જો $P(2, 8)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y - p = 0$ નું અંદરનું બિંદુ હોય,જે અક્ષોને સ્પર્શતું નથી કે છેદતું નથી,તો $p$ માટેનો ગણ કયો છે?

જો સમાન $a$ ત્રિજ્યા વાળા અને $(2, 3)$ અને $(5, 6)$ કેન્દ્ર ધરાવતા બે વર્તુળો લંબછેદી હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

જો બિંદુ $(h, k)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2=16$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ,તે જ બિંદુમાંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ કરતાં બમણી હોય,તો:

વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ પર તે બિંદુઓ આગળ સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે જ્યાં તે વર્તુળ $x^2 + y^2 - (\lambda + 6)x + (8 - 2\lambda)y - 3 = 0$ ને મળે છે,જ્યાં $\lambda$ એક ચલ છે. આ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શોધો:

આપેલ ફકરામાં આપેલી માહિતીના આધારે યાદીઓને યોગ્ય રીતે જોડીને નીચેનાનો જવાબ આપો.
ધારો કે વર્તુળો $C_1: x^2+y^2=9$ અને $C_2: (x-3)^2+(y-4)^2=16$ એ બિંદુઓ $X$ અને $Y$ પર છેદે છે. ધારો કે બીજું વર્તુળ $C_3: (x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ નીચેની શરતો સંતોષે છે:
$(i)$ $C_3$ નું કેન્દ્ર $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રો સાથે સમરેખ છે.
$(ii)$ $C_1$ અને $C_2$ બંને $C_3$ ની અંદર આવેલા છે.
$(iii)$ $C_3$ એ $C_1$ ને $M$ પર અને $C_2$ ને $N$ પર સ્પર્શે છે.
ધારો કે $X$ અને $Y$ માંથી પસાર થતી રેખા $C_3$ ને $Z$ અને $W$ પર છેદે છે,અને ધારો કે $C_1$ અને $C_3$ નો સામાન્ય સ્પર્શક એ પરવલય $x^2=8 \alpha y$ નો સ્પર્શક છે.
$List-I$ માં કેટલીક અભિવ્યક્તિઓ આપવામાં આવી છે જેના મૂલ્યો નીચે $List-II$ માં આપેલા છે:

$List-I$	$List-II$
$(I) \ 2h + k$	$(P) \ 6$
$(II) \ \frac{\text{Length of } ZW}{\text{Length of } XY}$	$(Q) \ \sqrt{6}$
$(III) \ \frac{\text{Area of triangle } MZN}{\text{Area of triangle } ZMW}$	$(R) \ \frac{5}{4}$
$(IV) \ \alpha$	$(S) \ \frac{21}{5}$
	$(T) \ 2\sqrt{6}$
	$(U) \ \frac{10}{3}$

$(1)$ નીચેનામાંથી કઈ એકમાત્ર ખોટી જોડી છે?
$(1) (IV), (S) \quad (2) (IV), (U) \quad (3) (III), (R) \quad (4) (I), (P)$
$(2)$ નીચેનામાંથી કઈ એકમાત્ર સાચી જોડી છે?
$(1) (II), (T) \quad (2) (I), (S) \quad (3) (I), (U) \quad (4) (II), (Q)$

વર્તુળોના કેન્દ્રોનો બિંદુપથ શોધો કે જેથી બિંદુ $(2, 3)$ એ જીવા $5x + 2y = 16$ નું મધ્યબિંદુ હોય.