int_{-1}^1 frac{log (1+x)}{1+x^2} d x = int_0 | vedclass

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Question

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{-1}^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x$ है।समाकलन को $x=0$ पर विभाजित करने पर:$I = \int_{-1}^0 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\log (1-x)}{1+x^2}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{-1}^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x$ है।समाकलन को $x=0$ पर विभाजित करने पर:$I = \int_{-1}^0 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x + \int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x$.माना $I_1 = \int_{-1}^0 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x$.$x = -t$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = -d t$. जब $x = -1, t = 1$ और जब $x = 0, t = 0$.$I_1 = \int_1^0 \frac{\log (1-t)}{1+(-t)^2} (-d t) = \int_0^1 \frac{\log (1-t)}{1+t^2} d t$.निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_a^b f(t) d t = \int_a^b f(x) d x$ के अनुसार,$I_1 = \int_0^1 \frac{\log (1-x)}{1+x^2} d x$.दिए गए समीकरण $\int_{-1}^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x = \int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x + \int_0^1 f(x) d x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{\log (1-x)}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।

$\int_{-1}^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x = \int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x + \int_0^1 f(x) d x$ है,तो $f(x) =$

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