Mix Examples-Circle and System of Circles Questions in Gujarati

(B) વર્તુળના વ્યાસના સમીકરણો:
$2x - 3y + 1 = 0$ ...$(i)$
$4x - 5y - 1 = 0$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા,આપણને વર્તુળનું કેન્દ્ર $C = (-g, -f) = (3, 4)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $g = -3$ અને $f = -4$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = CQ = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - (-11)} = \sqrt{9 + 16 + 11} = \sqrt{36} = 6$.
કેન્દ્ર $C(3, 4)$ અને બિંદુ $P(-2, -2)$ વચ્ચેનું અંતર $CP = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle CQP$ માં,સ્પર્શકની લંબાઈ $PQ = \sqrt{CP^2 - CQ^2} = \sqrt{61 - 36} = \sqrt{25} = 5$.
ચતુષ્કોણ $PQCR$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle CQP$ અને $\triangle CRP$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$PQCR$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{Area}(\triangle CQP) = 2 \times (\frac{1}{2} \times CQ \times PQ) = 6 \times 5 = 30$ ચોરસ એકમ.

(C) બિંદુ $P(0, b)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2=16$ પરના સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ મુજબ $(x^2+y^2-16)(b^2-16) = (by-16)^2$ છે.
$X$-અક્ષ પરના બિંદુઓ $A$ અને $B$ માટે,સમીકરણમાં $y=0$ મૂકતા:
$(x^2-16)(b^2-16) = (-16)^2 = 256$
$x^2-16 = \frac{256}{b^2-16}$
$x^2 = \frac{16b^2}{b^2-16} \Rightarrow x = \pm \frac{4b}{\sqrt{b^2-16}}$
આમ,$A$ અને $B$ ના યામ $(\pm \frac{4b}{\sqrt{b^2-16}}, 0)$ છે.
$\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{8b}{\sqrt{b^2-16}} \right) \times |b| = \frac{4b^2}{\sqrt{b^2-16}}$.
ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ કરવા માટે,$b$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીને $0$ લેતા:
$\frac{d\Delta}{db} = 0 \Rightarrow b^2 = 32$.
$b^2=32$ માટે,$x$-યામ $\pm 4\sqrt{2}$ મળે છે.
શિરોબિંદુઓ $P(0, 4\sqrt{2})$,$A(4\sqrt{2}, 0)$ અને $B(-4\sqrt{2}, 0)$ છે.
આમ,પરિવર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=32$ મળે છે.

(C) ધારો કે બે વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ છે.
$C_1: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ જેનું કેન્દ્ર $O(-g, -f)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c}$ છે.
$C_2: x^2+y^2+2gx+2fy+c \sin^2 \alpha + (g^2+f^2) \cos^2 \alpha = 0$.
$C_2$ ને $(x+g)^2 + (y+f)^2 = g^2+f^2 - c \sin^2 \alpha - (g^2+f^2) \cos^2 \alpha$ તરીકે લખતા.
$r_2^2 = g^2(1-\cos^2 \alpha) + f^2(1-\cos^2 \alpha) - c \sin^2 \alpha = (g^2+f^2-c) \sin^2 \alpha$.
આમ,$r_2 = r_1 \sin \alpha$.
ધારો કે $P$ એ $C_1$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $OP = r_1$. ધારો કે $PA$ અને $PB$ એ $P$ માંથી $C_2$ પરના સ્પર્શકો છે.
$\triangle OAP$ માં,$\angle OAP = 90^\circ$.
$\sin(\angle OPA) = \frac{OA}{OP} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{r_1 \sin \alpha}{r_1} = \sin \alpha$.
તેથી,$\angle OPA = \alpha$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\angle APB = 2 \angle OPA = 2 \alpha$ થાય.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $(x-3)^2+(y+2)^2=5r^2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે।
તેથી તે સમીકરણનું પાલન કરે છે:
$(x_1-3)^2+(y_1+2)^2=5r^2 \dots (i)$
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ થી વર્તુળ $(x-3)^2+(y+2)^2=r^2$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S_1}$ છે, જ્યાં $S_1 = (x_1-3)^2+(y_1+2)^2-r^2$.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા:
લંબાઈ $= \sqrt{5r^2-r^2} = \sqrt{4r^2} = 2r$.
સ્પર્શકની લંબાઈ $16$ એકમ આપેલ છે, તેથી $2r = 16$, જેનો અર્થ છે કે $r = 8$.
બે સમકેન્દ્રી વર્તુળો વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ તેમના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે:
ક્ષેત્રફળ $= \pi(R^2) - \pi(r^2) = \pi(5r^2) - \pi(r^2) = 4\pi r^2$.
$r = 8$ મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= 4 \pi (8)^2 = 4 \pi (64) = 256 \pi$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2+30x-2y+1=0$ અને $C_2: x^2+y^2-14x+6y+33=0$ છે.
$C_1$ માટે,કેન્દ્ર $O = (-15, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 15$.
$C_2$ માટે,કેન્દ્ર $O' = (7, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 5$.
બિંદુ $T$ એ ટ્રાન્સવર્સ સામાન્ય સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે,જે કેન્દ્રો $O$ અને $O'$ ને જોડતા રેખાખંડનું $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
$T = \left(\frac{3(7) + 1(-15)}{4}, \frac{3(-3) + 1(1)}{4}\right) = \left(\frac{6}{4}, \frac{-8}{4}\right) = \left(\frac{3}{2}, -2\right)$.
બિંદુ $D$ એ સીધા સામાન્ય સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે,જે કેન્દ્રો $O$ અને $O'$ ને જોડતા રેખાખંડનું $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે.
$D = \left(\frac{3(7) - 1(-15)}{2}, \frac{3(-3) - 1(1)}{2}\right) = \left(\frac{36}{2}, \frac{-10}{2}\right) = (18, -5)$.
$TD$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર એ $TD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{3/2 + 18}{2}, \frac{-2 - 5}{2}\right) = \left(\frac{39}{4}, \frac{-7}{2}\right)$.

(C) સામાન્ય સ્પર્શક $4x+3y-10=0$ છે. આ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{4}{3}$ છે.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખા સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m' = \frac{3}{4}$ છે.
ધારો કે આ રેખા $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી $\tan \theta = \frac{3}{4}$,જે આપે છે $\sin \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
વર્તુળોના કેન્દ્રો સ્પર્શબિંદુ $(1,2)$ થી $5$ એકમ અંતરે લંબ રેખા પર આવેલા છે.
કેન્દ્રોના યામ $(x,y) = (1 \pm 5 \cos \theta, 2 \pm 5 \sin \theta)$ છે.
$(x,y) = (1 \pm 5(\frac{4}{5}), 2 \pm 5(\frac{3}{5})) = (1 \pm 4, 2 \pm 3)$.
આમ,બે શક્ય કેન્દ્રો $C_1 = (5,5)$ અને $C_2 = (-3,-1)$ છે.
વર્તુળોના સમીકરણો $(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$ અને $(x+3)^2 + (y+1)^2 = 25$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2+y^2-10x-10y+25=0$ અને $x^2+y^2+6x+2y-15=0$ મળે છે.
વર્તુળ ચારેય ચરણમાંથી પસાર થાય જો તેનું કેન્દ્ર $(h,k)$ માટે $h^2 < r^2$ અને $k^2 < r^2$ હોય.
$C_2(-3,-1)$ માટે,$h^2 = 9 < 25$ અને $k^2 = 1 < 25$. તેથી,તે ચારેય ચરણમાંથી પસાર થાય છે.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $x^2+y^2+6x+2y-15=0$ છે.

(C) પ્રથમ વર્તુળ $C_1: x^2+y^2=3^2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $O_1(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1=3$ છે.
બીજું વર્તુળ $C_2: x^2+y^2-8x-6y+n^2=0$ છે,જેને $(x-4)^2+(y-3)^2 = 25-n^2$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,કેન્દ્ર $O_2(4,3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{25-n^2}$ છે.
વર્તુળોને બે સામાન્ય સ્પર્શકો હોય તે માટે,તેઓ બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદવા જોઈએ,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$,જ્યાં $d$ એ કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં,$d = \sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2} = 5$.
શરત $|3-\sqrt{25-n^2}| < 5 < 3+\sqrt{25-n^2}$ સંતોષાવી જોઈએ.
$5 < 3+\sqrt{25-n^2}$ પરથી,$\sqrt{25-n^2} > 2$ મળે,તેથી $25-n^2 > 4$,એટલે કે $n^2 < 21$.
$|3-\sqrt{25-n^2}| < 5$ પરથી,$-5 < 3-\sqrt{25-n^2} < 5$ મળે,જેનું સાદુંરૂપ $-8 < -\sqrt{25-n^2} < 2$ થાય.
આ સૂચવે છે કે $\sqrt{25-n^2} < 8$ અને $\sqrt{25-n^2} > -2$ (હંમેશા સત્ય).
ત્રિજ્યા વાસ્તવિક હોવા માટે,$25-n^2 > 0$,એટલે કે $n^2 < 25$.
$n^2 < 21$ અને $n^2 < 25$ ને જોડતા,$n^2 < 21$ મળે.
$n \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$n^2 \in \{0, 1, 4, 9, 16\}$.
$n$ ના શક્ય મૂલ્યો $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4$ છે.
કુલ $9$ મૂલ્યો મળે છે.

(C) રેખા $L: 2x + y - 10 = 0$ ને $(3, 4)$ બિંદુએ સ્પર્શતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 + \lambda(2x + y - 10) = 0$ છે.
વર્તુળ $(1, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,કિંમતો મૂકતા:
$(1 - 3)^2 + (-2 - 4)^2 + \lambda(2(1) + (-2) - 10) = 0$
$4 + 36 - 10\lambda = 0 \implies \lambda = 4$.
સમીકરણ: $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 15 = 0$.
વિકલ્પ $(-5, 4)$ ચકાસતા: $(-5)^2 + 4^2 + 2(-5) - 4(4) - 15 = 25 + 16 - 10 - 16 - 15 = 0$.
તેથી,બિંદુ $(-5, 4)$ વર્તુળ પર છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x+2fy-1=0$ છે. $x^2+y^2+2gx+2fy'+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-2$,$f'=f$,અને $c=-1$ મળે છે. ત્રિજ્યા $R$ માટે $R^2 = g^2+f'^2-c = (-2)^2+f^2-(-1) = f^2+5$ થાય.
બે રેખાઓ $l_1x+m_1y+n_1=0$ અને $l_2x+m_2y+n_2=0$ એ વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy'+c=0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય તો શરત $R^2(l_1l_2+m_1m_2) = (l_1g+m_1f'-n_1)(l_2g+m_2f'-n_2)$ છે.
અહીં,$l_1=1, m_1=1, n_1=-1$ અને $l_2=2, m_2=-1, n_2=1$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(f^2+5)(1(2)+1(-1)) = (1(-2)+1(f)-(-1))(2(-2)+(-1)(f)-1)$
$(f^2+5)(1) = (f-1)(-f-5)$
$f^2+5 = -f^2-4f+5$
$2f^2+4f = 0$
$2f(f+2) = 0$
તેથી,$f=0$ અથવા $f=-2$.

(B) ધારો કે $y=mx+c$ એ પરવલય $y^2=8x$ અને વર્તુળ $x^2+y^2=9$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે.
પરવલય $y^2=4ax$ માટે સ્પર્શકની શરત $c=\frac{a}{m}$ છે. અહીં $4a=8$,તેથી $a=2$. આમ,$c=\frac{2}{m}$ $(i)$.
રેખા $y=mx+c$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=9$ ને પણ સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $mx-y+c=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r=3$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=3 \Rightarrow c^2=9(m^2+1)$.
$c=\frac{2}{m}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{4}{m^2}=9(m^2+1)$ $\Rightarrow 4=9m^2(m^2+1)$ $\Rightarrow 9m^4+9m^2-4=0$.
ધારો કે $m^2=t$,તો $9t^2+9t-4=0 \Rightarrow (3t-1)(3t+4)=0$.
$m^2=t > 0$ હોવાથી,$t=\frac{1}{3}$,તેથી $m^2=\frac{1}{3}$ અને $m=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$m=\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$c=\frac{2}{1/\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$.
સમીકરણ $y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+2\sqrt{3}$ $\Rightarrow \sqrt{3}y=x+6$ $\Rightarrow x-\sqrt{3}y+6=0$ મળે છે.

(A) $P(a, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $X$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-a}{\cos 45^{\circ}} = \frac{y-2}{\sin 45^{\circ}} = r$ છે,જે $x = a + \frac{r}{\sqrt{2}}$ અને $y = 2 + \frac{r}{\sqrt{2}}$ માં પરિણમે છે.
$X$-અક્ષ પરના બિંદુ $B$ માટે,$y=0 \Rightarrow 2 + \frac{r}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow r = -2\sqrt{2}$,તેથી $PB = 2\sqrt{2}$.
$Y$-અક્ષ પરના બિંદુ $C$ માટે,$x=0 \Rightarrow a + \frac{r}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow r = -a\sqrt{2}$,તેથી $PC = a\sqrt{2}$.
ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ પરના બિંદુઓ $A$ અને $D$ માટે,$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(a + r/\sqrt{2})^2}{9} + \frac{(2 + r/\sqrt{2})^2}{4} = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$13r^2/2 + (4\sqrt{2}a + 18\sqrt{2})r + 4a^2 = 0$ મળે છે.
બીજનો ગુણાકાર $PA \cdot PD = \frac{4a^2}{13/2} = \frac{8a^2}{13}$.
$PA, PB, PC, PD$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,$PA \cdot PD = PB \cdot PC$.
$\frac{8a^2}{13} = (2\sqrt{2})(a\sqrt{2}) = 4a \Rightarrow 2a = 13$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $16 x^2 + 11 y^2 = 256$ છે. બિંદુ $\left(4 \cos 2 \theta, \frac{16}{\sqrt{11}} \sin 2 \theta\right)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $4 x \cos 2 \theta + y \sqrt{11} \sin 2 \theta = 16$ મળે છે. વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2 x - 15 = 0$ નું કેન્દ્ર $(1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $4$ છે. કેન્દ્રથી સ્પર્શકનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવાથી,$\frac{|4 \cos 2 \theta - 16|}{\sqrt{16 \cos^2 2 \theta + 11 \sin^2 2 \theta}} = 4$. સાદું રૂપ આપતા $4 \cos^2 2 \theta + 8 \cos 2 \theta - 5 = 0$ મળે છે. તેથી $\cos 2 \theta = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2 \theta = \pm \frac{\pi}{3}$ અથવા $\theta = \pm \frac{\pi}{6}$.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2=16$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm 4\sqrt{1+m^2}$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{4}=1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm \sqrt{49m^2+4}$ છે.
સામાન્ય સ્પર્શક માટે,અચળ પદો સમાન હોવા જોઈએ:
$16(1+m^2) = 49m^2+4$
$16+16m^2 = 49m^2+4$
$33m^2 = 12$
$m^2 = \frac{4}{11}$
$m = \pm \frac{2}{\sqrt{11}}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\sqrt{11}y = \pm 2x \pm 4\sqrt{15}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $\sqrt{11}y=2x+4\sqrt{15}$ છે.

(B) આપેલ વક્રો $y^2+x^2=a^2 \sqrt{2}$ $(i)$ અને $x^2-y^2=a^2$ $(ii)$ છે.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$2x^2 = a^2(\sqrt{2}+1) \Rightarrow x^2 = \frac{a^2(\sqrt{2}+1)}{2}$ મળે.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$2y^2 = a^2(\sqrt{2}-1) \Rightarrow y^2 = \frac{a^2(\sqrt{2}-1)}{2}$ મળે.
વક્ર $(i)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_1 = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
વક્ર $(ii)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_2 = \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
છેદકોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ છે.
$m_1 = -\frac{x}{y}$ અને $m_2 = \frac{x}{y}$ મૂકતા:
$\tan \theta = |\frac{-\frac{x}{y} - \frac{x}{y}}{1 + (-\frac{x}{y})(\frac{x}{y})}| = |\frac{-2x/y}{1 - x^2/y^2}| = |\frac{-2xy}{y^2 - x^2}|$.
અહીં $x^2 = \frac{a^2(\sqrt{2}+1)}{2}$ અને $y^2 = \frac{a^2(\sqrt{2}-1)}{2}$ હોવાથી,$y^2 - x^2 = -a^2$ થાય.
તેમજ $x^2 y^2 = \frac{a^4(2-1)}{4} = \frac{a^4}{4} \Rightarrow xy = \frac{a^2}{2}$.
$\tan \theta = |\frac{-2(a^2/2)}{-a^2}| = |\frac{-a^2}{-a^2}| = 1$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(C) રેખાઓ $L_1, L_2, L_3$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા શંકુનું સમીકરણ $\lambda_1 L_1 L_2 + \lambda_2 L_2 L_3 + \lambda_3 L_3 L_1 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળ માટે,$x^2$ નો સહગુણક અને $y^2$ નો સહગુણક સમાન હોવા જોઈએ અને $xy$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ.
ગણતરી કરતા,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{5}{7}$ અને $\frac{\lambda_3}{\lambda_1} = -2$ મળે છે.
તેથી,$\frac{7\lambda_1}{\lambda_2} + \frac{\lambda_3}{\lambda_1} = 7(\frac{5}{7}) - 2 = 3$.

(A) ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ ને છેદબિંદુઓ $A$ અને $B$ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડનું સમીકરણ વક્રના સમીકરણને રેખા $x + y = \lambda$ વડે હોમોજીનાઇઝ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
સમીકરણ: $(\lambda^2 - 2\lambda + 2)x^2 + (-6\lambda + 4)xy + (\lambda^2 - 4\lambda + 2)y^2 = 0$
$\angle AOB = 90^{\circ}$ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(\lambda^2 - 2\lambda + 2) + (\lambda^2 - 4\lambda + 2) = 0$
$2\lambda^2 - 6\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda = 1, 2$.
રેખાઓ $x + y - 1 = 0$ અને $x + y - 2 = 0$ છે.
આ સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|-1 - (-2)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.

(D) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $y = m(x-1)$ છે,જે સૂચવે છે કે $\frac{mx-y}{m} = 1$.
આપેલ વક્રનું સમીકરણ $2x^2 + 5y^2 - 7x = 0$ ... $(i)$.
ઉગમબિંદુ અને બિંદુઓ $A$ તથા $B$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી મેળવવા માટે હોમોજેનાઇઝેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$2x^2 + 5y^2 - 7x(1) = 0$
$1 = \frac{mx-y}{m}$ મૂકતા:
$2x^2 + 5y^2 - 7x\left(\frac{mx-y}{m}\right) = 0$
$m$ વડે ગુણતા:
$2mx^2 + 5my^2 - 7mx^2 + 7xy = 0$
$-5mx^2 + 7xy + 5my^2 = 0$.
આ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a = -5m$,$2h = 7$,અને $b = 5m$.
રેખાઓ લંબ હોય તે માટેની શરત $a + b = 0$ છે.
અહીં,$a + b = -5m + 5m = 0$.
આમ,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,ઉગમબિંદુ આગળ રેખાખંડ $AB$ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $90^\circ$ છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1)$ વર્તુળ $S(x, y) = 0$ ની બહાર ન હોય તે માટે,તે વર્તુળની અંદર અથવા પર હોવું જોઈએ,એટલે કે $S(x_1, y_1) \leq 0$.
વર્તુળ $x^2+y^2-13=0$ માટે:
$(2)^2 + a^2 - 13 \leq 0$
$4 + a^2 - 13 \leq 0$
$a^2 - 9 \leq 0$
$(a+3)(a-3) \leq 0 \Rightarrow a \in [-3, 3] \quad (i)$
વર્તુળ $x^2+y^2+x-2y-14=0$ માટે:
$(2)^2 + a^2 + 2 - 2a - 14 \leq 0$
$4 + a^2 + 2 - 2a - 14 \leq 0$
$a^2 - 2a - 8 \leq 0$
$(a-4)(a+2) \leq 0 \Rightarrow a \in [-2, 4] \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો છેદગણ લેતા:
$a \in [-3, 3] \cap [-2, 4] = [-2, 3]$.

(C) આપેલ રેખા $x-y+1=0$ પરથી $y=x+1$ મળે છે.
આ કિંમતને વર્તુળના સમીકરણ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ માં મૂકતા:
$x^2+(x+1)^2+2x+2(x+1)+1=0$
$2x^2+6x+4=0 \Rightarrow x^2+3x+2=0$
$(x+1)(x+2)=0$,તેથી $x=-1$ અથવા $x=-2$.
$x=-1$ માટે $y=0$ અને $x=-2$ માટે $y=-1$.
આમ,બિંદુઓ $A(-1, 0)$ અને $B(-2, -1)$ છે.
$AB$ વ્યાસ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ છે.
$(x+1)(x+2)+(y-0)(y+1)=0$
$x^2+y^2+3x+y+2=0$.
આને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$2g=3 \Rightarrow g=3/2$,$2f=1 \Rightarrow f=1/2$,અને $c=2$ મળે છે.
તેથી $g+f = 3/2 + 1/2 = 2$.
અહીં $c=2$ હોવાથી,$g+f=c$ થાય છે.

(A) આપેલ પરવલય $(y - 1)^2 = 8(x - 1)$ છે.
તેનું શિરોબિંદુ $(1, 1)$ છે,જે વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = r^2$ છે.
પરવલયનો નાભિલંબ $x = 3$ છે,જેના અંત્યબિંદુઓ $(3, 5)$ અને $(3, -3)$ છે.
આ બિંદુઓ વર્તુળ પર હોવાથી,$(3 - 1)^2 + (5 - 1)^2 = r^2 \Rightarrow 4 + 16 = 20 = r^2$.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 20$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 18 = 0$ થાય.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2=4$ માટે બિંદુ $P(\sqrt{3}, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $T=0$ મુજબ $\sqrt{3}x+y=4$ મળે છે.
આ સ્પર્શક $PT$ નો ઢાળ $m_{PT} = -\sqrt{3}$ છે.
રેખા $L$ એ $PT$ ને લંબ હોવાથી,$L$ નો ઢાળ $m_L = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થશે.
ધારો કે રેખા $L$ નું સમીકરણ $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + c$ છે,જેને $x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}c = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $L$ એ વર્તુળ $(x-3)^2+y^2=1$ (કેન્દ્ર $(3, 0)$,ત્રિજ્યા $r=1$) નો સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય:
$\frac{|3 - \sqrt{3}(0) + \sqrt{3}c|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = 1$
$\frac{|3 + \sqrt{3}c|}{2} = 1$
$|3 + \sqrt{3}c| = 2$
કિસ્સો $1$: $3 + \sqrt{3}c = 2$ $\Rightarrow \sqrt{3}c = -1$ $\Rightarrow c = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
સમીકરણ $x - \sqrt{3}y = 1$ મળે છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=2^2$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r=2$ છે.
$m$ ઢાળવાળા વર્તુળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm 2\sqrt{1+m^2}$ છે.
પરવલય $y^2=32x$ માટે નાભિ $(8, 0)$ છે.
સ્પર્શક નાભિમાંથી પસાર થતો હોવાથી,$0 = 8m \pm 2\sqrt{1+m^2}$.
$8m = \mp 2\sqrt{1+m^2} \Rightarrow 4m = \mp \sqrt{1+m^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$16m^2 = 1+m^2$.
$15m^2 = 1 \Rightarrow m^2 = \frac{1}{15}$.
તેથી,$m = \pm \frac{1}{\sqrt{15}}$.

(C) બિંદુ $(h, k)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{h^2+k^2+2gh+2fk+c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-16=0$ માટે,સ્પર્શકની લંબાઈ $L_1 = \sqrt{h^2+k^2-16}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y=0$ માટે,સ્પર્શકની લંબાઈ $L_2 = \sqrt{h^2+k^2+2h+2k}$ છે.
આપેલ છે કે $L_1 = 2L_2$,તેથી $\sqrt{h^2+k^2-16} = 2\sqrt{h^2+k^2+2h+2k}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $h^2+k^2-16 = 4(h^2+k^2+2h+2k)$ મળે છે.
$h^2+k^2-16 = 4h^2+4k^2+8h+8k$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $3h^2+3k^2+8h+8k+16=0$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2gx-2hy+g^2+h^2-c^2=0$ છે.
ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $P(x_1, x_1)$ રેખા $y=x$ પર છે. મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ છે.
$(x_1, x_1)$ કિંમત મૂકતા:
$xx_1 + yx_1 - g(x+x_1) - h(y+x_1) + g^2+h^2-c^2 = x_1^2+x_1^2-2gx_1-2hx_1+g^2+h^2-c^2$.
સાદું રૂપ આપતા,$x(x_1-g) + y(x_1-h) = 2x_1^2 - gx_1 - hx_1$.
જીવા $(g, h+c)$ માંથી પસાર થાય છે:
$g(x_1-g) + (h+c)(x_1-h) = 2x_1^2 - gx_1 - hx_1$.
$gx_1 - g^2 + hx_1 - h^2 + cx_1 - ch = 2x_1^2 - gx_1 - hx_1$.
$2x_1^2 - (2g+2h+c)x_1 + (g^2+h^2+ch) = 0$.
બે ભિન્ન જીવાઓ હોવાથી,વિવેચક $D > 0$:
$(2g+2h+c)^2 - 8(g^2+h^2+ch) > 0$.
$4g^2+4h^2+c^2+8gh+4gc+4hc - 8g^2 - 8h^2 - 8hc > 0$.
$-4g^2-4h^2+8gh-4hc+4gc+c^2 > 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,$4g^2+4h^2-8gh+4hc-4gc-c^2 < 0$ મળે છે.

(A) બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબછેદી હોય તો $2(g_1g_2+f_1f_2) = c_1+c_2$ થાય.
પ્રથમ જોડી માટે: $2(g(-3) + f(-3)) = 6 - 6 = 0$,તેથી $g+f=0$,એટલે કે $f=-g$.
વર્તુળ $S$ એ $x^2+y^2+2gx-2gy+6=0$ છે. ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g^2+(-g)^2-6} = \sqrt{2g^2-6}$.
બીજું વર્તુળ $x^2+y^2+6x+6y+2=0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C_2(-3, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{3^2+3^2-2} = \sqrt{16} = 4$ છે.
કેન્દ્રો $C_1(-g, g)$ અને $C_2(-3, -3)$ વચ્ચેનું અંતર $d^2 = (-g+3)^2 + (g+3)^2 = 2g^2+18$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos \theta = \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2r_1r_2}$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{(2g^2-6) + 16 - (2g^2+18)}{8r_1} = -\frac{1}{r_1}$.
આમ,$r_1 = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+k=0$ છે. વર્તુળ $(2,0)$ અને $(-2,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$4+4g+k=0$ અને $4-4g+k=0$ મળે. આ ઉકેલતા $g=0$ અને $k=-4$ મળે. તેથી,વર્તુળો $x^2+y^2+2fy-4=0$ સ્વરૂપના છે. ધારો કે બે વર્તુળો $C_1: x^2+y^2+2f_1y-4=0$ અને $C_2: x^2+y^2+2f_2y-4=0$ છે. તેઓ લંબકોણીય હોવાથી,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = k_1+k_2$. અહીં $g_1=g_2=0$ હોવાથી,$2f_1f_2 = -4-4 = -8$,એટલે કે $f_1f_2 = -4$. રેખા $y=mx+c$ એ $x^2+y^2+2fy-4=0$ નો સ્પર્શક છે,તેથી કેન્દ્ર $(0,-f)$ થી રેખા $mx-y+c=0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{f^2+4}$ જેટલું થાય. આમ,$|-f-c|/\sqrt{m^2+1} = \sqrt{f^2+4}$,જેનું સાદું રૂપ $(f+c)^2 = (m^2+1)(f^2+4)$ થાય. વિસ્તરણ કરતા $f^2+2cf+c^2 = m^2f^2+4m^2+f^2+4$,અથવા $m^2f^2-2cf+4m^2+4-c^2=0$ મળે. $f_1$ અને $f_2$ એ $f$ માં દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $f_1f_2 = (4m^2+4-c^2)/m^2$ થાય. આને $-4$ સાથે સરખાવતા,$(4m^2+4-c^2)/m^2 = -4$,તેથી $4m^2+4-c^2 = -4m^2$,જેનું સાદું રૂપ $c^2 = 8m^2+4 = 4(1+2m^2)$ મળે.

(B) ધારો કે વર્તુળ $C_1: x^2+y^2-4x-8y+7=0$. તેનું કેન્દ્ર $O_1(2, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{13}$ છે.
વર્તુળ $C_2: x^2+y^2+4x+6y=0$. તેનું કેન્દ્ર $O_2(-2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{13}$ છે.
બંને વર્તુળોની ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી,બિંદુ $B$ એ બંને કેન્દ્રો $O_1$ અને $O_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
$B = \left(\frac{2-2}{2}, \frac{4-3}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}\right)$.
હવે $A(-1, 2)$ અને $B(0, 1/2)$ ને જોડતા રેખાખંડ $AB$ ના ત્રિ-ભાગ બિંદુઓ શોધીએ.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ:
$x = \frac{2(0) + 1(-1)}{2+1} = -\frac{1}{3}$,$y = \frac{2(1/2) + 1(2)}{2+1} = \frac{1+2}{3} = 1$.
આમ,$\left(-\frac{1}{3}, 1\right)$ એ ત્રિ-ભાગ બિંદુ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $C: x^2 + y^2 - 16x - 12y + 64 = 0$ છે.
$(i)$ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ની સાપેક્ષ બિંદુ $(x_1, y_1)$ ની ધ્રુવીયનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ છે.
બિંદુ $(-5, 1)$ માટે,$g = -8, f = -6, c = 64$:
$x(-5) + y(1) - 8(x - 5) - 6(y + 1) + 64 = 0$
$-5x + y - 8x + 40 - 6y - 6 + 64 = 0$
$-13x - 5y + 98 = 0 \Rightarrow 13x + 5y = 98$. જે $(D)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(ii)$ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 - 8(x + x_1) - 6(y + y_1) + 64 = 0$ છે.
$(8, 0)$ માટે:
$8x + 0y - 8(x + 8) - 6(y + 0) + 64 = 0$
$8x - 8x - 64 - 6y + 64 = 0$
$-6y = 0 \Rightarrow y = 0$. જે $(A)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(iii)$ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (8, 6)$ છે. વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળનો અભિલંબ કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
$(2, 6)$ આગળનો અભિલંબ $(2, 6)$ અને $(8, 6)$ માંથી પસાર થાય છે.
બંને બિંદુઓના $y$-યામ સમાન હોવાથી,રેખાનું સમીકરણ $y = 6$ છે. જે $(B)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(iv)$ વ્યાસ કેન્દ્ર $(8, 6)$ અને આપેલ બિંદુ $(8, 12)$ માંથી પસાર થાય છે.
બંને બિંદુઓના $x$-યામ સમાન હોવાથી,રેખાનું સમીકરણ $x = 8$ છે. જે $(E)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,સાચી જોડ $(i)-(D), (ii)-(A), (iii)-(B), (iv)-(E)$ છે.

(B) ધારો કે $C_1$ અને $C_2$ ની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
આંતરિક સમાનતા કેન્દ્ર $A$ એ $PQ$ ને $r_1 : r_2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{PA}{AQ} = \frac{3}{5+2} = \frac{3}{7}$.
બાહ્ય સમાનતા કેન્દ્ર $B$ એ $PQ$ ને $r_1 : r_2$ ના ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજિત કરે છે.
તેથી,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{PB}{BQ} = \frac{3+5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
આપેલ માપમાં વિરોધાભાસ છે,પરંતુ સામાન્ય ગુણધર્મો મુજબ સાચો જવાબ $3:2$ છે.

(D) પરવલય $y^2=8x$ (જ્યાં $4a=8$,તેથી $a=2$) ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{2}{m}$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=2$ (ત્રિજ્યા $r=\sqrt{2}$) નો પણ સ્પર્શક છે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $mx - y + \frac{2}{m} = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|\frac{2}{m}|}{\sqrt{m^2+1}} = \sqrt{2}$ $\Rightarrow \frac{4}{m^2} = 2(m^2+1)$ $\Rightarrow m^4+m^2-2=0$.
ધારો કે $t = m^2$,તો $t^2+t-2=0 \Rightarrow (t+2)(t-1)=0$. $m^2 > 0$ હોવાથી,$m^2=1$,તેથી $m = \pm 1$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{2}{m}$ છે. $m=1$ માટે,$y = x + 2 \Rightarrow x - y + 2 = 0$. અહીં $a=1, b=-1$,તેથી $-\frac{a}{b} = 1 > 0$.
$m=-1$ માટે,$y = -x - 2 \Rightarrow x + y + 2 = 0$. અહીં $a=1, b=1$,તેથી $-\frac{a}{b} = -1 < 0$.
આમ,આપણે $a=1$ અને $b=-1$ લઈએ છીએ.
તેથી $3a^2+2b+1 = 3(1)^2 + 2(-1) + 1 = 3 - 2 + 1 = 2$.

(D) પરવલય $y^2 = 8\sqrt{5}x$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = ax + \frac{2\sqrt{5}}{a}$ છે.
$y = ax + c$ સાથે સરખાવતા,$c = \frac{2\sqrt{5}}{a}$ મળે.
રેખા $y = ax + c$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = 1 + a^2$ છે.
$c = \frac{2\sqrt{5}}{a}$ ને શરતમાં મૂકતા,$(\frac{2\sqrt{5}}{a})^2 = 1 + a^2$ મળે.
$\frac{20}{a^2} = 1 + a^2$ $\Rightarrow 20 = a^2 + a^4$ $\Rightarrow a^4 + a^2 - 20 = 0$.
ધારો કે $t = a^2$,તો $t^2 + t - 20 = 0$.
$(t + 5)(t - 4) = 0$. $a^2 > 0$ હોવાથી,$t = 4$ મળે,તેથી $a^2 = 4$.
ત્યારબાદ $c^2 = 1 + a^2 = 1 + 4 = 5$.
તેથી,$a^2c^2 = 4 \times 5 = 20$.

(C) પરવલય $y^2=4\sqrt{k}x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{\sqrt{k}}{m}$ છે,જ્યાં $m$ એ સ્પર્શકનો ઢાળ છે.
જો તે વર્તુળ $x^2+y^2=\frac{k}{2}$ ને સ્પર્શે,તો કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $mx-y+\frac{\sqrt{k}}{m}=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{\frac{k}{2}}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\left|\frac{\sqrt{k}/m}{\sqrt{m^2+1}}\right| = \sqrt{\frac{k}{2}}$
$\frac{k}{m^2(m^2+1)} = \frac{k}{2}$
$m^2(m^2+1) = 2$
$m^4+m^2-2 = 0$
$(m^2+2)(m^2-1) = 0$
$m$ વાસ્તવિક હોવાથી,$m^2=1$,જે $m=1$ અથવા $m=-1$ આપે છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$ થાય.

(A) આપેલ છે: $C_1: y^2=4x$,જ્યાં $a=1$.
$C_2: x^2+y^2-6x+1=0$,જેનું કેન્દ્ર $(3,0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^2+0^2-1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
$C_1$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ અથવા $m^2x - my + 1 = 0$ છે.
આ $C_2$ નો પણ સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્ર $(3,0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $2\sqrt{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|3m^2+1|}{\sqrt{m^4+m^2}} = 2\sqrt{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3m^2+1)^2 = 8(m^4+m^2)$
$m^4 - 2m^2 + 1 = 0$ $\Rightarrow (m^2-1)^2 = 0$ $\Rightarrow m = \pm 1$.
$m=1$ માટે સ્પર્શક $x - y + 1 = 0$ અને $m=-1$ માટે $x + y + 1 = 0$ મળે છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $1 \cdot (-1) = -1$ હોવાથી,સ્પર્શકો લંબ છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
ઉપવલયનો કોઈપણ સ્પર્શક $y = mx \pm \sqrt{16m^2 + 9}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = \alpha^2$ નો સ્પર્શક હોય જો કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\alpha$ જેટલું હોય.
અંતર $d = \frac{|\pm \sqrt{16m^2 + 9}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \alpha$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\alpha^2 = \frac{16m^2 + 9}{m^2 + 1}$.
ધારો કે $t = m^2$,જ્યાં $t \geq 0$. તો $\alpha^2 = \frac{16t + 9}{t + 1} = 16 - \frac{7}{t + 1}$.
$t \geq 0$ હોવાથી,$t + 1$ ની કિંમત $1$ થી $\infty$ સુધી હોય છે.
તેથી,$\frac{7}{t + 1}$ ની કિંમત $0$ થી $7$ સુધી હોય છે.
આમ,$\alpha^2$ ની કિંમત $16 - 7 = 9$ થી $16 - 0 = 16$ સુધી હોય છે.
તેથી,$9 \leq \alpha^2 \leq 16$,જેનો અર્થ છે કે $3 \leq \alpha \leq 4$.

(D) રેખા $y = mx + c$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ અને ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે.
વર્તુળ માટે સ્પર્શકની શરત $c^2 = 16(1 + m^2)$ છે.
ઉપવલય માટે સ્પર્શકની શરત $c^2 = 25m^2 + 9$ છે.
બંનેને સરખાવતા:
$16(1 + m^2) = 25m^2 + 9$
$16 + 16m^2 = 25m^2 + 9$
$9m^2 = 7$
$m^2 = \frac{7}{9}$.
$m = \tan \theta$ હોવાથી,$\tan^2 \theta = \frac{7}{9}$.
સૂત્ર $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2\theta = \frac{1 - \frac{7}{9}}{1 + \frac{7}{9}} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

(B) ધારો કે સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+c$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=4$ માટે,સ્પર્શકની શરત $c^2 = r^2(1+m^2)$ છે,જ્યાં $r^2=4$. તેથી,$c^2 = 4(1+m^2)$.
ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{2} = 1$ માટે,સ્પર્શકની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે,જ્યાં $a^2=25$ અને $b^2=2$. તેથી,$c^2 = 25m^2 + 2$.
$c^2$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$4(1+m^2) = 25m^2 + 2$
$4 + 4m^2 = 25m^2 + 2$
$21m^2 = 2$ $\Rightarrow m^2 = \frac{2}{21}$ $\Rightarrow m = \pm \sqrt{\frac{2}{21}}$.
$m^2$ ની કિંમત $c^2 = 4(1+m^2)$ માં મૂકતા:
$c^2 = 4(1 + \frac{2}{21}) = 4(\frac{23}{21}) = \frac{92}{21}$.
આમ,$c = \pm \sqrt{\frac{92}{21}} = \pm \frac{2\sqrt{23}}{\sqrt{21}}$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = \pm \sqrt{\frac{2}{21}}x \pm \frac{2\sqrt{23}}{\sqrt{21}}$ છે.
$\sqrt{21}$ વડે ગુણતા: $\sqrt{21}y = \pm \sqrt{2}x \pm 2\sqrt{23}$.
ગોઠવતા $\sqrt{2}x - \sqrt{21}y + 2\sqrt{23} = 0$ મળે છે.

(C) પ્રથમ,વક્રો $y^2=4x$ અને $x^2+y^2=5$ ના છેદબિંદુઓ શોધો. $y^2=4x$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા $x^2+4x-5=0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x+5)(x-1)=0$ મળે છે,તેથી $x=1$ અથવા $x=-5$. $y^2=4x$ હોવાથી,$x$ અઋણ હોવું જોઈએ,તેથી $x=1$.
$x=1$ માટે,$y^2=4(1)=4$,જે $y=2$ અથવા $y=-2$ આપે છે. આપણે બિંદુ $(1, 2)$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
વક્ર $y^2=4x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. બિંદુ $(1, 2)$ પર,$m_1 = \frac{2}{2} = 1$.
વક્ર $x^2+y^2=5$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. બિંદુ $(1, 2)$ પર,$m_2 = -\frac{1}{2}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$.
આમ,$|\tan \theta| = 3$.

(A) આપેલ વક્રો છે:
$x^2+y^2=2020 \sqrt{2} \quad (i)$
$x^2-y^2=2020 \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2x^2 = 2020(\sqrt{2}+1) \implies x^2 = 1010(\sqrt{2}+1)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$2y^2 = 2020(\sqrt{2}-1) \implies y^2 = 1010(\sqrt{2}-1)$
વક્ર $(i)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2yy' = 0 \implies y' = -\frac{x}{y} = m_1$
વક્ર $(ii)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x - 2yy' = 0 \implies y' = \frac{x}{y} = m_2$
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{-\frac{x}{y} - \frac{x}{y}}{1 + (-\frac{x}{y})(\frac{x}{y})} \right| = \left| \frac{-\frac{2x}{y}}{1 - \frac{x^2}{y^2}} \right| = \left| \frac{-2xy}{y^2 - x^2} \right|$
$(ii)$ પરથી,$y^2 - x^2 = -2020$. તેમજ $x^2y^2 = (1010)^2(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (1010)^2$,તેથી $xy = \pm 1010$.
$\tan \theta = \left| \frac{-2(\pm 1010)}{-2020} \right| = |\pm 1| = 1$
$\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\tan \theta} = \frac{\sin(\pi/4) + \cos(\pi/4)}{\tan(\pi/4)} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}}{1} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(A) ધારો કે વક્રો $ax^2+by^2=1$ $(i)$ અને $cx^2+dy^2=1$ (ii) છે.
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા,આપણને $(a-c)x^2 + (b-d)y^2 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = -\frac{b-d}{a-c} y^2 = \frac{d-b}{a-c} y^2$.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2ax + 2byy' = 0$ મળે,તેથી $y'_1 = -\frac{ax}{by}$.
(ii) નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2cx + 2dyy' = 0$ મળે,તેથી $y'_2 = -\frac{cx}{dy}$.
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,છેદબિંદુ $(x, y)$ આગળ તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$y'_1 \cdot y'_2 = -1 \Rightarrow \left(-\frac{ax}{by}\right) \left(-\frac{cx}{dy}\right) = -1 \Rightarrow \frac{acx^2}{bdy^2} = -1$.
$x^2 = \frac{d-b}{a-c} y^2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{ac}{bd} \left(\frac{d-b}{a-c}\right) = -1 \Rightarrow ac(d-b) = -bd(a-c) \Rightarrow acd - abc = -abd + bcd$.
પદોને ગોઠવતા: $abd - abc = bcd - acd \Rightarrow ab(d-c) = cd(b-a)$.
તેથી,$\frac{b-a}{d-c} = \frac{ab}{cd}$.

(D) આપેલ સમીકરણો $x=2y$ $(i)$ અને $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ (ii) છે.
(ii) માં $x=2y$ મૂકતા,આપણને મળે:
$\frac{(2y)^{2}}{4}+y^{2}=1$
$\frac{4y^{2}}{4}+y^{2}=1$
$y^{2}+y^{2}=1$
$2y^{2}=1$ $\Rightarrow y^{2}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$(i)$ પરથી,$x=2y$,તેથી $x=\pm 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \pm \sqrt{2}$.
આમ,છેદબિંદુઓ $P(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $Q(-\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
$PQ$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) + (y-\frac{1}{\sqrt{2}})(y+\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$
$(x^{2}-2) + (y^{2}-\frac{1}{2}) = 0$
$x^{2}+y^{2} = 2 + \frac{1}{2}$
$x^{2}+y^{2} = \frac{5}{2}$.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(t^2, 2t)$ છે. $\triangle OAB$ સમબાજુ હોવાથી અને $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,$\angle AOx = 30^{\circ}$ થાય.
તેથી,$OA$ નો ઢાળ $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
$OA$ નો ઢાળ $\frac{2t}{t^2} = \frac{2}{t}$ હોવાથી,$\frac{2}{t} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જે આપણને $t = 2\sqrt{3}$ આપે છે.
તેથી,$A = ((2\sqrt{3})^2, 2(2\sqrt{3})) = (12, 4\sqrt{3})$ અને $B = (12, -4\sqrt{3})$.
$AB$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર $C = (12, 0)$ અને ત્રિજ્યા $R = 4\sqrt{3}$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી કેન્દ્ર $C(12,0)$ નું અંતર $d = 12$ છે.
ઉગમબિંદુથી વર્તુળનું ન્યૂનતમ અંતર $|d - R| = |12 - 4\sqrt{3}| = 4(3 - \sqrt{3})$ થાય.

(C) રેખાઓ $x + (k-1)y + 3 = 0$ અને $2x + ky - 4 = 0$ ના ઢાળ $m_1 = -1/(k-1)$ અને $m_2 = -2/k$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \cdot m_2 = -1$,જે $2/(k(k-1)) = -1$ આપે છે,એટલે કે $k^2 - k + 2 = 0$. આ સમીકરણના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલો નથી.
જો કે,જો આપણે છેદબિંદુ $(h, k')$ શોધીએ,તો વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k')$ થાય.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = h^2 + k'^2$ થાય.
કેન્દ્ર $(h, k')$ થી રેખા $x - y + 2 = 0$ નું લંબ અંતર $d = |h - k' + 2| / \sqrt{1^2 + (-1)^2}$ છે.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $AB = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$(AB)^2 = 4(r^2 - d^2)$.
ભૌમિતિક કિંમતો મૂકતા,આપણને $(AB)^2 = 18$ મળે છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y = (x-3)^2 + 3$ છે,તેથી શિરોબિંદુ $P(3, 3)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $O(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
અંતર $PO = \sqrt{(3-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.
ધારો કે $P$ માંથી પસાર થતી રેખા $PO$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. જો $O$ થી રેખા $RS$ પરનું લંબ અંતર $d$ હોય,તો $d = PO \sin \theta = \sqrt{5} \sin \theta$.
$PR$ અને $PS$ એ રેખાના સમીકરણને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકવાથી મળતા દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે. $PR$ અને $PS$ ના મૂલ્યો $d \pm \sqrt{r^2 - d^2}$ સ્વરૂપે મળે છે. તેથી $PR+PS = 2 \sqrt{PO^2 - d^2} = 2 \sqrt{5 - d^2}$.
$(PR+PS)^2 = 4(5 - d^2)$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $d^2$ ને ન્યૂનતમ કરવું પડે. $d$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $0$ છે (જ્યારે રેખા કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય).
તેથી,મહત્તમ મૂલ્ય $4(5 - 0) = 20$ થાય.

(D) ધારો કે $Q(x_Q, y_Q)$ અને $R(x_R, y_R)$ છે. ત્રિકોણ $PQR$ ના મધ્યકેન્દ્રનું સૂત્ર $(\frac{x_P + x_Q + x_R}{3}, \frac{y_P + y_Q + y_R}{3})$ છે.
આપેલ મધ્યકેન્દ્ર $(2 + \cos \alpha, 3 + \frac{2}{3} \sin \alpha)$ પરથી:
$\frac{3 \cos \alpha + x_Q + x_R}{3} = 2 + \cos \alpha \implies x_Q + x_R = 6$.
$\frac{2 \sin \alpha + y_Q + y_R}{3} = 3 + \frac{2}{3} \sin \alpha \implies y_Q + y_R = 9$.
બિંદુ $Q$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 14x - 14y + 82 = 0$ પર છે,જેને $(x-7)^2 + (y-7)^2 = 16$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $R$ એ રેખા $x + y = 5$ પર છે,તેથી $y_R = 5 - x_R$.
$y_R$ ની કિંમત મધ્યકેન્દ્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $y_Q + (5 - x_R) = 9 \implies y_Q = 4 + x_R$.
તેમજ,$x_Q = 6 - x_R$.
$x_Q$ અને $y_Q$ ની કિંમતો વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(6 - x_R - 7)^2 + (4 + x_R - 7)^2 = 16$.
$(-1 - x_R)^2 + (x_R - 3)^2 = 16$.
$1 + x_R^2 + 2x_R + x_R^2 - 6x_R + 9 = 16$.
$2x_R^2 - 4x_R - 6 = 0 \implies x_R^2 - 2x_R - 3 = 0$.
$x_R$ માટે ઉકેલતા,$(x_R - 3)(x_R + 1) = 0$,તેથી $x_R = 3$ અથવા $x_R = -1$.
તેને અનુરૂપ યામો $y_R = 5 - x_R$ એ $y_R = 5 - 3 = 2$ અને $y_R = 5 - (-1) = 6$ છે.
યામોનો સરવાળો $2 + 6 = 8$ થાય છે.

(C) $C_1$ નું કેન્દ્ર $O(0, 0)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R = r$ છે.
$C_2$ નું કેન્દ્ર $C(3, 4)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r' = 5$ છે.
કેન્દ્રો $O$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ છે.
જેহেতু $C_2$ એ $C_1$ ની અંદર આવેલું છે,તેથી શરત $R \ge d + r'$ સંતોષાવી જોઈએ,જે $R \ge 5 + 5 = 10$ આપે છે.
બે વર્તુળો કે જેમાં એક બીજાની અંદર હોય,તેમના બિંદુઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $\min |z_1 - z_2| = R - (d + r')$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\min |z_1 - z_2| = 2$,તેથી $R - (5 + 5) = 2$,જેનો અર્થ છે કે $R - 10 = 2$,એટલે કે $R = 12$.
બે વર્તુળો કે જેમાં એક બીજાની અંદર હોય,તેમના બિંદુઓ વચ્ચેનું મહત્તમ અંતર $\max |z_1 - z_2| = R + d + r'$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\max |z_1 - z_2| = 12 + 5 + 5 = 22$.