Mix Examples-Circle and System of Circles Questions in Gujarati

(D) ગણ $A$ એ વર્તુળ $S_1: x^2 + y^2 - x - y - \frac{1}{2} = 0$ દર્શાવે છે. તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}} = 1$ છે.
ગણ $B$ એ વર્તુળ $S_2: x^2 + y^2 - 4y + \frac{7}{4} = 0$ દર્શાવે છે. તેનું કેન્દ્ર $C_2 = (0, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{4 - \frac{7}{4}} = \frac{3}{2}$ છે.
ગણ $C$ એ ડિસ્ક $S_3: (x-2)^2 + (y-1)^2 \leq r^2$ દર્શાવે છે. તેનું કેન્દ્ર $C_3 = (2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $R = |r|$ છે.
$A \subseteq C$ માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_3 + r_1 \leq R$ હોવું જોઈએ.
$C_1 C_3 = \sqrt{(2 - \frac{1}{2})^2 + (1 - \frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
તેથી,$R \geq \frac{\sqrt{10}}{2} + 1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$.
$B \subseteq C$ માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_2 C_3 + r_2 \leq R$ હોવું જોઈએ.
$C_2 C_3 = \sqrt{(2 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{5}$.
તેથી,$R \geq \sqrt{5} + \frac{3}{2} = \frac{3 + 2\sqrt{5}}{2}$.
$A \cup B \subseteq C$ હોવાથી,$R$ એ બંને શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ. તેથી,$R \geq \max(\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, \frac{3 + 2\sqrt{5}}{2})$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{3 + 2\sqrt{5}}{2}$ છે.

(A) વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ એ $(0,6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $6B+C=-36$ (સમીકરણ $1$).
પરવલય $y=x^{2}$ માટે $(2,4)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $4x-y-4=0$ છે (સમીકરણ $2$).
વર્તુળ માટે $(2,4)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $(4+A)x+(8+B)y+(2A+4B+2C)=0$ છે (સમીકરણ $3$).
બંને સ્પર્શકો સમાન હોવાથી,સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+4B=-36$ (સમીકરણ $4$) અને $3A+4B+2C=-4$ (સમીકરણ $5$).
સમીકરણ $5$ માંથી સમીકરણ $4$ બાદ કરતા:
$2A+2C=32$,તેથી $A+C=16$.

(D) $S_{n}$ એ $C_{1}(3, -2)$ કેન્દ્ર અને $r_{1} = \frac{n}{4}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$T_{n}$ એ $C_{2}(2, -3)$ કેન્દ્ર અને $r_{2} = \frac{1}{n}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_{1}C_{2} = \sqrt{2}$ છે.
બે વર્તુળો છેદતા નથી જો $d > r_{1} + r_{2}$ અથવા $d < |r_{1} - r_{2}|$ હોય.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{2} > \frac{n}{4} + \frac{1}{n}$ ઉકેલતા $n \in \{1, 2, 3, 4\}$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $\sqrt{2} < |\frac{n}{4} - \frac{1}{n}|$ માટે $n \ge 7$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $4$ છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = \frac{64}{15}(y - \frac{3}{5})$ છે.
બિંદુ $P\left(\frac{8}{5}, \frac{6}{5}\right)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $3x - 4y = 0$ મળે છે.
પરવલયને $P$ આગળ સ્પર્શતા વર્તુળોનું કુળ $(x - \frac{8}{5})^2 + (y - \frac{6}{5})^2 + \lambda(3x - 4y) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + y^2 + x(3\lambda - \frac{16}{5}) + y(-4\lambda - \frac{12}{5}) + 4 = 0$ મળે છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,$f^2 = c$ શરતનું પાલન થાય છે,જ્યાં $f = -2\lambda - \frac{6}{5}$ અને $c = 4$.
તેથી,$(-2\lambda - \frac{6}{5})^2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $|-2\lambda - \frac{6}{5}| = 2$.
કિસ્સો $1$: $\lambda = -\frac{8}{5}$ માટે ત્રિજ્યા $r_1 = 4$,તેથી વ્યાસ $d_1 = 8$.
કિસ્સો $2$: $\lambda = \frac{2}{5}$ માટે ત્રિજ્યા $r_2 = 1$,તેથી વ્યાસ $d_2 = 2$.
વ્યાસનો સરવાળો $d_1 + d_2 = 8 + 2 = 10$ થાય છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,તેથી $4a = 8 \implies a = 2$. પરવલય પરનું બિંદુ $P(2t^2, 4t)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(5, 7)$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + 2t^2$ છે. તે $(5, 7)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $7t = 5 + 2t^2 \implies 2t^2 - 7t + 5 = 0$.
$t$ ના મૂલ્યો $t = 1$ અને $t = 5/2$ મળે છે.
$t = 1$ માટે $P = (2, 4)$ અને $t = 5/2$ માટે $P = (25/2, 10)$ મળે છે.
$a$ ના મૂલ્યો $2$ અને $25/2$ છે,તેથી $A = 2 \times (25/2) = 25$.
$b$ ના મૂલ્યો $4$ અને $10$ છે,તેથી $B = 4 \times 10 = 40$.
આમ,$A + B = 25 + 40 = 65$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4x$ છે. આ પરવલયની નિયામિકા $x=-1$ છે.
બિંદુ $B(1,2)$ આગળ પરવલયના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y y_1 = 2a(x+x_1)$ છે,જ્યાં $a=1$. $(1,2)$ મૂકતા,આપણને $2y = 2(x+1)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y=x+1$ થાય છે.
સ્પર્શક $y=x+1$ એ નિયામિકા $x=-1$ ને બિંદુ $A$ માં છેદે છે. સ્પર્શકના સમીકરણમાં $x=-1$ મૂકતા,આપણને $y=-1+1=0$ મળે છે. તેથી,$A$ એ $(-1,0)$ છે.
ધારો કે વર્તુળ નિયામિકાને બિંદુ $C(-1, k)$ આગળ સ્પર્શે છે. $AB$ અને $AC$ એ વર્તુળના સ્પર્શકો હોવાથી,તેમની લંબાઈ સમાન હોય,એટલે કે $AB=AC$.
લંબાઈ $AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
લંબાઈ $AC = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (k-0)^2} = \sqrt{0^2 + k^2} = |k|$.
બંને લંબાઈ સરખાવતા,$|k| = 2\sqrt{2}$. આકૃતિમાં બિંદુ $C$ એ $x$-અક્ષની ઉપર હોવાથી,$k = 2\sqrt{2}$ મળે છે.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$ ના કોઈપણ બિંદુ $P(6 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $3x \sec \theta - 2y \operatorname{cosec} \theta = 20$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2,0)$ છે અને તે ઉપવલયમાં અંતર્ગત હોવાથી,સંપર્ક બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ વર્તુળના કેન્દ્ર $(2,0)$ માંથી પસાર થવો જોઈએ.
અભિલંબના સમીકરણમાં $(2,0)$ મૂકતા: $3(2) \sec \theta - 2(0) \operatorname{cosec} \theta = 20 \implies 6 \sec \theta = 20 \implies \cos \theta = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
તેથી $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{100} = \frac{91}{100}$,એટલે કે $\sin \theta = \frac{\sqrt{91}}{10}$.
સંપર્ક બિંદુ $P = (6 \cdot \frac{3}{10}, 4 \cdot \frac{\sqrt{91}}{10}) = (1.8, 0.4\sqrt{91})$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ $(2,0)$ અને $P$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r^2 = (1.8 - 2)^2 + (0.4\sqrt{91} - 0)^2 = (-0.2)^2 + 0.16(91) = 0.04 + 14.56 = 14.6$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + y^2 = 14.6$ છે.
જો $(1, \alpha)$ વર્તુળ પર હોય: $(1-2)^2 + \alpha^2 = 14.6 \implies 1 + \alpha^2 = 14.6 \implies \alpha^2 = 13.6$.
તેથી,$10 \alpha^2 = 10(13.6) = 136$.

(D) પરવલય $y^2 = 16x$ $(a=4)$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{4}{m}$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 8$ (ત્રિજ્યા $r = 2\sqrt{2}$) નો પણ સ્પર્શક છે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $mx - y + \frac{4}{m} = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય:
$\frac{|4/m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2\sqrt{2} \implies \frac{16}{m^2(m^2+1)} = 8 \implies m^2(m^2+1) = 2$.
$m^2 = t$ લેતા,$t^2 + t - 2 = 0 \implies (t+2)(t-1) = 0$. $t > 0$ હોવાથી,$t = 1$,તેથી $m = \pm 1$.
$m = 1$ લેતા,સ્પર્શક $y = x + 4$ મળે છે.
પરવલય $y^2 = 16x$ પર સ્પર્શબિંદુ $R$ એ $(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m}) = (4, 8)$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 8$ પર સ્પર્શબિંદુ $Q$ એ ઉગમબિંદુથી રેખા $x - y + 4 = 0$ પરના લંબનો લંબપાદ છે,જે $(-2, 2)$ છે.
તેથી $(QR)^2 = (4 - (-2))^2 + (8 - 2)^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - \frac{1+a}{2}x - \frac{1-a}{2}y = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C\left(\frac{1+a}{4}, \frac{1-a}{4}\right) = (h, k)$ છે.
બિંદુ $P = (2h, 2k)$ છે.
જીવાનું મધ્યબિંદુ $M(t, -t)$ રેખા $x+y=0$ પર છે.
$CM$ એ જીવાને લંબ હોવાથી,$CM$ નો ઢાળ $1$ થાય.
ગણતરી કરતા $a^2 > 8$ મળે છે.

(D) વર્તુળ $(x-4)^2+y^2=16$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સામાન્ય સમીકરણ $y=m(x-4) \pm 4\sqrt{1+m^2}$ છે.
પરવલય $y^2=4x$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સામાન્ય સમીકરણ $y=mx+\frac{1}{m}$ છે.
સામાન્ય સ્પર્શક માટે,અચળ પદો સમાન હોવા જોઈએ: $\frac{1}{m} = -4m \pm 4\sqrt{1+m^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\frac{1}{m} + 4m)^2 = 16(1+m^2) \implies \frac{1}{m^2} + 16m^2 + 8 = 16 + 16m^2$.
આથી $\frac{1}{m^2} = 8$,એટલે કે $m^2 = \frac{1}{8}$,જેનો અર્થ છે $m = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
પરવલય $y^2=4x$ પર સ્પર્શબિંદુ $P$ એ $(\frac{1}{m^2}, \frac{2}{m}) = (8, \pm 4\sqrt{2})$ છે.
પરવલય પરના સ્પર્શબિંદુ $P$ અને વર્તુળ પરના સ્પર્શબિંદુ $Q$ વચ્ચેના સ્પર્શક ખંડ $PQ$ ની લંબાઈ એ $P$ થી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ જેટલી થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ અને વર્તુળ $(x-4)^2+y^2-16=0$ માટે,સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{(x_1-4)^2 + y_1^2 - 16}$ છે.
$P(8, 4\sqrt{2})$ મૂકતા: $PQ = \sqrt{(8-4)^2 + (4\sqrt{2})^2 - 16} = \sqrt{16 + 32 - 16} = \sqrt{32}$.
તેથી,$(PQ)^2 = 32$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{4} = 1$ છે. બિંદુ $(3 \sqrt{3}, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x(3 \sqrt{3})}{36} + \frac{y(1)}{4} = 1$ એટલે કે $\frac{x \sqrt{3}}{12} + \frac{y}{4} = 1$ છે.
$y$-અક્ષ માટે $x=0$ લેતા,$y=4$ મળે. તેથી $A=(0, 4)$.
અભિલંબનું સમીકરણ $y-1 = \sqrt{3}(x-3 \sqrt{3})$ એટલે કે $y = x \sqrt{3} - 8$ છે.
$y$-અક્ષ માટે $x=0$ લેતા,$y=-8$ મળે. તેથી $B=(0, -8)$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, -2)$ અને ત્રિજ્યા $6$ છે. સમીકરણ $x^2 + (y+2)^2 = 36$ છે.
$x = 2 \sqrt{5}$ મુકતા,$y^2 + 4y - 12 = 0$ મળે,જેના ઉકેલ $y=2$ અને $y=-6$ છે.
સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $(\alpha, \beta)$ માટે,$\alpha = \frac{18}{\sqrt{5}}$ અને $\beta = -2$ મળે.
તેથી $\alpha^2 - \beta^2 = \frac{324}{5} - 4 = \frac{304}{5}$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4x$ છે,તેથી $a=1$. પરવલયના બિંદુ $(at^2, 2at)$ પરના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-8)^2 = 4$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C(2, 8)$ અને ત્રિજ્યા $r=2$ છે.
લઘુત્તમ અંતર માટે અભિલંબ કેન્દ્રમાંથી પસાર થવો જોઈએ. $8 = -2t + 2t + t^3$ $\Rightarrow t^3 = 8$ $\Rightarrow t=2$.
બિંદુ $P(4, 4)$ મળે છે. અંતર $PC = \sqrt{(4-2)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{20}$.
તેથી $d^2 = 20$.

(B) આપેલ સમીકરણો: $x^2 + y^2 = 3$ અને $x^2 = 2y$.
$x^2 = 2y$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $2y + y^2 = 3 \Rightarrow y^2 + 2y - 3 = 0$.
$(y + 3)(y - 1) = 0 \Rightarrow y = 1$ (કારણ કે $P$ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $y > 0$).
$y = 1$ માટે,$x^2 = 2(1) = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2}$. આમ,$P = (\sqrt{2}, 1)$.
$P$ એ રેખા $L: \sqrt{2}x + y = \alpha$ પર હોવાથી,$\sqrt{2}(\sqrt{2}) + 1 = \alpha \Rightarrow \alpha = 3$.
રેખા $L$ એ $\sqrt{2}x + y - 3 = 0$ છે. કેન્દ્રો $Q_1, Q_2$ એ $y$-અક્ષ પર છે,તેથી ધારો કે $Q = (0, k)$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 2\sqrt{3}$ છે. બિંદુ $(0, k)$ થી રેખા $\sqrt{2}x + y - 3 = 0$ નું અંતર $r$ છે:
$\frac{|\sqrt{2}(0) + k - 3|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2}} = 2\sqrt{3}$ $\Rightarrow \frac{|k - 3|}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ $\Rightarrow |k - 3| = 6$.
$k - 3 = 6 \Rightarrow k = 9$ અથવા $k - 3 = -6 \Rightarrow k = -3$.
તેથી,$Q_1 = (0, 9)$ અને $Q_2 = (0, -3)$.
શિરોબિંદુઓ $(\sqrt{2}, 1), (0, 9), (0, -3)$ ધરાવતા $\triangle PQ_1Q_2$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\sqrt{2}(9 - (-3)) + 0 + 0| = \frac{1}{2} |\sqrt{2}(12)| = 6\sqrt{2}$.
ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $(6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72$ થાય.

(A) આપેલ રેખા $2x - y = 10$ છે,જેને $y = 2x - 10$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m = 2$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{2}$ થશે.
પરવલય $y^2 = 4a(x - h)$ માટે,$m$ ઢાળ ધરાવતો સ્પર્શક બિંદુ $(h + \frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m})$ પર સ્પર્શે છે.
અહીં,$4a = 4 \implies a = 1$,$h = 9$,અને $m = -\frac{1}{2}$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $P$ એ $(9 + \frac{1}{(-1/2)^2}, \frac{2(1)}{-1/2}) = (9 + 4, -4) = (13, -4)$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 14x - 8y + 56 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C$ એ $(-\frac{-14}{2}, -\frac{-8}{2}) = (7, 4)$ છે.
અંતર $CP = \sqrt{(13 - 7)^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી અને પરવલય $y=6-x^2$ ને તેના શિરોબિંદુ $(0, 6)$ પર સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(0, 6-r)$ પર હોવું જોઈએ.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + (y-(6-r))^2 = r^2$ છે.
વર્તુળ રેખાઓ $y = \sqrt{3}x$ અને $y = -\sqrt{3}x$ ને પણ સ્પર્શે છે,જેને $\sqrt{3}x - y = 0$ અને $\sqrt{3}x + y = 0$ તરીકે લખી શકાય.
કેન્દ્ર $(0, 6-r)$ થી રેખા $\sqrt{3}x - y = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{|\sqrt{3}(0) - (6-r)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = r$
$\frac{|r-6|}{2} = r$
$|r-6| = 2r$
અહીં $r < 6$ હોવાથી,$6-r = 2r$,જે $3r = 6$ આપે છે,એટલે કે $r = 2$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + (y-4)^2 = 4$ છે.
આપેલા બિંદુઓ તપાસતા:
$(2, 4)$ માટે,$2^2 + (4-4)^2 = 4 + 0 = 4$. આમ,$(2, 4)$ બિંદુ વર્તુળ પર આવેલું છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(-4, 5)$ નું રેખા $x + 2y - 2 = 0$ માં પ્રતિબિંબ $P'(x', y')$ છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ માં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના પ્રતિબિંબ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = -2 \left( \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x' + 4}{1} = \frac{y' - 5}{2} = -2 \left( \frac{-4 + 2(5) - 2}{1^2 + 2^2} \right)$
$\frac{x' + 4}{1} = \frac{y' - 5}{2} = -\frac{8}{5}$
તેથી,$x' = -\frac{28}{5}$ અને $y' = \frac{9}{5}$.
$P'$ એ વર્તુળ $(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ પર હોવાથી,$x' = -\frac{28}{5}$ અને $y' = \frac{9}{5}$ મૂકતા:
$(-\frac{28}{5} + 4)^2 + (\frac{9}{5} - 3)^2 = r^2$
$\frac{64}{25} + \frac{36}{25} = r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2$.

(B) આપેલ સમીકરણ $(a x^2+b y^2+c)(x^2-5 x y+6 y^2)=0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a x^2+b y^2+c=0$ અથવા $x^2-5 x y+6 y^2=0$.
બીજો ભાગ $x^2-5 x y+6 y^2=0$ ને $(x-2 y)(x-3 y)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે સીધી રેખાઓ દર્શાવે છે.
પ્રથમ ભાગ $a x^2+b y^2+c=0$ માટે,જો $a=b$ હોય અને $c$ નું ચિહ્ન $a$ થી વિરુદ્ધ હોય,તો $x^2+y^2 = -c/a$ થાય,જે એક વર્તુળ દર્શાવે છે.
આમ,જ્યારે $a=b$ હોય અને $c$ નું ચિહ્ન $a$ થી વિરુદ્ધ હોય ત્યારે આ સમીકરણ બે સીધી રેખાઓ અને એક વર્તુળ દર્શાવે છે.

(B) છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2 = 4x$ ને વર્તુળના સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + 1 = 0$ માં મૂકો.
આનાથી $x^2 + 4x - 6x + 1 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 2x + 1 = 0$ થાય છે.
આ $(x - 1)^2 = 0$ છે,તેથી $x = 1$.
$x = 1$ ને $y^2 = 4x$ માં મૂકતા,આપણને $y^2 = 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 2$ અથવા $y = -2$.
આમ,વક્રો $(1, 2)$ અને $(1, -2)$ બિંદુઓએ છેદે છે.
તેઓ સ્પર્શે છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે આ બિંદુઓ પર સ્પર્શકોના ઢાળની સરખામણી કરીએ.
પરવલય $y^2 = 4x$ માટે,વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. $(1, 2)$ પર,ઢાળ $m_1 = 1$. $(1, -2)$ પર,ઢાળ $m_1 = -1$.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x + 1 = 0$ માટે,વિકલન કરતા $2x + 2y \frac{dy}{dx} - 6 = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3 - x}{y}$. $(1, 2)$ પર,ઢાળ $m_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$. $(1, -2)$ પર,ઢાળ $m_2 = \frac{3 - 1}{-2} = -1$.
બંને બિંદુઓ પર ઢાળ સમાન હોવાથી,વક્રો એકબીજાને બરાબર બે બિંદુઓએ સ્પર્શે છે.

(A, B, C) વર્તુળ $x^2+y^2=3$ અને પરવલય $x^2=2y$ છે. $x^2=2y$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા $2y+y^2=3$ મળે,તેથી $y^2+2y-3=0$,જેના અવયવો $(y+3)(y-1)=0$ થાય. $P$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી $y=1$ અને $x^2=2(1)=2$,તેથી $x=\sqrt{2}$. આમ,$P \equiv (\sqrt{2}, 1)$.
$(\sqrt{2}, 1)$ આગળ $x^2+y^2=3$ નો સ્પર્શક $\sqrt{2}x + y = 3$ છે. આ રેખા $L$ છે. $L$ નો ઢાળ $m = -\sqrt{2}$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ રેખા $L$ દ્વારા ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે,તેથી $\tan \theta = -\sqrt{2}$. રેખા $L$ અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ માટે $\tan \alpha = |\cot \theta| = \frac{1}{|\tan \theta|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ધારો કે $T$ એ $L$ અને $y$-અક્ષનું છેદબિંદુ છે. $\sqrt{2}x+y=3$ માં $x=0$ મૂકતા $T \equiv (0, 3)$ મળે.
ત્રિજ્યા $r=2\sqrt{3}$ વાળા વર્તુળો $C_2, C_3$ માટે જે $L$ ને $R_2, R_3$ પર સ્પર્શે છે અને કેન્દ્રો $Q_2, Q_3$ $y$-અક્ષ પર છે,અંતર $Q_3T = \frac{r}{\sin \alpha}$. $\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$. તેથી $Q_3T = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 6$. $Q_2, Q_3$ એ $T$ ની સાપેક્ષે $y$-અક્ષ પર સંમિત હોવાથી,$Q_2Q_3 = 2 \times 6 = 12$. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
$R_3T = \frac{r}{\tan \alpha} = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$. તેથી $R_2R_3 = 2 \times 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$O(0,0)$ થી $L$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|3|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. $\triangle OR_2R_3$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (4\sqrt{6}) \times \sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
$\triangle PQ_2Q_3$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (Q_2Q_3) \times |x_P| = \frac{1}{2} \times 12 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. (વિકલ્પ $D$ ખોટો છે).

(B) વર્તુળ $x^2+y^2-4x-16y+64=0$ નું કેન્દ્ર $S(2, 8)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
પરવલય $y^2=4x$ પરનું બિંદુ $P = (t^2, 2t)$ છે.
$P$ એ $S$ ની સૌથી નજીક હોવાથી,$SP$ એ $P$ આગળ પરવલયનો અભિલંબ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $-t$ છે.
$SP$ નો ઢાળ $\frac{2t-8}{t^2-2}$ છે.
$\frac{2t-8}{t^2-2} = -t$ લેતા,$t=2$ મળે છે.
તેથી,$P = (4, 4)$.
$(A)$ $SP = \sqrt{(4-2)^2+(4-8)^2} = 2\sqrt{5}$. આ સાચું છે.
$(C)$ $P(4, 4)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -2x+12$ છે. $x$-અંતઃખંડ $6$ છે. આ સાચું છે.
$(D)$ $SQ$ એ વર્તુળનો અભિલંબ છે,તેથી સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{1}{2}$ છે. આ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $A, C, D$ છે.

(A) $1.$ અતિવલય $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ નો સ્પર્શક $y=mx+\sqrt{9m^2-4}$ છે,જ્યાં $m>0$.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2-8x=0$ ને પણ સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(4, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r=4$ છે.
કેન્દ્ર $(4, 0)$ થી રેખા $mx-y+\sqrt{9m^2-4}=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $4$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|4m-0+\sqrt{9m^2-4}|}{\sqrt{m^2+1}}=4 \Rightarrow |4m+\sqrt{9m^2-4}|=4\sqrt{m^2+1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $16m^2 + 9m^2 - 4 + 8m\sqrt{9m^2-4} = 16(m^2+1) = 16m^2+16$.
$8m\sqrt{9m^2-4} = 20-9m^2$.
ફરીથી વર્ગ કરતા: $64m^2(9m^2-4) = (20-9m^2)^2 \Rightarrow 576m^4 - 256m^2 = 400 - 360m^2 + 81m^4$.
$495m^4 + 104m^2 - 400 = 0$. $m^2$ માટે ઉકેલતા,$m^2 = 4/5$,તેથી $m = 2/\sqrt{5}$.
$m$ ની કિંમત મૂકતા,સ્પર્શક $y = \frac{2}{\sqrt{5}}x + \sqrt{9(\frac{4}{5})-4} = \frac{2}{\sqrt{5}}x + \frac{4}{\sqrt{5}}$ મળે છે.
આમ,$2x-\sqrt{5}y+4=0$,જે વિકલ્પ $(B)$ છે.
$2.$ અતિવલય પરનું બિંદુ $(3\sec\theta, 2\tan\theta)$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(3\sec\theta)^2 + (2\tan\theta)^2 - 8(3\sec\theta) = 0$.
$9\sec^2\theta + 4(\sec^2\theta-1) - 24\sec\theta = 0 \Rightarrow 13\sec^2\theta - 24\sec\theta - 4 = 0$.
$(13\sec\theta+2)(\sec\theta-2) = 0$. $\sec\theta=2$ હોવાથી,$\tan^2\theta = 2^2-1=3$,તેથી $\tan\theta = \pm\sqrt{3}$.
બિંદુઓ $A(6, 2\sqrt{3})$ અને $B(6, -2\sqrt{3})$ છે.
$AB$ વ્યાસવાળા વર્તુળનું કેન્દ્ર $(6, 0)$ અને ત્રિજ્યા $2\sqrt{3}$ છે.
સમીકરણ: $(x-6)^2 + y^2 = (2\sqrt{3})^2 \Rightarrow x^2-12x+36+y^2=12 \Rightarrow x^2+y^2-12x+24=0$,જે વિકલ્પ $(A)$ છે.

(A,D) $(1)$ વર્તુળ $x^2+y^2=4$ છે. બિંદુ $P_0(1,1)$ વર્તુળની અંદર છે.
$x$-અક્ષને સમાંતર જીવા $E_1E_2$ માટે,$y=1$. વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+1=4 \implies x^2=3 \implies x=\pm\sqrt{3}$. તેથી $E_1(-\sqrt{3}, 1)$ અને $E_2(\sqrt{3}, 1)$.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શક $xx_1+yy_1=4$ છે. $E_1, E_2$ આગળના સ્પર્શકો $-x\sqrt{3}+y=4$ અને $x\sqrt{3}+y=4$ છે. ઉકેલતા $E_3(0, 4)$ મળે છે.
$y$-અક્ષને સમાંતર જીવા $F_1F_2$ માટે,$x=1$. વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $1+y^2=4 \implies y^2=3 \implies y=\pm\sqrt{3}$. તેથી $F_1(1, \sqrt{3})$ અને $F_2(1, -\sqrt{3})$.
$F_1, F_2$ આગળના સ્પર્શકો $x+y\sqrt{3}=4$ અને $x-y\sqrt{3}=4$ છે. ઉકેલતા $F_3(4, 0)$ મળે છે.
$P_0(1,1)$ માંથી પસાર થતી અને $-1$ ઢાળ ધરાવતી જીવા $G_1G_2$ માટે,રેખા $y-1=-1(x-1) \implies x+y=2$ છે. $x^2+y^2=4$ સાથે છેદબિંદુ: $x^2+(2-x)^2=4 \implies 2x^2-4x=0 \implies x=0, 2$. તેથી $G_1(0, 2)$ અને $G_2(2, 0)$.
$G_1(0, 2)$ આગળ સ્પર્શક $y=2$ છે. $G_2(2, 0)$ આગળ સ્પર્શક $x=2$ છે. છેદબિંદુ $G_3(2, 2)$ છે.
બિંદુઓ $E_3(0, 4), F_3(4, 0), G_3(2, 2)$ બધા $x+y=4$ નું સમાધાન કરે છે. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
$(2)$ ધારો કે $P(2\cos\theta, 2\sin\theta)$. સ્પર્શક $x\cos\theta+y\sin\theta=2$ છે. અંતઃખંડો $M(2/\cos\theta, 0)$ અને $N(0, 2/\sin\theta)$ છે.
મધ્યબિંદુ $(h, k) = (1/\cos\theta, 1/\sin\theta)$.
તેથી $\cos\theta=1/h$ અને $\sin\theta=1/k$. $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ હોવાથી,$1/h^2+1/k^2=1 \implies h^2+k^2=h^2k^2$.
બિંદુપથ $x^2+y^2=x^2y^2$ છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) $1$. $C_1$ અને $C_2$ માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ છે. ત્રિજ્યાઓ $r_1=3$ અને $r_2=4$ છે. $C_1$ અને $C_2$ એ $C_3$ ની અંદર હોવાથી અને તેને $M$ અને $N$ પર સ્પર્શતા હોવાથી,$C_3$ નો વ્યાસ $2r = MN = MC_1 + C_1C_2 + C_2N = 3 + 5 + 4 = 12$ થાય,તેથી $r=6$.
$2$. $C_3$ નું કેન્દ્ર $(0,0)$ અને $(3,4)$ ને જોડતી રેખા $y = \frac{4}{3}x$ પર આવેલું છે. કેન્દ્ર આ રેખા પર $(0,0)$ થી $r_4 = 3$ અંતરે છે,જે $(h, k) = (3 \cos \theta, 3 \sin \theta) = (3 \cdot \frac{3}{5}, 3 \cdot \frac{4}{5}) = (\frac{9}{5}, \frac{12}{5})$ આપે છે. આમ,$2h+k = 2(\frac{9}{5}) + \frac{12}{5} = \frac{18+12}{5} = 6$. તેથી $(I)-(P)$ સાચું છે.
$3$. $C_1$ અને $C_2$ ની સામાન્ય જીવા $XY$ એ $3x+4y-9=0$ છે. $(0,0)$ થી $XY$ નું અંતર $p_1 = \frac{9}{5}$ છે. $XY = 2\sqrt{r_1^2-p_1^2} = 2\sqrt{9 - \frac{81}{25}} = \frac{24}{5}$.
$4$. $C_3$ માટે,કેન્દ્ર $(\frac{9}{5}, \frac{12}{5})$ થી $3x+4y-9=0$ નું અંતર $p = \frac{6}{5}$ છે. $ZW = 2\sqrt{r^2-p^2} = 2\sqrt{36 - \frac{36}{25}} = \frac{48\sqrt{6}}{5}$.
$5$. $\frac{ZW}{XY} = 2\sqrt{6}$. તેથી $(II)-(T)$ સાચું છે.
$6$. $\frac{\text{Area } MZN}{\text{Area } ZMW} = \frac{5}{4}$ સાચું છે. $\alpha = 10/3$ સાચું છે.
$7$. ખોટી જોડી: $(IV)-(S)$ ખોટું છે કારણ કે $\alpha = 10/3$. સાચી જોડી: $(I)-(P), (II)-(T), (III)-(R), (IV)-(U)$.

(D,B) ભૌમિતિક શ્રેણી $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$ માટે,સરવાળો $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2^{i-1}} = 2(1 - \frac{1}{2^n}) = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$.
$(1)$ વર્તુળ $C_n$ નું કેન્દ્ર $(S_{n-1}, 0) = (2 - \frac{1}{2^{n-2}}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$ છે.
$C_n$ એ $M$ ની અંદર છે જો ઉગમબિંદુથી વર્તુળના સૌથી દૂરના બિંદુનું અંતર $\leq r$ હોય.
સૌથી દૂરનું બિંદુ $|S_{n-1}| + a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$ અંતરે છે.
આપેલ $r = \frac{1025}{513} \approx 1.998$ માટે,$2 - \frac{1}{2^{n-1}} \leq \frac{1025}{513} \implies \frac{1}{2^{n-1}} \geq \frac{1}{513}$.
$2^9 = 512 < 513 \leq 2^{10}$ હોવાથી,$n-1 \leq 9$,તેથી $n \leq 10$. આમ $k = 10$.
વર્તુળો $C_n$ સ્પર્શક હોવાથી,કોઈ પણ બે વર્તુળો ન છેદે તેવી મહત્તમ સંખ્યા $l = 5$ છે.
$3k + 2l = 3(10) + 2(5) = 40$. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$(2)$ વર્તુળ $D_n$ નું કેન્દ્ર $(S_{n-1}, S_{n-1})$ અને ત્રિજ્યા $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$ છે.
$D_n$ એ $M$ ની અંદર છે જો $\sqrt{S_{n-1}^2 + S_{n-1}^2} + a_n \leq r \implies S_{n-1}\sqrt{2} + \frac{1}{2^{n-1}} \leq r$.
$(2 - \frac{1}{2^{n-2}})\sqrt{2} + \frac{1}{2^{n-1}} \leq (2 - \frac{1}{2^{198}})\sqrt{2}$.
આ $n-1 \leq 198$ માટે સાચું છે,તેથી $n \leq 199$. આમ વર્તુળોની સંખ્યા $199$ છે. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) $1.$ વર્તુળ $x^2+y^2=4$ માટે બિંદુ $P(\sqrt{3}, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\sqrt{3}x + y = 4$ છે.
વર્તુળોના કેન્દ્રો $C_1(0,0)$ (ત્રિજ્યા $r_1=2$) અને $C_2(3,0)$ (ત્રિજ્યા $r_2=1$) છે.
બાહ્ય સમાનતાનું કેન્દ્ર $B$ એ $C_1C_2$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે,તેથી $B(6,0)$.
સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-0 = m(x-6)$ લેતા,$mx - y - 6m = 0$.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી લંબ અંતર ત્રિજ્યા $2$ જેટલું છે,તેથી $\left|\frac{-6m}{\sqrt{m^2+1}}\right| = 2$,જે ઉકેલતા $m = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$ મળે.
આમ,સમીકરણ $x \pm 2\sqrt{2}y = 6$ મળે છે. તેથી $(D)$ સાચો વિકલ્પ છે.
$2.$ $PT$ નો ઢાળ $-\sqrt{3}$ છે,તેથી $L$ નો ઢાળ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
$L$ નું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y + k = 0$ લેતા,વર્તુળ $(x-3)^2+y^2=1$ ના કેન્દ્ર $(3,0)$ થી લંબ અંતર $1$ છે.
$\left|\frac{3+k}{2}\right| = 1$ પરથી $k = -1$ અથવા $k = -5$ મળે.
આમ,$x - \sqrt{3}y = 1$ અથવા $x - \sqrt{3}y = 5$ શક્ય છે. વિકલ્પ $(C)$ માં $x - \sqrt{3}y = -1$ આપેલ છે.

(B) પરવલય $y=x^2+px-3$ આપેલ છે.
યામ અક્ષો સાથેના છેદબિંદુઓ $P, Q$ અને $R$ છે.
$y$-અંતઃખંડ માટે $x=0$ લેતા,$y=-3$ મળે. તેથી,$R=(0,-3)$.
$x$-અંતઃખંડ માટે $y=0$ લેતા,$x^2+px-3=0$ મળે. ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,તેથી $P=(\alpha, 0)$ અને $Q=(\beta, 0)$.
$(-1,-1)$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x+1)^2+(y+1)^2=r^2$ છે.
વર્તુળ $R(0,-3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(0+1)^2+(-3+1)^2=r^2$,જે $1^2+(-2)^2=r^2$ એટલે કે $r^2=5$ આપે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x+1)^2+(y+1)^2=5$ છે.
વર્તુળના $x$-અંતઃખંડ માટે $y=0$ લેતા: $(x+1)^2+(0+1)^2=5 \implies (x+1)^2=4 \implies x+1=\pm 2$.
તેથી,$x=1$ અથવા $x=-3$. એટલે કે $P=(1,0)$ અને $Q=(-3,0)$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(1,0), (-3,0)$ અને $(0,-3)$ છે,તે $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ દ્વારા મળે.
પાયો $PQ = |1 - (-3)| = 4$.
વેધ ($x$-અક્ષથી $R$ નું અંતર) $= |-3| = 3$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$.

(A) વર્તુળ $C$ બીજા ચરણમાં છે અને બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(-2, 2)$ અને ત્રિજ્યા $R = 2$ છે.
વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$ છે.
બીજા વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. તેનું સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = r^2$ છે.
કેન્દ્રો $(-2, 2)$ અને $(2, 5)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ છે.
બે વર્તુળો બે બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ એ $|R - r| < d < R + r$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા,$|2 - r| < 5 < 2 + r$ મળે છે.
$5 < 2 + r$ પરથી,$r > 3$ મળે છે.
$|2 - r| < 5$ પરથી,$-5 < 2 - r < 5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $-3 < r < 7$.
આ બંનેને જોડતા,$3 < r < 7$ મળે છે.
આમ,અંતરાલ $(\alpha, \beta)$ એ $(3, 7)$ છે,તેથી $\alpha = 3$ અને $\beta = 7$.
$3 \beta - 2 \alpha = 3(7) - 2(3) = 21 - 6 = 15$.

(A) પરવલય $y^2 = 4x$ છે,તેથી તેની નાભિ $S(1, 0)$ છે.
ધારો કે $P(t^2, 2t)$ પરવલય પરનું બિંદુ છે. $P$ આગળનો અભિલંબ $y + tx = 2t + t^3$ છે.
અભિલંબ $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 + t(a) = 2t + t^3$,જે $a = 2 + t^2$ આપે છે.
અંતર $PR = 4$,જ્યાં $R = (a, 0) = (2+t^2, 0)$.
$PR^2 = (t^2-a)^2 + (2t)^2 = (t^2 - (2+t^2))^2 + 4t^2 = 4 + 4t^2 = 16$.
$4t^2 = 12 \Rightarrow t^2 = 3$.
તેથી $a = 2 + 3 = 5$. બિંદુ $(5, 0)$ છે.
વર્તુળ $(5, 0)$ અને નાભિ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર $x$-ધરી પર છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(5, 0)$ છે.
સમીકરણ: $(x-1)(x-5) + y^2 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = 4(x + 4)$ છે. અહીં નાભિ $(-3, 0)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x + 3)^2 + y^2 = 25$ છે.
રેખાઓ $3x - y = 0$ અને $x + \lambda y = 4$ નું છેદબિંદુ $(\frac{4}{1 + 3\lambda}, \frac{12}{1 + 3\lambda})$ છે.
આ બિંદુને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $6\lambda^2 + \lambda - 7 = 0$ મળે છે.
તેથી $\lambda_1 = -7/6$ અને $\lambda_2 = 1$ મળે છે.
$12\lambda_1 + 29\lambda_2 = 12(-7/6) + 29(1) = -14 + 29 = 15$.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $(1, -2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - (-4)} = \sqrt{1+4+4} = 3$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $O(h, k)$ છે. રેખા $2x-3y+5=0$ ની સાપેક્ષે $(1, -2)$ નું પ્રતિબિંબ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{h-1}{2} = \frac{k+2}{-3} = \frac{-2(2(1)-3(-2)+5)}{2^2+(-3)^2} = \frac{-2(2+6+5)}{13} = -2$.
આમ,$h-1 = -4 \Rightarrow h = -3$ અને $k+2 = 6 \Rightarrow k = 4$. તેથી,$O = (-3, 4)$.
વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $(x+3)^2+(y-4)^2 = 3^2 = 9$ છે.
બિંદુ $A$ એ $C$ પર એવી રીતે છે કે $OA$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર છે અને $A$ એ $O$ ની જમણી બાજુએ છે. $O=(-3, 4)$ અને $r=3$ હોવાથી,$A = (-3+3, 4) = (0, 4)$ મળે.
ચાપ $AB$ ની લંબાઈ પરિમિતિના $1/6$ ભાગ જેટલી છે,તેથી કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = \frac{1}{6} \times 2\pi = \frac{\pi}{3}$ થાય.
$B(\alpha, \beta)$ એ $C$ પર છે અને $\beta < 4$ હોવાથી,$B$ એ સમક્ષિતિજ રેખા $y=4$ ની નીચે છે. તેથી,$\beta = 4 - 3\sin(\pi/3) = 4 - 3\sqrt{3}/2$ અને $\alpha = -3 + 3\cos(\pi/3) = -3 + 1.5 = -1.5$ મળે.
તેથી $\beta - \sqrt{3}\alpha = (4 - 3\sqrt{3}/2) - \sqrt{3}(-1.5) = 4 - 1.5\sqrt{3} + 1.5\sqrt{3} = 4$.

(D) આપેલ પરવલય $y^2=8x$ છે,જ્યાં $4a=8 \Rightarrow a=2$. પરવલયના બિંદુ $(at^2, 2at)$ પરના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
ઢાળ $m$ નો ઉપયોગ કરીને,અભિલંબ $y = mx - 4m - 2m^3$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+12y+35=0$ છે,જેને $x^2+(y+6)^2=1$ તરીકે લખી શકાય. કેન્દ્ર $C(0, -6)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
વક્રો વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર એ કેન્દ્ર $C$ થી પરવલય સુધીનું અંતર ઓછા ત્રિજ્યા $r$ છે.
$C(0, -6)$ થી પરવલય પરનો અભિલંબ $-6 = m(0) - 4m - 2m^3$ નું પાલન કરે છે,તેથી $2m^3 + 4m - 6 = 0$,જે $m^3 + 2m - 3 = 0$ માં પરિણમે છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$m=1$ એ ઉકેલ છે. આમ,$(m-1)(m^2+m+3)=0$. $m^2+m+3=0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી,તેથી $m=1$.
પરવલય પરનું બિંદુ $P$ જ્યાં અભિલંબ $C$ માંથી પસાર થાય છે તે $(2, -4)$ છે.
અંતર $PC = \sqrt{(2-0)^2 + (-4 - (-6))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $PC - r = 2\sqrt{2} - 1$ છે.

(D) વર્તુળ $C: x^2 + (y-1)^2 = 2$ છે. $P(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x x_1 + (y-1)(y_1-1) = 2$ છે. તેને $x+y=3$ સાથે સરખાવતા,$P = (1, 2)$ મળે છે.
$P$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી અને $PQ = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ હોવાથી,રેખા $x+y=3$ ના પ્રચલિત સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ અને $R$ ના યામ $(\frac{5}{3}, \frac{4}{3})$ અને $(\frac{1}{3}, \frac{8}{3})$ મળે છે.
તેથી,$x_1y_1 = 2$,$x_2y_2 = \frac{20}{9}$,અને $x_3y_3 = \frac{8}{9}$.
પરિણામે,$9(x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3) = 9(2 + \frac{28}{9}) = 46$.

(A) $x$-અક્ષને $(a, 0)$ પર સ્પર્શતા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - a)^2 + (y - r)^2 = r^2$ છે.
તે $(4, 6)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$(4 - a)^2 + (6 - r)^2 = r^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$16 - 8a + a^2 + 36 - 12r + r^2 = r^2$,જેનું સાદું રૂપ $a^2 - 8a - 12r + 52 = 0$ (સમીકરણ $1$) મળે છે.
પરવલય $y^2 = 9x$ નો $(4, 6)$ આગળનો સ્પર્શક $y(6) = \frac{9}{2}(x + 4)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $12y = 9x + 36$ અથવા $3x - 4y + 12 = 0$ થાય છે.
વર્તુળ આ રેખાને $(4, 6)$ આગળ સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(a, r)$ થી રેખા $3x - 4y + 12 = 0$ નું અંતર $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|3a - 4r + 12|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = r$,જે $|3a - 4r + 12| = 5r$ આપે છે.
આનો અર્થ $3a - 4r + 12 = 5r$ અથવા $3a - 4r + 12 = -5r$ થાય.
કિસ્સો $1$: $3a - 9r + 12 = 0 \Rightarrow a = 3r - 4$. સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $(3r - 4)^2 - 8(3r - 4) - 12r + 52 = 0$.
$9r^2 - 24r + 16 - 24r + 32 - 12r + 52 = 0$ $\Rightarrow 9r^2 - 60r + 100 = 0$ $\Rightarrow (3r - 10)^2 = 0$ $\Rightarrow r = \frac{10}{3}$.
કિસ્સો $2$: $3a + r + 12 = 0 \Rightarrow a = \frac{-r - 12}{3}$. સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $(\frac{-r - 12}{3})^2 - 8(\frac{-r - 12}{3}) - 12r + 52 = 0$.
$9$ વડે ગુણતા: $(r + 12)^2 + 24(r + 12) - 108r + 468 = 0$.
$r^2 + 24r + 144 + 24r + 288 - 108r + 468 = 0$ $\Rightarrow r^2 - 60r + 900 = 0$ $\Rightarrow (r - 30)^2 = 0$ $\Rightarrow r = 30$.
$a < 0$ હોવાથી,$r = 30$ માટે,$a = \frac{-30 - 12}{3} = -14 < 0$,જે માન્ય છે. તેથી,$r = 30$.

(D) આપેલ સમીકરણ $(ax^2 + by^2 + c)(x^2 - 5xy + 6y^2) = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $ax^2 + by^2 + c = 0$ અથવા $x^2 - 5xy + 6y^2 = 0$.
બીજો ભાગ $x^2 - 5xy + 6y^2 = 0$ ને $(x - 2y)(x - 3y) = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે સીધી રેખાઓ દર્શાવે છે.
જો $a = b$ હોય અને $c$ નું ચિહ્ન $a$ થી વિરુદ્ધ હોય,તો પ્રથમ ભાગ $ax^2 + ay^2 + c = 0$ એ $x^2 + y^2 = -c/a$ બને છે,જે એક વર્તુળ દર્શાવે છે.
તેથી,આ સમીકરણ બે સીધી રેખાઓ અને એક વર્તુળ દર્શાવે છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) આપેલ પરવલય $y^{2}=8x$ છે. $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=8$,તેથી $a=2$ મળે છે.
પરવલયનો કોઈપણ સ્પર્શક $y=mx+\frac{a}{m}$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જેને $mx-y+\frac{2}{m}=0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=2$ (કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=\sqrt{2}$) નો સ્પર્શક હોય,તો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|\frac{2}{m}|}{\sqrt{m^{2}+1}}=\sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{4}{m^{2}}=2(m^{2}+1)$ $\Rightarrow 2=m^{2}(m^{2}+1)$ $\Rightarrow m^{4}+m^{2}-2=0$.
ધારો કે $t=m^{2}$,તો $t^{2}+t-2=0 \Rightarrow (t+2)(t-1)=0$. $m^{2} \geq 0$ હોવાથી,$m^{2}=1$,તેથી $m=\pm 1$.
જો $m=1$ હોય,તો સ્પર્શક $x-y+2=0 \Rightarrow y=x+2$ મળે.
જો $m=-1$ હોય,તો સ્પર્શક $-x-y-2=0 \Rightarrow x+y=-2$ મળે.
$x+y=-2$ ને આપેલ સમીકરણ $x+y=k$ સાથે સરખાવતા,$k=-2$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+2x-2y+7=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=1$,$f=-1$,અને $c=7$ મળે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$r = \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}-7} = \sqrt{1+1-7} = \sqrt{-5}$.
અહીં ત્રિજ્યા $\sqrt{-5}$ છે,જે કાલ્પનિક સંખ્યા છે,તેથી આપેલ સમીકરણ વાસ્તવિક વર્તુળ દર્શાવતું નથી.
તેથી,કોઈ પણ વાસ્તવિક વર્તુળ આ કાલ્પનિક વર્તુળને લંબચ્છેદી રીતે છેદી શકે નહીં.
આમ,આવા વાસ્તવિક વર્તુળોની સંખ્યા $0$ છે.

(A) $P$ ના યામ $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ લો. $P$ અને $Q$ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ હોવાથી,$Q$ ના યામ $(-a \cos \theta, -a \sin \theta)$ થશે.
રેખા $x+y-1=0$ છે.
$P(a \cos \theta, a \sin \theta)$ થી લંબ અંતર $s = \frac{|a(\cos \theta + \sin \theta) - 1|}{\sqrt{2}}$ છે.
$Q(-a \cos \theta, -a \sin \theta)$ થી લંબ અંતર $t = \frac{|a(\cos \theta + \sin \theta) + 1|}{\sqrt{2}}$ છે.
$u = a(\cos \theta + \sin \theta)$ લેતા,ગુણાકાર $st = \frac{|u^2-1|}{2}$ થાય.
મહત્તમ કિંમત માટે $u^2 = 2a^2$ લેતા,$s$ અને $t$ ની કિંમતો $a \mp \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે.
તેથી મોટી કિંમત $a + \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ છે ...$(i)$.
રેખા $x+y=k$ નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ $(i)$ ને સમઘાત બનાવતા:
$x^2+y^2-2x\left(\frac{x+y}{k}\right)-4y\left(\frac{x+y}{k}\right)+2\left(\frac{x+y}{k}\right)^2=0$.
$k^2$ વડે ગુણતા:
$k^2x^2+k^2y^2-2kx(x+y)-4ky(x+y)+2(x+y)^2=0$.
પદોને ગોઠવતા:
$(k^2-2k+2)x^2 + (4-6k)xy + (k^2-4k+2)y^2 = 0$.
$\angle AOB=90^{\circ}$ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(k^2-2k+2) + (k^2-4k+2) = 0$.
$2k^2-6k+4 = 0$.
$k^2-3k+2 = 0$.
$(k-2)(k-1) = 0$.
તેથી,$k=2$ અથવા $k=1$.
$k>1$ આપેલ હોવાથી,$k=2$ મળે.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4y = 0$ છે,જેને $x^2 + (y - 2)^2 = 2^2$ તરીકે લખી શકાય. તેનું કેન્દ્ર $C_1(0, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે.
ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r = R/2$ છે.
તે $x^2 + y^2 - 4y = 0$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = r_1 + r = 2 + R/2$ થાય.
આમ,$\sqrt{h^2 + (k - 2)^2} = 2 + R/2$.
વળી,વર્તુળ $(4, 5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(4 - h)^2 + (5 - k)^2 = (R/2)^2$.
આ શરતો ઉકેલતા,વ્યાસ $R$ માટે $3 \leq R \leq 7$ મળે છે.

(C) રેખાઓ $x+y=2$ અને $x-y=2$ બિંદુ $(2, 0)$ પર છેદે છે.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ આ રેખાઓને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર તેના ખૂણાના દ્વિભાજક પર હશે,એટલે કે $y=0$.
$x^2+y^2=1$ ને સ્પર્શવાની શરત મુજબ,કેન્દ્ર $(\sqrt{2}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{2}-1$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $(x-\sqrt{2})^2+y^2=(\sqrt{2}-1)^2$ છે.

(D) બિંદુ $A(4,2)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2-2x-4y+\alpha=0$ પર આવેલું છે.
$A$ ના યામ સમીકરણમાં મૂકતા:
$16+4-8-8+\alpha=0 \Rightarrow \alpha=-4$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y-4=0$ થાય.
બિંદુ $P(5,3)$ ની વર્તુળ સાપેક્ષ પાવર $PA \cdot PB$ દ્વારા મળે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માટે બિંદુ $(x_0, y_0)$ ની પાવર $x_0^2+y_0^2+2gx_0+2fy_0+c$ છે.
$P(5,3)$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$PA \cdot PB = 5^2+3^2-2(5)-4(3)-4 = 25+9-10-12-4 = 8$.

(D) ધારો કે આપેલા વર્તુળો $S_1 \equiv x^2+y^2-13=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+x-2y-14=0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ની અંદર હોય તે માટે,$S(x_1, y_1) < 0$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ વર્તુળ માટે $S_1(2, \lambda) < 0$:
$2^2 + \lambda^2 - 13 < 0$
$4 + \lambda^2 - 13 < 0$
$\lambda^2 - 9 < 0$
$(\lambda - 3)(\lambda + 3) < 0$
$-3 < \lambda < 3$ ...$(i)$
બીજા વર્તુળ માટે $S_2(2, \lambda) < 0$:
$2^2 + \lambda^2 + 2 - 2\lambda - 14 < 0$
$4 + \lambda^2 + 2 - 2\lambda - 14 < 0$
$\lambda^2 - 2\lambda - 8 < 0$
$(\lambda - 4)(\lambda + 2) < 0$
$-2 < \lambda < 4$ ...(ii)
$(i)$ અને (ii) નો છેદગણ લેતા,આપણને મળે છે:
$\lambda \in (-2, 3)$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
બિંદુઓ $(x_i, \frac{1}{x_i})$ વર્તુળ પર હોવાથી,$x_i^2 + (\frac{1}{x_i})^2 + 2gx_i + 2f(\frac{1}{x_i}) + c = 0$.
$x_i^2$ વડે ગુણતા,આપણને ચતુર્થઘાત સમીકરણ મળે છે:
$x_i^4 + 2gx_i^3 + cx_i^2 + 2fx_i + 1 = 0$.
આ સમીકરણના બીજ $x_1, x_2, x_3, x_4$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,ચતુર્થઘાત સમીકરણ $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ ના બીજનો ગુણાકાર $\frac{e}{a}$ થાય છે.
અહીં,$a = 1$ અને $e = 1$ છે.
તેથી,$x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{1}{1} = 1$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x-10y+p=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-3)^2+(y-5)^2 = 34-p$ મળે.
વર્તુળના અસ્તિત્વ માટે,ત્રિજ્યાનો વર્ગ ધન હોવો જોઈએ: $34-p > 0 \Rightarrow p < 34$ ... $(i)$.
વર્તુળ યામ અક્ષોને સ્પર્શતું કે છેદતું ન હોવાથી,કેન્દ્ર $(3,5)$ થી અક્ષોનું અંતર ત્રિજ્યા $r = \sqrt{34-p}$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
$x$-અક્ષ માટે,અંતર $|y_c| = 5$ છે. તેથી,$r < 5$ $\Rightarrow \sqrt{34-p} < 5$ $\Rightarrow 34-p < 25$ $\Rightarrow p > 9$ ... $(ii)$.
$y$-અક્ષ માટે,અંતર $|x_c| = 3$ છે. તેથી,$r < 3$ $\Rightarrow \sqrt{34-p} < 3$ $\Rightarrow 34-p < 9$ $\Rightarrow p > 25$ ... $(iii)$.
બિંદુ $(1,4)$ વર્તુળની અંદર હોવાથી,તેને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા કિંમત ઋણ મળવી જોઈએ: $1^2+4^2-6(1)-10(4)+p < 0$ $\Rightarrow 1+16-6-40+p < 0$ $\Rightarrow p-29 < 0$ $\Rightarrow p < 29$ ... $(iv)$.
અસમતાઓ $(i), (ii), (iii),$ અને $(iv)$ ને જોડતા,આપણને $25 < p < 29$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2-2x-4y+3=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $B(-1, 1)$ ની પાવર:
$p = (-1)^2 + (1)^2 - 2(-1) - 4(1) + 3 = 1 + 1 + 2 - 4 + 3 = 3$.
સ્પર્શકની લંબાઈ $t = \sqrt{p}$ હોવાથી,$t = \sqrt{3}$,તેથી $t^2 = 3$.
વર્તુળ $S^{\prime}$ નું કેન્દ્ર $(p, t^2) = (3, 3)$ છે અને તે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = (3-0)^2 + (3-0)^2 = 9 + 9 = 18$.
તેથી,વર્તુળ $S^{\prime}$ નું સમીકરણ $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 18$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ માટે પાવરની ગણતરી કરતા:
$(2-3)^2 + (3-3)^2 - 18 = 1 - 18 = -17$.
પાવર ઋણ $(-17 < 0)$ હોવાથી,બિંદુ $(2, 3)$ વર્તુળ $S^{\prime} = 0$ ની અંદર આવેલું છે.

(A) રેખા એ વર્તુળ $x^2+y^2-4y-6=0$ ને અભિલંબ છે,તેથી તે તેના કેન્દ્ર $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે રેખાનો ઢાળ $m$ છે. રેખાનું સમીકરણ $y-2=m(x-0)$ એટલે કે $mx-y+2=0$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2-2x-3=0$ ને સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
કેન્દ્ર $(1, 0)$ થી રેખા $mx-y+2=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $2$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|m(1)-0+2|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}} = 2$
$|m+2| = 2\sqrt{m^2+1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(m+2)^2 = 4(m^2+1)$
$m^2+4m+4 = 4m^2+4$
$3m^2-4m = 0$
$m(3m-4) = 0$
તેથી,$m=0$ અથવા $m=\frac{4}{3}$.
જો $m=0$ હોય,તો રેખા $y=2$ મળે.
જો $m=\frac{4}{3}$ હોય,તો રેખા $4x-3y+6=0$ મળે.

(A) બે રેખાઓ $L_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $L_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોવાની શરત $r^2(a_1a_2 + b_1b_2) = (g a_1 + f b_1 - c_1)(g a_2 + f b_2 - c_2)$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x + 3y - 1 = 0$ માટે,$g = -2$,$f = 3/2$,અને $c = -1$ છે.
ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = g^2 + f^2 - c = (-2)^2 + (3/2)^2 - (-1) = 4 + 9/4 + 1 = 29/4$ છે.
રેખા $L_1: 2x + y + 12 = 0$ માટે,$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = 12$.
રેખા $L_2: kx - 3y - 10 = 0$ માટે,$a_2 = k, b_2 = -3, c_2 = -10$.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$\frac{29}{4}(2k - 3) = (-2(2) + \frac{3}{2}(1) - 12)(-2(k) + \frac{3}{2}(-3) - (-10))$
$\frac{29}{4}(2k - 3) = (-14.5)(-2k + 5.5)$
$\frac{1}{2}(2k - 3) = -(-2k + 5.5)$
$k - 1.5 = 2k - 5.5$
$k = 4$.

(B) રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $r^2(a_1a_2 + b_1b_2) = (a_1g + b_1f - c_1)(a_2g + b_2f - c_2)$ થાય.
આપેલ વર્તુળ: $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$,તેથી $g = -1, f = -1, c = 1$.
ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = g^2 + f^2 - c = (-1)^2 + (-1)^2 - 1 = 1$.
રેખાઓ $kx + 2y - 4 = 0$ અને $5x - 2y - 4 = 0$ માટે,$a_1 = k, b_1 = 2, c_1 = -4$ અને $a_2 = 5, b_2 = -2, c_2 = -4$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$1(k \times 5 + 2 \times (-2)) = (k(-1) + 2(-1) - (-4))(5(-1) + (-2)(-1) - (-4))$
$5k - 4 = (-k - 2 + 4)(-5 + 2 + 4)$
$5k - 4 = (-k + 2)(1)$
$5k - 4 = -k + 2$
$6k = 6$
$k = 1$.