વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$ ની જીવાઓ જે તેના પરિઘ પર $\frac{\pi}{3}$ રેડિયનનો ખૂણો આંતરે છે,તેના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો:

પરવલય $y^2 = 4x + 16$ નું નાભિ એ $5$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર છે. જો $\lambda$ ના મૂલ્યો,જેના માટે $C$ એ રેખાઓ $3x - y = 0$ અને $x + \lambda y = 4$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તે $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ $(\lambda_1 < \lambda_2)$ હોય,તો $12\lambda_1 + 29\lambda_2$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

જો પરવલય $y^2 = 16x$ ની નાભિમાંથી વર્તુળ $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ પર સ્પર્શક દોરવામાં આવે,તો આ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો.

ધારો કે $O(0,0)$ ઉગમબિંદુ છે અને રેખા $L = x + y - \lambda = 0$ એ વક્ર $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 2 = 0$ ને $A$ અને $B$ માં મળે છે. જો $\angle AOB = 90^{\circ}$ હોય,તો આવી રેખાઓ $L = 0$ વચ્ચેનું અંતર કેટલું થાય?

ઉગમબિંદુમાંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 20(x + y) + 20 = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ મેળવો.

એક ચલ રેખા $ax + by + c = 0$,જ્યાં $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તે વર્તુળ $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = \gamma$ ને લંબ છે,જે વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 4y - 1 = 0$ ને લંબકોણીય છે. $\alpha + \beta + \gamma$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?