{2}+y^{2} = 225 - \frac{675}{4} = \frac{225}{4}$.
તેથી,કેન્દ્ર $(-15, 0)$ અને ત્રિજ્યા $R = \frac{15}{2}$ છે.
બિંદુ $(-30, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = m(x+30)$ અથવા $mx - y + 30m = 0$ છે.
આ રેખા પરવલય $y^{2}=30x$ ને સ્પર્શે છે. $y=mx+c$ એ $y^{2}=4ax$ ને સ્પર્શવાની શરત $c = \frac{a}{m}$ છે.
અહીં $4a=30 \Rightarrow a = \frac{15}{2}$. રેખા $y = mx + 30m$ છે,તેથી $c = 30m$.
આમ,$30m = \frac{15/2}{m}$ $\Rightarrow 60m^{2} = 15$ $\Rightarrow m^{2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{1}{2}$.
$m = \frac{1}{2}$ લેતા,રેખા $x - 2y + 30 = 0$ મળે.
કેન્દ્ર $(-15, 0)$ થી રેખા $x - 2y + 30 = 0$ નું લંબ અંતર $P$:
$P = \frac{|-15 - 2(0) + 30|}{\sqrt{1^{2} + (-2)^{2}}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}$.
જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{R^{2}-P^{2}} = 2\sqrt{(\frac{15}{2})^{2} - (3\sqrt{5})^{2}} = 2\sqrt{\frac{225}{4} - 45} = 2\sqrt{\frac{45}{4}} = 3\sqrt{5}$.

(C) રેખા $3x + 4y - \alpha = 0$ બે વર્તુળોની વચ્ચે ત્યારે જ હોય જો કેન્દ્રો $(1, 1)$ અને $(9, 1)$ રેખાની વિરુદ્ધ બાજુએ હોય.
કેન્દ્રોને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $f(1, 1) = 7 - \alpha$ અને $f(9, 1) = 31 - \alpha$.
વિરુદ્ધ બાજુઓ માટે,$(7 - \alpha)(31 - \alpha) < 0$,જે $\alpha \in (7, 31)$ આપે છે.
વળી,રેખા કોઈ પણ વર્તુળને છેદતી નથી,તેથી કેન્દ્રથી રેખાનું અંતર ત્રિજ્યા કરતા વધારે અથવા સમાન હોવું જોઈએ.
વર્તુળ $1$ માટે: $\frac{|7 - \alpha|}{5} \geq 1 \Rightarrow \alpha \leq 2$ અથવા $\alpha \geq 12$.
વર્તુળ $2$ માટે: $\frac{|31 - \alpha|}{5} \geq 2 \Rightarrow \alpha \leq 21$ અથવા $\alpha \geq 41$.
શરતોને જોડતા: $\alpha \in [12, 21]$.
$\alpha$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21$ છે.
સરવાળો $= 165$.

(B) વક્રો $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$ અને $x^{2}+y^{2}=3$ નું પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ $P(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ છે.
ઉપવલય માટે સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{1} = -\frac{x}{9y} = -\frac{3/2}{9(\sqrt{3}/2)} = -\frac{1}{3\sqrt{3}}$.
વર્તુળ માટે સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{2} = -\frac{x}{y} = -\frac{3/2}{\sqrt{3}/2} = -\sqrt{3}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = |\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}| = |\frac{-1/(3\sqrt{3}) + \sqrt{3}}{1 + 1/3}| = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=-64x$ છે. $y^{2}=-4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=16$ મળે. નાભિ $(-16, 0)$ છે.
$y=mx+c$ એ નાભિ જીવા હોવાથી,તે $(-16, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = m(-16) + c$,જે $c=16m$ આપે છે.
રેખા $y=mx+c$ એ વર્તુળ $(x+10)^{2}+y^{2}=4$ ને સ્પર્શે છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-10, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r=2$ છે.
કેન્દ્ર $(-10, 0)$ થી રેખા $mx-y+c=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r=2$ જેટલું છે.
$\frac{|m(-10)-0+c|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}} = 2$
$|c-10m| = 2\sqrt{m^{2}+1}$.
$c=16m$ મૂકતા,$|16m-10m| = 2\sqrt{m^{2}+1}$,તેથી $|6m| = 2\sqrt{m^{2}+1}$.
$m>0$ હોવાથી,$3m = \sqrt{m^{2}+1}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$9m^{2} = m^{2}+1$,તેથી $8m^{2}=1$,જે $m=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ આપે છે.
ત્યારબાદ $c = 16m = 16 \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}}$.
અંતે,$4\sqrt{2}(m+c) = 4\sqrt{2}(\frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{8}{\sqrt{2}}) = 4\sqrt{2}(\frac{1+16}{2\sqrt{2}}) = 2(17) = 34$.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^{2} + y^{2} + 2x + 4y - 4 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C$ $(-1, -2)$ છે અને ત્રિજ્યા $R = 3$ છે.
બિંદુ $P(-4, 1)$ અને કેન્દ્ર $C$ વચ્ચેનું અંતર $CP = 3 \sqrt{2}$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $O$ (જે વર્તુળ $C$ પર છે) અને બિંદુ $P$ વચ્ચેનું અંતર છે.
ન્યૂનતમ ત્રિજ્યા $r_{2} = CP - R = 3 \sqrt{2} - 3$ અને મહત્તમ ત્રિજ્યા $r_{1} = CP + R = 3 \sqrt{2} + 3$ છે.
$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{3 \sqrt{2} + 3}{3 \sqrt{2} - 3} = 3 + 2 \sqrt{2}$.
તેથી $a = 3$ અને $b = 2$ મળે છે.
માટે $a + b = 3 + 2 = 5$.