TS EAMCET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} = (4t + t^2)\hat{i} + (2t + \frac{t^2}{2})\hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ એ સ્થાન સદિશનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j}$.
$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $v_x = \frac{d}{dt}(4t + t^2) = 4 + 2t$.
$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $v_y = \frac{d}{dt}(2t + \frac{t^2}{2}) = 2 + t$.
તેથી,વેગ સદિશ $\vec{v} = (4 + 2t)\hat{i} + (2 + t)\hat{j} \text{ m/s}$ મળે છે.

(D) કાપવાનું કુલ અંતર $2d$ છે ($d$ અંતર પ્રવાહની વિરુદ્ધ અને $d$ અંતર પ્રવાહની દિશામાં).
સ્થિર પાણીમાં,માણસ $2v$ ની ઝડપે તરે છે. $2d$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_0 = \frac{2d}{2v} = \frac{d}{v}$ છે.
જ્યારે પ્રવાહની દિશામાં તરે છે,ત્યારે અસરકારક ઝડપ $v_{down} = v_m + v_r = 2v + v = 3v$ થાય છે. લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{3v}$ છે.
જ્યારે પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં તરે છે,ત્યારે અસરકારક ઝડપ $v_{up} = v_m - v_r = 2v - v = v$ થાય છે. લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{v}$ છે.
કુલ લાગતો સમય $t = t_1 + t_2 = \frac{d}{3v} + \frac{d}{v} = \frac{d + 3d}{3v} = \frac{4d}{3v}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{t}{t_0} = \frac{4d/3v}{d/v} = \frac{4}{3}$ થાય.

(A) ધારો કે બસની ઝડપ $V$ છે અને માણસની ઝડપ $V_o$ છે. બે ક્રમિક બસો વચ્ચેનું અંતર $d = V \cdot T$ છે.
જ્યારે માણસ બસની દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $V - V_o$ થાય છે. બસો તેની પાસેથી પસાર થાય તે વચ્ચેનો સમયગાળો $t_1 = \frac{d}{V - V_o} = \frac{VT}{V - V_o}$ છે.
આથી $V - V_o = \frac{VT}{t_1} \quad \dots (1)$.
જ્યારે માણસ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $V + V_o$ થાય છે. બસો તેની પાસેથી પસાર થાય તે વચ્ચેનો સમયગાળો $t_2 = \frac{d}{V + V_o} = \frac{VT}{V + V_o}$ છે.
આથી $V + V_o = \frac{VT}{t_2} \quad \dots (2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(V - V_o) + (V + V_o) = \frac{VT}{t_1} + \frac{VT}{t_2}$
$2V = VT \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \right)$
$2 = T \left( \frac{t_1 + t_2}{t_1 t_2} \right)$
$T = \frac{2 t_1 t_2}{t_1 + t_2}$

(C) સરેરાશ વેગ $V_1$ એ કુલ સ્થાનાંતરને કુલ સમયગાળા વડે ભાગતા મળે છે.
આપેલ છે $x(t) = \alpha t^3 + \beta t^2 + \gamma$.
$t = 1 \ s$ સમયે,$x(1) = \alpha(1)^3 + \beta(1)^2 + \gamma = \alpha + \beta + \gamma$.
$t = 3 \ s$ સમયે,$x(3) = \alpha(3)^3 + \beta(3)^2 + \gamma = 27\alpha + 9\beta + \gamma$.
સ્થાનાંતર $\Delta x = x(3) - x(1) = (27\alpha + 9\beta + \gamma) - (\alpha + \beta + \gamma) = 26\alpha + 8\beta$.
સમયગાળો $\Delta t = 3 - 1 = 2 \ s$.
$V_1 = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{26\alpha + 8\beta}{2} = 13\alpha + 4\beta$.
તત્કાલીન વેગ $V_2$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું વિકલન છે: $V(t) = \frac{dx}{dt} = 3\alpha t^2 + 2\beta t$.
$t = 3 \ s$ સમયે,$V_2 = 3\alpha(3)^2 + 2\beta(3) = 27\alpha + 6\beta$.
ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{13\alpha + 4\beta}{27\alpha + 6\beta}$.

(C) વેગ સદિશ $\vec{V} = V_x \hat{i} + V_y \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_x = 6 + 2t$ અને $V_y = 4 + 2\sqrt{3}t$ છે.
પ્રવેગ $\vec{a}$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $\vec{a} = \frac{d\vec{V}}{dt} = \frac{dV_x}{dt} \hat{i} + \frac{dV_y}{dt} \hat{j}$.
ઘટકોની ગણતરી કરતા:
$a_x = \frac{d}{dt}(6 + 2t) = 2 \text{ m/s}^2$.
$a_y = \frac{d}{dt}(4 + 2\sqrt{3}t) = 2\sqrt{3} \text{ m/s}^2$.
તેથી,પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = 2 \hat{i} + 2\sqrt{3} \hat{j} \text{ m/s}^2$ મળે છે.

(A) કણ $A$ નો વેગ $x$-અક્ષ પર અચળ છે: $\vec{V}_A = 1 \hat{i} \,m/s$.
$y$-અક્ષ પર ગતિ કરતા કણ $B$ માટે, સ્થાન $y = ct^2$ છે।
કણ $B$ નો વેગ $\vec{V}_B = \frac{dy}{dt} \hat{j} = 2ct \hat{j}$ છે।
$t = 1 \,s$ અને $c = 1 \,m/s^2$ પર, કણ $B$ નો વેગ $\vec{V}_B = 2(1)(1) \hat{j} = 2 \hat{j} \,m/s$ છે।
કણ $B$ ની સાપેક્ષમાં કણ $A$ નો સાપેક્ષ વેગ $\vec{V}_{AB} = \vec{V}_A - \vec{V}_B = 1 \hat{i} - 2 \hat{j} \,m/s$ છે।
ઝડપ એ સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય છે: $|\vec{V}_{AB}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \,m/s$.

(B) પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \,m/s$ અને પ્રવેગ $a = 2 \,m/s^2$ છે.
સમયગાળા $\Delta t = 1 \,s$ માટે ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_1$ માટે ($t=3 \,s$ થી $t=4 \,s$ નો ગાળો):
$t=3 \,s$ સમયે વેગ $v_3 = u + at = 10 + 2(3) = 16 \,m/s$ છે.
$S_1 = v_3(1) + \frac{1}{2}a(1)^2 = 16(1) + \frac{1}{2}(2)(1)^2 = 16 + 1 = 17 \,m$.
$S_2$ માટે ($t=4 \,s$ થી $t=5 \,s$ નો ગાળો):
$t=4 \,s$ સમયે વેગ $v_4 = u + at = 10 + 2(4) = 18 \,m/s$ છે.
$S_2 = v_4(1) + \frac{1}{2}a(1)^2 = 18(1) + \frac{1}{2}(2)(1)^2 = 18 + 1 = 19 \,m$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{S_2}{S_1} = \frac{19}{17}$ થાય.

(D) પ્રારંભિક વેગના ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$u_x = u \cos \theta = 40 \cos 30^{\circ} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \sqrt{3} \ m \ s^{-1}$
$u_y = u \sin \theta = 40 \sin 30^{\circ} = 40 \times \frac{1}{2} = 20 \ m \ s^{-1}$
સમય $t = 2.0 \ s$ માં સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $(x)$:
$x = u_x \times t = (20 \sqrt{3}) \times 2 = 40 \sqrt{3} \ m$
સમય $t = 2.0 \ s$ માં ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર $(y)$:
$y = u_y \times t - \frac{1}{2} g t^2 = (20 \times 2) - \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 40 - 20 = 20 \ m$
કુલ સ્થાનાંતર $(S)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$S = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(40 \sqrt{3})^2 + (20)^2}$
$S = \sqrt{1600 \times 3 + 400} = \sqrt{4800 + 400} = \sqrt{5200}$
$S = \sqrt{400 \times 13} = 20 \sqrt{13} \ m$

(B) ટેકરી લીસી હોવાથી,ટોચ પરની સ્થિતિ ઊર્જા $\frac{H}{2}$ ઊંચાઈએ ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $\frac{H}{2}$ ઊંચાઈએ વેગ $v$ છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mgH = mg(\frac{H}{2}) + \frac{1}{2}mv^2$
$mg(\frac{H}{2}) = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{gH}$
હવે,આ વસ્તુ $h' = \frac{H}{2}$ ઊંચાઈથી સમક્ષિતિજ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ તરીકે ગતિ કરે છે.
જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય:
$t = \sqrt{\frac{2h'}{g}} = \sqrt{\frac{2(H/2)}{g}} = \sqrt{\frac{H}{g}}$
કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર (અવધિ) છે:
$x = v \times t = \sqrt{gH} \times \sqrt{\frac{H}{g}} = H$

(B) પ્રારંભિક વેગના ઘટકો $u_x = 3 \text{ m s}^{-1}$ અને $u_y = 4 \text{ m s}^{-1}$ છે.
ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતા: $x = u_x t = 3t \Rightarrow t = \frac{x}{3}$.
$y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = 4t - \frac{1}{2} (10) t^2 = 4t - 5t^2$.
$t = \frac{x}{3}$ ને $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 4 \left( \frac{x}{3} \right) - 5 \left( \frac{x}{3} \right)^2 = \frac{4x}{3} - \frac{5x^2}{9}$.
આ સમીકરણને $\frac{1}{9} [\beta x + \gamma x^2]$ ના સ્વરૂપમાં લાવવા માટે,આપણે $9$ વડે ગુણી અને ભાગીશું:
$y = \frac{1}{9} [12x - 5x^2]$.
આપેલ સ્વરૂપ $\frac{1}{9} [\beta x + \gamma x^2]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\beta = 12$ અને $\gamma = -5$ મળે છે.

(A) ધારો કે વિમાન $t=0$ સમયે અવલોકનકાર $O$ ની બરાબર ઉપર $H$ ઊંચાઈએ બિંદુ $A$ પર છે. સમય $T$ પછી,વિમાન બિંદુ $B$ પર પહોંચે છે જેથી આડું અંતર $AB = VT$ થાય.
અવલોકન બિંદુ $O$ પાસે પથ $AB$ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\alpha$ છે.
$t=0$ સમયે ઉત્સેધકોણ $\theta_1 = 0$ છે.
બિંદુ $O$ પાસે રેખાખંડ $AB$ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\theta = \theta_2 - \theta_1$ છે,જ્યાં $\theta_2 = \tan^{-1}(\frac{VT}{H})$ અને $\theta_1 = 0$ છે.
આમ,આંતરાતો ખૂણો $\tan^{-1}(\frac{VT}{H})$ છે.

(B) વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta = 20 \cos 30^{\circ} = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \ m/s$ છે.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 20 \sin 30^{\circ} = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \ m/s$ છે.
$t = 0.1 \ s$ સમય પછી,સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = u_x t = 10\sqrt{3} \times 0.1 = \sqrt{3} \ m$ છે.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2 = 10 \times 0.1 - \frac{1}{2} \times 10 \times (0.1)^2 = 1 - 0.05 = 0.95 \ m = \frac{19}{20} \ m$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ અને સમક્ષિતિજ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{y}{x}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \frac{19/20}{\sqrt{3}} = \frac{19}{20\sqrt{3}}$ મળે છે.

(C) મહત્તમ ઊંચાઈ $h = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{2 u^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ને $R$ વડે ભાગતા:
$\frac{h}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} \cdot \frac{g}{2 u^2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{4}$.
તેથી,$\tan \alpha = \frac{4h}{R}$.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \alpha}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = \frac{4u^2 \sin^2 \alpha}{g^2}$.
આમ,$\frac{g T^2}{8} = \frac{g}{8} \cdot \frac{4u^2 \sin^2 \alpha}{g^2} = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} = h$.
તેથી,$h = \frac{g T^2}{8}$.

(C) ધારો કે સમક્ષિતિજ સાથેનો પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે. ટેકરીનો ઢાળ $\alpha = 30^{\circ}$ છે.
ઢાળની દિશામાં પ્રારંભિક વેગનો ઘટક: $u_x = u \cos(\theta + \alpha) = 10 \cos(30^{\circ} + 30^{\circ}) = 10 \cos 60^{\circ} = 5 \text{ m/s}$.
ઢાળને લંબ દિશામાં પ્રારંભિક વેગનો ઘટક: $u_y = u \sin(\theta + \alpha) = 10 \sin(60^{\circ}) = 5\sqrt{3} \text{ m/s}$.
પ્રવેગના ઘટકો: $a_x = g \sin 30^{\circ} = 5 \text{ m/s}^2$ અને $a_y = -g \cos 30^{\circ} = -5\sqrt{3} \text{ m/s}^2$.
ઉડ્ડયન સમય $T$ માટે,ઢાળને લંબ સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય:
$0 = u_y T + \frac{1}{2} a_y T^2 \implies T = \frac{-2 u_y}{a_y} = 2 \text{ s}$.
અંતર $AB = u_x T + \frac{1}{2} a_x T^2 = 5(2) + \frac{1}{2}(5)(2^2) = 10 + 10 = 20 \text{ m}$.

(B) ધારો કે માણસનો વેગ $\vec{v}_m = 6 \hat{i} \text{ km/h}$ છે અને વરસાદનો વેગ $\vec{v}_r = -6\sqrt{3} \hat{j} \text{ km/h}$ છે.
પોતાને બચાવવા માટે,માણસે છત્રીને માણસની સાપેક્ષે વરસાદના સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$ ની દિશામાં રાખવી જોઈએ.
$\vec{v}_{rm} = -6\sqrt{3} \hat{j} - 6 \hat{i} \text{ km/h}$.
શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\tan \alpha = \frac{|v_m|}{|v_r|} = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\alpha = 30^{\circ}$ મળે.
આમ,માણસે તેની છત્રી શિરોલંબ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે રાખવી જોઈએ.

(B) ધારો કે કાર $A$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે અને તેનો વેગ $\vec{V}_A = 25 \hat{j} \ km/hr$ છે. ધારો કે કાર $B$ બિંદુ $(0, 50)$ પર છે અને તેનો વેગ $\vec{V}_B = -25 \hat{i} \ km/hr$ છે.
કાર $B$ ની સાપેક્ષમાં કાર $A$ નો સાપેક્ષ વેગ $\vec{V}_{AB} = \vec{V}_A - \vec{V}_B = 25 \hat{j} - (-25 \hat{i}) = 25 \hat{i} + 25 \hat{j} \ km/hr$ થાય.
સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $|\vec{V}_{AB}| = \sqrt{25^2 + 25^2} = 25\sqrt{2} \ km/hr$ છે.
સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_A - \vec{r}_B = (0 - 0)\hat{i} + (0 - 50)\hat{j} = -50 \hat{j} \ km$ છે.
સૌથી નજીકના અંતરે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = -\frac{\vec{r}_{AB} \cdot \vec{V}_{AB}}{|\vec{V}_{AB}|^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$t = -\frac{(-50 \hat{j}) \cdot (25 \hat{i} + 25 \hat{j})}{(25\sqrt{2})^2} = -\frac{-1250}{1250} = 1 \ hr$.
આમ,લાગતો સમય $60 \ min$ છે.

(B) એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ માટે કોણીય સ્થાનાંતર $2\pi \text{ રેડિયન}$ છે.
મેરી-ગો-રાઉન્ડ $9$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે,તેથી કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\Delta\theta = 9 \times 2\pi = 18\pi \text{ રેડિયન}$ થાય.
લીધેલ સમય $\Delta t = 18 \text{ સેકન્ડ}$ છે.
કોણીય ઝડપ $\omega$ શોધવાનું સૂત્ર $\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\omega = \frac{18\pi}{18} = \pi \text{ rad/s}$ મળે છે.

(B) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનો કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt / 2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
યાંત્રિક ઉર્જા $E$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે,$E \propto A^2$.
તેથી,$E(t) = E_0 e^{-bt / m}$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે $E(t) = E_0 / 4$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $E_0 / 4 = E_0 e^{-bt / m}$.
આનું સાદું રૂપ $1/4 = e^{-bt / m}$ અથવા $2^{-2} = e^{-bt / m}$ થાય છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $-2 \ln 2 = -bt / m$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = (2m \ln 2) / b$.
અહીં $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,$b = 70 \text{ g/s} = 0.07 \text{ kg/s}$,અને $\ln 2 = 0.7$ આપેલ છે.
$t = (2 \times 0.2 \times 0.7) / 0.07 = 0.28 / 0.07 = 4 \text{ s}$.

(C) સાદા લોલકનો ગોળો ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ અને કારની વર્તુળાકાર ગતિને કારણે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c = v^2/R)$ અનુભવે છે.
આ બંને પ્રવેગ એકબીજાને લંબ છે.
ગોળા પર લાગતો અસરકારક પ્રવેગ $(g')$ $g' = \sqrt{g^2 + a_c^2} = \sqrt{g^2 + (v^2/R)^2} = \sqrt{g^2 + v^4/R^2}$ દ્વારા મળે છે.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{L/g'}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{L / \sqrt{g^2 + v^4/R^2}} = 2\pi \sqrt{1 / (g^2 + v^4/R^2)^{1/2}} = 2\pi / (g^2 + v^4/R^2)^{1/4}$.
આને $T = 2\pi / \alpha^{1/4}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = g^2 + v^4/R^2$ મળે છે.
અહીં $g = 10 \ m/s^2$,$v = 10 \ m/s$,અને $R = 100 \ m$ આપેલ છે:
$\alpha = (10)^2 + (10)^4 / (100)^2 = 100 + 10000 / 10000 = 100 + 1 = 101$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ અને કુલ ઊર્જા $(TE)$ $TE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$KE = 75\% \text{ of } TE$ હોવાથી:
$KE = \frac{3}{4} TE$
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 A^2)$
$A^2 - x^2 = \frac{3}{4} A^2$
$x^2 = A^2 - \frac{3}{4} A^2 = \frac{1}{4} A^2$
$x = \pm \frac{A}{2}$
મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ કરતા પદાર્થ માટે,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ છે.
$x = \frac{A}{2}$ મૂકતા,$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t) \Rightarrow \sin(\omega t) = \frac{1}{2}$.
આથી $\omega t = \frac{\pi}{6}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$.
$t = \frac{T}{12}$.
$T = 4 \ s$ આપેલ હોવાથી,$t = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \ s$.

(B) $t=2 \ s$ સમયે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા કણ માટે સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega(t - 2))$ છે.
આપેલ છે કે $T = 16 \ s$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{16} = \frac{\pi}{8} \ rad/s$ થાય.
વેગનું સમીકરણ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega(t - 2))$ છે.
$t = 4 \ s$ સમયે,$v = 4 \ m/s$:
$4 = A \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}(4 - 2)\right)$
$4 = A \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$4 = A \left(\frac{\pi}{8}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$A = \frac{4 \times 8 \times \sqrt{2}}{\pi} = \frac{32 \sqrt{2}}{\pi} \ m$.

(D) $S.H.M$ માં સ્થાનનું સમીકરણ $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $A = 5$ એ કંપવિસ્તાર છે.
$S.H.M$ તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2 = 100 \ J$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,સ્થાન $x(0) = 5 \cos\left(0 + \frac{\pi}{4}\right) = 5 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં $x(0)$ ની કિંમત મૂકતા:
$U(0) = \frac{1}{2} k \left(5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{25}{2}\right) = \frac{1}{4} k (25)$.
અહીં $E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} k (5)^2 = \frac{25}{2} k = 100 \ J$ હોવાથી,$k = \frac{200}{25} = 8 \ J/m^2$ મળે છે.
$U(0)$ ના સમીકરણમાં $k = 8$ મૂકતા:
$U(0) = \frac{1}{4} \times 8 \times 25 = 2 \times 25 = 50 \ J$.

(C) ગોળા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ) અને વિદ્યુત બળ $qE$ (ઉપરની તરફ,કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર શિરોલંબ ઉપરની તરફ છે અને વિદ્યુતભાર ધન છે) છે.
પરિણામી નીચેની તરફનું બળ $F = mg - qE$ છે.
આને $F = m(g - \frac{qE}{m})$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,ગુરુત્વપ્રવેગનો અસરકારક મૂલ્ય $g' = g - \frac{qE}{m}$ થાય.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$g'$ ની કિંમત મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g - \frac{qE}{m}}}$ મળે છે.

(B) નળાકાર સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,ઘર્ષણ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય છે. તેથી,આપણે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરી શકીએ છીએ.
ટોચ પર,કુલ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિતિ ઉર્જા છે: $E_i = mgh$.
તળિયે,કુલ ઉર્જા એ સ્થાનાંતરિત અને ભ્રમણીય ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $E_f = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2}mR^2$ છે અને શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$\omega = \frac{v}{R}$ છે.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
$v^2 = \frac{4gh}{3}$
$v = \sqrt{\frac{4 \times 10 \times 30}{3}} = \sqrt{400} = 20 \ m \ s^{-1}$.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.5 \ m$,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 10 \ kg \cdot m^2$,પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_0 = 70 \ rev/min = 70 \times \frac{2\pi}{60} \ rad/s = \frac{7\pi}{3} \ rad/s$,સમય $t = 5.0 \ s$,લંબબળ $N = 88 \ N$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega = 0 \ rad/s$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{0 - 7\pi/3}{5} = -\frac{7\pi}{15} \ rad/s^2$.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = I|\alpha| = 10 \times \frac{7\pi}{15} = \frac{14\pi}{3} \ N \cdot m$.
વળી,ટોર્ક $\tau = f_k \cdot r = \mu_k N \cdot r$.
બંનેને સરખાવતા: $\mu_k N r = \frac{14\pi}{3} \implies \mu_k (88)(0.5) = \frac{14\pi}{3}$.
$\mu_k (44) = \frac{14 \times 3.14159}{3} \approx 14.66$.
$\mu_k = \frac{14.66}{44} \approx 0.333$.
આમ,ગતિક ઘર્ષણાંક આશરે $0.33$ છે.

(C) ધારો કે $M$ એ મીટર પટ્ટીનું દળ છે। મીટર પટ્ટીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $50.0 \,cm$ ના નિશાન પર છે।
જ્યારે પટ્ટી $46.0 \,cm$ ના નિશાન પર સંતુલિત થાય છે, ત્યારે પટ્ટીના વજનને કારણે લાગતું ટોર્ક સિક્કાઓને કારણે લાગતા ટોર્ક દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ।
ચાર સિક્કાઓનું વજન $W_c = 4 \times 2 \,g = 8 \,g$ છે। આ $10.0 \,cm$ ના નિશાન પર કાર્ય કરે છે।
પિવોટ $(46.0 \,cm)$ થી સિક્કાઓનું અંતર $d_1 = 46.0 \,cm - 10.0 \,cm = 36.0 \,cm$ છે।
મીટર પટ્ટીનું વજન $W_s = M \,g$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર કાર્ય કરે છે, જે $50.0 \,cm$ ના નિશાન પર છે।
પિવોટથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $d_2 = 50.0 \,cm - 46.0 \,cm = 4.0 \,cm$ છે।
ભ્રમણીય સંતુલન માટે, ક્લોકવાઇઝ ટોર્ક એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ ટોર્ક જેટલું હોવું જોઈએ:
$M \,g \times d_2 = W_c \times d_1$
$M \,g \times 4.0 \,cm = 8 \,g \times 36.0 \,cm$
$4 \,M = 8 \times 36$
$M = 2 \times 36 = 72 \,g$.

(A) પદાર્થ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્માનું સૂત્ર: $H = m s \Delta T$,જ્યાં $H$ એ ઉષ્મા છે,$m$ એ દળ છે,$s$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ કિંમતો: $H = 2100.0 \ J$,$s = 900 \ J \ kg^{-1} K^{-1}$,અને $\Delta T = 2^{\circ} C = 2 \ K$.
દળ $m$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $m = \frac{H}{s \Delta T}$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{2100}{900 \times 2} = \frac{2100}{1800} = 1.166... \ kg$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $m \approx 1.16 \ kg$ મળે છે.

(C) પાણીની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $(L_f)$ $= 80 \ cal/g$.
ઇથરની બાષ્પીભવન ગુપ્ત ઉષ્મા $(L_v)$ $= 90 \ cal/g$.
ધારો કે ઇથરનું દળ $m$ છે.
$0^{\circ} C$ તાપમાને $5 \ g$ પાણીને થીજવવા માટે,પાણીમાંથી દૂર કરવામાં આવતી ઉષ્મા $Q = m_{water} \times L_f = 5 \ g \times 80 \ cal/g = 400 \ cal$ છે.
આ ઉષ્મા ઇથર દ્વારા તેના બાષ્પીભવન દરમિયાન શોષાય છે: $Q = m \times L_v$.
ઉષ્માને સરખાવતા: $400 \ cal = m \times 90 \ cal/g$.
$m = \frac{400}{90} \ g \approx 4.44 \ g$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $4.5 \ g$ છે.

(A) શોષાયેલી ઉષ્માનું સૂત્ર $\Delta Q = n C \Delta T$ છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$C$ એ મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
સૌ પ્રથમ,$CO_2$ ના મોલની સંખ્યા $n$ ગણો:
$n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{176 \text{ g}}{44 \text{ g/mol}} = 4 \text{ મોલ}$.
આપેલ છે કે $\Delta Q = 3600 \text{ J}$ અને $\Delta T = 30^{\circ} C - 0^{\circ} C = 30 \text{ K}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$3600 = 4 \times C \times 30$
$3600 = 120 \times C$
$C = \frac{3600}{120} = 30 \text{ J mol}^{-1} K^{-1}$.

(C) $h$ ઊંચાઈ પરથી પડતા પાણી દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા $\Delta U = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ઉર્જાના $10 \%$ પાણીનું તાપમાન વધારવા માટે ઉષ્મા $(\Delta Q)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,$\Delta Q = 0.1 \times \Delta U$.
ઉષ્મા અને સ્થિતિ ઉર્જાના સૂત્રો મૂકતા: $ms \Delta T = 0.1 \times mgh$.
બંને બાજુથી દળ $m$ દૂર કરતા: $s \Delta T = 0.1 \times gh$.
$\Delta T$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\Delta T = \frac{0.1 \times g \times h}{s}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta T = \frac{0.1 \times 10 \times 20}{4000}$.
$\Delta T = \frac{20}{4000} = \frac{1}{200} = 0.005^{\circ} C$.

(C) સૌ પ્રથમ,પાણીનું દળ શોધો: $m = V \times \rho = 3 \times 10^{-3} \text{ m}^3 \times 1000 \text{ kg/m}^3 = 3 \text{ kg}$.
તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $\Delta Q = m S \Delta T = 3 \times 4200 \times (80 - 0) = 1,008,000 \text{ J}$.
હીટરનો પાવર: $P = \frac{V^2}{R} = \frac{200^2}{50} = \frac{40000}{50} = 800 \text{ W}$.
જરૂરી સમય: $t = \frac{\Delta Q}{P} = \frac{1,008,000}{800} = 1260 \text{ s}$.
મિનિટમાં રૂપાંતર: $t = \frac{1260}{60} = 21 \text{ min}$.

(A) ધારો કે $30^{\circ} C$ તાપમાને તાંબાની રીંગનું ક્ષેત્રફળ $A_c$ અને સ્ટીલના સળિયાનું ક્ષેત્રફળ $A_s$ છે.
આપેલ છે: $A_c = 9.98 \ cm^2$,$A_s = 10 \ cm^2$.
રેખીય પ્રસરણાંક: $\alpha_c = 17 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$,$\alpha_s = 11 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક: $\beta_c = 2\alpha_c = 34 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$,$\beta_s = 2\alpha_s = 22 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
રીંગ સળિયા પર ચડી શકે તે માટે,નવા તાપમાન $T = T_0 + \Delta T$ પર રીંગનું ક્ષેત્રફળ સળિયાના ક્ષેત્રફળ જેટલું અથવા તેનાથી વધારે હોવું જોઈએ.
$A_c(1 + \beta_c \Delta T) = A_s(1 + \beta_s \Delta T)$
$9.98(1 + 34 \times 10^{-6} \Delta T) = 10(1 + 22 \times 10^{-6} \Delta T)$
$9.98 + 9.98 \times 34 \times 10^{-6} \Delta T = 10 + 10 \times 22 \times 10^{-6} \Delta T$
$(339.32 - 220) \times 10^{-6} \Delta T = 10 - 9.98$
$119.32 \times 10^{-6} \Delta T = 0.02$
$\Delta T = \frac{0.02}{119.32 \times 10^{-6}} \approx 167.6^{\circ} C$.

(B) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 0.2 \,m^2$,જાડાઈ $d = 2.0 \,cm = 0.02 \,m$,ઉષ્મા વાહકતા $K = 120 \,J s^{-1} m^{-1} K^{-1}$,ગુપ્ત ઉષ્મા $L = 2 \times 10^6 \,J/kg$,અને પાણી ઉકળવાનો દર $dm/dt = 3.0 \,kg/min = 3.0/60 \,kg/s = 0.05 \,kg/s$.
વાસણના તળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(T - T_{water})}{d}$.
પાણી ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો દર: $\frac{dQ}{dt} = L \frac{dm}{dt}$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{KA}{d} (T - 100) = L \frac{dm}{dt}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{120 \times 0.2}{0.02} (T - 100) = (2 \times 10^6) \times 0.05$.
$1200 (T - 100) = 100,000$.
$T - 100 = \frac{100,000}{1200} = 83.33$.
$T \approx 183.33^{\circ} C$. તેથી,તાપમાન આશરે $183^{\circ} C$ છે.

(C) પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા એટલે પદાર્થના એકમ દળનું તાપમાન $1 \text{ K}$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો જથ્થો.
તે એક આંતરિક ગુણધર્મ છે જે પદાર્થના સ્વભાવ અને તેની અવસ્થા પર આધાર રાખે છે.
પ્રાયોગિક અવલોકનો દર્શાવે છે કે પાણી સહિત મોટાભાગના પદાર્થોની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા તાપમાન સાથે બદલાય છે.
તેથી, પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા તાપમાન સાથે બદલાતી નથી તેવું વિધાન ખોટું છે.
આમ, વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(D) ન્યુટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ, તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\theta_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે。
આનું સંકલન કરતા, આપણને $\ln\left(\frac{\theta_1 - \theta_0}{\theta_2 - \theta_0}\right) = kt$ મળે છે。
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\theta_1 = 100^{\circ} C$, $\theta_2 = 40^{\circ} C$, $\theta_0 = 10^{\circ} C$, $t = 10$ મિનિટ.
$kt_1 = \ln\left(\frac{100-10}{40-10}\right) = \ln\left(\frac{90}{30}\right) = \ln 3 = 1.1$.
તેથી, $k(10) = 1.1 \Rightarrow k = 0.11 \text{ min}^{-1}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\theta_1 = 70^{\circ} C$, $\theta_2 = 20^{\circ} C$, $\theta_0 = 10^{\circ} C$.
$kt_2 = \ln\left(\frac{70-10}{20-10}\right) = \ln\left(\frac{60}{10}\right) = \ln 6 = 1.8$.
$k = 0.11$ મૂકતા: $0.11 \times t_2 = 1.8$.
$t_2 = \frac{1.8}{0.11} \approx 16.36$ મિનિટ.
આમ, લાગતો સમય આશરે $16.3$ મિનિટ છે.

(A) ધારો કે ચોક્કસ તાપમાને સ્ટીલ અને તાંબાના સળિયાની લંબાઈ $L_s$ અને $L_c$ છે. તેમની લંબાઈનો તફાવત $L_s - L_c = 4 \ cm$ આપેલ છે,જે કોઈપણ તાપમાને અચળ રહે છે.
આનો અર્થ એ છે કે તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T$ ને કારણે બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,$\Delta L_s = \Delta L_c$.
રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $\Delta L = \alpha L \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\alpha_s L_s \Delta T = \alpha_c L_c \Delta T$ મળે છે.
બંને બાજુથી $\Delta T$ ને દૂર કરતા,આપણી પાસે $\alpha_s L_s = \alpha_c L_c$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(1.1 \times 10^{-5}) L_s = (1.7 \times 10^{-5}) L_c$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{L_s}{L_c} = \frac{1.7 \times 10^{-5}}{1.1 \times 10^{-5}} = \frac{17}{11}$ થાય છે.

(B) તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 230^{\circ} C - 30^{\circ} C = 200^{\circ} C$ છે.
જ્યારે કાણાવાળી ધાતુની શીટને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કાણું એવી રીતે વિસ્તરે છે જાણે કે તે તે જ પદાર્થનો નક્કર ટુકડો હોય.
રેખીય પ્રસરણનું સૂત્ર $L = L_0(1 + \alpha \Delta T)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $L = 5 \times (1 + 2 \times 10^{-5} \times 200)$.
$L = 5 \times (1 + 400 \times 10^{-5}) = 5 \times (1 + 0.004) = 5 \times 1.004 = 5.02 \ cm$.

(C) સંયુક્ત સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર એ વ્યક્તિગત સળિયાઓની લંબાઈમાં થતા ફેરફારોનો સરવાળો છે.
$\Delta l = \Delta l_A + \Delta l_B$
રેખીય પ્રસરણના સૂત્ર $\Delta l = l \alpha \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $l = 0.5 \ m$,$\Delta T = 230^{\circ} C - 30^{\circ} C = 200^{\circ} C$,$\alpha_A = 2.0 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,અને $\alpha_B = 1.0 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ છે:
$\Delta l = (l_A \alpha_A \Delta T) + (l_B \alpha_B \Delta T)$
$\Delta l = l \Delta T (\alpha_A + \alpha_B)$
$\Delta l = 0.5 \times 200 \times (2.0 \times 10^{-5} + 1.0 \times 10^{-5})$
$\Delta l = 100 \times (3.0 \times 10^{-5})$
$\Delta l = 3.0 \times 10^{-3} \ m = 3 \ mm$
તેથી,લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $3 \ mm$ છે.

(D) વિધાન $(I)$ સાચું છે: કેલરીમીટર એ એક એવું સાધન છે જેનો ઉપયોગ ભૌતિક અથવા રાસાયણિક પ્રક્રિયાઓમાં સામેલ ઉષ્માને માપવા માટે થાય છે.
વિધાન $(II)$ ખોટું છે: સ્કેટિંગ કરતી વખતે,સ્કેટ દ્વારા બરફ પર લાગતું દબાણ બરફના ગલનબિંદુને ઘટાડે છે (Regelation),જેના કારણે તે પાણીના પાતળા સ્તરમાં ઓગળી જાય છે જે લુબ્રિકન્ટ તરીકે કામ કરે છે. આ વિધાન ખોટી રીતે તાપમાનમાં વધારાને તેનું કારણ ગણાવે છે.
વિધાન $(III)$ સાચું છે: કેલરીમીટર જેવી અલગ સિસ્ટમમાં,ગરમ પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા પદાર્થ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે સિસ્ટમની કુલ આંતરિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
તેથી,વિધાનો $(I)$ અને $(III)$ સાચા છે,જ્યારે વિધાન $(II)$ ખોટું છે.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
તેથી,$\Delta U = \Delta Q - W$.
પાણીના અવસ્થા પરિવર્તન માટે આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = m L = 1 \ kg \times 2000 \ kJ/kg = 2000 \ kJ$ છે.
અવસ્થા પરિવર્તન દરમિયાન કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_{final} - V_{initial} = 2.001 \ m^3 - 0.001 \ m^3 = 2 \ m^3$ છે.
વરાળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = P \Delta V = (1.00 \times 10^5 \ Pa) \times (2 \ m^3) = 2 \times 10^5 \ J = 200 \ kJ$ છે.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta U = 2000 \ kJ - 200 \ kJ = 1800 \ kJ$.

(D) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = nR \Delta T = 200 \ J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુને આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_P \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $C_P = \frac{7}{2} R$ આપેલ છે,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\Delta Q = n \left( \frac{7}{2} R \right) \Delta T = \frac{7}{2} (nR \Delta T)$.
$nR \Delta T = 200 \ J$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta Q = \frac{7}{2} \times 200 \ J = 7 \times 100 \ J = 700 \ J$.

(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ વાયુ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = \Delta U + W$ છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_{V} \Delta T = n \left(\frac{3}{2} R\right) \Delta T = \frac{3}{2} (P_{f} V_{f} - P_{i} V_{i})$ છે.
આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિ $(P_{i}, V_{i}) = (P_{o}, V_{o})$ અને અંતિમ સ્થિતિ $(P_{f}, V_{f}) = (3 P_{o}, 3 V_{o})$ છે.
$\Delta U = \frac{3}{2} (3 P_{o} \cdot 3 V_{o} - P_{o} V_{o}) = \frac{3}{2} (9 P_{o} V_{o} - P_{o} V_{o}) = \frac{3}{2} (8 P_{o} V_{o}) = 12 P_{o} V_{o}$.
થયેલ કાર્ય $W$ એ $P-V$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે. દબાણ $(P_{o}, V_{o})$ થી $(3 P_{o}, 3 V_{o})$ સુધી કદ સાથે રેખીય રીતે બદલાતું હોવાથી,આ ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
$W = \text{Area} = \frac{1}{2} (P_{i} + P_{f}) (V_{f} - V_{i}) = \frac{1}{2} (P_{o} + 3 P_{o}) (3 V_{o} - V_{o}) = \frac{1}{2} (4 P_{o}) (2 V_{o}) = 4 P_{o} V_{o}$.
આમ,કુલ શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = \Delta U + W = 12 P_{o} V_{o} + 4 P_{o} V_{o} = 16 P_{o} V_{o}$ છે.

(A) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે, આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_P \Delta T = 700 \,J$ છે।
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ છે।
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1.4 = \frac{7}{5}$ છે।
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + W$, તેથી વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \Delta Q - \Delta U$ છે।
કારણ કે $\Delta U = n C_V \Delta T = n \left(\frac{C_P}{\gamma}\right) \Delta T = \frac{\Delta Q}{\gamma}$, તેથી:
$W = \Delta Q - \frac{\Delta Q}{\gamma} = \Delta Q \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 700 \left(1 - \frac{5}{7}\right) = 700 \left(\frac{2}{7}\right) = 200 \,J$.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta Q = \Delta W$.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $\Delta W$ એ $P-V$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
પાયો $= 2V - V = V$
વેધ $= 2P - P = P$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times V \times P = \frac{PV}{2}$.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય ધન છે,જેનો અર્થ છે કે ઉષ્માનું શોષણ થાય છે. તેથી,તંત્ર દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્માનો જથ્થો $-\frac{PV}{2}$ છે.

(C) સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = n R \Delta T = 100 J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = \frac{5}{2} R$ છે.
વાયુને આપવામાં આવતી ઉષ્મા $Q = n C_P \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$C_P$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $Q = n (\frac{5}{2} R) \Delta T = \frac{5}{2} (n R \Delta T)$ મળે છે.
અહીં $n R \Delta T = 100 J$ હોવાથી,$Q = \frac{5}{2} \times 100 J = 250 J$ થાય.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થતું કુલ કાર્ય $P-V$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ચક્ર વિષમઘડી (anti-clockwise) દિશામાં હોવાથી,કાર્ય ઋણ મળે છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$Area = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
$Area = \frac{1}{2} \times (2V_1 - V_1) \times (3P_1 - P_1)$
$Area = \frac{1}{2} \times V_1 \times 2P_1 = P_1 V_1$
ચક્ર વિષમઘડી હોવાથી,કાર્ય $-P_1 V_1$ થાય છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પો જોતા,અહીં કાર્યનું મૂલ્ય માંગેલું છે.
તેથી,કુલ કાર્યનું મૂલ્ય $P_1 V_1$ છે.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $T V^{\gamma-1} = (T/2) (4V)^{\gamma-1}$.
બંને બાજુ $T V^{\gamma-1}$ વડે ભાગતા,આપણને $1 = (1/2) (4)^{\gamma-1}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2 = 4^{\gamma-1}$.
કારણ કે $4 = 2^2$,તેથી $2^1 = (2^2)^{\gamma-1} = 2^{2\gamma-2}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $1 = 2\gamma - 2$,તેથી $2\gamma = 3$,જે $\gamma = 3/2$ આપે છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે.
$T_1 = T$,$T_2 = T/2$,અને $\gamma = 3/2$ મૂકતા: $W = \frac{nR(T - T/2)}{3/2 - 1} = \frac{nR(T/2)}{1/2} = nRT$.
આદર્શ વાયુ માટે $PV = nRT$ હોવાથી,$W = PV$ મળે છે.
$W = \alpha PV$ ને $W = PV$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1$ મળે છે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક અવસ્થા $A$ છે જે $(P_0, V_0, T_0)$ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા $A \to B$ માં, તાપમાન અચળ રહે છે, તેથી $B$ આગળની અવસ્થા $(P', 8V_0, T_0)$ છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા $B \to C$ માં, વાયુને $V_0$ કદ સુધી સંકોચવામાં આવે છે. સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટેનું સૂત્ર $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
પ્રક્રિયા $B \to C$ માટે:
$T_0 (8V_0)^{\gamma-1} = T'' (V_0)^{\gamma-1}$
અહીં $\gamma = 4/3$ આપેલ છે, તેથી $\gamma - 1 = 1/3$.
$T_0 (8V_0)^{1/3} = T'' (V_0)^{1/3}$
$T_0 \cdot 8^{1/3} = T''$
$T'' = 2 T_0$
અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $U_{av} = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે સૂચવે છે કે $U_{av} \propto T$.
તેથી, અંતિમ અવસ્થામાં સરેરાશ ગતિઊર્જાનો પ્રારંભિક અવસ્થા સાથેનો ગુણોત્તર:
$\frac{(U_{av})_f}{(U_{av})_i} = \frac{T''}{T_0} = \frac{2 T_0}{T_0} = 2$.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંતિમ કદ $V_2 = 2V$ અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = T/2$ છે.
આ કિંમતોને સમોષ્મી સંબંધમાં મૂકતા:
$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$
$T \cdot V^{\gamma-1} = (T/2) \cdot (2V)^{\gamma-1}$
બંને બાજુને $T \cdot V^{\gamma-1}$ વડે ભાગતા:
$1 = (1/2) \cdot 2^{\gamma-1}$
$2 = 2^{\gamma-1}$
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકો સમાન હોવા જોઈએ:
$1 = \gamma - 1$
$\gamma = 2$.

(C) વિધાન સાચું છે કારણ કે,થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$. આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે ઉષ્મા $(Q)$ અને કાર્ય $(W)$ બંને ઉર્જા સ્થાનાંતરણના પ્રકારો છે જે સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જા $(\Delta U)$ માં ફેરફાર કરે છે.
જોકે,કારણ ખોટું છે. થર્મોડાયનેમિક્સમાં,અવસ્થા ચલ (state variables) એવા ગુણધર્મો છે જે ફક્ત સિસ્ટમની વર્તમાન અવસ્થા પર આધાર રાખે છે,જેમ કે દબાણ $(P)$,કદ $(V)$,તાપમાન $(T)$ અને આંતરિક ઉર્જા $(U)$. ઉષ્મા અને કાર્ય એ પથ વિધેયો (path functions) છે,જેનો અર્થ છે કે તેમના મૂલ્યો અવસ્થા સુધી પહોંચવા માટે અપનાવેલા માર્ગ પર આધાર રાખે છે,માત્ર અવસ્થા પર નહીં.
તેથી,$(A)$ સાચું છે પણ $(R)$ ખોટું છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = B_0 c$ છે.
અહીં $B_0 = 2 \times 10^{-8} \text{ T}$ અને $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ આપેલ છે.
તેથી,$E_0 = (2 \times 10^{-8}) \times (3 \times 10^8) = 6 \text{ V m}^{-1}$.
તરંગના પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,તરંગ $-\hat{j}$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\hat{k}$ દિશામાં છે.
ધારો કે $\vec{E}$ ની દિશા $\hat{n}$ છે. તો $\hat{n} \times \hat{k} = -\hat{j}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,તેથી વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\hat{i}$ દિશામાં હોવું જોઈએ.
તરંગનો ફેઝ (કળા) સમાન રહે છે,તેથી કોસાઇન વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ $\pi \times 10^{15}(t + \frac{y}{c})$ રહેશે.
આમ,$\vec{E} = (6) \cos [\pi \times 10^{15}(t + \frac{y}{c})] \hat{i} \text{ V m}^{-1}$.

(B) સપાટી પર પ્રકાશના કિરણપુંજ દ્વારા લાગતું બળ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$P$ પાવર ધરાવતા કિરણપુંજ માટે જે લંબરૂપે આપાત થાય છે:
$1$. શોષાયેલા ભાગ $(70 \%)$ ને કારણે બળ: $F_{abs} = \frac{P_{abs}}{c} = \frac{0.7 P}{c}$
$2$. પરાવર્તિત ભાગ $(30 \%)$ ને કારણે બળ: $F_{ref} = \frac{2 P_{ref}}{c} = \frac{2 \times 0.3 P}{c} = \frac{0.6 P}{c}$
કુલ બળ $F = F_{abs} + F_{ref} = \frac{0.7 P + 0.6 P}{c} = \frac{1.3 P}{c}$
અહીં $P = 10 \ W$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ આપેલ છે:
$F = \frac{1.3 \times 10}{3 \times 10^8} = \frac{13}{3} \times 10^{-8} \ N \approx 4.33 \times 10^{-8} \ N$.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\vec{E} \times \vec{B}$ ની દિશા છે.
પ્રથમ,આપણે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો માટે એકમ સદિશો શોધીએ:
$\hat{E} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$
$\hat{B} = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}$
પ્રસરણની દિશા $\hat{n}$ એ $\hat{E} \times \hat{B}$ દ્વારા મળે છે:
$\hat{n} = \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) \times \left( \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} \right)$
$\hat{n} = \frac{1}{2} [(\hat{i} \times \hat{i}) - (\hat{i} \times \hat{j}) + (\hat{j} \times \hat{i}) - (\hat{j} \times \hat{j})]$
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમો $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\hat{n} = \frac{1}{2} [0 - \hat{k} - \hat{k} - 0] = \frac{1}{2} [-2\hat{k}] = -\hat{k}$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $I = \frac{B_0^2}{2 \mu_0} c$.
આપેલ છે: $I = 2.1 \times 10^{15} \ W/m^2$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
કિંમતો મૂકતા: $2.1 \times 10^{15} = \frac{B_0^2 \times 3 \times 10^8}{2 \times 4 \pi \times 10^{-7}}$.
$2.1 \times 10^{15} = \frac{B_0^2 \times 3 \times 10^8}{8 \pi \times 10^{-7}}$.
$B_0^2 = \frac{2.1 \times 10^{15} \times 8 \pi \times 10^{-7}}{3 \times 10^8} = \frac{16.8 \pi \times 10^8}{3 \times 10^8} = 5.6 \pi \approx 5.6 \times 3.14 = 17.584 \approx 17.64$.
$B_0 = \sqrt{17.64} = 4.2 \ T$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની સરેરાશ તીવ્રતા $I$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $I = \frac{B_0^2 C}{2 \mu_0}$.
આપેલ છે,$I = \frac{6}{\pi} \times 10^3 \text{ W/m}^2$,$C = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$B_0^2$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $B_0^2 = \frac{2 \mu_0 I}{C}$.
કિંમતો મૂકતા: $B_0^2 = \frac{2 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (\frac{6}{\pi} \times 10^3)}{3 \times 10^8}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $B_0^2 = \frac{8\pi \times 10^{-7} \times 6 \times 10^3}{\pi \times 3 \times 10^8} = \frac{48 \times 10^{-4}}{3 \times 10^8} = 16 \times 10^{-12}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $B_0 = \sqrt{16 \times 10^{-12}} = 4 \times 10^{-6} \text{ T}$.

(B) આપેલ છે: $E_0 = 150 \text{ V/m}$,$f = 30 \text{ MHz} = 30 \times 10^6 \text{ Hz}$.
$1$. ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપનવિસ્તાર: $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{150}{3 \times 10^8} = 5 \times 10^{-7} \text{ T}$.
$2$. કોણીય આવૃત્તિ: $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 30 \times 10^6 = 60\pi \times 10^6 \text{ rad/s} = 6\pi \times 10^7 \text{ rad/s}$.
$3$. તરંગ સંખ્યા: $k = \frac{\omega}{c} = \frac{6\pi \times 10^7}{3 \times 10^8} = 0.2\pi = \frac{\pi}{5} \text{ rad/m}$.
$4$. દિશા: તરંગ $\hat{i}$ ($x$-અક્ષ) દિશામાં પ્રસરણ પામે છે અને $\vec{E}$ એ $\hat{j}$ ($y$-અક્ષ) દિશામાં છે. $\vec{B}$ એ $\vec{E}$ અને પ્રસરણની દિશા બંનેને લંબ હોવું જોઈએ,તેથી $\vec{B}$ એ $z$-અક્ષની દિશામાં હશે.
$5$. તરંગનું સમીકરણ: $\vec{B} = B_0 \sin(kx - \omega t) \hat{k} = 5 \times 10^{-7} \sin \left[\pi \left(\frac{x}{5} - 6 \times 10^7 t\right)\right] \hat{z} \text{ T}$.

$(A)$ ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = +10 \mu C$, $q_2 = -10 \mu C$ છે અને પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q_0 = 5 \mu C$ છે. $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ છે。
પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q_0$ મધ્યબિંદુ પર મૂકવામાં આવ્યો છે, તેથી દરેક વિદ્યુતભારથી તેનું અંતર $r = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ થશે。
$q_1$ દ્વારા $q_0$ પર લાગતું બળ $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_0}{r^2}$ (અપાકર્ષી, $q_2$ ની દિશામાં).
$q_2$ દ્વારા $q_0$ પર લાગતું બળ $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_2| q_0}{r^2}$ (આકર્ષી, $q_2$ ની દિશામાં).
બંને બળો એક જ દિશામાં હોવાથી, કુલ બળ $F = F_1 + F_2 = 2 \times \frac{9 \times 10^9 \times 10 \times 10^{-6} \times 5 \times 10^{-6}}{(0.05)^2}$.
$F = 2 \times \frac{9 \times 10^9 \times 50 \times 10^{-12}}{25 \times 10^{-4}} = 2 \times \frac{450 \times 10^{-3}}{25 \times 10^{-4}} = 2 \times 18 \times 10 = 360 \text{ N}$.

(C) શિરોબિંદુ $B$ પરના $2q$ વિદ્યુતભારને બે $+q$ વિદ્યુતભારોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. એક $+q$ વિદ્યુતભાર શિરોબિંદુ $A$ પરના $-q$ વિદ્યુતભાર સાથે ડાયપોલ બનાવે છે,અને બીજો $+q$ વિદ્યુતભાર શિરોબિંદુ $C$ પરના $-q$ વિદ્યુતભાર સાથે ડાયપોલ બનાવે છે.
ધારો કે $AB = d_1$ અને $BC = d_2$.
ત્રિકોણ પરથી,$d_1 = 10 \cos 30^{\circ} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ cm}$ અને $d_2 = 10 \sin 30^{\circ} = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \text{ cm}$.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_1$ ($BA$ ની દિશામાં) $q \times d_1 = 5\sqrt{3}q \text{ C-cm}$ છે.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_2$ ($BC$ ની દિશામાં) $q \times d_2 = 5q \text{ C-cm}$ છે.
આ બંને ડાયપોલ એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટ $P$ નીચે મુજબ મળે:
$P = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} = \sqrt{(5\sqrt{3}q)^2 + (5q)^2} = \sqrt{75q^2 + 25q^2} = \sqrt{100q^2} = 10q \text{ C-cm}$.

(C) ઘર્ષણરહિત ઢળતા સમતલ પર બ્લોક સ્થિર રહે તે માટે, ઢળતા સમતલની નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું ઘટક, સમતલની ઉપરની તરફ લાગતા વિદ્યુત બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
$mg \sin \theta = qE$
$E = \frac{mg \sin \theta}{q}$
આપેલ છે: $m = 5 \, g = 5 \times 10^{-3} \, kg$, $q = 5 \, \mu C = 5 \times 10^{-6} \, C$, $\theta = 60^{\circ}$, $g = 10 \, m/s^2$.
$E = \frac{5 \times 10^{-3} \times 10 \times \sin(60^{\circ})}{5 \times 10^{-6}}$
$E = \frac{5 \times 10^{-2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{5 \times 10^{-6}}$
$E = 10^4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \, N/C$
આમ, વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 10^4 \, N/C$ છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{net}} = \frac{q}{\epsilon_0}$ છે.
અહીં વિદ્યુતભાર $q = 6 \mu C = 6 \times 10^{-6} \ C$ સમઘનના કેન્દ્ર પર હોવાથી,ફ્લક્સ $6$ બાજુઓમાંથી સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,દરેક બાજુમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{\text{face}} = \frac{\phi_{\text{net}}}{6} = \frac{q}{6 \epsilon_0}$ થશે.
આપેલ છે કે $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$,તેથી $\frac{1}{\epsilon_0} = 36 \pi \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\phi_{\text{face}} = \frac{6 \times 10^{-6}}{6} \times (36 \pi \times 10^9) = 10^{-6} \times 36 \pi \times 10^9 = 36 \pi \times 10^3 \ Nm^2 / C$.

(A) $r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q$ અને $e$ ના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q e}{r}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ ગતિઊર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે:
$\Delta U = \Delta K$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} q e \left( \frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_f} \right) = \frac{1}{2} m v^2$
આપેલ છે: $q = 20 \times 10^{-9} \ C$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$r_i = 4 \ m$,$r_f = 2 \ m$,$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$,$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$9 \times 10^9 \times 20 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19} \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \times 9 \times 10^{-31} \times v^2$
નોંધ: ઇલેક્ટ્રોન અપાકર્ષણ અનુભવે છે,તેથી કાર્યનું મૂલ્ય $W = k q e (\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i})$ લેતા:
$9 \times 10^9 \times 20 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19} \times (0.5 - 0.25) = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times v^2$
$9 \times 20 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.25 = 4.5 \times 10^{-31} \times v^2$
$72 \times 10^{-19} \times 0.25 = 4.5 \times 10^{-31} \times v^2$
$18 \times 10^{-19} = 4.5 \times 10^{-31} \times v^2$
$v^2 = \frac{18 \times 10^{-19}}{4.5 \times 10^{-31}} = 4 \times 10^{12}$
$v = 2 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$.

(A) મોટી ચાર્જ્ડ પ્લેટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ઇલેક્ટ્રોન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થયેલા ઘટાડા જેટલું હોવું જોઈએ.
$W = \Delta K$
$F \cdot d = K_{initial}$
$(qE)d = K_{initial}$
$q \left( \frac{\sigma}{2\epsilon_{0}} \right) d = K_{initial}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$\sigma = 8.85 \times 10^{-6} \ C \ m^{-2}$
$\epsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \ C^{2} \ N^{-1} \ m^{-2}$
$K_{initial} = 8 \times 10^{-17} \ J$
ગણતરી મુજબ,જો આપણે $E = \frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$ લઈએ (જેમ કે બે પ્લેટો વચ્ચે હોય),તો $d = 0.5 \ mm$ મળે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે રીંગોના કેન્દ્રો $A$ અને $B$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{3} R$ છે.
રીંગ $1$ (વિદ્યુતભાર $q$) ને કારણે કેન્દ્ર $A$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{A1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{R}$ છે.
રીંગ $2$ (વિદ્યુતભાર $-q$) ને કારણે કેન્દ્ર $A$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{A2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{-q}{\sqrt{R^2 + d^2}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{-q}{\sqrt{R^2 + 3R^2}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{-q}{2R}$ છે.
$A$ પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A = V_{A1} + V_{A2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} (\frac{q}{R} - \frac{q}{2R}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R}$ છે.
તે જ રીતે,રીંગ $2$ (વિદ્યુતભાર $-q$) ને કારણે કેન્દ્ર $B$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{B2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{-q}{R}$ છે.
રીંગ $1$ (વિદ્યુતભાર $q$) ને કારણે કેન્દ્ર $B$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{B1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + d^2}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R}$ છે.
$B$ પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_B = V_{B1} + V_{B2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} (\frac{q}{2R} - \frac{q}{R}) = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનું મૂલ્ય $|V_A - V_B| = |\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R} - (-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R})| = |\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q}{2R}| = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ થાય.

(C) ધારો કે ગોળા '$1$' અને ગોળા '$2$' પરના અંતિમ વિદ્યુતભારો અનુક્રમે $q_1$ અને $q_2$ છે.
વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$q_1 + q_2 = q$.
જ્યારે તેમને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને ગોળાઓના સ્થિતિમાન સમાન થાય છે,તેથી $V_1 = V_2$.
સ્થિતિમાનના સૂત્ર $V = \frac{Kq}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{Kq_1}{R} = \frac{Kq_2}{3R}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $q_2 = 3q_1$ મળે છે.
આ કિંમતને વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા: $q_1 + 3q_1 = q \Rightarrow 4q_1 = q \Rightarrow q_1 = \frac{q}{4}$ અને $q_2 = \frac{3q}{4}$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{q}{A} = \frac{q}{4\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\sigma_1 = \frac{q_1}{4\pi R^2} = \frac{q/4}{4\pi R^2} = \frac{q}{16\pi R^2}$.
અને $\sigma_2 = \frac{q_2}{4\pi (3R)^2} = \frac{3q/4}{4\pi (9R^2)} = \frac{3q}{144\pi R^2} = \frac{q}{48\pi R^2}$.
ગુણોત્તર $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{q / 16\pi R^2}{q / 48\pi R^2} = \frac{48}{16} = 3$ થાય છે.

(C) ધારો કે બે ગોળાઓની ત્રિજ્યા $R_1 = 4R$ અને $R_2 = 7R$ છે. જ્યારે તેઓ સંપર્કમાં હોય,ત્યારે તેઓ સમાન સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત કરે છે.
$V = \frac{Kq}{R}$ હોવાથી,$\frac{Kq_1}{R_1} = \frac{Kq_2}{R_2}$ થાય.
આથી $\frac{q_1}{4R} = \frac{q_2}{7R}$,એટલે કે $\frac{q_1}{q_2} = \frac{4}{7}$.
કુલ વિદ્યુતભાર $q = q_1 + q_2 = 8.8 \times 10^{-7} \text{ C}$.
$q_2 = \frac{7}{4}q_1$ મૂકતા,$q_1 + \frac{7}{4}q_1 = 8.8 \times 10^{-7} \text{ C}$.
$\frac{11}{4}q_1 = 8.8 \times 10^{-7} \text{ C} \Rightarrow q_1 = \frac{4}{11} \times 8.8 \times 10^{-7} = 3.2 \times 10^{-7} \text{ C}$.
નાના ગોળાથી $r = 60 \text{ m}$ અંતરે સ્થિતિમાન $V = \frac{Kq_1}{r}$ થાય.
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 3.2 \times 10^{-7}}{60} = \frac{28.8 \times 10^2}{60} = 48 \text{ V}$.

(D) અવરોધકતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$ છે,જ્યાં $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે.
સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = v_d \tau$ છે,જ્યાં $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ ઝડપ છે.
અવરોધકતાના સૂત્ર પરથી,$\tau = \frac{m}{ne^2\rho}$.
આ કિંમત સરેરાશ મુક્ત પથના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = v_d \left( \frac{m}{ne^2\rho} \right) = \frac{m v_d}{ne^2\rho}$.
આપેલ છે: $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$,$v_d = 1.6 \times 10^6 \ m/s$,$n = 9 \times 10^{28} \ m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $\rho = 1 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$.
$\lambda = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^6)}{(9 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \times (1 \times 10^{-8})}$.
$\lambda = \frac{14.4 \times 10^{-25}}{9 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38} \times 10^{-8}} = \frac{14.4 \times 10^{-25}}{23.04 \times 10^{-18}} = 0.625 \times 10^{-7} \ m = 62.5 \ nm$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ g = 10^{-3} \ kg$,અંતર $r = 1 \ m$,વિદ્યુતભાર $q = 1 \ fC = 10^{-15} \ C$.
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: $F_g = \frac{G m_1 m_2}{r^2} = \frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (10^{-3}) \times (10^{-3})}{1^2} = 6.67 \times 10^{-17} \ N$.
$2$. સ્થિત-વિદ્યુત બળ: $F_e = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = \frac{(9 \times 10^9) \times (10^{-15}) \times (10^{-15})}{1^2} = 9 \times 10^{-21} \ N$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$F_g > F_e$ $(6.67 \times 10^{-17} \ N > 9 \times 10^{-21} \ N)$.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ પ્રભાવી બળ છે.

(B) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ,વિદ્યુતચુંબકીય બળ અને પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ.
આ બધામાં,પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ સૌથી શક્તિશાળી બળ છે,જે ન્યુક્લિયસને જકડી રાખવા માટે ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) વચ્ચે કાર્ય કરે છે.

(A) બંને વાયરોમાં વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન દિશામાં વહેતો હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું ચુંબકીય બળ આકર્ષી પ્રકારનું હશે.
નીચેના વાયરને હવામાં લટકતો રાખવા માટે,એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું ઉપરની તરફનું ચુંબકીય બળ,એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતા નીચેની તરફના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
ધારો કે $I_1 = 160 \ A$ એ ઉપરના વાયરમાં વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$I_2$ એ નીચેના વાયરમાં વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$d = 4 \ cm = 4 \times 10^{-2} \ m$ એ અંતર છે,અને $\lambda = 10 \ g \ m^{-1} = 10 \times 10^{-3} \ kg \ m^{-1}$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
સંતુલન માટેની શરત છે:
$F_{magnetic} = F_{gravitational}$
$\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} = \lambda g$
$I_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$I_2 = \frac{2 \pi d \lambda g}{\mu_0 I_1}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I_2 = \frac{2 \pi \times (4 \times 10^{-2}) \times (10 \times 10^{-3}) \times 10}{4 \pi \times 10^{-7} \times 160}$
$I_2 = \frac{8 \pi \times 10^{-3} \times 10}{4 \pi \times 10^{-7} \times 160} = \frac{8 \times 10^{-2}}{4 \times 10^{-7} \times 160} = \frac{2 \times 10^5}{160} = \frac{200000}{160} = 125 \ A$
આમ,નીચેના વાયરમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $125 \ A$ છે.

(A) બે સમાંતર પ્રવાહધારિત વાહકો વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi d}$.
આપેલ છે: $l = 50 \ m$,$d = 0.2 \ m$,$F = 1 \ N$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
ધારો કે બીજા વાહકમાં વહેતો પ્રવાહ $i$ છે. તો પ્રથમ વાહકમાં વહેતો પ્રવાહ $i_1 = 2i$ થશે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{50} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times (2i) \times i}{2 \pi \times 0.2}$
$\frac{1}{50} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{2i^2}{0.2}$
$0.02 = 2 \times 10^{-6} \times i^2$
$i^2 = \frac{0.02}{2 \times 10^{-6}} = 0.01 \times 10^6 = 10^4$
$i = \sqrt{10^4} = 100 \ A$.
તેથી,બીજા વાહકમાં વહેતો પ્રવાહ $100 \ A$ છે.

(A) તાર $b$ ને કારણે તાર $a$ પર લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f_{ab} = \frac{\mu_0 i_a i_b}{2 \pi d_1}$ છે. પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,આ બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે.
તાર $c$ ને કારણે તાર $a$ પર લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f_{ac} = \frac{\mu_0 i_a i_c}{2 \pi (d_1 + d_2)}$ છે. પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,આ બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું છે.
આપેલ છે કે $d_2 = 2 d_1$,$i_b = i_a$ અને $i_c = 4 i_a$,તેથી તાર $a$ પર લાગતું પરિણામી એકમ લંબાઈ દીઠ બળ:
$f_{net} = f_{ab} - f_{ac} = \frac{\mu_0 i_a^2}{2 \pi d_1} - \frac{\mu_0 i_a (4 i_a)}{2 \pi (d_1 + 2 d_1)}$
$f_{net} = \frac{\mu_0 i_a^2}{2 \pi d_1} - \frac{4 \mu_0 i_a^2}{2 \pi (3 d_1)} = \frac{\mu_0 i_a^2}{2 \pi d_1} \left( 1 - \frac{4}{3} \right) = \frac{\mu_0 i_a^2}{2 \pi d_1} \left( -\frac{1}{3} \right)$
$l$ લંબાઈ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $F = |f_{net}| \times l = \frac{\mu_0 i_a^2 l}{6 \pi d_1}$ થાય.

(A) અનંત લંબાઈના તારમાંથી વહેતા પ્રવાહ $i$ ને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x_1 = 1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}$ પરના તાર માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધન $y$-અક્ષની દિશામાં છે (જમણા હાથના નિયમ મુજબ): $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (10^{-2})} \hat{j}$.
$x_2 = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ પરના તાર માટે,ઉગમબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ ધન $y$-અક્ષની દિશામાં છે: $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (2 \times 10^{-2})} \hat{j}$.
ઉગમબિંદુ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi} \left[ \frac{1}{10^{-2}} + \frac{1}{2 \times 10^{-2}} \right] \hat{j} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi \times 10^{-2}} \left[ 1 + \frac{1}{2} \right] \hat{j} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi \times 10^{-2}} \left( \frac{3}{2} \right) \hat{j}$.
આપેલ છે કે $B_0$ એ માત્ર પ્રથમ તારને કારણે ક્ષેત્રનું મૂલ્ય છે: $B_0 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi \times 10^{-2}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $B / B_0 = \frac{3}{2}$ થાય.

(A) ચુંબકીય ડાયપોલની વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_{\text{equator}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{M}{r^3}$
આપેલ છે:
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = 27 \times 10^{22} \ A \ m^2$
ત્રિજ્યા $r = 300 \ km = 300 \times 10^3 \ m = 3 \times 10^5 \ m$
અચળાંક $\frac{\mu_0}{4 \pi} = 10^{-7} \ T \ m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B_{\text{equator}} = 10^{-7} \times \frac{27 \times 10^{22}}{(3 \times 10^5)^3}$
$B_{\text{equator}} = 10^{-7} \times \frac{27 \times 10^{22}}{27 \times 10^{15}}$
$B_{\text{equator}} = 10^{-7} \times 10^7 = 1 \ T$
તેથી,વિષુવવૃત્ત પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $1 \ T$ છે.

(A) આપેલ છે:
આંતરિક ત્રિજ્યા $r_1 = 24 \ cm = 0.24 \ m$
બાહ્ય ત્રિજ્યા $r_2 = 26 \ cm = 0.26 \ m$
આંટાની સંખ્યા $N = 2000$
પ્રવાહ $I = 12 \ A$
ટોરોઇડની સરેરાશ ત્રિજ્યા $r$ નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{24 + 26}{2} = 25 \ cm = 0.25 \ m$
ટોરોઇડના કોરની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર:
$B = \mu_0 n I$
જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે,$n = \frac{N}{2 \pi r}$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \mu_0 \left( \frac{N}{2 \pi r} \right) I$
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times \left( \frac{2000}{2 \pi \times 0.25} \right) \times 12$
$B = (2 \times 10^{-7}) \times \left( \frac{2000}{0.25} \right) \times 12$
$B = (2 \times 10^{-7}) \times 8000 \times 12$
$B = 192000 \times 10^{-7} \ T$
$B = 1.92 \times 10^{-2} \ T$

(A) કેન્દ્ર $O$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ વળાંકવાળા ભાગ અને સીધા ભાગને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
$1$. વળાંકવાળા ભાગને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
કેન્દ્ર પર ચાપ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\theta = 2\pi - 2\phi = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ છે.
$B_{\text{arc}} = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi R} = \frac{10^{-7} \times 5 \times (3\pi/2)}{0.1} = 50 \times 10^{-7} \times 1.5 \times 3.14 \approx 23.55 \mu\text{T}$.
$2$. સીધા ભાગને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$O$ થી સીધા તારનું અંતર $d = R \cos(45^{\circ}) = R/\sqrt{2}$ છે.
તારના છેડાઓ દ્વારા $O$ પર આંતરાતા ખૂણા $\phi_1 = 45^{\circ}$ અને $\phi_2 = 45^{\circ}$ છે.
$B_{\text{straight}} = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{10^{-7} \times 5}{0.1/\sqrt{2}} \times (1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2}) = \frac{10^{-7} \times 5 \times \sqrt{2}}{0.1} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{10^{-6} \times 5 \times 2}{0.1} = 10 \mu\text{T}$.
$3$. કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં (પાનાની અંદરની તરફ) હોવાથી,$B_{\text{net}} = B_{\text{arc}} + B_{\text{straight}} = 23.55 \mu\text{T} + 10 \mu\text{T} = 33.55 \mu\text{T} \approx 33.6 \mu\text{T}$.

(B) આપેલ છે:
$n = 70 \text{ turns } cm^{-1} = 7000 \text{ turns } m^{-1}$
$r = 2.5 \text{ cm} = 0.025 \text{ m}$
$v = 4.4 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$
$m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{mv^2}{r} = qvB$
લાંબા સોલેનોઈડ માટે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = \mu_0 n I$
બળના સમીકરણમાં $B$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{mv^2}{r} = qv(\mu_0 n I)$
પ્રવાહ $I$ માટે સૂત્ર:
$I = \frac{mv}{q \mu_0 n r}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (4.4 \times 10^6)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times (7000) \times (0.025)}$
$I = 0.1125 \text{ A} = 112.5 \text{ mA}$

(C) સોલેનોઈડની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ સોલેનોઈડને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેની અક્ષની દિશામાં હોય છે: $B_s = \mu_0 n I_s$. અહીં $n = 10 \text{ turns/cm} = 1000 \text{ turns/m}$ અને $I_s = 7 \times 10^{-3} \text{ A}$ છે। તેથી, $B_s = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 7 \times 10^{-3} = 28\pi \times 10^{-7} \text{ T}$.
$r = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ અંતરે સીધા વાહકને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે: $B_c = \frac{\mu_0 I_c}{2\pi r}$.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર અક્ષ સાથે $\theta = 60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે। તેથી, $\tan(60^{\circ}) = \frac{B_c}{B_s}$.
$\sqrt{3} = \frac{\mu_0 I_c / (2\pi r)}{\mu_0 n I_s} = \frac{I_c}{2\pi r n I_s}$.
$I_c = \sqrt{3} \times 2\pi r n I_s = 1.7 \times 2 \times 3.14 \times 0.05 \times 1000 \times 7 \times 10^{-3}$.
$I_c = 1.7 \times 6.28 \times 0.05 \times 7 = 3.7366 \text{ A} \approx 3.74 \text{ A}$.

(A) વિધાન $(I)$: ઇલેક્ટ્રોન પરનું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ છે કારણ કે વેગ $\vec{v}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર છે. વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E} = -e\vec{E}$ છે. ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વીજભારિત હોવાથી,વિદ્યુત બળ વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. જેમ ઇલેક્ટ્રોન ક્ષેત્રની દિશામાં ગતિ કરે છે,તેમ વિદ્યુત બળ તેની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે,જેનાથી તેનો વેગ ઘટે છે. તેથી,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
વિધાન $(II)$: સમાન દિશામાં $i$ પ્રવાહ વહન કરતા બે સમાંતર તાર માટે,મધ્યબિંદુએ દરેક તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે (જમણા હાથના નિયમ મુજબ). તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_{\text{net}} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = 0$. તેથી,વિધાન $(II)$ સાચું છે.
વિધાન $(III)$: સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સ્થાયી પ્રવાહ ધરાવતી લંબચોરસ કોઈલ માટે,વિરુદ્ધ બાજુઓ પર લાગતા બળો સમાન અને વિરુદ્ધ હોય છે,જેના પરિણામે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થાય છે. તેથી,વિધાન $(III)$ સાચું છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા અને $\theta$ (રેડિયનમાં) ખૂણો આંતરતા વર્તુળાકાર ચાપને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i \theta}{4 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\theta = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ રેડિયન}$.
સીધા વિભાગો $AB$ અને $CD$ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેમને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે $(B_{AB} = 0, B_{CD} = 0)$.
ચાપ $AD$ (ત્રિજ્યા $R_1 = 0.01 \text{ m}$) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{AD} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R_1} \times \frac{\pi}{6} = \frac{\mu_0 i}{24 R_1}$ (બહારની તરફ,$\odot$).
ચાપ $BC$ (ત્રિજ્યા $R_2 = 0.02 \text{ m}$) ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{BC} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R_2} \times \frac{\pi}{6} = \frac{\mu_0 i}{24 R_2}$ (અંદરની તરફ,$\otimes$).
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_{AD} - B_{BC} = \frac{\mu_0 i}{24} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $B_{net} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times (1.2 / \pi)}{24} \left( \frac{1}{0.01} - \frac{1}{0.02} \right) = \frac{4.8 \times 10^{-7}}{24} (100 - 50) = 0.2 \times 10^{-7} \times 50 = 10 \times 10^{-7} \text{ T} = 1 \mu \text{T}$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સતત હોય છે અને બંધ ગાળાઓ બનાવે છે કારણ કે પ્રકૃતિમાં કોઈ અલગ ચુંબકીય વીજભાર (ચુંબકીય મોનોપોલ) અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.
ચુંબકત્વ માટેના ગૌસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સતત હોવી જોઈએ અને તેનો કોઈ શરૂઆત કે અંત હોઈ શકે નહીં.
ચુંબકીય મોનોપોલ અસ્તિત્વ ધરાવતા ન હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ કોઈ એક બિંદુથી શરૂ થઈ શકતી નથી કે કોઈ એક બિંદુએ સમાપ્ત થઈ શકતી નથી,આમ તે બંધ ગાળાઓ બનાવે છે.
તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 200 \ G = 200 \times 10^{-4} \ T = 0.02 \ T$.
ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$.
ટોર્ક $\tau = 0.012 \ Nm$.
ચુંબકીય સોય પર લાગતા ટોર્કનું સૂત્ર $\tau = mB \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.012 = m \times 0.02 \times \sin 30^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $0.012 = m \times 0.02 \times 0.5$.
$0.012 = m \times 0.01$.
$m = \frac{0.012}{0.01} = 1.2 \ Am^2$.

(C) કણ $x$-અક્ષ પર અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરે છે,તેથી $x = vt$,જેનો અર્થ છે કે $t = x/v$.
$y$-અક્ષ પર,કણ અચળ બળ $F = qE$ અનુભવે છે,જેના કારણે પ્રવેગ $a = qE/m$ મળે છે.
ગતિના સમીકરણ $y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u_y = 0$ છે:
$y = \frac{1}{2} (\frac{qE}{m}) (\frac{x}{v})^2 = (\frac{qE}{2mv^2}) x^2$.
આ સમીકરણ $y = kx^2$ સ્વરૂપનું છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.
તેથી,કણનો ગતિપથ પરવલયાકાર હશે.

(C) ધારો કે $\phi$ એ ડીપ એંગલ (નમન કોણ) છે.
સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને નમન કોણ $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $B_H = B \cos \phi$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos \phi = \frac{B_H}{B} = \frac{86.6}{100} = 0.866$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$,તેથી $\phi = 30^{\circ}$.
આમ,નમન કોણ $30^{\circ}$ છે.

(B) ગજિયા ચુંબકની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_{\text{axial}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{d^3}$
આપેલ કિંમતો:
$B_{\text{axial}} = 5 \times 10^{-8} \ T$
$d = 1 \ m$
$\frac{\mu_0}{4 \pi} = 10^{-7} \ T \ m/A$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$5 \times 10^{-8} = 10^{-7} \times \frac{2 \times M}{1^3}$
$5 \times 10^{-8} = 10^{-7} \times 2M$
$M = \frac{5 \times 10^{-8}}{2 \times 10^{-7}}$
$M = \frac{5}{20} = 0.25 \ A \ m^2$
આમ,ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $0.25 \ A \ m^2$ છે.

(C) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર $\phi = B \cdot A$ છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$B = \frac{\phi}{A} = \frac{2.4 \pi \times 10^{-5} \ Wb}{2 \times 10^{-5} \ m^2} = 1.2 \pi \ T$.
હવે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને મેગ્નેટાઇઝિંગ ક્ષેત્ર $H$ વચ્ચેનો સંબંધ $B = \mu H$ છે.
$\mu = \frac{B}{H} = \frac{1.2 \pi \ T}{2400 \ A/m} = 5 \pi \times 10^{-4} \ T \cdot m/A$.
સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r$ નું સૂત્ર $\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}$ છે.
$\mu_r = \frac{5 \pi \times 10^{-4}}{4 \pi \times 10^{-7}} = 1250$.
કારણ કે $\mu_r = 1 + \chi$,તેથી ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi = \mu_r - 1 = 1250 - 1 = 1249$ થાય.

(A) $L$ લંબાઈનો એક આરો જ્યારે $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $\omega$ કોણીય વેગથી ફરે છે,ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $(e)$ નીચે મુજબ છે: $e = \frac{1}{2} B \omega L^2$.
આપેલ છે:
$B = H_{e} = 0.4 \text{ G} = 0.4 \times 10^{-4} \text{ T}$.
$L = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$.
આવૃત્તિ $f = 180 \text{ rev/min} = 3 \text{ Hz}$.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 6 \pi \text{ rad/s}$.
કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times (0.4 \times 10^{-4}) \times (6 \pi) \times (0.4)^2$.
$e = 0.2 \times 10^{-4} \times 6 \pi \times 0.16$.
$e = 0.192 \pi \times 10^{-4} \text{ V} = 192 \pi \times 10^{-7} \text{ V}$.
બધા આરા સમાંતર હોવાથી,કુલ પ્રેરિત emf એક આરા જેટલું જ રહેશે.

(C) ટોરોઇડની સરેરાશ ત્રિજ્યા $r_m$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$r_m = \frac{0.24 + 0.26}{2} = 0.25 \ m$
ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \mu_0 n I = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r_m}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$N = 2500$,$I = 10 \ A$,$r_m = 0.25 \ m$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2500 \times 10}{2 \pi \times 0.25}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 25000}{0.25} = \frac{5 \times 10^{-3}}{0.25} = 20 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-2} \ T$

(C) મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M} = \frac{N}{N_A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$M$ એ મોલર દળ છે,$N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
આપેલ છે કે $m = 1 \text{ mg} = 10^{-3} \text{ g}$,$M = 240 \text{ g/mol}$,અને $N_A = 6 \times 10^{23} \text{ atoms/mol}$.
અણુઓની સંખ્યા $N$:
$N = \frac{10^{-3}}{240} \times 6 \times 10^{23} = 2.5 \times 10^{18} \text{ અણુઓ}$.
પ્રતિ વિખંડન મુક્ત થતી ઉર્જા $E_f = 200 \text{ MeV} = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-11} \text{ J}$.
કુલ મુક્ત થતી ઉર્જા $E = N \times E_f = 2.5 \times 10^{18} \times 3.2 \times 10^{-11} \text{ J} = 8.0 \times 10^7 \text{ J}$.

(C) દળ ક્રમાંક $A$ ના સંદર્ભમાં પરમાણુ ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ દળ ક્રમાંક $A$ વધે છે,તેમ ન્યુક્લિયસનું દળ $(M \approx A \cdot m_p)$ અને ન્યુક્લિયસનું કદ $(V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A)$ બંને વધે છે.
ન્યુક્લિયન્સની સંખ્યા વધવાની સાથે બંધન ઉર્જા પણ બદલાય છે.
જોકે,ન્યુક્લિયર ઘનતા $\rho$ નીચે મુજબ છે:
$\rho = \frac{\text{ન્યુક્લિયસનું દળ}}{\text{ન્યુક્લિયસનું કદ}} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3m}{4 \pi R_0^3}$.
અહીં $m$ (સરેરાશ ન્યુક્લિયોન દળ) અને $R_0$ અચળાંક હોવાથી,ન્યુક્લિયર ઘનતા દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે અને અચળ રહે છે.

(D) ન્યુક્લિયસની ઘનતાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}}$.
ન્યુક્લિયસનું દળ $M = A \times m_p$,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $m_p \approx 1.6 \times 10^{-27} \text{ kg}$ છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$,જ્યાં $R = R_0 A^{1/3}$ છે.
$V$ ની કિંમત મૂકતા: $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$.
ઘનતા $\rho = \frac{A \times m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3 m_p}{4 \pi R_0^3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{3 \times 1.6 \times 10^{-27}}{4 \times 3.14 \times (1.2 \times 10^{-15})^3}$.
$\rho = \frac{4.8 \times 10^{-27}}{12.56 \times 1.728 \times 10^{-45}} \approx 2.2 \times 10^{17} \text{ kg m}^{-3}$.

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
ધારો કે $A_1 = 189$ દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R_1$ છે,તેથી $R_1 = R_0 (189)^{1/3}$.
ધારો કે બીજા ન્યુક્લિયસનો દળ ક્રમાંક $A_2$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R_2$ છે,તેથી $R_2 = R_0 (A_2)^{1/3}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$R_2 = \frac{1}{3} R_1$.
કિંમતો મૂકતા,$R_0 (A_2)^{1/3} = \frac{1}{3} R_0 (189)^{1/3}$.
બંને બાજુથી $R_0$ દૂર કરતા,$(A_2)^{1/3} = \frac{1}{3} (189)^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$A_2 = (\frac{1}{3})^3 \times 189$.
$A_2 = \frac{1}{27} \times 189 = 7$.
આમ,દળ ક્રમાંક $7$ છે.

(C) ન્યુક્લિયર બળ એ ટૂંકા ગાળાનું બળ છે જે ન્યુક્લિયસની અંદર રહેલા ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) વચ્ચે કાર્ય કરે છે.
તે ત્યારે જ અસરકારક બને છે જ્યારે બે ન્યુક્લિયોન્સ વચ્ચેનું અંતર આશરે $1$ ફર્મી હોય, જે $10^{-15} \,m$ ની બરાબર છે.
આ અંતરથી આગળ, ન્યુક્લિયર બળ ઝડપથી ઘટે છે અને નહિવત થઈ જાય છે.
તેથી, ન્યુક્લિયર બળની રેન્જ $10^{-15} \,m$ છે.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$.
આપેલ છે કે $R_0 \simeq 1.0 \times 10^{-15} \ m$,$\pi \simeq 3$,અને $A = 27$:
$V = \frac{4}{3} \times 3 \times (1.0 \times 10^{-15} \ m)^3 \times 27$.
$V = 4 \times 10^{-45} \times 27 \ m^3 = 108 \times 10^{-45} \ m^3$.
કારણ કે $1 \ \text{Å} = 10^{-10} \ m$,તેથી $1 \ m = 10^{10} \ \text{Å}$,અને $1 \ m^3 = 10^{30} \ (\text{Å})^3$.
$V = 108 \times 10^{-45} \times 10^{30} \ (\text{Å})^3 = 108 \times 10^{-15} \ (\text{Å})^3 \approx 1 \times 10^{-13} \ (\text{Å})^3$.

(D) ક્રાંતિકોણ $\theta_{c}$ એ આપાતકોણ છે જેના માટે વક્રીભવનકોણ $90^{\circ}$ થાય છે.
તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\sin \theta_{c} = \frac{n_2}{n_1}$
અહીં $n_1 = 2$ અને $n_2 = \sqrt{3}$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sin \theta_{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$\theta_{c} = 60^{\circ}$

(A) આપેલ છે: વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$,વસ્તુ અંતર $u = -60 \ cm$,પ્રતિબિંબ અંતર $v = +120 \ cm$.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,ધારો કે બહિર્ગોળ સપાટીની ત્રિજ્યા $R_1 = -R$ (કારણ કે તે વસ્તુની સામે છે) અને સપાટ સપાટીની ત્રિજ્યા $R_2 = \infty$ છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right) = 0.5 \left( -\frac{1}{R} \right) = -\frac{1}{2R}$
તેથી,$f = -2R$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{1}{120} - \frac{1}{-60} = \frac{1}{-2R}$
$\frac{1}{120} + \frac{1}{60} = -\frac{1}{2R}$
$\frac{1 + 2}{120} = -\frac{1}{2R}$
$\frac{3}{120} = -\frac{1}{2R} \Rightarrow \frac{1}{40} = -\frac{1}{2R}$
$2R = -40 \ cm$. ત્રિજ્યાનું મૂલ્ય ધન લેતા,$R = 20 \ cm$ મળે છે.

(D) દીવાલ પરના બિંદુ $A$ માંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો કાચમાંથી પસાર થઈને ગોળાકાર સપાટી પર હવામાં વક્રીભવન પામે છે।
ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ છે।
અહીં, પ્રકાશ કાચ $(\mu_1 = 1.5)$ માંથી હવામાં $(\mu_2 = 1.0)$ જાય છે।
વસ્તુ અંતર $u$ એ ધ્રુવ $X$ થી $A$ નું અંતર છે। $XA = 3 \text{ cm}$ હોવાથી અને પ્રકાશ $A$ થી $X$ તરફ ગતિ કરતો હોવાથી, $u = -3 \text{ cm}$ લેવાય।
ગોળાકાર સપાટી (કાચની બાજુથી જોતા) માટે વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -5 \text{ cm}$ છે કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર ધ્રુવ $X$ ની ડાબી બાજુએ આવેલું છે।
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1.0}{v} - \frac{1.5}{-3} = \frac{1.0 - 1.5}{-5}$
$\frac{1}{v} + 0.5 = \frac{-0.5}{-5} = 0.1$
$\frac{1}{v} = 0.1 - 0.5 = -0.4$
$v = -\frac{1}{0.4} = -2.5 \text{ cm}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ $I$ એ ધ્રુવ $X$ ની ડાબી બાજુએ $2.5 \text{ cm}$ અંતરે રચાય છે।
અવલોકનકાર $O$ નું ધ્રુવ $X$ થી અંતર $OX = OA - XA = 8 - 3 = 5 \text{ cm}$ છે।
તેથી, અવલોકનકાર $O$ થી $A$ નું આભાસી અંતર $OI = OX + XI = 5 \text{ cm} + 2.5 \text{ cm} = 7.5 \text{ cm}$ થાય।

(A) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
આપેલ છે: $f = \frac{20}{3} \ cm$,$R_1 = 5 \ cm$,$R_2 = -10 \ cm$ (દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{-10} \right)$
$\frac{3}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{2 + 1}{10} \right)$
$\frac{3}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{3}{10} \right)$
$\mu - 1 = \frac{3}{20} \times \frac{10}{3}$
$\mu - 1 = \frac{1}{2}$
$\mu = 1 + 0.5 = 1.5$

(C) હવામાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = 25^{-1} \ cm^{-1}$.
જ્યારે તેને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f_w$ આ મુજબ મળે છે: $\frac{1}{f_w} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \left( \frac{2}{R} \right)$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{f_w}{f_a} = \frac{\mu_g - 1}{\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1} = \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{4/3} - 1} = \frac{0.5}{1.125 - 1} = \frac{0.5}{0.125} = 4$.
આમ,$f_w = 4 \times f_a = 4 \times 25 \ cm = 100 \ cm$.
કેન્દ્રલંબાઈમાં થતો નિરપેક્ષ ફેરફાર $|f_w - f_a| = |100 \ cm - 25 \ cm| = 75 \ cm$ થાય.

(B) કાચના સ્લેબને કારણે પ્રતિબિંબના સ્થાનમાં થતું આભાસી સ્થાનાંતર $d = t(1 - \frac{1}{\mu})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = 1.4(1 - \frac{5}{7}) = 1.4(\frac{2}{7}) = 0.4 \ cm$.
પ્રથમ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ શોધો: $u = -20 \ cm$ અને $v = 5 \ cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{f} = \frac{1}{5} - \frac{1}{-20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$. તેથી,$f = 4 \ cm$.
જ્યારે કાચનો સ્લેબ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ હજુ પણ $v = 5 \ cm$ પર પડદા પર રચાવું જોઈએ. જોકે,સ્લેબ પ્રતિબિંબને લેન્સ તરફ $d = 0.4 \ cm$ જેટલું ખસેડે છે. તેથી,અસરકારક પ્રતિબિંબ અંતર $v' = 5 - 0.4 = 4.6 \ cm$ થાય છે.
નવા વસ્તુ અંતર $u'$ માટે ફરીથી લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{u'}$.
$\frac{1}{4} = \frac{1}{4.6} - \frac{1}{u'} \Rightarrow \frac{1}{u'} = \frac{1}{4.6} - \frac{1}{4} = \frac{-0.6}{18.4}$.
$u' = -\frac{18.4}{0.6} \approx -30.66 \ cm \approx 30.7 \ cm$.

(C) ડાયનેમિક અવરોધ $r_d$ ને $r_d = \frac{dV}{dI}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે $I = I_0 \left( e^{\frac{V}{2 V_T}} - 1 \right)$.
$I \gg I_0$ માટે,આપણે $I \approx I_0 e^{\frac{V}{2 V_T}}$ તરીકે અંદાજ લગાવી શકીએ છીએ.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(I/I_0) = \frac{V}{2 V_T}$,જેનો અર્થ છે $V = 2 V_T \ln(I/I_0)$.
$I$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dI} = 2 V_T \cdot \frac{1}{I/I_0} \cdot \frac{1}{I_0} = \frac{2 V_T}{I}$.
આમ,$r_d(I) = \frac{2 V_T}{I}$.
આપણે $\alpha$ શોધવાની જરૂર છે જેથી $r_d(1000 I_0) = \alpha r_d(10 I_0)$.
$r_d$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$\frac{2 V_T}{1000 I_0} = \alpha \cdot \frac{2 V_T}{10 I_0}$.
$\frac{1}{1000} = \alpha \cdot \frac{1}{10}$.
$\alpha = \frac{10}{1000} = \frac{1}{100}$.