Mix Examples - Introduction to Trigonometry Questions in Hindi

(A) दिया गया है,$\cos A = \frac{4}{5}$।
हम जानते हैं कि $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$,इसलिए $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$।
$\cos A$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin A = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$।
अब,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$।
$\sin A$ और $\cos A$ के मान रखने पर:
$\tan A = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$।
अतः,$\tan A$ का अभीष्ट मान $\frac{3}{4}$ है।

(B) दिया गया है,$\sin A = \frac{1}{2}$।
सर्वसमिका $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का उपयोग करते हुए,हम $\cos A$ ज्ञात करते हैं:
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अब,$\cot A$ का मान इस प्रकार है:
$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$।

(C) दिया गया व्यंजक: $E = \operatorname{cosec}(75^{\circ}+\theta) - \sec(15^{\circ}-\theta) - \tan(55^{\circ}+\theta) + \cot(35^{\circ}-\theta)$
पूरक कोण सर्वसमिकाओं $\operatorname{cosec}(90^{\circ}-A) = \sec A$ और $\cot(90^{\circ}-A) = \tan A$ का उपयोग करने पर:
$1$. $\operatorname{cosec}(75^{\circ}+\theta) = \operatorname{cosec}(90^{\circ}-(15^{\circ}-\theta)) = \sec(15^{\circ}-\theta)$
$2$. $\cot(35^{\circ}-\theta) = \cot(90^{\circ}-(55^{\circ}+\theta)) = \tan(55^{\circ}+\theta)$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \sec(15^{\circ}-\theta) - \sec(15^{\circ}-\theta) - \tan(55^{\circ}+\theta) + \tan(55^{\circ}+\theta)$
$E = 0$
अतः,दिए गए व्यंजक का मान $0$ है।

(D) दिया गया है,$\sin \theta = \frac{a}{b}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हम लिख सकते हैं $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^{2} \theta}$.
$\sin \theta$ का मान रखने पर:
$\cos \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{a}{b}\right)^{2}}$
$\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}}$
$\cos \theta = \sqrt{\frac{b^{2} - a^{2}}{b^{2}}}$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{b^{2} - a^{2}}}{b}$.

(A) दिया गया है,$\cos (\alpha+\beta)=0=\cos 90^{\circ}$ $\left[\because \cos 90^{\circ}=0\right]$
$\Rightarrow \alpha+\beta=90^{\circ}$
$\Rightarrow \alpha=90^{\circ}-\beta$ ......$(i)$
अब,$\sin (\alpha-\beta)=\sin (90^{\circ}-\beta-\beta)$ [समीकरण $(i)$ से मान रखने पर]
$= \sin (90^{\circ}-2 \beta)$
$= \cos 2 \beta$ $\left[\because \sin (90^{\circ}-\theta)=\cos \theta\right]$
अतः,$\sin (\alpha-\beta)$ को $\cos 2 \beta$ में बदला जा सकता है।

(B) हमारे पास व्यंजक है: $P = \tan 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \tan 3^{\circ} \ldots \tan 89^{\circ}$.
गुणधर्म $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\tan 89^{\circ} = \cot 1^{\circ}$,$\tan 88^{\circ} = \cot 2^{\circ}$,आदि।
चूंकि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,इसलिए $\tan 89^{\circ} = \frac{1}{\tan 1^{\circ}}$,$\tan 88^{\circ} = \frac{1}{\tan 2^{\circ}}$,आदि।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$P = (\tan 1^{\circ} \cdot \cot 1^{\circ}) \cdot (\tan 2^{\circ} \cdot \cot 2^{\circ}) \ldots (\tan 44^{\circ} \cdot \cot 44^{\circ}) \cdot \tan 45^{\circ}$.
चूंकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ और $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए व्यंजक का मान:
$P = 1 \cdot 1 \cdot 1 \ldots \cdot 1 = 1$.

(C) दिया गया है,$\cos 9 \alpha = \sin \alpha$ और $9 \alpha < 90^{\circ},$ जिसका अर्थ है कि $9 \alpha$ एक न्यून कोण है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos A = \sin(90^{\circ} - A)$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\sin(90^{\circ} - 9 \alpha) = \sin \alpha$
अतः,
$90^{\circ} - 9 \alpha = \alpha$
$\alpha$ के लिए हल करने पर:
$10 \alpha = 90^{\circ}$
$\alpha = 9^{\circ}$
अब,$\tan 5 \alpha$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\tan 5 \alpha = \tan(5 \times 9^{\circ}) = \tan 45^{\circ}$
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1,$ इसलिए अभीष्ट मान $1$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अर्थात,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$।
चूंकि त्रिभुज $C$ पर समकोण है,इसलिए $\angle C = 90^{\circ}$ (दिया गया है)।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$\angle A + \angle B + 90^{\circ} = 180^{\circ}$।
अतः,$A + B = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$।
अब,हमें $\cos(A + B)$ का मान ज्ञात करना है।
$A + B = 90^{\circ}$ रखने पर,हमें $\cos(90^{\circ}) = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$\sin A + \sin^2 A = 1$.
इससे,हम लिख सकते हैं $\sin A = 1 - \sin^2 A$.
सर्वसमिका $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $1 - \sin^2 A = \cos^2 A$.
अतः,$\sin A = \cos^2 A$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin^2 A = (\cos^2 A)^2 = \cos^4 A$.
अब,समीकरण में $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1 - \cos^2 A = \cos^4 A$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos^2 A + \cos^4 A = 1$.

(B) दिया है,$\sin \alpha = \frac{1}{2} = \sin 30^{\circ}$ $\left[\because \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}\right]$
$\Rightarrow \alpha = 30^{\circ}$
और,$\cos \beta = \frac{1}{2} = \cos 60^{\circ}$ $\left[\because \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}\right]$
$\Rightarrow \beta = 60^{\circ}$
अतः,$\alpha + \beta = 30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin ^{2} 22^{\circ}+\sin ^{2} 68^{\circ}}{\cos ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 68^{\circ}}+\sin ^{2} 63^{\circ}+\cos 63^{\circ} \sin 27^{\circ}$
सर्वसमिका $\sin(90^{\circ}-\theta) = \cos \theta$ और $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ का उपयोग करते हुए:
चरण $1$: भिन्न का सरलीकरण करें।
$\sin 68^{\circ} = \sin(90^{\circ}-22^{\circ}) = \cos 22^{\circ}$
$\cos 22^{\circ} = \cos(90^{\circ}-68^{\circ}) = \sin 68^{\circ}$
अतः,भिन्न $\frac{\sin ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 22^{\circ}}{\sin ^{2} 68^{\circ}+\cos ^{2} 68^{\circ}} = \frac{1}{1} = 1$ हो जाएगा।
चरण $2$: शेष पदों का सरलीकरण करें।
$\sin 27^{\circ} = \sin(90^{\circ}-63^{\circ}) = \cos 63^{\circ}$
अतः,$\sin ^{2} 63^{\circ}+\cos 63^{\circ} \sin 27^{\circ} = \sin ^{2} 63^{\circ}+\cos 63^{\circ} \cdot \cos 63^{\circ} = \sin ^{2} 63^{\circ}+\cos ^{2} 63^{\circ} = 1$ हो जाएगा।
चरण $3$: परिणामों को जोड़ें।
$1 + 1 = 2$.

(D) दिया है,$4 \tan \theta = 3$
$\Rightarrow \tan \theta = \frac{3}{4}$ ..........$(i)$
व्यंजक $\frac{4 \sin \theta - \cos \theta}{4 \sin \theta + \cos \theta}$ का मान ज्ञात करने के लिए,अंश और हर दोनों को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{\frac{4 \sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{4 \sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{4 \tan \theta - 1}{4 \tan \theta + 1}$
अब,समीकरण $(i)$ से $\tan \theta = \frac{3}{4}$ का मान रखने पर:
$= \frac{4(\frac{3}{4}) - 1}{4(\frac{3}{4}) + 1}$
$= \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है,$\sin \theta - \cos \theta = 0$.
$\sin \theta = \cos \theta \Rightarrow \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$.
$\tan \theta = 1$ $[\because \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ और $\tan 45^{\circ} = 1]$.
$\tan \theta = \tan 45^{\circ}$.
$\theta = 45^{\circ}$.
अब,$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = \sin^4 45^{\circ} + \cos^4 45^{\circ}$.
$= (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^4$ $[\because \sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}]$.
$= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(B) हम जानते हैं कि $\sin (90^{\circ}-\theta) = \cos \theta$ और $\cos (90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ होता है।
दी गई व्यंजक: $\sin (45^{\circ}+\theta)-\cos (45^{\circ}-\theta)$
सर्वसमिका $\sin A = \cos (90^{\circ}-A)$ का उपयोग करने पर:
$\sin (45^{\circ}+\theta) = \cos (90^{\circ}-(45^{\circ}+\theta))$
$= \cos (90^{\circ}-45^{\circ}-\theta)$
$= \cos (45^{\circ}-\theta)$
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos (45^{\circ}-\theta)-\cos (45^{\circ}-\theta) = 0$

(B) असत्य।
व्यंजक $\sin \theta + \cos \theta$ को $\sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta) = \sqrt{2} \sin(\theta + 45^{\circ})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\theta = 0^{\circ}$ के लिए,इसका मान $\sin 0^{\circ} + \cos 0^{\circ} = 0 + 1 = 1$ होता है।
चूंकि इसका मान $1$ के बराबर हो सकता है (उदाहरण के लिए,$\theta = 0^{\circ}$ या $\theta = 90^{\circ}$ पर),इसलिए यह कथन कि 'यह सदैव $1$ से अधिक होता है' असत्य है।

(TRUE) सत्य (True)
हम जानते हैं कि $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ होता है।
इसलिए,$\tan 47^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 43^{\circ}) = \cot 43^{\circ}$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\tan 47^{\circ}}{\cot 43^{\circ}} = \frac{\cot 43^{\circ}}{\cot 43^{\circ}} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(B) False (असत्य)
हम जानते हैं कि $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ होता है।
अतः,$\sin 67^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 23^{\circ}) = \cos 23^{\circ}$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^{2} 23^{\circ} - \sin^{2} 67^{\circ} = \cos^{2} 23^{\circ} - (\cos 23^{\circ})^{2}$
$= \cos^{2} 23^{\circ} - \cos^{2} 23^{\circ}$
$= 0$।
चूंकि $0$ न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक,इसलिए यह कथन कि इसका मान धनात्मक है,असत्य है।

(B) यह कथन असत्य (False) है।
हम जानते हैं कि $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ के अंतराल में,$\sin \theta$ एक वर्धमान फलन है,जबकि $\cos \theta$ एक ह्रासमान फलन है।
$\theta = 45^{\circ}$ पर,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होता है।
किसी भी कोण $\theta$ के लिए जहाँ $45^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ हो,$\sin \theta > \cos \theta$ होता है।
चूँकि $80^{\circ}$ कोण $(45^{\circ}, 90^{\circ})$ के अंतराल में स्थित है,इसलिए $\sin 80^{\circ} > \cos 80^{\circ}$ होगा।
अतः,$(\sin 80^{\circ} - \cos 80^{\circ}) > 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि यह मान धनात्मक है,ऋणात्मक नहीं।

(A) सत्य।
दिया गया व्यंजक: $\sqrt{(1-\cos^2 \theta) \sec^2 \theta}$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\sin^2 \theta \cdot \sec^2 \theta}$
चूंकि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,हम लिख सकते हैं: $\sqrt{\sin^2 \theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta}} = \sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}}$
सर्वसमिका $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(A) सत्य।
दिया गया है कि $\cos A + \cos^2 A = 1$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos A = 1 - \cos^2 A$।
सर्वसमिका $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $1 - \cos^2 A = \sin^2 A$ होता है।
अतः,$\cos A = \sin^2 A$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos^2 A = (\sin^2 A)^2 = \sin^4 A$।
हम जानते हैं कि $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ होता है।
इस मान को समीकरण $\cos^2 A = \sin^4 A$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $1 - \sin^2 A = \sin^4 A$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin^2 A + \sin^4 A = 1$।

(B) असत्य (False)।
$L$.$H$.$S$. $= (\tan \theta + 2)(2 \tan \theta + 1)$
$= 2 \tan^2 \theta + \tan \theta + 4 \tan \theta + 2$
$= 2 \tan^2 \theta + 5 \tan \theta + 2$
सर्वसमिका $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$= 2(\sec^2 \theta - 1) + 5 \tan \theta + 2$
$= 2 \sec^2 \theta - 2 + 5 \tan \theta + 2$
$= 2 \sec^2 \theta + 5 \tan \theta$
चूंकि $2 \sec^2 \theta + 5 \tan \theta \neq 5 \tan \theta + \sec^2 \theta$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(B) असत्य।
दिया गया है कि $a$ एक धनात्मक संख्या है और $a \neq 1,$ इसलिए हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM-GM)$ असमिका का उपयोग करते हैं।
किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $\frac{1}{a}$ के लिए,$AM = \frac{a + \frac{1}{a}}{2}$ और $GM = \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 1$ होता है।
चूंकि $a \neq 1$ के लिए $AM > GM$ होता है,इसलिए $\frac{a + \frac{1}{a}}{2} > 1,$ जिसका अर्थ है कि $(a + \frac{1}{a}) > 2.$
यदि हम मान लें कि $2 \sin \theta = a + \frac{1}{a},$ तो $2 \sin \theta > 2$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\sin \theta > 1.$
हालाँकि,हम जानते हैं कि $\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है,इसलिए $\sin \theta$ का मान कभी भी $1$ से अधिक नहीं हो सकता।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(B) असत्य।
दिया गया है कि $a$ और $b$ दो भिन्न संख्याएँ हैं ताकि $ab > 0$ हो।
हम जानते हैं कि किन्हीं दो भिन्न धनात्मक संख्याओं के लिए,समांतर माध्य $(AM)$,गुणोत्तर माध्य $(GM)$ से सदैव बड़ा होता है।
$AM > GM$
$\frac{a^2 + b^2}{2} > \sqrt{a^2 b^2}$
$\frac{a^2 + b^2}{2} > ab$
दोनों पक्षों को $ab$ से विभाजित करने पर (चूंकि $ab > 0$):
$\frac{a^2 + b^2}{2ab} > 1$
चूंकि $\cos \theta = \frac{a^2 + b^2}{2ab}$,इसका अर्थ है कि $\cos \theta > 1$ है।
हालाँकि,$\cos \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है,जिसका अर्थ है कि $\cos \theta$ का मान $1$ से अधिक नहीं हो सकता है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(N/A) हम जानते हैं कि आधारभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)^{3} = (1)^{3}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \sin^{2} \theta$ और $b = \cos^{2} \theta$ है:
$(\sin^{2} \theta)^{3} + (\cos^{2} \theta)^{3} + 3(\sin^{2} \theta)(\cos^{2} \theta)(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = 1$
चूंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ है,इसलिए समीकरण इस प्रकार होगा:
$\sin^{6} \theta + \cos^{6} \theta + 3 \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta (1) = 1$
अतः,$\sin^{6} \theta + \cos^{6} \theta + 3 \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta = 1$. इति सिद्धम्।

(N/A) $L$.$H$.$S$. $= (\sin^{4} \theta - \cos^{4} \theta + 1) \operatorname{cosec}^{2} \theta$
$= [(\sin^{2} \theta - \cos^{2} \theta)(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) + 1] \operatorname{cosec}^{2} \theta$
चूँकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,इसलिए:
$= (\sin^{2} \theta - \cos^{2} \theta + 1) \operatorname{cosec}^{2} \theta$
$1 - \cos^{2} \theta = \sin^{2} \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= (\sin^{2} \theta + \sin^{2} \theta) \operatorname{cosec}^{2} \theta$
$= (2 \sin^{2} \theta) \operatorname{cosec}^{2} \theta$
$= 2 (\sin^{2} \theta \cdot \operatorname{cosec}^{2} \theta)$
चूँकि $\sin \theta \cdot \operatorname{cosec} \theta = 1$,इसलिए:
$= 2(1) = 2 = \text{R.H.S.}$

(N/A) दिया गया है कि $\alpha + \beta = 90^{\circ}$,इसलिए $\beta = 90^{\circ} - \alpha$ है।
व्यंजक में $\beta$ का मान रखने पर:
$\sqrt{\cos \alpha \operatorname{cosec} \beta - \cos \alpha \sin \beta} = \sqrt{\cos \alpha \operatorname{cosec}(90^{\circ} - \alpha) - \cos \alpha \sin(90^{\circ} - \alpha)}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\operatorname{cosec}(90^{\circ} - \alpha) = \sec \alpha$ और $\sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha$ का उपयोग करने पर:
$= \sqrt{\cos \alpha \sec \alpha - \cos \alpha \cos \alpha}$
चूंकि $\cos \alpha \sec \alpha = 1$ और $\cos \alpha \cos \alpha = \cos^{2} \alpha$:
$= \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha}$
सर्वसमिका $1 - \cos^{2} \alpha = \sin^{2} \alpha$ का उपयोग करने पर:
$= \sqrt{\sin^{2} \alpha} = \sin \alpha$.
अतः,व्यंजक सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया गया है: $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\sqrt{3})^2$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 3$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 3$
$2 \sin \theta \cos \theta = 2$
$\sin \theta \cos \theta = 1$.
अब,व्यंजक $\tan \theta + \cot \theta$ पर विचार करें:
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ और $\sin \theta \cos \theta = 1$ का मान रखने पर:
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{1}{1} = 1$.
अतः,सिद्ध हुआ।

(N/A) बा.प. $= \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} + \frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}$
$= \frac{\sin^2 \theta + (1+\cos \theta)^2}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$
$= \frac{\sin^2 \theta + 1 + \cos^2 \theta + 2 \cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$ $\quad [\because (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab]$
$= \frac{(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 1 + 2 \cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$
$= \frac{1 + 1 + 2 \cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$ $\quad [\because \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1]$
$= \frac{2 + 2 \cos \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$
$= \frac{2(1+\cos \theta)}{\sin \theta(1+\cos \theta)}$
$= \frac{2}{\sin \theta} = 2 \operatorname{cosec} \theta = \text{दा.प.}$ $\quad [\because \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}]$

(N/A) बा.प. $= \frac{\tan A}{1+\sec A} + \frac{\tan A}{\sec A-1}$
$= \tan A \left( \frac{\sec A - 1 + 1 + \sec A}{(\sec A + 1)(\sec A - 1)} \right)$
$= \tan A \left( \frac{2 \sec A}{\sec^2 A - 1} \right)$
$= \tan A \left( \frac{2 \sec A}{\tan^2 A} \right) \quad [\because \sec^2 A - 1 = \tan^2 A]$
$= \frac{2 \sec A}{\tan A} = \frac{2 \cdot \frac{1}{\cos A}}{\frac{\sin A}{\cos A}} = \frac{2}{\sin A} = 2 \operatorname{cosec} A = \text{दा.प.}$

(N/A) दिया है,$\tan A = \frac{3}{4} = \frac{P}{B} = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}}$.
माना $P = 3k$ और $B = 4k$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
$H^2 = P^2 + B^2 = (3k)^2 + (4k)^2$
$H^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2$
$\Rightarrow H = 5k$ [चूंकि,भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती]।
अब,$\sin A = \frac{P}{H} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$ और $\cos A = \frac{B}{H} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$ है।
अतः,$\sin A \cos A = \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{25}$ है।
इति सिद्धम्।

बा.प. $= (\sin \alpha + \cos \alpha)(\tan \alpha + \cot \alpha)$
$= (\sin \alpha + \cos \alpha) \left( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right)$ $\left[ \because \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \text{ और } \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right]$
$= (\sin \alpha + \cos \alpha) \left( \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} \right)$
$= (\sin \alpha + \cos \alpha) \cdot \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$ $\left[ \because \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \right]$
$= \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$
$= \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\sin \alpha}$
$= \sec \alpha + \operatorname{cosec} \alpha = \text{दा.प.}$

(A) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय मान: $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,और $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$ हैं।
सबसे पहले,दायां पक्ष ($R$.$H$.$S$.) का मूल्यांकन करें:
$\text{R.H.S.} = \tan^{3} 60^{\circ} - 2 \sin 60^{\circ} = (\sqrt{3})^{3} - 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
अब,बायां पक्ष ($L$.$H$.$S$.) का मूल्यांकन करें:
$\text{L.H.S.} = (\sqrt{3} + 1)(3 - \cot 30^{\circ}) = (\sqrt{3} + 1)(3 - \sqrt{3})$.
दूसरे कोष्ठक से $\sqrt{3}$ कॉमन लेने पर:
$\text{L.H.S.} = (\sqrt{3} + 1) \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)$.
सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$\text{L.H.S.} = \sqrt{3}((\sqrt{3})^2 - 1^2) = \sqrt{3}(3 - 1) = \sqrt{3}(2) = 2\sqrt{3}$.
चूंकि $\text{L.H.S.} = \text{R.H.S.}$,अतः यह सिद्ध होता है।

(N/A) $L$.$H$.$S$. $= 1 + \frac{\cot^{2} \alpha}{1 + \operatorname{cosec} \alpha}$
$= 1 + \frac{\cos^{2} \alpha / \sin^{2} \alpha}{1 + 1 / \sin \alpha} \quad [\because \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \text{ तथा } \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}]$
$= 1 + \frac{\cos^{2} \alpha}{\sin \alpha(1 + \sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha(1 + \sin \alpha) + \cos^{2} \alpha}{\sin \alpha(1 + \sin \alpha)}$
$= \frac{\sin \alpha + (\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha)}{\sin \alpha(1 + \sin \alpha)} \quad [\because \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1]$
$= \frac{\sin \alpha + 1}{\sin \alpha(1 + \sin \alpha)} = \frac{1}{\sin \alpha} \quad [\because \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}]$
$= \operatorname{cosec} \alpha = \text{R.H.S.}$

(N/A) बायाँ पक्ष ($L$.$H$.$S$.) $= \tan \theta + \tan (90^{\circ} - \theta)$
चूँकि $\tan (90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$,इसलिए:
$= \tan \theta + \cot \theta$
$= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
$= \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$= \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{\sin \theta}$
$= \sec \theta \operatorname{cosec} \theta$
चूँकि $\operatorname{cosec} \theta = \sec (90^{\circ} - \theta)$,इसलिए:
$= \sec \theta \sec (90^{\circ} - \theta) = \text{दायाँ पक्ष (R.H.S.)}$

(C) दिया गया है,$\sqrt{3} \tan \theta = 1$.
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूंकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$ है।
अब,$\theta = 30^{\circ}$ का मान $\sin^{2} \theta - \cos^{2} \theta$ में रखने पर:
$\sin^{2} 30^{\circ} - \cos^{2} 30^{\circ} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$.
$= \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$.
$= \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) दिया गया व्यंजक: $(1+\tan ^{2} \theta)(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}$ का उपयोग करने पर,$(1-\sin \theta)(1+\sin \theta) = 1-\sin ^{2} \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $(1+\tan ^{2} \theta)(1-\sin ^{2} \theta)$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $1+\tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta$ और $1-\sin ^{2} \theta = \cos ^{2} \theta$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sec ^{2} \theta \cdot \cos ^{2} \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,इसलिए $\sec ^{2} \theta = \frac{1}{\cos ^{2} \theta}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{\cos ^{2} \theta} \cdot \cos ^{2} \theta = 1$।

(B) दिया गया समीकरण: $2 \sin^{2} \theta - \cos^{2} \theta = 2$
सर्वसमिका $\cos^{2} \theta = 1 - \sin^{2} \theta$ का उपयोग करते हुए,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2 \sin^{2} \theta - (1 - \sin^{2} \theta) = 2$
व्यंजक को सरल करने पर:
$2 \sin^{2} \theta - 1 + \sin^{2} \theta = 2$
$3 \sin^{2} \theta - 1 = 2$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$3 \sin^{2} \theta = 3$
$3$ से भाग देने पर:
$\sin^{2} \theta = 1$
वर्गमूल लेने पर:
$\sin \theta = 1$ (मुख्य मान को ध्यान में रखते हुए)
चूँकि $\sin 90^{\circ} = 1$,इसलिए:
$\theta = 90^{\circ}$

(N/A) बा.प. $= \frac{\cos ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right)+\cos ^{2}\left(45^{\circ}-\theta\right)}{\tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \tan \left(30^{\circ}-\theta\right)}$
सर्वसमिका $\cos \theta = \sin(90^{\circ}-\theta)$ और $\tan \theta = \cot(90^{\circ}-\theta)$ का उपयोग करने पर:
अंश: $\cos ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right) + \sin ^{2}\left(90^{\circ}-(45^{\circ}-\theta)\right) = \cos ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right) + \sin ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right) = 1$
हर: $\tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \cot \left(90^{\circ}-(30^{\circ}-\theta)\right) = \tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \cot \left(60^{\circ}+\theta\right) = \tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \frac{1}{\tan \left(60^{\circ}+\theta\right)} = 1$
अतः,$\frac{1}{1} = 1 = \text{दा.प.}$

(N/A) बायाँ पक्ष ($L$.$H$.$S$.) $= \tan ^{4} \theta + \tan ^{2} \theta$
$= \tan ^{2} \theta (\tan ^{2} \theta + 1)$
$= \tan ^{2} \theta \cdot \sec ^{2} \theta$ (चूँकि $\sec ^{2} \theta = \tan ^{2} \theta + 1$)
$= (\sec ^{2} \theta - 1) \cdot \sec ^{2} \theta$ (चूँकि $\tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta - 1$)
$= \sec ^{4} \theta - \sec ^{2} \theta = \text{दायाँ पक्ष (R.H.S.)}$

(N/A) दिया गया है,$\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = p$.
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ और $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = p$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $\frac{(1 + \cos \theta)^{2}}{\sin^{2} \theta} = p^{2}$.
सर्वसमिका $\sin^{2} \theta = 1 - \cos^{2} \theta = (1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(1 + \cos \theta)^{2}}{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)} = p^{2} \Rightarrow \frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = p^{2}$.
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1} = \frac{(1 + \cos \theta) - (1 - \cos \theta)}{(1 + \cos \theta) + (1 - \cos \theta)}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1} = \frac{1 + \cos \theta - 1 + \cos \theta}{1 + \cos \theta + 1 - \cos \theta} = \frac{2 \cos \theta}{2} = \cos \theta$.
अतः,$\cos \theta = \frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1}$. इति सिद्धम्।

(A) $L.H.S. = \sqrt{\sec ^{2} \theta+\operatorname{cosec}^{2} \theta}$
$= \sqrt{\frac{1}{\cos ^{2} \theta}+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}}$ $\left[\because \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \text{ और } \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}\right]$
$= \sqrt{\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta \cdot \cos ^{2} \theta}} = \sqrt{\frac{1}{\sin ^{2} \theta \cdot \cos ^{2} \theta}}$ $\left[\because \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta = 1\right]$
$= \frac{1}{\sin \theta \cdot \cos \theta} = \frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta}$ $\left[\because 1 = \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right]$
$= \frac{\sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta} + \frac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta}$
$= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ $\left[\because \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \text{ और } \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right]$
$= \tan \theta + \cot \theta = R.H.S.$

(A) दिया गया समीकरण: $1+\sin ^{2} \theta=3 \sin \theta \cos \theta$
दोनों पक्षों को $\cos^{2} \theta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\cos^{2} \theta} + \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} = \frac{3 \sin \theta \cos \theta}{\cos^{2} \theta}$
सर्वसमिकाओं $\sec^{2} \theta = \frac{1}{\cos^{2} \theta}$,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,और $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ का उपयोग करने पर:
$(1 + \tan^{2} \theta) + \tan^{2} \theta = 3 \tan \theta$
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर:
$2 \tan^{2} \theta - 3 \tan \theta + 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2 \tan^{2} \theta - 2 \tan \theta - \tan \theta + 1 = 0$
$2 \tan \theta (\tan \theta - 1) - 1 (\tan \theta - 1) = 0$
$(2 \tan \theta - 1) (\tan \theta - 1) = 0$
अतः,$\tan \theta - 1 = 0$ या $2 \tan \theta - 1 = 0$
$\tan \theta = 1$ या $\tan \theta = \frac{1}{2}$.
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया गया है,$\sin \theta + 2 \cos \theta = 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sin \theta + 2 \cos \theta)^2 = 1^2$
$\sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ और $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$(1 - \cos^2 \theta) + 4(1 - \sin^2 \theta) + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$
$1 - \cos^2 \theta + 4 - 4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$
$5 - (\cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta) = 1$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta = 5 - 1$
$4 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta = 4$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ को पहचानने पर,जहाँ $a = 2 \sin \theta$ और $b = \cos \theta$ है:
$(2 \sin \theta - \cos \theta)^2 = 4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$2 \sin \theta - \cos \theta = 2$
अतः सिद्ध हुआ।

(A) दिया है: $\tan \theta + \sec \theta = l$ .....$(i)$
हम जानते हैं कि सर्वसमिका: $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta = 1$ होती है।
इसे $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरण $(i)$ से $(\sec \theta + \tan \theta)$ का मान रखने पर:
$(\sec \theta - \tan \theta) \cdot l = 1$
$\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{l}$ .....$(ii)$
अब,समीकरण $(i)$ और समीकरण $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(\tan \theta + \sec \theta) + (\sec \theta - \tan \theta) = l + \frac{1}{l}$
$2 \sec \theta = \frac{l^{2} + 1}{l}$
दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर:
$\sec \theta = \frac{l^{2} + 1}{2l}$।
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया गया है कि,$\sin \theta + \cos \theta = p$ ......$(i)$
और $\sec \theta + \operatorname{cosec} \theta = q$
$\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta} = q$ $\left[\because \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \text{ और } \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}\right]$
$\Rightarrow \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta} = q$
$\Rightarrow \frac{p}{\sin \theta \cdot \cos \theta} = q$ [समीकरण $(i)$ से]
$\Rightarrow \sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{p}{q}$ ......$(ii)$
अब,समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = p^2$
$\Rightarrow (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 2 \sin \theta \cdot \cos \theta = p^2$ $\left[\because (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\right]$
$\Rightarrow 1 + 2 \sin \theta \cdot \cos \theta = p^2$ $\left[\because \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\right]$
समीकरण $(ii)$ से $\sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{p}{q}$ का मान रखने पर:
$\Rightarrow 1 + 2 \left(\frac{p}{q}\right) = p^2$
$\Rightarrow 1 + \frac{2p}{q} = p^2$
दोनों पक्षों को $q$ से गुणा करने पर:
$\Rightarrow q + 2p = p^2 q$
$\Rightarrow 2p = p^2 q - q$
$\Rightarrow 2p = q(p^2 - 1)$
अतः,$q(p^2 - 1) = 2p$ सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: $a \sin \theta + b \cos \theta = c$ $(1)$
माना कि $x = a \cos \theta - b \sin \theta$ $(2)$
दोनों समीकरणों $(1)$ और $(2)$ का वर्ग करके उन्हें जोड़ने पर:
$(a \sin \theta + b \cos \theta)^2 + (a \cos \theta - b \sin \theta)^2 = c^2 + x^2$
$a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta + a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta = c^2 + x^2$
$a^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + b^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = c^2 + x^2$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$a^2(1) + b^2(1) = c^2 + x^2$
$a^2 + b^2 = c^2 + x^2$
$x^2 = a^2 + b^2 - c^2$
$x = \pm \sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$
अतः,$a \cos \theta - b \sin \theta = \pm \sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$ सिद्ध हुआ।

(A) $L$.$H$.$S$. $= \frac{1+\sec \theta-\tan \theta}{1+\sec \theta+\tan \theta}$
$= \frac{1+\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1+\frac{1}{\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}$ $\left[\because \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta} \text{ और } \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right]$
$= \frac{\cos \theta+1-\sin \theta}{\cos \theta+1+\sin \theta} = \frac{(\cos \theta+1)-\sin \theta}{(\cos \theta+1)+\sin \theta}$
सर्वसमिका $1 = \sec^2 \theta - \tan^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta) + (\sec \theta - \tan \theta)}{1 + \sec \theta + \tan \theta}$
$= \frac{(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) + (\sec \theta - \tan \theta)}{1 + \sec \theta + \tan \theta}$
$= \frac{(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta + 1)}{1 + \sec \theta + \tan \theta}$
$= \sec \theta - \tan \theta$
$= \frac{1}{\cos \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1-\sin \theta}{\cos \theta} = \text{R.H.S.}$
इति सिद्धम्।

(B) $\Delta ABC$ में, $AC = 5$ और कर्ण $BC = 13$ है, जहाँ $m \angle A = 90^\circ$ है。
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 = BC^2 - AC^2$
$AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$AB = \sqrt{144} = 12$
अब, $\tan B = \frac{\text{$\angle B$ की सम्मुख भुजा}}{\text{$\angle B$ की संलग्न भुजा}} = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{12}$.

(C) दिया गया है: $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
समकोण त्रिभुज में,$\tan A = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{BC}{AC}$.
अतः,$\frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
मान लीजिए $BC = k$ और $AC = \sqrt{3}k$,जहाँ $k > 0$.
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AB^2 = BC^2 + AC^2$.
$AB^2 = k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2$.
अतः,$AB = 2k$.
अब,$\sin A = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AB} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$.
वैकल्पिक रूप से,चूँकि $\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}$,हम जानते हैं कि $A = 30^{\circ}$.
अतः,$\sin A = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ में,$m \angle C = 90^{\circ}$ और $\cos B = \frac{1}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $\cos B = \frac{\angle B \text{ की संलग्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AB}$ होता है।
अतः,$\frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$। मान लीजिए $BC = k$ और $AB = 2k$,जहाँ $k > 0$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$AC^2 + BC^2 = AB^2$।
$AC^2 + k^2 = (2k)^2 = 4k^2$।
$AC^2 = 3k^2 \implies AC = k\sqrt{3}$।
अब,$\operatorname{cosec} A = \frac{\text{कर्ण}}{\angle A \text{ की सम्मुख भुजा}} = \frac{AB}{BC}$।
$\operatorname{cosec} A = \frac{2k}{k} = 2$।