TS EAMCET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) થર્મોડાયનેમિક્સનો શૂન્યમો નિયમ જણાવે છે કે જો બે તંત્રો અલગ-અલગ ત્રીજા તંત્ર સાથે ઉષ્મીય સંતુલનમાં હોય,તો તેઓ એકબીજા સાથે પણ ઉષ્મીય સંતુલનમાં હોય છે.
આ નિયમ તાપમાન માપવાનો આધાર પૂરો પાડે છે,કારણ કે તે આપણને એક એવો ગુણધર્મ (તાપમાન) વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે જે ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેલા તમામ તંત્રો માટે સમાન હોય છે.
તેથી,શૂન્યમો નિયમ તાપમાનનો પાયાનો ખ્યાલ પૂરો પાડે છે.
આમ,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે,તેથી $(A)$ સાચું છે,$(R)$ સાચું છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) પરિમાણીય વિશ્લેષણ મુજબ સમીકરણની બંને બાજુના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ અને કોઈપણ ઘાતાંકીય વિધેયનો ઘાતાંક પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
$(A) E = 2 E_0 \frac{L}{L_0}$
$LHS$: $[M L^2 T^{-2}]$
$RHS$: $[M L^2 T^{-2}] \times \frac{[L]}{[L]} = [M L^2 T^{-2}]$
સ્થિતિ: પરિમાણીય રીતે સાચું.
$(B) E = E_0 e^{-\frac{2 L}{L_0}}$
ઘાતાંક: $\frac{[L]}{[L]} = [1]$ (પરિમાણરહિત). સાચું.
$LHS$: $[M L^2 T^{-2}]$
$RHS$: $[M L^2 T^{-2}] \times [1] = [M L^2 T^{-2}]$
સ્થિતિ: પરિમાણીય રીતે સાચું.
$(C) E = 2 L e^{-\frac{L}{E_0}}$
ઘાતાંક: $\frac{[L]}{[M L^2 T^{-2}]} = [M^{-1} L^{-1} T^2]$. ઘાતાંક પરિમાણરહિત ન હોવાથી,આ પદ અમાન્ય છે.
$LHS$: $[M L^2 T^{-2}]$
પ્રી-ફેક્ટર: $[L]$
સ્થિતિ: પરિમાણીય રીતે ખોટું.
$(D) E = 2 \left( \frac{E_0}{L_0} \right) e^{-\frac{L}{L_0}}$
ઘાતાંક: $\frac{[L]}{[L]} = [1]$. સાચું.
$LHS$: $[M L^2 T^{-2}]$
$RHS$: $\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L]} = [M L T^{-2}]$
સ્થિતિ: પરિમાણીય રીતે ખોટું.
તેથી,સમીકરણો $(C)$ અને $(D)$ ખોટા છે.

(B) નોએથરના પ્રમેય (Noether's theorem) મુજબ,સંરક્ષણના નિયમો પ્રકૃતિની સમપ્રમાણતા સાથે ઊંડો સંબંધ ધરાવે છે.
પ્રકૃતિમાં કુલ ચાર મૂળભૂત બળો છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,વિદ્યુતચુંબકીય બળ,પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ અને નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ.
તેથી,વિધાન $B$ સાચું છે.

$(A)$ પરિમાણો નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે:
$(A)$ એન્ટ્રોપી $(S)$: $S = \frac{\Delta Q}{T}$. તેનો એકમ $J/K$ છે, જે બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k_B)$ ના એકમ સમાન છે। તેથી, $(A) \rightarrow (II)$.
$(B)$ યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$: $Y = \frac{\text{સ્ટ્રેસ}}{\text{સ્ટ્રેન}} = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}}$. તેનો એકમ $N/m^2$ અથવા $J/m^3$ છે, જે ઉર્જા ઘનતા $(U/V)$ ના એકમ સમાન છે। તેથી, $(B) \rightarrow (III)$.
$(C)$ કોણીય વેગમાન $(L)$: $L = mvr$. તેનો એકમ $kg \cdot m^2/s$ છે, જે પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ ના એકમ સમાન છે। તેથી, $(C) \rightarrow (IV)$.
$(D)$ ક્ષય અચળાંક $(\lambda)$: $\lambda = \frac{1}{\text{સમય}}$. તેનો એકમ $s^{-1}$ છે, જે કોણીય વેગ $(\omega)$ ના એકમ સમાન છે। તેથી, $(D) \rightarrow (I)$.
આમ, સાચી જોડ $(A-II, B-III, C-IV, D-I)$ છે.

(B) ધારો કે ઘનતા $\rho = k C^a G^b h^c$ છે.
પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$[\rho] = M L^{-3}$
$[C] = L T^{-1}$
$[G] = M^{-1} L^3 T^{-2}$
$[h] = M L^2 T^{-1}$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$M^1 L^{-3} T^0 = (L T^{-1})^a (M^{-1} L^3 T^{-2})^b (M L^2 T^{-1})^c$
$M^1 L^{-3} T^0 = M^{-b+c} L^{a+3b+2c} T^{-a-2b-c}$
$M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $-b + c = 1 \implies c = 1 + b$
$2$) $a + 3b + 2c = -3$
$3$) $-a - 2b - c = 0 \implies a = -2b - c$
$c = 1 + b$ ને $(3)$ માં મૂકતા: $a = -2b - (1 + b) = -3b - 1$
$a$ અને $c$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $(-3b - 1) + 3b + 2(1 + b) = -3$
$-3b - 1 + 3b + 2 + 2b = -3$
$2b + 1 = -3 \implies 2b = -4 \implies b = -2$
હવે $c$ શોધો: $c = 1 + (-2) = -1$
હવે $a$ શોધો: $a = -3(-2) - 1 = 6 - 1 = 5$
આમ,ઘનતાનું પરિમાણ $[\rho] = C^5 G^{-2} h^{-1}$ છે.

(A) બે ક્રમિક ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ જેટલું હોય છે. તેથી,$\lambda = 2.7 \ m$ છે.
આવૃત્તિ $f$ એ એકમ સમયમાં બિંદુ પાસેથી પસાર થતા તરંગોની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે કે $15.0 \ s$ માં $5$ શૃંગ પસાર થાય છે,તેથી આવૃત્તિ $f = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \ s^{-1}$ છે.
તરંગની ઝડપ $v$ એ સંબંધ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{1}{3} \times 2.7 = 0.9 \ m \ s^{-1}$ મળે છે.

(A) ધારો કે તાર $A$ ની આવૃત્તિ $f_A = f_0$ છે અને તાર $B$ ની આવૃત્તિ $f_B$ છે.
શરૂઆતમાં,સ્પંદ આવૃત્તિ $\Delta f_1 = |f_0 - f_B| > 0$ છે.
જ્યારે તાર $A$ માં તણાવ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f_A$ વધીને $f_A'$ થાય છે.
નવી સ્પંદ આવૃત્તિ $\Delta f_2 = |f_A' - f_B| < \Delta f_1$ છે.
તાર $A$ ની આવૃત્તિ વધાર્યા પછી સ્પંદ આવૃત્તિ ઘટી હોવાથી,તેનો અર્થ એ છે કે $f_A$ એ $f_B$ ની નજીક જઈ રહી હતી.
તેથી,$f_B$ એ $f_A$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
આમ,$\Delta f_1 = f_B - f_0$,જે દર્શાવે છે કે $f_B = f_0 + \Delta f_1$.

(B) તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto A^2$.
$A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો માટે,મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max}$ સહાયક વ્યતિકરણ વખતે મળે છે,જ્યાં $I_{max} \propto (A_1 + A_2)^2$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min}$ વિનાશક વ્યતિકરણ વખતે મળે છે,જ્યાં $I_{min} \propto (A_1 - A_2)^2$.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{9}{4}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2} = \frac{9}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} = \frac{3}{2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2(A_1 + A_2) = 3(A_1 - A_2)$
$2A_1 + 2A_2 = 3A_1 - 3A_2$
$5A_2 = A_1$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{A_2}{A_1} = \frac{1}{5} = 0.2$ થાય.

(A) શરૂઆતમાં,'$L$' લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{V}{2L}$
જ્યારે ટ્યુબને પાણીમાં ઊભી રીતે એવી રીતે ડુબાડવામાં આવે છે કે તેની અડધી લંબાઈ પાણીમાં ડૂબી જાય,ત્યારે પાણીની સપાટીની ઉપર રહેલા હવાના સ્તંભની બાકીની લંબાઈ '$L/2$' થાય છે.
પાણીની સપાટી બંધ છેડા તરીકે કામ કરે છે. આમ,હવે આ ટ્યુબ એક છેડે બંધ પાઇપ તરીકે વર્તે છે જેની અસરકારક લંબાઈ '$L' = L/2$' છે.
એક છેડે બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:
$f' = \frac{V}{4L'}$
'$L' = L/2$' મૂકતા:
$f' = \frac{V}{4(L/2)} = \frac{V}{2L} = f$
તેથી,નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ '$f$' જ રહેશે.

(B) પ્રગામી તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$ છે.
તરંગની ઝડપ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને તરંગ સંખ્યા $k$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{t \text{ નો સહગુણક}}{x \text{ નો સહગુણક}}$.
દરેક વિકલ્પ માટે ઝડપની ગણતરી કરતા:
$(a)$ $v = \frac{2}{2} = 1.0 \text{ m/s}$
$(b)$ $v = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ m/s}$
$(c)$ $v = \frac{2}{3} \approx 0.67 \text{ m/s}$
$(d)$ $v = \frac{2}{5} = 0.4 \text{ m/s}$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(b)$ માં આપેલ સમીકરણ માટે તરંગની ઝડપ સૌથી વધુ છે.

(C) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે, $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે。
શરૂઆતમાં, $L_1 = 0.4 \,m$, $f_1 = 250 \,Hz$, અને તણાવ $T_1 = T$ છે。
તેથી, $250 = \frac{1}{2 \times 0.4} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \quad ...(i)$
અંતે, $L_2 = 0.4 + 0.1 = 0.5 \,m$, અને નવો તણાવ $T_2 = T/4$ છે。
તેથી, $f_2 = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{T/4}{\mu}} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{f_2}{250} = \frac{\frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{T}{4\mu}}}{\frac{1}{2 \times 0.4} \sqrt{\frac{T}{\mu}}} = \frac{0.4}{0.5} \times \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5} = 0.4$
$f_2 = 250 \times 0.4 = 100 \,Hz$.

(D) પ્રારંભિક ઝડપ $V = 36 \,km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$.
ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ $a_r = \frac{V^2}{R} = \frac{10^2}{50} = \frac{100}{50} = 2 \,m/s^2$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = 0.5 \,m/s^2$.
પરિણામી પ્રવેગ $a_{net} = \sqrt{a_r^2 + a_t^2} = \sqrt{2^2 + 0.5^2} = \sqrt{4 + 0.25} = \sqrt{4.25} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2} \,m/s^2$.
દિશા $\phi$ સ્પર્શકીય સદિશની સાપેક્ષમાં $\tan \phi = \frac{a_r}{a_t} = \frac{2}{0.5} = 4$ દ્વારા મળે છે, તેથી $\phi = \tan^{-1}(4)$.

(B) $\text{આપેલ છે:}
\text{પાણીનું કદ } V = 36 \,m^3
\text{સમય } t = 30 \,min = 30 \times 60 \,s = 1800 \,s
\text{ઊંચાઈ } h = 50 \,m
\text{ઇનપુટ પાવર } P_{\text{in}} = 40 \,kW = 40,000 \,W
\text{પાણીની ઘનતા } \rho = 1000 \,kg/m^3
\text{ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ } g = 10 \,m/s^2
\text{પાણીનું દળ } m = V \times \rho = 36 \times 1000 = 36,000 \,kg
\text{પાણીને ઉપર ચડાવવા માટે કરેલું કાર્ય } W = mgh = 36,000 \times 10 \times 50 = 18,000,000 \,J
\text{આઉટપુટ પાવર } P_{\text{out}} = \frac{W}{t} = \frac{18,000,000}{1800} = 10,000 \,W = 10 \,kW
\text{કાર્યક્ષમતા } \eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \times 100\% = \frac{10,000}{40,000} \times 100\% = 25\%$

(B) સંરક્ષી બળ માટે,બળ $F$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $U(x) = 5x^2 - 4x^3$.
જે સ્થાન પર બળ શૂન્ય થાય તે શોધવા માટે,આપણે $F = 0$ લઈએ છીએ:
$0 = -\frac{d}{dx}(5x^2 - 4x^3)$
$0 = -(10x - 12x^2)$
$12x^2 - 10x = 0$
$2x(6x - 5) = 0$
આનાથી બે ઉકેલ મળે છે: $x = 0 \ m$ અથવા $x = 5/6 \ m$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું સ્થાન $5/6 \ m$ છે.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પરિણામી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = K_f - K_i$
અહીં $m = 1 \ kg$,$c = 1$,$v = x^\alpha$,$x_i = 0 \ m$,$x_f = 4 \ m$,અને $W = 128 \ J$ આપેલ છે.
$x = 0$ આગળ,$v_i = 1 \times (0)^\alpha = 0$.
$x = 4$ આગળ,$v_f = 1 \times (4)^\alpha = 4^\alpha$.
આ કિંમતોને કાર્ય-ઊર્જા સમીકરણમાં મૂકતા:
$128 = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$
$128 = \frac{1}{2} (1) (4^\alpha)^2 - 0$
$128 = \frac{1}{2} (4^{2\alpha})$
$256 = 4^{2\alpha}$
કારણ કે $256 = 2^8 = (2^2)^4 = 4^4$,તેથી:
$4^4 = 4^{2\alpha}$
$2\alpha = 4$
$\alpha = 2$.

(C) શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે,તળિયે લઘુત્તમ વેગ $v = \sqrt{5Rg}$ હોવો જોઈએ,જ્યાં $R$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
ઢળતી સપાટીની ટોચ અને તળિયા વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$P_1 + K_1 = P_2 + K_2$
$mgh + 0 = 0 + \frac{1}{2} m v^2$
$mgh = \frac{1}{2} m (\sqrt{5Rg})^2$
$mgh = \frac{1}{2} m (5Rg)$
$h = \frac{5R}{2}$
અહીં $R = 2 \ m$ આપેલ છે,તેથી:
$h = \frac{5 \times 2}{2} = 5 \ m$

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક યાંત્રિક ઉર્જા એ સૌથી ઉંચા બિંદુએ કુલ અંતિમ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા: $E_i = K.E_{trans} + K.E_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}mR^2$ અને શુદ્ધ ગબડવા માટે,$\omega = \frac{v}{R}$.
$E_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
સૌથી ઉંચા બિંદુએ,અંતિમ ગતિ ઉર્જા શૂન્ય છે,અને સ્થિતિ ઉર્જા $mgh$ છે.
તેથી,$\frac{7}{10}mv^2 = mgh \Rightarrow h = \frac{7v^2}{10g}$
આપેલ છે કે $v = 4 \ m/s$ અને $g = 10 \ m/s^2$,તેથી $h = \frac{7 \times 4^2}{10 \times 10} = \frac{7 \times 16}{100} = 1.12 \ m$.
સમતલ પરનું અંતર $\ell$ એ $\ell = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1.12}{0.5} = 2.24 \ m = 224 \ cm$ દ્વારા મળે છે.

(C) વિધાન $(I)$ નું વિશ્લેષણ: ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$. $K-x$ વક્રનો ઢાળ $\frac{dK}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}mv^2) = mv \frac{dv}{dx} = m \cdot a$. $m$ અચળ હોવાથી,ઢાળ પ્રવેગ $a$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
વિધાન $(II)$ નું વિશ્લેષણ: પ્રારંભિક વેગ $u = 30 \ m/s$,ઊંચાઈ $h = 15 \ m$,$g = 10 \ m/s^2$. જમીન સાથે અથડાતા પહેલાનો વેગ $v^2 = u^2 + 2gh = 30^2 + 2(10)(15) = 900 + 300 = 1200 \ (m/s)^2$. અથડામણ પહેલાની ગતિઊર્જા $E_i = \frac{1}{2}m(1200)$. અથડામણ પછી,તે $15 \ m$ સુધી ઉપર જાય છે,તેથી અથડામણ પછીનો વેગ $v' = \sqrt{2gh} = \sqrt{2(10)(15)} = \sqrt{300} \ m/s$. અથડામણ પછીની ગતિઊર્જા $E_f = \frac{1}{2}m(300)$. ઊર્જામાં ઘટાડો $\Delta E = E_i - E_f = \frac{1}{2}m(1200 - 300) = \frac{1}{2}m(900)$. ટકાવારી ઘટાડો $= (\frac{\Delta E}{E_i}) \times 100 = (\frac{900}{1200}) \times 100 = 75 \%$. તેથી,વિધાન $(II)$ ખોટું છે.
વિધાન $(III)$ નું વિશ્લેષણ: $v^2 = u^2 + 2as$ પરથી,જ્યાં $u=0$ અને $a = F/m$,આપણને $v^2 = 2(F/m)s$ મળે છે. તેથી $v = \sqrt{2Fs/m}$. વેગ એ $\sqrt{m}$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,$m$ ના સમપ્રમાણમાં નથી. તેથી,વિધાન $(III)$ ખોટું છે.

(A) પ્રથમ, હોડીનો પ્રવેગ શોધો: $a = \frac{v-u}{t} = \frac{20-0}{5} = 4 \,m/s^2$.
ત્યારબાદ, હોડી દ્વારા કાપેલું અંતર શોધો: $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times 5^2 = 50 \,m$.
સરેરાશ પાવરનું સૂત્ર $P_{av} = \frac{W}{t} = \frac{F_{boat} \times S}{t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $45000 = \frac{F_{boat} \times 50}{5} = F_{boat} \times 10$.
આમ, હોડીના એન્જિન દ્વારા લાગતું બળ $F_{boat} = 4500 \,N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, ચોખ્ખું બળ $F_{net} = F_{boat} - F_{drag} = ma$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $4500 - F_{drag} = 1000 \times 4 = 4000 \,N$.
તેથી, ડ્રેગ ફોર્સ $F_{drag} = 4500 - 4000 = 500 \,N$ મળે.

(B) પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાનો દર છે,જે $P = F \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $F = m \cdot a = m \frac{dv}{dt}$,તેથી $P = m \frac{dv}{dt} \cdot v$ થાય.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $P \cdot dt = m \cdot v \cdot dv$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int_{0}^{t} P \cdot dt = \int_{0}^{v} m \cdot v \cdot dv$.
અહીં $P$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$P \cdot t = m \cdot \frac{v^2}{2}$ મળે.
$v$ માટે ઉકેલતા,$v^2 = \frac{2Pt}{m}$,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot t^{\frac{1}{2}}$.
તેથી,$v \propto t^{\frac{1}{2}}$.

(B) આપેલ દળ $m = 250 \ g = 0.25 \ kg$,દોરીની લંબાઈ $l = 50 \ cm = 0.5 \ m$,અને મહત્તમ તણાવ $T_{\max} = 72 \ N$.
સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર ગતિ માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$T = m \omega^2 R$.
અહીં,વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R$ એ દોરીની લંબાઈ $l$ જેટલી છે (ધારો કે દોરી સમક્ષિતિજ રહે છે).
$T_{\max} = m \omega_{\max}^2 l$.
કિંમતો મૂકતા:
$72 = 0.25 \times \omega_{\max}^2 \times 0.5$.
$72 = 0.125 \times \omega_{\max}^2$.
$\omega_{\max}^2 = \frac{72}{0.125} = 576$.
$\omega_{\max} = \sqrt{576} = 24 \ rad/s$.

(D) ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$p-n$ જંકશન સિગ્નલને શોધી શકે તે માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા બેન્ડ ગેપ ઉર્જા $(E_g = 2.8 \ eV)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
જો $E < E_g$ હોય,તો ફોટોન વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોનને ઉત્તેજિત કરી શકતું નથી,અને તેથી તેને શોધી શકાતું નથી.
$h = 6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $hc = 18 \times 10^{-26} \ J \cdot m$ મળે છે.
$E_g$ ને જ્યુલમાં ફેરવતા: $2.8 \ eV = 2.8 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 4.48 \times 10^{-19} \ J$.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{hc}{E_g} = \frac{18 \times 10^{-26}}{4.48 \times 10^{-19}} \approx 4.017 \times 10^{-7} \ m = 401.7 \ \text{nm}$.
કોઈપણ તરંગલંબાઈ $\lambda > \lambda_0$ માટે ઉર્જા $E < E_g$ હશે અને તે શોધી શકાશે નહીં.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$600 \ nm$ એ એકમાત્ર તરંગલંબાઈ છે જે $401.7 \ nm$ કરતા વધારે છે.

(C) સેમિકન્ડક્ટરમાં ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડી બનાવવા માટે જરૂરી ફોટોનની ઉર્જા ઓછામાં ઓછી બેન્ડ ગેપ ઉર્જા $(E_g)$ જેટલી હોવી જોઈએ.
$E_g = 0.6 eV$
આપણે જાણીએ છીએ કે ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{max})$ શોધવા માટે,આપણે ફોટોનની ઉર્જાને બેન્ડ ગેપ ઉર્જા જેટલી લઈએ છીએ:
$E_g = \frac{hc}{\lambda_{max}}$
$\lambda_{max} = \frac{hc}{E_g}$
આપેલ છે કે $hc = 1242 eV-nm$ અને $E_g = 0.6 eV$:
$\lambda_{max} = \frac{1242}{0.6} nm = 2070 nm$
જો તરંગલંબાઇ $2070 nm$ કરતા વધારે હોય,તો ફોટોનની ઉર્જા $0.6 eV$ કરતા ઓછી હશે,જે ઇલેક્ટ્રોનને વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઉત્તેજિત કરવા માટે અપૂરતી છે. તેથી,$2070 nm$ એ મહત્તમ તરંગલંબાઇ છે.

(C) $n-p-n$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,એમિટરમાં મોટી સંખ્યામાં ચાર્જ કેરિયર્સ પૂરા પાડવા માટે ભારે ડોપિંગ કરવામાં આવે છે. બેઝ ખૂબ જ પાતળો અને હળવા ડોપિંગ વાળો હોય છે જેથી એમિટરમાંથી આવતા મોટાભાગના ચાર્જ કેરિયર્સ કલેક્ટર સુધી પહોંચી શકે. કલેક્ટર મધ્યમ ડોપિંગ ધરાવે છે અને કાર્ય દરમિયાન ઉત્પન્ન થતી ગરમીને દૂર કરવા માટે કદમાં સૌથી મોટું હોય છે. તેથી,કલેક્ટર હળવા ડોપિંગ વાળું છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) $\text{AND}$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = A \cdot B$ તરીકે લખી શકાય છે.
$\text{NAND}$ ગેટ એ $\text{AND}$ ગેટ અને ત્યારબાદ $\text{NOT}$ ગેટનું સંયોજન છે. તેથી,$\text{NAND}$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ થાય છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$Y = \overline{A} + \overline{B}$ થાય.
$\text{NAND}$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જ્યારે $A=1$ અને $B=1$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ $Y=0$ મળે છે.

(A) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. આ સર્કિટમાં એક $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટ છે,જેના આઉટપુટને અંતિમ $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_1 = A \cdot B$ છે.
ધારો કે પ્રથમ $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y_2 = A + B$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $X$ એ $Y_1$ અને $Y_2$ નું $OR$ ઓપરેશન છે:
$X = Y_1 + Y_2 = (A \cdot B) + (A + B)$.
બુલિયન આઈડેન્ટિટી $(A \cdot B) + A + B = A + B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $X = A + B$ મળે છે.
ટ્રુથ ટેબલ:

$A, B$	$Y_1 = A \cdot B$	$Y_2 = A + B$	$X = Y_1 + Y_2$
$0, 0$	$0$	$0$	$0$
$0, 1$	$0$	$1$	$1$
$1, 0$	$0$	$1$	$1$
$1, 1$	$1$	$1$	$1$

આમ,આઉટપુટ $X$ એ $OR$ ગેટના ટ્રુથ ટેબલને અનુસરે છે,તેથી આ સર્કિટ $OR$ ગેટ જેવું વર્તન કરે છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે બફર (અથવા બફર તરીકે કામ કરવા માટે શ્રેણીમાં જોડાયેલ બે $NOT$ ગેટ) અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે.
$1$. ઇનપુટ $A$ એક બફરમાંથી પસાર થાય છે,તેથી આઉટપુટ $A$ મળે છે.
$2$. ઇનપુટ $B$ એક બફરમાંથી પસાર થાય છે,તેથી આઉટપુટ $B$ મળે છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટ $A$ અને $B$ ને $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$4$. $A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે.
$5$. આ $NAND$ ગેટની વ્યાખ્યા છે.
તેથી,આ સર્કિટ $NAND$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે $NAND$ ગેટ છે જે $NOT$ ગેટ તરીકે કામ કરે છે (કારણ કે તેમના ઇનપુટ્સ શોર્ટ કરેલા છે) અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ બે $NAND$ ગેટ ઇનપુટ્સને ઇન્વર્ટ કરીને $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ ઉત્પન્ન કરે છે.
અંતિમ $NAND$ ગેટ આને ઇનપુટ તરીકે લે છે,તેથી આઉટપુટ $Y = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$.
આ $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
તેથી,આ સર્કિટ $OR$ ગેટ તરીકે વર્તે છે.

(A) $p-$ પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં,આંતરિક સેમિકન્ડક્ટરમાં ટ્રાયવેલેન્ટ અશુદ્ધિઓ (જેમ કે બોરોન,એલ્યુમિનિયમ,વગેરે) ઉમેરવામાં આવે છે.
આ ટ્રાયવેલેન્ટ પરમાણુઓ વેલેન્સ બેન્ડમાં હોલની સંખ્યા વધારે છે.
તેથી,હોલ મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ તરીકે કામ કરે છે,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન માઇનોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ તરીકે કામ કરે છે.

(A) પદાર્થોની અવરોધકતા નીચે મુજબ વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:
$1$. વાહકો (ધાતુઓ): $10^{-8} \Omega \cdot m$ થી $10^{-6} \Omega \cdot m$.
$2$. અર્ધવાહકો: $10^{-5} \Omega \cdot m$ થી $10^6 \Omega \cdot m$.
$3$. અવાહકો: $10^6 \Omega \cdot m$ થી $10^{18} \Omega \cdot m$.
આપેલ પદાર્થની અવરોધકતા $10^8 \Omega \cdot m$ છે,જે અવાહકોની શ્રેણીમાં આવે છે.
તેથી,આ પદાર્થ અવાહક છે.

(C) આપેલ છે કે ડોનર પરમાણુઓ (આર્સેનિક) ની સાંદ્રતા $N_D = 4.5 \times 10^{21} \ m^{-3}$ છે.
આર્સેનિક એ પંચ-સંયોજક અશુદ્ધિ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n_e \approx N_D = 4.5 \times 10^{21} \ m^{-3}$ થાય.
આંતરિક વાહક સાંદ્રતા $n_i = 1.5 \times 10^{16} \ m^{-3}$ છે.
માસ એક્શનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$n_e \cdot n_h = n_i^2$,હોલ્સની સંખ્યા $n_h$ નીચે મુજબ મળે છે:
$n_h = \frac{n_i^2}{n_e} = \frac{(1.5 \times 10^{16})^2}{4.5 \times 10^{21}} = \frac{2.25 \times 10^{32}}{4.5 \times 10^{21}} = 0.5 \times 10^{11} = 5 \times 10^{10} \ m^{-3}$.
ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા અને હોલ્સની સંખ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{n_e}{n_h} = \frac{4.5 \times 10^{21}}{5 \times 10^{10}} = 0.9 \times 10^{11} = 9 \times 10^{10}$.

(D) $RC$ સર્કિટમાં,સમય $t$ પર કેપેસિટર પરનો વીજભાર $q(t) = q_0(1 - e^{-t/RC})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘાતાંકીય વિધેયનો ઘાતાંક પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ,તેથી પદ $t/RC$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ.
તેથી,$RC$ ના પરિમાણ એ સમય $t$ ના પરિમાણ જેટલા હોવા જોઈએ.
આમ,$RC$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC$ છે,જે સમયનું પરિમાણ ધરાવે છે.

(B) મોબિલિટી $\mu$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ અને લાગુ પડેલા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે સૂત્ર $\mu = \frac{e \tau}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $e$ એ વિદ્યુતભાર છે (એકમ: $A \cdot s$), $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે (એકમ: $s$), અને $m$ એ દળ છે (એકમ: $kg$).
આ એકમોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\mu$ નો એકમ = $\frac{(A \cdot s) \cdot s}{kg} = \frac{A \cdot s^2}{kg}$.
આને $kg^{-1} \,s^2 \,A$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) ન્યુક્લિયર ફિઝિક્સમાં,$\beta$-ક્ષય એ એક પ્રકારનો રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય છે જેમાં પરમાણુના ન્યુક્લિયસમાંથી બીટા કણ (ઝડપી ઊર્જાવાન ઇલેક્ટ્રોન અથવા પોઝિટ્રોન) ઉત્સર્જિત થાય છે,જે મૂળ ન્યુક્લાઇડને તે ન્યુક્લાઇડના આઇસોબારમાં રૂપાંતરિત કરે છે.
બીટા ક્ષય એ વીક ન્યુક્લિયર ફોર્સ (weak nuclear force) દ્વારા સંચાલિત એક મૂળભૂત પ્રક્રિયા છે,જે ન્યુક્લિયોન્સની અંદર ક્વાર્ક્સના રૂપાંતરણ (દા.ત.,ડાઉન ક્વાર્કનું અપ ક્વાર્કમાં રૂપાંતર) માટે જવાબદાર છે.

(C) જ્યારે પ્રકાશનું તરંગ $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેની તરંગલંબાઈ $\lambda^{\prime} = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
$\text{YDSE}$ માં ફ્રિન્જ વિડ્થનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda^{\prime} D}{d}$ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 550 \times 10^{-9} \ m$,$D = 0.6 \ m$,$d = 0.2 \times 10^{-3} \ m$,અને $\mu = \frac{11}{9}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\beta = \frac{(\lambda / \mu) D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{550 \times 10^{-9} \times 0.6}{(11/9) \times 0.2 \times 10^{-3}}$.
$\beta = \frac{550 \times 10^{-9} \times 0.6 \times 9}{11 \times 0.2 \times 10^{-3}} = \frac{330 \times 10^{-9} \times 9}{2.2 \times 10^{-3}} = \frac{2970 \times 10^{-9}}{2.2 \times 10^{-3}} = 1350 \times 10^{-6} \ m = 1.35 \ mm$.

(A) કોણીય ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_{\theta}$ નું સૂત્ર $\beta_{\theta} = \frac{\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $\beta_{\theta} \propto \lambda$ હોવાથી,જ્યારે પ્રણાલીને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તરંગલંબાઈ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
તેથી,નવી કોણીય પહોળાઈ $\beta_{\theta}' = \frac{\beta_{\theta}}{\mu}$ થશે.
આપેલ છે કે $\beta_{\theta} = 0.2^{\circ}$ અને $\mu = \frac{4}{3}$,તેથી નવી કોણીય પહોળાઈ $\beta_{\theta}' = 0.2^{\circ} \times \frac{3}{4} = 0.15^{\circ}$ મળે.
કોણીય પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \beta_{\theta} = \beta_{\theta} - \beta_{\theta}' = 0.2^{\circ} - 0.15^{\circ} = 0.05^{\circ}$ થાય.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $m$ માં ક્રમના મહત્તમનું સ્થાન $y = \frac{m \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાલ પ્રકાશના $m$ માં ક્રમ અને વાદળી પ્રકાશના $(m+1)$ માં ક્રમ માટે,તેમના સ્થાન સમાન હોવા જોઈએ:
$y_{\text{red}} = y_{\text{blue}}$
$\frac{m \lambda_1 D}{d} = \frac{(m+1) \lambda_2 D}{d}$
$m \lambda_1 = (m+1) \lambda_2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$m(780 \ nm) = (m+1)(520 \ nm)$
$780m = 520m + 520$
$780m - 520m = 520$
$260m = 520$
$m = \frac{520}{260} = 2$
આમ,લાલ પ્રકાશનો $2$ જો ક્રમ વાદળી પ્રકાશના $3$ જા ક્રમ સાથે સંપાત થાય છે.

(A) ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
કારણ કે $d$ અચળ રહે છે,કોણીય પહોળાઈ તરંગલંબાઇના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\theta \propto \lambda$.
જ્યારે સાધનને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
તેથી,નવી કોણીય પહોળાઈ $\theta'$ એ $\theta' = \frac{\theta}{\mu}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\theta = 0.15^{\circ}$ અને $\mu = \frac{5}{3}$,તેથી:
$\theta' = \frac{0.15^{\circ}}{5/3} = 0.15^{\circ} \times \frac{3}{5} = 0.03^{\circ} \times 3 = 0.09^{\circ}$.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{\text{મા}}$ ક્રમના મહત્તમનું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Y_n = \frac{n \lambda D}{d}$.
કારણ કે બંને પ્રકાશ સ્ત્રોતો માટે સ્થાન $Y_n$ સમાન રહે છે,તેથી આપણે સમીકરણોને સરખાવી શકીએ:
$Y_n = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
અહીં $n_1 = 12$,$\lambda_1 = 6000 \ Å$,અને $\lambda_2 = 4800 \ Å$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$12 \times 6000 = n_2 \times 4800$.
$n_2 = \frac{12 \times 6000}{4800} = \frac{72000}{4800} = 15$.
તેથી,તે જ બિંદુ પર $15^{\text{મો}}$ ક્રમનો મહત્તમ દેખાશે.

(C) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $\beta \propto \frac{\lambda}{d}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta_1 = \frac{\lambda_1 D}{d_1}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી તરંગલંબાઇ $\lambda_2 = 4\lambda_1$ અને નવું સ્લિટ અંતર $d_2 = \frac{d_1}{2}$ છે.
નવી ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta_2 = \frac{\lambda_2 D}{d_2} = \frac{(4\lambda_1) D}{(d_1/2)} = 8 \times \frac{\lambda_1 D}{d_1} = 8\beta_1$ થશે.
તેથી,બે મહત્તમ વચ્ચેનું અંતર મૂળ મૂલ્યના $8$ ગણું થશે.