तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ समीकरण $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ को संतुष्ट करते हैं। यदि $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=2$ है,तो $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}+2(|\vec{a}|+|\vec{b}|+|\vec{c}|)=$

मान लीजिए $\hat{a}$ और $\hat{b}$ दो इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $|(\hat{a}+\hat{b})+2(\hat{a} \times \hat{b})|=2$ है। यदि $\theta \in(0, \pi)$ $\hat{a}$ और $\hat{b}$ के बीच का कोण है,तो कथनों में से:
$(S_{1})$: $2|\hat{a} \times \hat{b}|=|\hat{a}-\hat{b}|$
$(S_{2})$: $(\hat{a}+\hat{b})$ पर $\hat{a}$ का प्रक्षेप $\frac{1}{2}$ है।

यदि $a \neq 0, b \neq 0$ और $|a + b| = |a - b|$ है,तो सदिश $a$ और $b$ . . . हैं।

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{a}+\vec{b}+\sqrt{3} \vec{c}=\overrightarrow{0}$,तो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि $A(3,2,3)$,$B(1,4,6)$ और $C(7,4,5)$ एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के तीन शीर्ष हैं,तो इसके $D$ से गुजरने वाले विकर्ण और भुजा $DC$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

$5\hat{i} + \hat{k}$ और $-5\hat{i} - \hat{k}$ बिंदुओं पर कार्य करने वाले बलों $(9, -1, 2)$ और $(3, -2, 1)$ द्वारा निर्मित बल-युग्म का आघूर्ण (टॉर्क) ज्ञात कीजिए।