int_{frac{pi}{4}}^{frac{3 pi}{4}} frac{d x}{1 | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{dx}{1+\cos x} \quad \dots (i)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का

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$2 \sin \frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{dx}{1+\cos x} \quad \dots (i)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,यहाँ $a+b = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi$ है।अतः,$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{dx}{1+\cos(\pi-x)} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{dx}{1-\cos x} \quad \dots (ii)$$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \left( \frac{1}{1+\cos x} + \frac{1}{1-\cos x} \right) dx$$2I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{1-\cos x + 1+\cos x}{1-\cos^2 x} dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{2}{\sin^2 x} dx$$2I = 2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \operatorname{cosec}^2 x dx$$I = [-\cot x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}}$$I = -(\cot \frac{3\pi}{4} - \cot \frac{\pi}{4}) = -(-1 - 1) = 2$चूंकि $2 \sin \frac{\pi}{2} = 2(1) = 2$,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \frac{d x}{1+\cos x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x + \tan x} \,dx = $

मान लीजिए $[t]$ महत्तम पूर्णांक $\leq t$ को दर्शाता है। तब $\frac{2}{\pi} \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (8[\operatorname{cosec} x] - 5[\cot x]) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin |x| \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} x^3 \sin ^4(x) d x=$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) d \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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