एक चतुष्फलक जिसके शीर्ष $A(2,3,1)$,$B(4,1,-2)$,$C(6,3,7)$,और $D(-5,-4,8)$ हैं,में बिंदु $D$ से गुजरने वाले शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए। ($\text{इकाई}$ में)

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में तीन बिंदु $A(2,3,4), B(3,4,2)$ और $C(4,2,3)$ दिए गए हैं। अंतरिक्ष में एक बिंदु $D$ इस प्रकार है कि वह $3$ दिए गए बिंदुओं से $\sqrt{6}$ इकाई की दूरी पर है। तब चतुष्फलक $ABCD$ का आयतन है -

यदि $\alpha$ एक घन के किन्हीं दो विकर्णों के बीच का कोण है और $\beta$ एक घन के एक विकर्ण और उसके फलक के एक विकर्ण,जो इस घन के विकर्ण को काटता है,के बीच का कोण है,तो $\cos \alpha + \cos^2 \beta =$

यदि एक त्रिभुज के शीर्ष $(1, 2, 3)$,$(2, 3, 1)$ और $(3, 1, 2)$ हैं,और यदि $H, G, S$ और $I$ क्रमशः इसके लंबकेंद्र,केंद्रक,परिकेंद्र और अंतःकेंद्र को दर्शाते हैं,तो $H+G+S+I$ का मान ज्ञात कीजिए।

$2, 1, 2$ के समानुपाती दिक्-अनुपात वाली एक रेखा,रेखाओं $x = y + a = z$ और $x + a = 2y = 2z$ को काटती है। प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक हैं:

मान लीजिए $A(1, 2, 3)$,$B(-1, 4, 6)$,$C(0, -6, 4)$,और $D(1, 1, 1)$ एक चतुष्फलक के शीर्ष हैं। $G$ इसका केंद्रक है और $G_1$ इसके फलक $BCD$ का केंद्रक है। तो $\frac{AG_1}{AG} =$