Textbook - Introduction to Trigonometry Questions in Hindi

(N/A) मान लीजिए कि हम एक समकोण $\Delta ABC$ खींचते हैं जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ है।
अब,हम जानते हैं कि $\tan A = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3}$ है।
इसलिए,यदि $BC = 4k$ है,तो $AB = 3k$ होगा,जहाँ $k$ एक धनात्मक संख्या है।
अब,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2$.
$AC = 5k$.
अब,हम उनकी परिभाषाओं का उपयोग करके सभी त्रिकोणमितीय अनुपात लिख सकते हैं:
$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$.
$\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$.
$\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{3}{4}$.
$\operatorname{cosec} A = \frac{1}{\sin A} = \frac{5}{4}$.
$\sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{5}{3}$.

(N/A) मान लीजिए कि दो समकोण त्रिभुज $ABC$ और $PQR$ हैं जहाँ $\angle C = 90^{\circ}$ और $\angle R = 90^{\circ}$ है,और $\sin B = \sin Q$ है।
हमारे पास $\sin B = \frac{AC}{AB}$ और $\sin Q = \frac{PR}{PQ}$ है।
चूँकि $\sin B = \sin Q$ दिया गया है,इसलिए $\frac{AC}{AB} = \frac{PR}{PQ}$।
इसे $\frac{AC}{PR} = \frac{AB}{PQ} = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है) के रूप में लिखा जा सकता है .......... $(1)$।
अब,दोनों त्रिभुजों में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}$ और $QR = \sqrt{PQ^2 - PR^2}$।
तीसरी भुजाओं का अनुपात लेने पर:
$\frac{BC}{QR} = \frac{\sqrt{AB^2 - AC^2}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}}$।
$(1)$ से $AB = kPQ$ और $AC = kPR$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{BC}{QR} = \frac{\sqrt{(kPQ)^2 - (kPR)^2}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}} = \frac{\sqrt{k^2(PQ^2 - PR^2)}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}} = \frac{k \sqrt{PQ^2 - PR^2}}{\sqrt{PQ^2 - PR^2}} = k$ .......... $(2)$।
$(1)$ और $(2)$ से,हमारे पास $\frac{AC}{PR} = \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = k$ है।
$SSS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\Delta ACB \sim \Delta PRQ$ है।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनके संगत कोण बराबर होते हैं। अतः,$\angle B = \angle Q$।

(N/A) $\triangle ACB$ में,हमारे पास है:
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(29)^2 - (21)^2}$
$= \sqrt{(29 - 21)(29 + 21)} = \sqrt{(8)(50)} = \sqrt{400} = 20$ इकाई।
अतः,$\sin \theta = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$ और $\cos \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$।
अब,
$(i)$ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = \left(\frac{21}{29}\right)^2 + \left(\frac{20}{29}\right)^2 = \frac{441 + 400}{841} = \frac{841}{841} = 1$।
$(ii)$ $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \left(\frac{21}{29}\right)^2 - \left(\frac{20}{29}\right)^2 = \frac{441 - 400}{841} = \frac{41}{841}$।

(N/A) $\triangle ABC$ में,$\tan A = \frac{BC}{AB} = 1$ (आकृति देखें)।
अर्थात्,$BC = AB$ है।
माना $AB = BC = k$,जहाँ $k$ एक धनात्मक संख्या है।
अब,$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
$= \sqrt{k^2 + k^2} = \sqrt{2k^2} = k\sqrt{2}$ है।
अतः,$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{k\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{k}{k\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इसलिए,$2 \sin A \cos A = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} \right) = 1$,जो कि अभीष्ट मान है।

(N/A) $\triangle OPQ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,हमारे पास है:
$OQ^2 = OP^2 + PQ^2$
दिया गया है कि $OQ - PQ = 1\, cm$,इसलिए $OQ = 1 + PQ$.
इस मान को पाइथागोरस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + PQ)^2 = OP^2 + PQ^2$
$1 + PQ^2 + 2PQ = OP^2 + PQ^2$
$1 + 2PQ = OP^2$
चूँकि $OP = 7\, cm$,हमारे पास है:
$1 + 2PQ = 7^2$
$1 + 2PQ = 49$
$2PQ = 48$
$PQ = 24\, cm$
अब,$OQ = 1 + PQ = 1 + 24 = 25\, cm$.
अतः,$\sin Q = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{OP}{OQ} = \frac{7}{25}$.
और $\cos Q = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{PQ}{OQ} = \frac{24}{25}$.

(N/A) $\triangle ABC$ के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (24 \, cm)^2 + (7 \, cm)^2$
$AC^2 = (576 + 49) \, cm^2 = 625 \, cm^2$
$\therefore AC = \sqrt{625} \, cm = 25 \, cm$
$(i)$ $\sin A = \frac{\angle A \text{ की सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{25}$
$\cos A = \frac{\angle A \text{ की संलग्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{25}$
$(ii)$ $\sin C = \frac{\angle C \text{ की सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{25}$
$\cos C = \frac{\angle C \text{ की संलग्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{25}$

(C) $\triangle PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$,$PQ = 12 \, \text{cm}$,और $PR = 13 \, \text{cm}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$PR^2 = PQ^2 + QR^2$
$(13)^2 = (12)^2 + QR^2$
$169 = 144 + QR^2$
$QR^2 = 169 - 144 = 25$
$QR = 5 \, \text{cm}$।
अब,$\tan P = \frac{\angle P \text{ की सम्मुख भुजा}}{\angle P \text{ की संलग्न भुजा}} = \frac{QR}{PQ} = \frac{5}{12}$।
और,$\cot R = \frac{\angle R \text{ की संलग्न भुजा}}{\angle R \text{ की सम्मुख भुजा}} = \frac{QR}{PQ} = \frac{5}{12}$।
अतः,$\tan P - \cot R = \frac{5}{12} - \frac{5}{12} = 0$।

(N/A) माना $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है,जिसमें कोण $B$ समकोण है।
दिया गया है कि,$\sin A = \frac{3}{4}$.
हम जानते हैं कि $\sin A = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC}$,इसलिए $\frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}$.
माना $BC = 3k$ और $AC = 4k$,जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$(4k)^2 = AB^2 + (3k)^2$
$16k^2 = AB^2 + 9k^2$
$AB^2 = 7k^2$
$AB = \sqrt{7}k$
अब,$\cos A = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{7}k}{4k} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
और,$\tan A = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{BC}{AB} = \frac{3k}{\sqrt{7}k} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.

(N/A) एक समकोण त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें,जिसमें $\angle B$ समकोण है।
$\cot A = \frac{\angle A \text{ की संलग्न भुजा}}{\angle A \text{ की सम्मुख भुजा}} = \frac{AB}{BC}$
यह दिया गया है कि $15 \cot A = 8$,इसलिए $\cot A = \frac{8}{15}$।
अतः,$\frac{AB}{BC} = \frac{8}{15}$।
मान लीजिए $AB = 8k$ और $BC = 15k$,जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (8k)^2 + (15k)^2$
$AC^2 = 64k^2 + 225k^2 = 289k^2$
$AC = 17k$
अब,$\sin A = \frac{\angle A \text{ की सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{15k}{17k} = \frac{15}{17}$।
और,$\sec A = \frac{\text{कर्ण}}{\angle A \text{ की संलग्न भुजा}} = \frac{AC}{AB} = \frac{17k}{8k} = \frac{17}{8}$।

(N/A) एक समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ पर विचार करें, जो बिंदु $B$ पर समकोण है।
$\sec \theta = \frac{\text{कर्ण}}{\text{}}{\angle \theta \text{की संलग्न भुजा}} = \frac{AC}{AB} = \frac{13}{12}$
मान लीजिए $AC = 13k$ और $AB = 12k$, जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:
$(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2$
$(13k)^2 = (12k)^2 + (BC)^2$
$169k^2 = 144k^2 + (BC)^2$
$(BC)^2 = 25k^2$
$BC = 5k$
अब अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना करते हैं:
$\sin \theta = \frac{\text{}}{\angle \theta \text{की सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{5k}{13k} = \frac{5}{13}$
$\cos \theta = \frac{\text{}}{\angle \theta \text{की संलग्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13}$
$\tan \theta = \frac{\text{}}{\angle \theta \text{की सम्मुख भुजा}}{\text{}}{\angle \theta \text{की संलग्न भुजा}} = \frac{BC}{AB} = \frac{5k}{12k} = \frac{5}{12}$
$\cot \theta = \frac{\text{}}{\angle \theta \text{की संलग्न भुजा}}{\text{}}{\angle \theta \text{की सम्मुख भुजा}} = \frac{AB}{BC} = \frac{12k}{5k} = \frac{12}{5}$
$\operatorname{cosec} \theta = \frac{\text{कर्ण}}{\text{}}{\angle \theta \text{की सम्मुख भुजा}} = \frac{AC}{BC} = \frac{13k}{5k} = \frac{13}{5}$

(N/A) मान लीजिए कि एक त्रिभुज $ABC$ है जिसमें $CD \perp AB$ है।
यह दिया गया है कि,
$\cos A = \cos B$
$\Rightarrow \frac{AD}{AC} = \frac{BD}{BC}$
$\Rightarrow \frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC}$
मान लीजिए $\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC} = k$
$\Rightarrow AD = k BD \dots(1)$
और,$AC = k BC \dots(2)$
त्रिभुज $CAD$ और $CBD$ के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है
$CD^2 = AC^2 - AD^2 \dots(3)$
और,$CD^2 = BC^2 - BD^2 \dots(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ से,हमें प्राप्त होता है
$AC^2 - AD^2 = BC^2 - BD^2$
$\Rightarrow (k BC)^2 - (k BD)^2 = BC^2 - BD^2$
$\Rightarrow k^2(BC^2 - BD^2) = BC^2 - BD^2$
$\Rightarrow k^2 = 1$
$\Rightarrow k = 1$
इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है
$AC = BC$
$\Rightarrow \angle A = \angle B$ (त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।

(N/A) मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज $ABC$ है,जिसमें कोण $B$ समकोण है।
$\cot \theta = \frac{\text{कोण } \theta \text{ की संलग्न भुजा}}{\text{कोण } \theta \text{ की सम्मुख भुजा}} = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{8}.$
यदि $BC = 7k$ है,तो $AB = 8k$ होगा,जहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
$\triangle ABC$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (8k)^2 + (7k)^2 = 64k^2 + 49k^2 = 113k^2.$
$AC = \sqrt{113}k.$
अब,$\sin \theta = \frac{AB}{AC} = \frac{8k}{\sqrt{113}k} = \frac{8}{\sqrt{113}}$ और $\cos \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{7k}{\sqrt{113}k} = \frac{7}{\sqrt{113}}.$
$(i) \frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)} = \frac{1-\sin^2 \theta}{1-\cos^2 \theta} = \frac{1-(\frac{8}{\sqrt{113}})^2}{1-(\frac{7}{\sqrt{113}})^2} = \frac{1-\frac{64}{113}}{1-\frac{49}{113}} = \frac{\frac{49}{113}}{\frac{64}{113}} = \frac{49}{64}.$
$(ii) \cot^2 \theta = (\cot \theta)^2 = (\frac{7}{8})^2 = \frac{49}{64}.$

(A) यह दिया गया है कि $3 \cot A = 4$ है।
अतः,$\cot A = \frac{4}{3}$ है।
एक समकोण त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें,जिसमें कोण $B$ समकोण है।
$\cot A = \frac{\text{कोण } A \text{ की संलग्न भुजा}}{\text{कोण } A \text{ की सम्मुख भुजा}} = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{3}$ है।
माना $AB = 4k$ और $BC = 3k$,जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2 = (4k)^2 + (3k)^2 = 16k^2 + 9k^2 = 25k^2$ है।
अतः,$AC = 5k$ है।
अब,$\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$ है।
$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$ है।
$\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}$ है।
बायाँ पक्ष $(LHS)$: $\frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \frac{1 - (3/4)^2}{1 + (3/4)^2} = \frac{1 - 9/16}{1 + 9/16} = \frac{7/16}{25/16} = \frac{7}{25}$ है।
दायाँ पक्ष $(RHS)$: $\cos^2 A - \sin^2 A = (4/5)^2 - (3/5)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$ है।
चूँकि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष है,इसलिए दिया गया समीकरण सत्य है।

(N/A) दिया गया है कि $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
चूंकि $\tan A = \frac{\text{$\text{$\angle A$ की सम्मुख भुजा}$}}{\text{$\text{$\angle A$ की संलग्न भुजा}$}} = \frac{BC}{AB},$
अतः $\frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
माना $BC = k$ और $AB = \sqrt{3}k,$ जहाँ $k$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
$\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (\sqrt{3}k)^2 + (k)^2 = 3k^2 + k^2 = 4k^2$
$AC = 2k$
अब,हम त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करते हैं:
$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$
$\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos C = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$
$(i)$ $\sin A \cos C + \cos A \sin C = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$(ii)$ $\cos A \cos C - \sin A \sin C = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$

(N/A) दिया गया है कि, $PR + QR = 25 \, cm$ और $PQ = 5 \, cm$ है।
माना $PR = x \, cm$ है।
तब, $QR = (25 - x) \, cm$ होगा।
$\triangle PQR$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$PR^2 = PQ^2 + QR^2$
$x^2 = 5^2 + (25 - x)^2$
$x^2 = 25 + 625 - 50x + x^2$
$50x = 650$
$x = 13$
अतः, $PR = 13 \, cm$ और $QR = 25 - 13 = 12 \, cm$ है।
अब, $\angle P$ के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करते हैं:
$\sin P = \frac{\text{Side opposite to } \angle P}{\text{Hypotenuse}} = \frac{QR}{PR} = \frac{12}{13}$
$\cos P = \frac{\text{Side adjacent to } \angle P}{\text{Hypotenuse}} = \frac{PQ}{PR} = \frac{5}{13}$
$\tan P = \frac{\text{Side opposite to } \angle P}{\text{Side adjacent to } \angle P} = \frac{QR}{PQ} = \frac{12}{5}$

(A-D) $(i)$ असत्य।
एक ऐसा समकोण त्रिभुज मानिए जिसमें $\angle A$ की सम्मुख भुजा $12$ इकाई और $\angle A$ की संलग्न भुजा $5$ इकाई है। तब $\tan A = \frac{12}{5} = 2.4$ होगा। चूँकि $2.4 > 1$,इसलिए यह कथन कि $\tan A$ सदैव $1$ से कम होता है,असत्य है।
$(ii)$ सत्य।
हम जानते हैं कि $\sec A = \frac{\text{कर्ण}}{\angle A \text{ की संलग्न भुजा}}$.
यहाँ $\sec A = \frac{12}{5}$ दिया गया है,अतः मान लीजिए कि कर्ण $AC = 12k$ और संलग्न भुजा $AB = 5k$ है,जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$BC^2 = AC^2 - AB^2 = (12k)^2 - (5k)^2 = 144k^2 - 25k^2 = 119k^2$।
अतः,$BC = \sqrt{119}k \approx 10.9k$।
चूँकि भुजाओं $5k, 10.9k$ और $12k$ वाला त्रिभुज त्रिभुज असमिका का पालन करता है $(5k + 10.9k > 12k)$,इसलिए ऐसा त्रिभुज संभव है। अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(NONE) $(i)$ कोण $A$ के कोसेकेंट के लिए प्रयुक्त संक्षिप्त रूप $\text{cosec } A$ है। $\cos A$ का प्रयोग कोण $A$ के कोसाइन $(cosine)$ के लिए किया जाता है। अतः, यह कथन असत्य है।
$(ii)$ $\cot A$, $\cot$ और $A$ का गुणनफल नहीं है। यह कोण $A$ का कोटेनजेंट $(cotangent)$ दर्शाता है। अतः, यह कथन असत्य है।
$(iii)$ हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में, $\sin \theta = \frac{\text{$\theta$ की सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$। चूंकि समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है, इसलिए $\sin \theta$ का मान हमेशा $1$ या उससे कम होना चाहिए। चूंकि $\frac{4}{3} > 1$ है, इसलिए यह मान संभव नहीं है। अतः, यह कथन असत्य है।

(N/A) भुजा $BC$ की लंबाई ज्ञात करने के लिए,हम $BC$ और दी गई भुजा $AB$ को शामिल करने वाले त्रिकोणमितीय अनुपात का चयन करेंगे। चूँकि $BC$ कोण $C$ की आसन्न भुजा है और $AB$ कोण $C$ की सम्मुख भुजा है,इसलिए:
$\frac{AB}{BC} = \tan C$
$\frac{5}{BC} = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
जिससे $BC = 5\sqrt{3} \, cm$ प्राप्त होता है।
भुजा $AC$ की लंबाई ज्ञात करने के लिए,हम विचार करते हैं:
$\sin 30^{\circ} = \frac{AB}{AC}$
$\frac{1}{2} = \frac{5}{AC}$
$AC = 10 \, cm$.
वैकल्पिक रूप से,हम तीसरी भुजा निर्धारित करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते थे:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3})^2} \, cm = \sqrt{25 + 75} \, cm = \sqrt{100} \, cm = 10 \, cm$.

(A) दिया गया है कि $\triangle PQR$ में,$\angle Q = 90^{\circ}$,$PQ = 3 \, cm$ और $PR = 6 \, cm$ है।
$\angle PRQ$ (या $\angle R$) के लिए,सम्मुख भुजा $PQ$ है और कर्ण $PR$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हुए: $\sin R = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{PQ}{PR}$.
$\sin R = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\angle PRQ = 30^{\circ}$ है।
$\triangle PQR$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle QPR + \angle PQR + \angle PRQ = 180^{\circ}$.
$\angle QPR + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle QPR = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

(A) दिया गया है कि $\sin ( A - B ) = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $A - B = 30^{\circ}$ ......$(1)$
साथ ही,दिया गया है कि $\cos ( A + B ) = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $A + B = 60^{\circ}$ ......$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(A - B) + (A + B) = 30^{\circ} + 60^{\circ}$
$2A = 90^{\circ}$
$A = 45^{\circ}$
समीकरण $(2)$ में $A = 45^{\circ}$ रखने पर:
$45^{\circ} + B = 60^{\circ}$
$B = 60^{\circ} - 45^{\circ}$
$B = 15^{\circ}$
अतः,$A = 45^{\circ}$ और $B = 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई व्यंजक $\sin 60^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 30^{\circ} \cos 60^{\circ}$ है।
मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करते हुए:
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)$
$= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$
$= \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$।

(B) दी गई व्यंजक: $2 \tan ^{2} 45^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}-\sin ^{2} 60^{\circ}$
हम त्रिकोणमितीय मान जानते हैं:
$\tan 45^{\circ} = 1$
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2(1)^{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$
$= 2(1) + \frac{3}{4} - \frac{3}{4}$
$= 2 + 0 = 2$

(A) दी गई व्यंजक: $\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\operatorname{cosec} 30^{\circ}}$
त्रिकोणमितीय मान रखने पर: $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sec 30^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$,और $\operatorname{cosec} 30^{\circ} = 2$.
$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}(2+2\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को $(2\sqrt{6}-2\sqrt{2})$ से गुणा करने पर:
$= \frac{\sqrt{3}(2\sqrt{6}-2\sqrt{2})}{(2\sqrt{6}+2\sqrt{2})(2\sqrt{6}-2\sqrt{2})}$
$= \frac{2\sqrt{18}-2\sqrt{6}}{(2\sqrt{6})^2-(2\sqrt{2})^2} = \frac{2(3\sqrt{2})-2\sqrt{6}}{24-8} = \frac{6\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{16}$
$= \frac{2(3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{16} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}$

त्रिकोणमितीय मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\operatorname{cosec} 60^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$,$\sec 30^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\cot 45^{\circ} = 1$.
$\frac{\frac{1}{2}+1-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}+1} = \frac{\frac{3}{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3}{2}+\frac{2}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{\frac{3\sqrt{3}-4}{2\sqrt{3}}}{\frac{3\sqrt{3}+4}{2\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3}-4}{3\sqrt{3}+4}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$= \frac{(3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}-4)}{(3\sqrt{3}+4)(3\sqrt{3}-4)} = \frac{(3\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2(3\sqrt{3})(4)}{(3\sqrt{3})^2 - 4^2}$
$= \frac{27 + 16 - 24\sqrt{3}}{27 - 16} = \frac{43 - 24\sqrt{3}}{11}$

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}$
त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करने पर: $\cos 60^{\circ} = 1/2$,$\sec 30^{\circ} = 2/\sqrt{3}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\sin 30^{\circ} = 1/2$,$\cos 30^{\circ} = \sqrt{3}/2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{5(1/2)^{2} + 4(2/\sqrt{3})^{2} - (1)^{2}}{(1/2)^{2} + (\sqrt{3}/2)^{2}}$
$= \frac{5(1/4) + 4(4/3) - 1}{1/4 + 3/4}$
$= \frac{5/4 + 16/3 - 1}{4/4}$
$= \frac{(15 + 64 - 12)/12}{1}$
$= 67/12$

(B) हम जानते हैं कि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}} = \frac{2(\frac{1}{\sqrt{3}})}{1+(\frac{1}{\sqrt{3}})^2}$
$= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}}$
$= \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\tan 45^{\circ} = 1$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}} = \frac{1-(1)^{2}}{1+(1)^{2}}$
$= \frac{1-1}{1+1}$
$= \frac{0}{2}$
$= 0$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) हमें समीकरण $\sin 2A = 2 \sin A$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$2 \sin A \cos A = 2 \sin A$
$2 \sin A \cos A - 2 \sin A = 0$
$2 \sin A (\cos A - 1) = 0$
इसका अर्थ है कि या तो $\sin A = 0$ है या $\cos A = 1$ है।
$\sin A = 0$ के लिए,$A = 0^{\circ}, 180^{\circ}, \dots$
$\cos A = 1$ के लिए,$A = 0^{\circ}, 360^{\circ}, \dots$
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,$A = 0^{\circ}$ के लिए:
बायाँ पक्ष $(LHS)$: $\sin 2(0^{\circ}) = \sin 0^{\circ} = 0$
दायाँ पक्ष $(RHS)$: $2 \sin 0^{\circ} = 2(0) = 0$
चूँकि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}} = \frac{2 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}{1 - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2}}$
$= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}}$
$= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}}$
$= \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$।
चूंकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है कि $\tan (A + B) = \sqrt{3}$.
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए $A + B = 60^{\circ} \dots (1)$.
साथ ही,$\tan (A - B) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $A - B = 30^{\circ} \dots (2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(A + B) + (A - B) = 60^{\circ} + 30^{\circ}$
$2A = 90^{\circ}$
$A = 45^{\circ}$.
समीकरण $(1)$ में $A = 45^{\circ}$ रखने पर:
$45^{\circ} + B = 60^{\circ}$
$B = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$.
अतः,$A = 45^{\circ}$ और $B = 15^{\circ}$ है।

(B) कथन $\sin (A+B) = \sin A + \sin B$ असत्य है।
इसका औचित्य देने के लिए,मान लीजिए $A = 30^{\circ}$ और $B = 60^{\circ}$ है।
बायाँ पक्ष $(LHS)$: $\sin (A+B) = \sin (30^{\circ} + 60^{\circ}) = \sin 90^{\circ} = 1$.
दायाँ पक्ष $(RHS)$: $\sin A + \sin B = \sin 30^{\circ} + \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि $1 \neq \frac{1+\sqrt{3}}{2}$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(A) यह कथन सत्य है।
$0^{\circ} \le \theta \le 90^{\circ}$ के अंतराल में जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,$\sin \theta$ का मान बढ़ता है।
हम इसे मानक त्रिकोणमितीय मानों से देख सकते हैं:
$\sin 0^{\circ} = 0$
$\sin 30^{\circ} = 0.5$
$\sin 45^{\circ} \approx 0.707$
$\sin 60^{\circ} \approx 0.866$
$\sin 90^{\circ} = 1$
जैसे-जैसे $\theta$ का मान $0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है,$\sin \theta$ का मान $0$ से $1$ तक बढ़ जाता है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि कथन सत्य है या असत्य,आइए $0^{\circ} \leq \theta \leq 90^{\circ}$ के अंतराल में $\theta$ के विभिन्न कोणों के लिए $\cos \theta$ के मानों का मूल्यांकन करें:
$\cos 0^{\circ} = 1$
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = 0.5$
$\cos 90^{\circ} = 0$
जैसे-जैसे $\theta$ का मान $0^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है,$\cos \theta$ का मान $1$ से घटकर $0$ हो जाता है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(B) $\theta$ के सभी मानों के लिए $\sin \theta = \cos \theta$ का कथन असत्य है।
औचित्य:
$1$. समीकरण $\sin \theta = \cos \theta$ केवल तभी सत्य होता है जब $\theta = 45^{\circ}$ हो।
$2$. $\theta = 45^{\circ}$ पर,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होता है।
$3$. $\theta$ के अन्य मानों के लिए,यह कथन गलत है। उदाहरण के लिए,$\theta = 30^{\circ}$ पर,$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ है जबकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
$4$. चूंकि $\frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
हम जानते हैं कि $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ होता है।
$A = 0^{\circ}$ के लिए,$\cot 0^{\circ} = \frac{\cos 0^{\circ}}{\sin 0^{\circ}}$ होगा।
चूंकि $\cos 0^{\circ} = 1$ और $\sin 0^{\circ} = 0$ है,इसलिए हमें $\cot 0^{\circ} = \frac{1}{0}$ प्राप्त होता है।
गणित में शून्य से भाग देना अपरिभाषित है। अतः,$\cot 0^{\circ}$ परिभाषित नहीं है।

(D) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: $\cot A = \tan(90^{\circ} - A)$ होती है।
हर (denominator) के लिए इस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\cot 25^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 25^{\circ}) = \tan 65^{\circ}$।
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\tan 65^{\circ}}{\cot 25^{\circ}} = \frac{\tan 65^{\circ}}{\tan 65^{\circ}} = 1$।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin 3A = \cos(A - 26^{\circ})$
हम जानते हैं कि $\sin \theta = \cos(90^{\circ} - \theta)$ होता है।
इसलिए,$\sin 3A = \cos(90^{\circ} - 3A)$।
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos(90^{\circ} - 3A) = \cos(A - 26^{\circ})$
चूँकि कोण न्यून कोण हैं,हम उन्हें बराबर रख सकते हैं:
$90^{\circ} - 3A = A - 26^{\circ}$
$A$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$90^{\circ} + 26^{\circ} = A + 3A$
$116^{\circ} = 4A$
$A = \frac{116^{\circ}}{4} = 29^{\circ}$
अतः,$A$ का मान $29^{\circ}$ है।

(N/A) दी गई अभिव्यक्ति को $0^{\circ}$ और $45^{\circ}$ के बीच के कोणों के पदों में व्यक्त करने के लिए,हम पूरक कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं: $\cot(90^{\circ}-\theta) = \tan \theta$ और $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$।
दी गई अभिव्यक्ति: $\cot 85^{\circ} + \cos 75^{\circ}$
चरण $1$: $85^{\circ}$ को $(90^{\circ}-5^{\circ})$ और $75^{\circ}$ को $(90^{\circ}-15^{\circ})$ के रूप में लिखें।
$\cot(90^{\circ}-5^{\circ}) + \cos(90^{\circ}-15^{\circ})$
चरण $2$: सर्वसमिकाओं का प्रयोग करें।
$= \tan 5^{\circ} + \sin 15^{\circ}$
चूंकि $5^{\circ}$ और $15^{\circ}$ दोनों $0^{\circ}$ और $45^{\circ}$ के बीच हैं,इसलिए अभिव्यक्ति अब वांछित रूप में है।

(C) हम पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$.
दी गई व्यंजक: $\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}$.
हम $18^{\circ}$ को $(90^{\circ} - 72^{\circ})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\sin 18^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 72^{\circ}) = \cos 72^{\circ}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos 72^{\circ}}{\cos 72^{\circ}} = 1$.

(D) हम जानते हैं कि $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$.
दी गई व्यंजक: $\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}$.
हम $\tan 26^{\circ}$ को $\tan(90^{\circ} - 64^{\circ})$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\tan(90^{\circ} - 64^{\circ}) = \cot 64^{\circ}$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{\cot 64^{\circ}}{\cot 64^{\circ}} = 1$.

(A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$.
दी गई व्यंजक: $\cos 48^{\circ}-\sin 42^{\circ}$.
हम $\cos 48^{\circ}$ को $\cos(90^{\circ}-42^{\circ})$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$\cos(90^{\circ}-42^{\circ}) = \sin 42^{\circ}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin 42^{\circ} - \sin 42^{\circ} = 0$.

(B) हम पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\operatorname{cosec}(90^{\circ} - \theta) = \sec \theta$.
दी गई व्यंजक: $\operatorname{cosec} 31^{\circ} - \sec 59^{\circ}$.
हम $31^{\circ}$ को $(90^{\circ} - 59^{\circ})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\operatorname{cosec} 31^{\circ} = \operatorname{cosec}(90^{\circ} - 59^{\circ}) = \sec 59^{\circ}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sec 59^{\circ} - \sec 59^{\circ} = 0$.

(N/A) $(i)$ हम जानते हैं कि $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ होता है।
$\tan 48^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 42^{\circ}) \tan(90^{\circ} - 67^{\circ}) \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ}$
$= \cot 42^{\circ} \cot 67^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ}$
$= (\cot 42^{\circ} \tan 42^{\circ}) (\cot 67^{\circ} \tan 67^{\circ})$
$= (1)(1) = 1$.
$(ii)$ हम जानते हैं कि $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$ और $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ होता है।
$\cos 38^{\circ} \cos 52^{\circ} - \sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 52^{\circ}) \cos(90^{\circ} - 38^{\circ}) - \sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ}$
$= \sin 52^{\circ} \sin 38^{\circ} - \sin 38^{\circ} \sin 52^{\circ} = 0$.

(D) दिया गया समीकरण: $\tan 2A = \cot(A - 18^{\circ})$.
हम जानते हैं कि $\tan \theta = \cot(90^{\circ} - \theta)$.
इस सूत्र का उपयोग करने पर: $\cot(90^{\circ} - 2A) = \cot(A - 18^{\circ})$.
चूँकि दोनों ओर कोटि-फलन समान हैं,इसलिए उनके कोण भी समान होंगे: $90^{\circ} - 2A = A - 18^{\circ}$.
$A$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $90^{\circ} + 18^{\circ} = A + 2A$.
$108^{\circ} = 3A$.
$A = \frac{108^{\circ}}{3} = 36^{\circ}$.
अतः,$A$ का मान $36^{\circ}$ है।

(N/A) दिया गया है कि,$\tan A = \cot B$.
हम जानते हैं कि $\cot B = \tan(90^{\circ} - B)$.
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan A = \tan(90^{\circ} - B)$.
चूंकि स्पर्शज्या (tangent) फलन समान हैं,इसलिए उनके कोण भी समान होंगे: $A = 90^{\circ} - B$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $A + B = 90^{\circ}$.

(B) दिया गया है कि,$\sec 4A = \operatorname{cosec}(A - 20^{\circ})$.
हम जानते हैं कि $\sec \theta = \operatorname{cosec}(90^{\circ} - \theta)$.
अतः,$\operatorname{cosec}(90^{\circ} - 4A) = \operatorname{cosec}(A - 20^{\circ})$.
कोणों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $90^{\circ} - 4A = A - 20^{\circ}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$90^{\circ} + 20^{\circ} = A + 4A$.
$110^{\circ} = 5A$.
$A = \frac{110^{\circ}}{5} = 22^{\circ}$.
अतः,$A$ का मान $22^{\circ}$ है।

(N/A) हम जानते हैं कि त्रिभुज $ABC$ के लिए,अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\angle B + \angle C}{2} = \frac{180^{\circ} - \angle A}{2} = 90^{\circ} - \frac{\angle A}{2}$
दोनों पक्षों का ज्या $(sin)$ लेने पर:
$\sin \left(\frac{B+C}{2}\right) = \sin \left(90^{\circ} - \frac{A}{2}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sin \left(\frac{B+C}{2}\right) = \cos \left(\frac{A}{2}\right)$
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) दी गई व्यंजक को $0^{\circ}$ और $45^{\circ}$ के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम पूरक कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं:
$\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$
$\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$
दी गई व्यंजक: $\sin 67^{\circ} + \cos 75^{\circ}$
चरण $1$: $67^{\circ}$ को $(90^{\circ} - 23^{\circ})$ और $75^{\circ}$ को $(90^{\circ} - 15^{\circ})$ के रूप में लिखें।
$= \sin(90^{\circ} - 23^{\circ}) + \cos(90^{\circ} - 15^{\circ})$
चरण $2$: पूरक कोण सर्वसमिकाओं को लागू करें।
$= \cos 23^{\circ} + \sin 15^{\circ}$
चूंकि $23^{\circ}$ और $15^{\circ}$ दोनों $0^{\circ}$ और $45^{\circ}$ के बीच हैं,इसलिए व्यंजक अब आवश्यक रूप में है।

(N/A) हम मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\cos^2 A + \sin^2 A = 1$।
$1$. $\cos A$ को $\sin A$ के पदों में व्यक्त करने के लिए:
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A}$ (न्यूनकोण $A$ के लिए धनात्मक वर्गमूल लेने पर)
$2$. $\tan A$ को $\sin A$ के पदों में व्यक्त करने के लिए:
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$
$\cos A$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan A = \frac{\sin A}{\sqrt{1 - \sin^2 A}}$
$3$. $\sec A$ को $\sin A$ के पदों में व्यक्त करने के लिए:
$\sec A = \frac{1}{\cos A}$
$\cos A$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sec A = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 A}}$

(A) $LHS = \sec A(1-\sin A)(\sec A+\tan A)$
$= \left(\frac{1}{\cos A}\right)(1-\sin A)\left(\frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A}\right)$
$= \left(\frac{1-\sin A}{\cos A}\right)\left(\frac{1+\sin A}{\cos A}\right)$
$= \frac{(1-\sin A)(1+\sin A)}{\cos^2 A}$
$= \frac{1-\sin^2 A}{\cos^2 A}$
$= \frac{\cos^2 A}{\cos^2 A} = 1 = RHS$
अतः,सर्वसमिका सिद्ध हुई।